Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора
Рассмотрена задача многокритериальной оптимизации, в которой вместо оптимизируемых функций использованы бинарные отношения выбора. Для решения такой задачи предложен алгоритм эволюционного случайного поиска, в котором вместо функции выбора в виде предпочтения используется функция выбора в виде блоки...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190384 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора / В.Ф. Иродов, Р.В. Барсук, Г.Я. Черноморец // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 122–128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859944224815841280 |
|---|---|
| author | Иродов, В.Ф. Барсук, Р.В. Черноморец, Г.Я. |
| author_facet | Иродов, В.Ф. Барсук, Р.В. Черноморец, Г.Я. |
| citation_txt | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора / В.Ф. Иродов, Р.В. Барсук, Г.Я. Черноморец // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 122–128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Рассмотрена задача многокритериальной оптимизации, в которой вместо оптимизируемых функций использованы бинарные отношения выбора. Для решения такой задачи предложен алгоритм эволюционного случайного поиска, в котором вместо функции выбора в виде предпочтения используется функция выбора в виде блокировки. Проанализирована сходимость предлагаемых эволюционных алгоритмов и для нее сформулированы достаточные условия. Сопоставлены результаты предложенного эволюционного поиска и известных эволюционных алгоритмов для одной тестовой задачи.
Розглянуто задачу багатокритерійної оптимізації, в якій замість оптимізованих функцій використано бінарні відношення вибору. Для розв'язування такої задачі запропоновано алгоритм еволюційного випадкового пошуку, в якому замість функції вибору у вигляді переваги використано функцію вибору у вигляді блокування. Проаналізовано збіжність запропонованих еволюційних алгоритмів і для неї сформульовано достатні умови. Порівняно результати запропонованого еволюційного пошуку і відомих еволюційних алгоритмів для однієї тестової задачі.
A multi-objective optimization problem is considered, in which binary choice relations are used instead of optimized functions. To solve this problem, it is proposed to use an evolutionary random search algorithm, in which instead of the choice function in the form of preference, the function of choice in the form of a lock is used. The convergence of the proposed evolutionary algorithms is analyzed, and sufficient conditions for convergence are formulated. The results of the proposed evolutionary search are compared with the results of well-known evolutionary algorithms for one test problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:13:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.816
Â.Ô. ÈÐÎÄÎÂ, Ð.Â. ÁÀÐÑÓÊ, Ã.ß. ×ÅÐÍÎÌÎÐÅÖ
ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÀß ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÐÈ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÎÌ
ÏÎÈÑÊÅ Ñ ÁÈÍÀÐÍÛÌÈ ÎÒÍÎØÅÍÈßÌÈ ÂÛÁÎÐÀ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, â êîòîðîé
âìåñòî îïòèìèçèðóåìûõ ôóíêöèé èñïîëüçîâàíû áèíàðíûå îòíîøåíèÿ âûáî-
ðà. Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è ïðåäëîæåí àëãîðèòì ýâîëþöèîííîãî ñëó÷àéíî-
ãî ïîèñêà, â êîòîðîì âìåñòî ôóíêöèè âûáîðà â âèäå ïðåäïî÷òåíèÿ èñïîëüçó-
åòñÿ ôóíêöèÿ âûáîðà â âèäå áëîêèðîâêè. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ñõîäèìîñòü
ïðåäëàãàåìûõ ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ è äëÿ íåå ñôîðìóëèðîâàíû äîñòà-
òî÷íûå óñëîâèÿ. Ñîïîñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ïðåäëîæåííîãî ýâîëþöèîííîãî
ïîèñêà è èçâåñòíûõ ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ îäíîé òåñòîâîé çàäà÷è.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýâîëþöèîííûé ïîèñê, ìíîãîêðèòåðèàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ,
áèíàðíûå îòíîøåíèÿ âûáîðà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé îñîáåííî âàæíû áèíàðíûå îòíîøåíèÿ âûáîðà [1].
Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé, â êîòîðûõ çàäà÷è ïîèñêà
ïîñëåäíèõ ôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé, ðàññìîòðåíû
â [2]. Çäåñü òàêæå ïðèâåäåíî îáîáùåíèå çàäà÷ íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
ñ ïîìîùüþ áèíàðíûõ îòíîøåíèé âûáîðà â çàäà÷è îáîáùåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ èíòåíñèâíî ðàçâèâàþòñÿ ýâîëþöèîííûå è ãåíåòè÷åñêèå
àëãîðèòìû äëÿ çàäà÷ ïîèñêà ðåøåíèé, íàïðèìåð, â [3–5] îíè ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðå-
øåíèÿ çàäà÷ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè. Â ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìàõ ïðè
ðåøåíèè óêàçàííûõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåòñÿ îïòèìèçàöèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé,
à íå áèíàðíûõ îòíîøåíèé âûáîðà, ÷òî áåçóñëîâíî ìèíèìèçèðóåò âîçìîæíîñòü èñ-
ïîëüçîâàíèÿ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ â çàäà÷àõ òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
Àëãîðèòì ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà ñ íåñêîëüêèìè âåòâÿìè ýâîëþöèè ðåøåíèé
ðåàëèçîâàí â [6, 7], äëÿ ðåøåíèé ñ áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè âûáîðà — â [8, 9]. Íà-
êîíåö, â [10] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ïîèñ-
êà ìàêñèìàëüíûõ, à íå íàèáîëüøèõ ýëåìåíòîâ ïî îòíîøåíèþ âûáîðà ïðè íàëè÷èè
íåñêîëüêèõ êðèòåðèåâ.
Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñòðîåíèå ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ïîèñêà
ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ïî ìíîãîêðèòåðèàëüíîìó áèíàðíîìó îòíîøåíèþ âûáîðà.
ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÀß ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß Ñ ÁÈÍÀÐÍÛÌÈ ÎÒÍÎØÅÍÈßÌÈ ÂÛÁÎÐÀ
Îáîçíà÷èì x x x x n� { }1 2, , ,� , x �� , ñîâîêóïíîñòü ïàðàìåòðîâ ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèé. Íà ìíîæåñòâå � îïðåäåëåíû áèíàðíûå îòíîøåíèÿ âûáîðà
R R R Rs s s s1 2, , , , ,� �� � . Çàïèñü xR ys� îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x ïðåäïî÷òèòåëüíåå y.
Ðàññìîòðèì ñîâìåñòíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå âèäà
xR y xR y xR y xR ys s s s� � � �( ) ( ) ( )1 2 � � . (1)
Äëÿ îòíîøåíèé Rs� ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ëþáûå äâà ýëåìåíòà: x y, , èç � ñîïîñ-
òàâèìû, ò.å. èìååò ìåñòî ( ) ( )xR y yR xs s� �� � �x y, � .
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Â.Ô. Èðîäîâ, Ð.Â. Áàðñóê, Ã.ß. ×åðíîìîðåö, 2020
Ïîëàãàåì, ÷òî Rs� ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè íåñòðîãîãî ïîðÿäêà ñî ñâîéñòâà-
ìè ðåôëåêñèâíîñòè xR xs� � �x � , òðàíçèòèâíîñòè ( ) ( )xR y yR z xR zs s s� � ��
� �x y z, , � è àíòèñèììåòðè÷íîñòè ( ) ( )xR y yR x x ys s� ��
� � �x y, � .
Äëÿ ñîâìåñòíîãî îòíîøåíèÿ RS (1) áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íå
âñå ýëåìåíòû x y, èç ìíîæåñòâà � ñîïîñòàâèìû ïî ýòîìó îòíîøåíèþ, ò.å.
� �x y, � , ( ) ( )xR y yR xs s� . (2)
Èìåííî òàêîé îáùèé ñëó÷àé ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè îïèñàí äàëåå.
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñî-
âìåñòíîå îòíîøåíèå RS èç äâóõ îòíîøåíèé âûáîðà â âèäå:
xR y xR y xR ys s s� �( ) ( )1 2 . (3)
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè ýëåìåíòû x, y, z ñîïîñòàâèìû ïî îòíîøåíèþ
RS , òî íà ïîäìíîæåñòâå �� èç � äëÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ îòíîøåíèå áóäåò èìåòü
ñâîéñòâà ðåôëåêñèâíîñòè (åñëè xR x xR xs s1 2� , òî xR xs ), òðàíçèòèâíîñòè (åñëè
[ ] [ ]xR y xR y yR z yR zs s s s1 2 1 2� � � , òî xR z xR zs s1 2� , ò.å. xR zs ) è àíòèñèììåòðè÷-
íîñòè (åñëè ( ) ( )xR y yR xs s� , òî [( ) ( )] [( ) ( )]xR y xR y yR x yR x x ys s s s1 2 1 2� � �
� ).
 ñèëó óñëîâèÿ (2) íå èìååò ñìûñëà ïîèñê íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíîãî ýëå-
ìåíòà ïî îòíîøåíèþ RS íà ìíîæåñòâå �.
Ïóñòü X — íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî èç �, X
�. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
âûáîðà íà ìíîæåñòâå X â âèäå ôóíêöèè áëîêèðîâêè
S X x X y X S X yR x
R R
S
S S( ) { | ( ) }� � � �[ \ ], . (4)
 ñîñòàâ ýëåìåíòîâ ôóíêöèè áëîêèðîâêè âõîäÿò ýëåìåíòû, äëÿ êîòîðûõ íå
ñóùåñòâóåò áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ïî îòíîøåíèþ âûáîðà RS âèäà
(3) èç ÷èñëà ýëåìåíòîâ, íå âîøåäøèõ â ñîñòàâ ôóíêöèè áëîêèðîâêè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè áëîêèðîâêè (4) èìååò ìåñòî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ôóíêöèé áëîêèðîâêè
S X S X S X
R R
l
RS S S
1 2
( ) ( ) ( ), , , ,� � (5)
òàêàÿ, ÷òî
S X S X S X
R R
l
RS S S
1 2
( ) ( ) ( )
�� , (6)
Îáîçíà÷èì X 0 òàêîå ìíîæåñòâî X 0
�, ÷òî
xR xS 0 � �x X0 0 , � �x X X\ 0 . (7)
Ìíîæåñòâî X 0 áóäåì íàçûâàòü ðåøåíèåì çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïî îòíîøå-
íèþ âûáîðà RS .
Èìååò ìåñòî
S X Xj
RS ( )
0 � � �j 1 2, , (8)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïî îòíîøåíèþ âûáîðà RS èñïîëüçóåì àë-
ãîðèòì ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà
X S G Xk
R
k
S� �( ( ))1 , k � �1 2, , , (9)
ãäå X k — ìíîæåñòâî ðåøåíèé k-ãî øàãà èòåðàöèè, S X
RS ( ) — ôóíêöèÿ âû-
áîðà â âèäå ôóíêöèè áëîêèðîâêè (4), G X( ) — ôóíêöèÿ ãåíåðàöèè:
G X X G Xn( ) ( )� � . (10)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 123
Çäåñü G Xn ( ) — ìíîæåñòâî íîâûõ ðåøåíèé, êîòîðûå ïîðîæäåíû íå÷åòêèì îò-
íîøåíèåì ãåíåðàöèè RG ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè �( , ): [ , ]y x � �� � 0 1 :
G X y x X yR x x yn G RG
( ) { | ( ) }� � � � �� , , ,� 0 . (11)
Äëÿ ôóíêöèè ãåíåðàöèè áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñëåäóþùåå. Åñëè x G Xn n� ( ), òî
P x S Xn l
RS{ ( )} >� � � 0 � �l 1 2, ,� , (12)
ãäå � — äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (12), xn — íîâîå ðåøåíèå.
Ïîä ñõîäèìîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X k ê ðåøåíèþ X 0 òàêîìó, ÷òî èìååò
ìåñòî (7), áóäåì ïîíèìàòü ñëåäóþùåå. Êàêîé áû íè áûë ïîðÿäêîâûé íîìåð l äëÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S X
l
RS ( ) èç (5), ñîîòâåòñòâóþùåé (6) è (8), íàéäåòñÿ òàêîé
íîìåð K, ÷òî äëÿ âñåõ k K� áóäåò âûïîëíÿòüñÿ X S Xk l
RS
( ).
Ðàññìîòðèì òàêèå àëãîðèòìû ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà, â êîòîðûõ ôóíêöèè
ãåíåðàöèè è âûáîðà ñîäåðæàò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ: G X( ) �
� { }
ë ý
x x x x xm N N1 2, , , , , , ,� � � , ãäå N ý — êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ (âîçìîæíûõ
ðåøåíèé) â ñîñòàâå ôóíêöèè ãåíåðàöèè, è S X x x x x
l
R
m N
S ( ) , , , , ,� { }
ë1 2 � � , ãäå
N ë — êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ (ëó÷øèõ ðåøåíèé) â ñîñòàâå ôóíêöèè âûáîðà.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé áëîêèðîâêè (5) èìååò
ñâîéñòâî (6), ôóíêöèè ãåíåðàöèè (10), (11) — ñâîéñòâî (12), à áèíàðíûå îòíîøå-
íèÿ Rs1 è Rs2 ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè íåñòðîãîãî ïîðÿäêà, òî àëãîðèòì (9) îáåñ-
ïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X k ê RS — îïòèìàëüíîìó ðåøåíèþ
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Åñëè ñðåäè N ë âûáèðàåìûõ ðåøåíèé m èç íèõ ïðèíàäëåæàò S X
l
RS ( ), òî ýòî
êîëè÷åñòâî íå ìîæåò óìåíüøèòüñÿ íà ñëåäóþùèõ øàãàõ èòåðàöèè. Ïîýòîìó, íå
óìåíüøàÿ îáùíîñòè, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî íàéäåòñÿ íîìåð øàãà èòåðàöèè,
íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî ÷èñëî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, ïðèíàäëåæàùèõ S X
l
RS ( ), óâå-
ëè÷èòñÿ íà åäèíèöó.
Ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî G X( ) â âèäå G X x x x xm N( ) , , , , , ,� {
ë1 2 � � �
� , x N ý
}, ãäå ïåðâûå m ðåøåíèé ïðèíàäëåæàò S X
l
RS ( ), ðåøåíèÿ ñ íîìåðàìè îò
( )m�1 äî N ë âõîäÿò â ÷èñëî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, íî åùå íå ïðèíàäëåæàò
S X
l
RS ( ); ðåøåíèÿ ñ íîìåðàìè îò N ë �1 äî N ý — âíîâü ãåíåðèðóåìûå ðåøåíèÿ.
Îáîçíà÷èì Ak�1 ñîáûòèå, êîãäà íè îäíî íîâîå ðåøåíèå íà ( )k �1 -ì øàãå
èòåðàöèè íå ïðèíàäëåæèò S X
l
RS ( ). Â ñèëó óñëîâèÿ (12) èìååì äëÿ âåðîÿòíîñòè
P Ak
N N
( ) ( )�
�� �1 1 � ý ë .
Àíàëîãè÷íî îáîçíà÷èì Ak� 2 ñîáûòèå, êîãäà íè îäíî íîâîå ðåøåíèå íà
( )k �2 -ì øàãå èòåðàöèè íå ïðèíàäëåæèò S X
l
RS ( ). Èìååì äëÿ âåðîÿòíîñòè
P Ak
N N
( ) ( )�
�� �2 1 � ý ë .
Äàëåå, îáîçíà÷èì Bk�1 ñîáûòèå, êîãäà ÷èñëî âûáðàííûõ ðåøåíèé, êîòîðûå
ïðèíàäëåæàò S X
l
RS ( ), íå óâåëè÷èòñÿ íà åäèíèöó íà ( )k �1 -ì øàãå èòåðàöèè. Èìå-
åì äëÿ âåðîÿòíîñòè P B P Ak k
N N
( ) ( ) ( )� �
�� � �1 1 1 � ý ë .
Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàÿ ñîáûòèÿ B B Bk k k n� � ��2 3, , , , ïîëó÷àåì äëÿ âå-
ðîÿòíîñòåé:
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 125
P B P A P Bk k k
N N
( ) ( ) ( ) ( )
( )
� � �
�� � � �2 2 1
2
1 � ý ë ,
��������������������
P B P A P Bk n k n k n
n N N
( ) ( ) ( ) ( )
( )
� � � �
�� � � �1 1 � ý ë .
Èññëåäóÿ ðÿä èç âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé
P Bk n
n
n N N
n
( ) ( )
( )
�
�
�
�
�
�
� �� � � �
1 1
1 � ý ë , (13)
óáåæäàåìñÿ, ÷òî îí ñõîäèòñÿ ïðè N Ný ë� �1.
Èç ñõîäèìîñòè ðÿäà (13) â ñèëó òåîðåìû Áîðåëÿ–Êàíòåëëè ñëåäóåò, ÷òî ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ 1 íàñòóïàåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñîáûòèé èç Bk n� , ò.å. íàéäåòñÿ íî-
ìåð N , äëÿ êîòîðîãî ÷èñëî ðåøåíèé, ïðèíàäëåæàùèõ S X
l
RS ( ), óâåëè÷èòñÿ íà
åäèíèöó, ÷òî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå 1.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäèôèêàöèþ àëãîðèòìà (9):
X S G Xjk
R
jk
S� �( ( ))1 , k � �1 2, , , j N�1 2, , ,� â, (14)
ãäå X jk — ìíîæåñòâî ðåøåíèé k-ãî øàãà èòåðàöèè äëÿ j-é âåòâè ýâîëþöè-
îííîãî ïîèñêà, N â — îáùåå êîëè÷åñòâî âåòâåé ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà,
S X
RS ( ) — ôóíêöèÿ âûáîðà â âèäå ôóíêöèè áëîêèðîâêè (4), G X( ) — ôóíê-
öèÿ ãåíåðàöèè.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé áëîêèðîâêè (5) èìååò
ñâîéñòâî (6), ôóíêöèè ãåíåðàöèè (10), (11) — ñâîéñòâî (12), à áèíàðíûå îòíîøå-
íèÿ Rs1 è Rs2 ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè íåñòðîãîãî ïîðÿäêà, òî ýâîëþöèîííûé àë-
ãîðèòì (14) îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé X jk ê RS — îïòè-
ìàëüíîìó ðåøåíèþ Õ 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 äëÿ âñåõ âåòâåé ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà
j N�1, â.
Äåéñòâèòåëüíî, äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ 2 äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî íîìåðà âåòâè ýâî-
ëþöèîííîãî ïîèñêà j. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàéäóòñÿ íîìåðà K K K N1 2, , ,�
â
òàêèå,
÷òî ïðè ïîðÿäêîâîì íîìåðå k K� 1, k K k K N� � �
2
, ,
â
áóäóò âûïîëíÿòüñÿ óñëî-
âèÿ ïðèíàäëåæíîñòè âûáðàííûõ ðåøåíèé X S Xk l
RS
1
( ), X S Xk l
RS
2
�( ),
�
, ( )X S XN k l
RS
â
. Òîãäà, âûáèðàÿ ïîðÿäêîâûé íîìåð K K K� max , ,{ 1 2 �
� , K N â
}, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè k K� � �j N1, â áóäåò âûïîëíÿòüñÿ X S Xjk l
RS
( ),
÷òî äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå 2.
Óòâåðæäåíèÿ 1 è 2, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ê àëãîðèòìàì ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà
âèäà (9) è (14), äàþò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ê îïòèìàëüíîìó ðåøå-
íèþ. Ïðè êîíêðåòèçàöèè ôóíêöèè ãåíåðàöèè ïîëó÷èì êîíêðåòíûé âèä ýòèõ
àëãîðèòìîâ. Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà �
R n .
Ïóñòü íà íåêîòîðîì øàãå èòåðàöèè ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà ðåøåíèÿ, âû-
áðàííûå äëÿ âñåõ åãî âåòâåé, èìåþò âèä { }x
lj
i , ãäå i ( , )i n�1 — ïîðÿäêîâûé íîìåð
ïåðåìåííîé l-ãî ( , )l N�1 ë âûáðàííîãî ðåøåíèÿ â j-é ( , )j N�1 â âåòâè ýâîëþöèè
ðåøåíèé. Ìîæíî îöåíèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ âñåõ âûáðàííûõ ðåøå-
íèé ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå
x
N N
xi
lj
i
l
N
j
N
0
11
1
�
��
��
â ë
ëâ
. (15)
Çàòåì ìîæíî âû÷èñëèòü ýìïèðè÷åñêèå äèñïåðñèè
� i lj
i i
l
N
j
N
N N
x x2
0
2
11
1
1
�
�
�
��
��
â ë
ëâ
( ) . (16)
Íà ñëåäóþùåì øàãå èòåðàöèè ãåíåðàöèÿ íîâûõ ðåøåíèé ïðîâîäèòñÿ ïî íîð-
ìàëüíîìó çàêîíó äëÿ êàæäîé ïåðåìåííîé x i ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ x
lj
i , l N�1, ë ,
j N�1, â , è äèñïåðñèåé � i
2 . Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �RG
íå-
÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ãåíåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ:
�
� � �
R
i i
i
i i
i
G
y x
y x
( , ) exp� �
��
�
�
�
�
�
!
"
#
#
$
%
&
&
1
2
1
2
2
. (17)
Óòâåðæäåíèå 3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé áëîêèðîâêè (5) èìååò
ñâîéñòâî (6), ãåíåðàöèÿ ðåøåíèé (11), (12) ïðîâîäèòñÿ ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó
ñ ó÷åòîì (15)–(17), îòíîøåíèÿ âûáîðà Rs1 è Rs2 íåñòðîãî ïîðÿäêà, òî ýâîëþ-
öèîííûé àëãîðèòì (10) îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé X jk
â åâêëèäîâîì ïîäïðîñòðàíñòâå ê RS (îïòèìàëüíîìó ðåøåíèþ X 0) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1
äëÿ âñåõ âåòâåé ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà j N�1, â.
Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíî, òàê êàê äëÿ îãðàíè÷åí-
íîãî åâêëèäîâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ (12).
×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒ
Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàáîòû àëãîðèòìà ðåøåíà òåñòîâàÿ çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëü-
íîé îïòèìèçàöèè [11], ðåçóëüòàòû êîòîðîé ñîïîñòàâëåíû ñ ðåçóëüòàòàìè èç-
âåñòíûõ ýâîëþöèîííûõ è ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ
min ( ( ), ( , , , ))f x f x x x m
1
1
2
1 2
� ,
f x1
1� ,
g x x
x
m
m
i
i
m
( , , )
( )
2
2
1 9
1
� � � �
��
� ,
f f g
f
g
2 1
11( , ) � � ,
x i �[ , ]0 1 , i m� �1, , , m � 30.
Äëÿ ðàñ÷åòà èñïîëüçîâàëèñü òàêèå ïàðàìåòðû ïîèñêà: âåòâè ýâîëþöèè — 3,
ãåíåðèðóåìûå ðåøåíèÿ â êàæäîé âåòâè íà îäíîì øàãå èòåðàöèè — 15, âûáèðàå-
ìûå ðåøåíèÿ â êàæäîé âåòâè íà îä-
íîì øàãå èòåðàöèè — 2. Äëÿ ïðèìå-
ðà íà ðèñ. 1 êîëè÷åñòâî èòåðàöèé —
115, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò 23000 âû÷èñ-
ëåíèé ôóíêöèé ñ íàèëó÷øèì ïðè-
áëèæåíèåì ê ôðîíòó Ïàðåòî.
 [11] ïðåäñòàâëåíû ðåøåíèÿ
ýòîé òåñòîâîé çàäà÷è ñ ïîìîùüþ
äðóãèõ àëãîðèòìîâ ìíîãîêðèòåðè-
àëüíîé îïòèìèçàöèè, à èìåííî ýâî-
ëþöèîííîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî
àëãîðèòìà (Fonseca and Fleming), ãå-
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
Ðèñ. 1. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è:
ñïëîøíàÿ ëèíèÿ — ôðîíò Ïàðåòî; � — ïðåäëîæåííûé
àëãîðèòì ýâîëþöèîííîãî ñëó÷àéíîãî ïîèñêà
ñ ôóíêöèåé âûáîðà â âèäå áëîêèðîâêè
f1
f2
íåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà (Horn and Nafpliotis; Deb and Goldberg), ãåíåòè÷åñêîãî àë-
ãîðèòìà íà îñíîâå âçâåøåííîé ñóììû (Hajela and Lin); ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà
âåêòîðíîé îöåíêè (Kursawe and Schwefel); ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà íåäîìèíàíòíîé
ñîðòèðîâêè (Srinivas and Deb); óñèëåííîãî ýâîëþöèîííîãî àëãîðèòìà Ïàðåòî
(Zitzler and Thiele). Äëÿ âñåõ àëãîðèòìîâ, ïðèâåäåííûõ â [11], êîëè÷åñòâî èòåðà-
öèé ïðåâûøàëî 25000 ïðè õóäøåì ïðèáëèæåíèè ê ôðîíòó Ïàðåòî.
Ïðåäñòàâëåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò äîñòàòî÷íî âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü
ïðèâåäåííîãî àëãîðèòìà, õîòÿ è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îòíîøåíèÿ âûáîðà —
ïî âåëè÷èíå äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé. Î÷åâèäíî, áîëåå èíòåðåñíî ðåøåíèå çà-
äà÷ îáùåãî âèäà — ñ áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè âûáîðà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ðàññìîòðåíà ìíîãîêðèòåðèàëüíàÿ îïòèìèçàöèÿ ïðè íàëè÷èè áèíàð-
íûõ îòíîøåíèé âûáîðà, ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à ïîèñêà ìàêñèìàëüíîãî ýëå-
ìåíòà íà äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå ðåøåíèé. Ñîñòàâíûì áèíàðíûì îòíîøåíèåì
ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ ñâÿçêà â âèäå êîíúþíêöèè èç áèíàðíûõ èñõîäíûõ îòíî-
øåíèé. Äëÿ ïîèñêà ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ïðåäëîæåí àëãîðèòì ýâîëþöèîííîãî
ïîèñêà ñ íåñêîëüêèìè âåòâÿìè ýâîëþöèè. Äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è â ýâî-
ëþöèîííîì àëãîðèòìå èñïîëüçîâàíà ôóíêöèÿ âûáîðà â âèäå ôóíêöèè áëîêè-
ðîâêè. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ñõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàåìûõ ýâîëþöèîííûõ àëãî-
ðèòìîâ ê ìàêñèìàëüíîìó ýëåìåíòó ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è. Ïî-
êàçàíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ ñâîéñòâàõ äëÿ ôóíêöèé ãåíåðàöèè è âûáîðà
ïðåäëàãàåìûå àëãîðèòìû ýâîëþöèîííîãî ïîèñêà îáåñïå÷èâàþò ñõîäèìîñòü
ïðîöåññà ê ìàêñèìàëüíîìó ýëåìåíòó ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ñ âåðîÿòíîñ-
òüþ 1 ïî âñåì âåòâÿì ýâîëþöèè ðåøåíèé. Îïèñàí îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñî-
áîâ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè ãåíåðàöèè ïðè ïîèñêå ðåøåíèÿ â åâêëèäîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì óñëîâèÿì ñõîäèìîñòè àëãîðèò-
ìîâ. Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàáîòû àëãîðèòìà ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû
ðåøåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, â êà÷åñòâå êîòî-
ðîé âûáðàí ÷àñòíûé ñëó÷àé îïòèìèçàöèè äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àéçåçìàí Ì.À., Àëåñêåðîâ Ô.Ò. Âûáîð âàðèàíòîâ: îñíîâû òåîðèè. Ìîñêâà: Íàóêà. Ãë. ðåä.
ôèç.-ìàò. ëèò., 1990. 240 ñ.
2. Þäèí Ä.Á. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû òåîðèè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ìîñêâà: Íàóêà, 1989. 320 ñ.
3. Lemarchand L., Masse� D., Rebreyend P., Ha'kansson J. Multiobjective optimization for multimode
transportation problems. Advances in Operations Research. 2018. Vol. 2018. Article ID 8720643.
13 ð. https://doi.org/10.1155/2018/8720643.
4. Sagawa M., Kusuno N., Aguirre H., Tanaka K., Koishi M. Evolutionary multiobjective optimization
including practically desirable solutions. Advances in Operations Research. 2017. Vol. 2017. Article
ID 9094514. 16 ð. https://doi.org/10.1155/2017/9094514.
5. Giagkiozis I., Fleming P.J. Pareto front estimation for decision making. Evolutionary Computation.
2014. Vol. 22, N 4. P. 651–678.
6. Irodov V.F., Maksimenkov V.P. Application of an evolutionary program for solving the
travelling-salesman problem. Sov. Autom. Control. 1981. Vol. 14, N 4. P. 7–10.
7. Irodov V.F. The construction and convergence of evolutional algorithms of random search for
self-organization. Sov. J. Autom. Inf. Sci. 1987. Vol. 20, N 4, P. 32–41.
8. Irodov V. Self-organization methods for analysis of nonlinear systems with binary choice relations.
System Analysis Modeling Simulation. 1995. Vol. 18–19. P. 203–206.
9. Irodov V.F., Khatskevych Yu.V. Convergence of evolutionary algorithms for optimal solution with
binary choice relations. Ñòðîèòåëüñòâî. Ìàòåðèàëîâåäåíèå. Ìàøèíîñòðîåíèå. Ñåð: Ýíåðãå-
òèêà, ýêîëîãèÿ, êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè â ñòðîèòåëüñòâå. 2017. Âûï. 98. Ñ. 91–96.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3 127
10. ×îðíîìîðåöü Ã.ß., ²ðîäîâ Â.Ô. Çàñòîñóâàííÿ áàãàòîêðèòåð³àëüíîãî â³äáîðó ïðè ïîøóêó
ð³øåíü ó çàäà÷àõ àíàë³çó òà ñèíòåçó ç òðóá÷àñòèìè ãàçîâèìè íàãð³âà÷àìè ó áóä³âåëüíèõ êî-
íñòðóêö³ÿõ. Ñòðîèòåëüñòâî, ìàòåðèàëîâåäåíèå, ìàøèíîñòðîåíèå: ñá. íàó÷. òð. 2015.
Âûï. 84: Ýíåðãåòèêà, ýêîëîãèÿ, êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè â ñòðîèòåëüñòâå. Ñ. 197–202.
11. Zitzler E., Deb K., Thiele L. Comparison of multiobjective evolutionary algorithms: Empirical
results. Evolutionary Computation. 2000. Vol. 8, N 2. P. 173–195.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 31.01.2019
Â.Ô. ²ðîäîâ, Ð.Â. Áàðñóê, Ã.ß. ×îðíîìîðåöü
ÁÀÃÀÒÎÊÐÈÒÅвÉÍÀ ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²ß ÄËß ÅÂÎËÞÖ²ÉÍÎÃÎ
ÏÎØÓÊÓ Ç Á²ÍÀÐÍÈÌÈ Â²ÄÍÎØÅÍÍßÌÈ ÂÈÁÎÐÓ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó áàãàòîêðèòåð³éíî¿ îïòèì³çàö³¿, â ÿê³é çàì³ñòü
îïòèì³çîâíèõ ôóíêö³é âèêîðèñòàíî á³íàðí³ â³äíîøåííÿ âèáîðó. Äëÿ ðîçâ’ÿ-
çóâàííÿ òàêî¿ çàäà÷³ çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì åâîëþö³éíîãî âèïàäêîâîãî ïî-
øóêó, â ÿêîìó çàì³ñòü ôóíêö³¿ âèáîðó ó âèãëÿä³ ïåðåâàãè âèêîðèñòàíî
ôóíêö³þ âèáîðó ó âèãëÿä³ áëîêóâàííÿ. Ïðîàíàë³çîâàíî çá³æí³ñòü çàïðîïîíî-
âàíèõ åâîëþö³éíèõ àëãîðèòì³â ³ äëÿ íå¿ ñôîðìóëüîâàíî äîñòàòí³ óìîâè.
Ïîð³âíÿíî ðåçóëüòàòè çàïðîïîíîâàíîãî åâîëþö³éíîãî ïîøóêó ³ â³äîìèõ åâî-
ëþö³éíèõ àëãîðèòì³â äëÿ îäí³º¿ òåñòîâî¿ çàäà÷³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åâîëþö³éíèé ïîøóê, áàãàòîêðèòåð³éíà îïòèì³çàö³ÿ, á³íàðí³
â³äíîøåííÿ âèáîðó.
V.F. Irodov, R.V. Barsuk, H.Ya. Chornomorets
MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION AT EVOLUTIONARY SEARCH
WITH BINARY CHOICE RELATIONS
Abstract. A multi-objective optimization problem is considered, in which binary
choice relations are used instead of optimized functions. To solve this problem,
it is proposed to use an evolutionary random search algorithm, in which instead
of the choice function in the form of preference, the function of choice in the
form of a lock is used. The convergence of the proposed evolutionary
algorithms is analyzed, and sufficient conditions for convergence are formulated.
The results of the proposed evolutionary search are compared with the results of
well-known evolutionary algorithms for one test problem.
Keywords: evolutionary search, multi-objective optimization, binary choice relations.
Èðîäîâ Âÿ÷åñëàâ Ôåäîðîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Ãîñóäàðñòâåííîãî âûñøåãî ó÷åáíîãî çàâåäåíèÿ «Ïðèäíåïðîâñêàÿ
ãîñóäàðñòâåííàÿ àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû» ÌÎÍ Óêðàèíû, Äíåïð, e-mail: vfirodov@i.ua.
×åðíîìîðåö Ãàëèíà ßêîâëåâíà,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Ãîñóäàðñòâåííîãî âûñøåãî ó÷åáíîãî çàâåäåíèÿ «Ïðèäíåïðîâñêàÿ
ãîñóäàðñòâåííàÿ àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû» ÌÎÍ Óêðàèíû, Äíåïð, e-mail: ChHYa@i.ua.
Áàðñóê Ðîìàí Âëàäèìèðîâè÷,
àññèñòåíò êàôåäðû Ãîñóäàðñòâåííîãî âûñøåãî ó÷åáíîãî çàâåäåíèÿ «Ïðèäíåïðîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ
àêàäåìèÿ ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû» ÌÎÍ Óêðàèíû, Äíåïð, e-mail: Igortrustimater@gmail.com.
128 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190384 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:13:10Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Иродов, В.Ф. Барсук, Р.В. Черноморец, Г.Я. 2023-06-04T17:57:44Z 2023-06-04T17:57:44Z 2020 Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора / В.Ф. Иродов, Р.В. Барсук, Г.Я. Черноморец // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 3. — С. 122–128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190384 519.816 Рассмотрена задача многокритериальной оптимизации, в которой вместо оптимизируемых функций использованы бинарные отношения выбора. Для решения такой задачи предложен алгоритм эволюционного случайного поиска, в котором вместо функции выбора в виде предпочтения используется функция выбора в виде блокировки. Проанализирована сходимость предлагаемых эволюционных алгоритмов и для нее сформулированы достаточные условия. Сопоставлены результаты предложенного эволюционного поиска и известных эволюционных алгоритмов для одной тестовой задачи. Розглянуто задачу багатокритерійної оптимізації, в якій замість оптимізованих функцій використано бінарні відношення вибору. Для розв'язування такої задачі запропоновано алгоритм еволюційного випадкового пошуку, в якому замість функції вибору у вигляді переваги використано функцію вибору у вигляді блокування. Проаналізовано збіжність запропонованих еволюційних алгоритмів і для неї сформульовано достатні умови. Порівняно результати запропонованого еволюційного пошуку і відомих еволюційних алгоритмів для однієї тестової задачі. A multi-objective optimization problem is considered, in which binary choice relations are used instead of optimized functions. To solve this problem, it is proposed to use an evolutionary random search algorithm, in which instead of the choice function in the form of preference, the function of choice in the form of a lock is used. The convergence of the proposed evolutionary algorithms is analyzed, and sufficient conditions for convergence are formulated. The results of the proposed evolutionary search are compared with the results of well-known evolutionary algorithms for one test problem. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора Багатокритерійна оптимізація для еволюційного пошуку з бінарними відношеннями вибору Multi-objective optimization at evolutionary search with binary choice relations Article published earlier |
| spellingShingle | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора Иродов, В.Ф. Барсук, Р.В. Черноморец, Г.Я. Системний аналіз |
| title | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| title_alt | Багатокритерійна оптимізація для еволюційного пошуку з бінарними відношеннями вибору Multi-objective optimization at evolutionary search with binary choice relations |
| title_full | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| title_fullStr | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| title_full_unstemmed | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| title_short | Многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| title_sort | многокритериальная оптимизация при эволюционном поиске с бинарными отношениями выбора |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190384 |
| work_keys_str_mv | AT irodovvf mnogokriterialʹnaâoptimizaciâpriévolûcionnompoiskesbinarnymiotnošeniâmivybora AT barsukrv mnogokriterialʹnaâoptimizaciâpriévolûcionnompoiskesbinarnymiotnošeniâmivybora AT černomorecgâ mnogokriterialʹnaâoptimizaciâpriévolûcionnompoiskesbinarnymiotnošeniâmivybora AT irodovvf bagatokriteríinaoptimízacíâdlâevolûcíinogopošukuzbínarnimivídnošennâmiviboru AT barsukrv bagatokriteríinaoptimízacíâdlâevolûcíinogopošukuzbínarnimivídnošennâmiviboru AT černomorecgâ bagatokriteríinaoptimízacíâdlâevolûcíinogopošukuzbínarnimivídnošennâmiviboru AT irodovvf multiobjectiveoptimizationatevolutionarysearchwithbinarychoicerelations AT barsukrv multiobjectiveoptimizationatevolutionarysearchwithbinarychoicerelations AT černomorecgâ multiobjectiveoptimizationatevolutionarysearchwithbinarychoicerelations |