Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия
Для векторной задачи оптимизации с непрерывными частными критериальными функциями и множеством допустимых решений произвольной структуры изучены условия устойчивости относительно возмущений входных данных векторного критерия. Получены достаточные и необходимые условия устойчивости трех типов для зад...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2020 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190519 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 107–114. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190519 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. 2023-06-11T17:57:43Z 2023-06-11T17:57:43Z 2020 Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 107–114. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190519 519.8 Для векторной задачи оптимизации с непрерывными частными критериальными функциями и множеством допустимых решений произвольной структуры изучены условия устойчивости относительно возмущений входных данных векторного критерия. Получены достаточные и необходимые условия устойчивости трех типов для задачи поиска Парето-оптимальных решений. Для векторної задачі оптимізації з неперервними частковими критерійними функціями і множиною допустимих розв'язків довільної структури вивчено умови стійкості щодо збурень вхідних даних векторного критерію. Отримано достатні і необхідні умови стійкості трьох типів для задачі пошуку Парето-оптимальних розв'язків. The conditions of stability with respect to initial data perturbations in vector criterion for multi-objective optimization problem with continuous partial criterion functions and feasible set of arbitrary structure are established. The sufficient and necessary conditions of three types of stability for the problem of finding Pareto-optimal solutions are proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия Багатокритерійна задача оптимізації: стійкість до збурень вхідних даних векторного критерію Multi-objective optimization problem: stability with respect to initial data perturbations in vector criterion Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| spellingShingle |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. Системний аналіз |
| title_short |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| title_full |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| title_fullStr |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| title_full_unstemmed |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| title_sort |
многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия |
| author |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| author_facet |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2020 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Багатокритерійна задача оптимізації: стійкість до збурень вхідних даних векторного критерію Multi-objective optimization problem: stability with respect to initial data perturbations in vector criterion |
| description |
Для векторной задачи оптимизации с непрерывными частными критериальными функциями и множеством допустимых решений произвольной структуры изучены условия устойчивости относительно возмущений входных данных векторного критерия. Получены достаточные и необходимые условия устойчивости трех типов для задачи поиска Парето-оптимальных решений.
Для векторної задачі оптимізації з неперервними частковими критерійними функціями і множиною допустимих розв'язків довільної структури вивчено умови стійкості щодо збурень вхідних даних векторного критерію. Отримано достатні і необхідні умови стійкості трьох типів для задачі пошуку Парето-оптимальних розв'язків.
The conditions of stability with respect to initial data perturbations in vector criterion for multi-objective optimization problem with continuous partial criterion functions and feasible set of arbitrary structure are established. The sufficient and necessary conditions of three types of stability for the problem of finding Pareto-optimal solutions are proved.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190519 |
| citation_txt |
Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 107–114. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lebedevatt mnogokriterialʹnaâzadačaoptimizaciiustoičivostʹkvozmuŝeniâmvhodnyhdannyhvektornogokriteriâ AT semenovanv mnogokriterialʹnaâzadačaoptimizaciiustoičivostʹkvozmuŝeniâmvhodnyhdannyhvektornogokriteriâ AT sergienkoti mnogokriterialʹnaâzadačaoptimizaciiustoičivostʹkvozmuŝeniâmvhodnyhdannyhvektornogokriteriâ AT lebedevatt bagatokriteríinazadačaoptimízacíístíikístʹdozburenʹvhídnihdanihvektornogokriteríû AT semenovanv bagatokriteríinazadačaoptimízacíístíikístʹdozburenʹvhídnihdanihvektornogokriteríû AT sergienkoti bagatokriteríinazadačaoptimízacíístíikístʹdozburenʹvhídnihdanihvektornogokriteríû AT lebedevatt multiobjectiveoptimizationproblemstabilitywithrespecttoinitialdataperturbationsinvectorcriterion AT semenovanv multiobjectiveoptimizationproblemstabilitywithrespecttoinitialdataperturbationsinvectorcriterion AT sergienkoti multiobjectiveoptimizationproblemstabilitywithrespecttoinitialdataperturbationsinvectorcriterion |
| first_indexed |
2025-11-25T22:29:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:29:35Z |
| _version_ |
1850564042521837568 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ò.Ò. ËÅÁÅÄÅÂÀ, Í.Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ, Ò.È. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ
ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÀß ÇÀÄÀ×À ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ:
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Ê ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÌ ÂÕÎÄÍÛÕ ÄÀÍÍÛÕ
ÂÅÊÒÎÐÍÎÃÎ ÊÐÈÒÅÐÈß
Àííîòàöèÿ. Äëÿ âåêòîðíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñ íåïðåðûâíûìè ÷àñòíûìè
êðèòåðèàëüíûìè ôóíêöèÿìè è ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ ðåøåíèé ïðîèç-
âîëüíîé ñòðóêòóðû èçó÷åíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíî âîçìóùå-
íèé âõîäíûõ äàííûõ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ. Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå è íåîá-
õîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òðåõ òèïîâ äëÿ çàäà÷è ïîèñêà Ïàðåòî-îïòè-
ìàëüíûõ ðåøåíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âåêòîðíàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè, âåêòîðíûé êðèòåðèé,
óñòîé÷èâîñòü, Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ, ìíîæåñòâî Ñëåéòåðà, ìíîæåñò-
âî Ñìåéëà, âîçìóùåíèÿ âõîäíûõ äàííûõ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Äàííàÿ ðàáîòà îòíîñèòñÿ ê òåîðåòè÷åñêîìó íàïðàâëåíèþ èññëåäîâàíèé ïðî-
áëåìû óñòîé÷èâîñòè çàäà÷ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé (âåêòîðíîé) îïòèìèçàöèè. Ýòî
íàïðàâëåíèå ñâÿçàíî ñ ïîèñêîì è èçó÷åíèåì óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâó
ðåøåíèé çàäà÷è, îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî, Ñëåéòåðó èëè Ñìåéëó, ïðèñóùå íå-
êîòîðîå íàïåðåä çàäàííîå ñâîéñòâî, îïðåäåëåííûì îáðàçîì õàðàêòåðèçóþùåå
åå óñòîé÷èâîñòü ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì âõîäíûõ äàííûõ.  ñòàòüå ïðîäîëæå-
íû èññëåäîâàíèÿ âîïðîñîâ êîððåêòíîñòè âåêòîðíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, â òîì
÷èñëå èõ ðàçðåøèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè, ïðåäñòàâëåííûå, â ÷àñòíîñòè, â ðàáî-
òàõ [1–9]. Îïèñàííûå â íèõ ðåçóëüòàòû ðàñøèðÿþò èçâåñòíûé êëàññ çàäà÷ âåê-
òîðíîé îïòèìèçàöèè, óñòîé÷èâûõ îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé âõîäíûõ äàííûõ
äëÿ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ. Äðóãîå èçâåñòíîå íàïðàâëåíèå â èññëåäîâàíèÿõ ïðîáëå-
ìû óñòîé÷èâîñòè îðèåíòèðîâàíî íà ïîëó÷åíèå è èçó÷åíèå êîëè÷åñòâåííûõ õà-
ðàêòåðèñòèê äîïóñòèìûõ èçìåíåíèé âî âõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè,
ðàäèóñà ìàêñèìàëüíîãî øàðà óñòîé÷èâîñòè çàäà÷è (ñì., íàïðèìåð, [10–12]).
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè âèäà
Q F X F x x X( , ): max ( )|{ }� , (1)
ãäå X — ìíîæåñòâî èç R n ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðû, âîçìîæíî äèñêðåòíîé;
R n — n-ìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî; F x f x f x( ) ( ( ), , ( ))� 1 � � , � � 2,
f R Ri
n: � 1, — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, i N� �� � �{ }1, , , X � �. Ïóñòü çàäà÷à (1)
ñîñòîèò â îòûñêàíèè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé
P F X x X x F X( , ) { | ( , , ) }� � � �� ,
ãäå �( , , ) | ( ) ( ), ( ) ( )x F X y X F y F x F y F x� � � �{ }.
Ðàññìîòðèì òàêæå ìíîæåñòâà ðåøåíèé, îïòèìàëüíûõ ïî Ñëåéòåðó:
Sl F X x X x F X( , ) | ( , , )� � � �{ }� ,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 107
� Ò.Ò. Ëåáåäåâà, Í.Â. Ñåìåíîâà, Ò.È. Ñåðãèåíêî, 2020
ãäå �( , , ) | ( ) ( )x F X y X F y F x� � { }, è ïî Ñìåéëó:
Sm F X x X x F X( , ) | ( , , )� � � �{ }� ,
ãäå �( , , ) | , ( ) ( )x F X y X y x F y F x� � � �{ }.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Sm F X P F X Sl F X( , ) ( , ) ( , )
(2)
è � �x X � � �( , , ) ( , , ) ( , , )x F X x F X x F X
.
Ìíîæåñòâî Ïàðåòî P F X( , ) íàçûâàåòñÿ âíåøíå óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ ëþáî-
ãî íåîïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ x X P F X� \ ( , ) íàéäåòñÿ îïòèìàëüíîå ðåøåíèå
� �x P F X( , ), äëÿ êîòîðîãî F x F x( ) ( )� � . Ñîãëàñíî [13] êîíå÷íîñòü íåïóñòîãî
ìíîæåñòâà Õ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ Ïàðåòî-îïòèìàëü-
íûõ ðåøåíèé âåêòîðíîé çàäà÷è è âíåøíåé óñòîé÷èâîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî.
Îäíàêî â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîé äîïóñòèìîé îáëàñòè Õ ìíîæåñòâî Ïàðåòî ìîæåò
íå áûòü âíåøíå óñòîé÷èâûì è áûòü ïóñòûì. Ñîãëàñíî òåîðåìå Â.Â. Ïîäèíîâñêî-
ãî [13] ìíîæåñòâî Ïàðåòî íåïóñòî è âíåøíå óñòîé÷èâî, åñëè äîïóñòèìîå ìíî-
æåñòâî Õ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûì êîìïàêòîì, ò.å. îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî,
à êðèòåðèàëüíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ F x( ) çàäà÷è ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó (ïîêîìïî-
íåíòíî) íà X .
Îòìåòèì òàêæå èçâåñòíûé ðåçóëüòàò î çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà îïòèìàëüíûõ
ïî Ñëåéòåðó ðåøåíèé äëÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè íåïðåðûâíîé âåêòîð-ôóíêöèè íà
çàìêíóòîì äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå [13]. Èç íåãî âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäå-
íèå, êîòîðîå êàñàåòñÿ çàäà÷è (1).
Óòâåðäæåíèå 1. Ïóñòü äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî Õ çàäà÷è Q F X( , ) ÿâëÿåòñÿ
çàìêíóòûì. Òîãäà ìíîæåñòâî Sl F X( , ) òîæå çàìêíóòî.
Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà P F X( , ) è Sm F X( , ) îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî è ïî
Ñìåéëó ðåøåíèé (íàïðèìåð, äëÿ ÷àñòè÷íî öåëî÷èñëåííîé çàäà÷è Q F X( , )) ìîãóò
áûòü íåçàìêíóòû äàæå ïðè óñëîâèè çàìêíóòîñòè äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà Õ . Ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ïðèìåðû äëÿ çàäà÷è ñ ëèíåéíûìè ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè ïðèâåäåíû â [1].
Äëÿ çàäà÷è (1) â êà÷åñòâå âõîäíûõ äàííûõ, êîòîðûå ìîãóò ïîäâåðãàòüñÿ âîç-
ìóùåíèÿì, ðàññìîòðèì êîýôôèöèåíòû âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ F . Íàáîð òàêèõ
âõîäíûõ äàííûõ îáîçíà÷èì u U� , U — ïðîñòðàíñòâî âõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è.
Íàðÿäó ñ ââåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè F x f x f x( ) ( ( ), , ( ))� 1 � � äëÿ âåêòîðíîé öå-
ëåâîé ôóíêöèè è ÷àñòíûõ êðèòåðèåâ çàäà÷è Q F X( , ) áóäåì èñïîëüçîâàòü, êîãäà
ýòî íåîáõîäèìî, òàêæå îáîçíà÷åíèÿ F x f x f xu
u u( ) ( ( ), , ( ))�
1
�
�
, óòî÷íÿþùèå, êà-
êîé èìåííî ýëåìåíò u èç ïðîñòðàíñòâà U âõîäíûõ äàííûõ ñîîòâåòñòâóåò
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å.
Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà q äåéñòâèòåëüíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî
R q áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê íîðìèðîâàííîå. Íîðìó â R q çàäàäèì ôîðìóëîé
| | | | | | | |z zi
i N q
�
�
, (3)
ãäå z z z Rq
q� �( , , )1 � , N qq � { }1, ,� . Ïîä íîðìîé íåêîòîðîé ìàòðèöû
B b Rij m k
m k� ��
�[ ] áóäåì ïîíèìàòü íîðìó âåêòîðà ( , , , )b b bmk11 12 � .
Êàê èçâåñòíî [14], â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R q ëþáûå äâå íîðìû:
| | | | ( )� 1 , | | | | ( )� 2 ýêâèâàëåíòíû, ò.å. íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà � 0 è � 0, ÷òî � �z R q
ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà ��� �� �� �� ��� ��z z z( ) ( ) ( )1 2 1� � . Ñîãëàñíî ýòîé ýêâèâà-
ëåíòíîñòè èçëîæåííûå äàëåå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû è äëÿ äðóãèõ íîðì, ââå-
äåííûõ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
108 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Äëÿ íàáîðà âõîäíûõ äàííûõ u U� è ëþáîãî ÷èñëà � 0 îïðåäåëèì ìíîæåñ-
òâî âîçìóùåííûõ âõîäíûõ äàííÿõ O u u U u u� � �� � �� �( ) ( ) | ( )� � � �{ }.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ âîçìóùåííûìè âõîäíûìè äàííûìè âåêòîðíîãî
ê ð è ò å ð è ÿ Q F X F x x Xu u( , ) : max ( )|( ) ( )� �{ }� , ãäå u O u( ) ( )� �� , F xu( ) ( )� �
� ( ( ), , ( ))( ) ( )f x f xu u
1
� �
�
�
.
Îïðåäåëèì ðàçëè÷íûå òèïû óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé âõîä-
íûõ äàííûõ äëÿ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ çàäà÷è (1), ðàñïðîñòðàíèâ íà ýòîò êëàññ çà-
äà÷ ïîíÿòèÿ T1-, T2-, T3-, T4- è T5-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ, ââå-
äåííûå â [4] äëÿ ïîëíîñòüþ öåëî÷èñëåííîé çàäà÷è ïîèñêà Ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ
ðåøåíèé ñ êâàäðàòè÷íûìè ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè.
Îïðåäåëåíèå 1. Çàäà÷ó Q F Xu( , ) íàçîâåì T1-óñòîé÷èâîé ïî âåêòîðíîìó êðè-
òåðèþ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî � 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî âîçìóùåííîãî íàáîðà
u O u( ) ( )� �� âõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
P F X P F Xu u( , ) ( , )( )� � � �.
Îïðåäåëåíèå 2. Çàäà÷ó Q F Xu( , ) íàçîâåì T2-óñòîé÷èâîé ïî âåêòîðíîìó
êðèòåðèþ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî � 0, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
P F Xu
u O u
( , )( )
( ) ( )
�
� �
� �
�
� .
Îïðåäåëåíèå 3. Çàäà÷ó Q F Xu( , ) íàçîâåì T3-óñòîé÷èâîé (T4-, T5-óñòîé÷è-
âîé) ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ, åñëè � 0 � � 0 òàêîå, ÷òî � �u O u( ) ( )� � âû-
ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
P F X O x x P F Xu u( , ) ( ( )) ( ) ( , )( )� �� �� � � � (4)
(ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèå
P F X O x x P F Xu u( , ) ( ) ( , )( )� � � � � � (5)
äëÿ T4-óñòîé÷èâîñòè è îáà óñëîâèÿ: (4) è (5) äëÿ T5-óñòîé÷èâîñòè), ãäå
O x x R x xn
�� �� ( ) |� � � � � �{ } � �x R n .
Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (4) ðàâíîñèëüíî âêëþ÷åíèþ P F Xu( , )( )�
O P F Xu ( ( , )), à óñëîâèå (5) — âêëþ÷åíèþ P F X O P F Xu u( , ) ( ( , ))( )
� , ãäå
O B x R r x Bn
( ) | ( , )� � �{ } — -îêðåñòíîñòü íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà B R n
.
Çäåñü r x B x y
y B
( , ) | | | |� �
�
inf — ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáîé òî÷êîé x R n� è ìíî-
æåñòâîì B. Òàêèì îáðàçîì, T3-óñòîé÷èâîñòü (T4-, T5-óñòîé÷èâîñòü) ïî âåêòîðíî-
ìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå
P U u P u P F XX
u: , ( ) ( , )� � �2 ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó (ñîîòâåòñòâåííî ïîëó-
íåïðåðûâíî ñíèçó, íåïðåðûâíî) ïî Õàóñäîðôó â òî÷êå u U� .
ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ È ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÌÍÎÃÎÊÐÈÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
Òåîðåìà 1. Åñëè ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî, òî ðàâåíñòâî
Sl F X P F X( , ) ( ( , ))� cl , (6)
ãäå clB — çàìûêàíèå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà B R n
, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì
óñëîâèåì T3-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ðàâåíñòâî (6) ñïðàâåäëè-
âî, íî çàäà÷à Q F Xu( , ) íå ÿâëÿåòñÿ T3-óñòîé÷èâîé ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ. Ïîñ-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 109
ëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî � 0 òàêîå, ÷òî � � 0 íàéäåòñÿ òàêîé âîçìóùåííûé íàáîð
âõîäíûõ äàííûõ u O u( ) ( )� �� , äëÿ êîòîðîãî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (4). Òîãäà
� � 0 ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå x P F Xu� �� ( , )( ) âîçìóùåííîé çàäà÷è
Q F Xu( , )( )� , êîòîðîå âìåñòå ñî âñåé ñâîåé -îêðåñòíîñòüþ íå ïðèíàäëåæèò ìíî-
æåñòâó Ïàðåòî çàäà÷è Q F Xu( , ):
O x R P F Xn
u �( ) \ ( , )
. (7)
Èç ïðèíàäëåæíîñòè x P F Xu� �� ( , )( ) ñëåäóåò, ÷òî
� � � � � � �( , , ) | ( ) ( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) (x F X z X F z F x F z Fu u u u u� � � �{ � �) ( ) ,x } � �
ò.å. � �z X ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñîîòíîøåíèé:
N z i N f z f xi
u
i
u� � � � � �( ) | ( ) ( )( ) ( ){ }�
� �
� ,
N z i N f z f x Ni
u
i
u� � � � �( ) | ( ) ( )( ) ( ){ }� �
� �
� .
 òàêîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé òî÷êè z X� ìîæíî âûäåëèòü èç êîíå÷íîãî ìíî-
æåñòâà { }i N z N z N� �� �
� �( ) ( )| 0 � ñòàöèîíàðíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ }i r N
r� | � . À ó÷èòûâàÿ òåîðåìó Áîëüöàíî–Âåéåðøòðàññà [14], ìîæíî òàêæå èç
îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà { }x X� �|
0 âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü { }x r N
r� | � , ïðè÷åì lim
r
r
� �
�� 0. Îáîçíà÷èì ~ limx x
r r
�
� �
� , i i
r r0 �
� �
lim � . Ó÷è-
òûâàÿ çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà X , çàêëþ÷àåì, ÷òî ~x X� . Ïðè r � � ïîëó÷àåì íå-
ðàâåíñòâî f z f x
i
u
i
u
0 0
( ) (~ )� , êîòîðîå èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ z X� . Òàêèì îáðàçîì,
�(~, , ) | ( ) (~ )x F X z X F z F xu u u� � � �{ } è ~ ( , )x Sl F X� . Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå (6),
ïðèõîäèì ê âûâîäó
~ ( ( , ))x P F Xu�cl . (8)
Îäíàêî èç âêëþ÷åíèÿ (7) ñëåäóåò, ÷òî � �x P F X( , ) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
| | | | ,x x r N
r
� � �� , êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðè r � � ïðèâîäÿò ê íåðàâåíñòâó
| | ~| |x x� � . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ~ ( ( , ))x P F Xu�cl , è ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå-
÷èþ ñ ïðèíàäëåæíîñòüþ (8).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Äîñòàòî÷íûì óñëî-
âèåì T4-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ) ÿâëÿåòñÿ âûïîë-
íåíèå ðàâåíñòâà
cl cl( ( , )) ( ( , ))P F X Sm F X� . (9)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì (îò ïðîòèâíîãî), ÷òî óñëîâèå (9) âûïîëíÿåò-
ñÿ, íî çàäà÷à Q F Xu( , ) íå ÿâëÿåòñÿ T4-óñòîé÷èâîé ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ. Ïîñ-
ëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî � 0 òàêîå, ÷òî � � 0 íàéäåòñÿ âîçìóùåííûé íàáîð âõîä-
íûõ äàííûõ u O u( ) ( )� �� , ïðè êîòîðîì íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5), è ñëåäîâà-
òåëüíî, íàéäåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäíî Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå ðåøåíèå
x P F Xu�
* ( , )� , íå ïðèíàäëåæàùåå âîçìóùåííîìó ìíîæåñòâó Ïàðåòî P F Xu( , )( )�
âìåñòå ñî âñåé ñâîåé îêðåñòíîñòüþ O x �( )* . Èòàê,
O x R P F Xn
u � �( ) \ ( , )*
( )
(10)
è � � � �y P F X x yu( , ):| | | |( )
*
� � .
110 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî { }x P F X Xu� �* | ( , )
0 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì
(â ñâÿçè ñ îãðàíè÷åííîñòüþ X ), ñîãëàñíî òåîðåìå Áîëüöàíî–Âåéåðøòðàññà èç
íåãî ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }x r N
r�
* | � , äëÿ êîòîðîé
lim
r
r
��
�� 0. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå x x
r r
* *lim�
��
� . Ó÷èòûâàÿ çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà
X , ïðèõîäèì ê âûâîäó
x P F X Xu
* ( ( , ))�
cl . (11)
Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü O x /
*( )2 , äëÿ êîòîðîé, èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ
ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî óêàçàòü òàêîé íîìåð r N0 � , ÷òî � �r r0
x O x
r�
*
/
*( )� 2 . Íà îñíîâàíèè âêëþ÷åíèÿ (10), êîòîðîå èìååò ìåñòî � � 0, äåëà-
åì âûâîä, ÷òî � �r r0 : O x O x R P F X
r r
n
u � �/
* *
( )( ) ( ) \ ( , )2
. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè v O x X� /
*( )2 � è íîìåðà r r� 0 íàéäåòñÿ Ïàðåòî-îïòè-
ìàëüíîå ðåøåíèå x x P F X
r r ru� � �
� �( ) ( , )( ) âîçìóùåííîé çàäà÷è, äëÿ êîòîðîãî
ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà f x f vi
u
i
ur
r
r( ) ( )
( ) ( )
�
�
�
� , i N� � .
Ïîñëåäíèé âûâîä ñäåëàí ñ ó÷åòîì âíåøíåé óñòîé÷èâîñòè, ïðèñóùåé ìíî-
æåñòâó P F Xu r
( , )( )� â ñâÿçè ñ íåïðåðûâíîñòüþ (ïîêîìïîíåíòíî) êðèòåðèàëüíîé
âåêòîð-ôóíêöèè çàäà÷è Q F Xu r
( , )( )� è ñ òåì, ÷òî íåïóñòîå äîïóñòèìîå ìíîæåñ-
òâî Õ ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì [13].
Çàôèêñèðîâàâ íåêîòîðóþ òî÷êó
èç ìíîæåñòâà O x X /
*( )2 � , ðàññìîòðèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }x r r r N X
r� | ,� �
0 . Èç íåå âûäåëèì ñõîäÿùóþñÿ ïîä-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }x k Nrk
( ) |� � , äëÿ êîòîðîé lim
k rk��
�� 0. Îáîçíà÷èì
x x
k rk
�
��
lim ( )� . Ó÷èòûâàÿ çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà X , èìååì x X� . Î÷åâèäíî,
÷òî | | | | /*x x� 2 , x O x� /
*( )2 è, ñëåäîâàòåëüíî, x v� .
Îò íåðàâåíñòâ f x f vi
u
r i
urk
k
rk
( ) ( )
( ( )) ( )
� �
� � , i N� � , k N� , ïåðåéäåì ïðè
k � � ê òàêèì: f x f vi
u
i
u( ) ( )� , i N� � .
Ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà âìåñòå ñ íåðàâåíñòâîì v x� ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âû-
âîä, ÷òî x v F X� � ��( , , ) è v Sm F X� ( , ). Òàêèì îáðàçîì, O x /
*( )2 �
� Sm F X( , ) � � è òî÷êà x * íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà
Sm F X( , ). Ïîýòîìó îíà íå ïðèíàäëåæèò è çàìûêàíèþ cl( ( , ))Sm F X ýòîãî ìíî-
æåñòâà. Ó÷èòûâàÿ ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà cl( ( , ))P F X �
� cl( ( , ))Sm F X , ïðèõîäèì ê âûâîäó: x P F X* ( ( , ))�cl , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
ïðèíàäëåæíîñòè (11).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èç òåîðåì 1 è 2 ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ.
Òåîðåìà 3. Åñëè ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî, òî âûïîëíåíèå ñîîò-
íîøåíèé Sl F X P F X Sm F X( , ) ( ( , )) ( ( , ))� �cl cl ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
T5-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ).
Äàëåå ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ T3- è T4-óñòîé÷èâîñòè çàäà-
÷è (1) ïðè òàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ, íàëîæåííûõ íà åå öåëåâóþ âåê-
òîð-ôóíêöèþ F x f x f x( ) ( ( ), , ( ))� 1 � � :
f x g x c xi i i( ) ( ) ,� � � � , i N� � , (12)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 111
ãäå f R Ri
n: � 1, g R Ri
n: � 1, c c c Ri i in
n� �( , , )1 � .  ÷àñòíîñòè, ðå÷ü ìîæåò
èäòè î êâàäðàòè÷íûõ è ëèíåéíûõ ôóíêöèÿõ, ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðíûé êðèòå-
ðèé. Âõîäíûå äàííûå u U� äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ ïðåä-
ñòàâèì â âèäå ïàðû u u Cg� ( , ), ãäå ug — íàáîð âñåõ âõîäíûõ äàííûõ, íåîá-
õîäèìûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé g xi ( ), i N� � , C c Rij
n� � �[ ] � .
Òåîðåìà 4 [2]. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì T3-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðè-
òåðèþ çàäà÷è Q F X( , ) ñ ëèíåéíûìè ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè f x c xi i( ) ,� � �, i N� � ,
ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (6).
Òåîðåìà 5. Ïóñòü ìíîæåñòâî X çàìêíóòî. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì
T4-óñòîé÷èâîñòè ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ) ñ ÷àñòíûìè êðèòå-
ðèÿìè f xi ( ), i N� � , ïðåäñòàâëåííûìè ôîðìóëàìè (12), ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå
ðàâåíñòâà (9).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì (îò ïðîòèâíîãî), ÷òî äëÿ T4-óñòîé÷èâîé ïî
âåêòîðíîìó êðèòåðèþ çàäà÷è Q F X( , ) íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå cl( ( , ))P F X �
� cl( ( , ))Sm F X è, ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåòñÿ íåêîòîðàÿ òî÷êà v P F X�cl( ( , )) \
\ ( ( , ))cl Sm F X . Ñ îäíîé ñòîðîíû, ïðèíàäëåæíîñòü òî÷êè v çàìûêàíèþ cl( ( , ))P F X
îçíà÷àåò, ÷òî � 0 � �y O v P F X ( ) ( , )� . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìàòðèâàÿ v
êàê òî÷êó îòêðûòîãî ìíîæåñòâà R Sm F Xn \ ( ( , ))cl , çàêëþ÷àåì, ÷òî � � 0:
O v R Sm F Xn
�
( ) \ ( ( , ))cl . Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè òî÷êè
y y y O v P F X R Sm F Xn
n� �
�( , , ) ( ) ( , ) \ ( ( , ))1 � � cl . Ïîñêîëüêó y P F X� ( , ) \
\ ( , )Sm F X , íàéäåòñÿ òàêæå òî÷êà z z z y F X y F Xn� �( , , ) ( , , ) \ ( , , )1 � � � , äëÿ êîòî-
ðîé ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
F z F y( ) ( )� , z y� . (13)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðîòèâîðå÷èÿ ñ ïðèâåäåííûì ðàíåå ïðåäïîëîæåíèåì
î T4-óñòîé÷èâîñòè çàäà÷è Q F Xu( , ) ïîêàæåì, ÷òî � �� 0 òàêîå, ÷òî � � 0 íàé-
äåòñÿ òàêîé íàáîð âîçìóùåííûõ âõîäíûõ äàííûõ u O u( ) ( )� �� , ïðè êîòîðîì
P F X O yu( , ) ( )( )� � �� �= .  ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî � 0 ââåäåì â ðàñ-
ñìîòðåíèå âîçìóùåííûé íàáîð âõîäíûõ äàííûõ u u Cg( ) ( , ( ))� �� , â êîòîðîì
êîìïîíåíòà ug , ïðåäñòàâëÿþùàÿ âõîäíûå äàííûå, íåîáõîäèìûå äëÿ îïèñàíèÿ
ôóíêöèé gi , i N� � , îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì íàáîðîì
u u C Ug� �( , ) âõîäíûõ äàííûõ, à ìàòðèöó C c Rij
n( ) [ ( )]� �� � �� ïîñòðîèì, èñõî-
äÿ èç òàêèõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòäåëüíûõ åå ýëåìåíòîâ:
c c z yij ij j j( ) ( )� �� � �sgn , i N� � , j N n� , 0� ��
�
n�
.
Ñ ó÷åòîì (3) ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî | | ( ) | | | ( ) |C C c cij ij
j Ni N n
� � �� � � �
��
�
è, ñëå-
äîâàòåëüíî, u u C O ug( ) ( , ( )) ( )� � �� � . Êðîìå òîãî, c ó÷åòîì ôîðìóë (3) è (13)
äëÿ âñåõ i N� � âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
f z f y g z c z g y c yi
u
i
u
i i i i
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ),� � � �� � � � � � � � � � � �f z f yi
u
i
u( ) ( )
� � � � � � �
� �
� � �( ) ( ) | | | | | |z y z y z y z yj j j j
j N
j j
j Nn n
sgn 0.
Èòàê, F z F yu u( ) ( )( ) ( )� �� 0. Ñëåäîâàòåëüíî, z y F Xu� � �� �( , , )( ) , è â ñîîò-
âåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà Ñëåéòåðà òî÷êà y íå ïðèíàäëåæèò âîçìó-
112 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
ùåííîìó ìíîæåñòâó Sl F Xu( , )( )� , êîòîðîå çàìêíóòî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1.
Òîãäà òî÷êà y ïðèíàäëåæèò îòêðûòîìó ìíîæåñòâó R Sl F Xn
u\ ( , )( )� è íàéäåòñÿ
÷èñëî �� 0, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå O y R Sl F Xn
u��
�( ) \ ( , )( ) .
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (2), ïîëó÷àåì òàêæå âêëþ÷åíèå O y��
( )
R P F Xn
u\ ( , )( )� . Îäíàêî ñóùåñòâîâàíèå òàêîé îêðåñòíîñòè O y�� ( ) òî÷êè
y P F Xu� ( , ) ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î T4-óñòîé÷èâîñòè çàäà÷è Q F X( , ),
ïîòîìó ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ T4-óñòîé÷èâîñòè � 0 � � 0 òàêîå, ÷òî
� �u O u( ) ( )� � âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäîâàíû êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ðàçëè÷íûõ
ïîíÿòèé óñòîé÷èâîñòè âåêòîðíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ ñ íåïðåðûâíûìè
÷àñòíûìè êðèòåðèàëüíûìè ôóíêöèÿìè è ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ ðåøåíèé
ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðû. Âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè èçó÷åíû äëÿ ñëó÷àÿ âîçìîæ-
íûõ âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàííûõ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ îïòèìèçàöèè. Îïðå-
äåëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâî Ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé çàäà÷è
èìååò íåêîòîðîå íàïåðåä çàäàííîå ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ
ê âíåøíèì âîçäåéñòâèÿì íà âõîäíûå äàííûå. Äîêàçàíû äîñòàòî÷íûå (òåîðåìû
1–3) è íåîáõîäèìûå (òåîðåìà 5) óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òðåõ ðàçëè÷íûõ òèïîâ,
ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ãàðàíòèðóåòñÿ, ÷òî äîñòàòî÷íî ìàëûå èçìåíåíèÿ âî
âõîäíûõ äàííûõ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ ëèáî íå ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ íîâûõ
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé, ëèáî ñîõðàíÿþò âñå Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøå-
íèÿ çàäà÷è è äîïóñêàþò ïîÿâëåíèå íîâûõ, ëèáî íå èçìåíÿþò ìíîæåñòâî Ïàðå-
òî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà÷è. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ðàñøèðÿ-
þò èçâåñòíûé êëàññ çàäà÷ âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè, óñòîé÷èâûõ îòíîñèòåëüíî
âîçìóùåíèé âõîäíûõ äàííûõ äëÿ âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Kozeratskaya L.N., Lebedeva T.T., Sergienko T.I. Mixed integer vector optimization: Stability
issues. Cybernetics and Systems Analysis. 1991. Vol. 27, N 1. P. 76–80.
2. Kozeratskaya L.N. Vector optimization problems: Stability in the decision space and in the space of
alternatives. Cybernetics and Systems Analysis. 1994. Vol. 30, N 6. P. 891–899.
3. Ñåðãèåíêî È.Â., Êîçåðàöêàÿ Ë.Í., Ëåáåäåâà Ò.Ò. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè è ïàðàìåòðè÷åñ-
êèé àíàëèç äèñêðåòíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1995. 170 ñ.
4. Lebedeva T.T., Semenova N.V., Sergienko T.I. Stability of vector problems of integer optimization:
Relationship with the stability of sets of optimal and nonoptimal solutions. Cybernetics and Systems
Analysis. 2005. Vol. 41, N 4. P. 551–558.
5. Lebedeva T.T., Sergienko T.I. Stability of a vector integer quadratic programming problem with
respect to vector criterion and constraints. Cybernetics and Systems Analysis. 2006. Vol. 42, N 5.
P. 667–674.
6. Lebedeva T.T., Sergienko T.I. Different types of stability of vector integer optimization problem:
General approach. Cybernetics and Systems Analysis. 2008. Vol. 44, N 3. P. 429–433.
7. Lebedeva T.T., Semenova N.V., Sergienko T.I. Qualitative characteristics of the stability vector
discrete optimization problems with different optimality principles. Cybernetics and Systems
Analysis. 2014. Vol. 50, N 2. P. 228–233.
8. Sergienko I.V., Lebedeva T.T., Semenova N.V. Existence of solutions in vector optimization
problems. Cybernetics and Systems Analysis. 2000. Vol. 36, N 6. P. 823–828.
9. Sergienko T.I. Conditions of Pareto optimization problems solvability. Stable and unstable
solvability. In: Optimization Methods and Applications. Springer Optimization and Its Applications.
Butenko S., Pardalos P., Shylo V. (Eds.). Cham: Springer, 2017. Vol. 130. P. 457–464.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 113
10. Emelichev V.A., Kuzmin K.G. Stability radius of a vector integer linear programming problem:
Case of a regular norm in the space of criteria. Cybernetics and Systems Analysis. 2010.
Vol. 46, N 1. P. 72–79.
11. Emelichev V.A., Kotov V.M., Kuzmin K.G., Lebedeva T.T., Semenova N.V., Sergienko T.I.
Stability and effective algorithms for solving multiobjective discrete optimization problems with
incomplete information. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, N 2.
P. 27–41.
12. Emelichev V., Nikulin Yu. On the quasistability radius for a multicriteria integer linear programming
problem of finding extremum solutions. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 6.
P. 949–957.
13. Ïîäèíîâñêèé Â.Â., Íîãèí Â.Ä. Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷.
Ìîñêâà: Íàóêà, 1982. 256 ñ.
14. Ëÿøêî ².²., ªìåëüÿíîâ Â.Ô., Áîÿð÷óê Î.Ê. Ìàòåìàòè÷íèé àíàë³ç. ×. 1. Êè¿â: Âèùà øê., 1992. 495 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 17.08.2020
Ò.Ò. Ëåáºäºâà, Í.Â. Ñåìåíîâà, Ò.². Ñåð㳺íêî
ÁÀÃÀÒÎÊÐÈÒÅвÉÍÀ ÇÀÄÀ×À ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯: ÑÒ²ÉʲÑÒÜ
ÄÎ ÇÁÓÐÅÍÜ ÂÕ²ÄÍÈÕ ÄÀÍÈÕ ÂÅÊÒÎÐÍÎÃÎ ÊÐÈÒÅвÞ
Àíîòàö³ÿ. Äëÿ âåêòîðíî¿ çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ ç íåïåðåðâíèìè ÷àñòêîâèìè
êðèòåð³éíèìè ôóíêö³ÿìè ³ ìíîæèíîþ äîïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â äîâ³ëüíî¿
ñòðóêòóðè âèâ÷åíî óìîâè ñò³éêîñò³ ùîäî çáóðåíü âõ³äíèõ äàíèõ âåêòîðíîãî
êðèòåð³þ. Îòðèìàíî äîñòàòí³ ³ íåîáõ³äí³ óìîâè ñò³éêîñò³ òðüîõ òèï³â äëÿ
çàäà÷³ ïîøóêó Ïàðåòî-îïòèìàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: âåêòîðíà çàäà÷à îïòèì³çàö³¿, âåêòîðíèé êðèòåð³é, ñò³éê³ñòü,
Ïàðåòî-îïòèìàëüí³ ðîçâ’ÿçêè, ìíîæèíà Ñëåéòåðà, ìíîæèíà Ñìåéëà, çáóðåí-
íÿ âõ³äíèõ äàíèõ.
Ò.Ò. Lebedeva, N.V. Semenova, Ò.². Sergienko
MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION PROBLEM: STABILITY WITH RESPECT TO INITIAL
DATA PERTURBATIONS IN VECTOR CRITERION
Abstract. The conditions of stability with respect to initial data perturbations in
vector criterion for multi-objective optimization problem with continuous partial
criterion functions and feasible set of arbitrary structure are established. The
sufficient and necessary conditions of three types of stability for the problem of
finding Pareto-optimal solutions are proved.
Keywords: vector optimization problem, vector criterion, stability, Pareto
optimal solutions, Slater set, Smale set, perturbations of initial data.
Ëåáåäåâà Òàòüÿíà Òàðàñîâíà,
êàíäèäàò ýêîí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: lebedevatt@gmail.com.
Ñåìåíîâà Íàòàëèÿ Âëàäèìèðîâíà,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: nvsemenova@meta.ua.
Ñåðãèåíêî Òàòüÿíà Èâàíîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: taniaser62@gmail.com.
114 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
|