О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении

Рассмотрена обратная задача по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении при начальных и граничных условиях. Специфика задачи состоит в том, что идентифицируемые параметры зависят от временной переменной и являются сомножителями коэффициента свободного члена правой части....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автор:	Рагимов, А.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190427
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 108–118. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190427
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1904272025-02-09T22:42:00Z О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении Про чисельне розв’язання оберненої задачі з відновлення джерела спеціального виду в параболічному рівнянні On numerical solution to an inverse problem of recovering source of a special type of parabolic equation Рагимов, А.Б. Системний аналіз Рассмотрена обратная задача по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении при начальных и граничных условиях. Специфика задачи состоит в том, что идентифицируемые параметры зависят от временной переменной и являются сомножителями коэффициента свободного члена правой части. Предложен численный метод решения задачи, основанный на методе прямых и специальном виде представления для решения. Метод не требует построения каких-либо итерационных процедур. Приведены результаты численных экспериментов, проведенных на тестовой задаче. Розглянуто обернену задачу з відновлення джерела спеціального виду в параболічному рівнянні з початковими і граничними умовами. Специфіка задачі полягає в тому, що ідентифіковані параметри залежать від часової змінної і є співмножниками коефіцієнта вільного члена правої частини. Запропоновано чисельний метод розв’язання задачі, що ґрунтується на методі прямих і спеціальному вигляді подання для розв’язування. Метод не вимагає побудови будь-яких ітераційних процедур. We consider an inverse problem of recovering a source of a special type of parabolic equation with initial and boundary conditions. The specificity of the problem is that the identifiable parameters depend only on a time variable and are factors of coefficients of the right-hand side of the equation. We propose a numerical method to solve the problem, which is based on the use of the method of lines and a special representation of the solution. The method does not require to construct any iterative procedures. The results of numerical experiments conducted for test problems are provided. 2020 Article О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 108–118. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190427 519.633 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Рагимов, А.Б. О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении Кибернетика и системный анализ
description	Рассмотрена обратная задача по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении при начальных и граничных условиях. Специфика задачи состоит в том, что идентифицируемые параметры зависят от временной переменной и являются сомножителями коэффициента свободного члена правой части. Предложен численный метод решения задачи, основанный на методе прямых и специальном виде представления для решения. Метод не требует построения каких-либо итерационных процедур. Приведены результаты численных экспериментов, проведенных на тестовой задаче.
format	Article
author	Рагимов, А.Б.
author_facet	Рагимов, А.Б.
author_sort	Рагимов, А.Б.
title	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
title_short	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
title_full	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
title_fullStr	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
title_full_unstemmed	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
title_sort	о численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190427
citation_txt	О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении / А.Б. Рагимов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 4. — С. 108–118. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT ragimovab očislennomrešeniiobratnoizadačipovosstanovleniûistočnikaspecialʹnogovidavparaboličeskomuravnenii AT ragimovab pročiselʹnerozvâzannâobernenoízadačízvídnovlennâdžerelaspecíalʹnogoviduvparabolíčnomurívnânní AT ragimovab onnumericalsolutiontoaninverseproblemofrecoveringsourceofaspecialtypeofparabolicequation
first_indexed	2025-12-01T12:14:08Z
last_indexed	2025-12-01T12:14:08Z
_version_	1850308033208385536
fulltext	ÓÄÊ 519.633 À.Á. ÐÀÃÈÌÎÂ Î ×ÈÑËÅÍÍÎÌ ÐÅØÅÍÈÈ ÎÁÐÀÒÍÎÉ ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÞ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÀ ÑÏÅÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÂÈÄÀ Â ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÎÌ ÓÐÀÂÍÅÍÈÈ Àííîòàöèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à ïî âîññòàíîâëåíèþ èñòî÷íèêà ñïåöèàëüíîãî âèäà â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè ïðè íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷- íûõ óñëîâèÿõ. Ñïåöèôèêà çàäà÷è ñîñòîèò â òîì, ÷òî èäåíòèôèöèðóåìûå ïà- ðàìåòðû çàâèñÿò îò âðåìåííîé ïåðåìåííîé è ÿâëÿþòñÿ ñîìíîæèòåëÿìè êî- ýôôèöèåíòà ñâîáîäíîãî ÷ëåíà ïðàâîé ÷àñòè. Ïðåäëîæåí ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è, îñíîâàííûé íà ìåòîäå ïðÿìûõ è ñïåöèàëüíîì âèäå ïðåä- ñòàâëåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ. Ìåòîä íå òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ êàêèõ-ëèáî èòåðàöè- îííûõ ïðîöåäóð. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðîâå- äåííûõ íà òåñòîâîé çàäà÷å. Êëþ÷åâûå ñëîâà: îáðàòíàÿ çàäà÷à, íåëîêàëüíûå óñëîâèÿ, ìåòîä ïðÿìûõ, ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ â ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâ- íåíèÿõ èññëåäîâàëàñü âî ìíîãèõ ïóáëèêàöèÿõ, íàïðèìåð [1, 2]. Â ðàáîòå [3] èçó÷àåòñÿ ðàçðåøèìîñòü îáðàòíûõ çàäà÷ ïî íàõîæäåíèþ íåèçâåñòíîãî âíåøíå- ãî âîçäåéñòâèÿ (ïðàâîé ÷àñòè) ñïåöèàëüíîãî âèäà. Èññëåäîâàíèþ óñëîâèé ñó- ùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïîñâÿùåíû ðàáîòû [1, 4, 5]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóåòñÿ ÷èñëåííîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è îòíîñè- òåëüíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïî âîññòàíîâëåíèþ èñòî÷íèêà ñïåöèàëüíîãî âèäà, â êîòîðîé èäåíòèôèöèðóåìûå êîýôôèöèåíòû çàâèñÿò ëèøü îò âðåìåííîé ïå- ðåìåííîé. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå ïîäõîäû. Îäèí èç íèõ çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè åå ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ, ÷èñëåííîå ðåøåíèå êîòîðîé òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè [6–9]. Äðóãîé ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ôóíäàìåíòàëüíîãî ðå- øåíèÿ çàäà÷è è ïðèâåäåíèè åå ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ. Â ñëó÷àå, êîãäà èìåþ- ùèåñÿ â çàäà÷å ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèå êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ, èìåþò îáùèé âèä, èñïîëüçîâàíèþ òàêîãî ïîäõîäà ïðåïÿòñòâóþò ñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè [10–13]. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ òàêæå ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèè ìåòîäà ñå- òîê (ÿâíûõ èëè íåÿâíûõ åãî ñõåì) äëÿ àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîé çàäà÷è. Ïðè ýòîì âî âñåõ ïîëó÷àåìûõ ñåòî÷íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ñîäåðæèòñÿ íåèç- âåñòíûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûé çíà÷åíèÿìè íåèçâåñòíûõ èñòî÷íèêîâ â òî÷êàõ ñåòêè. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîãîíêè, ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå [14], ñ ïðèìåíåíèåì ñïåöèàëüíîé ñõåìû ïðîãîíêè [15]. Íåäîñòàòêîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ áîëüøàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëó÷àåìîé ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ñïåöèôèêà ðàññìàòðèâàåìîé â íàñòîÿùåé ñòàòüå îáðàòíîé çàäà÷è çàêëþ÷à- åòñÿ, âî-ïåðâûõ, â òîì, ÷òî âîññòàíàâëèâàåìûå êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ ïðè ñâîáîäíîì ÷ëåíå, âî-âòîðûõ, îíè çàâèñÿò òîëüêî îò âðåìåííîé ïåðåìåííîé. Ýòà ñïåöèôèêà ïîçâîëÿåò ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ïðÿìûõ ñâåñòè ðåøåíèå èñõîä- íîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííîé çàäà÷è Êîøè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [16, 17]. 108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 © À.Á. Ðàãèìîâ, 2020 Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäëàãàåìîì â ðàáîòå ïîäõîäå äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâà- åìîé îáðàòíîé çàäà÷è ñ óêàçàííîé âûøå ñïåöèôèêîé íå èñïîëüçóþòñÿ êà- êèå-ëèáî èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíóþ çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ � � � � � � � � � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , x t t a x t x t x a x t x t x a x 2 2 1 2 t x t f x t F x t) ( , ) ( , ) ( , )� � � , (1) ( , ) {( , ): , }x t x t x l t T� � � � � �� 0 0 , ãäå F x t C x t B ts s s L ( , ) ( , ) ( )� � 1 , (2) ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ è óñëîâèÿõ ïåðåîïðåäåëåíèÿ � �( , ) ( )x x0 0� , x l�[ , ]0 , (3) � �( , ) ( )0 0t t� , � �( , ) ( )l t t� 1 , t T�[ , ]0 , (4) � �( , ) ( )x t ts s� 2 , x ls �( , )0 , t T�[ , ]0 , s L�1, ..., . (5) Çäåñü çàäàííûìè ÿâëÿþòñÿ L 0 — öåëîå ÷èñëî, îïðåäåëÿþùåå êîëè÷åñòâî èäåíòèôèöèðóåìûõ èñòî÷íèêîâ è óñëîâèé ïåðåîïðåäåëåíèÿ; òî÷êè x ls �( , )0 , s L�1, ..., ; íåïðåðûâíûå ïî x è t ôóíêöèè a x t( , ) � � 0 , a x t1 ( , ) , a x t2 ( , ) , f x t( , ) , �0 ( )x , � � �0 1 2 1( ), ( ), ( ), , ...,t t t s Ls � , � � const 0 ; C x ts ( , ), s L�1, ..., , — ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ôóíêöèè; a x t2 0( , ) � , �0 2 0( ) ([ , ])x C l� , � 2s t( ) � �C T1 0([ , ]) , \| ( , )\|C x ts k � � 0, s k L, , ...,�1 , t T�[ , ]0 , � � const 0 ; çàäàííûå òî÷êè xs, s L�1, ..., , x xi j� ïðè i j� , i j L, , ...,�1 ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè íàáëþäå- íèÿ, ôóíêöèè � � � �0 0 1 2( ), ( ), ( ), ( )x t t ts óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñîãëàñîâàíèÿ: � �0 00 0( ) ( )� , � �0 1 0( ) ( )l � , � �2 00s sx( ) ( )� , s L�1, ..., . Çàäà÷à (1)–(5) çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè íåèçâåñòíîé íåïðåðûâíîé L-ìåðíîé âåêòîð-ôóíêöèè B t B t B tL T( ) ( ( ), ..., ( ))� 1 è ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è �( , ) ( ) ( ), ,x t C C� 2 1 1 0� � , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (1)–(5). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ êàê íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à (1), (3), (4) ïðè çàäàííîé íåïðåðûâíîé L-ìåðíîé âåêòîð-ôóíêöèè B t B t B tL T( ) ( ( ), ..., ( ))� 1 , ò.å. ôóíêöèè F x t( , ) [18–21], òàê è îáðàòíàÿ çàäà÷à (1)–(5) èìåþò ðåøåíèÿ è îíè åäèíñòâåííû [1, 4, 5, 22]. Âîçìîæåí ñëó÷àé êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíîé çàäà÷è, êîãäà â óðàâíåíèè (1) ôóíêöèÿ F x t( , ) èìååò âèä F x t B x t C xs s s L ( , ) ( , ) ( )� � 1 , (6) ãäå ôóíêöèè B x ts ( , ) — çàäàíû, êîýôôèöèåíòû C ts ( ) èäåíòèôèöèðóþòñÿ, à âìåñòî äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (5) çàäàíî óñëîâèå � �( , ) ( )x t xs s� 1 , x l�[ , ]0 , t Ts �( , ]0 , s L�1, ..., . (7) Ýòîò ñëó÷àé ðàññìîòðåí â ðàáîòå [23]. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 109 Ê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ çàäà÷è (1)–(5) ïðèâîäèòñÿ ñëåäóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñ íåëîêàëüíûì (èíòåãðàëüíûì) êðàåâûì óñëîâèåì: � � � � � � � � � u x t t a t u x t x a t u x t x a t u x ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , 2 2 1 2 t f x t x t) ~ ( , ), ( , )� ��, (8) u t t( , ) ( )0 2� � , e u t d tk l � � � �( , ) ( ) 0 1� � , t T�[ , ]0 , (9) u x x( , ) ~ ( )0 0� � , x l�[ , ]0 , (10) ãäå ïîñòîÿííûå k, ôóíêöèè ~ ( , ), ( ), ( ), ~ ( )f x t t t x� � �0 1 0 — çàäàíû. Çàäà÷è âèäà (8)–(10) èññëåäîâàëèñü, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [13, 24]. Äëÿ ñâåäåíèÿ çàäà÷è (8)–(10) ê çàäà÷å (1)–(5) ââåäåì ôóíêöèþ � � ��( , ) ( , )x t e u t dk x � � 0 . (11) Äèôôåðåíöèðóÿ (11) ïî x, ïîëó÷àåì u x t e x t x kx( , ) ( , ) � � � � � . (12) Äèôôåðåíöèðóÿ (12) îäèí ðàç ïî t è äâàæäû ïî x è ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì � � � � � � � � �2 3 3 1 2 2 � � �( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ( )) ( ,x t t x a t x t x a t ka t x t) � � x 2 � � � � � �( ( ) ( ) ( )) ( , ) ~ ( , )k a t ka t a t x t x e f x tkx2 1 2 � . Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî x , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè B t( ): � � � � � � � � � � � � �( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ( )) ( , )x t t a t x t x a t ka t x t x 2 2 1 2 (13) � � � � �( ( ) ( ) ( )) ( , ) ( , ) ( ) ,k a t ka t a t x t f x t B t2 1 2 � ïðè ýòîì f x t e f t dk x ( , ) ~ ( , )� � � � � 0 . Èç (9)–(12) èìååì ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå è êðàåâûå óñëîâèÿ: �( , )0 0t � , � �( , ) ( )l t t� 1 , t T�[ , ]0 , (14) � �( , ) ( )x x0 0� , x l�[ , ]0 , (15) � � � � � ( , ) ( ) 0 2 t x t , t T�[ , ]0 , (16) ãäå � � � �� 0 0 0 ( ) ~ ( )x e dk x � � . Î÷åâèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòíî-îáðàòíàÿ çàäà÷à (13)–(16) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è (1)–(5). 110 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 2. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è (1)–(5), îñíîâàííûé íà èñ- ïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðÿìûõ. Çàäà÷à (1)–(5) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè. Â îáëàñòè � ïðîâåäåì ïðÿìûå t jhj t� , j N� 0 1, , ..., , h T Nt � / . Íà ýòèõ ïðÿìûõ îïðåäåëèì ôóíêöèè � �j jx x t( ) ( , )� , x l�[ , ]0 , j N� 0 1, , ..., , äëÿ êîòîðûõ íà îñíîâàíèè (3)–(5) èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà � �0 0( ) ( )x x� , x l�[ , ]0 , (17) � � �j j jt( ) ( )0 0 0� � , j N� 0, ..., , (18) � � �j j jl t( ) ( )� �1 1 , j N� 0, ..., , (19) � � �j s s j s jx t( ) ( ) ,� �2 2 , x ls �( , )0 , s L�1, ..., , j N� 0, ..., . (20) Íà ïðÿìûõ t t j� àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíûå � ��( , ) /x t t ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîñòíîé ñõåìû: � � � � � � � �� ( , ) ( ) ( ) ( ), , ..., x t t x x h O h j N t t j j t t j 1 1 . (21) Èñïîëüçóÿ (21) â óðàâíåíèè (1), ïîëó÷àåì N äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: �� j j j j j j sjx a x x a x x f x C x B( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( )1 2 sj s L � � 1 0 , (22) j N�1, ..., , x l�( , )0 , ãäå B B tsj s j� ( ) , ~ ( ) ( ) ( , ) ( , ) f x x h f x t a x t h j j t j j t � �� 1 , ~ ( ) ( , ) ( , ) ,C x C x t a x t sj s j j � ~ ( ) ( , ) ( , ) a x a x t a x t j j j 1 1� , ~ ( ) ( , ) ( , ) .a x a x t h a x t h j j t j t 2 2 1 � � Ñõîäèìîñòü ïðè ht � 0 è ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ïðÿìûõ ïðè àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ïî t â óðàâíåíèè (1) (â äàííîì ñëó÷àå ïðè àïïðîêñèìàöèè çàäà- ÷è (1)–(5) çàäà÷åé (22), (18)–(20) ñ ïîãðåøíîñòüþ, îöåíèâàåìîé êàê O ht( )) èññëå- äîâàíû â ðàáîòå [25]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè èçâåñòíûõ Bsj ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (22) ïðè ht � 0 ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ èñõîäíîé êðàåâîé çà- äà÷è (1)–(4). Èç ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ èñõîäíîé îáðàòíîé çàäà÷è (1)–(5) ìîæíî ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáðàò- íîé çàäà÷è (22), (18)–(20). Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è (22), (18)–(20) èëè åå íååäèíñòâåííîñòè àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà èìååò è èñ- õîäíàÿ çàäà÷à. Óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (22) äëÿ êàæäîãî j ðåøàþòñÿ íåçàâèñèìî è ïîñëåäîâà- òåëüíî, íà÷èíàÿ îò j �1 äî N , à ñëåäîâàòåëüíî, è êîìïîíåíòû âåêòîðà B B Bs s sN T� ( , ..., )1 îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 111 Òåîðåìà 1. Ïóñòü ôóíêöèè � j x( ) , sj x s L( ), , ...,�1 , ïðè x l�[ , ]0 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñëåäóþùèõ çàäà÷ Êîøè: �� j j j j j jx a x x a x x f x( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )1 2 0 , (23) � �j j( )0 0� , � �� j j( )0 2 , (24) �� sj j sj j sj sjx a x x a x x C x( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )1 2 0 , (25) sj ( )0 0� , � � sj ( )0 0 . (26) Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà Bsj ôóíêöèè � � j j sj sj s L x x x B( ) ( ) ( )� � � 1 , x l�[ , ]0 , (27) óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (22) è óñëîâèÿì (18), (19). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé (24), (26) î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè � j x( ) , îïðå- äåëÿåìûå èç (27), äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé Bsj , s L�1, ..., , j N�1, ..., , óäîâëåò- âîðÿþò óñëîâèÿì (18), (19). Ïðîâåðêà òîãî, ÷òî � j x( ) , j N�1, ..., , óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (22), ïðîâîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì äèô- ôåðåíöèðîâàíèåì (27) è ïîäñòàíîâêîé �� j x( ) è �� j x( ) â (22) ñ ó÷åòîì (23), (25): �� j j j j j j sjx a x x a x x f x C x B( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( )1 2 sj s L � � 1 � �� j sj sj s L j j j sx x B a x x a x( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) 1 1 1 j sj s L x B( ) � � 1 � � � � � � � � � � � �� ~ ~ ~ ~ a x x a x x B f x C x Bj j j sj sj s L j sj sj s L 2 2 1 1 � � �� [ ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )]� � �j j j j j jx a x x a x x f x1 2 � �� ( ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( )) sj j sj j sj sj sx a x x a x x C x B1 2 j s L � � 1 0 , j N�1, ..., , x l�( , )0 . � Íåñëîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà 2. Ïðåäñòàâëåíèå (27) äëÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå- íèÿ (22) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè (18), (19) åäèíñòâåííî. Ðåøèì ðàçäåëüíî äâå çàäà÷è Êîøè (23), (24) è (25), (26), èñïîëüçóÿ óñëî- âèå (20) è ïðåäñòàâëåíèå (27). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî � � �j s j s sj s sj s L s jx x x B( ) ( ) ( ) ,� � � � 1 2 , s L�1, ..., , (28) ïðåäñòàâëÿþùåå àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, èç êîòîðîé ìîæíî îïðåäå- ëèòü èäåíòèôèöèðóåìûé âåêòîð Bs, s L�1, ..., . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî L — ÷èñëî íåèç- âåñòíûõ ôóíêöèé, ó÷àñòâóþùèõ â óðàâíåíèè (1), êàê ïðàâèëî, â ðåàëüíûõ çàäà- ÷àõ íåâåëèêî, äëÿ ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (28) ìîæíî èñ- ïîëüçîâàòü êàêèå-ëèáî èçâåñòíûå ìåòîäû, íàïðèìåð Ãàóññà èëè èòåðàòèâíûå ìåòîäû. 112 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 Ðàçðåøèìîñòü ñèñòåìû (28) çàâèñèò îò ðàçðåøèìîñòè îáðàòíîé çàäà÷è (22), (18)–(20) è íàîáîðîò, åñëè ñèñòåìà (28) íå èìååò ðåøåíèÿ, òî íå èìååò ðåøåíèÿ çàäà÷à (22), (18)–(20), à ñëåäîâàòåëüíî, è èñõîäíàÿ çàäà÷à (1)–(5). Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (28) è èñõîäíîé îáðàòíîé çàäà÷è (1)–(5) âçàèìîñâÿçàíû. Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è (22), (18), (19) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ � j x( ) , x l�[ , ]0 . Äà- ëåå ïðîöåäóðà (23)–(28) ïîâòîðÿåòñÿ íà ïðÿìîé t t j� �1, íà êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ � j x�1 ( ) . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ïàðàìåòðîâ Bs, s L�1, ..., , íåîáõîäèìî ðåøèòü N ðàç çàäà÷ó Êîøè îòíîñèòåëüíî ( )L �1 íåçàâèñè- ìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Âû÷èñëåííûé âåêòîð B B t B ts s s N T� ( ( ), ..., ( ))1 ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ èíòåðïîëÿöèè èëè àïïðîêñè- ìàöèè äàëåå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âèäà ôóíê- öèè B ts ( ) . 3. ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ×ÈÑËÅÍÍÛÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ Ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè. Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó � � � � � � � �( , ) ( ) ( , )x t t a x x t x 2 2 � � �B t x x a x x x x( )[ sin ( )(cos sin )]2 4 2 2 , ( , ) {( , ): , }x t x t x t� � � � � �� 0 1 0 1 , �( , ) sinx x x0 2� , x �[ , ]0 1 , �( , )0 0t � , � � � �( , )0 0 t x , �( , ) sin1 2t et� , t �[ , ]0 1 , ãäå a x( ) � �const 1 . Òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äàííîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè B t et( ) � , �( , ) sinx t e x xt� 2 . ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèñü ñ ðàçíûì ÷èñëîì N ïðÿìûõ x x i Ni� �, , ...,1 . Äëÿ ðåøåíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ Êîøè èñïîëüçîâàëñÿ ìå- òîä Ðóíãå–Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïðè ðàçëè÷íûõ øàãàõ ht . Â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 ïðè ÷èñëå ïðÿìûõ N �100 200 500, , . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 113 Ò à á ë è ö à 1 . Ïîëó÷åííîå è òî÷íîå çíà÷åíèÿ B t( ) äëÿ çàäà÷è 1 t i B ti( ) \| ( )\|�B ti B ti( ) \| ( )\|�B ti B ti( ) \| ( )\|�B ti Òî÷íîå çíà÷åíèå B ti( )N � 100 N � 200 N � 500 0.10 1.10558 0.00041 1.10530 0.00013 1.10500 0.00017 1.10517 0.20 1.22208 0.00068 1.22165 0.00025 1.22124 0.00016 1.22140 0.30 1.35071 0.00085 1.35018 0.00032 1.34970 0.00016 1.34986 0.40 1.49280 0.00098 1.49220 0.00037 1.49165 0.00017 1.49182 0.50 1.64982 0.00110 1.64914 0.00042 1.64853 0.00019 1.64872 0.60 1.82334 0.00122 1.82259 0.00047 1.82191 0.00021 1.82212 0.70 2.01510 0.00135 2.01427 0.00052 2.01352 0.00023 2.01375 0.80 2.22703 0.00149 2.22612 0.00057 2.22529 0.00025 2.22554 0.90 2.46125 0.00165 2.46024 0.00064 2.45932 0.00028 2.45960 Áûëè ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû ïðè íàëè÷èè ñëó÷àéíûõ ïîìåõ â ôóíêöèè � � �( , )0 t x , îáóñëîâëåííûõ ïîãðåøíîñòÿìè èçìåðåíèÿ ñîñòîÿíèÿ �( , )0 t íà ëåâîì êîíöå, êî- òîðûå îïðåäåëÿëèñü ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � � � � � � � � � ( , )0 t x rand . Çäåñü — âåëè÷èíà, îïðåäåëÿþùàÿ óðîâåíü ïîãðåøíîñòè â èçìåðåíèÿõ, rand — ñëó÷àéíûå ÷èñëà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå íà èíòåðâàëå [ , ]�1 1 è ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè MATLAB rand. Â òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 ïðè ÷èñëå ïðÿìûõ N � 500, hx � 0002. äëÿ óðîâíåé ïîãðåøíîñòè � �1 3%, % è � 5%, à òàêæå áåç íàëè÷èÿ øóìà, ò.å. � 0% . Íà ðèñ. 1 äàíû ãðàôèêè òî÷íûõ çíà÷åíèé êîýôôèöè- åíòà B t( ) (àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå) è ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûì ìåòîäîì, ïðåäëî- æåííûì â ðàçä. 2, ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà . Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó � � � � � � � �( , ) ( ) ( , )x t t a x x t x 2 2 � � � �B t e x a x x xx( ) [ ( )( )]3 4 22 2 , ( , ) {( , ): , }x t x t x t� � � � � �� 0 1 0 1 , �( , )x x ex0 2� , x �[ , ]0 1 , �( , )0 0t � , � � � �( , )0 0 t x , �( , ) ( )1 1 3t e t� � , t �[ , ]0 1 , 114 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 Ò à á ë è ö à 2 . Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà B t( ) äëÿ çàäà÷è 1 i ti Òî÷íîå çíà÷åíèå B t( ) Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå B t( ) äëÿ (%) � 0.0 � 1.0 � 3.0 � 5.0 25 0.05 1.051271 1.051076 1.084251 1.150601 1.216951 50 0.10 1.105171 1.104997 1.096932 1.080802 1.064672 75 0.15 1.161834 1.161672 1.216784 1.327009 1.437234 100 0.20 1.221403 1.221244 1.192939 1.136328 1.079717 125 0.25 1.284025 1.283867 1.282975 1.281192 1.279408 150 0.30 1.349859 1.349698 1.324083 1.272855 1.221627 175 0.35 1.419068 1.418901 1.479031 1.599290 1.719549 200 0.40 1.491825 1.491652 1.510374 1.547818 1.585262 225 0.45 1.568312 1.568132 1.602714 1.671878 1.741042 250 0.50 1.648721 1.648533 1.621891 1.568608 1.515325 275 0.55 1.733253 1.733055 1.741956 1.759757 1.777559 300 0.60 1.822119 1.821911 1.854532 1.919773 1.985013 325 0.65 1.915541 1.915323 1.865791 1.766726 1.667662 350 0.70 2.013753 2.013524 1.950881 1.825597 1.700312 375 0.75 2.117000 2.116759 2.176286 2.295341 2.414395 400 0.80 2.225541 2.225288 2.226627 2.229306 2.231985 425 0.85 2.339647 2.339381 2.386807 2.481660 2.576512 450 0.90 2.459603 2.459324 2.467495 2.483837 2.500179 475 0.95 2.585710 2.585416 2.631945 2.725005 2.818064 ãäå a x x ex ( ) � � � � � � � �1 . Òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äàííîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè B t e t( ) � 3 , �( , ) ( )x t x e x t� �2 3 . Â òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 2 ïðè ÷èñëå ïðÿìûõ N �100 200 500, , . Â òàáë. 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è 2 ïðè N � 500 , hx � 0002. äëÿ óðîâíåé øóìà �1% , � 3% è � 5%, à òàêæå áåç íàëè÷èÿ øóìà, ò.å. � 0%. Íà ðèñ. 2 äàíû ãðàôèêè òî÷íîãî (àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå) è ïîëó÷åííîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà B t( ) ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà íà îñíîâå äàííûõ òàáë. 4 äëÿ çàäà÷è 2. Ðåçóëüòàòû áîëüøîãî ÷èñëà ïðîâåäåííûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî ðå- øåíèþ ðàçëè÷íûõ òåñòîâûõ îáðàòíûõ çàäà÷ ïî îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòîâ B t( ) ïîêàçàëè ñëåäóþùåå. Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ÷èñëà èñïîëüçóåìûõ ïðÿìûõ N â ìåòîäå ïðÿ- ìûõ äëÿ àïïðîêñèìàöèè èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 115 Ò à á ë è ö à 3 . Ïîëó÷åííîå è òî÷íîå çíà÷åíèÿ B t( ) äëÿ çàäà÷è 2 t i B ti( ) \| ( )\|�B ti B ti( ) \| ( )\|�B ti B ti( ) \| ( )\|�B ti Òî÷íîå çíà÷åíèå B ti( )N � 100 N � 200 N � 500 0.10 1.35457 0.00471 1.35214 0.00228 1.35041 0.00055 1.34986 0.20 1.82970 0.00758 1.82575 0.00363 1.82306 0.00094 1.82212 0.30 2.46992 0.01032 2.46453 0.00493 2.46088 0.00127 2.45960 0.40 3.33405 0.01393 3.32677 0.00666 3.32184 0.00172 3.32012 0.50 4.50049 0.01880 4.49067 0.00898 4.48401 0.00232 4.48169 0.60 6.07503 0.02538 6.06177 0.01213 6.05278 0.00313 6.04965 0.70 8.20043 0.03426 8.18254 0.01637 8.17040 0.00423 8.16617 0.80 11.06943 0.04625 11.04527 0.02210 11.02889 0.00571 11.02318 0.90 14.94216 0.06243 14.90956 0.02983 14.88744 0.00771 14.87973 Ðèñ. 1. Ãðàôèêè òî÷íîãî (Exact) è ïîëó÷åííîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà B t( ) ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà äëÿ çàäà÷è 1 B t( ) t Äëÿ çàäà÷è èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòà B t( ) óâåëè÷åíèå ÷èñëà ïðÿìûõ ñóùåñòâåííî íå âëèÿåò íà âû÷èñëèòåëüíûé ïðîöåññ, òàê êàê çàäà÷à (22), (18), (19) íà êàæäîé ïðÿìîé t t j� ðåøàåòñÿ íåçàâèñèìî è ïîñëåäîâàòåëüíî ïðè j N�1 2, , ..., . Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è âîçìîæíî ïðàêòè÷åñêè ñ ëþáîé çàäàííîé òî÷- íîñòüþ ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ ýôôåêòèâíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè. 116 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 Ò à á ë è ö à 4 . Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà B t( ) äëÿ çàäà÷è 2 i t i Òî÷íîå çíà÷åíèå B t( ) Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå B t( ) äëÿ (%) � 0.0 � 1.0 � 3.0 � 5.0 25 0.05 1.161834 1.162007 1.219609 1.334815 1.450020 50 0.10 1.349859 1.350413 1.338968 1.316077 1.293186 75 0.15 1.568312 1.569092 1.673357 1.881887 2.090418 100 0.20 1.822119 1.823058 1.771834 1.669388 1.566941 125 0.25 2.117000 2.118097 2.111646 2.098743 2.085841 150 0.30 2.459603 2.460878 2.413252 2.318001 2.222750 175 0.35 2.857651 2.859132 2.967763 3.185025 3.402288 200 0.40 3.320117 3.321837 3.360491 3.437799 3.515107 225 0.45 3.857426 3.859424 3.917700 4.034251 4.150802 250 0.50 4.481689 4.484011 4.440900 4.354680 4.268459 275 0.55 5.206980 5.209677 5.218467 5.236046 5.253625 300 0.60 6.049647 6.052782 6.104473 6.207856 6.311240 325 0.65 7.028688 7.032329 6.937823 6.748810 6.559797 350 0.70 8.166170 8.170401 8.055173 7.824718 7.594263 375 0.75 9.487736 9.492651 9.607099 9.835996 10.064892 400 0.80 11.023176 11.028887 11.037994 11.056208 11.074422 425 0.85 12.807104 12.813739 12.897830 13.066012 13.234194 450 0.90 14.879732 14.887441 14.900052 14.925275 14.950499 475 0.95 17.287782 17.296738 17.381662 17.551510 17.721357 Ðèñ. 2. Ãðàôèêè òî÷íîãî (Exact) è ïîëó÷åííîãî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè êîýôôèöèåíòà B t( ) ïðè ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ øóìà äëÿ çàäà÷è 2 B t( ) t ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìîãî â íàñòîÿùåé ñòàòüå ÷èñëåííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ çàêëþ÷à- åòñÿ â òîì, ÷òî îí ïðèâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíûõ, õîðîøî èññëåäîâàí- íûõ çàäà÷ Êîøè è íå òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ êàêèõ-ëèáî èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð. Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ïðîôåññîðó Ê.Ð. Àéäà-çàäå çà öåííûå ñîâåòû è âíèìàíèå ê ðàáîòå. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: M. Dekker, 2000. 709 p. 2. Ivanchov M.I. Inverse problems for equations of parabolic type. VNTL Publications. Lviv, Ukraine, 2003. 238 p. 3. Êîæàíîâ À.È. Îáðàòíûå çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè ñïåöèàëüíîãî âèäà â ïàðàáîëè- ÷åñêîì óðàâíåíèè. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè ÑÂÔÓ. 2016. Ò. 23, ¹ 4. Ñ. 31–45. 4. Ïðèëåïêî À.È., Ñîëîâüåâ Â.Â. Òåîðåìû ðàçðåøèìîñòè è ìåòîä Ðîòý â îáðàòíûõ çàäà÷àõ äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. I. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1987. Ò. 23, ¹ 10. Ñ. 1791–1799. 5. Ñîëîâüåâ Â.Â. Îïðåäåëåíèå èñòî÷íèêà è êîýôôèöèåíòîâ â ïàðàáîëè÷åñêîì óðàâíåíèè â ìíî- ãîìåðíîì ñëó÷àå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1995. Ò. 31, ¹ 6. Ñ. 1060–1069. 6. Johansson T., Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source. IMA Journal of Applied Mathematics. 2007. Vol. 72, N 6. P. 748–760. https://doi.org/ 10.1093/imamat/hxm024. 7. Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1D heat conduction equation from temperature measurement at a final time. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 2069–2080. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer. 2011.12.009. 8. Hasanov A. An inverse source problem with single Dirichlet type measured output data for a linear parabolic equation. Applied Mathematics Letters. 2011. Vol. 24. P. 1269–1273. https://doi.org/10.1016/j.aml.2011.02.023. 9. Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data. Inverse Problems in Science and Engineering. 2011. Vol. 19. P. 895–1006. https://doi.org/10.1080/17415977.2011.565931. 10. Farcas A., Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable. Journal of Engineering Mathematics. 2006. Vol. 54. P. 375–388. https://doi.org/10.1007/s10665-005-9023-0. 11. Yan L., Fu C.L., Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. P. 216–222. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2007.08.002. 12. Ahmadabadi M. Nili, Arab M., Maalek Ghaini F.M. The method of fundamental solutions for the inverse space-dependent heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2009. Vol. 33. P. 1231–1235. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2009.05.001. 13. Ismailov M.I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions. Applied Mathematics and Computation. 2011. Vol. 218. P. 4138–4146. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.09.044. 14. Àáðàìîâ À.À., Áóðàãî Í.Ã., Äèòêèí Â.Â., Äûøêî À.Ë., Çàáîëîöêàÿ À.Ô., Êîíþõîâà Í.Á., Ïà- ðèéñêèé Á.Ñ., Óëüÿíîâà Â.È., ×å÷åëü È.È. Ïàêåò ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåé- íûõ äâóõòî÷å÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷. Cîîáùåíèÿ ïî ïðîãðàììíîìó îáåñïå÷åíèþ ÝÂÌ. Ìîñêâà: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1982. 63 ñ. 15. Ñàìàðñêèé À.À., Íèêîëàåâ Å.Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé. Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 592 ñ. 16. Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for parabolic equations. Inverse Problems in Science and Engineering. 2014. Vol. 22, N 1. P. 96–111. https://doi.org/10.1080/17415977.2013.827184. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4 117 17. Aida-zade K.R., Rahimov A.B. Solution to classes of inverse coefficient problems and problems with nonlocal conditions for parabolic equations. Differential Equations. 2015. Vol. 51, N 1. P. 83–93. https://doi.org/10.1134/S0012266115010085. 18. Èëüèí Â.À. Î ðàçðåøèìîñòè ñìåøàííûõ çàäà÷ äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî è ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâ- íåíèé. Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 1960. Ò. 15, ¹ 2. Ñ. 97–154. 19. Èëüèí À.Ì., Êàëàøíèêîâ À.Ñ., Îëåéíèê Î.À. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ïàðàáî- ëè÷åñêîãî òèïà. Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 1962. Ò. 17, ¹ 3. Ñ. 3–146. 20. Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðî- èçâîäíûìè – 6. Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñåð. Ñîâðåìåí. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëü- íûå íàïðàâëåíèÿ, 63. Ìîñêâà: ÂÈÍÈÒÈ, 1990. Ñ. 201–313. 21. Ñìèðíîâ Â.È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1981. Ò. IV. ×. 2. 551 ñ. 22. Ñîëîâüåâ Â.Â. Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ â «öåëîì» îáðàòíîé çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ èñòî÷íèêà â êâàçèëèíåéíîì óðàâíåíèè ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1996. Ò. 32, ¹ 4. Ñ. 536–544. 23. Rahimov A.B. Numerical solution to a class of inverse problems for parabolic equation. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 392–402. https://doi.org/10.1007/s10559-017-9939-1. 24. Ïóëüêèíà Ë.Ñ. Îá îäíîì êëàññå íåëîêàëüíûõ çàäà÷ è èõ ñâÿçè ñ îáðàòíûìè çàäà÷àìè. Òð. Òðåòüåé Âñåðîñ. íàó÷. êîíô. «Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è êðàåâûå çàäà÷è, Ìàòåìà- òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è êðàåâûå çàäà÷è». ×. 3. Ñàìàðà: Èçä. ÑàìÃÒÓ, 2006. C. 190–192. 25. Rothe E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensionaler Randwertaufgaben. Math. Ann. 1930. Vol. 102, N 1. P. 650–670. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.06.2019 À.Á. Ðàã³ìîâ ÏÐÎ ×ÈÑÅËÜÍÅ ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß ÎÁÅÐÍÅÍÎ¯ ÇÀÄÀ×² Ç Â²ÄÍÎÂËÅÍÍß ÄÆÅÐÅËÀ ÑÏÅÖ²ÀËÜÍÎÃÎ ÂÈÄÓ Â ÏÀÐÀÁÎË²×ÍÎÌÓ Ð²ÂÍßÍÍ² Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî îáåðíåíó çàäà÷ó ç â³äíîâëåííÿ äæåðåëà ñïåö³àëüíîãî âèäó â ïàðàáîë³÷íîìó ð³âíÿíí³ ç ïî÷àòêîâèìè ³ ãðàíè÷íèìè óìîâàìè. Ñïå- öèô³êà çàäà÷³ ïîëÿãàº â òîìó, ùî ³äåíòèô³êîâàí³ ïàðàìåòðè çàëåæàòü â³ä ÷à- ñîâî¿ çì³ííî¿ ³ º ñï³âìíîæíèêàìè êîåô³ö³ºíòà â³ëüíîãî ÷ëåíà ïðàâî¿ ÷àñòè- íè. Çàïðîïîíîâàíî ÷èñåëüíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³, ùî ´ðóíòóºòüñÿ íà ìåòîä³ ïðÿìèõ ³ ñïåö³àëüíîìó âèãëÿä³ ïîäàííÿ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Ìåòîä íå âèìàãàº ïîáóäîâè áóäü-ÿêèõ ³òåðàö³éíèõ ïðîöåäóð. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷è- ñåëüíèõ åêñïåðèìåíò³â íà òåñòîâ³é çàäà÷³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çâîðîòíà çàäà÷à, íåëîêàëüí³ óìîâè, ìåòîä ïðÿìèõ, ïàðà- áîë³÷íå ð³âíÿííÿ, ïàðàìåòðè÷íà ³äåíòèô³êàö³ÿ. A.B. Rahimov ON NUMERICAL SOLUTION TO AN INVERSE PROBLEM OF RECOVERING SOURCE OF A SPECIAL TYPE OF PARABOLIC EQUATION Abstract. We consider an inverse problem of recovering a source of a special type of parabolic equation with initial and boundary conditions. The specificity of the problem is that the identifiable parameters depend only on a time variable and are factors of coefficients of the right-hand side of the equation. We propose a numerical method to solve the problem, which is based on the use of the method of lines and a special representation of the solution. The method does not require to construct any iterative procedures. The results of numerical experiments conducted for test problems are provided. Keywords: inverse problem, nonlocal conditions, method of lines, parabolic equation, parametric identification. Ðàãèìîâ Àíàð Áåéáàëà îãëû, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: anar_r@yahoo.com; anar.rahimov@fresnel.fr. 118 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 4

О численном решении обратной задачи по восстановлению источника специального вида в параболическом уравнении

Репозитарії

Схожі ресурси