Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних

Запропоновано метод побудови чебишовського наближення раціональним виразом для функцій двох змінних. Ідея методу ґрунтується на побудові граничного середньостепеневого наближення у нормі простору Eᵖ для p → ∞. Для побудови цього наближення використано метод найменших квадратів з двома змінними вагов...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2020
Автори:	Малачівський, П.С., Пізюр, Я.В., Малачівський, Р.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190462
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 146–156. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190462
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1904622025-02-23T20:23:06Z Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних Чебышевское приближение рациональным выражением функций многих переменных Chebyshev approximation by the rational expression of functions of many variables Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Системний аналіз Запропоновано метод побудови чебишовського наближення раціональним виразом для функцій двох змінних. Ідея методу ґрунтується на побудові граничного середньостепеневого наближення у нормі простору Eᵖ для p → ∞. Для побудови цього наближення використано метод найменших квадратів з двома змінними ваговими функціями. Одна вагова функція забезпечує побудову середньостепеневого наближення, а друга - уточнення параметрів раціонального виразу за схемою лінеаризації. Запропоновано спосіб послідовного уточнення значень вагових функцій. Результати розв'язування тестових прикладів підтверджують ефективність використання запропонованого методу. Предложен метод построения чебышевского приближения рациональным выражением для таблично заданных функций многих переменных. Идея метода основывается на построении предельного среднестепенного приближения в норме пространства Eᵖ при p → ∞. Для построения среднестепенных приближений использована итерационная схема на основе метода наименьших квадратов с уточнением значений двух весовых функций, одна из которых обеспечивает построение среднестепенного приближения, а вторая — уточнение параметров рационального выражения по схеме линеаризации. Сходимость метода обеспечивается оригинальным способом последовательного уточнения значений весовых функций. Описаны алгоритмы вычисления параметров чебышевского приближения функций многих переменных рациональным выражением с абсолютной и относительной погрешностями. The method of constructing the Chebyshev approximation bya rational expression for functions of many variables is proposed. The idea of the method is based on constructing the boundary mean-power approximation in Eᵖ norm with p → ∞. The least squares method with two variable weight functions is used to construct this approximation. One weight function ensures the construction of mean-power approximation, and another one refines parameters of rational expression by linearization scheme. The convergence of the method is provided by the original method of sequentially refining the values of the weight functions. Algorithms for calculating the parameters of the Chebyshev approximation of functions of many variables by a rational expression with absolute and relative errors is described. 2020 Article Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 146–156. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190462 519.65 uk Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано метод побудови чебишовського наближення раціональним виразом для функцій двох змінних. Ідея методу ґрунтується на побудові граничного середньостепеневого наближення у нормі простору Eᵖ для p → ∞. Для побудови цього наближення використано метод найменших квадратів з двома змінними ваговими функціями. Одна вагова функція забезпечує побудову середньостепеневого наближення, а друга - уточнення параметрів раціонального виразу за схемою лінеаризації. Запропоновано спосіб послідовного уточнення значень вагових функцій. Результати розв'язування тестових прикладів підтверджують ефективність використання запропонованого методу.
format	Article
author	Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П.
author_facet	Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П.
author_sort	Малачівський, П.С.
title	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
title_short	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
title_full	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
title_fullStr	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
title_full_unstemmed	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
title_sort	чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190462
citation_txt	Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 146–156. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT malačívsʹkijps čebišovsʹkenabližennâracíonalʹnimvirazomfunkcíjbagatʹohzmínnih AT pízûrâv čebišovsʹkenabližennâracíonalʹnimvirazomfunkcíjbagatʹohzmínnih AT malačívsʹkijrp čebišovsʹkenabližennâracíonalʹnimvirazomfunkcíjbagatʹohzmínnih AT malačívsʹkijps čebyševskoepribliženieracionalʹnymvyraženiemfunkcijmnogihperemennyh AT pízûrâv čebyševskoepribliženieracionalʹnymvyraženiemfunkcijmnogihperemennyh AT malačívsʹkijrp čebyševskoepribliženieracionalʹnymvyraženiemfunkcijmnogihperemennyh AT malačívsʹkijps chebyshevapproximationbytherationalexpressionoffunctionsofmanyvariables AT pízûrâv chebyshevapproximationbytherationalexpressionoffunctionsofmanyvariables AT malačívsʹkijrp chebyshevapproximationbytherationalexpressionoffunctionsofmanyvariables
first_indexed	2025-11-25T05:01:54Z
last_indexed	2025-11-25T05:01:54Z
_version_	1849737257323331584
fulltext	ÓÄÊ 519.65 Ï.Ñ. ÌÀËÀ×²ÂÑÜÊÈÉ, ß.Â. Ï²ÇÞÐ, Ð.Ï. ÌÀËÀ×²ÂÑÜÊÈÉ ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÅ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ ÔÓÍÊÖ²É ÁÀÃÀÒÜÎÕ ÇÌ²ÍÍÈÕ Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì äëÿ òàáëè÷íî çàäàíèõ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ. Â³í ´ðóíòóºòüñÿ íà ïîáóäîâ³ ãðàíè÷íîãî ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ó íîðì³ ïðîñòîðó E p äëÿ p � � . Äëÿ ïîáóäîâè ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëè- æåíü âèêîðèñòàíî ³òåðàö³éíó ñõåìó íà îñíîâ³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç óòî÷íåííÿì çíà÷åíü äâîõ âàãîâèõ ôóíêö³é, îäíà ç ÿêèõ çàáåçïå÷óº ïîáó- äîâó ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ, à äðóãà — óòî÷íåííÿ ïàðàìåòð³â ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó çà ñõåìîþ ë³íåàðèçàö³¿. Çá³æí³ñòü ìåòîäó çàáåçïå÷åíî çàâäÿêè îðèã³íàëüíîìó ñïîñîáó ïîñë³äîâíîãî óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâèõ ôóíêö³é. Îïèñàíî àëãîðèòìè îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè- æåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ç àáñîëþòíîþ òà â³äíîñíîþ ïîõèáêàìè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì, ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ, ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ, ìåòîä íàéìåíøèõ êâàä- ðàò³â. ÂÑÒÓÏ Íåõàé íåïåðåðâíà ä³éñíà ôóíêö³ÿ f X( ) â³ä n çì³ííèõ X x x xn� ( , , , )1 2 � çàäà- íà íà ìíîæèí³ òî÷îê � � � { }X j j s 1 ç îáìåæåíî¿ îáëàñò³ D, � � D, äå D R n� , R n — n-âèì³ðíèé âåêòîðíèé ïðîñò³ð. Ôóíêö³þ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � íå- îáõ³äíî íàáëèçèòè íåñêîðî÷óâàíèì ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b X a X b X X k l i i i k i i l i l, ( , ; ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � 0 0 1 , (1) äå � i X( ), i k� 0, , òà � i X( ), i l� 0, , — ñèñòåìè ë³í³éíî íåçàëåæíèõ íåïåðåðâ- íèõ íà D ä³éñíèõ ôóíêö³é, à ai , i k� 0, , ³ bi , i l� �0 1, , — íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè: { }a Ai i k � 0 , A R k� �1, { }b Bi i l � � 0 1 , B R l� . Ïîáóäîâà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) äëÿ ôóíê- ö³¿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ïîëÿãàº â îá÷èñëåíí³ òàêèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â a� òà b� , äëÿ ÿêèõ âèêîíóºòüñÿ óìîâà max \| ( ) ( , ; ) \| min max \| ( ), ,X k l a A b B X f X R a b X f X R � � � � � � � k l a b X, ( , ; ) \| . (2) Íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ïîð³âíÿíî ç ïîë³íîì³àëüíèì íàáëèæåí- íÿì ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ äëÿ îäí³º¿ é ò³º¿ ñàìî¿ ê³ëüêîñò³ ïàðàìåòð³â çàáåçïå÷óº êðàùó òî÷í³ñòü íàáëèæåííÿ [1]. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ïðåäñòàâëåííÿ åëåìåíòàðíèõ ³ ñïåö³àëüíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ôóíêö³é [1], àïðîêñèìàö³¿ ðîçâ’ÿçê³â äèôåðåíö³àëüíèõ òà ³íòåãðàëüíèõ ð³â- íÿíü [1, 2], ó íåéðîííèõ ìåðåæàõ [3] òîùî. Äëÿ îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿ ðîçðîáëåíî íèçêó ìåòîä³â [1, 4]. Çîêðåìà, ó ïðàö³ [4] äëÿ ïîáóäîâè ÷åáè- 146 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 © Ï.Ñ. Ìàëà÷³âñüêèé, ß.Â. Ï³çþð, Ð.Ï. Ìàëà÷³âñüêèé, 2020 øîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿ çàïðîïîíîâàíî êîìá³íîâàíèé àëãîðèòì, ÿêèé âðàõîâóº ïåðåâàãè ìåòîä³â Ðåìåçà ³ Âåðíåðà. Ó ïðàö³ [5] îïèñàíî àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðà- çîì ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿ íà îñíîâ³ ñõåìè Ðåìåçà ç âèêîðèñòàííÿì äèôåðåíö³àëü- íî¿ êîðåêö³¿, à â [6] íàâåäåíî âàð³àíò ïðîãðàìíî¿ ðåàë³çàö³¿ âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó ç âèêîðèñòàííÿì öüîãî àëãîðèòìó. Ó ïðàöÿõ [1, 7] ïîáóäîâó ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì çâå- äåíî äî ïîñë³äîâíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ. Ïðîòå, çäåá³ëüøîãî, äëÿ îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áà- ãàòüîõ çì³ííèõ çàñòîñîâóþòü ìåòîäè íåë³í³éíî¿ îïòèì³çàö³¿ [8]. Ó ö³é ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ÿê ãðàíè÷íîãî íàáëèæåííÿ ó íîðì³ ïðîñòîðó Lp äëÿ p � �. Â³í ´ðóíòóºòüñÿ íà ìåòîä³, îïèñàíîìó â [8, 9], ³ ïîëÿãàº â ïîñë³äîâí³é ïîáóäîâ³ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü. Ñåðåäíüîñòåïå- íåâ³ íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì îá÷èñëþþòü çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç âèêîðèñòàííÿì äâîõ çì³ííèõ âàãîâèõ ôóíêö³é, çíà÷åííÿ ÿêèõ óòî÷- íþþòü ç óðàõóâàííÿì óñ³õ ïîïåðåäí³õ íàáëèæåíü [9]. Ïàðàìåòðè ðàö³îíàëüíîãî íàáëèæåííÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â âèçíà÷àþòü ç âèêîðèñòàííÿì ë³íå- àðèçàö³¿ [10, 11]. Ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âè- ðàçîì íà îñíîâ³ îá÷èñëåííÿ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü äëÿ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿ îïèñàíî â ïðàö³ [12], à äëÿ ôóíêö³é â³ä äâîõ çì³ííèõ — ó ïðàö³ [13]. Äëÿ îö³íêè ïîõèáêè ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ), çàäà- íî¿ íà ìíîæèí³ òî÷îê �, âèêîðèñòîâóþòü íîðìó ïðîñòîðó E p ( )1 � �p \| \| \| \| \| ( ) \| / � � � E p X p p X� � � � � � � 1 , (3) äå � ( ) ( ) ( , ; ),X f X R a b Xk l� � . Ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ íîðìè \| \| \| \|� E p äëÿ p � � àíàëîã³÷íî äî íîðìè ïðîñòîðó L p äëÿ p � � â³äïîâ³äàº íîðì³ ó ïðîñòîð³ íå- ïåðåðâíèõ ôóíêö³é \| \| \| \|� C [1]. ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ ßêùî íåïåðåðâíå ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b Xk l, ( , ; ) (1) äëÿ ôóíêö³¿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ³ñíóº, òî ïîáóäîâà òàêîãî íàáëèæåííÿ ´ðóíòóºòüñÿ íà ³äå¿ ïîñë³äîâíîãî îá÷èñëåííÿ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü äëÿ p � 2 3 4, , ,� ó ïðîñòîð³ E p ç íîðìîþ (3). Äëÿ ïîáóäîâè ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íà- áëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) ó ïðîñòîð³ E p âèêîðèñòàíî ³òåðàö³éíó ñõåìó íà îñíîâ³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â [9] X r k l a A b B X f X R a b X � � �� ( )( ( ) ( , ; )) min, , 2 , r p� �0 1 2, , ,� , (4) ç ïîñë³äîâíèì óòî÷íåííÿì çíà÷åíü âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r X( ) � 0 1( )X � , � r i i r X X( ) \| ( ) \|� � � � 1 , r p� �1 2, ,� , p � 3 4, ,� , (5) äå � s k l sX f X R a b X( ) ( ) ( , ; ), ,� � �1 , s r�1, , R a b Xk l s, , ( , ; ) — íàáëèæåííÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ôóíêö³¿ f X( ) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ � s X( ), ÿêå â³äïîâ³äàº ñåðåäíüîñòåïåíåâîìó íàáëèæåííþ ñòåïåíÿ p s� �2. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 147 Ìîæëèâ³ñòü îòðèìàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ÿê ãðàíè÷íîãî íàáëè- æåííÿ ó ïðîñòîð³ L p äëÿ p � � äåòàëüíî äîñë³äæåíî â ïðàö³ [14], â ÿê³é ª.ß. Ðå- ìåç òåîðåòè÷íî îá´ðóíòóâàâ çá³æí³ñòü îá÷èñëþâàëüíèõ ñõåì äëÿ ïîáóäîâè ÷åáè- øîâñüêîãî íàáëèæåííÿ íà îñíîâ³ ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ. Ïîáóäîâà íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàä- ðàò³â — öå íåë³í³éíà çàäà÷à. Äëÿ ïîáóäîâè òàêîãî íàáëèæåííÿ çàñòîñîâàíî ë³íå- àðèçàö³þ, ÿêà ïîëÿãàº â ³òåðàö³éíîìó óòî÷íåíí³ íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðà- çîì (1) ç âèêîðèñòàííÿì çì³ííî¿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ [10, 11]. Â³äïîâ³äíî äî öüîãî ìå- òîäó ë³íåàðèçàö³¿ äëÿ êîæíîãî ô³êñîâàíîãî çíà÷åííÿ p îá÷èñëþºìî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b Xk l, ( , ; ) (1) çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â X r r t r t a A b B X X a b X � �� ( ) ( )( ( , ; )) min, , , � 2 , r p� �2 , t � 0 1, , ,� (6) äå �r t i r t i l i l a b X f X b X X a, , ,( , ; ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � 0 1 i r t i i k X, , ( )� � 0 . (7) Çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r X( ) îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëîþ (5), à âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r t X, ( ) — çà ôîðìóëîþ � r t i r t i l i lX r t b X X , , , ( ) , , , ( ) ( ) � � � �� 1 0 0 1 0 1 ÿêùî � � � � � � � � � � � � � � � � �2 0, .ÿêùî t (8) Óòî÷íåííÿ íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) çà ³òåðàö³éíîþ ñõå- ìîþ (6), (8) ìîæíà êîíòðîëþâàòè òî÷í³ñòþ �1 âèêîíàííÿ óìîâè \| \|, , ,� � � �r t r t r t� � 1 1 , (9) äå � �r t r r t r t X X X a b X, , ,( ) ( )( ( , ; ))� � � � 2 . (10) Ï³ä ÷àñ òåñòóâàííÿ âèêîðèñòîâóâàëè çíà÷åííÿ �1 � 0.003, ÿêå çàáåçïå÷óâàëî çá³æí³ñòü äâîõ-òðüîõ çíà÷óùèõ öèôð ñóìè êâàäðàò³â â³äõèëåíü (10) íà ìíîæèí³ òî÷îê � . Âèêîíàííÿ óìîâè (9) îçíà÷àº, ùî ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ ñòåïå- íÿ p r� �2 ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b Xk l r, , ( , ; ) îá÷èñëåíî ç òî÷í³ñòþ �1. Çíà- ÷åííÿ ïàðàìåòð³â íàáëèæåííÿ R a b Xk l r, , ( , ; ) º òàêèìè: a aj r j r t, , ,� ( , )j k� 0 , b bj r j r t, , ,� ( , )j l� �0 1 . (11) Îòæå, ïîáóäîâà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) ïîëÿ- ãàº â çàñòîñóâàíí³ äâîõ ³òåðàö³éíèõ ïðîöåñ³â: âêëàäåíèõ ³òåðàö³é (6), (8) ³ çîâ- í³øí³õ (4), (5). Çàâåðøåííÿ ³òåðàö³é (4), (5) ìîæíà êîíòðîëþâàòè äîñÿãíåííÿì äåÿêî¿ çàäàíî¿ òî÷íîñò³ � � � ��r r r� � 1 , (12) äå �r X k l rf X R a b X� � max \| ( ) ( , ; ) \|, , � . (13) Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â äîñÿãíåííÿ òî÷íîñò³ � � 0.003 ó âèïàäêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿ òà äâîõ çì³ííèõ ñïîñòåð³ãàëîñÿ çà â³ñ³ì-äâàíàäöÿòü ³òåðàö³é (4), (5). Ó âèïàäêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³é â³ä òðüîõ 148 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 çì³ííèõ äëÿ äîñÿãíåííÿ òî÷íîñò³ � � 0.003 ïîòðåáóâàëîñÿ â³ä äâàäöÿòè äî äâàäöÿ- òè ï’ÿòè ³òåðàö³é. Öÿ òî÷í³ñòü çàáåçïå÷óâàëà çá³æí³ñòü äâîõ-òðüîõ çíà÷óùèõ öèôð ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì. Ïðè öüîìó òî÷í³ñòü �1 � 0.003 âèçíà÷åííÿ ïðîì³æíèõ íàáëèæåíü ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì äî- ñÿãàëàñÿ çà òðè–÷îòèðè âíóòð³øí³ ³òåðàö³¿ (6)–(8). ßêùî äëÿ r � 1 çíà÷åííÿ âàãî- âî¿ ôóíêö³¿ � r X, ( )0 ïîêëàñòè ð³âíèìè çíà÷åííÿì � r t X�1, ( ), ùî â³äïîâ³äàº çíà- ÷åííÿì ö³º¿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ íà ïîïåðåäí³é ³òåðàö³¿ � �r r tX X, ,( ) ( )0 1� � , òî äëÿ óòî÷íåííÿ ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó äîñòàòíüî áóëî ëèøå äâîõ-òðüîõ ³òå- ðàö³é (6), (8). Çá³æí³ñòü ³òåðàö³é (4), (5) çàáåçïå÷óº ïîñë³äîâíå óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâî¿ ôóíêö³¿ ç óðàõóâàííÿì ¿¿ ïîïåðåäí³õ çíà÷åíü. Â³äïîâ³äíî äî (5) çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ çì³íþþòüñÿ ïðîïîðö³éíî äî ìîäóë³â çíà÷åíü îòðèìàíî¿ ïîõèáêè íàáëè- æåííÿ ôóíêö³¿, à ñàìå òî÷ö³ ç íàéá³ëüøîþ ïîõèáêîþ íàáëèæåííÿ â³äïîâ³äàº íàéá³ëüøå çðîñòàííÿ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿. Òàêå óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâî¿ ôóíêö³¿ çàáåçïå÷óº ïîñë³äîâíå çìåíøåííÿ çíà÷åííÿ íàéá³ëüøî¿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ çà ðåçóëüòàòîì íàñòóïíî¿ ³òåðàö³¿. ÀËÃÎÐÈÒÌ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ Îïèøåìî ïðîöåñ îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f X( ), çàäàíî¿ íà ìíîæèí³ òî÷îê �. Íåõàé r — íîìåð ³òåðàö³¿ ³òåðàö³éíîãî ïðîöåñó (4), (5), t — íîìåð ³òåðàö³¿ ³òåðàö³éíîãî ïðîöåñó (6), (8), � — òî÷í³ñòü ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ, à �1 — òî÷í³ñòü óòî÷íåííÿ ïàðàìåòð³â ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó çà ñõåìîþ ë³íåàðèçàö³¿. Ðåàë³çàö³ÿ ³òåðàö³éíèõ ïðîöåñ³â (4), (5) ³ (6), (8) ïîëÿãàº ó çä³éñíåíí³ òàêèõ ä³é. 1. Ïðèéìàºìî r � 0, t � 0, �r� �1 1010 , � 0 1 0, t� � , � 0 1( )X � , � 0 0 1, ( )X � äëÿ âñ³õ X � . 2. Çíàõîäèìî ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (6), òîáòî îá÷èñëþºìî çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ñòåïåíÿ p r� �2 ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b Xk l r t, , , ( , ; ) íà t-é ³òåðàö³¿. 3. Ïåðåâ³ðÿºìî íåïåðåðâí³ñòü îòðèìàíîãî íàáëèæåííÿ R a b Xk l r t, , , ( , ; ) íà ìíîæèí³ òî÷îê çàäàííÿ ôóíêö³¿. Öþ ïåðåâ³ðêó ìîæíà ðåàë³çóâàòè, ÿê â³äñòåæåííÿ çíàêó çíà÷åííÿ çíàìåííèêà ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó R a b Xk l r t, , , ( , ; ) ó òî÷êàõ ìíî- æèíè � . Ó ðàç³ âèÿâëåííÿ çì³íè çíàêó çíà÷åííÿ çíàìåííèêà ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó R a b Xk l r t, , , ( , ; ) ÷è çíà÷åííÿ, ð³âíîãî íóëåâ³, âèêîíàííÿ àëãîðèòìó ïðèïèíÿºìî. Öå îçíà÷àº, ùî äëÿ çàäàíî¿ ôóíêö³¿ íå ³ñíóº íåïåðåðâíîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëü- íèì âèðàçîì (1) äëÿ âêàçàíèõ çíà÷åíü ñòåïåíÿ ÷èñåëüíèêà òà çíàìåííèêà. 4. Îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëîþ (10) ïîõèáêó � r t, ïðîöåñó óòî÷íåííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ñòåïåíÿ p r� �2 ðàö³îíàëüíèì âè- ðàçîì R a b Xk l r t, , , ( , ; ) íà t-é ³òåðàö³¿. 5. Ïåðåâ³ðÿºìî âèêîíàííÿ óìîâè (9). ßêùî çíà÷åííÿ ïîõèáêè � r t, çàäîâîëü- íÿº óìîâó (9), òî ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ ñòåïåíÿ p r� �2 ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b Xk l r, , ( , ; ) ââàæàºìî ïîáóäîâàíèì. Ïàðàìåòðè öüîãî íàáëèæåííÿ âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëàìè (11). Îá÷èñëåííÿ ïðîäîâæóºìî ç ï. 6. Â ³íøîìó ðàç³ ïðèéìàºìî t t� �1, îá÷èñëþºìî íîâ³ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r t x y, ( , ) çà ôîðìóëîþ (8) ³ ïåðåõîäèìî äî îá÷èñëåíü çà ï. 2. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 149 6. Çà ôîðìóëîþ (13) îá÷èñëþºìî çíà÷åííÿ ïîõèáêè �r ïðîöåñó óòî÷íåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì. 7. Ïåðåâ³ðÿºìî âèêîíàííÿ óìîâè (12). ßêùî çíà÷åííÿ ïîõèáêè �r çàäîâîëü- íÿº óìîâó (12), òî âèêîíàííÿ ³òåðàö³é (4), (5) ïðèïèíÿºìî. Çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó (1) ïîêëàäàºìî ð³âíèìè a aj j r� , ( , )j k� 0 , à b bj j r� , ( , )j l� �0 1 , (14) ³ ïåðåõîäèìî äî âèêîíàííÿ ï. 8. Â ³íøîìó ðàç³ ïðèéìàºìî r r� �1, t � 0, � r, 0 0� ³ îá÷èñëþºìî íîâ³ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r X( ) çà ôîðìóëîþ (5). Çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r X, ( )0 ïî- êëàäàºìî ð³âíèìè � r i r i l i l X b X X, ,( ) ( ) ( )0 1 0 1 2 � � � � � � � � � �� , (15) òîáòî çíà÷åííÿ ö³º¿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ çàëèøàºìî òèìè ñàìèìè, ùî âèêîðèñòîâó- âàëèñÿ íà ïîïåðåäí³é ³òåðàö³¿. Îá÷èñëåííÿ ïðîäîâæóºìî ç ï. 2. 8. Äëÿ îòðèìàíîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1), çíà÷åííÿ ïàðà- ìåòð³â ÿêîãî â³äïîâ³äàþòü (14), çä³éñíþºìî ñèìåòðèçóâàëüíå êîðèãóâàííÿ [14]. Âèçíà÷àºìî çíà÷åííÿ àäèòèâíî¿ ïîïðàâêè a0 2� �( ) /max min� � , (16) â ÿê³é �max ,max ( ( ) ( , ; ))� � X k lf X R a b X � , �min ,min ( ( ) ( , ; ))� � X k lf X R a b X � . Ó ðåçóëüòàò³ øóêàíå ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f X( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) ìàòèìå âèãëÿä R a b X R a b X ak l k l, ,( , ; ) ( , ; )� � 0 . (17) ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ Ç Â²ÄÍÎÑÍÎÞ ÏÎÕÈÁÊÎÞ ßêùî íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ f X( ) íå íàáóâàº çíà÷åíü, ð³âíèõ íóëåâ³ íà ìíîæèí³ òî÷îê � , ³ ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ f X( ) óçàãàëüíåíèì ðàö³îíàëüíèì âèðà- çîì (1) ³ñíóº, òî òàêå íàáëèæåííÿ ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ìîæíà îá÷èñëèòè çà ñõåìîþ, àíàëîã³÷íîþ äî íàâåäåíî¿ â îïèñàíîìó âèùå àëãîðèòì³. Àëãîðèòì îá- ÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ç â³äíîñíîþ ïî- õèáêîþ ïåðåäáà÷àº òàê³ çì³íè. Ó ï. 1 îïèñàíîãî âèùå àëãîðèòìó ïî÷àòêîâ³ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � 0 ( )X ïîêëàäàºìî ð³âíèìè � 0 2 1 ( ) ( ) X f X � . (18) Ó ï. 6 çíà÷åííÿ ïîõèáêè �r ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðà- çîì ó ïðîöåñ³ éîãî óòî÷íåííÿ îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëîþ �r X k l rR a b X f X � � � max ( , ; ) ( ) , , � 1 1 . (19) Ó ï. 7 íîâ³ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ � r X( ) îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëîþ (5), â ÿê³é � s k l s X R a b X f X ( ) ( , ; ) ( ) , , � �1 . (20) 150 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 Ó ï. 8 çíà÷åííÿ êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëîþ c f X f X R a b X f X R ak l r k l r � � 2 ( ) ( ) ( , ; ) ( ) ( , max min , , min max , , b X f X; ) ( )max min , (21) äå X max — òî÷êà, â ÿê³é â³äíîñíà ïîõèáêà íàáëèæåííÿ �r (19) äîñÿãàº íàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ íà ìíîæèí³ òî÷îê � , à X min — íàéìåíøîãî çíà÷åííÿ. Ç óðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f X( ), çàäàíî¿ íà ìíîæèí³ òî÷îê � ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ, áóäå ìàòè âèãëÿä R a b X cR a b Xk l k l, ,( , ; ) ( , ; )� . (22) Çíà÷åííÿ êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè c (21) âèçíà÷àºìî ÿê ðîçâ’ÿçîê îäíîïàðà- ìåòðè÷íî¿ çàäà÷³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì cR a b Xk l, ( , ; ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ max ( ) ( , ; ) ( ) min , X k l ñ f X cR a b X f X � � �� . (23) Ïðèêëàä 1. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x ex( ) � , çàäàíî¿ â òî÷êàõ xi , i � 0 30, , äå x ii � � �1 0 1. , ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x2 1, ( , ; ), â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê â³äïîâ³äíî º ïîë³íîìàìè äðóãîãî òà ïåðøîãî ñòåïåíÿ çà çì³ííîþ x . Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ � � 0.003 çà â³ñ³ì ³òåðàö³é (4) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (5) äëÿ ôóíêö³¿ y x( ) îòðèìàíî ðàö³îíàëüíèé âèðàç R a b x x x 2 1 21 043227312 3 029780712 3 863602586 , ( , ; ) . . . � � � 3 903847747. � x , (24) ÿêèé ç óðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè a0 � 0.000010784 çàáåçïå÷óº àáñî- ëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.015695232. Ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîõèáêà íàáëèæåííÿ íà ³òåðàö³ÿõ (4), (5) íàáóâàëà òàêèõ çíà÷åíü: 0.023871778, 0.016934248, 0.01628043, 0.016008242, 0.015879723, 0.015801285, 0.015747203, 0.015706016. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x2 1, ( , ; ) , îò- ðèìàíå çà ³òåðàö³éíîþ ñõåìîþ Ðåìåçà ç óòî÷íåííÿì òî÷îê àëüòåðíàíñó çà àëãîðèò- ìîì Âàëëå–Ïóññåíà [1, 15], çàáåçïå÷óº ïîõèáêó àïðîêñèìàö³¿ 0.0155. Ïåðåâèùåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëü- íèì âèðàçîì (24) ïîð³âíÿíî ç ïî- õèáêîþ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè- æåííÿ, îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðå- ìåçà, äîð³âíþº 0.000195232, ùî ñòàíîâèòü 1.26 % â³ä ïîõèáêè ÷å- áèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ, îòðè- ìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà. Êðèâó ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ y x( ) ðàö³îíàëüíèì âèðà- çîì (24) çîáðàæåíî íà ðèñ. 1. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 151 Ðèñ. 1. Êðèâà ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ y x( ) ðàö³î- íàëüíèì âèðàçîì (24) � x Íàâåäåíà íà ðèñóíêó êðèâà ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (24) â³äïîâ³äàº õàðàêòåðèñòè÷í³é âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåí- íÿ [11, 15] — ìàº ï’ÿòü åêñòðåìàëüíèõ òî÷îê, ó ÿêèõ äîñÿãàº íàéá³ëüøîãî çà ìîäó- ëåì â³äõèëåííÿ, ïðè öüîìó çíà÷åííÿ ìîäóë³â öèõ â³äõèëåíü çá³ãàþòüñÿ (â ìåæàõ çà- äàíî¿ òî÷íîñò³) ³ çíàê â³äõèëåíü ó öèõ òî÷êàõ ÷åðãóºòüñÿ: (–1, – 0.014891218), (– 0.3, 0.015635164), (0.9, – 0.01569526), (1.7, 0.015695258), (2.0, – 0.0149359). Ö³ åêñòðåìàëüí³ òî÷êè çá³ãàþòüñÿ ç òî÷êàìè àëüòåðíàíñó, îòðèìàíèìè ï³ä ÷àñ íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) çà ñõåìîþ Ðåìåçà, ç óòî÷íåííÿì òî÷îê àëüòåðíàíñó çà àëãîðèòìîì Âàëëå–Ïóññåíà [11, 15]. Ó êðàéí³õ åêñòðåìàëüíèõ òî÷êàõ ñïîñ- òåð³ãàºòüñÿ äåùî ìåíøå çà ìîäóëåì çíà÷åííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ. Äëÿ äîñÿã- íåííÿ êðàùîãî âèð³âíþâàííÿ çíà÷åíü ìîäóë³â ïîõèáîê íàáëèæåííÿ â åêñòðå- ìàëüíèõ òî÷êàõ ìîæíà ï³äâèùèòè òî÷í³ñòü îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ, çìåíøèâøè çíà÷åííÿ � â óìîâ³ (12). ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ 0.0155 áóëî îòðèìàíî çà ìåòîäîì (4), (5) äëÿ � � 0.00003 çà ñ³ìäåñÿò îäíó ³òåðàö³þ: R a b x x x 2 1 21 04479306565 3 02875502095 3 86394 , ( , ; ) . . . � � � 680668 3 9043274993. � x . (25) Äëÿ íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) âèðàçîì (25) â åêñòðåìàëüíèõ òî÷êàõ ñïîñòåð³ãà- ëèñÿ òàê³ çíà÷åííÿ ïîõèáîê: (–1, – 0.015452392123), (– 0.3, 0.015529413659), (0.9, – 0.01552941366), (1.7, 0.01546524431), (2.0, – 0.01546288028). Ç ï³äâèùåííÿì òî÷íîñò³ îá÷èñëåííÿ íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì åêñòðåìàëüí³ òî÷êè íå çì³íèëèñÿ, à çíà÷åííÿ ìîäóë³â ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî íà- áëèæåííÿ â öèõ òî÷êàõ ìàéæå âèð³âíÿëèñÿ (çá³ãàëèñÿ äâ³-òðè çíà÷óù³ öèôðè). Îá÷èñëåííÿ íàáëèæåííÿ (25) çä³éñíåíî ç âèêîðèñòàííÿì 12 ðîçðÿä³â ó ñåðåäîâèù³ Maple. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x2 1, ( , ; ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ç âèêîðèñòàííÿì ³òåðàö³é (4), (5) ³ âðàõóâàííÿì (20) äëÿ � � 0.003 áóëî îòðèìàíî çà äåñÿòü ³òåðàö³é. Ðàö³îíàëüíèé âèðàç R a b x x x 2 1 20 7972125368 2 746838210 3 6781063 , ( , ; ) . . . � � � � 94 � �3.659074535 x (26) ç óðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè c � 0.9999941962 çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.874 %. Ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ íàáëèæåííÿ (26) â³äíîñíà ïîõèáêà â³äòâîðåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) íà ³òåðàö³ÿõ (4), (5) íàáóâàëà òàêèõ çíà÷åíü (ó â³äñîòêàõ): 2.543313149, 1.096813398, 1.002098232, 0.9440792358, 0.9157450516, 0.899304183, 0.8888750491, 0.8818886266, 0.8769965656, 0.8746088798. Ãðàô³ê â³äíîñíî¿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ (26) òàêîæ â³äïîâ³äàº õàðàêòåðíèì îçíàêàì ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ [11, 15] — â åêñòðåìàëüíèõ òî÷êàõ â³äíîñíà ïîõèáêà íàáóâàëà òàêèõ çíà÷åíü: (–1, – 0.008461594347), (– 0.6, 0.008740234325), (0.3, – 0.008740234112), (1.5, 0.00870258476), (2.0, – 0.008290903896). 152 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 Ïðèêëàä 2. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y e x y( , ) ( )� � �2 2 , çàäàíî¿ â òî÷êàõ ( , )x yi j , i � 0 10, , j � 0 10, , äå xi � � �1 0.2 i , y j � � �1 0.2 j, ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x y2 2, ( , ; , ), â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê º ïîë³íî- ìàìè äðóãîãî ñòåïåíÿ çà çì³ííèìè x òà y. Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ � � 0.003 çà ñ³ì ³òåðàö³é (4), (5) äëÿ ôóíêö³¿ z x y( , ) îòðèìàíî ðàö³îíàëüíèé âèðàç R a b x y P a x y Q b x y 2 2 2 2 , ( , ; , ) ( ; , ) ( ; , ) � , (27) â ÿêîìó P a x y2 ( ; , ) � 1.007258776 � 0.115894128 10 8� �x 0.234478414 10 8� �y � 0.3393352184x 2 � 0.3393352234 y2 � 0.1445200801 10 9� xy , Q b x y2 1( ; , ) � � 0.2634009507 10 8� �x 0.5167223229 10 8� �y � 0.7853630535x 2 � 0.7853630273 y2 � 0.4766678537 10 9� xy. Ðàö³îíàëüíèé âèðàç (27) ç óðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè a0 � � 0.00014942155 çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y( , ), ùî äîð³âíþº 0.007665. Ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ íàáëèæåííÿ (27) ïîõèáêà íà- áëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y( , ) íà ³òåðàö³ÿõ (4), (5) íàáóâàëà òàêèõ çíà÷åíü: 0.0153866457, 0.010443066, 0.009504082, 0.0085679, 0.007935789, 0.0078146481, 0.0078186119. Ïîâåðõíþ ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ z x y( , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (27) çîáðàæåíî íà ðèñ. 2, à. Öåé ïðèêëàä âçÿòî ç ïðàö³ Ë.Â. Ïåòðàê [7], â ÿê³é äëÿ îòðè- ìàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y( , ) çàñòîñîâàíî ìåòîä çâåäåííÿ íåë³í³éíî¿ çàäà÷³ (2) äî ïîñë³äîâíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y( , ) ó ïðàö³ [7] îòðèìàíî ç ïîõèáêîþ 0.007666 çà ñ³ì çâåðòàíü äî ïðîöåäóðè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y( , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x y2 2, ( , ; , ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ç âèêîðèñòàííÿì ³òåðàö³é (4), (5) ³ âðàõó- âàííÿì (20) äëÿ � � 0.003 îòðèìàíî çà äåñÿòü ³òåðàö³é. Ðàö³îíàëüíèé âèðàç R a b x y P a x y Q b x y 2 2 2 2 , ( , ; , ) ( ; , ) ( ; , ) � , (28) äå P a x y2 ( ; , ) � 1.020134607 � 2.378435424 10 9� �y 1.017216096 10 9� �x � 0.3263939092x 2 � 7.456299599 10 10� �xy 0.32639402 y2 , Q b x y2 1( ; , ) � � 9.919727530 10 9� �y 4.896131881 10 9� �x � 0.8842411113x 2 � 4.219121297 10 9� �xy 0.8842407983 y2 , çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 2 % ç êîðèãóâàëüíîþ ïîïðàâêîþ c � 1.00009989. Ïîâåðõíþ ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ z x y( , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (28) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ çîáðàæåíî íà ðèñ. 2, á. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 153 Ïðèêëàä 3. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ) � � � � �e x y t( ) , çàäàíî¿ â òî÷êàõ ( , , )x y ti j r , i � 0 20, , j � 0 20, , r � 0 20, , äå x ii � � �1 0 1. , y jj � � �1 0 1. , t rr � � �1 0 1. , ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì, â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåí- íèê º ïîë³íîìàìè ïåðøîãî ñòåïåíÿ â³ä çì³ííèõ x, y òà t . Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó (4), (5) äëÿ � � 0.003 çà äâàäöÿòü äâ³ ³òåðàö³¿ îòðèìàíî äëÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ) íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì R a b x y t P a x y t Q b x y t 1 1 1 1 , ( , ; , , ) ( ; , , ) ( ; , , ) � , (29) â ÿêîìó P a x y t1 ( ; , , ) � 1.588802979 � 0.9411049363 t � 0.9411010086 y � 0.94109332x , Q a x y t1 1( ; , , ) � � 0.2626767504 t � 0.2626767831 y � 0.2626785615x . Ðàö³îíàëüíèé âèðàç (29) çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ), ùî äîð³âíþº 0.7402088392, ç êîðèãóâàëüíîþ ïîïðàâêîþ a0 � � 0.0200267282. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì, â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê º ïîë³íîìàìè ïåðøîãî ñòåïåíÿ â³ä çì³ííèõ x, y òà t , ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ íå îòðèìàíî. Ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ íàáëèæåííÿ ç â³äíîñ- íîþ ïîõèáêîþ íà ³òåðàö³ÿõ (6), (8) îäåðæàíî ðîçðèâíèé ðàö³îíàëüíèé âèðàç. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì, â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê º ïîë³íîìàìè äðóãîãî ñòåïåíÿ â³ä çì³ííèõ x, y òà t , ç âèêî- ðèñòàííÿì ìåòîäó (4), (5) äëÿ � � 0.003 îòðèìàíî çà îäèíàäöÿòü ³òåðàö³é. Àáñîëþòíà ïîõèáêà öüîãî íàáëèæåííÿ ç âðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè a0 � 0.0002501987786 äîð³âíþº 0.0233863597314. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t3 ( , , ) ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì, â ÿêîìó ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê º ïîë³íîìàìè äðó- ãîãî ñòåïåíÿ â³ä çì³ííèõ x , y òà t , ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ äëÿ � � 0.003 áóëî îòðèìà- íî çà äåâ’ÿòíàäöÿòü ³òåðàö³é. Ç óðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè c � 1.00006973092 âîíî çàáåçïå÷èëî â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 2.156 %. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Çàïðîïîíîâàíèé ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âè- ðàçîì íåïåðåðâíèõ òàáëè÷íî çàäàíèõ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ïîëÿãàº â ïîñë³äîâíîìó âèçíà÷åíí³ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü ç âèêîðèñòàííÿì ìå- òîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç äâîìà çì³ííèìè âàãîâèìè ôóíêö³ÿìè. Îäíà âàãîâà 154 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 Ðèñ. 2. Ïîâåðõí³ ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ z x y( , ): ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (27) ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ (à), ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì (28) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ (á) à á � � x y x y ôóíêö³ÿ çàáåçïå÷óº ïîáóäîâó ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ, à äðóãà — óòî÷íåííÿ ïàðàìåòð³â ðàö³îíàëüíîãî âèðàçó çà ñõåìîþ ë³íåàðèçàö³¿. Çá³æí³ñòü ìåòîäó çàáåçïå÷åíî çàâäÿêè îðèã³íàëüíîìó ñïîñîáó ïîñë³äîâíîãî óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâèõ ôóíêö³é çà ôîðìóëàìè (5) ³ (8) äëÿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè òà âðàõóâàííþ (18), (20) äëÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè. Íàâåäåí³ àëãîðèòìè îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì º ïðîñòèìè äëÿ ðåàë³çàö³¿, íàä³éíèìè òà åôåêòèâíèìè. Âîíè ïåðåäáà÷àþòü ìîæëèâ³ñòü îá÷èñëåííÿ ïàðà- ìåòð³â íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ç ïîòð³áíîþ òî÷í³ñòþ äëÿ àáñîëþò- íî¿ ³ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè. Ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â ï³äòâåð- äæóþòü äîñèòü øâèäêó çá³æí³ñòü çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó ó ðàç³ íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ ³ òðüîõ çì³ííèõ. Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçó- âàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â çà öèì ìåòîäîì çá³æí³ñòü äâîõ-òðüîõ çíà÷óùèõ öèôð ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì äîñÿãíóòî ç âèêîðèñòàííÿì â³ä âîñüìè äî äâàäöÿòè äâîõ ³òåðàö³é (4), (5). ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Êîëëàòö Ë., Êðàáñ Â. Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. ×åáûøåâñêèå ïðèáëèæåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ. Mîñêâà: Íàóêà, 1978. 272 ñ. 2. Azizov T., Melnyk O., Orlova O., Kalenchuk-Porkhanova A., Vakal L. Calculation of reinforced concrete ceilings with normal cracks accounting the Chebyshev approximation. Proc. 6th International Scientific Conference “Reliability and Durability of Railway Transport Engineering Structures and Buildings” Transbud-2017 (19–21 April 2017, Kharkiv, Ukraine). Kharkiv, 2017. Ð. 1–7. 3. Peiris V., Sharon N., Sukhorukova N., Ugon J. Rational approximation and its application to improving deep learning classifiers. arXiv:2002.11330v1 [math.OC] 26 Feb 2020. 4. Kalenchuk-Porkhanova A.A. Best Chebyshev approximation of functions of one and many variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, N 6. P. 988-996. 5. Nakatsukasa Y., Sete O., Trefethen L.N. The AAA algorithm for rational approximation. SIAM J. Sci. Comput. 2018. Vol. 40, N 3. Ð. A1494–A1522. 6. Filip S.-I., Nakatsukasa Y., Trefethen L.N., Beckermann B. Rational minimax approximation via adaptive barycentric representations. SIAM J. Sci. Comput. 2018. Vol. 40, N 4. Ð. A2427–A2455. 7. Ïåòðàê Ë.Â. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè. Òðóäû ÈÌÌ ÓÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ. 1975. Âûï. 6: Ïðîãðàììû îïòèìèçàöèè (ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé). Ñ. 130–144. 8. Malachivskyy P.S., Matviychuk Y.N., Pizyur Y.V., Malachivskyi R.P. Uniform approximation of functions of two variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. Ð. 426–431. 9. Malachivskyy P.S., Pizyur Y.V., Malachivskyi R.P., Ukhanska O.M. Chebyshev approximation of functions of several variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2020. Vol. 56, N 1. Ð. 76–86. 10. Êàëèòêèí Í.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 512 ñ. 11. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ï³çþð ß.Â. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ â ñåðåäîâèù³ Maple. Ëüâ³â: ÐÀÑÒÐ–7, 2016. 282 ñ. 12. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ï³çþð ß.Â., Ìàëà÷³âñüêèé Ð.Ï. Ð³âíîì³ðíå íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âè- ðàçîì. Êîìï’þòåðí³ òåõíîëîã³¿ äðóêàðñòâà. 2018. ¹ 1 (39). Ñ. 54–59. 13. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ìîíö³áîâè÷ Á.Ð., Ï³çþð ß.Â., Ìàëà÷³âñüêèé Ð.Ï. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ðàö³îíàëüíèì âèðàçîì ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ. Ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. Ñåð. Òåõí³÷í³ íàóêè. 2019. Âèï. 19. Ñ. 75–81. 14. Ðåìåç Å.ß. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1969. 623 ñ. 15. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ì³í³ìàêñíå ñïëàéí-íàáëèæåííÿ. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2013. 270 ñ. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 25.10.2019 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 155 Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ß.Â. Ïèçþð, Ð.Ï. Ìàëà÷èâñêèé ×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ ÔÓÍÊÖÈÉ ÌÍÎÃÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ðà- öèîíàëüíûì âûðàæåíèåì äëÿ òàáëè÷íî çàäàííûõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåí- íûõ. Èäåÿ ìåòîäà îñíîâûâàåòñÿ íà ïîñòðîåíèè ïðåäåëüíîãî ñðåäíåñòåïåííî- ãî ïðèáëèæåíèÿ â íîðìå ïðîñòðàíñòâà E p ïðè p � �. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñðåä- íåñòåïåííûõ ïðèáëèæåíèé èñïîëüçîâàíà èòåðàöèîííàÿ ñõåìà íà îñíîâå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ óòî÷íåíèåì çíà÷åíèé äâóõ âåñîâûõ ôóíê- öèé, îäíà èç êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåò ïîñòðîåíèå ñðåäíåñòåïåííîãî ïðèáëèæå- íèÿ, à âòîðàÿ — óòî÷íåíèå ïàðàìåòðîâ ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ ïî ñõåìå ëèíåàðèçàöèè. Ñõîäèìîñòü ìåòîäà îáåñïå÷èâàåòñÿ îðèãèíàëüíûì ñïîñîáîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî óòî÷íåíèÿ çíà÷åíèé âåñîâûõ ôóíêöèé. Îïèñàíû àëãîðèò- ìû âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ðàöèîíàëüíûì âûðàæåíèåì ñ àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïî- ãðåøíîñòÿìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ÷åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå ðàöèîíàëüíûì âûðàæåíèåì, ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, ñðåäíåñòåïåííîå ïðèáëèæåíèå, ìåòîä íàè- ìåíüøèõ êâàäðàòîâ. P.S. Malachivskyy, Ya.V. Pizyur, R.P. Malachivsky³ CHEBYSHEV APPROXIMATION BY THE RATIONAL EXPRESSION OF FUNCTIONS OF MANY VARIABLES Abstract. The method of constructing the Chebyshev approximation by a rational expression for functions of many variables is proposed. The idea of the method is based on constructing the boundary mean-power approximation in E p norm with p � �. The least squares method with two variable weight functions is used to construct this approximation. One weight function ensures the construction of mean-power approximation, and another one refines parameters of rational expression by linearization scheme. The convergence of the method is provided by the original method of sequentially refining the values of the weight functions. Algorithms for calculating the parameters of the Chebyshev approximation of functions of many variables by a rational expression with absolute and relative errors is described. Keywords: Chebyshev approximation by rational expression, functions of many variables, mean-power approximation, least squares method. Ìàëà÷³âñüêèé Ïåòðî Ñòåôàíîâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîâ³äíèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Öåíòðó ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ²íñòèòóòó ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. ß.Ñ. Ï³äñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, e-mail: Petro.Malachivskyy@gmail.com. Ï³çþð ßðîïîëê Âîëîäèìèðîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», e-mail: yaropolk.v.piziur@lpnu.ua. Ìàëà÷³âñüêèé Ðîìàí Ïåòðîâè÷, ðîçðîáíèê ïðîãðàìíîãî çàáåçïå÷åííÿ êîìïàí³¿ Lohika System, Ëüâ³â, e-mail: romanmalachivsky@gmail.com. 156 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5

Чебишовське наближення раціональним виразом функцій багатьох змінних

Репозитарії

Схожі ресурси