Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами
Рассмотрена проблема математической интерпретации экспериментальных данных в системах с распределенными параметрами с использованием модели, которая предполагается адекватной исследуемым объектам. Для линейных систем на основе функций Грина разработаны теоретические основы, позволяющие осуществлять...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2020 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190376 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 17–29. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268094514003968 |
|---|---|
| author | Губарев, В.Ф. |
| author_facet | Губарев, В.Ф. |
| citation_txt | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 17–29. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрена проблема математической интерпретации экспериментальных данных в системах с распределенными параметрами с использованием модели, которая предполагается адекватной исследуемым объектам. Для линейных систем на основе функций Грина разработаны теоретические основы, позволяющие осуществлять постановку разнообразных обратных задач, к которым сводится проблема интерпретации. Рекомендованы и описаны процедуры регуляризации, позволяющие находить приближенные решения, согласованные по точности с погрешностями данных. Важная роль отводится представлению класса моделей в виде разложений, асимптотически приближающихся к точному описанию. Приведены конструктивные алгоритмы решения задач интерпретации.
Розглянуто проблему математичної інтерпретації експериментальних даних у системах з розподіленими параметрами з використанням моделі, яку вважають адекватною досліджуваним об'єктам. Для лінійних систем на базі функцій Гріна розроблено теоретичні основи, що дають змогу здійснювати постановку різноманітних обернених задач, до яких зводиться проблема інтерпретації. Рекомендовано і описано процедури регуляризації, що уможливлюють пошук наближених розв'язків, узгоджених за точністю з похибками даних. Важливе значення має представлення класу моделей у вигляді розкладань, що асимптотично наближуються до точного опису. Наведено конструктивні алгоритми розвэязання задач інтерпретації.
The problem of mathematical interpretation of experimental data is considered for distributed parameter system with the use of models supposed to be adequate to the objects under study. For linear systems, on the basis of Green functions, theoretical foundations are developed, which allow setting different inverse problems associated with the interpretation problem. Many of them are treated as ill-posed. So, regularized procedures that make it possible to find approximate solutiond consistent with errors in available data are recommended and described. In this connection, representation of the model class in the form of expansions that asymptotically approach the exact description is important. Constructive algorithms to solve interpretation problem are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Â.Ô. ÃÓÁÀÐÅÂ
ÓÄÊ 519.7 ÏÐÎÁËÅÌÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈÈ ÄÀÍÍÛÕ.
II. ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ
ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ1
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ äàííûõ â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ìîäåëè, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ àäåêâàòíîé èññëåäóåìûì îáúåêòàì.
Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì íà îñíîâå ôóíêöèé Ãðèíà ðàçðàáîòàíû òåîðåòè÷åñêèå
îñíîâû, ïîçâîëÿþùèå îñóùåñòâëÿòü ïîñòàíîâêó ðàçíîîáðàçíûõ îáðàòíûõ çà-
äà÷, ê êîòîðûì ñâîäèòñÿ ïðîáëåìà èíòåðïðåòàöèè. Ðåêîìåíäîâàíû è îïèñàíû
ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ,
ñîãëàñîâàííûå ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòÿìè äàííûõ. Âàæíàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ
ïðåäñòàâëåíèþ êëàññà ìîäåëåé â âèäå ðàçëîæåíèé, àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëè-
æàþùèõñÿ ê òî÷íîìó îïèñàíèþ. Ïðèâåäåíû êîíñòðóêòèâíûå àëãîðèòìû ðå-
øåíèÿ çàäà÷ èíòåðïðåòàöèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè, àññèìèëÿöèÿ äàííûõ, îáðàòíûå
çàäà÷è, ðàñïðåäåëåííûå ñèñòåìû, ðåãóëÿðèçàöèÿ, èäåíòèôèêàöèÿ, àñèìïòî-
òè÷åñêèå ìîäåëè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè äàííûõ äëÿ ñèñòåì ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè
ïàðàìåòðàìè ðàññìîòðåíû â [1]. Îäíàêî íàèáîëåå âàæíû è âîñòðåáîâàíû çàäà÷è
ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè äàííûõ ïðè èññëåäîâàíèÿõ ñèñòåì ñ ðàñïðåäå-
ëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ïðîâåñòè äîñêîíàëüíûå èçìåðåíèÿ íà òàêèõ îáúåêòàõ
ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî. Êîëè÷åñòâî èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ â íèõ âñåãäà
áóäåò êîíå÷íûì, è ïî íèì òðóäíî ñóäèòü î âñåõ îñîáåííîñòÿõ ïðîñòðàíñòâåí-
íî-âðåìåííîé ñòðóêòóðû ïðîòåêàþùèõ ïðîöåññîâ. Àïðèîðíîå çíàíèå èëè ïðåä-
ïîëîæåíèå îá àäåêâàòíîñòè èõ íåêîòîðîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó îïèñàíèþ, óñòà-
íàâëèâàþùåìó æåñòêèå ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ïîçâîëÿ-
åò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îáúÿñíÿòü ïîâåäåíèå è ïðàêòè÷åñêè âàæíûå ñâîéñòâà
òàêèõ ñèñòåì ÷åðåç ðåøåíèÿ çàäà÷ èíòåðïðåòàöèè. Ïðè ýòîì ñëåäóåò âûáðàòü
òàêóþ ôîðìó ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëè, êîòîðàÿ áû äîïóñêàëà êîíñòðóêòèâíîå ðå-
øåíèå. Çäåñü âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ïðåäñòàâëåíèå åå â âèäå ðàçëîæåíèé,
àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþùèõñÿ ê òî÷íîìó îïèñàíèþ, ÷òî ïîçâîëÿåò ôîðìè-
ðîâàòü àïïðîêñèìèðóþùèå ìîäåëè ëþáîé òî÷íîñòè. Òîãäà ïîäáîðîì ïîäõîäÿ-
ùåãî àïïðîêñèìèðóþùåãî îïèñàíèÿ ìîæíî ñîãëàñîâûâàòü ìîäåëü ñ èìåþùèìè-
ñÿ äàííûìè òàê, ÷òîáû ïîëó÷àòü ìàòåìàòè÷åñêîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çà-
äà÷è. Äðóãèìè ñëîâàìè, â çàäà÷àõ èíòåðïðåòàöèè äàííûå èììàíåíòíî çàäàíû,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 17
1
Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî â ¹ 2, ò. 55, 2019.
© Â.Ô. Ãóáàðåâ, 2020
à ìîäåëü â àïïðîêñèìèðóþùåé ôîðìå àäàïòèðóåòñÿ ê íèì, îáåñïå÷èâàÿ åå ðàç-
ðåøèìîñòü. Èìåííî ïîýòîìó òàêèå íåêëàññè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è òðàê-
òóþòñÿ êàê çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè. Ïî ñóòè îíè â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îòíîñÿò-
ñÿ ê êëàññó òàê íàçûâàåìûõ îáðàòíûõ çàäà÷.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíî àäàïòèðîâàíèå ðàçëè÷íûõ ñèñòåì ñ ðàñïðå-
äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ê èìåþùèìñÿ äàííûì.
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÌÈ ÄÀÍÍÛÌÈ
Ôóíêöèîíàëüíî-àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå ñèñòåì. Íàèáîëåå òèïè÷íûì â ðå-
àëüíûõ ñèòóàöèÿõ ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íîìåðíîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå è ëîêàëüíûå
èçìåðåíèÿ, îñóùåñòâëÿåìûå â îïðåäåëåííûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ òî÷êàõ. Êðîìå
ëîêàëüíûõ äîïóñêàþòñÿ èíòåãðàëüíûå èçìåðåíèÿ êàê íà íåêîòîðûõ ïîäîáëàñòÿõ
îáúåêòà, òàê è íà ìíîãîîáðàçèÿõ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, íàïðèìåð íà ëèíèÿõ,
ïîâåðõíîñòÿõ è ò.ä. Äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ òàêèìè èñõîäíûìè äàííûìè ìîæ-
íî èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòèçèðîâàííîå îïèñàíèå íà îñíîâå ôóíêöèé Ãðèíà, êî-
òîðûå òàêæå íàçûâàþò ôóíêöèÿìè âëèÿíèÿ èëè ôóíêöèÿìè èñòî÷íèêà. Îáùóþ
ëèíåéíóþ ñèñòåìó, ðàññìàòðèâàåìóþ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ïðåäñòàâèì
ìîäåëüþ â îïåðàòîðíîé ôîðìå
L D w z t f z t( ) ( , ) ( , )� (1)
ñ íà÷àëüíûì
l D w z t w z0 0 0( ) ( , ) ( )� , z G� , (2)
è êðàåâûì
l D w z t f z t� �( ) ( , ) ( , )� , z G�� , t t T�[ , ]0 (3)
óñëîâèÿìè, ãäå [ , ]t T0 — âðåìåííîé èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ; w z t( , ) — ðàñïðå-
äåëåííîå â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò íàáëþäåíèÿ; D —
îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ; �G — ãðàíèöà îáëàñòè G . Äëÿ óïðîùåíèÿ èç-
ëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû îãðàíè÷èìñÿ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì, êîãäà
w z t( , ) ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîëåì, ò.å. ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé. Ñîãëàñíî [2] ìî-
äåëü â ôîðìå (1)–(3) ýêâèâàëåíòíà îäíîðîäíîìó îïèñàíèþ â âèäå
L D w z t f z t( ) ( , )
~
( , )� ,
l D w z t0 0 0( ) ( , ) � , (4)
l D w z t z t t TG� �( ) ( , ) , , [ , ]� � �0 0 ,
ãäå
~
( , )f z t — ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ îáîá-
ùåííîé è ôîðìèðóåòñÿ èç ôóíêöèé f , w0 , f � , ïðè ýòîì ïðåäñòàâëåíèå
~
f ÷åðåç
ýòè ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.  îáùåì ñëó÷àå
~
f ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå àääèòèâíîé ñóììû f , w0 è f � ñ êîýôôèöèåíòàìè â âèäå îáû÷íîé
�-ôóíêöèè èëè åå àíàëîãîì â âèäå îáîáùåííîé ôóíêöèè ïðîñòîãî èëè äâîéíî-
ãî ñëîÿ. Íàïðèìåð, äëÿ êðàåâîé çàäà÷è Êîøè ñ îäíîìåðíûì ïî ïðîñòðàíñòâó
ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì îíà èìååò âèä
~
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f z t f z t w z t a z f t a ' l z f� � � � �0
2 2
1 2
� � �� � ( )t ,
ãäå z l�[ , ]0 ; f t�1
( ) è f t�2
( ) — èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ w ñîîòâåòñòâåííî íà ëåâîì
è íà ïðàâîì êîíöàõ èíòåðâàëà. Çäåñü íåò íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü ôóíê-
öèè ïðîñòîãî èëè äâîéíîãî ñëîÿ.
18 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Åñëè â (4) ïîëîæèòü
~
( , ) ( ) ( )f z t z t� � � �� � � � , z G, � � , t t T�[ , ]0 ,
òî åå ðåøåíèåì áóäåò ôóíêöèÿ ÷åòûðåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ h z t( , , , )� � ,
êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà. Ïðåèìóùåñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ åå ïî-
ìîùüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòàíäàðòèçèðóþùåé ôóíêöèè ðåøåíèå çàäà÷è (4) çà-
ïèøåòñÿ êàê
w z t h z t f z d
Gt
t
( , ) ( , , , )
~
( , )� ��� � � � �
0
, (5)
÷òî ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíî ðåøåíèþ çàäà÷è (1)–(3).
Åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, òî h ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôóíêöè-
åé òðåõ ïåðåìåííûõ:
h h z t� �( , , )� � .
Äëÿ íåçàâèñèìûõ îò âðåìåíè ïðîöåññîâ ôóíêöèÿ Ãðèíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê
h h z� ( , )� ,
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî (5) êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ñîäåðæèò ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî-
÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ò.å. â h îòñóòñòâóåò çàâèñèìîñòü îò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïå-
ðåìåííûõ è îñòàåòñÿ çàâèñèìîñòü òîëüêî îò âðåìåííûõ ïåðåìåííûõ ( , )t � .
Äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì h h t� �( )� ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îäíîé ïåðåìåííîé è (5)
ïðèíèìàåò âèä ôîðìóëû Êîøè [3], â êîòîðîé h åñòü ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ èëè ïå-
ðåõîäíàÿ ìàòðèöà â ñëó÷àå ìíîãîñâÿçíûõ ñèñòåì. Èìåííî â ýòîì ñîñòîèò óíèâåð-
ñàëüíîñòü îïèñàíèÿ (5).
Èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà. Â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè âîç-
ìîæíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû ïîëó÷åíèÿ äàííûõ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿ-
þòñÿ ïðÿìûå òî÷å÷íûå èçìåðåíèÿ y t y t y tM1 2( ), ( ), , ( )� , êîòîðûå îñóùåñòâëÿþòñÿ
ëîêàëüíî ðàñïîëîæåííûìè â îáëàñòè G äàò÷èêàìè, ò.å. y t w z tm m( ) ( )� , m M�1, ,
ãäå z Gm � . Êðîìå ëîêàëüíûõ ìîãóò îñóùåñòâëÿòüñÿ èíòåãðàëüíûå èçìåðåíèÿ, ïðè
êîòîðûõ
y z w z t dzm m
Gm
� �� ( ) ( , ) ,
ãäå m — âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â îáëàñòè G Gm
. Èíòåãðàëüíûå èç-
ìåðåíèÿ ìîãóò ïðîâîäèòüñÿ íà ìíîãîîáðàçèÿõ, èìåþùèõ ìåíüøóþ ðàçìåðíîñòü,
÷åì â îáëàñòè G . Òîãäà ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòèçèðóþùåé âåñîâîé ôóíêöèè
~
m
âñå íàçâàííûå èçìåðåíèÿ, â òîì ÷èñëå ëîêàëüíûå, ñâîäÿòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ
y t z w z t dzm m
G
( )
~
( ) ( , )� �� , m M�1, , (6)
ãäå åäèíîîáðàçíî ïðåäñòàâëåíû âñå èçìåðåíèÿ, îñóùåñòâëÿåìûå ðàçëè÷íûìè
ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, äëÿ ëîêàëüíîãî èçìåðåíèÿ â òî÷êå zm èìååì
~
( ) ( ) m mz z z� �� .
Âõîäíûå âîçäåéñòâèÿ. Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ âíåø-
íèõ âîçäåéñòâèé íà ñèñòåìó, êîòîðûå ìîãóò áûòü îáúåìíûìè, ãðàíè÷íûìè èëè ëî-
êàëüíûìè êàê íà ãðàíèöå, òàê è âíóòðè îáëàñòè, â òîì ÷èñëå íà ëîêàëüíûõ ìíîãîîá-
ðàçèÿõ. Ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòèçèðóþùåé ôóíêöèè
~
( , )f z tr âñå îíè ìîãóò áûòü ïðè-
âåäåíû ê åäèíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, âêëþ÷àÿ íà÷àëüíûå è êðàåâûå óñëîâèÿ, à òàêæå
äðóãèå âõîäíûå âîçäåéñòâèÿ. Åñëè ÷èñëî òàêèõ íåçàâèñèìûõ âõîäîâ R , òî ñ èñïîëü-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 19
çîâàíèåì ñòàíäàðòèçèðóþùèõ ôóíêöèé
~
( , )f z t â (4) áóäåò èìåòü âèä
~
( , ) ( )
~
( )f z t u t f zr
r
R
r� �
�
�
1
, (7)
ãäå u tr ( ) — âíåøíåå ñîñðåäîòî÷åííîå âîçäåéñòâèå íà êàæäîì îòäåëüíîì âõîäå.
 ðåçóëüòàòå äëÿ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âõîäîâ è âûõî-
äîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñ ïîìîùüþ (6) è (7), ìîæíî ïåðåéòè ê ñîîòíîøåíèÿì
âõîä–âûõîä, êîòîðûå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê êëàññ ìîäåëåé íàáëþäàåìûõ
ñèñòåì îáùåãî âèäà:
y t h t u dm
r
R
t
t
mr r( ) ( , ) ( )�
�
� �
1
0
� � �, m M�1, , (8)
ãäå h t z dz h z t f dmr m
G
r
G
( , )
~
( ) ( , , , )
~
( )� � � � �� �� � .
Åñëè â (8) èñïîëüçîâàòü âåêòîðíî-ìàòðè÷íóþ ôîðìó, òî ïîëó÷èì
y t H t u d
t
t
( ) ( , ) ( )� � � � �
0
, (9)
ãäå y t( ) — âåêòîð âûõîäà ðàçìåðíîñòè M ; u( )� — âåêòîð âõîäà ðàçìåðíîñòè R;
H t( , )� — ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè h tmr ( , )� . Â îáùåì
ñëó÷àå îíè ÿâëÿþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè.
ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ÄÀÍÍÛÕ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÉ ÂÕÎÄ–ÂÛÕÎÄ
Ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå (8) ïîçâîëÿåò ïî äàííûì èçìåðåíèé, îñóùå-
ñòâëÿåìûõ ñîãëàñíî (6), è âõîäíûõ âîçäåéñòâèé, îïðåäåëÿåìûõ (7), íàõîäèòü íåèç-
âåñòíûå îáúåìíîå âîçäåéñòâèå f , íà÷àëüíîå óñëîâèå w0 , ãðàíè÷íîå óñëîâèå f � .
Áîëåå òîãî, íå èñêëþ÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü íàõîäèòü ïî äàííûì èçìåðåíèé è ñî-
ñðåäîòî÷åííûõ âîçäåéñòâèé èõ ëþáûå êîìáèíàöèè.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âîçäåéñòâèÿ ïî
îáúåìó èëè ãðàíèöå (ãðàíè÷íîå óïðàâëåíèå) ïðè èçâåñòíûõ èçìåðåíèÿõ è âíåø-
íèõ ñîñðåäîòî÷åííûõ âîçáóæäåíèÿõ ñèñòåìû, ò.å. îïðåäåëåíèå ôóíêöèè
~
( )f zr
â (7) ïî u tr ( ), r R�1, , y tm ( ), m M�1, . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ èí-
òåãðèðóåìûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé ïîëîæåíèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ G .
Ïóñòü { }� �1 2( ), ( ),z z � — íåêîòîðàÿ ïîëíàÿ (îðòîíîðìèðîâàííàÿ) ñèñòåìà ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé íà ýòîì ìíîæåñòâå. Òîãäà êàæäóþ íåèçâåñòíóþ
ôóíêöèþ
~
f r , âõîäÿùóþ â (7), ïðåäñòàâèì ðàçëîæåíèåì
~
( )f b zr rj j
j
�
�
�
� �
1
, j R�1 1, , R R1
. (10)
Ïîäñòàâëÿÿ (10) â (8), ïîëó÷àåì
h t b y tmrj rj m
j
N
r
R r
( ) ( )� � �
��
��
11
1
, m M�1, , (11)
20 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
ãäå
h t u d h z t z dzdmrj r m j
GGt
t
( ) ( ) ( , , , )
~
( ) ( )� ��� � � � � � � �
0
,
y t y t h t u dm m mr
t
t
r
r R
R
�
� �
� � ���( ) ( ) ( , ) ( )� � �
01 1
.
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (11) êðîìå èçìåðåííîãî âûõîäà ñîäåðæèò âñå èç-
âåñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ êàê ãðàíè÷íîãî, òàê è îáúåìíîãî.
Èç óðàâíåíèÿ (11) ìîæíî íàéòè êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ brj ñîîòâåòñòâóþùåé
çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàë
J b h t b y t h t b y t dtm m m m
t
T
m
M
0
1
0
( ) ( ) ( ), ( ) ( )� � � � ���
�
, (12)
ãäå b — âåêòîð ðàçìåðíîñòè N r
r
R
�
�
1
1
, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ brj , à hm ,
m M�1, , — ñåìåéñòâî âåêòîðîâ òîé æå ðàçìåðíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîì-
ïîíåíòàìè hmrj . Âûðàæåíèå (12) çàïèøåì â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå:
J b H t b y t H t b y t dtf f
t
T
0
0
( ) ( ) ( ), ( ) ( )� � � � �� , (13)
ãäå H f — ìàòðèöà, â êîòîðîé âåêòîðû h tm ( ) ÿâëÿþòñÿ ñòðîêàìè. Òîãäà íåîá-
õîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìèíèìóìà ýòîãî ôóíêöèîíàëà
ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîìó óðàâíåíèþ Ýéëåðà â âèäå ñëåäóþùåãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ:
Hb y� , (14)
ãäå H H t H t dt
f
t
T
f� �
T
0
( ) ( ) , y H t y t dt
f
t
T
� �
T
0
( ) ( ) , T — îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ
ìàòðèöû, à èíòåãðèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîýëåìåíòíî êàê äëÿ ìàòðèöû, òàê
è âåêòîðà.
 òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à (14) ðàçðåøèìà, åñëè N N Mr
r
R
� �
�
�
1
1
. Ïðè ýòîì
íåâÿçêà âûïîëíåíèÿ (11) âî âñåõ òî÷êàõ t èíòåðâàëà [ , ]0 T ìîæåò îêàçàòüñÿ íåïðè-
åìëåìîé â ñèëó ïëîõîé àïïðîêñèìàöèè
~
f r óñå÷åííûì ðÿäîì, ò.å. ïðè ìàëûõ N r .
×òîáû çàäà÷à áûëà ðàçðåøèìîé ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ N r ( r R�1 1, ), èçìåíèì
åå ïîñòàíîâêó. Äëÿ ýòîãî íà èíòåðâàëå [ , ]0 T âûáåðåì NT òî÷åê è ôóíêöèî-
íàë (12) çàìåíèì ôóíêöèîíàëîì
J h t b y t h t b y t dtm m m m
t
t
j
N
m
M j
T
1
11
0
� � � � ����
��
( ) ( ), ( ) ( ) . (15)
Çäåñü öåëåñîîáðàçíî ïðèíÿòü t TNT
� . Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ (15) â èòîãå ïðèìóò
âèä (14). Ïðè N N MT� � � èìååì ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó, äëÿ ðåøåíèÿ êî-
òîðîé ìîæíî ïðèìåíèòü îáû÷íûé èëè îáîáùåííûé ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
(ÌÍÊ). Óâåëè÷èâàÿ NT , ìîæíî çàäàòü áîëüøåå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ (10).
Îäíàêî ñ óâåëè÷åíèåì N � âîçðàñòàåò îáóñëîâëåííîñòü ìàòðèöû H . Ïîýòîìó ñëå-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 21
äóåò íàõîäèòü ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå (14), ñîîòâåòñòâóþùåå òàêîìó çíà÷å-
íèþ N � , ïðè êîòîðîì íåâÿçêà âûïîëíåíèÿ (11) äëÿ íàèõóäøåãî çíà÷åíèÿ t ñòà-
íîâèòñÿ áëèçêîé èëè ðàâíîé îãðàíè÷åíèþ íà ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ.  ýòîì
ñëó÷àå N � ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ðåãóëÿðèçàöèè [4].
Ðåøàòü çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè íà îñíîâå (15) ìîæíî òàêæå â ñëó÷àå, êîãäà
âìåñòî íåïðåðûâíûõ èìååì äèñêðåòíûå èçìåðåíèÿ, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ } { }y y tj j� ( ) , j NT�1, . Ïðè íåîáõîäèìîñòè ñëåäóåò íàõîäèòü ðåãóëÿðèçèðîâàí-
íîå ðåøåíèå, ÷òîáû íå äîïóñêàòü áîëüøîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ ê
ïîãðåøíîñòÿì èñõîäíûõ äàííûõ.
Îïèñàííûé ïîäõîä ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé, êîãäà ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ
ôóíêöèÿ
~
( , )f z t êðîìå îáúåìíîãî è ãðàíè÷íîãî âîçäåéñòâèÿ íà ñèñòåìó èìååò íå-
èçâåñòíîå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå w z0 ( ). Ïóñòü
~
( , )f z t0 — àääèòèâíîå ñëàãàåìîå,
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ñèãíàëó îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ:
~
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )f z t t t w z t t b zj
j
j0 0 0 0 0
1
� � � � �
�
�
�� � � , (16)
ãäå b j0 — êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ w z0 ( ) ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì.
Ïîäñòàâèâ (16) â (8), ïîëó÷èì
y t h t t bm mj
j
N
j
�
�
� ��( ) ( , )
1
0 0
0
, (17)
ãäå N 0 îïðåäåëÿåò êîíå÷íîìåðíóþ àïïðîêñèìàöèþ w0 ;
y t y t h t u dm m mr r
t
t
j
R
��
�
� � ���( ) ( ) ( , ) ( )� � �
0
1
;
h t t h z t t z dzdmj m j
GG
( , ) ( , , , )
~
( ) ( )0 0� �� � � � � .
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (17) àíàëîãè÷íà ñèñòåìå (11) è ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíà äëÿ íàõîæäåíèÿ b j0 . Äëÿ ýòîãî â çàâèñèìîñòè îò N 0 ôîðìèðóåòñÿ
ôóíêöèîíàë (12) èëè (15) è óñòàíàâëèâàþòñÿ íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëî-
âèÿ îïòèìàëüíîñòè, êîòîðûå êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ ïðèìóò âèä (14). Ïðè
ðåøåíèè (14) ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü óêàçàííóþ èòåðàòèâíóþ ñõåìó, ÷òîáû ïîëó-
÷èòü ñîãëàñîâàííóþ ñ ïîãðåøíîñòüþ äàííûõ àïïðîêñèìàöèþ íà÷àëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ w z0 ( ).
Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé, êîãäà íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ
~
( , )f z t ,
m z( ) è íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå w z0 ( ). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèÿ-
ìè (10) äëÿ
~
f r è (16) äëÿ w0 è ïî àíàëîãèè ñ íèìè çàäàäèì
~
( ) ( ) m mj
j
N
jz c z
m
�
�
�
1
� . (18)
Ïðè ýòîì ôóíêöèþ Ãðèíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëüþ èññëåäóåìîé ñèñòåìû, ñ÷èòàåì èçâåñòíîé. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì
ñòàöèîíàðíîñòü ëèíåéíîé ñèñòåìû, ò.å. âñå ïàðàìåòðû ìîäåëè íå çàâèñÿò îò
âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ Ãðèíà çàïèøåì êàê h t z( , , )� � � . Ïîäñòàâëÿÿ
(10), (17), (18) â (8), ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:
y t h t t b f h tm mj j
t
t
mrij
j
N
i
N
ji
r
mr
( ) ( ) ( )� � � �� � ��
��
0 0
11
0
�
�
�
1
R
ru d( )� �, m M�1, , (19)
22 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
ãäå ïàðàìåòð h t tmj ( )� 0 ïðèâåäåí â (17), f c bmrij mj ri� ,
h t z dz h t z dji j
G
i
G
( ) ( ) ( , , ) ( )� � �� �� � � � � � �.
Ïî èçâåñòíîé ëîêàëüíîé ìîäåëè è îïðåäåëåííîì ÷èñëå èçìåðåíèé ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óðàâíåíèÿ (19) ìîæíî íàéòè êîýôôèöèåíòû b j0 è f mrij . Ñëåäóåò çàìå-
òèòü, ÷òî ïàðàìåòðû f mrij ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ñèñòåìû. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé êîýôôèöèåíòîâ cmj è bri , óäîâëåòâîðÿ-
þùèõ (19). Íåêîòîðûå èç ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ìîãóò çàäàâàòüñÿ ïðîèçâîëü-
íî, íàïðèìåð cmj ; òîãäà äðóãèå îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî, â äàííîì ñëó÷àå
ýòî bri . Îäíàêî ïðè èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ
~
( ) m z èëè
~
( )f z òàêàÿ íååäèí-
ñòâåííîñòü èñ÷åçàåò.
Èç (19) êàê ÷àñòíûå ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ðàññìîòðåííûå ðàíåå ñëó÷àè. Áîëåå
òîãî, ñ èñïîëüçîâàíèåì (19) ìîæíî ðåøèòü è äðóãèå çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè.  ÷àñò-
íîñòè, ïðè èçâåñòíûõ h t z( , , )� � � , w z0 ( ),
~
( )f z ,
~
( ) m z èëè ðàçëîæåíèé ýòèõ
âåëè÷èí ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîæíî íàéòè àïðèîðè íåèçâåñòíûå âõîäíûå
âîçäåéñòâèÿ ur ( )� . Óðàâíåíèÿ (8) èëè (19) â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçóþòñÿ â óðàâíåíèÿ
Ôðåäãîëüìà 1-ãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ur ( )� , êîòîðûå â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå
èìåþò âèä (9) ñ H H t� �( )� è y t� ( ). Ôóíêöèÿ y t� ( ) êðîìå èçìåðÿåìûõ êîìïîíåíò
ñîäåðæèò çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.  ïðåîáðàçîâàííîì ïî Ëàïëàñó âèäå
ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîîòíîøåíèþ (8) ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
y p H p u p� � �( ) ( ) ( ). (20)
Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî (20) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè M R�� .  ïå-
ðåîïðåäåëåííîì ñëó÷àå äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü îáû÷íûé èëè
îáîáùåííûé ÌÍÊ [5]. Òàêàÿ çàäà÷à, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâ-
ëåííîé. Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå ñëåäóåò íàõîäèòü îáîáùåííîå ïðèáëèæåííîå
ðåøåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðåãóëÿðèçàöèè [4]. Ïðè ëþáîì
ñïîñîáå äèñêðåòèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ (8) çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè âõîäíîãî âîçäåé-
ñòâèÿ íà ñèñòåìó ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ñ ïëîõî îáóñëîâëåííîé ìàòðèöåé.
Óðàâíåíèÿ (19) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èñõîäíûå äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå
ñëîæíîé çàäà÷è èíòåðïðåòàöèè.  íèõ íå êîíêðåòèçèðóåòñÿ âèä ôóíêöèé Ãðèíà,
è ïîýòîìó (19) ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ
ñëîæíûå ïðîöåññû ðàçíîîáðàçíûõ ïî ñâîåé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå ñèñòåì. Èõ ïðî-
ñòðàíñòâåííàÿ ðàñïðåäåëåííîñòü ïðåæäå âñåãî ïðîÿâëÿåòñÿ â îñîáåííîñòÿõ ñàìîé
ôóíêöèè Ãðèíà h( , , )� � � è åå èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé hmj , h ji . Îïèñàíèå (19)
êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé âêëþ÷àåò â òîì ÷èñëå ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåò-
ðàìè. Äëÿ íèõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ hmj è h ji ÿâëÿþòñÿ èìïóëüñíûìè ïåðåõîä-
íûìè ôóíêöèÿìè, êîòîðûå â ïðåîáðàçîâàííîì ïî Ëàïëàñó âèäå ÿâëÿþòñÿ äðîá-
íî-ðàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè. Â ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåìàõ ïðåîáðàçîâàííûå ïî
Ëàïëàñó ôóíêöèè hmj è h ji , êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè èëè òðàíñ-
öåíäåíòíûìè. Åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíò t0 áûëî íóëåâûì, òî
â (19) îòñóòñòâóåò ïåðâîå ñëàãàåìîå è ýòó ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì
âèäå, ãäå ýëåìåíòàìè èìïóëüñíîé ìàòðèöû îòêëèêà H íà ïðîèçâîëüíîå âõîäíîå
âîçäåéñòâèå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè h ji . Òîãäà îïåðàòîð Ãàíêåëÿ çàïèøåì â âèäå
( )( ) ( ) ( )�u t H t u d� �
�
�
0
� � �,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 23
ãäå u( )� — âåêòîð âõîäíûõ âîçäåéñòâèé. Äëÿ áîëüøèíñòâà ðåàëüíûõ ñèñòåì
îïåðàòîð � ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì, îñóùåñòâëÿþùèì îòîáðàæåíèå èç îäíèõ
âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ â äðóãèå. Ïðè ýòîì îïåðàòîð � �� , ãäå �� ñîïðÿæåí-
íûé ê � îïåðàòîð, òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì è ñàìîñîïðÿæåííûì ïîëîæè-
òåëüíûì â L2 , ò.å. èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà-
÷åíèé � � �
1
2
2
2 2 0� � � � �� �j , � i � 0, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè
÷èñëàìè îïåðàòîðà [6–8].
Îïðåäåëåíèå 1. Áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà îòíîñèòñÿ ê êëàññó
ÿäåðíîãî òèïà, åñëè îíà îïðåäåëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ãàíêåëåâûì îïåðàòîðîì �,
ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ � j
j�
�
� � �
1
.
Äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ýòîìó óñëîâèþ ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà íå äîëæíû èìåòü
íèêàêèõ òî÷åê ñãóùåíèÿ, êðîìå íóëÿ, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèíãóëÿðíûõ ÷è-
ñåë ñõîäèòñÿ ê íóëþ. Ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî æåñòêèì è ìíîãèå ðå-
àëüíûå ñèñòåìû åìó óäîâëåòâîðÿþò. Äëÿ ñèñòåì ÿäåðíîãî òèïà êëàññ ìîäå-
ëåé (19) õîðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè ìîäåëÿìè âèäà
dx
dt
A x B un n� � , y C xn� , (21)
ãäå x — âåêòîð ðàçìåðíîñòè n, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò âíóòðåííèì ïåðåìåí-
íûì. Äëÿ îïåðàòîðîâ ÿäåðíîãî òèïà äëÿ ðàçëè÷íûõ íîðì â [8] äîêàçàíû òåî-
ðåìû ñõîäèìîñòè ê òî÷íîìó îïèñàíèþ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ìàòðèö
An , Bn , Cn . Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìû ÿäåðíîãî òèïà, ïðåäñòàâëÿåìûå êëàññîì
ìîäåëåé (19), ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü êîíå÷íîìåðíûì êëàññîì ìîäåëåé (21),
êîòîðûå áóäóò ñõîäèòüñÿ ê òî÷íîìó îïèñàíèþ ïðè n � �. Ïðè íåòî÷íûõ èñ-
õîäíûõ äàííûõ ñóùåñòâóþò ïðèáëèæåííûå ìîäåëè â êëàññå (21), êîòîðûå ñî-
ãëàñóþòñÿ ïî òî÷íîñòè ñ ïîãðåøíîñòüþ èñõîäíûõ äàííûõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ðàçìåðíîñòü n óñå÷åííîé ìîäåëè ïî îòíîøåíèþ ê áåñêîíå÷íîìåðíîìó òî÷íî-
ìó îïèñàíèþ ìîæíî âûáðàòü òàêîé, ÷òî íà ëþáîå äîïóñòèìîå âõîäíîå âîç-
äåéñòâèå îòëè÷èå îòêëèêîâ ìîäåëè îò ðåàëüíîé ñèñòåìû áóäåò îñòàâàòüñÿ
â ïðåäåëàõ äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè. Òîãäà ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïîãðåø-
íîñòè è n � � îïèñàíèå (21) ýêâèâàëåíòíî (19).  ðåçóëüòàòå äèíàìè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè ìîäåëè (21) â ñèëó ýòîé ýêâèâàëåíòíîñòè õîðîøî àïïðîêñèìè-
ðóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà èñõîäíîé ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìûå èìïóëüñíû-
ìè ïåðåõîäíûìè ôóíêöèÿìè h ji .
Óñòàíîâèòü äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ìîæíî ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì
äàííûì y t( ) è u t( ) íà îñíîâàíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòè-
ôèêàöèè â êëàññå ìîäåëåé (21). Íàèáîëåå ïîäõîäÿùèì äëÿ èäåíòèôèêàöèè ñèñòåìû
â ýòîì êëàññå ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä âûäåëÿåìîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, èçâåñòíûé â ëèòå-
ðàòóðå êàê Subspace method èëè 4SID-ìåòîä [9, 10]. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî íàéòè ìàò-
ðèöû An , Bn è Cn , à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óñå÷åííîé ìàòðèöû An îïðåäåëÿþò äèíà-
ìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. Ïðè íåòî÷íûõ äàííûõ (è îñîáåííî ïðè äèñêðåòíûõ
èçìåðåíèÿõ) âìåñòî (21) ìîæíî èñïîëüçîâàòü èõ äèñêðåòíûé àíàëîã
x A x B uk n k n k� � �1 , y C xk n k� . (22)
Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè â êëàññå ìîäåëåé (22) ðåøàåòñÿ ñòàíäàðòíûìè
4SID-ìåòîäàìè, îïèñàííûìè, íàïðèìåð, â ðàáîòå [11], à òàêæå â ññûëêàõ ê íåé.
Êðîìå òîãî, èìåþòñÿ Toolboxes â ñðåäå Mathlab, êîòîðûìè ìîæíî âîñïîëüçî-
âàòüñÿ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷. Îñîáûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ âûáîð ðàç-
24 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
ìåðíîñòè àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ðàçíûå ìåòîäû åå îïðåäåëåíèÿ îïèñàíû
â [12], ãäå ïðåäëîæåíû ðåãóëÿðèçèðóþùèå ïðîöåäóðû, â êîòîðûõ ïàðàìåòðîì
ðåãóëÿðèçàöèè ÿâëÿåòñÿ ðàçìåðíîñòü ìîäåëè.
Îòíîñèòåëüíî àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé (21), (22) âàæíî îòìåòèòü, ÷òî
îïðåäåëåíèå ìàòðèö An , Bn è Cn èëè An , Bn è Cn ÷åðåç èäåíòèôèêàöèþ îáåñïå-
÷èâàåò ñõîäèìîñòü ê òî÷íîìó îïèñàíèþ ïðè n � � , è â îòëè÷èå îò îïðåäåëåíèÿ
èõ ïî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â [8], àëãîðèòìû èäåíòèôèêàöèè äàþò íàèëó÷-
øóþ àïïðîêñèìàöèþ âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ óñå÷åííûõ ìîäåëåé.
Ïîýòîìó èç ñõîäèìîñòè, îïðåäåëÿåìîé ñâîéñòâàìè îïåðàòîðà Ãàíêåëÿ, ñëåäóåò,
÷òî íàèëó÷øàÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ êàæäîãî êîíå÷íîãî n ãàðàíòèðîâàíî áóäåò
ñõîäèòüñÿ ê òî÷íîìó îïèñàíèþ ïðè n � � ïî êðàéíåé ìåðå ïî òåì íîðìàì, äëÿ
êîòîðûõ ñõîäèìîñòü äîêàçàíà â ðàáîòå [8].
 ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å èíòåðïðåòàöèè îäíèì èç âàæíûõ ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ
ñîîòíåñåíèÿ êîíå÷íîìåðíîãî ñïåêòðà óñå÷åííîé ìîäåëè, ïîëó÷åííîé ìåòîäàìè
èäåíòèôèêàöèè, è ðåàëüíîé ñèñòåìû, ãåíåðèðóþùåé èñõîäíûå äàííûå. Êàê ïî-
êàçàëè ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ, êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ óñå÷åííîé
ìîäåëè ñòàâèëñÿ â ñîîòâåòñòâèå öåëûé êëàñòåð áëèçëåæàùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-
íèé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì âîçìîæíî ïåðåñå÷åíèå êëàñòåðîâ. Ñ óâåëè÷åíèåì n ÷èñëî
êëàñòåðîâ âîçðàñòàåò, à èõ ðàçìåðû óìåíüøàþòñÿ íàñòîëüêî, ÷òî â ïðåäåëå îíè
îáðàùàþòñÿ â òî÷êè ñïåêòðà èñõîäíîé ñèñòåìû. Èìåííî â ýòîì ñîñòîèò èíòåð-
ïðåòàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåí-
íûõ ìîäåëåé, èäåíòèôèöèðóåìûõ â êëàññå (21) èëè (22).
Èíòåðïðåòàöèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé ïðè àïðèîðè íåèç-
âåñòíûõ ôóíêöèÿõ Ãðèíà ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó çíàíèÿ òîëüêî
äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè ñèñòåìû äëÿ ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó-
÷àÿõ íà îñíîâå (5) è (7) ìîæíî íàéòè òàêèå îöåíêè.
ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ÄÀÍÍÛÕ ÍÀ ÓÑÅ×ÅÍÍÛÕ ÎÁËÀÑÒßÕ
È ÏÎ ÍÅÇÀÌÊÍÓÒÛÌ ÌÎÄÅËßÌ
Îäíèì èç ïðåïÿòñòâèé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â çàäà÷àõ èíòåðïðåòàöèè ìîäåëüíîãî
îïèñàíèÿ (8) ÿâëÿþòñÿ ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ íàõîæäåíèåì ôóíêöèé Ãðèíà. Íà-
èáîëüøèå òðóäíîñòè âîçíèêàþò äëÿ ñëîæíûõ îáëàñòåé, îñîáåííî åñëè îíè íå
èìåþò âûðàæåííûõ ãðàíèö. Íàïðèìåð, â îêîëîçåìíîì ïðîñòðàíñòâå èññëåäóþòñÿ
ðàçíûå ïî ôèçè÷åñêèì ñâîéñòâàì ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â òàêèõ îáëàñòÿõ êàê
àòìîñôåðà, èîíîñôåðà, ìàãíèòîñôåðà èëè ñ áîëåå ñëîæíûì ðàçáèåíèåì íà ñîîò-
âåòñòâóþùèå ñôåðû. Âûðàæåííûõ ÷åòêèõ ãðàíèö ìåæäó ýòèìè îáëàñòÿìè íå ñó-
ùåñòâóåò. Ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî î íåêîòîðûõ ïåðåõîäíûõ çîíàõ, èõ ðàçäåëÿþ-
ùèõ.  ðÿäå ñëó÷àåâ íåêîòîðîé êîìïåíñàöèåé äàííîé ïðîáëåìû ìîæåò áûòü íà-
ëè÷èå áîëüøîãî ÷èñëà èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Òîãäà
èñêóññòâåííî ìîæíî òàê èçìåíèòü ïîñòàíîâêó çàäà÷è, ÷òîáû èçáåæàòü óêàçàííûõ
òðóäíîñòåé. Îäèí èç òàêèõ ñïîñîáîâ ñîñòîèò â óïðîùåíèè îáëàñòè èññëåäóåìûõ
ïðîöåññîâ, ñâåäÿ åå ê òàêîé, ãäå ôóíêöèÿ Ãðèíà èçâåñòíà èëè åå ìîæíî íàéòè
ñóùåñòâóþùèìè ìåòîäàìè. Ïóñòü èìååì îáëàñòü G , ãäå ïðîòåêàþò èññëåäóåìûå
ïðîöåññû, êîòîðàÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíà äëÿ íàõîæäåíèÿ â íåé ôóíêöèè Ãðèíà.
Ðàññìîòðèì ïîäîáëàñòü G0 , êîòîðàÿ ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ â G , íî èìååò áîëåå
ïðîñòóþ ãåîìåòðèþ. Ïðîñòûìè áóäåì ñ÷èòàòü îáëàñòè, â êîòîðûõ ìîæíî âû-
áðàòü òàêóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé ãðàíèöû G0 ñîâïàäà-
þò ñ êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ
ïðÿìîóãîëüíûå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Èìåííî äëÿ
íèõ â [2] ïðåäñòàâëåíî îêîëî 500 ôóíêöèé Ãðèíà ðàçëè÷íûõ çàäà÷, âêëþ÷àÿ òè-
ïîâûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Åñëè ñðåäè íèõ íå îêàçàëîñü ïîäõîäÿùèõ, òî
ìîæíî íà îñíîâå ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, ïîäõîäÿùèõ äëÿ G0 , ôîðìèðîâàòü ëèíåéíî
íåçàâèñèìóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó áàçèñíûõ ôóíêöèé { }� �1 2, ,� è íàõîäèòü
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 25
ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷è (4) â âèäå ðàçëîæåíèé ïî ýòîìó áàçèñó. Íàèáîëåå ïðî-
ñòîé áóäåò ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à (çàäà÷à Äèðèõëå) ñ íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé f � . Íà-
ëè÷èå äðóãèõ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â ñòàíäàðòèçèðóþùóþ ôóíêöèþ f ,
óñëîæíèò íàõîæäåíèå ôóíêöèè Ãðèíà.  ëþáîì ñëó÷àå ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
Ãðèíà çàäà÷à èíòåðïðåòàöèè ñâîäèòñÿ ê îäíîé èç ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåì ðàç-
äåëå ñòàòüè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äàííûõ âîçìîæíà òàêæå íà îñíîâå íåçàìê-
íóòûõ óðàâíåíèé ìîäåëè. Ýòî îñóùåñòâèìî, êîãäà ôèçè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè
ïîçâîëÿþò õîðîøî îïèñàòü íåêîòîðûå ïðîöåññû, à óðàâíåíèÿ ñâÿçè èõ ñ îñòàëü-
íûìè ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû ïëîõî ôîðìàëèçóþòñÿ â ñèëó ðàçíûõ ïðè÷èí. Òîãäà
íåäîñòàþùèå çíàíèÿ îá îáúåêòå ìîæíî ïîïûòàòüñÿ êîìïåíñèðîâàòü äàííûìè,
ïîëó÷àåìûìè ïðè èçìåðåíèè. Èìåííî ýòî ÿâëÿåòñÿ âòîðûì ñïîñîáîì, ðàññìàòðè-
âàåìûì â ðàìêàõ íàñòîÿùåé ðàáîòû. Ïðîäåìîíñòðèðóåì åãî íà êîíêðåòíîì ïðè-
ìåðå âîññòàíîâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îêîëîçåìíîì ïðîñòðàíñòâå ïî äàííûì
ñïóòíèêîâûõ èçìåðåíèé, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ìàãíèòíûõ äàò÷èêîâ è ðåàëèçóå-
ìûõ, íàïðèìåð, â áëî÷íîì âèäå òðåõ çîíäîâ ñ îðòîãîíàëüíûìè îñÿìè.  ýòîé çàäà-
÷å áóäóò èñïîëüçîâàíû îáà óïîìÿíóòûõ çäåñü ìåòîäà. Ìàãíèòíîå ïîëå äîñòàòî÷íî
õîðîøî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà:
rot
� �
B J�
�
�
0
4
, div
�
B � 0, (23)
ãäå
�
B — âåêòîð èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
�
J — âåêòîð ðàñïðåäåëåíèÿ òîêà
â ïðîâîäÿùèõ îáëàñòÿõ, �0 — ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âàêóóìà. Åñëè ðàñïðå-
äåëåíèå òîêà èçâåñòíî, òî èç (23) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ.
Êîãäà
�
J àïðèîðè íåèçâåñòíî, òî (23) ÿâëÿåòñÿ íåçàìêíóòîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé.
×òîáû åå çàìêíóòü, íåîáõîäèìî óðàâíåíèå (23) äîïîëíèòü óðàâíåíèÿìè, îïèñû-
âàþùèìè ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è åãî ñâÿçü ñ ïðîòåêàþùèì òîêîì â âèäå óðàâíå-
íèÿ ìàòåðèàëüíîé òîêîïðîâîäÿùåé ñðåäû. Ïðèìåíèòåëüíî ê ëèòîñôåðå, ìàãíè-
òîñôåðå è èîíîñôåðå òàêîé ïîäõîä ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîðàçðåøèìóþ çàäà÷ó.
Ïîýòîìó áóäåì èñïîëüçîâàòü íåçàìêíóòóþ ìîäåëü ñ àïðèîðè íåèçâåñòíûì ðàñ-
ïðåäåëåíèåì âåêòîðà
�
J . Ñîãëàñíî çàêîíó Áèî–Ñàâàðà èç (23) âûòåêàåò
�
�
�
� �
B r
R
J r r r dg
G
( ) ( ) ( )� � ��
�
�
0
3 1 1 1
4
1
1
, (24)
ãäå
�
r — ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ìàãíèòíîãî ïîëÿ;
�
r1 çàäàåò òî÷êè
ñ ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèåì â íèõ òîêà
�
J ; G1 — òîêîâàÿ îáëàñòü ñ îáúåì-
íûì ýëåìåíòîì dg1; R r r� �| |
� �
1 . Ôàêòè÷åñêè (24) ñîîòâåòñòâóåò (5) ñ àíàëèòè-
÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ôóíêöèè åäèíè÷íîãî èñòî÷íèêà òîêà.
Äëÿ îêîëîçåìíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ìàãíèòíûìè èçìåðåíèÿìè íàèáîëåå ïîäõîäÿ-
ùåé ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò (
�, , ). Òîãäà îáëàñòü G0 ñ÷èòàåì
íåïðîâîäÿùåé îáëàñòüþ ñ äîñòàòî÷íûì êîëè÷åñòâîì èçìåðåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ
â íåé. Íèæíåé ãðàíèöåé � 1 ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòíàÿ ïîâåðõíîñòü, íàèáîëåå áëèç-
êàÿ ê ëèòîñôåðå, à âåðõíÿÿ ãðàíèöà � 2 áóäåò íàèáîëåå áëèçêà ê òîêîïðîâîäÿ-
ùåé îáëàñòè èîíîñôåðû èëè ìàãíèòîñôåðû. Ñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè òàêèå ôèêòèâíûå
ïîâåðõíîñòíûå òîêè íà � 1 è � 2 , êîòîðûå â îáëàñòè G0 ñîçäàþò ìàãíèòíîå
ïîëå, ñîâïàäàþùåå ñ èçìåðÿåìûì â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ [13].
 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ñ ïîâåðõíîñòíûìè òîêàìè J
i
, J
i� , i �1 2, , óðàâ-
íåíèå (24) ïðèìåò âèä
B l J m J ds B l J m J
i i i i
i
i i i
s
i
�
�
�
�
�
� � � � � ��0 0
4 4
( ) , ( �i
is
ids)� ,
(25)
26 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
B l J m J ds
i i i i
is
i� �
� �
�
�
� � ��0
4
( ) , i �1 2, ,
ãäå
l R
i i i i
� �
� � � � � �(sin sin( ) cos sin ) / 3 ,
m R
i i i i i i
� �
� � � � � �(sin cos cos ( ) cos sin ) / 3 ,
l R
i i i i i
� �� � �( cos cos )sin( ) / 3 ,
l
i i i i i i�
� � � �� � � � � � � �( (sin sin cos cos cos ( )) cos( )) / Ri
3 ,
m R
i i i i i i�
� �
� �� � � � � �( cos sin ( ) cos sin ( )) / 3 ,
R x x y y z zi i i i� � � � � �[( ) ( ) ( ) ] /2 2 2 1 2 .
Ñâÿçü ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ äåêàðòîâîé, êîòîðàÿ áûëà èñïîëü-
çîâàíà ïðè ïåðåõîäå îò (24) ê (25), ïðèâåäåíà â [14], ãäå òàêæå ïðåäñòàâëåíî âû-
ðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà ïëîùàäè dsi . Èíòåãðèðîâàíèå â (25) ïðîâîäèòñÿ ïî êîîð-
äèíàòíûì ïîâåðõíîñòÿì � i , i �1 2, .
Ïîâåðõíîñòíûå òîêè, âõîäÿùèå â (25), ïðåäñòàâèì â âèäå óñå÷åííûõ ðàçëî-
æåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà è ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé,
êîòîðûå çàïèøåì â âèäå
J P A k B k
i m
k
i
k
m
m
k
i m
k
i
m
m
� �� �
��
� (cos )[ cos ( ) sin ( )]
ma
00
x
i
� ,
(26)
J P C k D k
i
i
m
m
k
m
m
k
i m
k
i m
k
�
� �� �
� �
� �
0 0
max
(cos )[ cos ( ) sin ( i )],
ãäå Pm
k
i(cos )
— ïîëèíîìû Ëåæàíäðà.
Ïîäñòàâëÿÿ (26) â (25) è âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå äëÿ çíà÷åíèé
( , , )
�j j j , ò.å. äëÿ êîîðäèíàò, â êîòîðûõ íàõîäèëèñü ìàãíèòíûå çîíäû â ìî-
ìåíò èçìåðåíèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñè-
òåëüíî êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Am
k , Bm
k , Cm
k , Dm
k . Îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà â âèäå (14), ãäå âåêòîð y ñîñòîèò èç èçìåðåííûõ çíà÷åíèé Brj
, B
j
, B
j� ,
j N�1, , âåêòîð b ñôîðìèðîâàí èç Am
k , Bm
k , Cm
k , Dm
k ñîãëàñíî (25) äëÿ ñîîòâåòñòâó-
þùèõ èçìåðåíèé è ñ ó÷åòîì (26), à ýëåìåíòû ìàòðèöû H ïîëó÷åíû èíòåãðèðîâàíèåì
âûðàæåíèé ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòàõ Am
k , Bm
k , Cm
k , Dm
k . Ïðè íàõîæäå-
íèè ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé òàêèì îáðàçîì ñèñòåìû óðàâíåíèé íåîáõîäèìî âûáè-
ðàòü ðàçìåðíîñòü mi
max òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èâàëàñü êîððåêòíîñòü ïîñòàâëåííîé çà-
äà÷è. Çäåñü ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè, îñíîâàííûå, íàïðè-
ìåð, íà SVD-ðàçëîæåíèè ìàòðèöû H [12].
Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî ïî ôîðìóëàì (25) ïðè
èçâåñòíûõ ïîâåðõíîñòíûõ òîêàõ âîññòàíîâèòü ìàãíèòíîå ïîëå âî âñåé îáëàñòè G0 ,
à òàêæå â íåêîòîðûõ äðóãèõ ÷àñòÿõ çà åå ïðåäåëàìè.
Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ìàãíèòíîé äèàãíîñòèêè ïëàçìû â òîêàìàêàõ áûëà ðàññìî-
òðåíà â [15]. Ïî äàííûì ìàãíèòíûõ èçìåðåíèé â âàêóóìíîé îáëàñòè âîññòàíàâëèâà-
ëàñü ìàãíèòíàÿ êîíôèãóðàöèÿ, îáåñïå÷èâàþùàÿ ðàâíîâåñèå ïëàçìû â òîêàìàêå.
Ïîäõîä, ðàññìàòðèâàåìûé â äàííîì ðàçäåëå è ñâÿçàííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì
ïðèáëèæåííîãî ìîäåëüíîãî îïèñàíèÿ äëÿ èíòåðïðåòàöèè ãðàâèòàöèîííîãî ïî-
òåíöèàëà íåáåñíûõ òåë, øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â çàäà÷àõ ãðàâèìåòðèè è, â ÷àñòíî-
ñòè, äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ Çåìëè [16].
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 27
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ðàçëè÷íîé ïðèðîäû ÿâëÿ-
þòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ïðèîáðåòåíèÿ íîâûõ çíàíèé.
Îáû÷íî ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, êîòîðûå ïðåäïîëîæè-
òåëüíî ñîîòâåòñòâóþò èññëåäóåìûì îáúåêòàì. Ðàññìàòðèâàåìûå âîçìîæíûå
ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè òðåáóþò âåðèôèêàöèè èëè àäåêâàòíîñòè èõ ïîëó÷åí-
íûì â ýêñïåðèìåíòàõ äàííûì. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ïîäõîäîâ ê óñâîåíèþ
èëè àññèìèëÿöèè äàííûõ â ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, ïîçâîëÿþùèõ çàêëþ÷àòü
îá èõ àäåêâàòíîñòè èññëåäóåìûì îáúåêòàì.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå äëÿ îïðåäåëåííîãî êëàññà ñèñòåì ïðåäëîæåíû óíèâåðñàëü-
íûé ïîäõîä è òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû, ïîçâîëÿþùèå íå òîëüêî óñòàíàâëèâàòü àäåê-
âàòíîñòü ìîäåëåé, íî è àäàïòèðîâàòü èõ ê èìåþùèìñÿ äàííûì, äàâàÿ èì ïðèáëè-
æåííóþ èíòåðïðåòàöèþ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ èõ êîëè÷åñòâîì è êà÷åñòâîì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ãóáàðåâ Â.Ô. Ïðîáëåìà ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè äàííûõ. I. Ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî÷åí-
íûìè ïàðàìåòðàìè. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 2. Ñ. 59–72.
2. Áóòêîâñêèé À.Ã. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ìîñêâà: Íàóêà,
1979. 224 ñ.
3. Àíäðååâ Þ.Í. Óïðàâëåíèå êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè îáúåêòàìè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 424 ñ.
4. Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1979.
285 ñ.
5. Ãîëóá Äæ., Âàí Ëîóí ×. Ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ. Ìîñêâà: Ìèð, 1999. 548 ñ.
6. Ãîõáåðã È.Ö., Êðåéí Ì.Ã. Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ
â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1965. 448 ñ.
7. Ãóáàðåâ Â.Ô. Ðàöèîíàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Êèáåð-
íåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. ¹ 2. Ñ. 99–116.
8. Glower K., Curtain R.F., Partington J.R. Realization and approximation of linear infinite-dimensional
systems with error bounds. SIAM J. Control and Optimization. 1988. Vol. 26, N 4. P. 863–898.
9. Verhaegen M., Dewilde P. Subspace model identification. Part 1: The output-error state space model
identification class of algorithms. International Journal of Control. 1992. Vol. 56, N 5.
P. 1187–1210.
10. Van Overschee P., De Moor B. Subspace identification for linear systems. Boston; London;
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. 254 p.
11. Viberg M. Subspace-based methods for the identification of linear time-invariant systems.
Automatica. 1995. Vol. 31, N 12. P. 1835–1851.
12. Ãóáàðåâ Â.Ô., Ðîìàíåíêî Â.Ä., Ìèëÿâñêèé Þ.Ë. Ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî
ðåøåíèÿ ïðè èäåíòèôèêàöèè ëèíåéíûõ ìíîãîìåðíûõ ìíîãîñâÿçíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 6. C. 3–16.
13. Peddie N.W. Current loop models of the Earth’s magnetic field. Journal Geophys. Res. 1979.
Vol. 84. P. 4517–4523.
14. Áîðèñåíêî À.È., Òàðàíîâ È.Å. Âåêòîðíûé àíàëèç è íà÷àëà òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ìîñêâà:
Âûñø. øê., 1963. 263 ñ.
15. Ãóáàðåâ Â.Ô. Îöåíèâàíèå òîêîâ çàìåùåíèÿ â îêðóæåíèè è ïëàçìå óñòàíîâîê òîêàìàê. Ïðîáëå-
ìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 1995. ¹ 4. C. 74–80.
16. Íåïîêëîíîâ Â.Á., Ëèäîâñêàÿ Å.À., Êàïðàíîâ Þ.Ñ. Îöåíêà êà÷åñòâà ìîäåëåé ãðàâèòàöèîííîãî
ïîëÿ Çåìëè. Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ãåîäåçèÿ è àýðîôîòîñúåìêà. 2014. ¹ 2. C. 24–32.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 27.05.2019
28 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Â.Ô. Ãóáàðåâ
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Íί ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖ²¯ ÄÀÍÈÕ.
II. ÑÈÑÒÅÌÈ Ç ÐÎÇÏÎIJËÅÍÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìó ìàòåìàòè÷íî¿ ³íòåðïðåòàö³¿ åêñïåðèìåíòàëü-
íèõ äàíèõ ó ñèñòåìàõ ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè ç âèêîðèñòàííÿì ìî-
äåë³, ÿêó ââàæàþòü àäåêâàòíîþ äîñë³äæóâàíèì îá’ºêòàì. Äëÿ ë³í³éíèõ ñèñ-
òåì íà áàç³ ôóíêö³é Ãð³íà ðîçðîáëåíî òåîðåòè÷í³ îñíîâè, ùî äàþòü çìîãó
çä³éñíþâàòè ïîñòàíîâêó ð³çíîìàí³òíèõ îáåðíåíèõ çàäà÷, äî ÿêèõ çâîäèòüñÿ
ïðîáëåìà ³íòåðïðåòàö³¿. Ðåêîìåíäîâàíî ³ îïèñàíî ïðîöåäóðè ðåãóëÿðèçàö³¿,
ùî óìîæëèâëþþòü ïîøóê íàáëèæåíèõ ðîçâ’ÿçê³â, óçãîäæåíèõ çà òî÷í³ñòþ
ç ïîõèáêàìè äàíèõ. Âàæëèâå çíà÷åííÿ ìຠïðåäñòàâëåííÿ êëàñó ìîäåëåé
ó âèãëÿä³ ðîçâèíåíü, ùî àñèìïòîòè÷íî íàáëèæóþòüñÿ äî òî÷íîãî îïèñó.
Íàâåäåíî êîíñòðóêòèâí³ àëãîðèòìè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ³íòåðïðåòàö³¿.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çàäà÷³ ³íòåðïðåòàö³¿, àñèì³ëÿö³ÿ äàíèõ, îáåðíåí³ çàäà÷³,
ðîçïîä³ëåí³ ñèñòåìè, ðåãóëÿðèçàö³ÿ, ³äåíòèô³êàö³ÿ, àñèìïòîòè÷í³ ìîäåë³.
V.F. Gubarev
PROBLEM OF MATHEMATICAL DATA INTERPRETATION.
II. DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS
Abstract. The problem of mathematical interpretation of experimental data is
considered for distributed parameter system with the use of models supposed to
be adequate to the objects under study. For linear systems, on the basis of
Green functions, theoretical foundations are developed, which allow setting
different inverse problems associated with the interpretation problem. Many of
them are treated as ill-posed. So, regularized procedures that make it possible to
find approximate solutiond consistent with errors in available data are
recommended and described. In this connection, representation of the model
class in the form of expansions that asymptotically approach the exact
description is important. Constructive algorithms to solve interpretation problem
are given.
Keywords: interpretation problem, assimilation data, inverse problems,
distributed systems, regularization, identification, asymptotic models.
Ãóáàðåâ Âÿ÷åñëàâ Ôåäîðîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð òåõí. íàóê, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êîñìè÷åñêèõ èññëåäî-
âàíèé ÍÀÍ Óêðàèíû è ÃÊÀ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v.f.gubarev@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190376 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:34Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Губарев, В.Ф. 2023-06-04T16:32:41Z 2023-06-04T16:32:41Z 2020 Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами / В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 17–29. — Бібліогр.: ХХ назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190376 519.7 Рассмотрена проблема математической интерпретации экспериментальных данных в системах с распределенными параметрами с использованием модели, которая предполагается адекватной исследуемым объектам. Для линейных систем на основе функций Грина разработаны теоретические основы, позволяющие осуществлять постановку разнообразных обратных задач, к которым сводится проблема интерпретации. Рекомендованы и описаны процедуры регуляризации, позволяющие находить приближенные решения, согласованные по точности с погрешностями данных. Важная роль отводится представлению класса моделей в виде разложений, асимптотически приближающихся к точному описанию. Приведены конструктивные алгоритмы решения задач интерпретации. Розглянуто проблему математичної інтерпретації експериментальних даних у системах з розподіленими параметрами з використанням моделі, яку вважають адекватною досліджуваним об'єктам. Для лінійних систем на базі функцій Гріна розроблено теоретичні основи, що дають змогу здійснювати постановку різноманітних обернених задач, до яких зводиться проблема інтерпретації. Рекомендовано і описано процедури регуляризації, що уможливлюють пошук наближених розв'язків, узгоджених за точністю з похибками даних. Важливе значення має представлення класу моделей у вигляді розкладань, що асимптотично наближуються до точного опису. Наведено конструктивні алгоритми розвэязання задач інтерпретації. The problem of mathematical interpretation of experimental data is considered for distributed parameter system with the use of models supposed to be adequate to the objects under study. For linear systems, on the basis of Green functions, theoretical foundations are developed, which allow setting different inverse problems associated with the interpretation problem. Many of them are treated as ill-posed. So, regularized procedures that make it possible to find approximate solutiond consistent with errors in available data are recommended and described. In this connection, representation of the model class in the form of expansions that asymptotically approach the exact description is important. Constructive algorithms to solve interpretation problem are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами Проблема математичної интерпретації даних. II. Системи з розподіленими параметрами Problem of mathematical data interpretation. II. Distributed parameter systems Article published earlier |
| spellingShingle | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами Губарев, В.Ф. Системний аналіз |
| title | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами |
| title_alt | Проблема математичної интерпретації даних. II. Системи з розподіленими параметрами Problem of mathematical data interpretation. II. Distributed parameter systems |
| title_full | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами |
| title_fullStr | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами |
| title_full_unstemmed | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами |
| title_short | Проблема математической интерпретации данных. II. Системы с распределенными параметрами |
| title_sort | проблема математической интерпретации данных. ii. системы с распределенными параметрами |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190376 |
| work_keys_str_mv | AT gubarevvf problemamatematičeskoiinterpretaciidannyhiisistemysraspredelennymiparametrami AT gubarevvf problemamatematičnoíinterpretacíídanihiisistemizrozpodílenimiparametrami AT gubarevvf problemofmathematicaldatainterpretationiidistributedparametersystems |