Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы
Предложен метод решения проблемы сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы, который заключается в систематическом использовании идей Фенхеля - Моро применительно к общей схеме метода разрешающих функций. Суть предлагаемого метода заключается в том, что р...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190463 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 157–173. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190463 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Раппопорт, И.С. 2023-06-08T16:28:24Z 2023-06-08T16:28:24Z 2020 Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 157–173. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190463 517.977 Предложен метод решения проблемы сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы, который заключается в систематическом использовании идей Фенхеля - Моро применительно к общей схеме метода разрешающих функций. Суть предлагаемого метода заключается в том, что разрешающую функцию удается выразить через сопряженную к функции платы и, используя инволютивность оператора сопряжения для выпуклой замкнутой функции, получить гарантированную оценку терминального значения функции платы, которая представляется через значение платы в начальный момент и интеграл от разрешающей функции. Введены понятия верхней и нижней разрешающих функций двух типов и получены достаточные условия гарантированного результата в дифференциальной игре с терминальной функцией платы в случае, когда условие Понтрягина не имеет места. Рассмотрены две схемы метода разрешающих функций, построены соответствующие стратегии управления и дано сравнение гарантированных времен. Результаты иллюстрируются на модельном примере. Запропоновано метод розв'язання проблеми зближення керованих об'єктів в ігрових задачах динаміки з термінальною функцією плати, який полягає в систематичному використанні ідей Фенхеля–Моро стосовно загальної схеми методу розв’язувальних функцій. Сутність запропонованого методу полягає в тому, що розв’язувальну функцію можна визначити через спряжену до функції плати з використанням інвалютивності оператора спряження для опуклої замкненої функції, і отримати гарантовану оцінку термінального значення функції плати, яку представлено через значення плати в початковий момент та інтеграл від розв’язувальної функції. Наведено поняття верхньої та нижньої розв’язувальних функцій двох типів і отримано достатні умови гарантованого результату в диференціальній грі з термінальною функцією плати у разі, коли умова Понтрягіна не має місця. Запропоновано дві схеми методу розв’язувальних функцій, побудовано відповідні стратегії керування і наведено порівняння гарантованих часів. Результати ілюстровано на модельному прикладі. A method is proposed for solving the problem of convergence of controlled objects in dynamic game problems with the terminal payoff function, which consists in the systematic use of Fenchel–Moreau ideas as applied to the general scheme of the method of resolving functions. The essence of the proposed method is that the resolving function can be expressed in terms of the function conjugate to payoff function and, using the involution of the conjugation operator for a convex closed function, we obtain a guaranteed estimate of the terminal value of the payoff function, which can be presented in terms of the payoff value at the initial instant of time and integral of the resolving function. The concepts of upper and lower resolving functions of two types are introduced and sufficient conditions for a guaranteed result in a differential game with a terminal payoff function are obtained for the case where the Pontryagin condition does not hold. Two schemes of the method of resolving functions are considered, the corresponding control strategies are constructed, and guaranteed times are compared. The results are illustrated by a model example. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы Проблема зближення керованих об’єктів в ігрових задачах динаміки з термінальною функцією плати The problem of approximation of controlled objects in dynamic game problems with a terminal payoff function Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| spellingShingle |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы Раппопорт, И.С. Системний аналіз |
| title_short |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| title_full |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| title_fullStr |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| title_full_unstemmed |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| title_sort |
проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы |
| author |
Раппопорт, И.С. |
| author_facet |
Раппопорт, И.С. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2020 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Проблема зближення керованих об’єктів в ігрових задачах динаміки з термінальною функцією плати The problem of approximation of controlled objects in dynamic game problems with a terminal payoff function |
| description |
Предложен метод решения проблемы сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы, который заключается в систематическом использовании идей Фенхеля - Моро применительно к общей схеме метода разрешающих функций. Суть предлагаемого метода заключается в том, что разрешающую функцию удается выразить через сопряженную к функции платы и, используя инволютивность оператора сопряжения для выпуклой замкнутой функции, получить гарантированную оценку терминального значения функции платы, которая представляется через значение платы в начальный момент и интеграл от разрешающей функции. Введены понятия верхней и нижней разрешающих функций двух типов и получены достаточные условия гарантированного результата в дифференциальной игре с терминальной функцией платы в случае, когда условие Понтрягина не имеет места. Рассмотрены две схемы метода разрешающих функций, построены соответствующие стратегии управления и дано сравнение гарантированных времен. Результаты иллюстрируются на модельном примере.
Запропоновано метод розв'язання проблеми зближення керованих об'єктів в ігрових задачах динаміки з термінальною функцією плати, який полягає в систематичному використанні ідей Фенхеля–Моро стосовно загальної схеми методу розв’язувальних функцій. Сутність запропонованого методу полягає в тому, що розв’язувальну функцію можна визначити через спряжену до функції плати з використанням інвалютивності оператора спряження для опуклої замкненої функції, і отримати гарантовану оцінку термінального значення функції плати, яку представлено через значення плати в початковий момент та інтеграл від розв’язувальної функції. Наведено поняття верхньої та нижньої розв’язувальних функцій двох типів і отримано достатні умови гарантованого результату в диференціальній грі з термінальною функцією плати у разі, коли умова Понтрягіна не має місця. Запропоновано дві схеми методу розв’язувальних функцій, побудовано відповідні стратегії керування і наведено порівняння гарантованих часів. Результати ілюстровано на модельному прикладі.
A method is proposed for solving the problem of convergence of controlled objects in dynamic game problems with the terminal payoff function, which consists in the systematic use of Fenchel–Moreau ideas as applied to the general scheme of the method of resolving functions. The essence of the proposed method is that the resolving function can be expressed in terms of the function conjugate to payoff function and, using the involution of the conjugation operator for a convex closed function, we obtain a guaranteed estimate of the terminal value of the payoff function, which can be presented in terms of the payoff value at the initial instant of time and integral of the resolving function. The concepts of upper and lower resolving functions of two types are introduced and sufficient conditions for a guaranteed result in a differential game with a terminal payoff function are obtained for the case where the Pontryagin condition does not hold. Two schemes of the method of resolving functions are considered, the corresponding control strategies are constructed, and guaranteed times are compared. The results are illustrated by a model example.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190463 |
| citation_txt |
Проблема сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 157–173. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT rappoportis problemasbliženiâupravlâemyhobʺektovvigrovyhzadačahdinamikisterminalʹnoifunkcieiplaty AT rappoportis problemazbližennâkerovanihobêktívvígrovihzadačahdinamíkiztermínalʹnoûfunkcíêûplati AT rappoportis theproblemofapproximationofcontrolledobjectsindynamicgameproblemswithaterminalpayofffunction |
| first_indexed |
2025-11-24T03:03:49Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:03:49Z |
| _version_ |
1850840455542996992 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÑÁËÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
 ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÄÈÍÀÌÈÊÈ
Ñ ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÅÉ ÏËÀÒÛ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ
îáúåêòîâ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû, êî-
òîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñèñòåìàòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè èäåé Ôåíõåëÿ–Ìîðî
ïðèìåíèòåëüíî ê îáùåé ñõåìå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Ñóòü ïðåäëà-
ãàåìîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ óäàåòñÿ âû-
ðàçèòü ÷åðåç ñîïðÿæåííóþ ê ôóíêöèè ïëàòû è, èñïîëüçóÿ èíâîëþòèâíîñòü
îïåðàòîðà ñîïðÿæåíèÿ äëÿ âûïóêëîé çàìêíóòîé ôóíêöèè, ïîëó÷èòü ãàðàíòè-
ðîâàííóþ îöåíêó òåðìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïëàòû, êîòîðàÿ ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèå ïëàòû â íà÷àëüíûé ìîìåíò è èíòåãðàë îò ðàçðå-
øàþùåé ôóíêöèè. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåðõíåé è íèæíåé ðàçðåøàþùèõ ôóíê-
öèé äâóõ òèïîâ è ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî
ðåçóëüòàòà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû
â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå èìååò ìåñòà. Ðàññìîòðåíû äâå ñõå-
ìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèè
óïðàâëåíèÿ è äàíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí. Ðåçóëüòàòû èëëþñò-
ðèðóþòñÿ íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òåðìèíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïëàòû, êâàçèëèíåéíàÿ äèôôåðåí-
öèàëüíàÿ èãðà, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, èçìåðèìûé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêî-
ïè÷åñêàÿ ñòðàòåãèÿ, ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåê-
òîâ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû íà îñíîâå
ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [1]. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåðõíåé è íèæíåé ðàçðå-
øàþùèõ ôóíêöèé äâóõ òèïîâ è ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðîâàí-
íîãî ðåçóëüòàòà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû
â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå èìååò ìåñòà. Ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû
ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèè óïðàâ-
ëåíèÿ è äàíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí. Ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ
íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå.
Ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííûå â [1, 2], ïðèìûêàåò ê ïóáëè-
êàöèÿì [3–22], ðàñøèðÿåò êëàññ èãðîâûõ çàäà÷ ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåê-
òîâ, êîòîðûå èìåþò ðåøåíèÿ, è ðàñêðûâàåò íîâûå âîçìîæíîñòè ïðèëîæåíèÿ âû-
ïóêëîãî àíàëèçà ê òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ.
ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ. ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ ÏÅÐÂÎÃÎ ÒÈÏÀ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñûâàåò-
ñÿ ðàâåíñòâîì
z t g t t u d
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � � �
0
, t � 0 . (1)
Çäåñü z t R n( ) � , ôóíêöèÿ g t( ) , g R R n: � � , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó [8] è îãðàíè-
÷åíà ïðè t 0 , ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � , t � �� 0 , èçìåðèìà ïî t , à òàêæå
ñóììèðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé
� �( , )u , � : U V R n
� , êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïå-
ðåìåííûõ íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V ; m , l , n — íà-
òóðàëüíûå ÷èñëà.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 157
© È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2020
Óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � � , è � �( ) , � : R V� � , ÿâëÿþòñÿ èçìåðè-
ìûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Êðîìå ïðîöåññà (1) çàäàíà ñîáñòâåííàÿ âûïóêëàÿ çàì-
êíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñíèçó ïî z ôóíêöèÿ �( )z , � : R Rn � 1, çíà÷åíèÿ êîòîðîé íà
òðàåêòîðèÿõ ïðîöåññà (1) îïðåäåëÿþò ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû. Åñëè z t( ) , t � 0 , —
òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1), òî èãðà ñ÷èòàåòñÿ çàêîí÷åííîé â ìîìåíò t1 0 , åñëè
�( ( ))z t1 0� . (2)
Öåëè ïåðâîãî èãðîêà u è âòîðîãî èãðîêà � ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé (íàçîâåì
åãî ïðåñëåäîâàòåëåì) ïûòàåòñÿ âûïîëíèòü íåðàâåíñòâî (2) íà ñîîòâåòñòâóþùåé
òðàåêòîðèè ïðîöåññà (1) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à âòîðîé èãðîê ïûòàåòñÿ ìàêñèìàëü-
íî îòòÿíóòü ìîìåíò âûïîëíåíèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà èëè èçáåæàòü åãî âûïîëíåíèå.
Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà è áóäåì îðèåíòèðîâàòüñÿ íà âûáîð ïðîòèâ-
íèêîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïðèíè-
ìàåò çíà÷åíèÿ èç V . Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè èãðà (1), (2) ïðîäîëæàåòñÿ
íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà â ìîìåíò t áóäåì âûáèðàòü íà
îñíîâå èíôîðìàöèè î g T( ) è � t ( )� , ò.å. â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T t( ) ( ( ), ( ))� �� , t T�[ , ]0 , u t U( ) � , (3)
ãäå � �t s s t( ) { ( ) : [ , ]}� � � 0 — ïðåäûñòîðèÿ óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà ê ìîìåíòó
t, èëè â âèäå êîíòðóïðàâëåíèÿ
u t u g T( ) ( ( ), ( ))� �� , t T�[ , ]0 , u t U( ) � . (4)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, g t e zAt( ) � 0 , � ( , ) ( )t eA t� ��
, z z( )0 0� , à eAt — ìàòðè÷-
íàÿ ýêñïîíåíòà, òî ñ÷èòàþò, ÷òî óïðàâëåíèå u t u z t( ) ( , ( ))� �0 � ðåàëèçóåò êâàçè-
ñòðàòåãèþ [6], à êîíòðóïðàâëåíèå [3] u t u z( ) ( , ( ))� �0 � ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì
ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè Õàéåêà [7].
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè è ñ ó÷åòîì òåîðåìû
Ôåíõåëÿ–Ìîðî [9] èìååì
� � � �
�
�( ) sup [( , ) ( )]z z
R n
�
�
,
ãäå
� � � �� ( ) sup [( , ) ( )]�
�z R n
z z . (5)
Ôóíêöèÿ � �� ( ) — ñîáñòâåííàÿ, çàìêíóòàÿ è âûïóêëàÿ [9]. Ýôôåêòèâíîå ìíî-
æåñòâî ôóíêöèè � �� ( ) èìååò âèä dom � � � �� �� � � ��{ : ( ) }R n .  ñèëó îãðà-
íè÷åííîñòè ñíèçó ñîáñòâåííîé ôóíêöèè �( )z è ñîîòíîøåíèÿ (5) ïîëó÷èì
� �� ( ) inf ( )0 �
�z R n
z , à çíà÷èò, 0�dom � * .
Ïóñòü L — ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà dom � � (ïåðåñå÷åíèå âñåõ ëèíåé-
íûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, êîòîðûå ñîäåðæàò ìíîæåñòâî dom � � ). Òîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì � îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðî-
âàíèÿ èç R n íà L. Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
� � �( ) ( )z z� , z R n� .
Îáîçíà÷èì � �( , )U � { � �( , ) :u u U� } è ðàññìîòðèì íà ìíîæåñòâå �
V
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
W t t U( , , ) ( , ) ( , )� � � � � �� co � .
Çäåñü coA – îâûïóêëåíèå ìíîæåñòâà A [9], � = {( , ): }t t� �0 � � � � .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòîáðàæåíèå � � � �� ( , ) ( , )t U èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ,
à ãðàíèöû ìíîæåñòâ W t( , , )� � è � � � �� ( , ) ( , )t U ñîâïàäàþò íà ìíîæåñòâå �
V .
158 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t � ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî
ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � �� ( , ) ( , )t u áóäåò L B� -èç-
ìåðèìîé ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V è íåïðåðûâíîé ïî u U� . Ïîýòîìó ïðè ëþáîì ôèêñè-
ðîâàííîì t 0 ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ � � � �� ( , ) ( , )t U è W t( , , )� � èìåþò çà-
ìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿþòñÿ L B� -èçìåðèìûìè ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V [8].
Óñëîâèå 1 (óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà). Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå �
��
� � � �
V
t U� ( , ) ( , )
ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �, ãäå � = {( , ): }t t� �0 � � � � .
 âûïóêëîì àíàëèçå [9] ïðè îïèñàíèè ìíîæåñòâ êëþ÷åâóþ ðîëü èãðàþò
îïîðíûå ôóíêöèè C X x
x X
* ( , ) ( , )� ��
�
sup è C X x
x X
* ( , ) ( , )� ��
�
inf , ãäå ìíîæåñòâî X
ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà R n . Íàçîâåì ôóíêöèè C X x
x X
* ( , ) ( , )� ��
�
sup
âåðõíèìè, à ôóíêöèè C X x
x X
* ( , ) ( , )� ��
�
inf íèæíèìè îïîðíûìè ôóíêöèÿìè.
Åñëè ìíîæåñòâî X âûïóêëî è çàìêíóòî, òî ìåæäó íèì è åãî âåðõíåé è íèæ-
íåé îïîðíûìè ôóíêöèÿìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå [9],
ïðè÷åì
X x x C X R x x C X Rn n� � � � � � � �{ : ( , ) ( , ) } { : ( , ) ( , ) }*
*� � � � � � .
Çàìå÷àíèå 1.  ðàáîòå [23] ââåäåíî ïîíÿòèå ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî ìèíèìó-
ìà ïî îðòîãîíàëüîìó áàçèñó e en1� �� îò êîìïàêòà A K R n� ( ) ïî ôîðìóëå
lex min
e e k
n
k
n
A A
1
0� � �
� �
�
,
ãäå A A0 � , A x A x e C Ak k k k� � �
{ }1 1: ( , ) ( , )* � , C Ak* ( , )
1 � — íèæíÿÿ
îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Ak
1, k n�1, ..., [24]. Ìíîæåñòâî lex min
e en
A
1� ��
ñî-
ñòîèò èç îäíîé òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé ìíîæåñòâó êðàéíèõ òî÷åê âûïóêëîé
îáîëî÷êè ìíîæåñòâà A [24]. Ïðè ýòîì åñëè âçÿòü êîìïàêòíîçíà÷íîå L B� -èç-
ìåðèìîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� � è îðòîãîíàëüíûé áàçèñ òàêîé, ÷òî
e1 � �, � �R m , � � 0 , òî [24] âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
lex min ( , ), ( ( , ), )*
e en
U C U
1� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � , � �[ , ]0 t , � �V , t 0 .
Ëåììà 1 [24]. Ïóñòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� � êîìïàêòíîçíà÷íî,
L B� -èçìåðèìî è � �R m , � � 0 . Òîãäà ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
u( , )� � ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U ( , )� � òàêîé, ÷òî ( ( , ), ) ( ( , ), )*u C U� � � � � �� ,
è êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [1], � �[ , ]0 t , t 0 , � �V .
Ïóñòü �( , )t , :� � L, � ={ ( , ):t t� �0 � � � �}, — íåêîòîðàÿ ïî÷òè âåçäå
îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ïî t è ñóììèðóåìàÿ ïî �, � �[ , ]0 T , äëÿ êàæäîãî t 0
ôóíêöèÿ, êîòîðóþ, ñëåäóÿ [1], áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé ñäâèãà.
Óñëîâèå 2. Äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t , :� � L, íà ìíîæåñòâå
�
V èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî max
dom� �
� � � �
�
�
*
* ( ( , , ) ( , ), )C W t t 0 .
Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå 2 ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ 0�
co[ ( , , ) ( , )]W t t� � � äëÿ
âñåõ � �[ , ]0 t , � �V , êîòîðîå íå ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 1. Ïðè ýòîì åñëè
W t t U( , , ) ( , ) ( ,� � � � � �
� � , òî óñëîâèå 2 ãàðàíòèðóåò ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ 1.
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ ñäâèãà �( , )t è ïîëîæèì
� � � � �( ) ( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t t g t t g t t d
t
� � � � �
0
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 159
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
� � � � � � � �( ( ), ( , )) { : ( ( , ( ), ( , )) }g t t g t t � � 0 0 .
Åñëè íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0 , òî
ïîëîæèì � � � � ��( ( ), ( , ))g .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìèíàëü-
íûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé îãðà-
íè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíê-
öèè ñäâèãà �( , )t ìíîæåñòâî � � � �( ( ), ( , ))g íå ïóñòî è ��� � � �( ( ), ( , ))g . Òîãäà èãðà
ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò � ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � � �[ , ]0 . Çàäàäèì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W ( , , ) ( , )�
�� � � äëÿ � � �[ , ]0 ,
� �V . Â ñèëó ëåììû 1 è óñëîâèÿ 2 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
u0 ( , )� � ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W ( , , ) ( , )�
�� � � òàêîé, ÷òî äëÿ
� ��dom *, � � 0 , ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
( ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )*u C W0 0� � � � � � � �
� � �
� � . (6)
Îòìåòèì, ÷òî ñåëåêòîð u0 ( , )� � ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíê-
öèåé [1], � � �[ , ]0 , � �V . Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� ,
� � �[ , ]0 .
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà � � �( ( )) ( ( ))z z� � � , ôîðìóëû (1) è îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿ-
æåííîé ôóíêöèè ïîëó÷èì
�( ( ))z � �
� � � �
�
�
max ( , ( ) ( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
*� �
� � � � � � � � � �
dom
� u0 d� � �
�
�
!
"
#
#
�
� * ( )
0
. (7)
Òîãäà (6) è (7) îïðåäåëÿþò ñîîòíîøåíèå
� � � ( ( )) ( ( , ( ), ( , )))z g� � � � � � � 0 ,
îòêóäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (2) â ìîìåíò �.
Çàìå÷àíèå 3. Èç óñëîâèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èçìåðèìûé ñåëåêòîð
�( , )t , � �( , ) ( , )t W t� , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2 è ñïðàâåäëèâà
òåîðåìà 1.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , ) : sup [ ( ( , , ) ( , ), ) [(
*
*t C W t t� � � � � � � � �
� �
� �
�
�
0
dom
, ( ) ( )]]*� � �t
�
$
%
&
'&
(
)
&
*&
0 .
Óñëîâèå 3. Íà ìíîæåñòâå � ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
sup [ ( ( , , ) ( , ), ) ( , , )[(
*
*
� � �
� � � � � � �
� �
�
V
C W t t tsup
dom
A , ( ) ( )]]*� � �t
� 0 .
Åñëè óñëîâèÿ 3 âûïîëíåíî, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � íå ïóñòî
íà ìíîæåñòâå �
V è ïîðîæäàåò âåðõíþþ è íèæíþþ ñêàëÿðíûå ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè ïåðâîãî òèïà
� � � � � � �* ( , , ) : ( , , )t t� �sup{ }A , � � � � � � �* ( , , )t � �inf { : (t, , )}A ,
� �[ , ]0 t , � �V .
 ðàáîòå [1] ïîêàçàíî, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ÿâëÿåòñÿ
çàìêíóòîçíà÷íûì, L B� -èçìåðèìûì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �V ,
à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ÿâëÿÿñü ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è
160 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
íèæíåé îïîðíûìè ôóíêöèÿìè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A ( , , )t � � â íàïðàâëå-
íèè �1 , L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �V . Ïîýòîìó îíè ñó-
ïåðïîçèöèîííî èçìåðèìû [1], ò.å. � � � �* ( , , ( ))t è � � � �* ( , , ( ))t èçìåðèìû ïî �,
� �[ , ]0 t , ïðè ëþáîé èçìåðèìîé ôóíêöèè �( ) ( )� � �V , ãäå V ( )� — ñîâîêóïíîñòü èç-
ìåðèìûõ ôóíêöèé � �( ) , � � ��[ , ]0 , ñî çíà÷åíèÿìè èç V . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî
âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó, à íèæíÿÿ — ïîëóíåïðå-
ðûâíà ñíèçó ïî ïåðåìåííîé � è ôóíêöèè inf ( , , )*
�
� � �
�V
t è sup
�
�� � �
�V
t( , , ) èçìåðè-
ìû ïî � , � �[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
� � � � � � � �
$
%
&
'&
*
( ( ), ( , )) : ( ( , ( ), ( , )))1 0 0g t t g t t � � , sup
�
� � � �
�
� �
(
)
&
*&V
t
t d* ( , , )
0
1 .
Åñëè íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿþòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0 ,
òî ïîëîæèì � � � � ��
*
( ( ), ( , ))1 g .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìèíàëü-
íûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé îãðà-
íè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíê-
öèè ñäâèãà �( , )t ìíîæåñòâî � � � �
*
( ( ), ( , ))1 g íå ïóñòî è � �� � � �
* *
( ( ), ( , ))1 1 g . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò �
*
1 ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � � �[ , ]
*
0 1 . Çàäàäèì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
 ñèëó óñëîâèÿ 3 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u
*
( , )1 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W ( , , ) ( , )
* *
�
�1 1� � � òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *,
� � 0 , � �V , � � �[ , ]
*
0 1 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
( ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )
* * * * *
u C W1 1 1 1� � � � � � � �
� � �
� ,
sup
dom� �
� � � � � � � � �
�
� � �
*
[( ( , ) ( , ), ) ( , , )[( , (
* * * *
u1 1 1 �
�
*
*) ( )]]1 0� � . (8)
Ïóñòü óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà èìååò âèä u u
* *
( ) ( , ( ))1 1� � � �� , � � �[ , ]
*
0 1 .
Ïðèáàâëÿÿ è âû÷èòàÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âûðàæåíèÿ (7) âåëè÷èíó
[( , ( )) ( )] ( , , ( ))
*
*
* *
*
� � � � � � � � ��
�
�
�
1 1
0
1
d , ïîëó÷àåì
� � � � � � � �
� �
( ( )) max [( , ( )) ( )] ( , ,
* *
*
* *
*
z � � �
�
�
1 1 11
dom
( ))
*
� �
0
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
$
%
&
'
&
�d
� �
� �
�
� [( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
* * *
*
� � � � � � � � �� 1 1 1
0
1
u d
(9)
� � �
(
)
&
*&
� � � � � � � � �* * *
*( , , ( ))[( , ( )) ( )]]1 1 d .
Ââèäó ñîîòíîøåíèé (8), (9) ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü â ìî-
ìåíò �
*
1 âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
� � � � � � ��( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( , , ( )
* * * * *
z g� � � � � �
�1 1 1 1 11 )
*
d�
0
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 161
Ïðè ýòîì ïî îïðåäåëåíèþ �
*
1 èìååì � � ( ( , ( ), ( , )))
* * *
� � � � �1 1 1 0g , à
1 11
0
1
0
1 1
� �
�
�
�
�
� �� � � � � � � � �
�
* * * *
( , , ( )) ( , , )
* *
d d
V
sup 0 .
Ïîýòîìó èìååì
� � � � � � ��( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( , , ( )
* * * * *
z g� � � � � �
�1 1 1 1 11 )
*
d�
0
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 4. Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t , :� � L , íà ìíî-
æåñòâå �
V âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî 0�A ( , , )t � � , � � �[ , ]
*
0 1 , � �V . Ïîýòîìó
ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 3 è � � � � � � �* ( , , ) }t t� � �inf { : ( , , )A 0 íà ìíîæåñòâå �
V .
Óñëîâèå 4. Íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
sup sup sup
dom� � � �
� � � � �
� � �
�
V V
C W t t t
*
[ ( ( , , ) ( , ), ) ( ,* * � � � � � �, )[( , ( ) ( )]]*t
� 0 .
Çàìå÷àíèå 5. Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t , :� � L, íà ìíî-
æåñòâå �
V âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 4 è sup
�
� � �
�
�
V
t* ( , , ) 0
íà ìíîæåñòâå �.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g t t t d
V
t
V
( ( ), ( , )) : inf ( , , ) ,*
* � � � � �
� �
� � � � �
� �
�0 1
0
sup ( , , )t d
t
� � �
0
1� �
$
%
&
'&
(
)
&
*&
. (10)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 � � �*( , , )t + �� äëÿ � �[ , ]0 t , � �V , òî çíà÷åíèå ñî-
îòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (10) åñòåñòâåííî
ïîëîæèòü ðàâíûì ��, è t T g t� � �( ( ), ( , )) , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî âòîðîå
íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (10).  ñëó÷àå, êîãäà îáà íåðàâåí-
ñòâà â ñîîòíîøåíèè (10) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0 , ïîëîæèì
T g t( ( ), ( , )) � � ��.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé
îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 4 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé
ôóíêöèè ñäâèãà ( , )� � ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � � íå ïóñòî, à T T g� � � �( ( ), ( , )) . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 T .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � � ( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d T d
t
Vt
T
( ) ( , , ( )) ( , , )*
*�
� �
�
1
0
� � � � � � � � �
�
sup , t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V
T
( ) ( , , )*0 1 0
0
�
�
� sup
�
� � � � ,
h T T d t d
T
V
T
( ) ( , , ( )) inf ( , , )* *�
�
�� � �
1 1 0
0 0
� � � � � � � � �
�
.
162 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
Ïîýòîìó ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìå-
íè t* , t T* ( , ]� 0 , ÷òî h t( )* � 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t* çàâè-
ñèò îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ): [ , ]*� � �{ }0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*0 t , [ , ]*t T íàçîâåì àêòèâíûì è ïàññèâíûì ñîîòâåò-
ñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ äëÿ ïåðâîãî èãðîêà íà êàæäîì ïðîìåæóòêå.
 ñèëó óñëîâèÿ 3 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u1
* ( , )� �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W T T( , , ) ( , )� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , )*0 t ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
( ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )*
*u T C W T T1 � � � � � � � �
�
,
sup
dom� �
� � � � � � � � � �
�
�
*
[( ( , ) ( , ), ) ( , , )[( , ( )* *u T T T1
* ( )]]� � 0 . (11)
Ïðèìåì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àêòèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè
u u1 1
* *( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , )
*
0 t .
Ââèäó óñëîâèÿ 4 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u
*
( , )1 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W T T( , , ) ( , )� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , ]
*
t T ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
( ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )
* *u T C W T T1 � � � � � � � �
�
,
sup sup
dom� � �
� � � � � � � �
� �
�
*
[( ( , ) ( , ), ) ( , , )[( ,
* *u T T
V
1 � � �( ) ( )]]*t
� 0. (12)
Ïóñòü óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè èìååò
âèä u u
* *
( ) ( , ( ))1 1� � � �� , � �[ , ]
*
t T .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî � � �( ( )) ( ( ))z T z T� , ôîðìóëó (1) è îïðåäå-
ëåíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � �
� �
( ( )) max ( , ( )) ( , ( , ) ( ( ), ( )
*
*z T T T u� �
�dom
� 1 ) ( , ))
*
�
�
�
� � �T d
t
0
�
!
"
#
#� ( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( )
*
*
*
� � � � � � � � � � �� T u T d
t
T
1 . (13)
Ïðèáàâèì è âû÷òåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âûðàæåíèÿ (13) âåëè÷èíó
[( , ( )) ( )] ( , , ( )) ( , , )* *
*
*
� � � � � � � � � � � �
�
T T d T
t
V
��
�0
sup
t
T
d
*
�
�
�
!
"
#
#
� .
Òîãäà ïîëó÷èì
� � � � �
� �
( ( )) max [( , ( )) ( )] ( )
*
*
*z T T h t�
�
$
%
&
'&
�dom
�
�[( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , , ( ))* *
*
� � � � � � � � � � � �� T u T T
t
1
0
�
�[( , ( )) ( )]]*� � � � �T d
�
�
�
[( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , , )
* *� � � � � � � � � � �
�
� T u T T
V
1 sup
t
T
T d
*
[( , ( )) ( )]]*�
(
)
&
*&
� � � � � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 163
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (11), (12) âûòåêàåò, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò
ãàðàíòèðîâàòü â ìîìåíò T âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
� � � ( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( )*z T T g T T h t� � � 0 .
Äëÿ ñëó÷àÿ � � ( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0 äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 2 è ýòèì
çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Óñëîâèå 5. Íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è ñïðàâåäëèâî íåðàâåí-
ñòâî
sup sup inf
dom� � � �
� � � � �
� � �
�
V V
C W t t t
*
[ ( ( , , ) ( , ), ) ( ,*
* � � � � � �, )[( , ( ) ( )]]*t
� 0 .
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìèíàëü-
íûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé îãðà-
íè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíû óñëîâèÿ 4, 5 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé
ôóíêöèè ñäâèãà ( , )� � ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � � íå ïóñòî, à T T g� � � �( ( ), ( , )) . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � �[ , ]0 T .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � � ( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d T d
V
t
Vt
T
( ) ( , , ) ( , , )*
*�
� �
� �1
0
inf sup
� �
� � � � � � � �, t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V
T
( ) ( , , )*0 1 0
0
�
�
� sup
�
� � � � , h T T d
V
T
( ) inf ( , , )*�
�
��1 0
0
�
� � � � .
Ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t
*
,
t T* ( , ]� 0 , ÷òî h t( )* � 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
íå çàâèñèò îò
ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ): [ , ]*� � �{ }0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*0 t , [ , ]*t T íàçîâåì àêòèâíûì è ïàññèâíûì ñîîòâåò-
ñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ äëÿ ïåðâîãî èãðîêà íà êàæäîì ïðîìåæóòêå
âðåìåíè.
 ñèëó óñëîâèÿ 5 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~ ( , )*u1 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W T T( , , ) ( , )� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , )
*
0 t ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
(~ ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )*
*u T C W T T1 � � � � � � � �
�
,
sup inf
dom� � �
� � � � � � � �
� �
�
*
[(~ ( , ) ( , ), ) ( , , )[(* *u T T
V
1 , ( ) ( )]]*� � �T
� 0 . (14)
Ïóñòü óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àêòèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè
~ ( ) ~ ( , ( ))* *u u1 1� � � �� , � �[ , )
*
0 t .
Ââèäó óñëîâèÿ 4 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~ ( , )
*
u 1 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W T T( , , ) ( , )� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , ]*t T ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
164 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
(~ ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )
* *u T C W T T1 � � � � � � � �
�
,
sup sup
dom� � �
� � � � � � � �
� �
�
*
[(~ ( , ) ( , ), ) ( , , )[(
* *u T T
V
1 , ( ) ( )]]*� � �T
� 0 . (15)
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè
~ ( ) ~ ( , ( ))
* *
u u1 1� � � �� , � �[ , ]*t T .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî � � �( ( )) ( ( ))z T z T� , ôîðìóëó (1) è îïðåäå-
ëåíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � �
� �
( ( )) max ( , ( )) ( , ( , ) (~ ( ), (
*
*z T T T u� �
�dom
� 1 )) ( , ))
*
�
�
�
� � �T d
t
0
�
!
"
#
#� ( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( )
*
*
*
� � � � � � � � � � �� T u T d
t
T
1 . (16)
Ïðèáàâèì è âû÷òåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âûðàæåíèÿ (16) âåëè÷èíó
[( , ( )) ( )] ( , , ) ( ,* *
*
*
� � � � � � � � � �
� �
T T d T
V
t
V
�
� �
� inf sup
0
, )
*
� �
t
T
d�
�
�
!
"
#
#
.
Òîãäà ïîëó÷èì
� � � � �
� �
( ( )) max [( , ( )) ( )] ( )
*
*
*z T T h t�
�
$
%
&
'&�dom
�
�
�
[( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( , ,* *� � � � � � � � � � �
�
� T u T T
V
1 inf )[( , ( )) ( )]]
*
*
0
t
T d�
�� � � � �
�
�
�
[( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( , ,
* *� � � � � � � � � � �
�
� T u T T
V
1 sup )[( , ( )) ( )]]
*
*
t
T
T d�
(
)
&
*&
� � � � � .
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (14), (15) âûòåêàåò, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò
ãàðàíòèðîâàòü â ìîìåíò T âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
� � � ( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( )*z T T g T T h t� � � 0 .
Äëÿ ñëó÷àÿ � � ( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0 äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 2 è ýòèì
çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÌÅÒÎÄÀ. ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ ÂÒÎÐÎÃÎ ÒÈÏÀ
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , )t t
V
� � �
�
� �
�
, ( , )t � �� .
Óñëîâèå 6. Íà ìíîæåñòâå � ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
sup sup
dom� � �
� � � � � � �
� �
�
V
C W t t t
*
[ ( ( , , ) ( , ), ) ( , )[( ,* A ( ) ( )]]*t
�� � 0 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 165
Åñëè óñëîâèå 6 âûïîëíåíî, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , )t � íå ïóñòî íà
ìíîæåñòâå � è ïîðîæäàåò âåðõíþþ è íèæíþþ ñêàëÿðíûå ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè âòîðîãî òèïà
� � � � �* ( , ) : ( , )t t� �sup{ }A , � � � � �* ( , )t � �inf { : (t, )}A , � �[ , ]0 t , � �V .
Êàê ïîêàçàíî â [1] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , )t � çàìêíóòîçíà÷íîå,
L-èçìåðèìî ïî �, � �[ , ]0 t , � �V , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè, ÿâ-
ëÿÿñü ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé îïîðíûìè ôóíêöèÿìè ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ A ( , )t � â íàïðàâëåíèè �1, L-èçìåðèìû ïî �, � �[ , ]0 t .
Çàìå÷àíèå 6. Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t íà ìíîæåñòâå �
âûïîëíåíî óñëîâèå 4, òî sup
�
� � � �
�
�
V
t t* ( , , ) ( , )A , � �[ , ]0 t . Òîãäà âûïîëíåíî
óñëîâèÿ 6 è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sup
�
�� � � � �
�
�
V
t t* ( , , ) ( , ) , � �[ , ]0 t . Åñëè äëÿ
íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 5, òî
inf
�
� � � �
�
�
V
t t* ( , , ) ( , )A , � �[ , ]0 t . Òîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå 6 è ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî inf
�
� � � � �
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ) , � �[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
� � � � � � � �
* *( ( ), ( , )) : ( ( , ( ), ( , ))) , ( , )2 0 0g t t g t t t � � � �
0
1
t
d� �
$
%
&
'&
(
)
&
*&
� .
Åñëè íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿþòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0 ,
òî ïîëàãàåì, ÷òî � � � � ��
*
( ( ), ( , ))2 g .
Òåîðåìà 5. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 6 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t ìíîæåñòâî � � � �
*
( ( ), ( , ))2 g íå ïóñòî è
� �� � � �
* *
( ( ), ( , ))2 2 g . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò �
*
2 ñ èñïîëüçîâà-
íèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � � �[ , ]
*
0 1 . Çàäàäèì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ââèäó óñëîâèÿ 6 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u
*
( , )2 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W ( , , ) ( , )
* *
�
�2 2� � � òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *,
� � 0 , � �V , � � �[ , ]
*
0 2 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
( ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )
* * * * *
u C W2 2 2 2� � � � � � � �
� � �
� ,
sup
dom� �
� � � � � � � �
�
� � � �
*
[( ( , ) ( , ), ) ( , )[( , (
* * * * *
u2 2 2 2 0) ( )]]*
�� � . (17)
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u
* *
( ) ( , ( ))2 2� � � �� , � � �[ , ]
*
0 2 . Ïðèáàâ-
ëÿÿ è âû÷èòàÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âûðàæåíèÿ (17) âåëè÷èíó
166 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
[( , ( )) ( )] ( , )
*
*
* *
*
� � � � � � ��
�
�
�
2 2
0
2
d , ïîëó÷àåì
� � � � � � �
� �
( ( )) max [( , ( )) ( )] ( , )
* *
*
* *
*
z d� � �
�
�
2 2 21
dom
�
0
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
$
%
&
'
&
*
(18)
� �
� � �
�
[( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , )
* * * * *
� � � � � � � � � �� 2 2 2 2
0
u
*
[( , ( )) ( )]]
*
*
2
2
� �
(
)
&
*&
� � � � �d .
 ñèëó ñîîòíîøåíèé (17), (18) ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü â ìî-
ìåíò �
*
2 âûïîëíåíèe íåðàâåíñòâà
� � � � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( , )
* * * * * *
z g d� � � � � �
�
�
2 2 2 2 2
0
1
*
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ïðè ýòîì ïî îïðåäåëåíèþ �
*
2 èìååì � � ( ( , ( ), ( , )))
* * *
� � � � �2 2 2 0g , à
1 02
0
2
�
�
� � � �* *
( , )
*
d .
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
� � � � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( , )
* * * * * *
z g d� � � � � �
�
�
2 2 2 2 1
0
1
*
2
0�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 7. Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà �( , )t , :� � L, íà ìíî-
æåñòâå �
V âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî 0�A ( , )t � , � �[ , ]0 t . Ïîýòîìó âûïîëíåíû
óñëîâèÿ 4, 6 è íà ìíîæåñòâå � ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sup
�
� � �
�
�
V
t* ( , , ) � �* ( , )t � 0 .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
,( ( ), ( , )) : ( , ) , ( , )*
*g t t t d t d
t t
� � � � � �� � � � � �
$
% � �0 1 1
0 0
&
'&
(
)
&
*&
. (19)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 èìååì � �* ( , )t + �� äëÿ � �[ , ]0 t , � �V , òî çíà÷åíèå
ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (19) åñòåñòâåííî
ïîëîæèòü ðàâíûì ��, è t T g t� � �( ( ), ( , )) , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî âòîðîå
íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (19).  ñëó÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâà
â ñîîòíîøåíèè (19) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0 , ïîëîæèì ,( ( ), ( , ))g t � � �� .
Òåîðåìà 6. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé
îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé
ôóíêöèè ñäâèãà ( , )� � ìíîæåñòâî ,( ( ), ( , ))g � � � íå ïóñòî, à , ,� � � �( ( ), ( , ))g . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò , ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � �[ , ]0 , .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � � ( ( , ( ), ( , ))), , ,g � 0 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t d d
t
t
T
( ) ( , ) ( , )*
*�
� �1
0
� � � � � �, , , t �[ , ]0 , .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 167
Ïî îïðåäåëåíèþ , èìååì
h d( ) ( , )*0 1 0
0
�
� � � �,
,
, h d( ) ( , )*, ,
,
�
��1 0
0
� � � .
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t* ,
t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )* � 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t* íå çàâèñèò îò
ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ) : [ , ]*� � �{ }0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*0 t , [ , ]*t , íàçîâåì àêòèâíûì è ïàññèâíûì ñîîòâåòñòâåí-
íî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ äëÿ ïåðâîãî èãðîêà íà êàæäîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè.
 ñèëó óñëîâèÿ 6 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~ ( , )*u2 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W ( , , ) ( , ), ,� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , )*0 t ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
(~ ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )*
*u C W2 � � � � � � � �
�
, , , ,
sup
dom� �
� � � � � � � � �
�
�
*
[(~ ( , ) ( , ), ) ( , )[( , ( )* * *u2 , , , ( )]]� � 0 . (20)
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àêòèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè
~ ( ) ~ ( , ( ))* *u u2 2� � � �� , � �[ , )*0 t .
Ââèäó óñëîâèÿ 6 è ëåììû 1 ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~ ( , )
*
u 2 � �
ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W ( , , ) ( , ), ,� � �
òàêîé, ÷òî äëÿ � ��dom *, � � 0 ,
� �V , � �[ , ]*t , ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
(~ ( , ) ( , ), ) ( ( , , ) ( , ), )
* *u C W2 � � � � � � � �
�
, , , ,
sup
dom� �
� � � � � � � � �
�
�
*
[(~ ( , ) ( , ), ) ( , )[( , ( )
* *
*u 2 , , , ( )]]� � 0 . (21)
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè
~ ( ) ~ ( , ( ))
* *
u u2 2� � � �� , � �[ , ]*t , .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî � � �( ( )) ( ( ))z z, ,� , ôîðìóëó (1) è îïðå-
äåëåíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � �
� �
( ( )) max ( , ( )) ( , ( , ) (~ ( ), (
*
*z u, , � ,� �
�dom
2 )) ( , ))
*
�
�
�
� � �, d
t
0
�
!
"
#
#� ( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( )
*
*
*
� � � � � � � � � � �� , ,
,
u d
t
2 . (22)
Ïðèáàâèì è âû÷òåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âûðàæåíèÿ (22) âåëè÷èíó
[( , ( )) ( )] ( , ) ( , )* *
*
*
*
� � � � � � � � � �, , ,
,
�
�
�
!
"
#� �
0
t
t
d d
#
.
Òîãäà ïîëó÷èì
� � � � �
� �
( ( )) max [( , ( )) ( )] ( )
*
*
*z h t, ,�
�
$
%
&
'&�dom
�
�� [( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( , )[(* *
*
� � � � � � � � � � �� , , ,u
t
2
0
, ( )) ( )]]*� � � �,
�d
168 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
�
�� [( , ( , ) (~ ( ), ( )) ( , )) ( , )[(
* *
*
� � � � � � � � � � �� , , ,
,
u
t
2 , ( )) ( )]]*� � � �,
(
)
&
*&
d .
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (20), (21) âûòåêàåò, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò
ãàðàíòèðîâàòü â ìîìåíò , âûïîëíåíèe íåðàâåíñòâà
� � � ( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( )*z g h t, , , ,� � � 0 .
Äëÿ ñëó÷àÿ � � ( ( , ( ), ( , ))), , ,g � � 0 äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 2 è ýòèì
çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Ëåììà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìèíàëü-
íûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíóòîé
îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, è äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà ( , )t �
âûïîëíåíî óñëîâèå 6, ïðè÷åì � � ( ( , ( ), ( , )))t g t t � 0 . Òîãäà èìåþò ìåñòî íåðà-
âåíñòâà
sup
�
� � � � �
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ) , ( , )t � ��, (23)
inf
�
� � � � �
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ) , ( , )t � ��. (24)
Åñëè ïðè ýòîì âûïîëíåíî óñëîâèå 4, òî íåðàâåíñòâî (23) ïðåîáðàçóåòñÿ â ðà-
âåíñòâî. Åñëè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 5, òî â ðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ íåðàâåí-
ñòâî (24). Ïðè ýòîì åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ïðèíèìàåò âû-
ïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �
V , òî ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ 4 è 5 è â ñîîò-
íîøåíèÿõ (23) è (24) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî.
Òåîðåìà 7. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, ïðè íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà ( , )� � âû-
ïîëíåíî óñëîâèå 6. Òîãäà èìåþò ìåñòî âêëþ÷åíèÿ
T g g g( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))
* *
� � � - � � � - � � � � - � , 2 1 ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))g g� � � - � � � � .
Ïðè ýòîì åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 4 è 5 èëè åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , )T � � ïðèíèìàåò âûïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �
V , òî ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà
T g g( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � � � , , � � � � � � � � �
* *
( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))2 1g g .
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî èìååì
� � � � � � � � � � � � � �
* *
( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))2 1g g g ,
ïðè÷åì ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 1 â êà÷åñòâå ( , )� � ìîæíî âûáðàòü íåêîòîðûé
ñåëåêòîð Ïîíòðÿãèíà [2].
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 è òåîðåìû 7 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç êîíñòðóê-
öèé ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé, çàìå÷àíèé è òåîðåì.
Òåîðåìà 8. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è äëÿ ñîîòâåòñòâó-
þùåé ôóíêöèè ñäâèãà ( , )� � ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � � íå ïóñòî, T T g� � � �( ( ), ( , )) è
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )T � � ïðèíèìàåò âûïóêëûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ
( , )� � , � �[ , ]0 T , � �V . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî àâòîìàòè÷åñêè âûòåêàåò èç ëåììû 2 è òåîðåì 6 è 7.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 169
ÈËËÞÑÒÐÀÒÈÂÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ
Ðàññìîòðèì ïðîñòîå äâèæåíèå
�z u�
�, z R n� , z z( )0 0� , � �S , u aS� 0 , a 1. Çäåñü S — åäèíè÷íûé øàð
ñ öåíòðîì â íóëå, S 0 — åãî ãðàíèöà.
Âûáåðåì ôóíêöèþ ñäâèãà �( , )t + 0 . Ïîñêîëüêó � ( , )t E� � , E — åäèíè÷íàÿ
ìàòðèöà, L R n� è � � E, òî �( )t z� 0 . Ïîëîæèì � �
�* ( ) || ||� , � �R n ,
� �
�
�
( ) max [( , ) || || ]
|| ||
z z�
�1
.
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå èìååò ìåñòà, ïîñêîëüêó aS S* ��, * — ãåîìåòðè-
÷åñêàÿ ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî [22]. Òîãäà ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � íå
çàâèñèò îò t, � è èìååò âèä
A A( , , ) ( , ) : max [ ( , ) [( ,
|| ||
*t z C aS z� � � � � � �
�
� � �
�
�
0
1
0
00 �
�) || || ]]
�
$
%
'
(
)
*
0 .
Ýòî ìíîæåñòâî îáëàäàåò íåïóñòûìè îáðàçàìè è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðà-
âåíñòâî
max max [ || || ( , ) ( , )[( , ) ||
|| ||� �
� � � � �
�
� �
�
S
a z z
1
0 0A || ]] � 0 .
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíî óñëîâèå 3.
Âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
� � � � � � � � �
�
* *
|| ||
( , , ) ( , ) : max [ || || ( ,t z a� � �
�
0
1
0sup{ ) [( , ) || || ]] }�
� �� �
�z0 0
�
� �sup{� � � �
0 0: || || [ ]}z a .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàò-
íîãî óðàâíåíèÿ
( || || ) [( , ) ] ( || || )z z a a0
2 2 2
0
2 22 0
�
�
� �
� � .
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
� �* ( , )z0 �
( , ) [( , ) ] ( || || )( || || )
||
�
�
�z a z a z a
z
0 0
2
0
2 2 2 2
0
� � � �
|| 2 2
.
Ïðè ýòîì min ( , )
|| ||
*
�
� �
�
�
S
z
a
z
0
0
1
äîñòèãàåòñÿ ïðè � �
z
z
0
0|| ||
.
Íèæíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
� � � � � � � � �
�
* *
|| ||
( , , ) ( , ) : max [ || || ( ,t z a� � �
�
0
1
0inf{ ) [( , ) || || ]] }�
� �� �
�z0 0
� �
�
sup{� � � � � �
�
�
0
1
0: max [ || || ( , ) [( , ) || ||
|| ||
a z ]] }� �0
� �
�
sup{� � � �
0 0: || || [ ]}z a .
Ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
( || || ) [( , ) ] ( || || )z z a a0
2 2 2
0
2 22 0
�
� �
� � .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì
� �
�
�
* ( , )
( , ) [( , ) ] ( || || )( ||
z
z a z a z a
0
0 0
2
0
2 2 2
�
�
�
�
|| )
|| ||
2
0
2 2z
.
170 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
Ïðè ýòîì max ( , )
|| ||
*
�
� �
�
�
�
�S
z
a
z
0
0
1
äîñòèãàåòñÿ ïðè � �
z
z
0
0|| ||
.
Ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ 4. Â ñèëó ïîñòðîåíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ðàç-
ðåøàþùèõ ôóíêöèé äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå min ( , ) max ( , )*
*
� �
� � � �
� �
�
S S
z z0 0 ,
êîòîðîå ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó
[ ]
|| ||
[ || || ]a
a
z
z
�
�
�
1
1
0
0
. (25)
Èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
max max [ || || ( , ) max ( , )[( ,
|| ||
*
� � �
� � � � �
� � �
� �
S S
a z z
1
0 0 �
�) || || ]]
�
�
�
� �
max [ [ ] || || max ( , )[( , ) ||
|| ||
*
� �
� � � �
�
1
0 01a z z
S
|| ]] �
�
�
�
�
�[ ]
|| ||
[ || || ]a
a
z
z1
1
0
0
0
.
Òîãäà â ñèëó íåðàâåíñòâà (25) âûïîëíåíî óñëîâèå 4.
Ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ 5. Èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
max max [ || || ( , ) ( , )[( ,
|| ||
*
� � �
� � � � �
� � �
� �
S S
a z z
1
0 0inf �
�) || || ]]
�
�
�
� �
max [ [ ] || || ( , )[( , ) ||
|| ||
*
� �
� � � �
�
1
0 01a z z
S
inf || ]] �
�
�
�[ ]
|| ||
[ || || ]a
a
z
z1
1
0
0
0
.
Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 5.
 äàííîì ïðèìåðå èìååì
min ( , )
|| ||
*
�
� � �
�� �
�
V
T
z d
a
z
T0
0 0
1
1, T T z
z
a
� �
( )
|| ||
0
0
1
.
Ïðè ýòîì åñëè ïàðàìåòðû èãðû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
1
1
0
|| ||z a
, a 1,
òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
max ( , )
|| ||
( )
( || || )
( |
*
�
� � �
�� �
�
�
�
�
�V
T
z d
a
z
T
a
z
0
0 0 0
1 1 | || )
( )
z
a
0
1
1
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿ òåîðåì 3
è 4.  ñèëó ëåììû 2 è çàìå÷àíèÿ 6 äëÿ ïðèìåðà ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ òåîðåìû 6.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû
îáùåãî âèäà ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Ñôîðìóëèðîâàíû äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â ñëó÷àå, êîãäà
óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 171
þùèõ ôóíêöèé, îáåñïå÷èâàþùèõ çàâåðøåíèå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðî-
öåññà ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû â êëàññå êâàçèñòðàòåãèé è êîíòðóïðàâ-
ëåíèé, è ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí. Äàí èëëþñòðàòèâíûé
ïðèìåð ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ ñ ïðîñòûì äâèæåíèåì ñ öåëüþ ïî-
ëó÷åíèÿ â ÿâíîì âèäå âåðõíèõ è íèæíèõ ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ïîçâîëÿþ-
ùèõ ñäåëàòü âûâîä î âîçìîæíîñòè îêîí÷àíèÿ èãðû â ñëó÷àå, êîãäà íå èìååò
ìåñòà óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. ×èêðèé À.À., Ðàïïîïîðò È.Ñ. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿå-
ìûõ ïðîöåññîâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. Ò. 48, ¹ 4. Ñ. 40–64.
2. ×èêðèé À.À. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè. Òð. ÈÌÌ
ÓðÎ ÐÀÍ. 2017. Ò. 23, ¹ 1. Ñ. 293–305. DOI:https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-
1-293-305.
3. Êðàñîâñêèé Í.Í., Ñóááîòèí À.È. Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. Ìîñêâà: Íàóêà,
1974. 455 ñ.
4. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. Ò. 2. Ìîñêâà: Íàóêà, 1988. 576 ñ.
5. Íèêîëüñêèé Ì.Ñ. Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ. Ìîñêâà:
Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. 65 ñ.
6. Ñóááîòèí À.È., ×åíöîâ À.Ã. Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà,
1981. 288 ñ.
7. Hajek O. Pursuit games. New York: Academic Press. 1975. Vol. 12. 266 p.
8. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p.
9. Ðîêàôåëëàð Ð. Âûïóêëûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1973. 470 ñ.
10. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974. 480 ñ.
11. Chikrii A.A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of
Mathematics. 2010. Vol. 271. P. 69–85.
12. Chikrii A.A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of
Automation and Information Sciences. 1995. Vol. 27, N 1. P. 27–38.
13. Pittsyk M.V., Chikrii A.A. On group pursuit problem. Journal of Applied Mathematics and
Mechanics. 1982. Vol. 46, N 5. P. 584–589.
14. ×èêðèé À.À., Äçþáåíêî Ê.Ã. Áèëèíåéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïîèñêà äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ.
Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 1997. ¹ 1. Ñ. 92–107.
15. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for fractional quasilinear systems. Journal Computers
and Mathematics with Applications. 2002. Vol. 44. P. 835–851.
16. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Springer Optimization
and its Applications. 2008. Vol. 17. P. 349–387.
17. Ïèëèïåíêî Þ.Â., ×èêðèé À.À. Êîëåáàòåëüíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. Ò. 57, ¹ 3. Ñ. 3–14.
18. Chikrii A.A. Quasilinear controlled processes under conflict. Journal of Mathematical Sciences.
1996. Vol. 80, N 3. P. 1489–1518.
19. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì ñ äðîá-
íûìè ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. ¹ 6.
Ñ. 66–99.
20. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. Optimization
Methods and Software. 2008. Vol. 23, N 1. P. 39–72.
21. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã–Ëåôôëåðà â èãðîâûõ
çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
2000. ¹ 3. Ñ. 3–32.
22. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Dordrecht; Boston; London: Springer Science and
Business Media, 2013. 424 p.
23. Ôèëèïïîâ À.Ô. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Âåñòí. ÌÃÓ.
Ñåð. ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, àñòðîíîìèÿ, ôèçèêà, õèìèÿ. 1959. ¹ 2. Ñ. 25–32.
24. Ïîëîâèíêèí Å.Ñ. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ìîñêâà: Èçä-âî ÌÔÒÈ,
1982. 127 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 18.02.2020
172 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5
É.Ñ. Ðàïïîïîðò
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÇÁËÈÆÅÍÍß ÊÅÐÎÂÀÍÈÕ ÎÁ’ªÊÒ²Â
 ²ÃÐÎÂÈÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÄÈÍÀ̲ÊÈ
Ç ÒÅÐ̲ÍÀËÜÍÎÞ ÔÓÍÊÖ²ªÞ ÏËÀÒÈ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ðîçâ’ÿíàííÿ ïðîáëåìè çáëèæåííÿ êåðîâà-
íèõ îá’ºêò³â â ³ãðîâèõ çàäà÷àõ äèíàì³êè ç òåðì³íàëüíîþ ôóíêö³ºþ ïëàòè,
ÿêèé ïîëÿãຠâ ñèñòåìàòè÷íîìó âèêîðèñòàíí³ ³äåé Ôåíõåëÿ–Ìîðî ñòîñîâíî
çàãàëüíî¿ ñõåìè ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é. Ñóòí³ñòü çàïðîïîíîâàíîãî
ìåòîäó ïîëÿãຠâ òîìó, ùî ðîçâ’ÿçóâàëüíó ôóíêö³þ ìîæíà âèçíà÷èòè ÷åðåç
ñïðÿæåíó äî ôóíêö³¿ ïëàòè ç âèêîðèñòàííÿì ³íâàëþòèâíîñò³ îïåðàòîðà
ñïðÿæåííÿ äëÿ îïóêëî¿ çàìêíåíî¿ ôóíêö³¿, ³ îòðèìàòè ãàðàíòîâàíó îö³íêó
òåðì³íàëüíîãî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ïëàòè, ÿêó ïðåäñòàâëåíî ÷åðåç çíà÷åííÿ
ïëàòè â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò òà ³íòåãðàë â³ä ðîçâ’ÿçóâàëüíî¿ ôóíêö³¿. Íàâåäå-
íî ïîíÿòòÿ âåðõíüî¿ òà íèæíüî¿ ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é äâîõ òèï³â ³ îòðè-
ìàíî äîñòàòí³ óìîâè ãàðàíòîâàíîãî ðåçóëüòàòó â äèôåðåíö³àëüí³é ãð³
ç òåðì³íàëüíîþ ôóíêö³ºþ ïëàòè ó ðàç³, êîëè óìîâà Ïîíòðÿã³íà íå ìàº
ì³ñöÿ. Çàïðîïîíîâàíî äâ³ ñõåìè ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é, ïîáóäîâà-
íî â³äïîâ³äí³ ñòðàòå㳿 êåðóâàííÿ ³ íàâåäåíî ïîð³âíÿííÿ ãàðàíòîâàíèõ ÷àñ³â.
Ðåçóëüòàòè ³ëþñòðîâàíî íà ìîäåëüíîìó ïðèêëàä³.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: òåðì³íàëüíà ôóíêö³ÿ ïëàòè, êâàç³ë³í³éíà äèôåðåíö³àëüíà
ãðà, áàãàòîçíà÷íå â³äîáðàæåííÿ, âèì³ðíèé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîï³÷íà ñòðà-
òåã³ÿ, ðîçä³ëüíà ôóíêö³ÿ.
J.S. Rappoport
THE PROBLEM OF APPROXIMATION OF CONTROLLED OBJECTS
IN DYNAMIC GAME PROBLEMS WITH A TERMINAL PAYOFF FUNCTION
Abstract. A method is proposed for solving the problem of convergence of
controlled objects in dynamic game problems with the terminal payoff function,
which consists in the systematic use of Fenchel–Moreau ideas as applied to the
general scheme of the method of resolving functions. The essence of the
proposed method is that the resolving function can be expressed in terms of the
function conjugate to payoff function and, using the involution of the
conjugation operator for a convex closed function, we obtain a guaranteed
estimate of the terminal value of the payoff function, which can be presented in
terms of the payoff value at the initial instant of time and integral of the
resolving function. The concepts of upper and lower resolving functions of two
types are introduced and sufficient conditions for a guaranteed result in
a differential game with a terminal payoff function are obtained for the case
where the Pontryagin condition does not hold. Two schemes of the method of
resolving functions are considered, the corresponding control strategies are
constructed, and guaranteed times are compared. The results are illustrated by
a model example.
Keywords: terminal payoff function, quasilinear differential game, multi-valued
mapping, measurable selector, stroboscopic strategy, resolving function.
Ðàïïîïîðò Èîñèô Ñèìîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: jeffrappoport@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 173
|