Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка
Рассмотрен один из подходов к представлению в аналитическом виде условий непересечения и включения неориентированных выпуклых 2D-объектов, границами которых являются кривые второго порядка канонического вида. Приведены условия взаимного непересечения пары эллипсов, эллипса и области, ограниченной па...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190461 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка / Н.И. Гиль, В.Н. Пацук // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 136–145. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190461 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гиль, Н.И. Пацук, В.Н. 2023-06-08T16:20:57Z 2023-06-08T16:20:57Z 2020 Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка / Н.И. Гиль, В.Н. Пацук // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 136–145. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190461 519.85 Рассмотрен один из подходов к представлению в аналитическом виде условий непересечения и включения неориентированных выпуклых 2D-объектов, границами которых являются кривые второго порядка канонического вида. Приведены условия взаимного непересечения пары эллипсов, эллипса и области, ограниченной параболой, а также условия включения круга в эллипс, эллипса в эллипс, эллипса в область, ограниченную параболой. Аналитические условия представлены на основании уравнений границ соответствующих объектов (областей) и приведены к виду системы неравенств, зависящих от параметров размещения объектов и параметра, который является решением некоторого уравнения одной переменной. На основании полученных систем неравенств построены соответствующие Ф-функции. Розглянуто один з підходів до побудови в аналітичному вигляді умов неперетину і включення неорієнтованих опуклих 2D-об’єктів, границями яких є криві другого порядку канонічного виду. Наведено умови взаємного неперетину пари еліпсів; еліпса і області, обмеженої параболою; умови включення кола в еліпс, еліпса в еліпс, еліпса в область, обмежену параболою. Аналітичні умови наведено відповідно до рівнянь границь відповідних об’єктів (областей) і приведено до вигляду системи нерівностей, що залежать від параметрів розміщення об’єктів і параметра, який є розв’язком деякого рівняння однієї змінної. З урахуванням отриманих систем нерівностей побудовано відповідні Φ-функції. An approach to constructing analytical conditions of non-intersection and inclusion of non-oriented convex 2D objects is considered, the boundaries of objects being second-order curves in the canonical form. In particular, the conditions of mutual non-intersection of a pair of ellipses; an ellipse and an area bounded by a parabola; conditions of containment of a circle in an ellipse, an ellipse in an ellipse, an ellipse in a region bounded by a parabola are constructed. The analytical conditions are constructed on the basis of the equations of the boundaries of the corresponding objects (areas) and then are reduced to the form of a system of inequalities depending on the placement parameters of the objects and the parameter, which is the solution of a certain equation of one variable. Based on the obtained systems of inequalities, the corresponding Φ-functions are constructed ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка Φ-функції 2D-об’єктів з границями у вигляді кривих другого порядку Φ-functions of 2D objects with boundaries being second order curves Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| spellingShingle |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка Гиль, Н.И. Пацук, В.Н. Системний аналіз |
| title_short |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| title_full |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| title_fullStr |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| title_sort |
φ-функции 2d-объектов с границами в виде кривых второго порядка |
| author |
Гиль, Н.И. Пацук, В.Н. |
| author_facet |
Гиль, Н.И. Пацук, В.Н. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2020 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Φ-функції 2D-об’єктів з границями у вигляді кривих другого порядку Φ-functions of 2D objects with boundaries being second order curves |
| description |
Рассмотрен один из подходов к представлению в аналитическом виде условий непересечения и включения неориентированных выпуклых 2D-объектов, границами которых являются кривые второго порядка канонического вида. Приведены условия взаимного непересечения пары эллипсов, эллипса и области, ограниченной параболой, а также условия включения круга в эллипс, эллипса в эллипс, эллипса в область, ограниченную параболой. Аналитические условия представлены на основании уравнений границ соответствующих объектов (областей) и приведены к виду системы неравенств, зависящих от параметров размещения объектов и параметра, который является решением некоторого уравнения одной переменной. На основании полученных систем неравенств построены соответствующие Ф-функции.
Розглянуто один з підходів до побудови в аналітичному вигляді умов неперетину і включення неорієнтованих опуклих 2D-об’єктів, границями яких є криві другого порядку канонічного виду. Наведено умови взаємного неперетину пари еліпсів; еліпса і області, обмеженої параболою; умови включення кола в еліпс, еліпса в еліпс, еліпса в область, обмежену параболою. Аналітичні умови наведено відповідно до рівнянь границь відповідних об’єктів (областей) і приведено до вигляду системи нерівностей, що залежать від параметрів розміщення об’єктів і параметра, який є розв’язком деякого рівняння однієї змінної. З урахуванням отриманих систем нерівностей побудовано відповідні Φ-функції.
An approach to constructing analytical conditions of non-intersection and inclusion of non-oriented convex 2D objects is considered, the boundaries of objects being second-order curves in the canonical form. In particular, the conditions of mutual non-intersection of a pair of ellipses; an ellipse and an area bounded by a parabola; conditions of containment of a circle in an ellipse, an ellipse in an ellipse, an ellipse in a region bounded by a parabola are constructed. The analytical conditions are constructed on the basis of the equations of the boundaries of the corresponding objects (areas) and then are reduced to the form of a system of inequalities depending on the placement parameters of the objects and the parameter, which is the solution of a certain equation of one variable. Based on the obtained systems of inequalities, the corresponding Φ-functions are constructed
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190461 |
| citation_txt |
Φ-функции 2D-объектов с границами в виде кривых второго порядка / Н.И. Гиль, В.Н. Пацук // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 136–145. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gilʹni φfunkcii2dobʺektovsgranicamivvidekrivyhvtorogoporâdka AT pacukvn φfunkcii2dobʺektovsgranicamivvidekrivyhvtorogoporâdka AT gilʹni φfunkcíí2dobêktívzgranicâmiuviglâdíkrivihdrugogoporâdku AT pacukvn φfunkcíí2dobêktívzgranicâmiuviglâdíkrivihdrugogoporâdku AT gilʹni φfunctionsof2dobjectswithboundariesbeingsecondordercurves AT pacukvn φfunctionsof2dobjectswithboundariesbeingsecondordercurves |
| first_indexed |
2025-11-24T21:02:49Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:02:49Z |
| _version_ |
1850493499233796096 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.85
Í.È. ÃÈËÜ, Â.Í. ÏÀÖÓÊ
�-ÔÓÍÊÖÈÈ 2D-ÎÁÚÅÊÒÎÂ Ñ ÃÐÀÍÈÖÀÌÈ Â ÂÈÄÅ ÊÐÈÂÛÕ
ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåí îäèí èç ïîäõîäîâ ê ïðåäñòàâëåíèþ â àíàëèòè÷åñ-
êîì âèäå óñëîâèé íåïåðåñå÷åíèÿ è âêëþ÷åíèÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ âûïóê-
ëûõ 2D-îáúåêòîâ, ãðàíèöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà êà-
íîíè÷åñêîãî âèäà. Ïðèâåäåíû óñëîâèÿ âçàèìíîãî íåïåðåñå÷åíèÿ ïàðû ýë-
ëèïñîâ, ýëëèïñà è îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé, à òàêæå óñëîâèÿ
âêëþ÷åíèÿ êðóãà â ýëëèïñ, ýëëèïñà â ýëëèïñ, ýëëèïñà â îáëàñòü, îãðàíè÷åí-
íóþ ïàðàáîëîé. Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ ïðåäñòàâëåíû íà îñíîâàíèè óðàâíå-
íèé ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåêòîâ (îáëàñòåé) è ïðèâåäåíû ê âèäó ñèñ-
òåìû íåðàâåíñòâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðîâ ðàçìåùåíèÿ îáúåêòîâ è ïàðà-
ìåòðà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ îäíîé
ïåðåìåííîé. Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ ïîñòðîåíû ñîîò-
âåòñòâóþùèå �-ôóíêöèè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýëëèïñû, ïàðàáîëà, íåïåðåñå÷åíèå, âêëþ÷åíèå, �-ôóíêöèè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðåäñòàâëåíèå óñëîâèé âçàèìíîãî íåïåðåñå÷åíèÿ â àíàëèòè÷åñêîì ëèáî àëãî-
ðèòìè÷åñêîì âèäå èìååò âàæíîå çíà÷åíèå â ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ:
ðîáîòîòåõíèêå, ìåäèöèíå, ðàñêðîå ìàòåðèàëîâ, óïàêîâêàõ, óêëàäêàõ è ò.ï. Äîñ-
òàòî÷íî ïîäðîáíî è ðàçíîñòîðîííå èññëåäîâàíû çàäà÷è ïðåäñòàâëåíèÿ óñëîâèé
íåïåðåñå÷åíèÿ è ñîáëþäåíèÿ ìèíèìàëüíûõ äîïóñòèìûõ ðàññòîÿíèé äëÿ ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ, ìíîãîãðàííèêîâ, êðóãîâ, øàðîâ, à òàêæå îáúåêòîâ, ïîëó÷àåìûõ
èõ êîìáèíàöèåé ñ ïîñòðîåíèåì îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé [1–3].
Ïðè àíàëèòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðèìåíÿþòñÿ ïîäõîäû, ñâÿçàííûå ñ ïî-
ñòðîåíèåì �-ôóíêöèé [1], ó÷åòîì êîìáèíàòîðíûõ ñâîéñòâ ðàçìåùåíèé è ïîñòðî-
åíèåì êëàññà ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïëîùàäè âçàèìíîãî ïåðåñå÷åíèÿ îáúåêòîâ
[4–7].  äâóìåðíîì ñëó÷àå ïîëó÷åíû �-ôóíêöèè îáúåêòîâ ïðè íàëè÷èè îïèñàíèÿ
èõ ãðàíèöû â âèäå êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç ó÷àñòêîâ ïðÿìûõ, âûïóêëûõ è âîãíóòûõ
äóã îêðóæíîñòåé [8].  ðàáîòàõ [9–11] ïîñòðîåíû Ô-ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàð
òðåõìåðíûõ òåë, äîïóñêàþùèõ îäíîâðåìåííî íåïðåðûâíûå òðàíñëÿöèè è ïîâî-
ðîòû, à â [12] — Ô-ôóíêöèÿ äëÿ n-ìåðíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ, äîïóñêàþùèõ
îðòîãîíàëüíûå ïîâîðîòû. Â òî æå âðåìÿ ïðåäñòàâëåíèå óñëîâèé âçàèìíîãî íåïå-
ðåñå÷åíèÿ è âêëþ÷åíèÿ äëÿ îáúåêòîâ, ãðàíèöà êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ äðóãèìè âè-
äàìè êðèâûõ, ñóùåñòâåííî ñëîæíåå è ðåçóëüòàòîâ â ýòîé îáëàñòè ìåíüøå. Òàê,
â [13] óñïåøíî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè óêëàäîê ñ èñïîëüçîâàíèåì
ýëëèïñîâ îñîáîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà, óïðîùàþùåå çàäà÷ó. Â [14–16]
ðàññìàòðèâàåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ýëëèïñîâ îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïîñòðîåííûì
íàáîðîì êðóãîâ. Ðàñïðîñòðàíåííûì ìåòîäîì ÿâëÿåòñÿ òàêæå àïïðîñèìàöèÿ ãðà-
íèöû îáúåêòîâ ëîìàíûìè â äâóìåðíîì è ìíîãîãðàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè â òðåõ-
ìåðíîì ñëó÷àÿõ. Ââèäó ñëîæíîñòåé ïîñòðîåíèÿ �-ôóíêöèé äëÿ óïîìÿíóòûõ îáú-
åêòîâ ïðåäëîæåíû êâàçè-�-ôóíêöèè è ñ èõ ïîìîùüþ ðåøåí ðÿä çàäà÷, â ÷àñòíîñòè,
äëÿ ýëëèïñîâ è ýëëèïñîèäîâ [14, 17–20].
Âìåñòå ñ òåì, äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ìàëî âíèìàíèÿ óäåëÿëîñü ïðåäñòàâëå-
íèþ óñëîâèé íåïåðåñå÷åíèÿ è âêëþ÷åíèÿ äëÿ îáúåêòîâ, ãðàíèöàìè êîòîðûõ
ÿâëÿþòñÿ äðóãèå êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà. Òàêèå êðèâûå òàêæå ÿâëÿþòñÿ ïðåä-
136 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
� Í.È. Ãèëü, Â.Í. Ïàöóê, 2020
ìåòîì ïðèâåäåííîãî äàëåå èññëåäîâàíèÿ. Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä èìååò ïðåèìó-
ùåñòâî — ïîçâîëÿåò ðàáîòàòü ñ íåâûïóêëûìè îáëàñòÿìè (äîïîëíåíèÿìè äî âû-
ïóêëûõ îáëàñòåé), õîòÿ êâàçè-�-ôóíêöèè äëÿ íèõ åùå íå ïîñòðîåíû. Â òî æå âðåìÿ
èñïîëüçóþòñÿ óíèâåðñàëüíûå ñâîéñòâà ãëàäêèõ îáúåêòîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàñïðîñòðà-
íèòü ýòîò ïîäõîä íà äðóãèå òèïû îáúåêòîâ.
ÓÑËÎÂÈß ÍÅÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈß ÎÁÚÅÊÒÎÂ
Ïóñòü S i , i �1 2, , — ïàðà âûïóêëûõ îáúåêòîâ, ãðàíèöû êîòîðûõ çàäàíû êàíî-
íè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè f X Y1 0( , ) � , f X Y2 0( , ) � â ñîáñòâåííûõ ñèñòåìàõ êî-
îðäèíàò XOY , XOY ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì f x yi ( , ) � 0, i �1 2, , óðàâíåíèÿ
ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåêòîâ S ui i i( , )� îòíîñèòåëüíî îñíîâíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò xoy, ãäå u x yi i i� ( , ) è � i — ïàðàìåòðû ðàçìåùåíèÿ îáúåêòà S i (ïî-
ëîæåíèå íà÷àëà è óãîë ïîâîðîòà ñîáñòâåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëü-
íî xoy). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ( , )x y Si i i� int è çíàêè óðàâíåíèé âûáðàíû òàê,
÷òî f x yi i i( , )� 0. Îáîçíà÷èì S
2
� îáúåêò, ãîìîòåòè÷íûé îáúåêòó S 2 ñ êîýôôè-
öèåíòîì ãîìîòåòèè �.
Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî îáúåêòû S u1 1 1{ }, � è S u2 2 2{ }, � íå ïåðåñåêàþòñÿ,
ò.å. S S1 2� � �, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà ( , )* *x y , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
— òî÷êè ( , )x y1 1 è ( , )x y2 2 íàõîäÿòñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò êàñàòåëüíîé ê S1
â òî÷êå ( , )* *x y ;
— òî÷êà ( , )* *x y íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé îáúåêòà S 2 ;
— òî÷êà ( , )* *x y ïðèíàäëåæèò ãðàíèöàì îáúåêòîâ S1 è S
2
� ;
— óãëîâûå êîýôôèöèåíòû êàñàòåëüíûõ ê îáúåêòàì S1 è S
1
� â òî÷êå ( , )* *x y
ðàâíû.
Ýòè óñëîâèÿ àíàëèòè÷åñêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû ðàâåíñòâ è
íåðàâåíñòâ
�
�
�
�
�
F x y F x y
f x y
f x y
f
x
( , ) ( , ) ,
( , ) ,
( , ) ,
* *
* *
1 1 2 2
2
1
1
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
( , ) ( , ) ( , )* * * * * *x y x y x y
f
y
f
y
f
x
2 1 2
�
�
�
�
��
�
�
�
� ( , )* *
,
x y
0
(1)
ãäå F x y y y
f
y
x x
f
x
x y x y
( , ) ( ) ( )*
( , )
*
( , )* * * *
� �
�
�
� �
�
�
1 1 � 0 — óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé
ê îáúåêòó S1 â òî÷êå ( , )* *x y .
Çíà÷åíèÿ x y* *, (ïðè çàäàííûõ xi , yi , � i , i �1 2, ) ìîæíî îïðåäåëèòü íà îñíî-
âàíèè ðàâåíñòâ ñèñòåìû îäíèì èç âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ. Òîãäà âûïîëíåíèå
íåðàâåíñòâ ïðè ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèÿõ x y* *, ãàðàíòèðóåò íåïåðåñå÷åíèå îáúåê-
òîâ S1 è S 2 . Åñëè ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ x y* *, âòîðîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåâðà-
ùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, òî èìååò ìåñòî êàñàíèå îáúåêòîâ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà äëÿ ýë-
ëèïñà è îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 137
ÓÑËÎÂÈß ÍÅÏÅÐÅÑÅ×ÅÍÈß ÝËËÈÏÑÀ È ÎÁËÀÑÒÈ, ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÏÀÐÀÁÎËÎÉ
Ïóñòü îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò xoy èìååì ïàðàáîëó
S u1 1 1{ }, � è ýëëèïñ S u2 2 2{ }, � ñ ïàðàìåòðàìè ðàçìåùåíèÿ u x y1 1 1( , ), �1 è
u x y2 2 2� ( , ), �2 , êîòîðûå â ñîáñòâåííûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò XOY è XOY çà-
äàíû óðàâíåíèÿìè f X Y Y pX1
2 0( , ) � � � è f X Y B X A Y2
2 2 2 2( , ) � � �
� �A B2 2 0 ñîîòâåòñòâåííî, ãäå A, B — ïîëóîñè ýëëèïñà.
Âûáåðåì â êà÷åñòâå îñíîâíîé ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY , îòíîñèòåëüíî êîòî-
ðîé èìååì ïàðàáîëó S u1 1 1{ , )� è ýëëèïñ S u2 2 2{ , )� , ãäå u1 0 0� ( , ), �1 0� ,
u X Y2 0 0� ( , ), � � �2 2 1� � . Çäåñü
X x x y y0 2 1 1 2 1 1� � � �( )cos ( )sin� � ,
Y x x y y0 2 1 1 2 1 1� � � �( )sin ( )cos� � .
Ñ ó÷åòîì ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò
X X X Y Y� � � �( )cos ( )sin0 2 0 2� � ,
Y X X Y Y� � � � �( )sin ( )cos0 2 0 2� �
óðàâíåíèå ãðàíèöû ýëëèïñà S X Y2 0 0 2{ }, , � â ñèñòåìå êîîðäèíàò XOY ïðèíè-
ìàåò âèä
f X Y B X X Y Y2
2
0 2 0 2
2( , ) [( )cos ( )sin ]� � � � �� �
� � � � � � �A X X Y Y A B2
0 2 0 2
2 2 2 0[ ( )sin ( )cos ]� � .
Ïîä îáëàñòüþ, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé S1 0 0 0{ }, , , áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî
òî÷åê ( , )X Y , äëÿ êîòîðûõ Y pX� �2 0. Ïóñòü ( , )* *X Y — íåêîòîðàÿ òî÷êà,
ïðèíàäëåæàùàÿ ïàðàáîëå S1 0 0 0{ }, , è ãðàíèöå ýëëèïñà S X Y
2 0 0 2
� �{ }, , . Óãëîâûå
êîýôôèöèåíòû k i , i �1 2, , êàñàòåëüíûõ ê S1 è S
2
� â òî÷êå ( , )* *X Y èìåþò âèä
k pX1 2� * , k
X X L Y Y S
X X S Y Y R
2
0 0
0 0
� �
� � �
� � �
( ) ( )
( ) ( )
* *
* *
,
ãäå
L B A� �2 2
2
2 2
2cos sin� � , R B A� �2 2
2
2 2
2sin cos� � ,
S B A� �( )sin cos2 2
2 2� � .
Òîãäà óñëîâèå ðàâåíñòâà óãëîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñîõðàíÿþùååñÿ ïðè
îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïðîñòðàíñòâà, â òî÷êå ( , )* *X Y ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå
� � �( , , , , )*u u X1 1 2 2 �
� � � � � � �( )( ) ( )( )* * * *L pSX X X S pRX pX Y2 2 00
2
0 . (2)
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå â òî÷êå ( , )* *X Y èìååò âèä F X Y( , ) �
� � � �Y pX X pX2 02* * . Òîãäà óñëîâèÿ íåïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñà S u2 2 2{ }, � è îá-
ëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé S u1 1 1{ }, � , â ñîîòâåòñòâèè ñ (1) ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
138 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
F u u X Y pX X pX
f u u X B
( , , ) ,
( , , , , )
* * *
*
1 2 0
2
2 1 1 2 2
2
2 0� � � � �
�� � [( )cos ( )sin ]
[ ( )sin (
* *
*
X X pX Y
A X X
� � � �
� � � �
0 2
2
0 2
2
2
0 2
� �
� pX Y A B* )cos ] ,2
0 2
2 2 2 0� � �
�
�
�
�
� �
ãäå X * åñòü îäíî èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2). Ýòè óñëîâèÿ òàêæå ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå �-ôóíêöèè
�( , , , ) max min ( , , ), ( , , ,
*
*u u F u u X f u u
X i
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2� � � �� { 2 , )*X },
ãäå X i
* , i �1 2, ,� , — êîðíè óðàâíåíèÿ (2).
ÓÑËÎÂÈß ÂÊËÞ×ÅÍÈß (ÏÐÈÍÀÄËÅÆÍÎÑÒÈ ÎÁÚÅÊÒÀ ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ)
Ïóñòü â ñèñòåìå êîîðäèíàò xoy çàäàí ýëëèïñ S1 0 0 0{ }, , è êðóã S x y2 0 0{ }, , óðàâ-
íåíèÿ ãðàíèö êîòîðûõ f x y b x a y a b1
2 2 2 2 2 2 0( , ) � � � � è f x y x x2 0
2( , ) ( )� � �
� � � �( )y y r0
2
0
2 0 ñîîòâåòñòâåííî, ãäå a, b (a b
) — ïîëóîñè ýëëèïñà; r0 —
ðàäèóñ êðóãà, r b0 � ; x y0 0, — ïàðàìåòðû ðàçìåùåíèÿ êðóãà.
Îáîçíà÷èì S
2
� îêðóæíîñòü ðàäèóñà �r0 ñ öåíòðîì â òî÷êå ( , )x y0 0 . Òîãäà
êðóã S x y2 0 0{ }, ÿâëÿåòñÿ âêëþ÷åíèåì â ýëëèïñ S1 0 0 0{ }, , , ò.å. S S S1 2 2� � , åñëè
ñóùåñòâóåò òî÷êà ( , )* *x y , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
1) òî÷êà ( , )* *x y íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé êðóãà S x y2 0 0{ }, ;
2) öåíòð êðóãà ( , )x y0 0 íàõîäèòñÿ âíóòðè ýëëèïñà S1 0 0 0{ }, , ;
3) òî÷êà ( , )* *x y ïðèíàäëåæèò ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè x x� è
x x� � , ãäå x — àáñöèññà òî÷êè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ýëëèïñà S1 0 0 0{ }, , è îêðóæíîñòè
S x2 0 0{ }, ðàäèóñà r0 ñ ïàðàìåòðàìè ðàçìåùåíèÿ ( , )x0 0 ;
4) òî÷êà ( , )* *x y ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå ýëëèïñà S1 0 0 0{ }, , è îêðóæíîñòè
S x y
2 0 0
� { }, ;
5) óãëîâûå êîýôôèöèåíòû êàñàòåëüíûõ ê S1 0 0 0{ }, , è S x y
2 0 0
� { }, â òî÷êå
( , )* *x y ðàâíû.
 äàííîì ñëó÷àå k
b x
a y
1
2 2
2 2
� �
*
*
, k
x x
y y
2
0
0
� �
�
�
*
*
. Çíà÷åíèå x îïðåäåëÿåòñÿ èç
ñèñòåìû óðàâíåíèé
( ) ,
,
( )
x x y r
b x a y a b
b x y a y x x
� � � �
� � �
� � �
0
2 2
0
2
2 2 2 2 2 2
2 2
0
0
0
0,
�
�
��
�
�
�
êîòîðûå ðåàëèçóþò óñëîâèÿ ïðèíàäëåæíîñòè òî÷êè ( , )x y îêðóæíîñòè S x2 0 0{ },
è ýëëèïñó S1 0 0 0{ }, , , à òàêæå ðàâåíñòâî óãëîâûõ êîýôôèöèåíòîâ êàñàòåëüíûõ ê
îêðóæíîñòè è ýëëèïñó â òî÷êå ( , )x y . Ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû åñòü
x
a
b
b r
a b
� �
�
�
2 2
0
2
2 2
, y
a r b
a b
� �
�
�
2
0
2 4
2 2
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 139
ïðè óñëîâèè r
b
a
0
2
(ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè áîëüøå ðàäèóñà êðèâèçíû
ýëëèïñà â òî÷êå ( , )a 0 ).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå x a� , y � 0.
Ñ ó÷åòîì x a t* *cos� , y b t* *sin� óñëîâèå 5 ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
�( , , ) ( )sin cos cos sin* * * * *x y t a b t t by t ax t0 0
2 2
0 0 0� � � � � . (3)
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ 1–5 (óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ êðóãà â ýëëèïñ) â àíàëèòè-
÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ âèäà
f x y t a t x b t yx r
f x
2 0 0 0
2
0
2
0
2
1
0( , , ) ( cos ) ( sin ) ,
(
* * *� � � � � �
0 0
2
0
2 2
0
2 2 2
1
2
0
0
, ) ,
( ) cos ,
( )
* *
*
y b x a y a b
h t x a t
h t
� � � � �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
� x a tcos ,* 0
(4)
ãäå t * åñòü îäíî èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3), êîòîðîå ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ
îäíîãî èç âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ.
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ S x y2 0 0{ }, â S1 0 0 0{ }, , ìîæíî ðàññìàòðè-
âàòü êàê óñëîâèÿ íåïåðåñå÷åíèÿ îáúåêòîâ �
2
1 0 0 0\ int , ,S { } è S x y2 0 0{ }, , ò.å.
ïðåäñòàâèòü â âèäå �-ôóíêöèè
�( , , ) max min ( , , ), ( , ), (* * *
*
x y t f x y t f x y h t
ti
0 0 2 0 0 1 0 0 1� { ), ( )*h t2 },
ãäå ti
* , i �1 2, ,� , — êîðíè óðàâíåíèÿ (3).
ÓÑËÎÂÈß ÂÊËÞ×ÅÍÈß ÝËËÈÏÑÀ  ÝËËÈÏÑ
Ïóñòü â ñèñòåìå êîîðäèíàò xoy çàäàí ýëëèïñ S1, à â ñèñòåìå êîîðäèíàò � �x oy ,
ïîâåðíóòîé îòíîñèòåëüíî xoy íà óãîë � ñ íà÷àëîì â òî÷êå ( )x y0 0 , çàäàí ýë-
ëèïñ S 2 , óðàâíåíèÿ ãðàíèö êîòîðûõ b x a y a b2 2 2 2 2 2 0� � � (a b
) è
B x A y A B2 2 2 2 2 2 0� � � � � (A B
) ñîîòâåòñòâåííî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî b B� ,
òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ ýëëèïñà S 2 â ýëëèïñ S1 íå ñóùåñòâó-
åò. Èòàê, óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ ýëëèïñà â ýëëèïñ ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê óñëîâè-
ÿì âêëþ÷åíèÿ êðóãà â ýëëèïñ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  íîâîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò � �X O Y , ïîâåðíóòîé íà óãîë � îòíîñèòåëüíî xoy, ñ ó÷åòîì ôîðìóë ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ýëëèïñ S1 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì b X2 2( cos� ��
� � � � � � � �Y a X Y a b2 2 2 2 2 2 2 2 0sin ) ( sin cos )� � � , à ýëëèïñ S 2 — óðàâíåíèåì
B X X A Y Y A B2
0
2 2
0
2 2 2 0( ) ( )� � � � � � � , ãäå � � �X x y0 0 0cos sin� �, � �Y0
� � �x y0 0sin cos� �.
Îñóùåñòâèì ïðåîáðàçîâàíèå ñæàòèÿ ïî îñè OX � íà îñíîâàíèè ôîðìóë
� �X A B X( / ) , � �Y Y . Òîãäà â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò XOY óðàâíåíèå ãðàíè-
öû ýëëèïñà S1 èìååò âèä
b AX BY a AX BY a b B2 2 2 2 2 2 2 0( cos sin ) ( sin cos )� � � �� � � � � ,
à ýëëèïñ S 2 ïðåâðàùàåòñÿ â êðóã, ãðàíèöà êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
( ) ( )X X Y Y B� � � � �0
2
0
2 2 0, ãäå
X B A x y0 0 0� �( / )( cos sin ),� �
Y x y0 0 0� � �sin cos� �. (5)
140 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
Óðàâíåíèå ýëëèïñà S1 ïðåîáðàçóåì ê âèäó
a X a XY a Y a X a Y a11
2
12 22
2
13 23 332 2 2 0� � � � � � , (6)
ãäå
a A a b11
2 2 2 2 2� �( sin cos )� � , a AB a b12
2 2� �( )sin cos� �,
a B a b22
2 2 2 2 2� �( cos sin )� � , a a b B33
2 2 2� � , a a13 23 0� � .
Èçâåñòíî [21], ÷òî åñëè ââåñòè íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò xoy, ñîâåðøèâ ïî-
âîðîò îñåé íà óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé óðàâíåíèþ
tg 2
2 12
11 22
� �
�
a
a a
, (7)
òî óðàâíåíèå (6) ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó b x a y a b2 2 2 2 2 2� � , ãäå
a
A
D
2
2
1
� �
�
, b
A
D
2
1
1
� �
�
. Çäåñü �1, � 2 — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå-
íèÿ � �2 0� � �J D , ãäå J a a� �11 22 , D a a a� �11 22 12
2 , A a a a a� �( )11 22 12
2
33 .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì
a
a
a a a a a
2 33
11 22 11 22
2
12
2
2
4
� �
� � � �( )
,
b
a
a a a a a
2 33
11 22 11 22
2
12
2
2
4
� �
� � � �( )
. (8)
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåõîä èç ñèñòåìû êîîðäèíàò XOY â xoy (ïîâîðîò íà óãîë 2�,
ñîîòâåòñòâóþùèé óðàâíåíèþ (7)) îñóùåñòâëÿëñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè
ïåðåõîäà x X Y� �cos sin2 2� �, y X Y� � �sin cos2 2� �, ãäå
sin
( )
2
2
4
12
11 22
2
12
2
� �
� �
a
a a a
, cos
( )
2
4
11 22
11 22
2
12
2
� �
�
� �
a a
a a a
.
Êîîðäèíàòû x0 , y0 öåíòðà êðóãà â ñèñòåìå êîîðäèíàò xoy îïðåäåëÿþòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x X Y y X Y0 0 0 0 0 02 2 2 2� � � � �cos sin , sin cos� � � �, (9)
ãäå X Y0 0, èìåþò âèä (5).
Òàêèì îáðàçîì, â ñèñòåìå êîîðäèíàò xoy èìååì ýëëèïñ S1 0 0 0{ }, , è êðóã
S x y2 0 0{ }, , ãðàíèöû êîòîðûõ çàäàíû óðàâíåíèÿìè
f x y b x a y a b1
2 2 2 2 2 2 0( , ) � � � � è f x y x x y y B2 0
2
0
2 2 0( , ) ( ) ( )� � � � � �
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå a 2 , b 2 îïðåäåëÿþòñÿ èç (8), à x0 , y0 — èç (9).
Òîãäà óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ ýëëèïñà S 2 â S1 ïî àíàëîãèè ñ (4) ïðèíèìàþò âèä
f x y t a t x b t y B
f x
2 0 0 0
2
0
2 2
1 0
0( , , ) ( cos ) ( sin ) ,
( ,
* * *� � � � � �
y b x a y a b
h t x a t
h t
0
2
0
2 2
0
2 2 2
1
2
0
0
) ,
( ) � cos ,
( )
* *
*
� � � � �
� � �
� � cos ,*x a t� �
�
�
�
�
�
�
� 0
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 141
ãäå �x
b B
a b
� �
�
�
2 2
2 2
, �y
a B b
a b
� �
�
�
2 2 4
2 2
, t * — îäíî èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
�( , , ) ( )sin cos cos sin* * * * *x y t a b t t b y t ax t0 0
2 2
0 0 0� � � � � . (10)
Êðîìå òîãî, ýòè óñëîâèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå �-ôóíêöèè
�( , , ) max min ( , , ), ( , ), (* * *
*
x y t f x y t f x y h t
ti
0 0 2 0 0 1 0 0 1� { ), ( )*h t2 },
ãäå ti
* , i �1 2, ,� , — ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10).
ÓÑËÎÂÈß ÂÊËÞ×ÅÍÈß ÝËËÈÏÑÀ  ÎÁËÀÑÒÜ, ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÓÞ ÏÀÐÀÁÎËÎÉ
Ïóñòü â ñèñòåìå êîîðäèíàò xoy çàäàíà îáëàñòü D, îãðàíè÷åííàÿ ïàðàáîëîé
y px� 2 , è ýëëèïñ S x y{ }0 0, , � ñ ïàðàìåòðàìè ðàçìåùåíèÿ x y0 0, , �. Â ñîáñòâåí-
íîé ñèñòåìå êîîðäèíàò � � �X OY , ïîâåðíóòîé îòíîñèòåëüíî xoy íà óãîë � ñ íà÷à-
ëîì â òî÷êå x y0 0, , ýëëïèñ çàäàí óðàâíåíèåì B X A Y A B2 2 2 2 2 2 0� � � � � . Ââå-
äåì íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò � �x oy , ïîâåðíóòóþ íà óãîë � îòíîñèòåëüíî xoy.
Ñ ó÷åòîì ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèÿ ïàðà-
áîëû è ýëëèïñà èìåþò âèä � � � � � � �x y p x ysin cos ( sin cos )� � � � 2 è
B x x A y y A B2
0
2 2
0
2 2 2 0( ) ( )� � � � � � � � � ñîîòâåòñòâåííî, ãäå � � �x x0 0 cos �
� y0 sin �, � � � �y x y0 0 0sin cos� �.
Åñëè ïåðåéòè â íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè
ïðåîáðàçîâàíèÿ � �x A B X( / ) , � �y Y (ñæàòèå â íàïðàâëåíèè îñè Ox�), òî â íåé ïà-
ðàáîëà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
A
B
X Y p
A
B
X Ysin cos cos sin� � � �� � ��
�
�
�
�
�
2
,
à ýëëèïñ ïðåâðàùàåòñÿ â êðóã, óðàâíåíèå êîòîðîãî èìååò âèä ( )X X� �0
2
� � � �( )Y Y B0
2 2 0, ãäå X
B
A
x y0 0 0� �( cos sin )� � , Y x y0 0 0� � �sin cos� �.
Óðàâíåíèå ïàðàáîëû ïðåäñòàâèì â âèäå
a X a XY a Y a X a Y a11
2
12 22
2
13 23 332 2 2 0� � � � � � , (11)
ãäå
a pA a pB a pAB11
2 2
22
2 2
12� � � �cos , sin , sin cos� � � �,
a AB a B a13 23
2
33
1
2
1
2
0� � � � �sin , cos ,� � . (12)
Èçâåñòíî [21], ÷òî åñëè ââåñòè íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY , ñîâåðøèâ
ïîâîðîò íà óãîë �, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ tg 2
2 12
11 22
� �
�
a
a a
, òî óðàâíå-
íèå (11) ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó óðàâíåíèþ ïàðàáîëû X
p
Y�
�
1
2
2 , ãäå
� �p
J
A
J
1
, J a a� �11 22 , A aij� det [ ], i j, , ,�1 2 3 ( )a aij ji� .
Ñ ó÷åòîì (12) ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì
� �
�
p
AB
p A B
2
2 2 2 2 3 22 ( cos sin ) /� �
. (13)
142 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
Òàêèì îáðàçîì, â ñèñòåìå êîîðäèíàò XOY èìååì îáëàñòü D , îãðàíè÷åííóþ
ïàðàáîëîé X p Y� �( / )1 2 2 , è êðóã S X Y{ }0 0, , îãðàíè÷åííûé îêðóæíîñòüþ
( ) ( )X X Y Y B� � � � �0
2
0
2 2 0, ãäå
X
B
A
x y x y0 0 0 0 02 2� � � �( cos sin )cos ( sin cos )sin� � � � � �,
Y
B
A
x y x y0 0 0 0 02 2� � � � �( cos sin )sin ( sin cos )cos� � � � � �,
sin
sin cos
cos sin
, cos
cos
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
�
� �
� �
�
�
� �
�
�
�AB
A B
A B sin
cos sin
2
2 2 2 2
�
� �A B�
. (14)
Òîãäà óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ ýëëèïñà S x y{ }0 0, , � â îáëàñòü D ñâîäÿòñÿ
ê óñëîâèÿì âêëþ÷åíèÿ êðóãà S X Y( , )0 0 â îáëàñòü D . Îáîçíà÷èì S � îêðóæ-
íîñòü ðàäèóñà �B ñ öåíòðîì â òî÷êå ( , )X X0 0 . Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî êðóã
S X Y{ }0 0, ÿâëÿåòñÿ âêëþ÷åíèåì â îáëàñòü D , åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ( , )* *X Y ,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì:
à) òî÷êà ( , )* *X Y íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé êðóãà S x y{ }0 0, ;
á) öåíòð êðóãà ( , )X Y0 0 íàõîäèòñÿ âíóòðè îáëàñòè D ;
â) òî÷êà ( , )* *X Y íàõîäèòñÿ â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè, îãðàíè÷åí-
íîé ïðÿìîé X X� � 0, ãäå X — àáñöèññà òî÷êè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïàðàáîëû
X p Y� �( / )1 2 2 è îêðóæíîñòè ðàäèóñà B ñ öåíòðîì â òî÷êå ( , )X 0 0 ;
ã) òî÷êà ( , )* *X Y ïðèíàäëåæèò ïàðàáîëå è îêðóæíîñòè S � ;
ä) óãëîâûå êîýôôèöèåíòû êàñàòåëüíûõ ê ïàðàáîëå è îêðóæíîñòè S � â òî÷êå
( , )* *X Y ðàâíû.
Çíà÷åíèå X îïðåäåëÿåòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
X p Y
X X Y B
p Y Y X X
� � �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
�
( / ) ,
( ) ,
( ) ,
1 2 0
0
0
2
0
2 2 2
0
êîòîðûå ðåàëèçóþò óñëîâèÿ ïðèíàäëåæíîñòè òî÷êè ( , )X Y îêðóæíîñòè
S X{ }0 0, è ïàðàáîëå X p Y� �( / )1 2 2 , à òàêæå ðàâåíñòâî óãëîâûõ êîýôôèöèåí-
òîâ êàñàòåëüíûõ ê îêðóæíîñòè è ïàðàáîëå â òî÷êå ( , )X Y . Ðåøåíèåì ýòîé ñèñ-
òåìû åñòü X p B p� � � �( / )( )1 2 2 2 , Y B p� � � �2 2 ïðè óëîâèè ��p B (ðàäèóñ
êðèâèçíû ïàðàáîëû â òî÷êå ( , )0 0 ìåíüøå ðàäèóñà êðóãà).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
X Y� � 0.
Óñëîâèå ä) â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
�( , , ) ( ) (( / ) )* * * *X Y Y p Y Y Y p Y X0 0 0
2
01 2 0� � � � � � � . (15)
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ êðóãà S X Y{ }0 0, â îáëàñòü D ñâîäÿòñÿ
ê âûïîëíåíèþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
f X X Y
p
Y X Y Y B
f X
2 0 0
2
0
2
0
2 2
1 0
1
2
0( , , ) ( ) ,
(
* * *�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
, ) ,
( ) ,* *
X X
p
Y
h Y
p
Y X
0 0 0
2
2
1
2
0
1
2
0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 143
ãäå �p îïðåäåëÿåòñÿ èç (13), X 0 , Y0 — èç (14), à Y * åñòü îäíî èç ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ (15).
Óñëîâèÿ âêëþ÷åíèÿ S X Y( , )0 0 â îáëàñòü D ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óñëî-
âèÿ íåïåðåñå÷åíèÿ îáúåêòîâ �
2 \ int D è S X Y( , )0 0 , ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå
�-ôóíêöèè:
�( , , ) max min ( , , ), ( , ), ( )* * *
*
X Y Y f X Y Y f X Y h Y
Yi
0 0 2 0 0 1 0 0� { },
ãäå Yi
* , i �1 2, ,� , — êîðíè óðàâíåíèÿ (15), B p Y p X2 2
02� � � � �* , åñëè
Y0 0� , � � � � � � �2 0
2 2p X Y B p* , åñëè Y0 0� .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü �-ôóíêöèè äëÿ îáúåêòîâ ñ ãðàíè-
öåé â âèäå êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà.  ðÿäå ñëó÷àåâ âîçìîæíî è ïðÿìîå àíà-
ëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé
ñòåïåíè. Îäíàêî îíî êðàéíå ãðîìîçäêîå. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåìîå ïîñòðîåíèå
�-ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ îäíîé ïåðåìåííîé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T., Fasano G., Pinter J, Stoian Y. E., Chugay A. Optimized
packings in space engineering applications: Part I. Springer Optimization and Its Applications. 2019.
Ò. 5. Ñ. 395–437. https://doi.org/10.1007/978-3-030-10501-3_15.
2. Ñòîÿí Þ.Ã., Øàéòõàóåð Ã., ßñüêîâ Ã.Í. Óïàêîâêà íåðàâíûõ øàðîâ â ðàçëè÷íûå êîíòåéíåðû.
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016. Ò. 52, ¹ 3. Ñ. 97–105.
3. Ñòîÿí Þ.Ã., Ѹìêèí Â.Â., ×óãàé À.Ì. Îïòèìèçàöèÿ êîìïîíîâêè òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ â ìíî-
ãîñâÿçíîé îáëàñòè ñ ó÷åòîì êðàò÷àéøèõ ðàññòîÿíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2014.
Ò. 50, ¹ 3. Ñ. 58–70.
4. Yakovlev S.V. On some classes of spatial configurations of geometric objects and their
formalization. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. Vol. 50, N 9. P. 38–50.
5. Yakovlev S.V. Formalizing spatial configuration optimization problems with the use of a special
function class. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 4. P. 581–589.
6. Stoyan Y.G., Yakovlev S.V. Configuration space of geometric objects. Cybernetics and Systems
Analysis. 2018. Vol. 54, N 5. P. 716–726.
7. Yakovlev S.V. The method of artificial dilation in problems of optimal packing of geometric objects.
Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 5. P. 725–731.
8. Ñòîÿí Þ.Ã., Ðîìàíîâà Ò.Å., ×åðíîâ Í.È, Ïàíêðàòîâ À.Â. Ïîëíûé êëàññ �-ôóíêöèé äëÿ áàçî-
âûõ äâóìåðíûõ �-îáúåêòîâ. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2010. ¹ 12. Ñ. 25–30.
9. Stoyan Y., Chugay À. Mathematical modeling of the interaction of non-oriented convex polytopes.
Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 48, N 6. C. 837–845.
10. Stoyan Y.G., Chugay A.M. Packing different cuboids with rotations and spheres into a cuboid.
Advances in Decision Sciences. 2014. URL: https://www.hindawi.com /journals/ads/2014/571743.
11. Stoyan Y.G., Semkin V.V., Chugay A.M. Modeling close packing of 3D objects. Cybernetics and
Systems Analysis. 2016. Vol. 52, N 2. P. 296–304.
12. Grebennik I.V., Pankratov A.V., Chugay A.M., Baranov A.V. Packing n-dimensional parallelepipeds
with the feasibility of changing their orthogonal orientation in an n-dimensional parallelepiped.
Cybernetics and Systems Analysis. 2010. Vol. 46, N 5. P. 393–802.
13. Birgin E., Bustamante L., Callisaya H., Mart�nez J.M. Packing circles within ellipses. International
Transactions in Operational Research. 2013. Vol. 20, Issue 3. P. 365–389. https://doi.org/10.1111/itor.12006.
14. Ïàíêðàòîâ À.Â., Ðîìàíîâà Ò.Å., Ñóááîòà È.À. Ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ îïòèìàëü-
íîé óïàêîâêè ýëëèïñîâ. Âîñòî÷íî-Åâðîïåéñêèé æóðíàë ïåðåäîâûõ òåõíîëîãèé. 2014. ¹ 5(4).
Ñ. 28–35.
15. Ïàíêðàòîâ À. Â., Ðîìàíîâà Ò.Å., Õëóä Î.Ì. Î çàäà÷å óïàêîâêè ýëëèïñîâ. Æóðíàë îá÷èñëþ-
âàëüíî¿ òà ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè. 2016. ¹ 3. Ñ. 51–63.
144 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
16. Ïàíêðàòîâ À.Â., Ðîìàíîâà Ò.Å., Ñóááîòà È.À. Development of efficient algorithms for optimal
ellipse packing. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2014. Vol. 5, N 4(71). 28 p.
https://doi.org/10.15587/1729-4061.2014.28015.
17. Pankratov A., Romanova T. Litvinchev I. Packing ellipses in an optimized rectangular container.
Wireless Networks. 2018. P. 1–11. https://doi.org/10.1007/s11276-018-1890-1.
18. Ñòîÿí Þ.Ã., Ïàíêðàòîâ À.Â., Ðîìàíîâà Ò.Å., ×åðíîâ Í.È. Êâàçè-phi-ôóíêöèè äëÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îòíîøåíèé ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Äîïîâiäi Íàöiîíàëüíî¿ àêàäåìi¿
íàóê Óêðà¿íè. 2014. ¹ 9. Ñ. 49–54. URL: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/88249.
19. Stoyan Y., Pankratov A., Romanova T. Quasi-phi-functions and optimal packing of ellipses. Journal
of Global Optimization. June 2016. Vol. 65, Iss. 2. P. 283–307.
20. Komyak Va., Komyak Vl., Danilin A. A study of ellipse packing in the high-dimensionality
problems. Âîñòî÷íî-Åâðîïåéñêèé æóðíàë ïåðåäîâûõ òåõíîëîãèé. 2017. ¹ 1(4). Ñ. 17–23. URL:
http://nbuv.gov.ua/UJRN/Vejpte_2017_1(4)_3.
21. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ.
Ìîñêâà: Íàóêà, 1984. 832 c.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.11.2019
Ì.². óëü, Â.Ì. Ïàöóê
�-ÔÓÍÊÖ²¯ 2D-ÎÁ’ªÊÒ²Â Ç ÃÐÀÍÈÖßÌÈ Ó ÂÈÃËßIJ ÊÐÈÂÈÕ ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿóòî îäèí ç ï³äõîä³â äî ïîáóäîâè â àíàë³òè÷íîìó âèãëÿä³
óìîâ íåïåðåòèíó ³ âêëþ÷åííÿ íåîð³ºíòîâàíèõ îïóêëèõ 2D-îá’ºêò³â, ãðàíèöÿ-
ìè ÿêèõ º êðèâ³ äðóãîãî ïîðÿäêó êàíîí³÷íîãî âèäó. Íàâåäåíî óìîâè
âçàºìíîãî íåïåðåòèíó ïàðè åë³ïñ³â; åë³ïñà ³ îáëàñò³, îáìåæåíî¿ ïàðàáîëîþ;
óìîâè âêëþ÷åííÿ êîëà â åë³ïñ, åë³ïñà â åë³ïñ, åë³ïñà â îáëàñòü, îáìåæåíó
ïàðàáîëîþ. Àíàë³òè÷í³ óìîâè íàâåäåíî â³äïîâ³äíî äî ð³âíÿíü ãðàíèöü
â³äïîâ³äíèõ îá’ºêò³â (îáëàñòåé) ³ ïðèâåäåíî äî âèãëÿäó ñèñòåìè íåð³âíîñ-
òåé, ùî çàëåæàòü â³ä ïàðàìåòð³â ðîçì³ùåííÿ îá’ºêò³â ³ ïàðàìåòðà, ÿêèé º
ðîçâ’ÿçêîì äåÿêîãî ð³âíÿííÿ îäí³º¿ çì³ííî¿. Ç óðàõóâàííÿì îòðèìàíèõ ñèñ-
òåì íåð³âíîñòåé ïîáóäîâàíî â³äïîâ³äí³ �-ôóíêö³¿.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: åë³ïñè, ïàðàáîëà, íåïåðåòèí, âêëþ÷åííÿ, �-ôóíêö³¿.
M.I. Gil, V.M. Patsuk
PHI-FUNCTIONS OF 2D OBJECTS WITH BOUNDARIES BEING SECOND ORDER CURVES
Abstract. An approach to constructing analytical conditions of non-intersection
and inclusion of non-oriented convex 2D objects is considered, the boundaries of
objects being second-order curves in the canonical form. In particular, the
conditions of mutual non-intersection of a pair of ellipses; an ellipse and an area
bounded by a parabola; conditions of containment of a circle in an ellipse,
an ellipse in an ellipse, an ellipse in a region bounded by a parabola are
constructed. The analytical conditions are constructed on the basis of the
equations of the boundaries of the corresponding objects (areas) and then are
reduced to the form of a system of inequalities depending on the placement
parameters of the objects and the parameter, which is the solution of a certain
equation of one variable. Based on the obtained systems of inequalities, the
corresponding Ô-functions are constructed.
Keywords: ellipses, parabola, non-intersection, containment, �-functions.
Ãèëü Íèêîëàé Èâàíîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, còàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîáëåì ìàøèíîñòðîåíèÿ èì. À.Í. Ïîäãîðíîãî
ÍÀÍ Óêðàèíû, Õàðüêîâ.
Ïàöóê Âëàäèìèð Íèêîëàåâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, còàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîáëåì ìàøèíîñòðîåíèÿ
èì. À.Í. Ïîäãîðíîãî ÍÀÍ Óêðàèíû, Õàðüêîâ, å-mail: vmpatsuk@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 145
|