Cover Image

Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу

Побудовано інтегральні оператори, що переводять довільні функції в регулярні розв'язки рівняння гіперболічного типу другого і вищих порядків. Розв'язано задачу Коші для рівняння гіперболічного типу четвертого порядку. Використання апарату спеціальних функцій надало змогу одержати зображенн...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2020
Main Authors: Александрович, І.М., Бондар, О.С., Ляшко, Н.І., Ляшко, С.І., Сидоров, М.В.-С.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Subjects:
Системний аналіз
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190380
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу / І.М. Александрович, О.С. Бондар, Н.І. Ляшко, С.І. Ляшко, М.В.-С. Сидоров // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 70–79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860255053020921856
author Александрович, І.М.
Бондар, О.С.
Ляшко, Н.І.
Ляшко, С.І.
Сидоров, М.В.-С.
author_facet Александрович, І.М.
Бондар, О.С.
Ляшко, Н.І.
Ляшко, С.І.
Сидоров, М.В.-С.
citation_txt Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу / І.М. Александрович, О.С. Бондар, Н.І. Ляшко, С.І. Ляшко, М.В.-С. Сидоров // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 70–79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Побудовано інтегральні оператори, що переводять довільні функції в регулярні розв'язки рівняння гіперболічного типу другого і вищих порядків. Розв'язано задачу Коші для рівняння гіперболічного типу четвертого порядку. Використання апарату спеціальних функцій надало змогу одержати зображення розв'язків рівнянь у частинних похідних у зручному для дослідження вигляді. Попутно розв'язано інтегральні рівняння типу згортки зі спеціальними функціями в ядрі. Построены интегральные операторы, переводящие произвольные функции в регулярные решения уравнения гиперболического типа второго и высших порядков. Решена задача Коши для уравнения гиперболического типа четвертого порядка. Использование аппарата специальных функций позволило получить представление решений уравнений в частных производных в удобном для исследований виде. Попутно решены интегральные уравнения типа свертки со специальными функциями в ядре. Integral operators that translate arbitrary functions into regular solutions of the hyperbolic equation of the second and higher orders are constructed. The Cauchy problem for the fourth-order hyperbolic equation is solved. The use of the theory of special functions helped us to obtain the image of solutions of partial derivative equations in a form convenient for the analysis. Along the way, solvable integral equations with special functions in the kernel are solved.
first_indexed 2025-12-07T18:47:52Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 517. 95 ².Ì. ÀËÅÊÑÀÍÄÐÎÂÈ×, Î.Ñ. ÁÎÍÄÀÐ, Í.². ËßØÊÎ, Ñ.². ËßØÊÎ, Ì.Â.-Ñ. ÑÈÄÎÐΠ²ÍÒÅÃÐÀËÜͲ ÎÏÅÐÀÒÎÐÈ, ÙÎ ÂÈÇÍÀ×ÀÞÒÜ ÐÎÇÂ’ßÇÎÊ ²ÒÅÐÎÂÀÍÎÃΠвÂÍßÍÍß Ã²ÏÅÐÁÎ˲×ÍÎÃÎ ÒÈÏÓ Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî ³íòåãðàëüí³ îïåðàòîðè, ùî ïåðåâîäÿòü äîâ³ëüí³ ôóíêö³¿ â ðåãóëÿðí³ ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ ã³ïåðáîë³÷íîãî òèïó äðóãîãî ³ âè- ùèõ ïîðÿäê³â. Ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷ó Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ ã³ïåðáîë³÷íîãî òèïó ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó. Âèêîðèñòàííÿ àïàðàòó ñïåö³àëüíèõ ôóíêö³é íàäàëî çìîãó îäåðæàòè çîáðàæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â ð³âíÿíü ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ó çðó÷íîìó äëÿ äîñë³äæåííÿ âèãëÿä³. Ïîïóòíî ðîçâ’ÿçàíî ³íòåãðàëüí³ ð³âíÿííÿ òèïó çãîðòêè ç³ ñïåö³àëüíèìè ôóíêö³ÿìè â ÿäð³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ³íòåãðàëüíèé îïåðàòîð, ³òåðîâàí³ ð³âíÿííÿ ã³ïåðáîë³÷íîãî òèïó, ðåãóëÿðí³ ðîçâ’ÿçêè, ìàòåìàòè÷íà ³íäóêö³ÿ. ÂÑÒÓÏ Ï³ä ÷àñ äîñë³äæåííÿ çàäà÷, ïîâ’ÿçàíèõ ç ÿâèùàìè â³áðàö³¿ òà ³íøèìè çàäà÷àìè ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòè÷íî¿ ô³çèêè, øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ, ùî ì³ñòÿòü îïåðàòîðè âèãëÿäó L y x y y k kk� � �, , ,� � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 0 , òà ¿õí³ ³òåðàö³¿ [1–8]. Ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òàêèõ ð³âíÿíü º ñòâîðåííÿ ³íòåãðàëüíèõ òà äèôåðåíö³àëüíèõ îïåðàòîð³â, ùî âèçíà÷àþòü ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿíü òà ñèñòåì ã³ïåðáîë³÷íîãî òà åë³ïòè÷íîãî òèï³â [9–12]. Ó ö³é ðîáîò³ ïîáóäîâàíî ³íòåãðàëüí³ îïåðàòîðè, ÿê³ ïåðåâîäÿòü äîâ³ëüí³ ôóíêö³¿ ó ðåãóëÿðíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ L U y x y y k U x y k n n � � , ( , )� � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 , n N� , òàê çâàíîãî ³òåðàö³éíîãî ð³âíÿííÿ òèïó Åéëåðà–Ïóàññîíà–Äàðáó, à òàêîæ ó ðå- ãóëÿðíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ L U y x y y S U x y S n n � � � , ( , , )� � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 , äå � — ä³éñíà çì³ííà, � �T S, — ë³í³éíèé îïåðàòîð, ùî çàëåæèòü ò³ëüêè â³ä �. ßê ïðèêëàä çàñòîñóâàííÿ ïîáóäîâàíèõ îïåðàòîð³â ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷ó Êîø³ òà îñîáëèâó çàäà÷ó Êîø³ (êîëè îñîáëèâà ë³í³ÿ ó � 0 º â îáëàñò³ àáî íà ãðàíèö³). Íàñàìïåðåä ðîçãëÿíåìî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ L U U y U x y U y kUk� � , � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 (1) ó ï³âïëîùèí³ y � 0 , �� � � �x . 70 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 © ².Ì. Àëåêñàíäðîâè÷, Î.Ñ. Áîíäàð, Í.I. Ëÿøêî, Ñ.I. Ëÿøêî, Ì.Â.-Ñ. Ñèäîðîâ, 2020 Òåîðåìà 1. Íåõàé f t( ) — äîâ³ëüíà ôóíêö³ÿ, âèçíà÷åíà äëÿ t R� òà äâ³÷³ íå- ïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà íà äîâ³ëüíîìó ñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó îñ³ t. Òîä³ ôóíêö³ÿ U x y y y t x F k y x t( , ) [ ( ) ] ; ( ( ) )� � � � � � � �� � � � �1 2 2 2 1 0 1 2 2 4 � � � � � � � � f t dt x y x y ( ) = [ ( ) ( )] [ ; ( )]( )f x y f x y F k y d� � � � � �� �� � � � � �� 0 1 0 1 2 2 2 1 4 1 1 , (2) äå 0 1F z[ ; ]� — ÷àñòèííèé âèïàäîê óçàãàëüíåíî¿ ã³ïåðãåîìåòðè÷íî¿ ôóíêö³¿, º äâ³÷³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèì ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (1) ó âåðõí³é ï³âïëî- ùèí³ ( , )x y , çàäîâîëüíÿþ÷è óìîâó � � � � U y y 0 0 . (3) Äîâåäåííÿ. Áåçïîñåðåäíüîþ ïåðåâ³ðêîþ âñòàíîâëþºìî, ùî êîëè �( , )x y º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ L y x kk0 2 2 2 2 0, � � � �� � � � � � � � , (4) òî ôóíêö³ÿ U x y x y d( , ) ( , )( )� � � �2 1 2 1 0 1 � � � �� (5) çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ (1). Áåðó÷è çà �( , )x y ôóíêö³þ [10] � � � � ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) x y f x y f x y k y f x f x J k y y � � � � � � � � � 2 2 1 2 2 2 2 0 � � � � y d , (6) çà äîïîìîãîþ (5) îäåðæèìî ôîðìóëó (2), ùî é äîâîäèòü òåîðåìó. Ôîðìóëà îáåðíåííÿ ³íòåãðàëüíîãî çîáðàæåííÿ (2) ìຠâèãëÿä [13] f x y f x y( ) ( )� � � � � � � � � � � � 2 1 0 2 1 2 2 2 � �( ) ( ) [ ( , )] ( ) ( ) m d dy d U x d y y m m� � � � � � � m F m k y d m n n d d � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � 0 1 2 21 4 2 1 ; ( ) , [ ], , ( )! y d U x d I k y d n n n y [ ( , )] ( ) ( ) , . � � � � � � � �2 1 2 0 0 2 2 � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � (7) Çàñòîñóºìî òâåðäæåííÿ òåîðåìè äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷. Çàäà÷à 1. Íåõàé D — ïðàâà âåðõíÿ ÷âåðòü ïëîùèíè x y� �0 0, . Çíàéòè äâ³÷³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèé ðîçâ’ÿçîê U x y( , ) ð³âíÿííÿ (1), íåïåðåðâíèé íà ãðà- íèö³ D, äëÿ ÿêîãî ñïðàâäæóþòüñÿ òàê³ êðàéîâ³ óìîâè: U y( , )0 0� , (8) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 71 � � � � U x b y x 0 ( ) , (9) � � � � U y y 0 0 , (10) äå b y( ) — çàäàíà äîñòàòíº ÷èñëî ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ â³ä ó äëÿ 0 � � �y . Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ øóêàºìî ó âèãëÿä³ ôîðìóëè (2). Çàäîâîëüíÿþ÷è óìî- âè (8), (9), îäåðæèìî f y f y( ) ( )� � � 0 , (11) b y y f f F k y y ( ) ( ( ) ( )) ; ( ) ( � � � � � � �� � �� � �1 2 0 1 2 2 2 4� � � � � �2 1 0 ) �� � �d y . (12) Ç (12) çà äîïîìîãîþ (7) îòðèìóºìî f y f y m d dy d b d m m � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 1 2 1 2 0 � �� � � � � �y mF m k y y d m n � � � � � � �� � �� � � �� 0 1 2 2 2 21 4 � � � � � � ��; ( ) ( ) , [ ], , ( )! [ ( )] ( ) ( ) 2 1 2 1 2 0 2 2 0 n d dy d b d I k y n n y � �� � � � � � � � � � � d n� �, .� � � � � � � � � � � � Çâ³äñè, âðàõîâóþ÷è (11), îäåðæèìî f y( ) . ϳäñòàâèâøè çíàéäåíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f y( ) ó ïðàâó ÷àñòèíó ôîðìóëè (2), îäåðæèìî øóêàíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ ó âèãëÿä³ U x y K x y d b d d x y x y m m ( , ) ( , , , ) [ ( )] ( ) � � � �� � � � � � � � � � � � 0 2 1 2 � � � � � � d�, (13) äå K x y( , , , )� � � � � � � � � � � � � �y m y x F mm 1 2 2 2 1 2 2 0 1 1 � � � � � � � � � � � �( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 1 4 4 2 2 0 1 2 2 ; ( ) ; ( ( ) ) , [ ] k F k y x m � � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � �� � , , ( )! [ ( ) ] ( ( ) ) ; � � � � � � � � � � � � ! � � � � n y n y x k F k 1 2 2 2 1 0 2 2 0 1 1 4 2 2( ( ) ) , .y x m n� � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � � (13 ) Çàäà÷à 2. Óìîâè òàê³ ñàì³, ÿê ³ â çàäà÷³ 1, ò³ëüêè (8) ³ (9) çàì³íþºìî êðàéîâè- ìè óìîâàìè U y a y( , ) ( )0 � , � � � � U x x 0 0 , 72 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 73 äå a y( ) — çàäàíà äîñòàòíº ÷èñëî ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ â³ä ó äëÿ 0 � � �y . Çàäà÷ó 2 ìîæíà çâåñòè äî çàäà÷³ 1 øëÿõîì óâåäåííÿ íîâî¿ íåâ³äîìî¿ ôóíêö³¿ V x y U x y x ( , ) ( , ) � � � . Äëÿ V x y( , ) ìàòèìåìî çàäà÷ó � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 V y V x y V y kV � , V y( , )0 0� , � � � � � � V x a y y a y ka y x 0 2 ( ) ( ) ( ) � , ðîçâ’ÿçêîì ÿêî¿ çã³äíî ç (13) áóäå V x y K x y t d d a a ka m m ( , ) ( , , , ) ( ) ( ( ) ( ) (� � ��� � � � � � �� 2 2 1 2 � �)) � �� � �� � � � � � � � � �� � � d dt t x y x y 0 . Òîä³ ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ 2 ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ U x y( , ) � � � � � � � �K y t d d a a ka m m ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �� 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � d dt d a y t y yx � � � � ) ] ( ) 00 . (14) ÏÎÁÓÄÎÂÀ ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ, ÙÎ ÂÈÇÍÀ×Àª ÐÎÇÂ’ßÇÎÊ Ð²ÂÍßÍÍß ( ),L S� Íåõàé y � 0 , �� � � � �x T, � . ³äïîâ³äíî äî íàâåäåíîãî âèùå òâåðäæåííÿ (òå- îðåìà 1) ³íòåãðàëüíå çîáðàæåííÿ ð³âíÿííÿ L U y x y y S U x yS� � �, ( , , )� � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 ( ),L S� øóêàòèìåìî ó âèãëÿä³ U x y y f t F S y t x x y x y ( , , ) ( , ) ; ( ( ) )� � ��� � � � � �� �� � � � 1 2 0 1 2 2 4 �� � � �[ ( ])y t x dt2 12 � , (15) äå f — äîâ³ëüíà ôóíêö³ÿ, äâ³÷³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà íà äîâ³ëüíîìó ñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó îñ³ t. Ïîêëàâøè ó (15) t x y� � cos �, òîáòî y t x y2 2 2 2� � �( ) sin �, îäåðæóºìî U x y f x y F S y( , , ) ( cos , ) ; sin sin� � � � � ��� � � � �� � �� � 0 1 2 2 2 1 4 d� � 0 � . (16) Ïîäàìî (16) ó âèãëÿä³ U x y y n n n n n ( , , ) ( ) ( ) ( sin ) sin ( )! ( ) � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 1 0 "� � 0 � � � �S f x y dn ( cos , ) . (17) Îòæå, ìຠì³ñöå íàñòóïíà òåîðåìà. Òåîðåìà 2. Äëÿ âñÿêèõ ôóíêö³é, âèçíà÷åíèõ äëÿ t R� ³ òàêèõ, ùî ðÿä ó (17) º ð³âíîì³ðíî çá³æíèì # �t R , � �$ % $0 U x y y n n S f n n n( , , ) ( ) sin ( )( sin ) ( )! ( ) (� � � � � �� � � �� � 2 1 21 2 x y d n � � � "� cos , )� � � � 00 º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ ( ),L S� # �$ � �� 0 0, ,y x R. ÏÎÁÓÄÎÂÀ ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ, ÙÎ ÂÈÇÍÀ×Àª ÐÎÇÂ’ßÇÎÊ Ð²ÂÍßÍÍß ( ) , L k n � Çàäà÷à Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ L U k n � , � 0 .  îáëàñò³ 0� � �x y, çíàéòè 2n ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâàíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ ( ) , L k n � , çà âèíÿòêîì, ìîæëè- âî, òî÷êè õ ó� � 0 , ³ òàêèé, ùî çàäîâîëüíÿº êðàéîâ³ óìîâè � � & & & � � m m x m U x f y 0 ( ) , m n� �0 2 1, , � � & & & � � U y y 0 0 . (18)  îñíîâó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ( ) , L k n � , (18) ïîêëàäåíî òàêó ëåìó. Ëåìà 1. ßêùî ôóíêö³¿ U x yr ( , ) ( , , , ... )r n� �0 1 2 1 º 2 1( )r � ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèìè ðîçâ’ÿçêàìè ð³âíÿííÿ (1) àáî, ùî òå ñàìå, ð³âíÿííÿ ( ) , L k� , òî ôóíêö³ÿ, âèçíà÷åíà ð³âí³ñòþ U x y U x y xr r r n ( , ) ( , )� � � " 0 1 , (19) çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ ( ) , L k n � . Äîâåäåííÿ. Çàñòîñóºìî ìåòîä ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿. 1. Ïîêàæåìî ñïðàâåäëèâ³ñòü òâåðäæåííÿ äëÿ n � 2 , òîáòî ðîçãëÿíåìî L U k� , 2 0� ( ) , L k� 2 — ð³âíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó. Çà äîïîìîãîþ áåçïîñåðåäíüî¿ ïåðåâ³ðêè ïåðåêîíóºìîñÿ â òîìó, ùî ôóíêö³ÿ U x y U x y xU x y( , ) ( , ) ( , )� �0 1 , äå U x yr ( , ) ( , )r � 0 1 , çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ ( ),L k� , º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ ( ) , L k� 2 : L U L L U k k k� � �, , ,( )2 � � � � � � � � � � � � � � � L L U L U x L U x x Lk k k k� � � � �, , , ,( ( )) (0 1 12 2 , )kU 1 0� . 2. Íåõàé ëåìà º ñïðàâåäëèâîþ äëÿ ÿêîãîñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n �1, òîáòî U x y U x y xr r n r( , ) ( , )� � � " 0 2 , äå L U x yk r� , ( ( , )) � 0, r n� �0 2, , çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ ( ) , L k n � �1 . 74 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 3. Íà îñíîâ³ ïðèïóùåííÿ äîâåäåìî ñïðàâåäëèâ³ñòü ëåìè ³ äëÿ íàñòóïíîãî íà- òóðàëüíîãî ÷èñëà n . Áåçïîñåðåäíüî ïåðåêîíóºìîñÿ â òîìó, ùî ôóíêö³ÿ, âèçíà÷åíà ð³âí³ñòþ (19), çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ ( ) , L k n � : L U L L U L L U x U x k n k k n k k n r r n n r n � � � � �, , , , , ( )� � �� � � � � 1 1 1 1 0 � � �" � � � � � � � � � � � � 2 1 1L x U k n n n� , ( ) , îñê³ëüêè L U x k n r r k n � , � � � " � � � �1 0 2 0 çà ïðèïóùåííÿì. Ïîêàæåìî, ùî L x U k n n n� , ( )� � �1 1 0 . Äëÿ ñïðîùåííÿ ïîçíà÷èìîU un� �1 . Òîä³ L x u L L x u k n n k n k n � � �, , ,( ) [ ( )]� � ��1 1 1 . Îêðåìî ðîçãëÿíåìî L x u x u y y u y ku x xk n n n � � , ( ) (� �� � � � � � � � � � � � � 1 1 2 2 2 2 2 � �1u) � � � � � � � � � � �x L u n n x u n x u x n k n n1 3 21 2 2 1� , ( )( ) ( ) . (20) гâí³ñòü (19) òàêîæ äîâîäèòüñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿. Äëÿ n �1 ð³âí³ñòü L Uk� , ( )0 0� º ñïðàâåäëèâîþ çà óìîâîþ ëåìè. Ïðèïóñêàºìî ñïðàâåä- ëèâ³ñòü (19) äëÿ r n� , òîáòî L x u k r r � , ( )� �1 0 , r n� . (21) Çâ³äñè ìàºìî L x u k n r � , ( )� �1 0 , r n� . Íàñïðàâä³, L x u L L x u k n r k n r k r r � � �, , , ( ) ( ( ))� � �� �1 1 0 . Çà äîïîìîãîþ ð³âíîñòåé (20) ³ (21) äîâîäèìî ñïðàâåäëèâ³ñòü (19) äëÿ n : L x u L n x u x n n x k n n k n n n � �, , ( ) ( ( ) ( )( )� � � �� � � � � � � �1 1 22 1 1 2 3u) � � � � � � � � � � � �� � �2 1 1 21 2 1( ) ( )( ) ( , , n L x u x n n L x k n n k n n � � � �3 0u) . Ëåìó äîâåäåíî. Çà äîïîìîãîþ äîâåäåíî¿ ëåìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ( ) , L k n � , (18) çâîäèòüñÿ äî â³äïîâ³äíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ð³âíÿííÿ ( ),L k� , ðîçâ’ÿçêàìè ÿêèõ º (13), (14). Ïðîäåìîíñòðóºìî íàâåäåíèé ï³äõ³ä äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ n � 2 . Çàäà÷à Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ ( ) , L k� 2 .  îáëàñò³ 0� � �x y, çíàéòè ÷îòèðè ðàçè íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ L U y x y y k U k� � , 2 2 2 2 2 2 2 0� � � � � � � � � � � � � � , (L k� , 2 ) ùî çàäîâîëüíÿº êðàéîâ³ óìîâè U f xx| ( )� �0 0 , � � � � U x f y x 0 1 ( ) , ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 75 � � � � 2 2 0 2 U x f y x ( ) , � � � � 3 3 0 3 U x f y x ( ) , (22) äå f yi ( ) ( , )i � 0 3 — çàäàí³ äîñòàòíº ÷èñëî ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿. Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ øóêàºìî ó âèãëÿä³ (19), äå n � 2, U x y U x y xU x y( , ) ( , ) ( , )� �0 1 . Îñê³ëüêè U 0 òà U 1 çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (1), òî çàäîâîëüíÿþ÷è êðàéîâ³ óìî- âè (22) äëÿ çíàõîäæåííÿ U x y0 ( , ) òà U x y1 ( , ) , îäåðæèìî òàê³ êðàéîâ³ çàäà÷³ � � � � � � � � � � 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 U y U x y U y kU � , U yx0 0 0| ( )� � � , � � � � U x y x 0 0 1� ( ) , (23) � � � � � � � � � � 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 U y U x y U y kU � , U yx1 0 0| ( )� � , � � � � U x y x 1 0 1 ( ) . (24) Òóò ôóíêö³¿ � � 0 1 0 1( ), ( ), ( ), ( )y y y y âèçíà÷àþòüñÿ ³ç ñèñòåìè ð³âíÿíü f y y0 0( ) ( )� � , f y y1 1( ) ( )� �� 0 ( )y , f y y v y y k y2 0 0 0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � � , f y y v y y k y y v y y3 1 1 1 0 0 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �� � � k y 0 ( ) � � � , ðîçâ’ÿçóþ÷è ÿêó [14], îäåðæóºìî �0 0( ) ( )y f y� , �1 ( )y � � � � � � � � � � � � ��y J k y dy y J k y y J y� � � � � 1 2 1 2 1 1 1 2 2 10 2 1 2 1( ) ( ) 2 2 0 2 2 1 ( ) ( )�� k y F y dy y , (25) äå F y f y v y f y kf y f y( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 2 3 2 1 1 1 3 � � , �0 1 1( ) ( ) ( )y f y y� � , 1 2 0 0 0 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y f y f y v y f y kf y� � � � � � � . Ðîçâ’ÿçêîì êîæíî¿ çàäà÷³ (23), (24) çã³äíî ç ðîçâ’ÿçàíîþ çàäà÷åþ 1 òà çàäà- ÷åþ 2 áóäå 76 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 U x y K x y t d d d m m t 0 2 1 1 2 0 ( , ) ( , , , ) ( ( )) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � x y x y dt � � � � � � � � K y t d b d d dt m m t y ( , , , ) [ ( )] ( ) � � � � � � � � � 2 1 2 0 yx d f y�� � � � � � � � � � 0 0� ( ) , äå b y f y v y f y kf y( ) ( ) ( ) ( )� � �0 0 0 2 , U x y K x y t d d d t m m1 0 2 1 1 2 ( , ) ( , , , ) ( ( )) ( ) � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � x y x y dt � � � � � � � � K y t d a d d dt m m t y ( , , , ) [ ( )] ( ) � � � � � � � � � 2 1 2 0 yx d y�� � � � � � � � � � 0 0� ( ) , äå a y y v y y k y( ) ( ) ( ) ( )� � � 0 0 0 2 , K x y t( , , , )� âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ ( )13 . Çã³äíî ç ðîçâ’ÿçêîì êîæíî¿ çàäà÷³ (23),(24) îñòàòî÷íèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ ( ) , L k� 2 (22) º U x y d x d K x y t d m m t ( , ) [ ( ( ) ( ))] ( ) ( , , , )� ��� � � � � � � �2 1 1 1 2 0 �� � � � � � � � � � � � x y x y dt � �� � � � � d b xa d K x y t d d m m t [ ( ) ( )] ( ) ( , , , ) � � � � � � �2 1 2 0 t d f y x y y yx � � � � � �� � � � �� ' ( � )� � �0 0 0 ( ) ( ), x y, � 0, äå �0 1 1, , âèçíà÷àþòüñÿ ð³âíîñòÿìè (25). гâíÿííÿ L U x y S n � � , ( , , ) � 0. Íåõàé y x T� � � � � � �0, , � . ²íòåãðàëüíå çîá- ðàæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â ð³âíÿííÿ L U y x y y S U x y S n n � � � , ( , , )� � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 0 ìîæíà ïîáóäóâàòè çà äîïîìîãîþ òàêî¿ ëåìè. Ëåìà 2. ßêùî ôóíêö³¿ U x yr ( , , )� ( , )r n� �0 1 º 2( )r �1 ðàç³â íåïåðåðâíî äè- ôåðåíö³éîâíèìè ðîçâ’ÿçêàìè ð³âíÿííÿ � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 0 U y U x r y U y SU � , òî ôóíêö³ÿ U x y y U x yr r r n ( , , ) ( , , )� �� � � " 2 0 1 çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ L U S n � , � 0 . Äîâåäåííÿ º àíàëîã³÷íèì äîâåäåííþ ëåìè 1. ³çüìåìî n � 2 . Òîä³ çà ëåìîþ 2 ³ çà òåîðåìîþ 2 äëÿ äîâ³ëüíèõ äâ³÷³ íåïå- ðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèõ íà ñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó ôóíêö³é f t g t( , ), ( , )� � ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 77 U x y f x y F S y( , , ) ( cos , ) ; sin sin� � � � � � �� � � � �� � ��� 0 0 1 2 2 2 4 � �1 � �d � � � � � �� � ��� �y g x y F S y d2 0 0 1 2 2 2 11 4 ( cos , ) ; sin sin� � � � � � � � º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ L U x y S� � , ( , , )2 0� . Îñîáëèâà çàäà÷à Êîø³. Ðîçâ’ÿçîê îñîáëèâî¿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ L U k n � , � 0 îòðèìàºìî çà äîïîìîãîþ òàêî¿ òåîðåìè [10]. Òåîðåìà 3. Íåõàé f xm2 ( ) ( , )m n� �0 1 — äîâ³ëüí³ ïîòð³áíå ÷èñëî ðàç³â íåïå- ðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ äëÿ �� � � �x ôóíêö³¿. Òîä³ ôóíêö³ÿ U x y( , ) � � � � � � � � � 1 2 1 0 0 0 2 1 1 0C f x y d k j j j n , ( cos )sin ( ) ( ) � � � �� � � �� � � � � � � � � "� " � � � �� * 1 0 2 2 0 1� � � k y n m n m m n j * � � � � � � � � � �� � � � � � " ( ) ( cos ) 1 1 1 2 2 l m l m n l j l m n j j j C C f x y C � , sin ( sin ) , � � �� � �� � � � � � ' ( � )� n m n mJ k y d1 2 ÿêà º 2n ðàç³â íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíîþ â îáëàñò³ y � 0 , çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ L U k n � , � 0 ³ óìîâè � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 0 2 0 1 y x U f x m n m y m ( ), , , � � � � � � � � � � � � � � � y y x U m y 2 2 2 2 0 0 . ÂÈÑÍÎÂÊÈ Çàäà÷à äëÿ ³òåðîâàíîãî ð³âíÿííÿ òèïó Åéëåðà–Ïóàññîíà–Äàðáó çâîäèòüñÿ äî â³äïîâ³äíèõ çàäà÷ äëÿ ð³âíÿííÿ òèïó Åéëåðà–Ïóàññîíà–Äàðáó. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ëÿøêî Ñ.È., Êëþøèí Ä.À., Îíîöêèé Â.Â., Ëÿøêî Í.È. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïåðåíîñîì ëåêàðñòâ èç ñèñòåì ìèêðîèãë. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 3. Ñ. 17–26. 2. Lyashko S.I., Klyushin D.A, Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age — structured contamination sources in ground water. In: Optimal control of age — structured populations in economy, demography, and the environment. Boucekkine R., Hritonenko N., Yatsenko Yu. (Eds). London; New York: Routledge, 2013. P. 277–292. 3. Ëÿøêî Ñ.È., Ñåìåíîâ Â.Â., Ñåðãèåíêî Ò.È. Óïðàâëÿåìîñòü è îïòèìèçàöèÿ ñèñòåì ïñåâäîãè- ïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2002. Ò. 38, ¹ 4. Ñ. 124–137. 4. Ëÿøêî Ñ.È., Íîìèðîâñêèé Ä.À., Ñåðãèåíêî Ò.È. Òðàåêòîðíàÿ è ôèíàëüíàÿ óïðàâëÿåìîñòü â ãèïåðáîëè÷åñêèõ è ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ îáîáùåííûì âîçäåéñòâèåì. Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. Ò. 37, ¹ 5. Ñ. 157–166. 5. Ëÿøêî Ñ.È., Ñåìåíîâ Â.Â. Îá óïðàâëÿåìîñòè ëèíåéíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì â êëàññàõ îá- îáùåííûõ âîçäåéñòâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. Ò. 37, ¹ 1. Ñ. 18–43. 6. Ëÿøêî È.È., Ëÿøêî Ñ.È., Ñåìåíîâ Â.Â. Óïðàâëåíèå ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñ ïîìîùüþ ñîñðåäîòî÷åííûõ âîçäåéñòâèé. Ïðîáë. óïð. è èíôîðìàòèêè. 2000. ¹ 5. Ñ. 30–45. 7. Ëÿøêî Ñ.È., Êëþøèí Ä.À., Ïàëèåíêî Ë.È. Ìîäåëèðîâàíèå è îáîáùåííàÿ îïòèìèçàöèÿ â ïñåâäîãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ïðîáë. óïð. è èíôîðìàòèêè. 1997. ¹ 5. Ñ. 78–87. 78 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 8. Gladky A.V. Investigation of wave processes in inhomogeneous media with imperfect contact conditions. Cybernetics and Systems Analysis. 2016. Vol. 52, N 2. P. 247–257. 9. Àëåêñàíäðîâè÷ È.Í., Çðàæåâñêàÿ Â.Ô. Çàäà÷à Êîøè è õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîãî êëàññà ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé âûñøåãî ïîðÿäêà. Äîêëàäû Àêàäåìèè íàóê Óêðàèíñêîé ÑÑÐ. 1991. ¹ 4. Ñ. 18–22. 10. Àëåêñàíäðîâè÷ ².Ì., Ñèäîðîâ Ì.Â.-Ñ. ²òåðàö³éíå ð³âíÿííÿ òèïó Åéëåðà–Ïóàññîíà–Äàðáó. ³ñíèê Êè¿âñüêîãî óí³âåðñèòåòó. 1999. ¹ 4. Ñ. 75–81. 11. Àëåêñàíäðîâè÷ ².Ì., Ñèäîðîâ Ì.Â.-Ñ. Çàäà÷à Êîø³ äëÿ òåëåãðàôíîãî ð³âíÿííÿ âèùîãî ïîðÿä- êó. Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. 1999. ¹ 1 (84). Ñ. 16–24. 12. Alexandrovich I.M., Sydorov M.V.-S. Differential operators specifying the solution of an elliptic iterated equation. Ukrainian Mathematical Journal. 2019. Vol. 71, N 3. P. 495–504. 13. Ëÿøêî ².²., Ñèäîðîâ Ì.Â.-Ñ., Àëåêñàíäðîâè÷ ².Ì. Îáåðíåííÿ äåÿêèõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü. Æóðíàë îá÷èñëþâàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. 2004. ¹ 2. Ñ. 25–30. 14. Êàìêå Ý. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. 576 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 24.06.2019 È.Í. Àëåêñàíäðîâè÷, Å.Ñ. Áîíäàðü, Ñ.È. Ëÿøêî, Í.È. Ëÿøêî, Í.Â.-Ñ. Ñèäîðîâ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ, ÎÏÐÅÄÅËßÞÙÈÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÈÒÅÐÈÐÎÂÀÍÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÃÈÏÅÐÁÎËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû, ïåðåâîäÿùèå ïðîèçâîëü- íûå ôóíêöèè â ðåãóëÿðíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà âòî- ðîãî è âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ðåøåíà çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè- ÷åñêîãî òèïà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Èñïîëüçîâàíèå àïïàðàòà ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â óäîáíîì äëÿ èññëåäîâàíèé âèäå. Ïîïóòíî ðåøåíû èíòåã- ðàëüíûå óðàâíåíèÿ òèïà ñâåðòêè ñî ñïåöèàëüíûìè ôóíêöèÿìè â ÿäðå. Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð, èòåðèðîâàííûå óðàâíåíèÿ ãèïåð- áîëè÷åñêîãî òèïà, ðåãóëÿðíûå ðåøåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíäóêöèÿ. I.M. Alexandrovich, O.S. Bondar, S.I. Lyashko, N.I. Lyashko, M.V.-S. Sydorov INTEGRAL OPERATORS THAT DETERMINE THE SOLUTION OF AN ITERATED HYPERBOLIC-TYPE EQUATION Abstract. Integral operators that translate arbitrary functions into regular solutions of the hyperbolic equation of the second and higher orders are constructed. The Cauchy problem for the fourth-order hyperbolic equation is solved. The use of the theory of special functions helped us to obtain the image of solutions of partial derivative equations in a form convenient for the analysis. Along the way, solvable integral equations with special functions in the kernel are solved. Keywords: integral operator, hyperbolic type iterated equations, regular solutions, mathematical induction. Àëåêñàíäðîâè÷ ²ðèíà Ìèêîëà¿âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: ialexandrovich@ukr.net. Áîíäàð Îëåíà Ñåð㳿âíà, àñï³ðàíòêà Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: alenkajob@gmail.com. Ëÿøêî Ñåðã³é ²âàíîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðà¿íè, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: lyashko.serg@gmail.com. Ëÿøêî Íàòàë³ÿ ²âàí³âíà, êàíäèäàò òåõí. íàóê, íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: lyashko.natali@gmail.com. Ñèäîðîâ Ìèêîëà Âîëîäèìèð-Ñòàí³ñëàâîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, email: myksyd@knu.ua. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 79
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190380
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1019-5262
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-07T18:47:52Z
publishDate 2020
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Александрович, І.М.
Бондар, О.С.
Ляшко, Н.І.
Ляшко, С.І.
Сидоров, М.В.-С.
2023-06-04T17:36:21Z
2023-06-04T17:36:21Z
2020
Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу / І.М. Александрович, О.С. Бондар, Н.І. Ляшко, С.І. Ляшко, М.В.-С. Сидоров // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 70–79. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
1019-5262
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190380
517. 95
Побудовано інтегральні оператори, що переводять довільні функції в регулярні розв'язки рівняння гіперболічного типу другого і вищих порядків. Розв'язано задачу Коші для рівняння гіперболічного типу четвертого порядку. Використання апарату спеціальних функцій надало змогу одержати зображення розв'язків рівнянь у частинних похідних у зручному для дослідження вигляді. Попутно розв'язано інтегральні рівняння типу згортки зі спеціальними функціями в ядрі.
Построены интегральные операторы, переводящие произвольные функции в регулярные решения уравнения гиперболического типа второго и высших порядков. Решена задача Коши для уравнения гиперболического типа четвертого порядка. Использование аппарата специальных функций позволило получить представление решений уравнений в частных производных в удобном для исследований виде. Попутно решены интегральные уравнения типа свертки со специальными функциями в ядре.
Integral operators that translate arbitrary functions into regular solutions of the hyperbolic equation of the second and higher orders are constructed. The Cauchy problem for the fourth-order hyperbolic equation is solved. The use of the theory of special functions helped us to obtain the image of solutions of partial derivative equations in a form convenient for the analysis. Along the way, solvable integral equations with special functions in the kernel are solved.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системний аналіз
Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
Интегральные операторы, определяющие решение итерированного уравнения гиперболического типа
Integral operators that determine the solution of an iterated hyperbolic-type equation
Article
published earlier
spellingShingle Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
Александрович, І.М.
Бондар, О.С.
Ляшко, Н.І.
Ляшко, С.І.
Сидоров, М.В.-С.
Системний аналіз
title Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
title_alt Интегральные операторы, определяющие решение итерированного уравнения гиперболического типа
Integral operators that determine the solution of an iterated hyperbolic-type equation
title_full Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
title_fullStr Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
title_full_unstemmed Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
title_short Інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
title_sort інтегральні оператори, що визначають розв'язок ітерованого рівняння гіперболічного типу
topic Системний аналіз
topic_facet Системний аналіз
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190380
work_keys_str_mv AT aleksandrovičím íntegralʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâgíperbolíčnogotipu
AT bondaros íntegralʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâgíperbolíčnogotipu
AT lâškoní íntegralʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâgíperbolíčnogotipu
AT lâškosí íntegralʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâgíperbolíčnogotipu
AT sidorovmvs íntegralʹníoperatoriŝoviznačaûtʹrozvâzokíterovanogorívnânnâgíperbolíčnogotipu
AT aleksandrovičím integralʹnyeoperatoryopredelâûŝierešenieiterirovannogouravneniâgiperboličeskogotipa
AT bondaros integralʹnyeoperatoryopredelâûŝierešenieiterirovannogouravneniâgiperboličeskogotipa
AT lâškoní integralʹnyeoperatoryopredelâûŝierešenieiterirovannogouravneniâgiperboličeskogotipa
AT lâškosí integralʹnyeoperatoryopredelâûŝierešenieiterirovannogouravneniâgiperboličeskogotipa
AT sidorovmvs integralʹnyeoperatoryopredelâûŝierešenieiterirovannogouravneniâgiperboličeskogotipa
AT aleksandrovičím integraloperatorsthatdeterminethesolutionofaniteratedhyperbolictypeequation
AT bondaros integraloperatorsthatdeterminethesolutionofaniteratedhyperbolictypeequation
AT lâškoní integraloperatorsthatdeterminethesolutionofaniteratedhyperbolictypeequation
AT lâškosí integraloperatorsthatdeterminethesolutionofaniteratedhyperbolictypeequation
AT sidorovmvs integraloperatorsthatdeterminethesolutionofaniteratedhyperbolictypeequation

Similar Items