Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке
Для дробно-дифференциальной математической модели выполнена постановка краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ с учетом иммобилизации в условиях установившейся профильной фильтрации грунтовых вод из водоема к дренажу. В случае осреднения скорости фильтрации по области комплексного по...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190381 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 80–96. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190381 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1903812025-02-09T09:47:59Z Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке Деякі крайові задачі дробово-диференційної мобільно-немобільної міграційної динаміки в профільному фільтраційному потоці Some boundary-value problems of fractional-differential mobile-immobile migration dynamics in a profile filtration flow Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. Системний аналіз Для дробно-дифференциальной математической модели выполнена постановка краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ с учетом иммобилизации в условиях установившейся профильной фильтрации грунтовых вод из водоема к дренажу. В случае осреднения скорости фильтрации по области комплексного потенциала получены замкнутые решения краевых задач, соответствующих вариантам классических и нелокальных граничных условий. В общем случае переменной фильтрационной скорости разработана методика численного решения краевой задачи конвективной диффузии в дробно-дифференциальной постановке, освещены вопросы распараллеливания вычислений и изложены результаты компьютерных экспериментов. Для дробово-диференційної математичної моделі виконано постановку крайових задач конвективної дифузії розчинних речовин з урахуванням імобілізації за умов усталеної профільної фільтрації ґрунтових вод з водойми до дренажу. У випадку усереднення швидкості фільтрації по області комплексного потенціалу отримано замкнуті розв'язки крайових задач, що відповідають варіантам класичних та нелокальних граничних умов. У загальному випадку змінної фільтраційної швидкості розроблено методику чисельного розв'язання крайової задачі конвективної дифузії в дробово-диференційній постановці, висвітлено питання розпаралелювання обчислень та наведено результати комп'ютерних експериментів Within the framework of the fractional differential mathematical model, the formulation of boundary-value problems of convective diffusion of soluble substances with regard to immobilization under the conditions of stationary filtration of groundwater from the reservoir to drainage is performed. In the case of averaging the filtration rate over the complex potential region, closed solutions of boundary value problems corresponding to classical and nonlocal boundary conditions are obtained. In the general case of a variable filtration velocity, a technique is developed for the numerical solution of a boundary-value problem of convective diffusion in a fractional-differential formulation, the problems of parallelizing computations are covered, and the results of computer experiments are presented. 2020 Article Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 80–96. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190381 517.9:519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке Кибернетика и системный анализ |
| description |
Для дробно-дифференциальной математической модели выполнена постановка краевых задач конвективной диффузии растворимых веществ с учетом иммобилизации в условиях установившейся профильной фильтрации грунтовых вод из водоема к дренажу. В случае осреднения скорости фильтрации по области комплексного потенциала получены замкнутые решения краевых задач, соответствующих вариантам классических и нелокальных граничных условий. В общем случае переменной фильтрационной скорости разработана методика численного решения краевой задачи конвективной диффузии в дробно-дифференциальной постановке, освещены вопросы распараллеливания вычислений и изложены результаты компьютерных экспериментов. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Богаенко, В.А. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| title_short |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| title_full |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| title_fullStr |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| title_full_unstemmed |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| title_sort |
некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190381 |
| citation_txt |
Некоторые краевые задачи дробно-дифференциальной мобильно-немобильной миграционной динамики в профильном фильтрационном потоке / В.М. Булавацкий, В.А. Богаенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 80–96. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm nekotoryekraevyezadačidrobnodifferencialʹnojmobilʹnonemobilʹnojmigracionnojdinamikivprofilʹnomfilʹtracionnompotoke AT bogaenkova nekotoryekraevyezadačidrobnodifferencialʹnojmobilʹnonemobilʹnojmigracionnojdinamikivprofilʹnomfilʹtracionnompotoke AT bulavackijvm deâkíkrajovízadačídrobovodiferencíjnoímobílʹnonemobílʹnoímígracíjnoídinamíkivprofílʹnomufílʹtracíjnomupotocí AT bogaenkova deâkíkrajovízadačídrobovodiferencíjnoímobílʹnonemobílʹnoímígracíjnoídinamíkivprofílʹnomufílʹtracíjnomupotocí AT bulavackijvm someboundaryvalueproblemsoffractionaldifferentialmobileimmobilemigrationdynamicsinaprofilefiltrationflow AT bogaenkova someboundaryvalueproblemsoffractionaldifferentialmobileimmobilemigrationdynamicsinaprofilefiltrationflow |
| first_indexed |
2025-11-25T13:23:08Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:23:08Z |
| _version_ |
1849768797673619456 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9:519.6
Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ, Â.À. ÁÎÃÀÅÍÊÎ
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÊÐÀÅÂÛÅ ÇÀÄÀ×È ÄÐÎÁÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ
ÌÎÁÈËÜÍÎ-ÍÅÌÎÁÈËÜÍÎÉ ÌÈÃÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ
 ÏÐÎÔÈËÜÍÎÌ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÌ ÏÎÒÎÊÅ
Aííîòàöèÿ. Äëÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âûïîë-
íåíà ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âå-
ùåñòâ ñ ó÷åòîì èììîáèëèçàöèè â óñëîâèÿõ óñòàíîâèâøåéñÿ ïðîôèëüíîé
ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä èç âîäîåìà ê äðåíàæó.  ñëó÷àå îñðåäíåíèÿ ñêî-
ðîñòè ôèëüòðàöèè ïî îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà ïîëó÷åíû çàìêíó-
òûå ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷, ñîîòâåòñòâóþùèõ âàðèàíòàì êëàññè÷åñêèõ
è íåëîêàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.  îáùåì ñëó÷àå ïåðåìåííîé ôèëüòðàöè-
îííîé ñêîðîñòè ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è
êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè â äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ïîñòàíîâêå, îñâåùåíû
âîïðîñû ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ âû÷èñëåíèé è èçëîæåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþ-
òåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè,
êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, ìîáèëüíî-íåìîáèëüíûå ìîäåëè ìèãðà-
öèè â ïîðèñòûõ ñðåäàõ, óðàâíåíèå äèôôóçèè äðîáíîãî ïîðÿäêà, êðàåâûå çà-
äà÷è, ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà çàäà÷àì ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äðîá-
íî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ïðîöåññîâ êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ
âåùåñòâ (ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ èììîáèëèçàöèè) â óñëîâèÿõ ïëîñêî-âåðòèêàëüíîé
óñòàíîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ. Òàêîãî
òèïà çàäà÷è âîçíèêàþò ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ âîïðîñîâ îõðàíû âîäíûõ ðåñóðñîâ
îò çàãðÿçíåíèé ïðîìûøëåííûìè è áûòîâûìè ñòîêàìè, à òàêæå â ñâÿçè ñ íåîáõî-
äèìîñòüþ ðàññîëåíèÿ è ïðîìûâêè ïî÷â ïðè ìåëèîðàöèè çåìåëü, îïðåñíåíèÿ
ãðóíòîâûõ âîä, èõ î÷èñòêè îò çàñîëåíèÿ è çàãðÿçíåíèÿ [1]. Îòìåòèì, ÷òî â ðàì-
êàõ êëàññè÷åñêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìàññîïåðåíîñà óêàçàííûì çàäà÷àì ïî-
ñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà (ñì., íàïðèìåð, [1–4]). Â ïîñëåäíåå âðåìÿ ðÿä çà-
äà÷, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê äàííîìó íàó÷íîìó íàïðàâëåíèþ, ïîñòàâëåí è ðåøåí
òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî ïîäõîäà [5–7].  îòëè÷èå
îò [5–7] â äàííîé ðàáîòå ïðèìåíÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìèãðàöèè íà îñíî-
âå MIM (mobile-immobile media) ïîäõîäà [8–10]. Îí îñíîâàí íà ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî íåêîòîðûå ÷àñòèöû, ïåðåíîñèìûå ÷åðåç ãåîïîðèñòóþ ñðåäó ôèëüòðàöèîííûì
ïîòîêîì, ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó Ôèêà è íå âçàèìîäåéñòâóþò ñ òâåðäûì ñêåëåòîì.
Îíè ñîñòàâëÿþò ïîäâèæíóþ ÷àñòü (ìîáèëüíàÿ ôàçà). Äðóãàÿ ÷àñòü (íåìîáèëüíàÿ
ôàçà) ñîñòîèò èç ÷àñòèö, îñåâøèõ íà òâåðäîì ñêåëåòå ñðåäû èëè íàõîäÿùèõñÿ
â ñâÿçàííîé æèäêîñòè. Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå èììîáèëèçàöèþ (çàõâàò ÷àñòè-
öû ñêåëåòîì ãðóíòà èëè ïîïàäàíèå åå â îáúåì ñâÿçàííîé æèäêîñòè), òî óðàâíå-
íèå êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ñ ó÷åòîì èììîáèëèçàöèè ïðèíèìàåò âèä [8–10]
�
�
�
�
�
�
C
t
C
t
CI� �( ) , (1)
ãäå C , CI — îáúåìíûå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â ìîáèëüíîé è íå-
ìîáèëüíîé ôàçàõ, � � �� I / , �, � I — ïîðèñòîñòü â ìîáèëüíîé è íåìîáèëüíîé
çîíàõ ñîîòâåòñòâåííî, �( )C d C C� � ��
�
� ,
�
� — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè, d — êî-
ýôôèöèåíò êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè, � — îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà.
80 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
© Â.Ì. Áóëàâàöêèé, Â.À. Áîãàåíêî, 2020
Ñîãëàñíî [10] äèíàìèêà îòòîêà ÷àñòèö â íåìîáèëüíóþ ôàçó îïèñûâàåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
�
�
�
C
t
D CI C
t
� , (2)
ãäå C
tD � — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïîðÿäêà �
( )0 1� �� ïî ïåðåìåííîé t [11]. Òîãäà ñ ó÷åòîì (2) óðàâíåíèå (1) MIM ìîäåëè
ïðèíèìàåò âèä [8–10]
�
�
� �
C
t
D C CC
t� �
�( ) , (3)
à ïîëíàÿ êîíöåíòðàöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ C C CI Itot � �� � .
Ñ ó÷åòîì ïàìÿòè è íàñëåäñòâåííûõ ñâîéñòâ ñðåäû â ïðîöåññå ìèãðàöèè â ìî-
áèëüíîé ôàçå óðàâíåíèå (3) çàïèøåòñÿ â âèäå, àíàëîãè÷íîì ïîëó÷åííîìó
â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âîäîîáìåíà â ìîáèëüíî-íåìîáèëüíûõ çîíàõ
íàáóõàþùèõ ïî÷â [12]:
Ñ
t
Ñ
tD C D C C� ��� � �( ) , (4)
ãäå Ñ
tD � — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïîðÿäêà �
( )0 1� �� ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé.
Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâ-
íåíèè (4), äàëåå âûïîëíåíà ïîñòàíîâêà íåêîòîðûõ äâóìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ êîí-
âåêòèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ (ñ ó÷åòîì èììîáèëèçàöèè) â óñëîâèÿõ
ïëîñêî-âåðòèêàëüíîé óñòàíîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä èç âîäîåìà â áå-
ðåãîâóþ äðåíó (âîäîïðèåìíèê).  ÷àñòíîñòè, ïðè îñðåäíåíèè ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè
ïî îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ ïîëó÷åíû ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ êàê
ñ êëàññè÷åñêèìè, òàê è íåëîêàëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.  îáùåì ñëó÷àå ïå-
ðåìåííîé ôèëüòðàöèîííîé ñêîðîñòè ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
êðàåâîé çàäà÷è â îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâíåíèè (4),
çàäà÷ó ìîäåëèðîâàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè ïðîöåññà êîíâåê-
òèâíîé äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â óñëîâèÿõ ïëîñêî-âåðòèêàëüíîé óñòà-
íîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä èç âîäîåìà AB ê áåñêîíå÷íîìó äðåíàæ-
íîìó êàíàëó CD , çàãëóáëåííîìó íà ãëóáèíó H (íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû ñîîòâåò-
ñòâóþùàÿ îáëàñòü ôèëüòðàöèè (à) è îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà
òå÷åíèÿ (á) äëÿ äàííîé çàäà÷è).
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ôèëüòðàöèîííàÿ ñõåìà äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíà. Íàïðè-
ìåð, â ðàáîòå [1] ïðèâåäåíî çàìêíóòîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîñêîé êðàå-
âîé çàäà÷è ôèëüòðàöèè, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé îáëàñòè
ôèëüòðàöèè G z (ðèñ. 1, à) íà îáëàñòü G� (ðèñ. 1, á) â ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïî-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 81
Ðèñ. 1. Îáëàñòü ôèëüòðàöèè â ôèçè÷åñêîé ïëîñêîñòè (à) è îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà
òå÷åíèÿ (á)
G�
D
C(�0)
�
B
A
Q
D( )
A B
y
C
H
Gz D( )
à á
x
òåíöèàëà òå÷åíèÿ � � � � i (� — ïîòåíöèàë ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè, — ôóíêöèÿ
òîêà).  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ôèëüòðàöèîííîé çàäà÷è íàéäåíà õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ òå÷åíèÿ z f� ( )� è òåì ñàìûì îïðåäåëåíî ïîëå ñêîðîñòåé òå÷åíèÿ (ñîîò-
âåòñòâóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ïðèâåäåíû â [1]).
Çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè
ïðîöåññà êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè ïðè óñòàíîâèâøåéñÿ ïðîôèëüíîé ôèëüòðàöèè
ãðóíòîâûõ âîä ñîîòâåòñòâåííî ðàññìàòðèâàåìîé ôèëüòðàöèîííîé ñõåìå ñôîðìó-
ëèðóåì êàê çàäà÷ó îòûñêàíèÿ â îáëàñòè G z
( , )0 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
C
t
C
tD C x y t D C x y t d
C
x
C
y
� ��( , , ) ( , , )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
� �x y
C
x
C
y
�
�
�
�
�
(5)
( , )0 1� �� �
ïðè êðàåâûõ óñëîâèÿõ
C C
C
n
C
yAB
AD BC CD
�
�
�
�
�
�
�1 0 0, ,
,
, (6)
C x y C x y( , , ) ( , )0 0� , (7)
ãäå C1 � const — çàäàííàÿ êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ íà âõîäå ôèëüòðà-
öèîííîãî ïîòîêà, C x y0 ( , ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êîí-
öåíòðàöèè, n — âíåøíÿÿ íîðìàëü ê ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé, d — êîýôôèöèåíò
êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè [2], � �x y, — ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè
íà îñè Ox è Oy ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîñêîëüêó îáëàñòü ôèëüòðàöèè G z — íåêàíîíè÷åñêàÿ îáëàñòü ñëîæíîé êîí-
ôèãóðàöèè, ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåìîãî
òèïà ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê íîâûì ïåðåìåííûì ( , )� — òî÷êàì ãåîìåòðè÷åñêè áî-
ëåå ïðîñòîé îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ, ÿâëÿþùåéñÿ [1] â äàííîé
çàäà÷å ïðÿìîóãîëüíèêîì G� (ðèñ. 1, á) ñî ñòîðîíàìè �0 , Q (�
0 � H ,
— êîýô-
ôèöèåíò ôèëüòðàöèè ãðóíòà, Q — ïîëíûé ôèëüòðàöèîííûé ðàñõîä). Òîãäà êðàå-
âóþ çàäà÷ó (5)–(7) äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà ìàòåìà-
òè÷åñêè ñôîðìóëèðóåì äëÿ îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ G� â âèäå
C
t
C
tD C t D C t d C t
C� �� � � � � �
�
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , )� � �
�
�
�2 �
�
�
�
�� (8)
( , )0 1� �� � ,
C C
C C
Q
�
� � ��
� � �
�
�
�
�
�
�
�
0 1
0
0 0
0
, ,
,
, (9)
C C( , , ) ( , )� � 0 0� , (10)
ãäå � � �
� �2 2 2
2 2
� � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
��x y
x y
, � �
�
�
�
�
�
2
2
2
2�
— îïåðàòîð Ëàïëàñà.
Ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ïåðåìåííûå è ïàðàìåòðû
�
�
�
� �
�
�
' ' ' ' '� � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
Q Q
t
Q
t C
C
C Q
, , , ,
/
0
2
1
1
0
2
�
�
�
�
� �
�� � �
�
�
1
0
0,
Q
,
d
d
Q
' '� �, �
�
� 0
(11)
82 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
(� 0 — õàðàêòåðíûé ñêîðîñòíîé ïàðàìåòð), ïåðåïèøåì êðàåâóþ çàäà÷ó (8)–(10)
â ñëåäóþùåì âèäå (çíàê «øòðèõ» â öåëÿõ óïðîùåíèÿ íàïèñàíèÿ ôîðìóë â
äàëüíåéøåì îïóñêàåòñÿ):
( ) ( , , ) ( , )C
t
C
tD D C t d
C C� �� � � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
C
�
(12)
( , )0 1� �� � ,
C
C C
�
� � ��
� � �
�
�
�
�
�
�
�
0
0 1
1 0 0
0
, ,
,
, (13)
C C( , , ) ( , )� � 0 0� . (14)
Ïðè ýòîì â íîâûõ ïåðåìåííûõ îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ êàê G� � � � � � � � �{ }( , ) : ,0 0 10 . Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëèðî-
âàíèå äèíàìèêè ìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïîäõîäà
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðàåâîé çàäà÷è (12)–(14) è ïîñëåäóþùåìó ïåðåõîäó èç
îáëàñòè G� â ôèçè÷åñêóþ îáëàñòü G z ñîãëàñíî ïðèâåäåííîìó â ðàáîòå [1] ðå-
øåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé ôèëüòðàöèîííîé çàäà÷è.
ÇÀÌÊÍÓÒÀß ÔÎÐÌÀ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È Â ÑËÓ×ÀÅ ÎÑÐÅÄÍÅÍÍÎÉ
ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ
 ñëó÷àå îñðåäíåíèÿ ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè ïî îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöè-
àëà òå÷åíèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî � � �2 2( , ) � �
M
const , èìååì âìåñòî (12)
óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
( ) ( , , )C
t
C
t M
D D C t d C
C� �� � �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
��
2 � . (15)
Òîãäà äëÿ êðàåâîé çàäà÷è (15), (13), (14) íåñëîæíî ïîëó÷èòü çàìêíóòîå ðåøå-
íèå. Äåéñòâèòåëüíî, èñêëþ÷àÿ èç (15) êîíâåêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïîäñòà-
íîâêîé
C t
d
w t( , , ) exp ( , , )�
�
� � �
�
�
�
�
�1
2
,
ïîëó÷àåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ w êðàåâóþ çàäà÷ó
( ) ( , , )C
t
C
t M
D D w t d w
w
d
� �� � �� � �
�
�
�
�
�
2
4
� (16)
( , )0 1� �� � ,
w w w
d
w
� �
� �
� � �
�
� � �
�
�
�
�
� �
0 0 1
1 0
1
2
0
0
, ,
,
, (17)
w f( , , ) ( , )� � 0 � , (18)
ãäå
f C
d
( , ) ( ( , ))exp� �
�
� � �
�
�
�
�
�1
2
0 . (19)
Ïðèìåíÿÿ ê çàäà÷å (16)–(18) êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå
Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé � âèäà [13]
w t w t dm
m( , ) ( , , )sin �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
���
00
0
, (20)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 83
ãäå �m � 0 — êîðíè óðàâíåíèÿ � �
�
ctg � � 0
2d
( , , ... )m �1 2 , èìååì
( ) ( , )
( , )
( , )C
t
C
t m M
m
m mD D w t d
w t
w t� �� �
� �
�
�
�2
2
2
, (21)
�
�
�
� �
w tm ( , )
,
0 1
0 , (22)
w F mm m( , ) ( ) ( , , ) 0 1 2� � � , (23)
ãäå
�
�
�
m M
m
d
d� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
2
0
2
1
4
, F f dm
m( ) ( , )sin �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
���
0 0
0
(24)
( , , )m �1 2 � .
Ïîñëåäóþùåå ïðèìåíåíèå ê ïîëó÷åííîé çàäà÷å (21)–(23) êîíå÷íîãî êîñè-
íóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå âèäà
~
( ) ( , )cos ( ) ( , , , , , , )w t w t n d m nmn m� � �� �
�
0
0
1 2 0 1 2� �
ïðèâîäèò åå ê çàäà÷å Êîøè
( )
~
( )
~
( )C
t
C
t mn mn mnD D w t w t� �� �� � � 0, (25)
~
( ) ( , , , , , , )w m nmn mn0 1 2 0 1 2� � �� � � , (26)
ãäå
�
��mn m Md n� � ( )2 , � �
�
�
� � �
�
mn
mf n d d�
�
�
�
�
���� ( , )sin cos( )
0
1
0 0
0
( , , , , , , )m n� �1 2 0 1 2� �
è f ( , )� îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (20).
Èñïîëüçîâàâ ðåçóëüòàòû ðàáîòû [14], ðåøåíèå çàäà÷è (25), (26) çàïèøåì
â âèäå
~
( ) [ ( , )( , ),w t t E t tmn mn mn� � � � ��
� � �
�� � � �� �
� � � � �
� � �1 1
� � � � �� �
�� � ��
� � � �
� � �
mn mnt E t t m n( , ), ( , )] ( , , , , ,1 1 2 0 1 2� , )� , (27)
ãäå E x y( , ), ( , )� � � �� — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà, îïðåäåëÿåìàÿ
ñîîòíîøåíèåì [14]
E x y
k
i k i
x y
kk i
k i k i
( , ), ( , )
!
!( )! (
� � � �
� � �
�
�
�
�
�
� � �
� �
0 0 � i)
,
�( )z — ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà [15].
Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï â ïðîöåññå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çà-
äà÷è ñîñòîèò â âîçâðàùåíèè â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ïî ãåî-
ìåòðè÷åñêèì ïåðåìåííûì. Ñ ó÷åòîì ôîðìóë îáðàùåíèÿ [13] ïîëó÷àåì èñêîìîå
çàìêíóòîå ðåøåíèå èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå
C t
d
d
d
m
m
( , , ) exp�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
1
4
2
4
4 2
0
2 0
2
2
2 0
2
2
0
d
w t
m
m
�
�
�
�
� �
1
0
1
2
~
( )
84 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
~
( )cos( ) sinw t nmn
n
m�
�
�
�
1 0
, (28)
ãäå
~
( ) ( , , , , , , )w t m nmn � �1 2 0 1 2� � îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (27).
Îòìåòèì, ÷òî ðÿäû â îïðåäåëÿþùåì èñêîìîå ðåøåíèå ñîîòíîøåíèè (28) ÿâ-
ëÿþòñÿ (ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ íèæå óñëîâèé) ñõîäÿùèìèñÿ. Äåéñòâèòåëü-
íî, ñ ó÷åòîì èçâåñòíûõ îöåíîê äëÿ ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [14]
| ( , ) |
| |
, | ( , ) |
|
( , ), ( , ),E x y
C
x
E x y
C
x
� � � � � � � �� ��
�
�
�
1 2
1 1 � y |
, (29)
ãäå C1, C2 0� �const , èç ñîîòíîøåíèé (27) ïîëó÷àåì
|
~
( ) | | | ( , , , , , , , )w t C C m nmn mn� � � � �� const 0 1 2 0 1 2� � . (30)
Ïîä÷èíèì ôóíêöèþ f ( , )� , îïðåäåëÿåìóþ ñîãëàñíî (19), ñëåäóþùèì
óñëîâèÿì:
f C G f f f f f� � � � �3
0 00 0 0( ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , )� � � �� � � f�� � ( , )0 0� ,
f f � �( , ) ( , )0 1 0� � . (31)
Òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèé (31) ñîîòíîøåíèÿ (30) çàïèøåì â âèäå
|
~
( ) | ( , , , )w t
C
C mm
m
0
3
3 3 0 1 2� � �
�
� ,
|
~
( ) |
( )
( , , , , )w t
C
n
C m nmn
m
� � �4
3 4 0 1 2
��
� .
Íà îñíîâàíèè äàííûõ îöåíîê çàêëþ÷àåì, ÷òî ðÿäû â (28) ñõîäÿòñÿ àáñîëþò-
íî è ðàâíîìåðíî â îáëàñòè � � � �: ( , ]�
G T ( )�� 0 è èõ ñóììà ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé íåïðåðûâíóþ â G T� �
[ , ] ôóíêöèþ.
ÊÐÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À Ñ ÍÅËÎÊÀËÜÍÛÌÈ ÃÐÀÍÈ×ÍÛÌÈ ÓÑËÎÂÈßÌÈ
Ðàññìîòðèì â îáëàñòè G�
( , )0 çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè êîíöåíòðàöèè
C t( , , )� , óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (15), íåñàìîñîïðÿæåííûì ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì
C
C C
C C
�
� �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
0
0
0 1
1 0 0
0
, , , (32)
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (14). Ïðè ýòîì ïîñëåäíåå èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé â ñî-
îòíîøåíèÿõ (32) ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê òðåáîâàíèå ðàâåíñòâà êîíöåí-
òðàöèé ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ íà ãðàíèöàõ AD è BC îáëàñòè ôèëüòðàöèè G z ,
à âòîðîå èç óñëîâèé â (32) ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ áûñòðîãî îòâîäà âîä èç äðå-
íàæà CD (ðèñ. 1, à).
Ìåòîäèêà ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (15), (32), (14) êðàòêî ñîñòîèò
â ñëåäóþùåì.
Èñêëþ÷èì èç óðàâíåíèÿ (15) êîíâåêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïîäñòàíîâêîé
C
d
w� �
�
�
�
�
�1
2
exp
�
è ïðèìåíèì ê ïîëó÷åííîé êðàåâîé çàäà÷å îòíîñèòåëüíî íåèç-
âåñòíîé ôóíêöèè w t( , , )� êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
ïî ïåðåìåííîé � âèäà (19).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì çàäà÷ó
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 85
( ) ( , )
( , )
( , )C
t
C
t m M
m
m mD D w t d
w t
w t� �� �
� �
�
�
�2
2
2
, (33)
�
�
� �
�
� �
w t
w wm
m m
( , )
,
0
0 1
0 , (34)
w F mm m( , ) ( ) ( , , ) 0 1 2� � � , (35)
ãäå Fm ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (24).
Ââèäó íàëè÷èÿ íåëîêàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (34) ðåøåíèå çàäà÷è (33)–(35)
èùåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñïåöèàëüíî âûáðàííîìó áàçèñó èç ñèñòåìû ôóíêöèé [16]
X X X nn n n n n0 1 21 2( ) , ( ) cos ( ), ( ) sin ( ), � � � �� � � � ( )n N� .
Âìåñòå ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
Y Y Yn n n n0 1 22 1 4 1 4( ) ( ), ( ) ( )cos ( ), ( ) sin ( � � � � � � � ) ( )n N�
äàííûå ñèñòåìû îáðàçóþò áèîðòîãîíàëüíóþ íà èíòåðâàëå ( , )0 1 ñèñòåìó ôóíêöèé,
è ëþáóþ ôóíêöèþ èç L2 0 1( , ) ìîæíî ðàçëîæèòü â áèîðòîãîíàëüíûé ðÿä [16, 17].
 ÷àñòíîñòè, ôóíêöèÿ w tm ( , ) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä âèäà
w t U t X U t Xm
m
kn
m
kn
nk
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) � �
�
�
��0 0
11
2
( )m N� , (36)
ãäå
U t w t Y U t w t Ym
m kn
m
m kn0 0
( ) ( )( ) ( ( , ), ( )), ( ) ( ( , ), ( )� � )
( , ; , )k m n N� �1 2 ,
( , )w Y — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â L2 0 1( , ).
Ðàçëàãàÿ ôóíêöèþ íà÷àëüíûõ óñëîâèé çàäà÷è â áèîðòîãîíàëüíûé ðÿä
F U X U Xm
m
kn
m
kn
nk
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) � �
�
�
��0 0
11
2
0 0 ,
ãäå
U F t Y a U F tm
m m kn
m
m0 0
00 0( ) ( ) ( )( ) ( ( , ), ( )) , ( ) ( ( , ),� � � Y akn mn
k( )) ( ) � (37)
( , ; , )k m n N� �1 2 ,
è ïðèìåíÿÿ ôîðìàëüíóþ ñõåìó ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì èç
(33)–(36) äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (36) òàêèå ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷:
( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( ) ( )C
t
C
t
m
m
m m
mD D U t U t U a� ��
� � � �
0 0 0
00 0 ( )m N� , (38)
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )C
t
C
t n
m
mn n
m
M n n
mD D U t r U t d U t� �� � �� � �
1 1
2
2
2 ), ( ) ,( ) ( )U a
n
m
mn1
10 � (39)
( ) ( ) ( ) , ( )( ) ( ) ( ) (C
t
C
t
m
mn n
m
n
m
mnD D U t r U t U a� ��� � � �
0 2 2
0 0 2) (40)
( , )m n N� ,
ãäå âåëè÷èíû amn
k( ) ( , , ; , )k m n N� �0 1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (37),
r d nmn m M� �
��4 2( ) .
Ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [14] ðåøåíèÿ çàäà÷ (38)–(40) ïðåäñòàâèì
â âèäå
U t a tm
m m0
0( ) ( ) ( , )( ) ( )� � � ( )m N� , (41)
U t a G t
n
m
mn mn2
2( ) ( ) ( , )( ) ( )� � � ( , )m n N� , (42)
86 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
U t a G t a t
n
m
mn mn mn mn1
1 2( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( ) ( ) ( )� �� � � �! ( , )m n N� , (43)
ãäå
m mt t E t t( , )
( , ),( ) ( , )� � � �
� � � � �
� � �� �
� � � � ��
� � �
�1 1
� � �� �
�
�
�
� � � �
� � �
m mt E t t( , ), ( , )1 ( )m N� , (44)
G t t E t r tmn mn
( , )
( , ),( ) ( , )� � � �
� � � � �
� � �� �� � � � ��
� � �
�1 1
� � �� �
�r t E t r tmn mn
�
� � � �
� � ��( , ), ( , )1 ( , )m n N� , (45)
!mn n M mn
t
t d z E z r z( , )
( , ),( ) ( , )� � �
� � � �
� � �� � �� � ��
�
�2 2 1
0
� �G t z dzmn
( , ) ( )� � (46)
( , )m n N� .
Òîãäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (41)–(43) ðåøåíèå çàäà÷è (33)–(35) ïðèíèìàåò âèä
w t a t X a G t am m m mn mn( , ) ( ) ( ) [( ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) � � � �� � �0
0
1 mn mn
n
nt X( ) ( , ) ( )) ( )2
1
1! � �
�
� �
� a G t Xmn mn n
( ) ( , ) ( ) ( )]2
2
� � ( )m N� ,
ãäå âåëè÷èíû m t( , ) ( )� � , G tmn
( , ) ( )� � , !mn t( , ) ( )� � ( , )m n N� îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî
ñîîòíîøåíèÿì (44)–(46). Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïî-
ëó÷èì, âîçâðàùàÿñü â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî ïåðåìåí-
íîé �. Ñ ó÷åòîì íàéäåííûõ ñîîòíîøåíèé èìååì
C t
d
d
d
m
m
( , , ) exp�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
1
2
2
4
4 2
0
2 0
2
2
2 0
2
2
0
d
a t
m
m m
�
�
�
�
� �
1
0( ) ( , ) ( ) � �
� � �
�
(( ( ) ( ))cos ( )( ) ( , ) ( ) ( , )a G t a tmn mn mn mn n
n
1 2� � � � � !
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��a G tmn mn n
m
n
( ) ( , ) ( ) sin ( )) sin ,2
0
� � �
�
�
� � � �2�n n N( ) . (47)
Âîïðîñû ñõîäèìîñòè ðÿäîâ â ñîîòíîøåíèè (47) ðåøàþòñÿ àíàëîãè÷íî èçëî-
æåííîìó âûøå. Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè îöåíîê (29) è ñîîòíîøåíèÿ [14]
z E m z m z dz t E m t
t
�
� � � �
� � � �
� � � �
�
( , ), ( , ),( , ) (�
�
� �� �1 2
0
1 1
�� �, )m t2
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (31), äîïîëíåííûõ ñîîòíîøåíèÿìè
f f( , ) ( , )� �0 1� , f f � �( , ) ( , )0 1� ,
óñòàíàâëèâàåì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ îöåíîê:
| ( ) | | ( ) |( ) ( ) ( , )U t a t
Cm
m m
m
0
0 1
3
� � � �
�
( , )C m N1 0� � �const ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 87
| ( ) | | ( ) |( ) ( ) ( , )U t a G t
C
n
m
mn mn
n m
2
2 2
3 3
� �� �
� �
( , , )C m n N2 0� � �const ,
| ( ) | | ( ) ( ) |( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )U t a G t a t
n
m
mn mn mn mn1
1 2� � �� � � �!
C C
n m n
3
3 3
41
� � �
�
�
�
�
�
��
( , , , )C C m n N3 4 0� � �const .
Îòñþäà íà îñíîâàíèè ìàæîðàíòíîãî ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò àáñîëþò-
íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü â îáëàñòè � � ðÿäîâ â ñîîòíîøåíèè (47) è íå-
ïðåðûâíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè C t( , , )� â îáëàñòè G T� �
[ , ] .
Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñ-
êèå ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè, òàêæå â ñëó÷àå çàäàíèÿ äðóãèõ òèïîâ [18, 19]
íåëîêàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
ÀËÃÎÐÈÒÌ ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È
 ÑËÓ×ÀÅ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÈ
Ïðè � � 2 ( , ) " const ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (12)–(14) ìîæíî
íàéòè íà îñíîâå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîãî ïîäõîäà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ââîäÿ â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü
� � � h i k j i kt ih i m k h k n� � � � � � � �{( , , ) : ( , ), ( . ) ( ,1 20 1 0 5 0 1),
t j j Nj � � �� ( , )0 1 },
ãäå h h1 2, , � — øàãè ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêèì ïåðåìåííûì � , è âðåìåíè t
ñîîòâåòñòâåííî, è îáîçíà÷àÿ � t
( )� äèñêðåòíûé àíàëîã ïðîèçâîäíîé Êàïóòî ïî-
ðÿäêà � , ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å àíàëîã ëîêàëüíî-îäíî-
ìåðíîé [20] ðàçíîñòíîé ñõåìû À.À. Ñàìàðñêîãî
1
2
2
0( ) ( )( ) ( )� �t tC C dC C� �
��
�
� �� � � , (48)
1
2
2( � � ) �( ) ( )� �t tC C dC� �
� �� � . (49)
Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
� , , ,/
/C C C C C C t tj j j
j j� � � � �� �
�
1 1 2
1 2
2
�
,
�
�
t s
j
t s
s
j
C C C b C( ) ( )
,
( )
( )�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
0
1
�
�
�
, (50)
�
�
t s
j
t s
s
j
C C C C( ) ( )
,
�
( )
( � (�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
1
2
2
2
0
1
1� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1)( ))C C , (51)
b j s j ss
j( ) � � �
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
1
1 1
1
2
1
2
,
� � � � �
s
j j s j s( ) [( ) ( ) ]� � � � �� � �1 1 11 , C
C C
t s
s s
, �
��1
�
,
C
�
0 , C �� — öåíòðàëüíàÿ è âòîðàÿ ðàçíîñòíûå ïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâåííî.
88 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Îòìåòèì, ÷òî â êëàññå äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé èìååò ìåñòî ñîîòíîøå-
íèå D u u Ot t
( ) ( ) ( )� � �� �� .
Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèè (48) ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû ñ ó÷åòîì (50) è ïðè-
âîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì íà ïîëóöåëîì âðåìåííîì ñëîå t j�1 2/ ñèñòåìó
óðàâíåíèé
A C B C S Cik i k
j
ik ik
j
ik i k
j
ik
j
�
� �
�
�� � �
1
1 2 1 2
1
1 2
,
/ /
,
/ ! ( , ; , ; , )i m k n j N� � �1 1 0 , (52)
ãäå
A
h
d
h
ik
ik� �
�
�
�
�
��
� 2
1 1
0 5. , S
h
d
h
ik
ik� �
�
�
�
�
��
� 2
1 1
0 5. , B w A Sik ik ik� � �� �, ,
!
� �ik
j s
j
s
j
ik
s
ik
s
b b C C
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
2 2 2
1( ) ( )
( ) ( )�
�
� �
� ��
�
�
� w C
ik
j
s
j
,
0
1
,
w� �
�
�
�
�� �
�
� �
,
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
2
2
2� �
, b j s j ss
j( ) � � �
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
1
1 1
1
2
1
2
.
Íà öåëîì âðåìåííîì ñëîå èç (49) ñ ó÷åòîì (51) íàõîäèì
P C Q C P Cik i k
j
ik ik
j
ik i k
j
ik
j
, ,�
� �
�
�� � �
1
1 1
1
1 � ( , ; , ; , )i m k n j N� � �1 1 0 , (53)
ãäå
P
d
h
Q w Pik
ik
ik ik� � �
�
� �
2
2
2
2, , ,
�
� �ik
j s
j
s
j
ik
s
ik
sC C
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
2 2 2
1
�
�
��
�
( ) ( )
( ) ( ) �
� � � �� � �� �
�
�
�
1
2
1 2 1 2
0
1
w C C w C
ik
j
ik
j
ik
j
s
j
,
/
,
/( ) ,
w� �
� � �
� �
�
� �
,
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
2 1
2
2 2 1
2
21 1
� �
�
, � � � � �
s
j j s j s( ) [( ) ( ) ]� � � � �� � �1 1 11 .
Çäåñü
s
j
�
�
� # �
0
1
0( ) ïðè j� �1 0.
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåì (52), (53) ÿâëÿþòñÿ òðåõòî÷å÷íûìè è ýôôåê-
òèâíî ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè [20, 21]. Ïðè ýòîì óñòîé÷èâîñòü ìåòîäà ïðî-
ãîíêè äëÿ (52) è (53) âûòåêàåò èç ôàêòà äèàãîíàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ â ìàòðèöàõ
êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ñîîòâåòñòâóþùèå
ïðîãîíî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
C C
ik
j
i k i k
j
i k
j�
� �
�
�
� �1 2
1 1
1 2
1
/
, ,
/
,
� � ( , ; , ; , )i m k n j N� � �1 1 0 ,
C C
ik
j
i k i k
j
i k
j�
� �
�
�
� �1
1 1
1
1
~ ~
, , ,
� � ( , ; , ; , )i m k n j N� � �1 1 0 ,
à ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
�
�
i k
ik
ik ik ik
A
B S
� �
�
1, , �
�
�
i k
j i k
ik
ik ik
j
ik
j
A
S
�
�
� �
1
1
,
,
( )! ,
~
~,�
�
i k
ik
ik ik ik
P
Q P
� �
�
1 ,
~
~
(
~
)
,
,
�
�
�
i k
j i k
ik
ik ik
j
ik
j
P
P
�
�
� �
1
1
� ( , ; , ; , )i m k n j N� � �1 1 0 .
Ñòàðòîâûå çíà÷åíèÿ ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ îïðåäåëÿþòñÿ íà îñíîâå
ðàçíîñòíûõ àíàëîãîâ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, èç êîòîðûõ íàõîäèì
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 89
� �1 1
0 1k k
j� �, ( , ; , )k n j N� �1 0 , ~ ,
~
� �i i
j
1 1
1 0� � ( , ; , )i m j N� �1 0 ,
C k n j N
m k
j m k
j
m k
�
� �
�
�
�
� �
1
1 2 1
11
1 0
,
/ ,
,
( , ; , )
�
�
, C i m j N
i n
j i n
j
i n
,
,
,
~
~
( , ; , )
�
� �
�
�
�
� �
1
1 1
11
1 0
�
�
.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì êðàòêîå îïèñàíèå îñíîâíûõ ýòàïîâ àëãîðèòìà êîì-
ïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé êðàåâîé çàäà÷è íà îñíîâå èç-
ëîæåííîé êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé ìåòîäèêè, áàçèðóþùåéñÿ íà ëîêàëüíî-îäíîìåð-
íîé ñõåìå À.À. Ñàìàðñêîãî.
Íà ïåðâîì ýòàïå íà îñíîâå àíàëèòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé [1] âû÷èñëÿþòñÿ
ýëåìåíòû ìàññèâà çíà÷åíèé ïîëÿ ñêîðîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàññìàòðèâàåìîé
ñõåìå ôèëüòðàöèè.
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ ôèëüòðàöèîííûõ ñêîðîñòåé íà âòîðîì ýòàïå ðåøàþòñÿ
ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (52), (53), ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìàññèâû
çíà÷åíèé ïîëåé êîíöåíòðàöèé â îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ.
Çàâåðøàþùèé ýòàï àëãîðèòìà âû÷èñëåíèé ñîñòîèò â ïåðåõîäå èç îáëàñòè êîì-
ïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ G� â ôèçè÷åñêóþ îáëàñòü G z íà îñíîâå èçâåñòíîé
èç [1] õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè òå÷åíèÿ z f� ( )� äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ôèëüò-
ðàöèîííîé ñõåìû.
ÐÀÑÏÀÐÀËËÅËÈÂÀÍÈÅ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ È ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÒÅÑÒÈÐÎÂÀÍÈß
ÏÀÐÀËËÅËÜÍÛÕ ÀËÃÎÐÈÒÌÎÂ
×èñëåííîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé â äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ èìååò âûñîêóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü. Ñðå-
äè ïîäõîäîâ ê åå ñíèæåíèþ âûäåëèì èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ ïàðàëëåëüíûõ
âû÷èñëåíèé [22–24] è ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà êîðîòêîé ïàìÿòè [25–27].  êîí-
òåêñòå áàëàíñèðîâêè òî÷íîñòè è âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè àïïðîêñèìàöèè
ñîãëàñíî áàçîâîìó ïðèíöèïó ôèêñèðîâàííîé ïàìÿòè [25] èñêëþ÷àåòñÿ ÷àñòü
èíôîðìàöèè î ðåøåíèÿõ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ ïî âðåìåíè, à èñïîëüçîâàíèå
ïðèíöèïà êóñî÷íîé ïàìÿòè [26] óìåíüøàåò ñëîæíîñòü àïïðîêñèìàöèåé ÿäðà
äðîáíîé ïðîèçâîäíîé ïðè ó÷åòå âñåõ ðåøåíèé íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ.
Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü îïåðàöèè âû÷èñëåíèÿ ñóìì â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ÑËÀÓ
(52), (53) èìååò íàèáîëüøåå âëèÿíèå íà áûñòðîäåéñòâèå àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çà-
äà÷è, ïîñêîëüêó âðåìÿ åå âûïîëíåíèÿ ëèíåéíî ïîâûøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì íîìå-
ðà øàãà ïî âðåìåíè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òîëüêî ñóììèðîâàíèå âûðà-
æåíèÿ � s
j
t s
s
j
C( )
,
�
�
�
0
1
.
Ïîìèìî íåïîñðåäñòâåííîãî ñóììèðîâàíèÿ (àëãîðèòì 1) ïðèâåäåì òðè àëãî-
ðèòìà, ñíèæàþùèõ âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ôèêñèðîâàííîé ïàìÿòè ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ äî
òåõ ïîð, ïîêà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå � �s
j( ) � 1, ãäå �1 — çàäàííàÿ êîíñòàíòà (àëãî-
ðèòì 2).  ýòîì ñëó÷àå âðåìÿ âûïîëíåíèÿ âû÷èñëåíèé, à òàêæå îáúåì ïàìÿòè,
íåîáõîäèìîé äëÿ õðàíåíèÿ ðåøåíèé, ñòàíîâÿòñÿ ïîñòîÿííûìè íà÷èíàÿ ñ íåêîòî-
ðîãî øàãà.
Ñëåäóþùèå äâà àëãîðèòìà ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû ôóíêöèè
g s j j s j ss
j( , ) / ( ) ( )( )� � � � � �� � �� � � � �1 1 11 .
Ðàçëîæèâ ( )j s� �� ñîãëàñíî îáîáùåííîé ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, àíàëî-
ãè÷íî [28] ïîëó÷èì
90 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
g s j f s f j f jn n n
n( , ) ( ) ( ), ( ) ( )( )( , ) ( , ) ( , )� � � �
�1 1 2 1 2 1 1 1�
� �
n
j n
n
�
�
�
�
�
� �
�
�
0
, (54)
f s
n
s sn
n n( , ) ( ) (( ) )1 1 1 11
1
1�
�
� �� � .
Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ f sn
( , ) ( )1 1 â ñõåìå (54), âû÷èñëåííûå äëÿ ôèêñèðîâàí-
íîãî s, ìîãóò áûòü êýøèðîâàíû è â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàíû ïðè èçìåíåíèè j.
Ñóììèðîâàíèå ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû (54) (àëãîðèòì 3) ìîæíî ðåêóððåíòíî
âûïîëíÿòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �
�� �
s
j
t s
s
j
n n
n jC
n
j S( )
, ,( ) ( )
�
�
� � �� $ � �
��
�
�
�
�
�
0
1
11 1
�
�
�
�
�
�
n
K
0
,
S S C f j Sn j n j t j n n, , ,
( , )
,( ),� � � �� �1 1
1 1
11 0.
Àëãîðèòì 4, îïèñàííûé â [29], áàçèðóåòñÿ íà äîïîëíåíèè ðÿäà (54) àïïðîê-
ñèìàöèåé ôóíêöèè g s j( , ) â âèäå ðÿäà Òåéëîðà ïî j â òî÷êå j b� . Ïðè ïîñëåäîâà-
òåëüíîì âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé � t C( ) �� íà êàæäîì ïîñëåäóþùåì øàãå èçìåíÿåòñÿ
è äîïîëíÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ ïðåäûäóùåãî øàãà, ñîñòîÿùàÿ èç ìíîæåñòâ
ðÿäîâ, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèõ g s j( , ) ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ �2 íà íåêîòîðûõ
èíòåðâàëàõ èçìåíåíèÿ j.
Âû÷èñëåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ÑËÀÓ, âîçíèêàþùèõ â ïðîöåññå äèñêðåòèçàöèè
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, âìåñòå ñ èõ ðåøåíèÿìè ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ íåçàâèñèìî.
Ýòî ïîçâîëÿåò íàïðÿìóþ ïðèìåíÿòü ê íèì ìíîãîïîòî÷íîå ðàñïàðàëëåëèâàíèå
è âû÷èñëåíèÿ íà ãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîðàõ (GPU).
Äîïîëíèòåëüíî àëãîðèòìû 1–3 äîïóñêàþò êîëëåêòèâíîå èñïîëüçîâàíèå ëî-
êàëüíîé ïàìÿòè ïîòîêàìè GPU-ïðîãðàììû äëÿ êýøèðîâàíèÿ çíà÷åíèé bs
j( ) è S n .
GPU-ðåàëèçàöèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà îäíîì øàãå ïî âðåìåíè âûïîëíåíà ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì òåõíîëîãèè OpenCL è ñîñòîèò èç ïàðàëëåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ ïðà-
âûõ ÷àñòåé ÑËÀÓ (êàæäûé ïîòîê âû÷èñëÿåò çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ÿ÷åéêå
ñåòêè), ðåøåíèÿ «ãîðèçîíòàëüíûõ», à çàòåì «âåðòèêàëüíûõ» ÑËÀÓ (êàæäûé ïî-
òîê ðåøàåò îäíó ÑËÀÓ ìåòîäîì ïðîãîíêè). Ïðè ìíîãîïîòî÷íîé ðåàëèçàöèè íà
öåíòðàëüíîì ïðîöåññîðå (CPU) íà îñíîâå òåõíîëîãèè OpenMP ðàñïàðàëëåëèâà-
ëîñü òîëüêî âû÷èñëåíèå ïðàâûõ ÷àñòåé ÑËÀÓ, òàê êàê èìåííî ýòà îïåðàöèÿ çà-
íèìàåò áîëüøóþ ÷àñòü âðåìåíè ïðè âû÷èñëåíèÿõ.
Ýêñïåðèìåíòàëüíî èçó÷àëàñü òî÷íîñòü è áûñòðîäåéñòâèå îïèñàííûõ âûøå
âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì. Òî÷íîñòü � îöåíèâàëàñü êàê ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îò-
êëîíåíèå ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ àëãîðèòìàìè 2–4, îò ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ïîëíîãî ñóììèðîâàíèÿ (àëãîðèòì 1). Âî âñåõ ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ïðè-
ìåíåíèå GPU íå ïðèâîäèëî ê ñóùåñòâåííîìó èçìåíåíèþ òî÷íîñòè. Ðåøåíèå
îñóùåñòâëÿëîñü íà ñåòêàõ ðàçìåðîì îò 50 50
äî 150 150
ÿ÷ååê ñ øàãîì ïî âðå-
ìåíè � � 0.001 äëÿ T � [ ; ]0 2 . Äëÿ àëãîðèòìîâ 2 è 4 �1 è �2 âàðüèðîâàëèñü â äèàïà-
çîíå [0.001; 0.1]. Êîëè÷åñòâî K ÷ëåíîâ ðÿäà â àëãîðèòìå 3 âàðüèðîâàëîñü â äèà-
ïàçîíå [25; 125]. Ðàçìåð ãðóïïû GPU-ïîòîêîâ äëÿ àëãîðèòìà 4 ðàâíÿëñÿ K, à äëÿ
àëãîðèòìîâ 1 è 2 — 32. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ àëãîðèòìà 1 ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà
ñåòêè îïòèìàëüíûé ðàçìåð ãðóïïû ïîòîêîâ óâåëè÷èâàëñÿ ñ 32 äî 64.
Çíà÷åíèÿ óñêîðåíèé àëãîðèòìîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 1. Àëãîðèòì 4 ïðîãíîçè-
ðóåìî ïðîâîäèò íàèëó÷øèå àïïðîêñèìàöèè äðîáíîé ïðîèçâîäíîé. Ïðè ýòîì íà-
áëþäàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíîå óñêîðåíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ àëãîðèòìîì 1. Àëãîðèòì 2
îáëàäàåò ñðàâíèìûì áûñòðîäåéñòâèåì ñ àëãîðèòìîì 3, ÷òî, îäíàêî, ñîïðîâîæäà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 91
åòñÿ ñíèæåíèåì òî÷íîñòè. Àëãîðèòì 3 ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî áîëåå áûñòðûì,
÷åì àëãîðèòì 4, îáëàäàÿ íèçøåé, íî ñîïîñòàâèìîé ñ íèì òî÷íîñòüþ.
Ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ÷ëåíîâ ðÿäà â àëãîðèòìå 3 ïðîèñõîäèò ðåçêîå ïà-
äåíèå ñêîðîñòè ïðè íåçíà÷èòåëüíîì óëó÷øåíèè òî÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äî-
ïóñòèìîé óòðàòå òî÷íîñòè îïòèìàëüíûì áûñòðîäåéñòâèåì îáëàäàåò àëãîðèòì 3,
ðàññìàòðèâàþùèé 25 ÷ëåíîâ ðÿäà (54). Òàêàÿ ñõåìà óñêîðÿåò ïðîöåññ âû÷èñëåíèé
ïî ñðàâíåíèþ ñ áàçîâûì àëãîðèòìîì â 14 ðàç ïðè ìíîãîïîòî÷íîì èñïîëíåíèè îáå-
èõ ñõåì íà CPU (â 126 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ âûïîëíåíèåì àëãîðèòìà 1 â îäíîïîòî÷-
íîì ðåæèìå) è â 2.2 ðàçà ïðè èñïîëíåíèè íà GPU (â 172 ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ âû-
ïîëíåíèåì àëãîðèòìà 1 â îäíîïîòî÷íîì ðåæèìå).
Îòìåòèì, ÷òî âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ íà N øàãàõ ðàñòåò ëèíåéíî äëÿ àë-
ãîðèòìîâ 2 è 3, ïðèáëèæåííî ê ëèíåéíîìó ñ îïðåäåëåííîãî øàãà äëÿ àëãîðèò-
ìà 4, èìåþùåãî ëîãàðèôìè÷åñêóþ ñëîæíîñòü [29], è êâàäðàòè÷íî äëÿ
àëãîðèòìà 1.
Óñêîðåíèÿ GPU-àëãîðèòìîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ èñïîëíåíèåì â îäíîïîòî÷íîì ðå-
æèìå íà CPU ëèíåéíî âîçðàñòàþò ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà ñåòêè. Ïðè ýòîì
âîçðàñòàíèå áîëüøå äëÿ áîëåå ìåäëåííûõ àëãîðèòìîâ. Óñêîðåíèå àëãîðèòìîâ 2–4
ïî ñðàâíåíèþ ñ àëãîðèòìîì 1 òàêæå ëèíåéíî âîçðàñòàåò äëÿ ñëó÷àÿ èñïîëíåíèÿ íà
ÑPU â îäíîïîòî÷íîì ðåæèìå. Ïðè ìíîãîïîòî÷íîì ðåæèìå ðîñò óñêîðåíèÿ íàáëþ-
äàåòñÿ òîëüêî äëÿ áîëåå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ 2 è 3, à ïðè èñïîëüçîâàíèè GPU
óñêîðåíèå âñåõ àëãîðèòìîâ ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî.
ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÄÈÍÀÌÈÊÈ
ÌÈÃÐÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ìîáèëüíî-íåìîáèëüíîé äèíàìèêè ìèãðàöèîííîãî ïðî-
öåññà â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âûïîëíåíî îòíîñèòåëü-
íî áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (11). Íåêîòîðûå èç
ïîëó÷åííûõ ïðè ýòîì ðåçóëüòàòîâ ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2–5.
92 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Ò à á ë è ö à 1
Êîíôèãóðàöèÿ
äëÿ îïðåäåëåíèÿ
óñêîðåíèÿ
Ðàçìåð
ñåòêè
Óñêîðåíèå àëãîðèòìîâ
Àëãîðèòì 1
Àëãîðèòì 4
(�2 � 0.1)
Àëãîðèòì 2
(�1 � 0.001)
Àëãîðèòì 3
(K � 25)
CPU (ìíîãîïîòî÷íîñòü)
ïî ñðàâíåíèþ ñ CPU
(îäèí ïîòîê)
50 50
8.75 5.90 5.74 2.17
100 100
13.42 6.03 8.38 3.21
150 150
15.74 6.13 8.25 3.58
GPU ïî ñðàâíåíèþ
ñ CPU (îäèí ïîòîê)
50 50
76.09 40.87 16.18 2.97
100 100
170.31 65.98 43.49 4.02
150 150
251.84 78.22 49.26 6.96
CPU (îäèí ïîòîê)
ïî ñðàâíåíèþ
ñ àëãîðèòìîì 1
50 50
— 1.60 8.20 58.13
100 100
— 1.95 9.32 72.99
150 150
— 2.70 12.60 89.18
CPU (ìíîãîïîòî÷íîñòü)
ïî ñðàâíåíèþ
ñ àëãîðèòìîì 1
50 50
— 1.08 5.37 14.41
100 100
— 0.87 5.82 17.46
150 150
— 1.05 6.61 20.27
GPU ïî ñðàâíåíèþ
ñ àëãîðèòìîì 1
50 50
— 0.86 1.74 2.27
100 100
— 0.75 2.38 1.72
150 150
— 0.84 2.47 2.47
Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþ-
ùèå âûâîäû îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè ïîëåé êîíöåíòðàöèé ðàñòâîðèìûõ âå-
ùåñòâ (ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ èììîáèëèçàöèè) â óñëîâèÿõ ïëîñêî-âåðòèêàëüíîé óñòà-
íîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä ñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ.
1. Â ðàìêàõ ìîáèëüíî-íåìîáèëüíîãî ïîäõîäà, ïðè çàäàííûõ ïîñòîÿííûõ
çíà÷åíèÿõ ïîðÿäêîâ äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ � è � , ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà � íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå çàïàçäûâàíèÿ ôîðìèðîâàíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèé
â òî÷êàõ ôèëüòðàöèîííîé îáëàñòè (ðèñ. 2 è 3).
2. Çàïàçäûâàíèå ôîðìèðîâàíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèé â òî÷êàõ îáëàñòè ôèëüòðà-
öèè íàáëþäàåòñÿ òàêæå â ñëó÷àå âîçðàñòàíèÿ âåëè÷èíû ïàðàìåòðà � ïðè ôèêñèðî-
âàííûõ çíà÷åíèÿõ � è � (ðèñ. 4).
3. ßâëåíèå çàïàçäûâàíèÿ ïðè ôîðìèðîâàíèè ïîëåé êîíöåíòðàöèé ñ èñïîëü-
çîâàíèåì ìîáèëüíî-íåìîáèëüíîãî ïîäõîäà â íàèáîëüøåé ñòåïåíè ïðîÿâëÿåòñÿ
â íà÷àëüíîé ñòàäèè ðàçâèòèÿ ìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà (ðèñ. 5).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 93
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 �
C
1
2
3
Ðèñ. 2. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé êîíöåíòðàöèé Ñ ( )� â ìîáèëüíîé ôàçå âäîëü ëèíèè òîêà
� 0.5 â ìîìåíò âðåìåíè t � 0.01 äëÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðè � � 0 (1); � � 0.2 (2);
� � 0.4 (3)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 �
C
3
2
1
Ðèñ. 3. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé êîíöåíòðàöèé Ñ ( )� â ìîáèëüíîé ôàçå âäîëü ëèíèè òîêà
� 0.5 â ìîìåíò âðåìåíè t � 0.01 â ñëó÷àå íåêëàññè÷åñêîé ìîäåëè ïðè � � 0.8, � � 0.6 äëÿ � � 0 (1);
� � 0.4 (2); � � 0.8 (3)
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äëÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äèôôóçèîííîãî ïðîöåñ-
ñà âûïîëíåíà ïîñòàíîâêà íåêîòîðûõ äâóìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ êîíâåêòèâíîé
äèôôóçèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ (ñ ó÷åòîì ÿâëåíèÿ èììîáèëèçàöèè) â óñëîâèÿõ
ïëîñêî-âåðòèêàëüíîé óñòàíîâèâøåéñÿ ôèëüòðàöèè ãðóíòîâûõ âîä èç âîäîåìà
â áåðåãîâóþ äðåíó.  ñëó÷àå îñðåäíåíèÿ ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè ïî îáëàñòè êîì-
ïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà òå÷åíèÿ ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷, ñî-
îòâåòñòâóþùèõ âàðèàíòàì êëàññè÷åñêèõ è íåëîêàëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
 îáùåì ñëó÷àå ïåðåìåííîé ôèëüòðàöèîííîé ñêîðîñòè ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è êîíâåêòèâíîé äèôôóçèè â äðîáíî-äèôôå-
ðåíöèàëüíîé ïîñòàíîâêå. Ðàññìîòðåíû âîïðîñû èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ ïàðàë-
ëåëüíûõ âû÷èñëåíèé è ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ íåêîòîðûõ âû-
÷èñëèòåëüíûõ ñõåì. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî
ìîäåëèðîâàíèþ îñîáåííîñòåé äèíàìèêè êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðèìåñåé â ïîäçåìíîì ôèëüòðàöèîííîì ïîòîêå.
94 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 �
C
1
2
3
4
Ðèñ. 4. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé êîíöåíòðàöèé Ñ ( )� â ìîáèëüíîé ôàçå âäîëü ëèíèè òîêà
� 0.5 â ìîìåíò âðåìåíè t � 0.01 â ñëó÷àå íåêëàññè÷åñêîé ìîäåëè ïðè � � 0.7 äëÿ � � 0 (1);
� � 0.2, � � 0.6 (2); � � 0.2, � � 0.8 (3); � � 0.2, � � 1.0 (4)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 t
C
1
2
3
4
5
6
Ðèñ. 5. Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êîíöåíòðàöèè Ñ t( ) â ìîáèëüíîé ôàçå â òî÷êå � � 0.5, � 0.5 ïðè
� � 0.7 äëÿ � � 0 (1); � � 0.2, � � 0.6 (2); � � 0.2, � � 0.8 (3); � � 0.2, � � 0.9 (4); � � 0.6, � � 0.8 (5);
� � 0.6, � � 0.9 (6)
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ëàâðèê Â.È., Ôèëü÷àêîâà Â.Ï., ßøèí À.À. Êîíôîðìíûå îòîáðàæåíèÿ ôèçèêî-òîïîëîãè÷åñêèõ
ìîäåëåé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1990. 376 ñ.
2. Ëÿøêî È.È., Äåì÷åíêî Ë.È., Ìèñòåöêèé Ã.Å. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ òåïëî- è ìàññîïåðåíî-
ñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. 264 ñ.
3. Ìèñòåöêèé Ã.Å. Ãèäðîñòðîèòåëüñòâî. Àâòîìàòèçàöèÿ ðàñ÷åòà ìàññîïåðåíîñà â ïî÷âîãðóíòàõ.
Êèåâ: Áóä³âåëüíèê, 1985. 136 ñ.
4. Ïîëóáàðèíîâà-Êî÷èíà Ï.ß. Òåîðèÿ äâèæåíèÿ ãðóíòîâûõ âîä. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 664 ñ.
5. Bulavatsky V.M. Mathematical modeling of dynamics of the process of filtration convection
diffusion under the condition of time nonlocality. Journal of Automation and Information Science.
2012. Vol. 44, N 4. P. 13–22.
6. Bulavatsky V.M. Numerical modeling of the dynamics of a convection diffusion process locally
non-equilibrium in time. Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 48, N 6. P. 861–869.
7. Bulavatsky V.M., Bogaenko V.A. Mathematical modeling of the dynamics of nonequilibrium in time
convection-diffusion processes in domains with free boundaries. Cybernetics and Systems Analysis.
2016. Vol. 52, N 3. P. 427–440.
8. Deans H.A., Rice U. A mathematical model for dispersion in the direction of flow in porous media.
Soc. Petrol. Eng. Journal. 1963. Vol. 3, Iss. 01. P. 49–52.
9. van Genuchten M.Th., Wierenga P.J. Mass transfer studies in sorbing porous media, 1: Analytical
solutions. Soil Science Society of America Journal. 1976. Vol. 40. P. 473–480.
10. Shumer R., Benson D.A., Meershaert M.M., Baeumer B. Fractal mobile/immobile solute transport.
Water Resour. Res. 2003. Vol. 39, N 10. P. 1296–1309.
11. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential
equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
12. Su N. Distributed-order infiltration, absorption and water exchange in mobile and immobile zones of
swelling soils. Journal of Hydrology. 2012. Vol. 468–469. P. 1–10.
13. Sneddon I. The use of integral transform. New York: Mc. Graw-Hill Book Comp., 1973. 539 p.
14. Luchko Yu., Gorenflo R. An operational method for solving fractional differential equations with
Caputo derivatives. Acta Mathematica Vietnamica. 1999. Vol. 24, N 2. P. 207–233.
15. Abramovitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and
mathematical tables. Mineola, New York: Dover, 1965. 831 p.
16. Èîíêèí Í.È. Ðåøåíèå îäíîé êðàåâîé çàäà÷è òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íåêëàññè÷åñêèì êðà-
åâûì óñëîâèåì. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1977. Ò. 13, ¹ 2. Ñ. 294–304.
17. Ìîèñååâ Å.È. Î ðåøåíèè ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì îäíîé íåëîêàëüíîé êðàåâîé çàäà÷è. Äèôôå-
ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1999. Ò. 35, ¹ 8. Ñ. 1094–1100.
18. Ìîêèí À.Þ. Îá îäíîì ñåìåéñòâå íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 2009. Ò. 45, ¹ 1. Ñ. 123–137.
19. Mokin A.Yu. Application of nonclassical separation of variables to a nonlocal heat problem.
Differential Equations. 2013. Vol. 49, N 1. P. 59–67.
20. Ñàìàðñêèé À.À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. 656 ñ.
21. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational heat transfer. New York: Wiley, 1995. Vol. 2.
422 p.
22. Diethelm K. An efficient parallel algorithm for the numerical solution of fractional differential
equations. Fract. Calc. Appl. Anal. 2011. Vol. 14, N 3. P. 475–490.
23. Gong C., Bao W., Tang G. A parallel algorithm for the Riesz fractional reaction-diffusion equation
with explicit finite difference method. Fract. Calc. Appl. Anal. 2013. Vol. 16, N 3. P. 654–669.
24. Biala T.A., Khaliq A.Q.M. Parallel algorithms for nonlinear time-space fractional parabolic PDEs.
Journal of Computational Physics. 2018. Vol. 375. P. 135–154.
25. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Academic Press, 1999. 341 p.
26. Gong C., Bao W., Liu J. A piecewise memory principle for fractional derivatives. Fract. Calc. Appl.
Anal. 2017. Vol. 20, N 4. P. 1010–1022.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 95
27. Ford N.J., Simpson A.C. The numerical solution of fractional differential equations: Speed versus
accuracy. Numerical Algorithms. 2001. Vol. 26, N 4. P. 333–346.
28. Bohaienko V.O. A fast finite-difference algorithm for solving space-fractional filtration equation
with a generalised Caputo derivative. Computational and Applied Mathematics. 2019. Vol. 38, N 3.
Article 105. https://doi.org/10.1007/s40314-019-0878-5.
29. Bohaienko V.O. Numerical schemes for modelling time-fractional dynamics of non-isothermal
diffusion in soils. Mathematics and Computers in Simulation. 2019. Vol. 157. P. 100–114.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 03.06.2019
Â.Ì. Áóëàâàöüêèé, Â.Î. Áîãàºíêî
ÄÅßʲ ÊÐÀÉβ ÇÀÄÀײ ÄÐÎÁÎÂÎ-ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÍί ÌÎÁ²ËÜÍÎ-ÍÅÌÎÁ²ËÜÍί
̲ÃÐÀÖ²ÉÍί ÄÈÍÀ̲ÊÈ Â ÏÐÎÔ²ËÜÍÎÌÓ Ô²ËÜÒÐÀÖ²ÉÍÎÌÓ ÏÎÒÎÖ²
Àíîòàö³ÿ. Äëÿ äðîáîâî-äèôåðåíö³éíî¿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ âèêîíàíî ïîñòà-
íîâêó êðàéîâèõ çàäà÷ êîíâåêòèâíî¿ äèôó糿 ðîç÷èííèõ ðå÷îâèí ç óðàõóâàí-
íÿì ³ìîá³ë³çàö³¿ çà óìîâ óñòàëåíî¿ ïðîô³ëüíî¿ ô³ëüòðàö³¿ ´ðóíòîâèõ âîä
ç âîäîéìè äî äðåíàæó. Ó âèïàäêó îñåðåäíåííÿ øâèäêîñò³ ô³ëüòðàö³¿ ïî îá-
ëàñò³ êîìïëåêñíîãî ïîòåíö³àëó îòðèìàíî çàìêíóò³ ðîçâ’ÿçêè êðàéîâèõ çàäà÷,
ùî â³äïîâ³äàþòü âàð³àíòàì êëàñè÷íèõ òà íåëîêàëüíèõ ãðàíè÷íèõ óìîâ.
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó çì³ííî¿ ô³ëüòðàö³éíî¿ øâèäêîñò³ ðîçðîáëåíî ìåòîäè-
êó ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ êîíâåêòèâíî¿ äèôó糿 â äðîáî-
âî-äèôåðåíö³éí³é ïîñòàíîâö³, âèñâ³òëåíî ïèòàííÿ ðîçïàðàëåëþâàííÿ îá÷èñ-
ëåíü òà íàâåäåíî ðåçóëüòàòè êîìï’þòåðíèõ åêñïåðèìåíò³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ, íåêëàñè÷í³ ìîäåë³, êîíâåêòèâ-
íî-äèôóç³éíèé ïðîöåñ, ìîá³ëüíî-íåìîá³ëüí³ ìîäåë³ ì³ãðàö³¿ â ïîðèñòèõ
ñåðåäîâèùàõ, ð³âíÿííÿ äèôó糿 äðîáîâîãî ïîðÿäêó, êðàéîâ³ çàäà÷³, íàáëè-
æåí³ ðîçâ’ÿçêè.
V.M. Bulavatsky, V.O. Bohaienko
SOME BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
MOBILE-IMMOBILE MIGRATION DYNAMICS IN A PROFILE FILTRATION FLOW
Abstract. Within the framework of the fractional differential mathematical
model, the formulation of boundary-value problems of convective diffusion of
soluble substances with regard to immobilization under the conditions of
stationary filtration of groundwater from the reservoir to drainage is performed.
In the case of averaging the filtration rate over the complex potential region,
closed solutions of boundary value problems corresponding to classical and
nonlocal boundary conditions are obtained. In the general case of a variable
filtration velocity, a technique is developed for the numerical solution of
a boundary-value problem of convective diffusion in a fractional-differential
formulation, the problems of parallelizing computations are covered, and the
results of computer experiments are presented.
Keywords: mathematical modeling, nonclassical models, convective-diffusion
process, mobile-immobile porous media migration models, fractional diffusion
equation, boundary-value problems, approximation solutions.
Áóëàâàöêèé Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóø-
êîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v_bulav@ukr.net.
Áîãàåíêî Âñåâîëîä Àëåêñàíäðîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: sevab@ukr.net.
96 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
|