Нечіткі ймовірності нечітких подій
Запропоновано підхід до знаходження ймовірнісних характеристик нечітких подій. Ймовірності описано нечіткими трикутними числами, які можуть задовольняти тим чи іншим умовам. Розглянуто приклади обчислення нечітких ймовірностей нечітких подій. Предложен подход к нахождению вероятностных характеристик...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190355 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нечіткі ймовірності нечітких подій / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3–13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254749184491520 |
|---|---|
| author | Провотар, О.І. Провотар, О.О. |
| author_facet | Провотар, О.І. Провотар, О.О. |
| citation_txt | Нечіткі ймовірності нечітких подій / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3–13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано підхід до знаходження ймовірнісних характеристик нечітких подій. Ймовірності описано нечіткими трикутними числами, які можуть задовольняти тим чи іншим умовам. Розглянуто приклади обчислення нечітких ймовірностей нечітких подій.
Предложен подход к нахождению вероятностных характеристик нечетких событий. Вероятности описываются нечеткими треугольными числами, которые могут удовлетворять тем или иным условиям. Рассмотрены примеры вычисления нечетких вероятностей нечетких событий.
An approach to finding the probabilistic characteristics of fuzzy events is proposed. Herewith the probabilities are described by fuzzy triangular numbers that can satisfy one or another condition. Examples of calculating the fuzzy probabilities of fuzzy events are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:47:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Î.². ÏÐÎÂÎÒÀÐ, Î.Î. ÏÐÎÂÎÒÀÐ
ÓÄÊ 681.3 ÍÅײÒʲ ÉÌβÐÍÎÑÒ² ÍÅײÒÊÈÕ ÏÎIJÉ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ï³äõ³ä äî çíàõîäæåííÿ éìîâ³ðí³ñíèõ õàðàêòåðèñ-
òèê íå÷³òêèõ ïîä³é. Éìîâ³ðíîñò³ îïèñàíî íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè,
ÿê³ ìîæóòü çàäîâîëüíÿòè òèì ÷è ³íøèì óìîâàì. Ðîçãëÿíóòî ïðèêëàäè îá-
÷èñëåííÿ íå÷³òêèõ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íå÷³òê³ ìíîæèíè, íå÷³òê³ òðèêóòí³ ÷èñëà, éìîâ³ðí³ñòü
íå÷³òêî¿ ïî䳿, íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿.
ÂÑÒÓÏ
Òåîðåòèêî-éìîâ³ðí³ñí³ ìåòîäè øèðîêî ³ óñï³øíî âèêîðèñòîâóþòü â íàóêîâèõ
äîñë³äæåííÿõ äëÿ ìîäåëþâàííÿ â òåðì³íàõ âèïàäêîâîñò³ áàãàòüîõ àñïåêò³â íå-
âèçíà÷åíîñò³. Ðàçîì ç òèì òàê³ ìåòîäè âèÿâèëèñÿ íå äîñèòü åôåêòèâíèìè äëÿ
ìîäåëþâàííÿ ñêëàäíèõ ô³çè÷íèõ, ñîö³àëüíèõ ³ åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì, äåÿê³ åëå-
ìåíòè ÿêèõ ìîæíà îïèñàòè ò³ëüêè çà äîïîìîãîþ ïîíÿòòÿ íåâèçíà÷åíîñò³. Öèì
ïîÿñíåíî ï³äâèùåíèé ³íòåðåñ äî ïðîáëåìàòèêè, ÿêà îõîïëþº òàê³ íàïðÿìêè
øòó÷íîãî ³íòåëåêòó, ÿê òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é, òåîð³ÿ íå÷³òêèõ
éìîâ³ðíîñòåé òà ã³áðèäíà òåîð³ÿ íå÷³òêèõ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é. Âèêëè-
êàíî öå íàñàìïåðåä òèì, ùî çíà÷íà ÷àñòèíà ñó÷àñíèõ ³íòåëåêòóàëüíèõ ñèñòåì
âèêîðèñòîâóº íå÷³òê³ ìîäåë³ ïîäàííÿ çíàíü (íàïðèêëàä, íå÷³òê³ ìîäåë³ ëîã³÷íîãî
âèâåäåííÿ), ÿê³ ïîòðåáóþòü äîäàòêîâèõ äîñë³äæåíü íàä³éíîñò³, äîñòîâ³ðíîñò³ òà
éìîâ³ðí³ñíèõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðàêòè÷íèõ çàäà÷ [1, 2].
ÍÅײÒʲ ×ÈÑËÀ
Ó ö³é ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî òà îá�ðóíòîâàíî ï³äõ³ä äî çíàõîäæåííÿ éìîâ³ð-
í³ñíèõ õàðàêòåðèñòèê íå÷³òêèõ ïîä³é, ÿê³ îòîòîæíþþòüñÿ ç íå÷³òêèìè ìíîæè-
íàìè [3, 4] ó â³äïîâ³äíèõ ïðîñòîðàõ. Óïåðøå äåÿê³ êëàñè÷í³ çàäà÷³ òåîð³¿
éìîâ³ðíîñòåé ôîðìóëþþòü â íå÷³òêèõ ïîñòàíîâêàõ ç ïîäàëüøèì ¿õí³ì ðîçâ’ÿ-
çàííÿì. Éìîâ³ðíîñò³ âèçíà÷àþòü íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè (ÿê³ ìîæóòü
çàäîâîëüíÿòè òèì àáî ³íøèì óìîâàì). Íàïðèêëàä, éìîâ³ðí³ñòü âèïàä³ííÿ ÷èñ-
ëà 1 ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà ìîæå áóòè âèçíà÷åíà íå÷³òêèì ÷èñëîì B
ç ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³ [3, 4]
Ó òåî𳿠íå÷³òêèõ ìíîæèí [3–5] âèä³ëÿþòü íå÷³òê³ ìíîæèíè, ÿê³ âèçíà÷àþòü-
ñÿ íà îñ³ ä³éñíèõ ÷èñåë R, º íîðìàëüíèìè, îïóêëèìè òà ìàþòü íà ìíîæèí³
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 3
0 1/6 1/3
B
© Î.². Ïðîâîòàð, Î.Î. Ïðîâîòàð, 2020
ä³éñíèõ ÷èñåë R íåïåðåðâí³ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³. ²íàêøå êàæó÷è, íå÷³òêèì ÷èñ-
ëîì íàçèâàþòü íå÷³òêó ìíîæèíó A, ôóíêö³ÿ íàëåæíîñò³ ÿêî¿
�: [ , ]R � 0 1
çàäîâîëüíÿº óìîâè:
1) sup
x
A x
�
�
R
� ( ) 1, òîáòî íå÷³òêà ìíîæèíà º íîðìàë³çîâàíîþ;
2) � � � � �[ ( ) ] min{ ( ), ( )}x x õ õ1 2 1 21� � � , òîáòî ìíîæèíà A º îïóêëîþ;
3) �( )x º íåïåðåðâíîþ ôóíêö³ºþ.
Îñíîâí³ àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ — äîäàâàííÿ, â³äí³ìàííÿ, ìíîæåííÿ ³ ä³ëåííÿ
äâîõ íå÷³òêèõ ÷èñåë A A1 2, � R çàäàþòü çà äîïîìîãîþ ïðèíöèïó ðîçøèðåííÿ [3].
Ñóìó äâîõ íå÷³òêèõ ÷èñåë A1 ³ A2 ïîçíà÷àþòü A A1 2 , ïðè÷îìó ôóíêö³þ
íàëåæíîñò³ ñóìè çàäàþòü âèðàçîì
� � �B
x x y
A Ay x x( ) min( ( ), ( ))�
� �
sup
1 2
1 21 2 .
гçíèöþ äâîõ íå÷³òêèõ ÷èñåë A1 ³ A2 ïîçíà÷àþòü A B�� , ïðè öüîìó ôóíêö³þ
íàëåæíîñò³ ð³çíèö³ çàäàþòü âèðàçîì
� � �B
x x y
A Ay x x( ) min ( ( ), ( ))�
� �
sup
1 2
1 21 2 .
Äîáóòîê äâîõ íå÷³òêèõ ÷èñåë À1 ³ À2 ïîçíà÷àþòü A A1 2
, ïðè öüîìó
ôóíêö³þ íàëåæíîñò³ äîáóòêó çàäàþòü âèðàçîì
� � �B
x x y
A Ay x x( ) min ( ( ), ( ))�
�
sup
1 2
1 21 2 .
×àñòêó äâîõ íå÷³òêèõ ÷èñåë À1 ³ À2 ïîçíà÷àþòü A A1 2: , ïðè öüîìó ôóíêö³þ
íàëåæíîñò³ ÷àñòêè çàäàþòü âèðàçîì
� � �B
x x y
A Ay x x( ) min ( ( ), ( ))
/
�
�
sup
1 2
1 21 2 .
Àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ íàä íå÷³òêèìè ÷èñëàìè âèìàãàþòü äîñèòü ñêëàäíèõ
oá÷èñëåíü. Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ìíîæèíà íå÷³òêèõ ÷èñåë º çàìêíåíîþ â³äíîñíî àðèôìåòè÷íèõ
îïåðàö³é.
Äþáóà ³ Ïðåéä çàïðîïîíóâàëè äåÿêó ôîðìó ïîäàííÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë çà äîïî-
ìîãîþ òðüîõ ïàðàìåòð³â [3], ùî çíà÷íî ñïðîùóº íå÷³òêó àðèôìåòèêó.
Íåõàé L P, : ( , ) [ , ]� � � 0 1 — ôóíêö³¿, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè:
L x L x( ) ( )� � , P x P x( ) ( )� � ; L P( ) , ( )0 1 0 1� � ; L ³ P — ôóíêö³¿, ÿê³ íå çðîñòàþòü íà
³íòåðâàë³ [ , )0 � .
Îçíà÷åííÿ 1. Íå÷³òêå ÷èñëî A � R áóäå íå÷³òêèì ÷èñëîì òèïó L P� òîä³
³ ò³ëüêè òîä³, êîëè éîãî ôóíêö³ÿ íàëåæíîñò³ ìຠâèãëÿä
�
�
�
A x
L
m x
x m
P
x m
x m
( )
, ,
, ,
�
��
�
�
�
� �
��
��
�
�
�� �
�
�
�
�
êùî
êùî
��
�
�
�
äå m — ä³éñíå ÷èñëî, ÿêå íàçèâàþòü ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì íå÷³òêîãî ÷èñëà A
( ( ) )� m �1 ; � — äîäàòíå ä³éñíå ÷èñëî, ÿêå íàçèâàþòü ë³âîñòîðîíí³ì ðîçïîä³ëîì;
� — äîäàòíå ä³éñíå ÷èñëî, ÿêå íàçèâàþòü ïðàâîñòîðîíí³ì ðîçïîä³ëîì.
4 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
ÍÅײÒʲ ÒÐÈÊÓÒͲ ×ÈÑËÀ
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³¿
L x
x x
x x
( ) , ,
, ,
� � �
� �
�
�
�
1 0
1 0
P x
x x
x x
( ) , ,
, ,
� � �
� �
�
�
�
1 0
1 0
ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü íàâåäåí³ âèùå óìîâè. Òîìó, íàïðèêëàä, ôóíêö³þ íàëåæ-
íîñò³ íå÷³òêîãî ÷èñëà A
�A x
x x
x x
( ) , ,
, ,
� � �
� �
�
�
�
1 0
1 0
ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³
�A x
L x x
P x x
L x x
P x x
( ) ( ),
( ),
( ), ,
( ), .
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
0
Òàêå íå÷³òêå ÷èñëî º íå÷³òêèì ÷èñëîì òèïó L P� ³ ñêîðî÷åíî ìîæíà çàïèñàòè
ó âèãëÿä³
A LP� ( , , )0 1 1 .
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó íå÷³òêå ÷èñëî A ç ôóíêö³ºþ íàëåæíîñò³, ÿêà âèçíà-
÷àºòüñÿ ÷åðåç íàâåäåí³ âèùå ôóíêö³¿ L x( ) òà P x( ), ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³
A m LP� ( , , )� � .
Äåÿê³ îïåðàö³¿ íàä íå÷³òêèìè ÷èñëàìè òèïó L P� çâîäÿòüñÿ äî îïåðàö³¿ íàä
òðüîìà ïàðàìåòðàìè. Çîêðåìà, ñóìà íå÷³òêèõ ÷èñåë
A mA A A LP� ( , , )� � ³ B mB B B LP� ( , , )� �
ìຠâèãëÿä
A B m mA B A B A B LP � � � �( , , )� � � � .
×èñëî, ïðîòèëåæíå äî íå÷³òêîãî ÷èñëà
A mA A A LP� ( , , )� � ,
ìຠâèãëÿä
� � �A mA A A LP( , , )� � .
Äàë³ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè äåùî ³íøó ôîðìó ïîäàííÿ íå÷³òêèõ òðèêóò-
íèõ ÷èñåë çà äîïîìîãîþ òðüîõ ïàðàìåòð³â [6]. Íå÷³òêå ÷èñëî A a a a� ( , , )1 2 3
ó öüîìó âèïàäêó âèçíà÷àþòü ôóíêö³ºþ íàëåæíîñò³
�A x
x a
x a
a a
a x a
a x
a a
a x a
( )
, ,
, ,
, ,
�
�
�
�
� �
�
�
� �
0
0
1
1
2 1
1 2
3
3 2
2 3
, .x a�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
Îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ ³ â³äí³ìàííÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë A a a a� ( , , )1 2 3 ³
B b b b� ( , , )1 2 3 âèçíà÷àþòü ÿê
A B a b a b a b� � � � �( , , )1 1 2 2 3 3 ,
A B a b a b a b� � � � �( , , )1 3 2 2 3 1 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 5
×èñëî, ïðîòèëåæíå äî íå÷³òêîãî ÷èñëà A a a a� ( , , )1 2 3 , âèçíà÷àþòü ÿê
� � � � �A a a a( , , )3 2 1 .
Íàïðèêëàä, ðîçãëÿíåìî íå÷³òê³ ÷èñëà
A � �( , , )3 2 4 ³ B � �( , , )1 0 6
ç ä³àãðàìàìè Çàäå [4]
â³äïîâ³äíî. Òîä³ ñóìó A B çàäàþòü ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³
³äïîâ³äíî ð³çíèöÿ, çàäàíà ä³àãðàìîþ Çàäå, ìຠâèãëÿä
Òåîðåìà 2. Íå÷³òêå òðèêóòíå ÷èñëî ( , , )m LP� � äîð³âíþº íå÷³òêîìó ÷èñëó
( , , )m m m� �� � .
Äîâåäåííÿ. Òðåáà ïîêàçàòè, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³é íàëåæíîñò³ öèõ ÷èñåë
ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³ çá³ãàþòüñÿ. ijéñíî, çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³
�A x( ) íå÷³òêîãî ÷èñëà ( , , )m LP� � ó òî÷ö³ x m� äîð³âíþº
�
�
A x
x m
( ) �
�
�1.
Çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³ �A x( ) íå÷³òêîãî ÷èñëà ( , , )m LP� � ó òî÷ö³ x m�
äîð³âíþº
�
�
A x
x m
( ) � �
�
1 .
Çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³ �B x( ) íå÷³òêîãî ÷èñëà ( , , )m m m� �� � ó òî÷ö³
x m� çíàõîäèìî ³ç ñï³ââ³äíîøåííÿ
m m x m
xB
� �
�
�
�
�
�1 1( )
.
ϳñëÿ ïåðåòâîðåíü îäåðæóºìî
�
�
B x
x m
( ) �
�
�1.
Àíàëîã³÷íî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³ �B x( ) íå÷³òêîãî ÷èñëà
( , , )m m m� �� � ó òî÷ö³ x m� çíàõîäèìî ³ç ñï³ââ³äíîøåííÿ
m m x m
xB
� �
�
�
�
�
�1 1( )
.
6 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
�1 2
BA
4 6�3
�1
A B
10�4
�3
A � B
9�5
ϳñëÿ ïåðåòâîðåíü îäåðæóºìî
�
�
B x
x m
( ) � �
�
1 .
Òàêèì ÷èíîì, ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³ íå÷³òêèõ ÷èñåë íàáóâàþòü îäíàêîâèõ çíà-
÷åíü. Îòæå, òåîðåìó äîâåäåíî.
Íàñë³äîê 1. Ïðîòèëåæíèì äî íå÷³òêîãî ÷èñëà ( , , )m LP� � òèïó LP º íå÷³òêå
÷èñëî ( ( ), , ( ))� � � � �m m m� � .
Íàñë³äîê 2. Äëÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë
A mA A A LP� ( , , )� � ³ B mB B B LP� ( , , )� �
º ñïðàâåäëèì ñï³ââ³äíîøåííÿì
A B = ( , , )m mA B A B A B LP� � �� � � � =
� � � � � � � �( , , )m m m m m mA B A B A B A B A B� � � � .
Íàñë³äîê 3. Äëÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë
A mA A A LP� ( , , )� � ³ B mB B B LP� ( , , )� �
º ñïðàâåäëèì ñï³ââ³äíîøåííÿì
A B�� � ( , , )m mA B A B A B LP� � �� � � � =
� � � � � � � �( , , )m m m m m mA A B B A B A A B B� � � � .
ÊËÀÑÈ×ÍÀ ÉÌβÐͲÑÒÜ
Ðîçãëÿíåìî îñíîâí³ â³äîì³ ïîíÿòòÿ òà îçíà÷åííÿ. Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé [7] âèâ-
÷ຠéìîâ³ðíîñò³ ïîä³é — äîâ³ëüíèõ ï³äìíîæèí ïðîñòîðó åëåìåíòàðíèõ ïîä³é.
Äëÿ òîãî ùîá âèçíà÷àòè éìîâ³ðíîñò³ ïîä³é ó ïðîñòîð³ åëåìåíòàðíèõ
ïîä³é X , ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé. Öå ÷èñëîâà ôóíêö³ÿ P ,
ÿêà ïðèñâîþº ÷èñëî P (A) åëåìåíòàðí³é ïî䳿 A ïðîñòîðó X . Îáëàñòü âèçíà-
÷åííÿ ôóíêö³¿ P ðîçøèðþºòüñÿ íà ìíîæèíó 2 X , äî òîãî æ
0 1� �P ( )A , P ( )X �1.
Äëÿ âçàºìîâèêëþ÷íèõ ïîä³é A1, A2 , … (òîáòî òàêèõ, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ i j�
âèêîíóºòüñÿ A Ai j� ��)
P PA Ai
i
i
i�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
� �
1 1
� ( ) .
Òàêèì ÷èíîì, P (A) îçíà÷ຠéìîâ³ðí³ñòü ïî䳿 A, à ïðîñò³ð åëåìåíòàðíèõ
ïîä³é X — öå îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé. Äî òîãî æ
ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé ìຠòàê³ âëàñòèâîñò³:
P P P P( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B� � � � � ;
P P( ) ( )A A� �1.
Éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿. Áóäü-ÿêà íå÷³òêà ïîä³ÿ ïðåäñòàâëÿº íå÷³òêó
ìíîæèíó. Íàïðèêëàä, ïîä³ÿ «âåëèêå ÷èñëî» ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà íå÷³òêîþ
ìíîæèíîþ
B � {( , . ), ( , . ), ( , . )}6 09 5 0 7 4 05 = 0.9/6 + 0.7/5 + 0.5/4.
Îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñòåé òàêèõ ³ ïîä³áíèõ ïîä³é çàïðîïîíîâàíî â [6].
Òàê, ÿêùî A — íå÷³òêà ïîä³ÿ â ïðîñòîð³ Õ ç³ ñê³í÷åííîþ ê³ëüê³ñòþ åëåìåíò³â,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 7
òîáòî A x x xA� �{( , ( )), }� X , òî éìîâ³ðí³ñòü ö³º¿ ïî䳿 ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîð-
ìóëîþ
P P( ) ( ) ( )A x xA
x A
�
�
� � ,
äå P ( )x — éìîâ³ðí³ñòü ïî䳿 õ.
Íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿. Êîëè ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà êàæóòü,
ùî éìîâ³ðí³ñòü âèïàä³ííÿ, íàïðèêëàä, ÷èñëà 5 äîð³âíþº 1/6, òî öå îçíà÷àº, ùî íà
êîæí³ ø³ñòü ï³äêèäàíü êóáèêà ÷èñëî 5 âèïàäຠâ ñåðåäíüîìó îäèí ðàç. ²íàêøå
êàæó÷è, íå íà êîæíå ç øåñòè ï³äêèäàíü îäèí ðàç âèïàäàòèìå ÷èñëî 5. ²íîä³ ÷èñëî 5
âèïàäå, íàïðèêëàä, äâà àáî òðè ðàçè, à ³íîä³ — æîäíîãî ðàçó; àëå â ñåðåäíüîìó íà
êîæí³ ø³ñòü ï³äêèäàíü êóáèêà îäèí ðàç áóäå âèïàäàòè ÷èñëî 5. Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî
âèïàä³ííÿ ÷èñëà 5 íàçâàòè âäàëîþ ïî䳺þ, òî ÷èñëî âäàëèõ ïîä³é íà êîæí³ ø³ñòü
ï³äêèäàíü êóáèêà áóäå áëèçüêèì äî îäèíèö³. Éìîâ³ðí³ñòü âäàëî¿ ïî䳿 áóäå
áëèçüêîþ äî ÷èñëà 1/6. Öå îçíà÷àº, ùî éìîâ³ðí³ñòü òàêî¿ ïî䳿 ìîæíà îïèñàòè
íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ [8, 9]
B = {(1/6, 1), (1/3, 0.9), (1/2, 0.8), (2/3, 0.5), (5/6, 0.4)}.
Çàãàëîì íåõàé éìîâ³ðí³ñòü êîæíî¿ åëåìåíòàðíî¿ ïî䳿 õ ïðîñòîðó X
çàäàºòüñÿ íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ
B x y y yB x( ) {( , ( )), [ , ]}( )� �� 0 1 .
Ðîçãëÿíåìî íå÷³òêó ïîä³þ (ìíîæèíó) ó ïðîñòîð³ X :
A x x xA� �{( , ( )), }� X .
Òîä³ íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü ö³º¿ ïî䳿 ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîðìóëîþ
� �
�
P ( ) ( ( ) ( )A x B x
x A
A� ),
äå ³
— ñóìà ³ äîáóòîê íå÷³òêèõ ÷èñåë (âåëè÷èí) â³äïîâ³äíî.
Äëÿ ïðèêëàäó äîäàìî ³ ïåðåìíîæèìî äâà íå÷³òêèõ ÷èñëà, ùî ìàþòü âèãëÿä
A1 2 0 7 3 1 4 06� {( , . ), ( , ), ( , . )} , A2 3 08 4 1 6 0 5� {( , . ), ( , ), ( , . )}.
³äïîâ³äíî äî âèçíà÷åííÿ îäåðæèìî
A A1 2 5 0 7 08 6 0 7 1 1 0 � {( , min ( . , . )), ( , max (min ( . , ), min ( , .8 7 11))), ( , max (min ( . ) ,
min ( . , . ))), ( , max (min ( . , . ), min ( . , . ))),0 6 0 8 8 0 7 0 5 06 0 1 ( , min ( , . ))9 1 0 5 ,
( , min ( . , . ))} {( , . ), ( , . ), ( , ), ( , . ),10 06 0 5 5 0 7 6 0 8 7 1 8 06� ( , . ), ( , . )}9 0 5 10 0 5 ;
A A1 2 6 0 7 08 8 0 7 1 9 1 0
� {( , min ( . , . )), ( , min ( . , )), ( , min ( , .8)) ,
( , max (min ( . , . ), min ( , ), min ( . , . ))), ( , m12 0 7 0 5 1 1 06 0 8 16 in ( . , )), ( , min ( , . ))06 1 18 1 0 5 ,
( , min ( . , . ))} {( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , )24 06 0 5 6 0 7 8 0 7 9 0 8 12 1� , ( , . ), ( , . ), ( , . )}16 06 18 0 5 24 0 5 .
ÏÐÈÊËÀÄÈ ÇÀÄÀ× Ó ÍÅײÒÊÈÕ ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀÕ
1. Îá÷èñëèìî íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü âèïàä³ííÿ âåëèêîãî ÷èñëà ï³ä ÷àñ ï³äêèäàí-
íÿ êóáèêà, ÿêå îïèñàíî íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ A � �1 6 0 8 5/ . / çà óìîâè, ùî
éìîâ³ðí³ñòü åëåìåíòàðíî¿ ïî䳿 îïèñàíî íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ
B �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
1
6
1
1
12
0 5
1
4
0 5, , , . , , . .
Äëÿ öüîãî (â³äïîâ³äíî äî íàâåäåíî¿ âèùå ôîðìóëè) îá÷èñëþºìî äîáóòêè:
8 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
�A B( ) ( )5 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�{( . , )} , , , . , , .08 1
1
6
1
1
12
0 5
1
4
0 5
�
�
!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
2
15
1
1
15
0 5
1
5
0 5, , , . , , . ;
� A B( ) ( ) {( , )} , , , . , , .6 6 1 1
1
6
1
1
12
0 5
1
4
0 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
6
1
1
12
0 5
1
4
0 5, , , . , , .
�
�
�
�
!
.
Íàñòóïíèì êðîêîì º îá÷èñëåííÿ ñóìè:
2
15
1
1
15
05
1
5
05, , , . , , .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
1
6
1
1
12
0 5
1
4
0 5, , , . , , . =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
10
1
13
60
0 5
23
60
0 5, , , . , , . ,
7
30
0 5
3
20
0 5, . , , . ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
19
60
0 5
11
30
0 5, . , , .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ,
17
60
0 5
9
20
0 5, . , , .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
.
Îòæå, íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A � �1 6 08 5/ . / º
P � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ) , , , . , , .A
3
10
1
13
60
0 5
23
60
0 5 , , . , , . , , . , ,
7
30
0 5
3
20
0 5
19
60
0 5
11
30
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� . ,5
�
�
�
�
�
17
60
0 5
9
20
0 5, . , , .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
.
Çàçíà÷èìî, ùî éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A � �1 6 08 5/ . / º
P ( )A � " � " �
1
6
1
1
6
8
10
3
10
.
Òàêèì ÷èíîì, íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè ÿê
ìíîæèíó ÷èñåë, áëèçüêèõ äî 3/10.
Íåõàé éìîâ³ðí³ñòü åëåìåíòàðíî¿ ïî䳿 ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà çàäàíà
íå÷³òêèì òðèêóòíèì ÷èñëîì B ç ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³
Îá÷èñëèìî íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü âèïàä³ííÿ âåëèêîãî ÷èñëà ï³ä ÷àñ ï³äêèäàí-
íÿ êóáèêà, îïèñàíîãî íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ
A � �1 6 08 5/ . / .
Ó ðåçóëüòàò³ îá÷èñëåííÿ äîáóòê³â �A B( ) ( )5 5
òà �A B( ) ( )6 6
îäåðæèìî
íå÷³òê³ ÷èñëà B1 òà B2 ç ä³àãðàìàìè Çàäå ó âèãëÿä³
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 9
0 1/6 1/3
B
2 /15
B1 B2
4 /15 1 /31 /6
Òîä³ ñóìà öèõ ÷èñåë º íå÷³òêèì ÷èñëîì ç ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³
Îòæå, íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè ÿê ìíîæè-
íó ÷èñåë, áëèçüêèõ äî 3/10.
2. Ðîçãëÿíåìî îäíó ç ãîëîâíèõ ñõåì òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé — ñõåìó Áåðíóëë³.
Çã³äíî ç ö³ºþ ñõåìîþ ðîçãëÿäàþòü ïîñë³äîâí³ñòü âçàºìíî íåçàëåæíèõ âèïðîáó-
âàíü, â êîæíîìó ç ÿêèõ ìîæå íàñòàòè (àáî íå íàñòàòè) äåÿêà ïîä³ÿ A
ç éìîâ³ðí³ñòþ p, ÿêà íå çàëåæèòü â³ä íîìåðà âèïðîáóâàííÿ. Íåîáõ³äíî çíàéòè
éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñå𳿳 ç n íåçàëåæíèõ âèïðîáóâàíü k ðàç³â íàñòàíå òà n k�
ðàç³â íå íàñòàíå ïîä³ÿ A. Öþ éìîâ³ðí³ñòü îá÷èñëþþòü çà ôîðìóëîþ
P k C p pn n
k k n k( ) ( )� � �1 ,
â³äîìîþ ÿê ôîðìóëà Áåðíóëë³. Íàïðèêëàä, ùîá çíàéòè éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â
ñå𳿠ç ÷îòèðüîõ ï³äêèäàíü êóáèêà ó äâîõ âèïàäêàõ âèïàäå ÷èñëî 4, òðåáà îá-
÷èñëèòè âåëè÷èíó
P C4 4
2
2 2
2
1
6
5
6
( ) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� .
Íåõàé ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà íàñòຠàáî íå íàñòຠïîä³ÿ «âèïàä³ííÿ âå-
ëèêîãî ÷èñëà», ÿêå çàäàºòüñÿ íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ A = 1/6 + 0.8/5. Ó öüîìó âè-
ïàäêó äëÿ îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïî䳿, òîáòî òîãî, ùî â ñå𳿠ç ÷î-
òèðüîõ íåçàëåæíèõ âèïðîáóâàíü äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ A,
íåîáõ³äíî îá÷èñëèòè éìîâ³ðíîñò³ P ( )A , P ( )A òà âèêîðèñòàòè ôîðìóëó Áåð-
íóëë³, à ñàìå
P ( ) .A � " � " �1
1
6
08
1
6
3
10
.
Äëÿ îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñò³ P ( )A ñë³ä çíàéòè ïîä³þ A. Òàêà ïîä³ÿ îïè-
ñóºòüñÿ íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ
A � � � � �1 1 1 2 1 3 1 4 0 2 5/ / / / . / .
Òîìó éìîâ³ðí³ñòü ö³º¿ ïî䳿 ìîæíà îá÷èñëèòè ÿê éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A, à ñàìå
P ( ) .A � " � " � " � " � " �1
1
6
1
1
6
1
1
6
1
1
6
02
1
6
7
10
.
Çà ôîðìóëîþ Áåðíóëë³ îäåðæóºìî, ùî ó âèïàäêó íå÷³òêî¿ ïî䳿 A
P C4 4
2
2 2
2
3
10
7
10
( ) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� .
ßêùî éìîâ³ðíèñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 A çàäàíà íå÷³òêèì òðèêóòíèì ÷èñëîì B
ç ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³
òî îá÷èñëåííÿ íå÷³òêî¿ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïî䳿, òîáòî òîãî, ùî â ñå𳿠ç ÷î-
òèðüîõ ï³äêèäàíü êóáèêà äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ
A � �1 6 08 5/ . / , ìîæíà âèêîíàòè ó òàê³é ñïîñ³á.
10 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
B1 B2
3 /10 3 /5
0 1/6 1/3
B
1. Îá÷èñëþºìî äîáóòêè B BA2 1 1�
� ( ) ( ) òà B BA1 5 5�
� ( ) ( ) äëÿ ïî䳿 A:
2. Îá÷èñëþºìî ñóìó C B B�
( )4 2 1:
3. Çíàõîäèìî äîáóòêè D1
2
0
7
10
7
5
�
�
�
�
�
�, , òà D2
2
0
3
10
3
5
�
�
�
�
�
�, , :
4. Çíàõîäèìî äîáóòîê D D D3 1 26�
:
Çàçíà÷èìî, ùî äîáóòêè D1 , D2 òà D3 íå º íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè. Òîìó
íà ðèñóíêàõ â ïï. 3 òà 4 ñòîðîíè òðèêóòíèê³â ïîçíà÷åíî ïóíêòèðíèìè ë³í³ÿìè.
Òàêèì ÷èíîì, íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñå𳿠ç ÷îòèðüîõ ï³äêèäàíü êó-
áèêà äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ A � �1 6 08 5/ . / , º áëèçüêîþ äî
1323/5000.
3. Ðîçãëÿíåìî òàêó ïîñòàíîâêó çàäà÷³. Íåõàé ìàºìî ïðÿìîêóòíèê, ïîä³ëå-
íèé íà äâ³ îäíàêîâ³ ÷àñòèíè: A òà B.  ïðÿìîêóòíèêó âèïàäêîâî âèáðàíî òî÷êó.
Çíàéòè éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî öÿ òî÷êà áóäå íàëåæàòè, ñêîð³øå, ÷àñòèí³ A, í³æ
÷àñòèí³ B. ³äïîâ³äíà íàëåæí³ñòü òî÷êè îïèñóºòüñÿ íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ
D A B� �1 08/ . / .
Âðàõîâóþ÷è, ùî éìîâ³ðíîñò³ íàëåæíîñò³ òî÷êè ÷àñòèíàì A òà B äîð³âíþ-
þòü 0.5, éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïî䳿 D îá÷èñëþòü ÿê
P ( ) . . . .D � " � " �0 5 1 0 5 08 0 9.
ßêùî éìîâ³ðíîñò³ íàëåæíîñò³ òî÷êè ÷àñòèíàì A òà B îïèñàíî íå÷³òêèì òðè-
êóòíèì ÷èñëîì
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 11
1 /30
B1 B2
1 /15 1 /31 /6
C
7 /10 7 /50
49 /100 49 /25
D1
9 /100 9 /25
D2
1323 /5000
D3
1 /4 1 /2 3 /4 1
òî, ÿê ³ â ïðèêëàä³ ç ï³äêèäàííÿì êóáèêà, íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü ïî䳿 D çàäàºòü-
ñÿ ä³àãðàìîþ Çàäå ó âèãëÿä³
Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïî䳿 D çàäàíà íå÷³òêèì ÷èñëîì, áëèçüêèì äî 9/10.
Äî ö³º¿ çàäà÷³ çâîäèòüñÿ çàäà÷à ïðî â³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè íà ïðÿì³é. Íåõàé
íà ïðÿì³é äîâæèíîþ 5 âèïàäêîâî âèáèðàþòü äâ³ òî÷êè: x òà y . Ïîòð³áíî çíàéòè
éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â³äñòàíü ì³æ íèìè áóäå ìàëîþ. Ìàëó â³äñòàíü ìîæíà îïè-
ñàòè íå÷³òêîþ âåëè÷èíîþ
D x y x y� � � � � � �1 1 08 1 2/ (| | ) . / ( | | ) .
Äëÿ çíàõîäæåííÿ ö³º¿ éìîâ³ðíîñò³ ïîòð³áíî çíàéòè éìîâ³ðíîñò³ íàëåæíîñò³
âèïàäêîâî¿ òî÷êè ( , )x y ÷àñòèí³ ïðÿìîêóòíèêà, ÿêà çàäàºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì
| |x y� � 1, òà ÷àñòèí³ ïðÿìîêóòíèêà, ÿêà çàäàºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì 1 2� � �| |x y .
Éäåòüñÿ ïðî ïðÿìîêóòíèê ç äîâæèíîþ ñòîðîíè 5. Òàêèì ÷èíîì, òðåáà îá÷èñëèòè
ïëîù³ òàêèõ ô³ãóð:
Ìàºìî S1
9
25
� , 2
7
25
2S � . Òîìó éìîâ³ðí³ñòü ïî䳿 D äîð³âíþº
P ( )D � � " �
9
25
8
10
7
25
73
125
.
 àíàëîã³÷íèé ñïîñ³á îá÷èñëþþòü íå÷³òê³ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïî䳿 D , ÿêùî,
íàïðèêëàä, éìîâ³ðí³ñòü íàëåæíîñò³ âèïàäêîâî¿ òî÷êè ( , )x y ÷àñòèí³ êâàäðàòà
ïëîùåþ S1 çàäàíà íå÷³òêèì òðèêóòíèì ÷èñëîì
S
S
S
S
S
S
1 1 11
4
1
4
� �
�
�
�
�
�, , .
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Çàïðîïîíîâàíèé ï³äõ³ä äî îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é ìîæíà óçà-
ãàëüíèòè íà âèïàäîê ïîä³é, éìîâ³ðíîñò³ ÿêèõ çàäàíî íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñ-
ëàìè. Ïðè öüîìó óçàãàëüíåííÿ ïîòðåáóº ³ ôîðìóëà äëÿ îá÷èñëåííÿ íå÷³òêî¿
éìîâ³ðíîñò³. Äî òîãî æ â óñ³õ íàâåäåíèõ ïðèêëàäàõ íå÷³òêà éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿
ïî䳿 º áëèçüêîþ äî éìîâ³ðíîñò³ ö³º¿ ïî䳿. Öå îçíà÷àº, ùî çàïðîïîíîâàíå óçà-
ãàëüíåííÿ º äîö³ëüíèì ³ éîãî ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ïðàêòè÷-
íèõ çàäà÷ ó ñåðåäîâèùàõ, ÿê³ ï³äòðèìóþòü íå÷³òêó àðèôìåòèêó.
12 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2
9/20 9 /10 27 /20
P (D )
S2
S2
S1
0 1 5
1
2
5
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Ïðîâîòàð Î.²., Ïðîâîòàð Î.Î. Äîñòîâ³ðí³ñòü â íå÷³òêèõ ñèñòåìàõ ëîã³÷íîãî âèâåäåííÿ. Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2017. Ò. 54, ¹ 6. Ñ. 54–63.
2. Ïðîâîòàð Î.²., Ïðîâîòàð Î.Î. Äî ïèòàííÿ ïðî ³íòåðïðåòàö³þ ìîæëèâîñò³. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2016. Ò. 53, ¹ 6. Ñ. 3–11.
3. Ðóòêîâñêàÿ Ä., Ïèëèíüñêèé Ì., Ðóòêîâñêèé Ë. Íåéðîííûå ñåòè, ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû è íå÷åòêèå
ñèñòåìû. Ìîñêâà: Òåëåêîì, 2006. 382 ñ.
4. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. 1965. Vol. 8, N 3. P. 338–353.
5. Rutkowski L. Metody i techniki sztucznej inteligencji [in Polish]. Warszawa: Wydawnictwo Naukove PWN,
2009. 452 s.
6. Ïðîâîòàð Î.Î. Àðèôìåòèêà íå÷³òêèõ ÷èñåë. Êîìï’þòåðíà ìàòåìàòèêà. 2017. ¹ 2. Ñ. 72–77.
7. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ìîñêâà: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2005. 448 ñ.
8. Ïðîâîòàð À.È., Ëàïêî À.Â. Î íåêîòîðûõ ïîäõîäàõ ê âû÷èñëåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé. Ïðîáëåìè ïðî-
ãðàìóâàííÿ. 2010. ¹ 2–3. Ñ. 22–27.
9. Buckley J.J. Fuzzy probabilities. Heidelberg: Physica-Verlag, 2003. 162 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 01.04.2019
À.È. Ïðîâîòàð, À.À. Ïðîâîòàð
ÍÅ×ÅÒÊÈÅ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ÑÎÁÛÒÈÉ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ïîäõîä ê íàõîæäåíèþ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê
íå÷åòêèõ ñîáûòèé. Âåðîÿòíîñòè îïèñûâàþòñÿ íå÷åòêèìè òðåóãîëüíûìè ÷èñ-
ëàìè, êîòîðûå ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü òåì èëè èíûì óñëîâèÿì. Ðàññìîòðåíû
ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ íå÷åòêèõ âåðîÿòíîñòåé íå÷åòêèõ ñîáûòèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, íå÷åòêèå òðåóãîëüíûå ÷èñëà, âåðî-
ÿòíîñòü íå÷åòêîãî ñîáûòèÿ, íå÷åòêàÿ âåðîÿòíîñòü íå÷åòêîãî ñîáûòèÿ.
O.I. Provotar, O.O. Provotar
FUZZY PROBABILITIES OF FUZZY EVENTS
Abstract. An approach to finding the probabilistic characteristics of fuzzy events
is proposed. Herewith the probabilities are described by fuzzy triangular
numbers that can satisfy one or another condition. Examples of calculating the
fuzzy probabilities of fuzzy events are considered.
Keywords: fuzzy sets, triangular fuzzy numbers, probability of a fuzzy event,
fuzzy probability of a fuzzy event.
Ïðîâîòàð Îëåêñàíäð ²âàíîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà,
e-mail: aprowata1@bigmir.net.
Ïðîâîòàð Îëåêñàíäð Îëåêñàíäðîâè÷,
àñï³ðàíò Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà,
e-mail: aprovata@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 2 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190355 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:47:52Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Провотар, О.І. Провотар, О.О. 2023-06-03T12:09:26Z 2023-06-03T12:09:26Z 2020 Нечіткі ймовірності нечітких подій / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 3–13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190355 681.3 Запропоновано підхід до знаходження ймовірнісних характеристик нечітких подій. Ймовірності описано нечіткими трикутними числами, які можуть задовольняти тим чи іншим умовам. Розглянуто приклади обчислення нечітких ймовірностей нечітких подій. Предложен подход к нахождению вероятностных характеристик нечетких событий. Вероятности описываются нечеткими треугольными числами, которые могут удовлетворять тем или иным условиям. Рассмотрены примеры вычисления нечетких вероятностей нечетких событий. An approach to finding the probabilistic characteristics of fuzzy events is proposed. Herewith the probabilities are described by fuzzy triangular numbers that can satisfy one or another condition. Examples of calculating the fuzzy probabilities of fuzzy events are considered. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кібернетика Нечіткі ймовірності нечітких подій Нечеткие вероятности нечетких событий Fuzzy probabilities of fuzzy events Article published earlier |
| spellingShingle | Нечіткі ймовірності нечітких подій Провотар, О.І. Провотар, О.О. Кібернетика |
| title | Нечіткі ймовірності нечітких подій |
| title_alt | Нечеткие вероятности нечетких событий Fuzzy probabilities of fuzzy events |
| title_full | Нечіткі ймовірності нечітких подій |
| title_fullStr | Нечіткі ймовірності нечітких подій |
| title_full_unstemmed | Нечіткі ймовірності нечітких подій |
| title_short | Нечіткі ймовірності нечітких подій |
| title_sort | нечіткі ймовірності нечітких подій |
| topic | Кібернетика |
| topic_facet | Кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190355 |
| work_keys_str_mv | AT provotaroí nečítkíimovírnostínečítkihpodíi AT provotaroo nečítkíimovírnostínečítkihpodíi AT provotaroí nečetkieveroâtnostinečetkihsobytii AT provotaroo nečetkieveroâtnostinečetkihsobytii AT provotaroí fuzzyprobabilitiesoffuzzyevents AT provotaroo fuzzyprobabilitiesoffuzzyevents |