Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини
Розроблено математичну модель, алгоритм та програмне забезпечення для задачі побудови S-подібної кривої, яка проходить через дві задані точки із заданими кутами нахилу дотичних у них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці із заданою абсцисою. Для керування точкою перегину S-подібної криво...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190521 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини / П.I. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.М. Хом’як, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 120–135. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859798570038722560 |
|---|---|
| author | Стецюк, П.I. Ткаченко, О.В. Хом’як, О.М. Грицай, О.Л. |
| author_facet | Стецюк, П.I. Ткаченко, О.В. Хом’як, О.М. Грицай, О.Л. |
| citation_txt | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини / П.I. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.М. Хом’як, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 120–135. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розроблено математичну модель, алгоритм та програмне забезпечення для задачі побудови S-подібної кривої, яка проходить через дві задані точки із заданими кутами нахилу дотичних у них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці із заданою абсцисою. Для керування точкою перегину S-подібної кривої з квадратичним законом розподілу кривини в натуральній параметризації використовується кут нахилу дотичної в точці із заданою абсцисою. Алгоритм ґрунтується на модифікації методу з розтягом простору в напрямі різниці двох послідовних узагальнених градієнтів. Обчислювальні експерименти показали ефективність розробленого алгоритму для проєктування зовнішнього контуру сопла Франкля.
Разработаны математическая модель, алгоритм и программное обеспечение для задачи построения S-образной кривой, проходящей через две заданные точки с заданными углами наклона касательных в них и обеспечивающей заданный угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой. Для управления точкой перегиба S-образной кривой с квадратичным законом распределения кривизны в натуральной параметризации используется угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой. Алгоритм основан на модификации метода с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных обобщенных градиентов. Вычислительные эксперименты показали эффективность разработанного алгоритма для проектирования внешнего контура сопла Франкля.
A mathematical model, algorithm, and software are developed for the problem of constructing an S-shaped curve, which passes through two given points with given tangent inclination angles at them and provides a given tangent inclination angle at a point with a given abscissa. To control the inflection point of the S-shaped curve with quadratic distribution of curvature in natural parameterization, the tangent inclination angle at the point with the known abscissa is used. The algorithm is based on a modification of the method with space dilation in the direction of the difference of two successive generalized gradients. Computational experiments have shown the efficiency of the developed algorithm for constructing the external contour of a Frankl-type nozzle.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:11:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.85
Ï.I. ÑÒÅÖÞÊ, Î.Â. ÒÊÀ×ÅÍÊÎ, Î.Ì. ÕÎÌ’ßÊ, Î.Ë. ÃÐÈÖÀÉ
ÏÎÁÓÄÎÂÀ ÇÎÂͲØÍÜÎÃÎ ÊÎÍÒÓÐÓ ÑÎÏËÀ ÔÐÀÍÊËß
Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ S-ÏÎIJÁÍÈÕ ÊÐÈÂÈÕ ²Ç ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÈÌ
ÇÀÊÎÍÎÌ ÐÎÇÏÎIJËÓ ÊÐÈÂÈÍÈ1
Àíîòàö³ÿ. Ðîçðîáëåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü, àëãîðèòì òà ïðîãðàìíå çàáåçïå-
÷åííÿ äëÿ çàäà÷³ ïîáóäîâè S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ çàäàí³
òî÷êè ³ç çàäàíèìè êóòàìè íàõèëó äîòè÷íèõ ó íèõ òà çàáåçïå÷óº çàäàíèé êóò
íàõèëó äîòè÷íî¿ â òî÷ö³ ³ç çàäàíîþ àáñöèñîþ. Äëÿ êåðóâàííÿ òî÷êîþ ïåðå-
ãèíó S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ ç êâàäðàòè÷íèì çàêîíîì ðîçïîä³ëó êðèâèíè â íàòó-
ðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿ âèêîðèñòîâóºòüñÿ êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ â òî÷ö³ ³ç çà-
äàíîþ àáñöèñîþ. Àëãîðèòì ´ðóíòóºòüñÿ íà ìîäèô³êàö³¿ ìåòîäó ç ðîçòÿãîì
ïðîñòîðó â íàïðÿì³ ð³çíèö³ äâîõ ïîñë³äîâíèõ óçàãàëüíåíèõ ãðà䳺íò³â.
Îá÷èñëþâàëüí³ åêñïåðèìåíòè ïîêàçàëè åôåêòèâí³ñòü ðîçðîáëåíîãî àëãîðèò-
ìó äëÿ ïðîºêòóâàííÿ çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çîâí³øí³é êîíòóð ñîïëà, S-ïîä³áíà êðèâà, íàòóðàëüíà ïàðà-
ìåòðèçàö³ÿ, êâàäðàòè÷íà êðèâèíà, íåãëàäêà îïòèì³çàö³ÿ, r-àëãîðèòì.
ÂÑÒÓÏ
Îäíèì ç îñíîâíèõ åëåìåíò³â áóäü-ÿêîãî ðåàêòèâíîãî äâèãóíà º ñîïëî, ÿêå íå-
îáõ³äíå äëÿ îòðèìàííÿ ìàêñèìàëüíî ìîæëèâî¿ øâèäêîñò³ âèò³êàííÿ ãàçîâîãî
ïîòîêó — ñòâîðåííÿ ðåàêòèâíî¿ ñèëè [1, 2]. Äëÿ îäåðæàííÿ íàäçâóêîâèõ øâèä-
êîñòåé âèò³êàííÿ ãàçîâîãî ïîòîêó Ã. Ëàâàëåì, Ò. Ñòåíòîíîì ³ Ô.². Ôðàíêëåì [3]
áóëè ðîçðîáëåí³ íàäçâóêîâ³ ñîïëà, â ÿêèõ â³äáóâàºòüñÿ ïðèñêîðåííÿ ãàçîâîãî
ïîòîêó äî øâèäêîñòåé, á³ëüøèõ çà øâèäê³ñòü çâóêó. Ñîïëà (Ëàâàëÿ, Ñòåíòîíà,
Ôðàíêëÿ) â³äð³çíÿþòüñÿ, çîêðåìà, ôîðìîþ çîâí³øíüîãî êîíòóðó (ðèñ. 1).
Íàäçâóêîâå ðåàêòèâíå ñîïëî ñêëàäàºòüñÿ ç òðüîõ îñíîâíèõ ÷àñòèí: ÷àñòèíè ñî-
ïëà, ùî çâóæóºòüñÿ (äîçâóêîâî¿), ä³ëÿíêè êðèòè÷íîãî ïåðåð³çó ³ ÷àñòèíè ñîïëà, ùî
ðîçøèðþºòüñÿ (íàäçâóêîâî¿) [4]. Ïðîô³ëþâàííÿ ñîïëà òà ïîáóäîâà çîâí³øíüîãî êîí-
òóðó êîæíî¿ ç éîãî ÷àñòèí º âàæëèâèìè åëåìåíòàìè ïðîºêòóâàííÿ àâ³àö³éíèõ ³ ðà-
êåòíèõ äâèãóí³â. Ïðè öüîìó íåîáõ³äíî ïîºäíóâàòè çàäà÷³ êîíñòðóþâàííÿ òà îá÷èñ-
ëåííÿ çà ïàðàìåòðàìè ãàçîäèíàì³êè, òåïëîìàñîîáì³íó ³ ì³öíîñò³ ñîïëà. Öå ïîòðåáóº
ðîçâ’ÿçàííÿ ð³çíèõ òèï³â ñêëàäíèõ çàäà÷
ãàçîäèíàì³êè äëÿ êîæíî¿ ç òðüîõ ÷àñòèí
ñîïëà, ï³ä ÷àñ ÿêîãî âèçíà÷àþòü òÿãîâ³ òà
åíåðãåòè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè ç íåîáõ³ä-
íîþ òî÷í³ñòþ ³ âðàõîâóþòü îáìåæåííÿ
íà ãàáàðèòè òà ìàñó ñîïëà [4]. Ìåòîäè
ðîçâ’ÿçàííÿ öèõ çàäà÷ ãàçîäèíàì³êè ïî-
òðåáóþòü âåëèêèõ âèòðàò çà ÷àñîì.
Ó ïðîºêòíèõ ðîáîòàõ ÷àñòî ïîòð³áí³
øâèäê³ íàáëèæåí³ ìåòîäè ïîáóäîâè
êîíòóðó ñîïëà ç âèñîêèìè òÿãîâèìè õà-
ðàêòåðèñòèêàìè. Öå íàêëàäຠäîäàòêîâ³
îáìåæåííÿ íà ãåîìåòðè÷í³ âëàñòèâîñò³
êîíòóðó, ÿê³ ìîæíà çàáåçïå÷óâàòè ìåòî-
äàìè ïðèêëàäíî¿ ãåîìåòð³¿, çîêðåìà ìå-
120 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Ðèñ. 1. ³äîì³ ôîðìè çîâí³øí³õ êîíòóð³â ñîïåë
Ñîïëî
Ëàâàëÿ
Ñîïëî
Ñòåíòîíà
Ñîïëî
Ôðàíêëÿ
1
Ðîáîòà âèêîíàíà çà ô³íàíñîâî¿ ï³äòðèìêè ÍÀÍ Óêðà¿íè (ïðîºêò ¹ 0120U002085).
© Ï.I. Ñòåöþê, Î.Â. Òêà÷åíêî, Î.Ì. Õîì’ÿê, Î.Ë. Ãðèöàé, 2020
òîäàìè ãåîìåòðè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ïëîñêèõ êðèâèõ [5]. Ó öèõ ìåòîäàõ âèêîðèñ-
òîâóþòü àëãîðèòìè íàòóðàëüíî¿ ïàðàìåòðèçàö³¿ [6, 7] òà ãðàô³êè êðèâèí äëÿ çàáåç-
ïå÷åííÿ ãåîìåòðè÷íèõ âëàñòèâîñòåé êîíòóð³â, ÿê³ ìàþòü çàäîâîëüíÿòè íåîáõ³äí³
ãàçîäèíàì³÷í³ âèìîãè. Êðèâ³ â íàòóðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿ àêòèâíî çàñòîñîâóþòüñÿ
â ðîáîòàõ ìèêîëà¿âñüêî¿ øêîëè ïðèêëàäíî¿ ãåîìåò𳿠(Íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò
êîðàáëåáóäóâàííÿ ³ìåí³ àäì³ðàëà Ìàêàðîâà, Ìèêîëà¿âñüêèé íàö³îíàëüíèé óí³âåð-
ñèòåò ³ìåí³ Â.Î. Ñóõîìëèíñüêîãî, ÄÏ «Íàóêîâî-âèðîáíè÷èé êîìïëåêñ ãàçîòóðáî-
áóäóâàííÿ «Çîðÿ-Ìàøïðîåêò») [8–10]. Âèêîðèñòàííÿ ãðàô³ê³â êðèâèí º åôåêòèâ-
íèì ï³ä ÷àñ ïðîºêòóâàííÿ ãàçîäèíàì³÷íèõ ïðîô³ë³â ïåðà ëîïàòîê [9]. Çàóâàæèìî,
ùî äëÿ êðèâèõ â íàòóðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿, çà ðàõóíîê âèêîðèñòàííÿ ë³í³éíîãî
àáî êâàäðàòè÷íîãî çàêîí³â ðîçïîä³ëó êðèâèíè, ìîæíà óíèêíóòè «õâèëÿñòîñò³»
êðèâèíè, ÿêà ìîæå âèíèêàòè ó âèïàäêó ïîáóäîâè ïëîñêèõ êðèâèõ çà äîïîìîãîþ
â³äîìîãî ìåòîäó Áåçüº–Áåðíøòåéíà [11].
Ìåòîþ ðîáîòè º ðîçðîáëåííÿ ìåòîäó, àëãîðèòìó òà éîãî ïðîãðàìíî¿
ðåàë³çàö³¿ äëÿ ïîáóäîâè çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ çà äîïîìîãîþ äâî-
ëàíêîâèõ S-ïîä³áíèõ êðèâèõ, îòðèìàíèõ ç âèêîðèñòàííÿì àëãîðèòì³â íàòóðàëü-
íî¿ ïàðàìåòðèçàö³¿ òà êâàäðàòè÷íîãî çàêîíó ðîçïîä³ëó êðèâèíè. Çîâí³øí³é êîí-
òóð ñîïëà Ôðàíêëÿ ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ S-ïîä³áíèõ êðèâèõ: ïåðøà êðèâà — äëÿ
äîçâóêîâî¿ ÷àñòèíè (äå ñîïëî çâóæóºòüñÿ) òà äðóãà êðèâà — äëÿ íàäçâóêîâî¿ ÷àñ-
òèíè (äå ñîïëî ðîçøèðþºòüñÿ). Êåðóâàííÿ òî÷êàìè ïåðåãèíó öèõ êðèâèõ äàº
ìîæëèâ³ñòü âèáèðàòè íåîáõ³äí³ ôîðìè äëÿ ôðàãìåíò³â çîâí³øíüîãî êîíòóðó äî-
çâóêîâî¿ òà íàäçâóêîâî¿ ÷àñòèí ñîïëà.
Ñòàòòÿ ñêëàäàºòüñÿ ç ï’ÿòè ðîçä³ë³â. Ó ðîçä. 1 íàâåäåíî ãåîìåòðè÷íó ïîñòà-
íîâêó çàäà÷³ ïîáóäîâè S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ òî÷êè ³ç çàäà-
íèìè êóòàìè íàõèëó äîòè÷íèõ ó íèõ òà çàáåçïå÷óº çàäàíèé êóò íàõèëó äîòè÷íî¿
â òî÷ö³ ³ç çàäàíîþ àáñöèñîþ. Ó ðîçä. 2 ðîçãëÿíóòî â³äïîâ³äíó ñèñòåìó
íåë³í³éíèõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü (ÑͲÐ) òà îáãîâîðåíî ¿¿ âëàñòèâîñò³, ïîâ’ÿçàí³
ç ³ñíóâàííÿì áàãàòüîõ ðîçâ’ÿçê³â òà ³ç ñèíãóëÿðí³ñòþ ñèñòåìè äëÿ ïîãàíî ìàñ-
øòàáîâàíèõ çàäà÷. Ó ðîçä. 3 ïðåäñòàâëåíî îïòèì³çàö³éíó çàäà÷ó äëÿ çíàõîäæåí-
íÿ ðîçâ’ÿçêó ÑͲРäëÿ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ òà ìåòîä ¿¿ ðîçâ’ÿçàííÿ ç âèêîðèñòàííÿì
ìîäèô³êàö³¿ r-àëãîðèòìó Øîðà. Ó ðîçä. 4 òà 5 íàâåäåíî ðåçóëüòàòè îá÷èñëþâàëü-
íèõ åêñïåðèìåíò³â äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â äîáðå òà ïîãàíî ìàñøòàáîâàíèõ
çàäà÷ ïîáóäîâè äâîëàíêîâèõ S-ïîä³áíèõ êðèâèõ, ÿê³ ïîêàçóþòü åôåêòèâí³ñòü
ðîçðîáëåíîãî àëãîðèòìó äëÿ ìîäåëþâàííÿ ôðàãìåíò³â çîâí³øíüîãî êîíòóðó
ó äîçâóêîâ³é òà íàäçâóêîâ³é ÷àñòèíàõ ñîïëà Ôðàíêëÿ.
1. ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÍÀ ÌÎÄÅËÜ ÇÀÄÀײ
Âèõ³äíèìè äàíèìè äëÿ ïîáóäîâè êîíòóðó ó âèãëÿä³ ïëîñêî¿ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿
º êîîðäèíàòè òî÷îê ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 òà êóòè íàõèëó äîòè÷íèõ ó íèõ (�1, �2),
à òàêîæ êóò � p — êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ â òî÷ö³ ( , )x yp p òà ¿¿ àáñöèñà x p , ÿê³
áóäóòü âèêîðèñòîâóâàòèñÿ äëÿ êåðóâàííÿ òî÷êîþ ïåðåãèíó S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿.
Äëÿ íàäçâóêîâîãî ôðàãìåíòà êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ, âèãëÿä ÿêîãî íàâåäåíî íà
ðèñ. 1, çàäàí³ òî÷êè òà êóòè íàõèëó
â íèõ ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 2.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Ïîòð³áíî
òàê ç’ºäíàòè òî÷êè ( , )x y1 1 òà
( , )x y2 2 êðèâîþ ë³í³ºþ â íàòó-
ðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿, äå êðèâèíà
k s as( ) � �2 � �bs c º êâàäðàòè÷íîþ
ôóíêö³ºþ â³ä s — äîâæèíè êðèâî¿,
ùîá çàáåçïå÷èòè â òî÷êàõ ( , )x y1 1 òà
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 121
Ðèñ. 2. Âèõ³äí³ äàí³ äëÿ ïîáóäîâè çîâí³øíüîãî
êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ ó íàäçâóêîâ³é ÷àñòèí³
�1
�2
�p
xp
( , )x y1 1
( , )x yp p
( , )x y2 2
( , )x y2 2 çàäàí³ çíà÷åííÿ êóò³â íàõèëó äîòè÷íèõ �1 òà �2 , à â òî÷ö³ ç àáñöèñîþ
x p , äëÿ ÿêî¿ x x xp1 2� � , çàáåçïå÷èòè êóò, ùî äîð³âíþº � p . Êóòè �1, �2 òà � p
âèì³ðþþòüñÿ â ðàä³àíàõ.
ßêùî êîíòóð ïðåäñòàâëåíî ó âèãëÿä³ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿, òî êâàäðàòè÷íà êðè-
âèíà k s as bs c( ) � � �2 çàáåçïå÷óº ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³. Çàäàþ÷è çíà÷åííÿ
àáñöèñè x p òà êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ � p , îòðèìóºìî ìîæëèâ³ñòü êåðóâàòè òî÷êîþ
ïåðåãèíó îòðèìàíî¿ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿, ùî íàäຠçìîãó àâòîíîìíî ìîäåëþâàòè
òîé ÷è ³íøèé âèãëÿä ôðàãìåíò³â çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ ó äîçâó-
êîâ³é òà íàäçâóêîâ³é éîãî ÷àñòèíàõ. Äëÿ äîçâóêîâî¿ ÷àñòèíè ñîïëà ôðàãìåíò
çîâí³øíüîãî êîíòóðó ìຠâèãëÿä, ÿêèé º «äçåðêàëüíèì» â³äîáðàæåííÿì ôðàã-
ìåíòà çîâí³øíüîãî êîíòóðó ó íàäçâóêîâ³é ÷àñòèí³. Äëÿ íàäçâóêîâî¿ ÷àñòèíè ñî-
ïëà àáñöèñà x p áóäå ðîçì³ùóâàòèñÿ áëèæ÷å äî ¿¿ çàê³í÷åííÿ, à äëÿ äîçâóêîâî¿
÷àñòèíè ñîïëà — áëèæ÷å äî ¿¿ ïî÷àòêó.
Äëÿ êðèâî¿ x s y s s( ), ( ), � 0, â íàòóðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿ êóò íàõèëó äîòè÷-
íî¿ �( )s â òî÷ö³ ( ( ), ( ))x s y s âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
� � �( ) ( ) ( ) ( )s k s ds
as bs
cs
s
� � � � � ��0 0
3 2
0
3 2
, (1)
à êîîðäèíàòè x s( ) òà y s( ) — çà ôîðìóëàìè
x s x s ds y s y s ds
s s
( ) ( ) cos ( ) , ( ) ( ) sin ( )� � � �� �0 0
0 0
� � . (2)
Òóò êðèâèíà k s as bs c( ) � � �2 çàäàºòüñÿ êâàäðàòè÷íîþ ôóíêö³ºþ â³ä s — äîâ-
æèíè êðèâî¿, äå a , b, c — çàäàí³ êîåô³ö³ºíòè.
2. ÑÈÑÒÅÌÀ ÍÅ˲ͲÉÍÈÕ ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ ÒÀ ¯¯ ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ²
Íåõàé S — äîâæèíà êðèâî¿ â³ä òî÷êè ( , )x y1 1 äî òî÷êè ( , )x y2 2 , à sp — äîâæè-
íà êðèâî¿ â³ä òî÷êè ( , )x y1 1 äî òî÷êè ( , )x yp p . Çíàõîäæåííþ ïàðàìåòð³â êðèâè-
íè a , b, c òà äîâæèí S , sp â³äïîâ³äຠñèñòåìà ç ï’ÿòè íåë³í³éíèõ ð³âíÿíü [12]:
x x
as bs
cs ds
S
2 1 1
3 2
0
3 2
� � � � �
�
�
�
�
�� cos � , (3)
y y
as bs
cs ds
S
2 1 1
3 2
0
3 2
� � � � �
�
�
�
�
�� sin � , (4)
� �2 1
3 2
3 2
� � � �
aS bS
cS , (5)
x x
as bs
cs dsp
sp
� � � � �
�
�
�
�
��1 1
3 2
0
3 2
cos � , (6)
� �p
p p
p
as bs
cs� � � �1
3 2
3 2
. (7)
Ñèñòåìà (3)–(7) ìຠï’ÿòü íåâ³äîìèõ: a , b, c — òðè êîåô³ö³ºíòè êâàäðàòè÷íî¿
ôóíêö³¿, S — çàãàëüíà äîâæèíà êðèâî¿, sp — äîâæèíà ä³ëÿíêè êðèâî¿ äî òî÷êè ç
â³äîìîþ àáñöèñîþ. Ñèñòåìà âêëþ÷ຠï’ÿòü íåë³í³éíèõ ð³âíÿíü, ñåðåä ÿêèõ
ð³âíÿííÿ (3), (4) òà (6) º ³íòåãðàëüíèìè òà çàëåæàòü â³ä íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â
ï³ä³íòåãðàëüíèõ ôóíêö³é òà íåâ³äîìèõ âåðõí³õ ãðàíèöü äëÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåã-
ðàëà. ²íòåãðàëüí³ ð³âíÿííÿ (3) òà (4) çâ’ÿçóþòü ì³æ ñîáîþ òî÷êè ( , )x y1 1 òà
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
( , )x y2 2 çà ôîðìóëàìè (2). Íåë³í³éíå ð³âíÿííÿ (5) çà ôîðìóëîþ (1) çàáåçïå÷óº
ïîòð³áíèé êóò �2 â òî÷ö³ ( , )x y2 2 , ÿêèé âèçíà÷àºòüñÿ çà çàäàíèì êóòîì �1 â òî÷ö³
( , )x y1 1 . ²íòåãðàëüíå ð³âíÿííÿ (6) çâ’ÿçóº ì³æ ñîáîþ êîîðäèíàòè x1 òà x p çà ïåð-
øîþ ôîðìóëîþ ³ç (2), à íåë³í³éíå ð³âíÿííÿ (7) çàáåçïå÷óº êóò, ùî äîð³âíþº � p ,
â òî÷ö³ ç àáñöèñîþ x p çà ôîðìóëîþ (1).
Êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ � p â òî÷ö³ ç â³äîìîþ àáñöèñîþ x p áóäåìî âèêîðèñòîâó-
âàòè äëÿ êåðóâàííÿ òî÷êîþ ïåðåãèíó S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿, â ÿê³é êðèâèíà º ð³âíîþ
íóëþ. Çàóâàæèìî, ùî îðäèíàòà yp íå âèêîðèñòîâóºòüñÿ ÿê íåâ³äîìà çì³ííà. ¯¿ çíà-
÷åííÿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ y y
as bs
cs dsp
sp
� � � � �
�
�
�
�
��1 1
3 2
0
3 2
sin � , äå sp —
çíàéäåíà äîâæèíà ä³ëÿíêè êðèâî¿ äî òî÷êè ç â³äîìîþ àáñöèñîþ.
Âèä³ëèìî äâ³ âëàñòèâîñò³ ñèñòåìè (3)–(7), ÿê³ ïîòð³áíî âðàõîâóâàòè ï³ä ÷àñ
çíàõîäæåííÿ ¿¿ ðîçâ’ÿçê³â, ïîâ’ÿçàíèõ ç ïðîºêòóâàííÿì çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñî-
ïëà Ôðàíêëÿ ó âèãëÿä³ äâîëàíêîâèõ S-ïîä³áíèõ êðèâèõ.
Ïåðøà âëàñòèâ³ñòü: ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ñèñòåìà (3)–(7) ìຠáàãàòî ðîç-
â’ÿçê³â. Òàê, íàïðèêëàä, ó òàáë. 1 íàâåäåíî ÷îòèðè ðîçâ’ÿçêè äëÿ òàêèõ âèõ³äíèõ
äàíèõ:
x y1 10� �, 2.46, �1 0� ; x y2 21� �, 2.75, �2 0� ;
(8)
x p � 0.7, � p � 0.209440 �
12 .
Ãðàô³êè êðèâèõ äëÿ öèõ ðîçâ’ÿçê³â íàâåäåíî íà ðèñ. 3 (êðèâ³ äëÿ ðîçâ’ÿçê³â 1 ³ 2)
òà íà ðèñ. 4 (êðèâ³ äëÿ ðîçâ’ÿçê³â 3 ³ 4).
²ç ðèñ. 3 òà ðèñ. 4 âèäíî, ùî ò³ëüêè äëÿ ðîçâ’ÿçêó 1 êðèâà º S-ïîä³áíîþ. Âîíà
õàðàêòåðèçóºòüñÿ íàÿâí³ñòþ îäí³º¿ òî÷êè ïåðåãèíó, äå êðèâèíà çì³íþº çíàê. ¯¿ êî-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 123
Ò à á ë è ö ÿ 1. ×îòèðè ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè (3)–(7) äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (8)
¹ ðîçâ’ÿçêó a
�
b
�
c
�
S
� s p
�
1 7.92822 � 11.4065 3.07557 1.05562 0.753992
2 � 7.03716 16.4890 � 6.19900 2.42487 1.15072
3 8.16618 � 28.3207 18.3901 2.69815 2.39725
4 � 6.67708 23.8707 � 15.9001 2.89409 2.58685
Ðèñ. 3. Ãðàô³êè êðèâèõ äëÿ ðîçâ’ÿçêó 1 (êðèâà 1)
òà ðîçâ’ÿçêó 2 (êðèâà 2) ³ç òàáë. 1
x
y x( )
( , )x y1 1
( , )x y2 2
xp
1
2
Ðèñ. 4. Ãðàô³êè êðèâèõ äëÿ ðîçâ’ÿçêó 3 (êðèâà 1)
òà ðîçâ’ÿçêó 4 (êðèâà 2) ³ç òàáë. 1
x
1
2
( , )x y1 1
( , )x y2 2
y x( )
xp
îðäèíàòè x s( )1 , y s( )1 âèçíà÷àþòüñÿ ïåðøèì ðîçâ’ÿçêîì êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ
a s b s c� � �� � �2 0 , s
b b a c
a
1 2
2 4
2
,
( )
�
� � �� � � �
�
, s1 � 0.35943 � �[ , ]0 S . Äëÿ òðüîõ
³íøèõ ðîçâ’ÿçê³â öå íå òàê. Êðèâà äëÿ ðîçâ’ÿçêó 2 ì³ñòèòü äâ³ ä³ëÿíêè, êîæíà ç
ÿêèõ º S-ïîä³áíîþ êðèâîþ, òà õàðàêòåðèçóºòüñÿ äîâæèíîþ S � � 2.42487, ÿêà º
çíà÷íî á³ëüøîþ çà äîâæèíó S � � 1.05562 äëÿ ðîçâ’ÿçêó 1. Çàóâàæèìî, ùî äëÿ ðîç-
â’ÿçêó 2 ³ñíóº ä³ëÿíêà êðèâî¿ y x( ), äå îðäèíàòè âèçíà÷åí³ íåîäíîçíà÷íî. Äëÿ êðè-
âèõ, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü ðîçâ’ÿçêàì 3 òà 4, ³ñíóþòü ïî äâ³ ä³ëÿíêè, äå îðäèíàòè êðè-
âèõ y x( ) âèçíà÷àþòüñÿ íåîäíîçíà÷íî, ïðè÷îìó ä³ëÿíêè êðèâèõ, ÿê³ º áëèæ÷èìè äî
òî÷êè ( , )x y2 2 , ìàþòü öèêë³÷íèé õàðàêòåð.
Òîìó ïåðøîþ óìîâîþ äëÿ ïîøóêó ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè (3)–(7) º â³äñ³êàííÿ
òèõ çàéâèõ ðîçâ’ÿçê³â, ÿêèì íå â³äïîâ³äàþòü S-ïîä³áí³ êðèâ³. Öå ëåãêî çðîáèòè çà
äîïîìîãîþ îáìåæåííÿ çâåðõó íà äîâæèíó êðèâî¿. Òàê, íàïðèêëàä, ÿêùî äî ñèñ-
òåìè ð³âíÿíü (3)–(7) äîäàòè íåð³âí³ñòü S � 2, òî â³äñ³êàòèìóòüñÿ ðîçâ’ÿçêè 2, 3
òà 4 ³ç òàáë. 1.
Äðóãà âëàñòèâ³ñòü: ñèñòåìà (3)–(7) ìîæå áóòè ïîãàíî ìàñøòàáîâàíîþ (ñèí-
ãóëÿðíîþ). Íåõàé äîâæèíà êðèâî¿ S * �1000. Äëÿ òîãî, ùîá ó òî÷ö³ ( , )x y2 2 ãà-
ðàíòóâàòè áëèçüêèé äî íóëÿ êóò �2 , ïîòð³áíî, ùîá äëÿ ìàëîãî � âèêîíóâàëàñÿ
òàêà íåð³âí³ñòü:
� � � � �� �
a b
c
( ) ( )1000
3
1000
2
1000
3 2
. (9)
Íåð³âí³ñòü (9) îçíà÷àº, ùî êîìïîíåíòè ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè (3)–(7) áóäóòü âåëè-
÷èíàìè äóæå ð³çíèõ ïîðÿäê³â: a� áóäå ìàòè ïîðÿäîê 10 9� , b� — ïîðÿäîê 10 6� ,
à c� — ïîðÿäîê 10 3� . Öå âèñóâຠäîäàòêîâ³ âèìîãè äëÿ ìåòîäó ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñ-
òåìè íåë³í³éíèõ ð³âíÿíü.
Ó öüîìó âèïàäêó ìîæå äîïîìîãòè ëåìà 1 ç [12], ÿêà âñòàíîâëþº çâ’ÿçîê ðîç-
â’ÿçê³â âèõ³äíî¿ ñèñòåìè (3)–(7) òà ìàñøòàáîâàíî¿ ñèñòåìè, â ÿê³é êîîðäèíàòè òî-
÷îê äîìíîæóþòüñÿ íà îäíó é òó ñàìó âåëè÷èíó � � 0.
Ëåìà 1 (� � 0) [12]. ßêùî a� , b� , c� , S � òà sp
� º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3)–(7), òî
a a�� �� / �
3 , b b�� �� / �
2 , c c�� �� / � , S S�� �� � , s sp p
�� �� � (10)
º ðîçâ’ÿçêîì òàêî¿ ñèñòåìè ð³âíÿíü:
� � �x x
as bs
cs ds
S
2 1 1
3 2
0
3 2
� � � � �
�
�
�
�
�� cos , (11)
� � �y y
as bs
cs ds
S
2 1 1
3 2
0
3 2
� � � � �
�
�
�
�
�� sin , (12)
� �2 1
3 2
3 2
� � � �
aS bS
cS , (13)
� � �x x
as bs
cs dsp
sp
� � � � �
�
�
�
�
��1 1
3 2
0
3 2
cos , (14)
� �p
p p
p
as bs
cs� � � �1
3 2
3 2
. (15)
Çà äîïîìîãîþ ëåìè 1 ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è îòðèìàíèé ðîçâ’ÿçîê äëÿ äîá-
ðå ìàøòàáîâàíî¿ ñèñòåìè (äå óñ³ êîìïîíåíòè ðîçâ’ÿçêó ìàþòü îäèí ïîðÿäîê),
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
ëåãêî çíàõîäèòè â³äïîâ³äíèé éîìó ðîçâ’ÿçîê äëÿ ïîãàíî ìàñøòàáîâàíî¿ (ñèíãó-
ëÿðíî¿) ñèñòåìè. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî çíàéòè ðîçâ’ÿçîê äîáðå ìàñøòàáîâàíî¿ ñèñ-
òåìè (3)–(7) òà ïåðåðàõóâàòè ðîçâ’ÿçîê äëÿ ïîãàíî ìàñøòàáîâàíî¿ ñèñòåìè
(11)–(15) çà ôîðìóëîþ (10).
Çàóâàæèìî, ùî â òðîõè çì³íåíîìó âèãëÿä³ ñèñòåìó (3)–(7) ðîçãëÿíóòî ó ñòàò-
ò³ [10], äå íåâ³äîìó äîâæèíó sp çàì³íåíî ¿¿ íåâ³äîìîþ ÷àñòêîþ p ó çàãàëüí³é äîâ-
æèí³ S , òîáòî s pS pp � � �, 0 1. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè cïî÷àòêó ç
ð³âíÿíü (5) òà (7) âèðàæàþòü íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè a ³ c ÷åðåç íåâ³äîìèé êîåô³ö³ºíò b
òà íåâ³äîì³ äîâæèíè S , sp . ϳäñòàâëÿþ÷è ¿õ ó ð³âíÿííÿ (3), (4) òà (6), îòðèìóºìî ñèñ-
òåìó òðüîõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü ç òðüîìà íåâ³äîìèìè b, S , sp . Âèêîðèñòàííÿ ³òå-
ðàö³éíèõ ìåòîä³â äëÿ ïîøóêó ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè òðüîõ ð³âíÿíü óòðóäíþºòüñÿ òèì,
ùî âèðàçè äëÿ ï³ä³íòåãðàëüíèõ ôóíêö³é º ñêëàäíèìè.
Íèæ÷å ðîçãëÿíåìî ìåòîä, ÿêèé íå ìຠâêàçàíîãî íåäîë³êó. Ó éîãî îñíîâó ïî-
êëàäåíî ìîäèô³êàö³þ r-àëãîðèòìó [13] äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñïåö³àëüíî¿ çàäà÷³ ì³í³ì³çàö³¿
íåãëàäêî¿ ôóíêö³¿ (ñóìà ìîäóë³â íåâ’ÿçîê ñèñòåìè (3)–(7)) ç êîíòðîëåì îáìåæåíü íà
äîâæèíè S , sp äëÿ ãàðàíòóâàííÿ ¿õí³õ äîäàòíèõ äîïóñòèìèõ çíà÷åíü.
3. ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²ÉÍÀ ÇÀÄÀ×À ÒÀ ÀËÃÎÐÈÒÌ ¯¯ ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß
Ðîçãëÿíåìî óìîâíó çàäà÷ó ì³í³ì³çàö³¿ ñóìè ìîäóë³â ôóíêö³é íåâ’ÿçîê äëÿ
ð³âíÿíü (3)–(7), ÿêà ìຠòàêèé âèãëÿä: çíàéòè
f f a b c S s f a b c S sp
a b c S s
p
p
� � � � � �� �
�
�
�
( , , , , ) min ( , , , ,
, , , ,
) �
� �
�
�
�� �
� �| ( , , , ) | | ( , , , ) |f a b c S f a b c si
i
i p
i1
3
4
5
(16)
çà îáìåæåíü
S S Smin max� � , (17)
| |x x s Sp p� � �1 , (18)
� � � � � � �
�
�
�
2 3 2 2
11
3 3
3
2 2
2
a
i S
N
b
i S
N
c
iS
N
i N, , ,� , (19)
äå íåâ’ÿçêè äëÿ ð³âíÿíü (3)–(7) çàäàíî òàêèìè ôóíêö³ÿìè:
f a b c S x x
as bs
cs ds
S
1 2 1 1
3 2
0
3 2
( , , , ) cos� � � � � �
�
�
�
�
�� � , (20)
f a b c S y y
as bs
cs ds
S
2 2 1 1
3 2
0
3 2
( , , , ) sin� � � � � �
�
�
�
�
�� � , (21)
f a b c S
aS bS
cS3 2 1
3 2
3 2
( , , , ) � � � � �� � , (22)
f a b c s x x
as bs
cs dp p
sp
4 1 1
3 2
0
3 2
( , , , ) cos� � � � � �
�
�
�
�
�� � s, (23)
f a b c s
as bs
csp p
p p
p5 1
3 2
3 2
( , , , ) � � � � �� � , (24)
N — ê³ëüê³ñòü òî÷îê äèñêðåòèçàö³¿ ôóíêö³¿ � �( )s
as bs
cs� � � �1
3 2
3 2
íà ³íòåð-
âàë³ s S�[ , ]0 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 125
Òóò ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ (16) º íåãëàäêîþ òà îçíà÷ຠì³í³ì³çàö³þ ñóìè ìîäóë³â
ôóíêö³é (20)–(24) — ôóíêö³é íåâ’ÿçîê äëÿ ð³âíÿíü (3)–(7). Îáìåæåííÿ (17)
òà (18) ãàðàíòóþòü äîäàòí³ çíà÷åííÿ äëÿ äîâæèí S òà sp , ÿê³ º âåðõí³ìè ãðàíèöÿ-
ìè äëÿ âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ó ôóíêö³ÿõ íåâ’ÿçîê (20), (21) òà (23). Òóò
S x x y ymin ( ) ( )� � � �2 1
2
2 1
2 — ì³í³ìàëüíà â³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè ( , )x y1 1 òà
( , )x y2 2 , S Smax min� — ïàðàìåòðè äëÿ êåðóâàííÿ íèæíüîþ òà âåðõíüîþ ìåæàìè
äîâæèíè S . ×èì áëèæ÷èì äî S min º çíà÷åííÿ âåðõíüî¿ ìåæ³ S max , òèì ëåãøå äëÿ
ñèñòåìè (3)–(7) óíèêíóòè «öèêë³÷íèõ» ðîçâ’ÿçê³â (ðîçâ’ÿçêè 3 ³ 4 íà ðèñ. 4),
à îòæå, ëåãøå çíàéòè ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé âèçíà÷ຠS-ïîä³áíó êðèâó (ðîçâ’ÿçîê 1 íà
ðèñ. 3).
Îáìåæåííÿ (19) çàáåçïå÷óº ³ñíóâàííÿ ºäèíîãî ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó äëÿ çà-
äà÷³ (16)–(19). Âîíî âèêîðèñòîâóº äîïîâíåííÿ çàäà÷³ (16)–(18) äèñêðåòíèì àíà-
ëîãîì íåïåðåðâíîãî îáìåæåííÿ
� � � � � � � �
�
� �
�
2 3 2 2
1
3 2
( ) ,s
as bs
cs s S . (25)
Îáìåæåííÿ (25) îçíà÷àº, ùî êóòè íàõèëó äîòè÷íèõ ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³ êðèâî¿
íå âèõîäÿòü çà ìåæ³ çàäàíîãî ä³àïàçîíó � � �( ) [ / , / ]s � � 2 2 , òîáòî ôóíêö³ÿ y x( )
íà ³íòåðâàë³ [ , ]x x1 2 º îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíîþ. Öå â³äñ³êຠðîçâ’ÿçêè ñèñòå-
ìè (3)–(7), äëÿ ÿêèõ ³ñíóþòü òàê³ x x x�[ , ]1 2 , ùî îðäèíàòà y x( ) âèçíà÷àºòüñÿ
íåîäíîçíà÷íî (êðèâà 2 ³ç ðèñ. 3, îáèäâ³ êðèâ³ ³ç ðèñ. 4).
ßêùî â îïòèì³çàö³éí³é çàäà÷³ îïóñòèòè îáìåæåííÿ (19), òî îòðèìàºìî çàäà-
÷ó (16)–(18), ðîçãëÿíóòó â ñòàòò³ [12]. Äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü âåðõíüî¿ ìåæ³ S max
çàäà÷à (16)–(18) º áàãàòîåêñòðåìàëüíîþ çàäà÷åþ íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ.
ʳëüê³ñòü ¿¿ ãëîáàëüíèõ ì³í³ìóì³â âèçíà÷àºòüñÿ çíà÷åííÿì S max . Òàê, íàïðèêëàä,
ÿêùî S max � 2.0, òî äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (8) çàäà÷à (16)–(18) ìຠºäèíó òî÷êó ãëî-
áàëüíîãî ì³í³ìóìó, äâ³ òî÷êè ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó – ÿêùî S max � 2.5, òðè —
ÿêùî S max � 2.7, ÷îòèðè — ÿêùî S max � 3.0. Çàäà÷à (16)–(19) ìຠâñüîãî îäíó
òî÷êó ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó, ÿêà çá³ãàºòüñÿ ç ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3)–(7) ç íàé-
ìåíøîþ çàãàëüíîþ äîâæèíîþ êðèâî¿.
ßêùî â ðåçóëüòàò³ ïîøóêó ëîêàëüíîãî ì³í³ìóìó äëÿ çàäà÷³ (16)–(19) îòðè-
ìóºìî f � � 0, òî öå îçíà÷àº, ùî çíàéäåíî òî÷êó ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó
( , , , , )a b c S sp
� � � � � T , ÿêà º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3)–(7). ßêùî îòðèìóºìî f � � 0,
òî òî÷êà ( , , , , )a b c S sp
� � � � � T íå º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3)–(7). Öå ìîæå áóòè ÿê ó
ðàç³ â³äñóòíîñò³ ðîçâ’ÿçêó ó ñèñòåìè (3)–(7) çà îáìåæåíü (17), (18), òàê ³ òîä³,
êîëè àëãîðèòì çóïèíèòüñÿ â «íåîïòèìàëüí³é» òî÷ö³, âðàõîâóþ÷è, ùî äëÿ âåëè-
êèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà S max çàäà÷à (16)–(18) º áàãàòîåêñòðåìàëüíîþ.
Çàäà÷à (16)–(19) º çàäà÷åþ ì³í³ì³çàö³¿ íåãëàäêî¿ ôóíêö³¿, ÿêà âèçíà÷åíà íå
äëÿ âñ³õ çíà÷åíü S òà sp , à ò³ëüêè äëÿ òèõ, ÿê³ º äîäàòíèìè òà íàäàþòü çìîãó îá-
÷èñëþâàòè âèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè äëÿ ôóíêö³é f a b c S1 ( , , , ), f a b c S2 ( , , , ) òà
f a b c sp4 ( , , , ). Äëÿ çíàõîäæåííÿ òî÷êè ëîêàëüíîãî ì³í³ìóìó ó çàäà÷³ (16)–(18)
ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ ìîäèô³êàö³ºþ r-àëãîðèòìó [13, 14], ÿêà âðàõîâóº âêàçàíó
îñîáëèâ³ñòü çàäà÷³. Ó òî÷ö³, äå óçàãàëüíåíèé ãðà䳺íò ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ º íåâèçíà-
÷åíèì, ìîäèô³êàö³ÿ r-àëãîðèòìó âèêîðèñòîâóº óçàãàëüíåíèé ãðà䳺íò äî îäíîãî
³ç ïîðóøåíèõ îáìåæåíü (17), (18) ³ (19).
Àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ (16)–(19) ðåàë³çîâàíèé çà äîïîìîãîþ ìåòîäó
ìóëüòèñòàðòó òà octave-ôóíêö³¿ ralgb5a [15, 16] ³ çíàõîäèòü íàéêðàùèé ëîêàëü-
íèé ì³í³ìóì ö³ëüîâî¿ íåãëàäêî¿ ôóíêö³¿ çà äîïîìîãîþ çàïóñêó ìîäèô³êàö³¿ r-àë-
ãîðèòìó ³ç çàäàíî¿ ê³ëüêîñò³ ñòàðòîâèõ òî÷îê. Àëãîðèòì âèêîðèñòîâóº àíàë³òè÷-
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
íèé ñïîñ³á îá÷èñëåííÿ óçàãàëüíåíèõ ãðà䳺íò³â ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (16) òà ìåòîä
òðàïåö³é äëÿ îá÷èñëåííÿ ³íòåãðàë³â ÿê ó ôîðìóëàõ (20), (21) òà (23), òàê ³ ó ôîð-
ìóëàõ äëÿ óçàãàëüíåíèõ ãðà䳺íò³â.
Íàâåäåìî ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà ö³ëüîâî¿ ôóíê-
ö³¿ (16). Íåõàé âåêòîð g
f
a
f
b
f
c
f
S
f
s
f
p
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, , , ,
T
º óçàãàëüíåíèì ãðà䳺íòîì
ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ f a b c S s f a b c S f a b c sp i
i
i p
i
( , , , , ) | ( , , , ) | | ( , , , ) |� �
� �
�
1
3
4
5
� . Ïåðø³ òðè
êîìïîíåíòè óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
f
a
f
f
a
f
b
f
f
b
f
i
i
i
i
i
i
sign sign( ) , ( ) ,
1
5
1
5
�
�
�
��
�
c
f
f
c
i
i
i
sign ( )
1
5
, (26)
äå
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
a
s as bs
cs ds
S
1
3
1
3 2
0
3 3 2
sin � ,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
a
s as bs
cs ds
S
2
3
1
3 2
0
3 3 2
cos � ,
(27)
�
�
� �
f
a
S3
3
3
,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
a
s as bs
cs ds
sp
4
3
1
3 2
0
3 3 2
sin � ,
�
�
� �
f
a
sp5
3
3
;
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
b
s as bs
cs ds
S
1
2
1
3 2
0
2 3 2
sin � ,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
b
s as bs
cs ds
S
2
2
1
3 2
0
2 3 2
cos � ,
(28)
�
�
� �
f
b
S3
2
2
,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
b
s as bs
cs ds
sp
4
2
1
3 2
0
2 3 2
sin � ,
�
�
� �
f
b
sp5
2
2
;
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
c
s
as bs
cs ds
S
1
1
3 2
0
3 2
sin � ,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
c
s
as bs
cs ds
S
2
0
1
3 2
3 2
cos � ,
(29)
�
�
� �
f
c
S3 ,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
��
f
c
s
as bs
cs ds
sp
4
1
3 2
0
3 2
sin � ,
�
�
� �
f
c
sp
5 .
Äâ³ îñòàíí³ êîìïîíåíòè óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� �
f
S
f
f
S
f
s
f
f
s
i
i
i p
i
i
pi
sign sign( ) , ( )
1
3
4
5
, (30)
äå
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
f
S
aS bS
cS1
1
3 2
3 2
cos � ,
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
f
S
aS bS
cS2
1
3 2
3 2
sin � , (31)
�
�
� � �
f
S
aS bS c3 2 – ,
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
f
s
as bs
cs
p
p p
p
4
1
3 2
3 2
cos � ,
�
�
� � � �
f
s
as bs c
p
p p
5 2 . (32)
Ó òî÷ö³, äå óçàãàëüíåíèé ãðà䳺íò ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ º íåâèçíà÷åíèì, äëÿ ìî-
äèô³êàö³¿ r-àëãîðèòìó â³í çàì³íþºòüñÿ íà óçàãàëüíåíèé ãðà䳺íò äî îäíîãî ³ç ïî-
ðóøåíèõ äâîá³÷íèõ îáìåæåíü (17), (18) àáî (19). Äëÿ öüîãî âèêîðèñòîâóºìî
ø³ñòü ïîðóøåíèõ îáìåæåíü g ii ( ) , , ,� � �0 1 6� , ÿê³ âèáèðàºìî ó òàêèé ñïîñ³á:
g S S S1 ( ) min� � , g S S S2 ( ) max� � — äëÿ äâîá³÷íèõ îáìåæåíü (17) ,
g s x x sp p p3 1( ) | |� � � , g S s s Sp p4 ( , ) � � — äëÿ îáìåæåíü (18), g a b c S5 ( , , , ) �
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 127
� � � � � �
�
�
�
��
�
�
�
���
max
, ,i N
a
i S
N
b
i S
N
c
iS
N1
1
3 3
3
2 2
22 3 2�
�
� , g a b c S a
i S
Ni N
6
1
1
3 3
33
( , , , ) max
, ,
�
�
�
�
� �
� �
�
� � �
�
�
�
b
i S
N
c
iS
N
2 2
22 2
�
— äëÿ äâîá³÷íèõ îáìåæåíü (19). ßêùî âñ³ ø³ñòü îáìåæåíü
âèêîíóþòüñÿ, òîä³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ óçàãàëüíåíèé ãðà䳺íò ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (16),
ÿêèé îá÷èñëþºìî çà ôîðìóëàìè (26)–(32).
Îïèñàíèé àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ îïòèì³çàö³éíî¿ çàäà÷³ (16)–(19) ðåàë³çîâàíî ìî-
âîþ octave. Çà éîãî äîïîìîãîþ ìîæíà çíàõîäèòè ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè (3)–(7), ÿêèì
â³äïîâ³äàþòü S-ïîä³áí³ êðèâ³. ßêùî ó çàäà÷³ (16)–(19) îïóñòèòè îáìåæåííÿ (19), à öå
ð³âíîñèëüíî ³ãíîðóâàííþ ïîðóøåíèõ îáìåæåíü g5 ( )� òà g6 ( )� , òîä³ àëãîðèòì äëÿ âå-
ëèêèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà S max íàäຠçìîãó çíàõîäèòè ³ «öèêë³÷í³» ðîçâ’ÿçêè.
Òàê, ñàìå çà äîïîìîãîþ òàêîãî àëãîðèòìó áóëî çíàéäåíî âñ³ ÷îòèðè ðîçâ’ÿçêè, íàâå-
äåí³ ó òàáë. 1.
4. ÒÐÈ ÎÁ×ÈÑËÞÂÀËÜͲ ÅÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÈ
Íàâåäåìî ðåçóëüòàòè îá÷èñëþâàëüíèõ åêñïåðèìåíò³â, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ðîáîòó
àëãîðèòìó äëÿ òåñòîâîãî ïðèêëàäó (8) òà éîãî ìàñøòàáîâàíîãî âàð³àíòà ( )� �100
x y x y1 1 1 2 2 20 246 0 100 275 0� � �
� � �
, , ; , , ;� �
(33)
x p p� �70, � 0.209440 �
12 .
Äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (8) ãëîáàëüíèì ì³í³ìóìîì çàäà÷³ (16)–(19) º ºäèíà òî÷-
êà, äëÿ ÿêî¿ êîìïîíåíòè a b c S sp
� � � � �, , , , çá³ãàþòüñÿ ç ðîçâ’ÿçêîì 1 ñèñòåìè
(3)–(7) ³ç òàáë. 1. Äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (33) ãëîáàëüíèì ì³í³ìóìîì º òî÷êà ç êîì-
ïîíåíòàìè a a� � �� � 10 6 , b b� � �� � 10 4 , c c* *� � �10 2 , S S� �� � 100,
s sp p
� �� �100.
Ïåðøèé åêñïåðèìåíò ïîâ’ÿçàíèé ç äîñë³äæåííÿì çá³æíîñò³ àëãîðèòìó çà-
ëåæíî â³ä âèáîðó ñòàðòîâî¿ òî÷êè òà âåðõíüî¿ ìåæ³ S qSmax min� , äå q �{1.2, 1.5,
2.0, 3.0}. Êîìïîíåíòè ñòàðòîâî¿ òî÷êè äëÿ êîåô³ö³ºíò³â êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿
êðèâèíè a0 , b0 , c0 ãåíåðóâàëèñÿ çà äîïîìîãîþ octave-äàò÷èêà âèïàäêîâèõ ÷èñåë
rand(��seed��, 2020), à äëÿ äîâæèí S òà sp âèáèðàëèñÿ ð³âíèìè ¿õí³ì íèæí³ì ìå-
æàì S S x x y y0 2 1
2
2 1
2� � � � �min ( ) ( ) , ( ) | |s x xp p0 1� � . Êðèòåð³ºì óñï³øíîãî
ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ (16)–(19) áóëà âèáðàíà óìîâà, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, ÿêà
ì³í³ì³çóºòüñÿ, º ìåíøèì í³æ 10 6� . Íàéá³ëüø çíà÷èì³ ïàðàìåòðè r-àëãîðèòìó âè-
áèðàëèñÿ â³äïîâ³äíî äî ðåêîìåíäîâàíèõ â [16] äëÿ ì³í³ì³çàö³¿ íåãëàäêèõ ôóíê-
ö³é — êîåô³ö³ºíò ðîçòÿãó ïðîñòîðó � � 1.5, âåëè÷èíà ïî÷àòêîâîãî êðîêó h0 � 1.0,
êîåô³ö³ºíò çìåíøåííÿ êðîêó q0 � 1.0, òî÷í³ñòü çóïèíêè çà àðãóìåíòîì �x � �10 6 ,
ìàêñèìàëüíà ê³ëüê³ñòü ³òåðàö³é maxitn � 500.
Ó òàáë. 2 íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ïåðøîãî îá÷èñëþâàëüíîãî åêñïåðèìåíòó äëÿ
ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ (16)–(19) äëÿ 100 ñòàðòîâèõ òî÷îê, äå êîìïîíåíòè a0 , b0 , c0
íàëåæàëè ÷îòèðüîì ä³àïàçîíàì [ , ]�5 5 3 , [ , ]�25 25 3 , [ , ]�50 50 3 , [ , ]�100 100 3 . Ðîç-
ãëÿíóòî òðè ð³çíèõ ñöåíàð³¿. Çà ïåðøèì ñöåíàð³ºì çàäà÷ó ðîçâ’ÿçóâàëè äëÿ
âèõ³äíèõ äàíèõ (8), çà äðóãèì òà òðåò³ì ñöåíàð³ÿìè — äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (33).
Ó ïåðøîìó òà äðóãîìó ñöåíàð³ÿõ ñòàðòîâ³ òî÷êè âèáèðàëè îäíèìè é òèìè ñàìè-
ìè, à äëÿ òðåòüîãî ñöåíàð³þ ïåðø³ òðè êîìïîíåíòè ñòàðòîâèõ òî÷îê äîìíîæóâà-
ëè íà êîåô³ö³ºíòè { }10 10 106 4 2� � �, , , ÿê³ óçãîäæóþòüñÿ ç êîåô³ö³ºíòîì ìàñøòàáó
� �100 äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (33).
128 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
²ç òàáë. 2 âèäíî, ùî äëÿ äîáðå ìàñøòàáîâàíèõ äàíèõ ³ç 100 çàïóñê³â àëãî-
ðèòì çàâæäè çá³ãàºòüñÿ äî òî÷êè ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó çàäà÷³ (16)–(19), ÿêùî
ïåðø³ òðè êîìïîíåíòè ñòàðòîâî¿ òî÷êè íàëåæàòü ä³àïàçîíàì [ , ]�5 5 3 òà [ , ]�25 25 3 .
ßêùî ïåðø³ òðè êîìïîíåíòè íàëåæàòü ä³àïàçîíàì [ , ]�50 50 3 òà [ , ]�100 100 3 , òî
àëãîðèòì íå çàâæäè çá³ãàºòüñÿ äî òî÷êè ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó. Íàïðèêëàä, äëÿ
S Smax min� �2 òà ä³àïàçîíó [ , ]�100 100 3 àëãîðèòì çíàéøîâ ðîçâ’ÿçîê ó ø³ñòäåñÿ-
òè ï’ÿòè âèïàäêàõ ³ç ñòà, à â òðèäöÿòè ï’ÿòè âèïàäêàõ àëãîðèòì íå çì³ã çíàéòè
ðîçâ’ÿçêó òà çóïèíèâñÿ â òî÷êàõ, äå çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (16) º á³ëüøèì
íóëÿ. Öå çóìîâëåíî òèì, ùî ãëîáàëüíèé ì³í³ìóì ó çàäà÷³ (16)–(19) ºäèíèé ³ éîìó
â³äïîâ³äຠäîâæèíà S * � 1.05562, à ñòàðòîâà òî÷êà çíàõîäèòüñÿ äàëåêî â³ä òî÷êè
ì³í³ìóìó, çàâäÿêè ÷îìó ãðà䳺íòíèé ïðîöåñ ïðÿìóº äî ³íøîãî ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè,
ÿêîìó â³äïîâ³äຠñóòòºâî á³ëüøà äîâæèíà êðèâî¿. Òàê³ ðîçâ’ÿçêè ìîæíà çíàéòè,
ÿêùî âèáðàòè çíà÷íî çàâèùåíîþ âåðõíþ ìåæó S max òà ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó
(16)–(18), òîáòî íå âðàõîâóâàòè îáìåæåííÿ (19). Àëå öèì ðîçâ’ÿçêàì
â³äïîâ³äàþòü «öèêë³÷í³» êðèâ³ (äèâ. ðèñ. 4), ÿê³ íå çàäîâîëüíÿþòü óìîâè
ìîäåëþâàííÿ çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà òèïó Ôðàíêëÿ.
Äëÿ äðóãîãî òà òðåòüîãî ñöåíàð³¿â, êîëè âèõ³äí³ äàí³ (33) ïîãàíî ìàñøòàáî-
âàí³, íåìຠæîäíîãî âèïàäêó, ùîá àëãîðèòìó âäàëîñÿ óñï³øíî ðîçâ’ÿçàòè çàäà-
÷ó (16)–(18) ó âñ³õ âèïàäêàõ ³ç ñòà. Ïðè öüîìó ðåçóëüòàòè äëÿ òðåòüîãî ñöåíàð³þ
º êðàùèìè çà ðåçóëüòàòè äëÿ äðóãîãî. Öå ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî äëÿ òðåòüîãî ñöå-
íàð³þ ñòàðòîâà òî÷êà º áëèæ÷îþ äî òî÷êè ãëîáàëüíîãî ì³í³ìóìó, í³æ äëÿ äðóãî-
ãî ñöåíàð³þ. Ç ðåçóëüòàò³â ïåðøîãî åêñïåðèìåíòó âèïëèâàº, ùî êðàùå ðîçâ’ÿçó-
âàòè çàäà÷ó ç äîáðå ìàñøòàáîâàíèìè äàíèìè, í³æ ç ïîãàíî ìàñøòàáîâàíèìè äà-
íèìè, à ñòàðòîâó òî÷êó ñë³ä âèáèðàòè òàêîþ, ùîá ¿¿ ïåðøèõ òðè êîìïîíåíòè
áóëè ÿêîìîãà áëèæ÷èìè äî íóëÿ. Öå ï³äòâåðäæóþòü ðåçóëüòàòè äðóãîãî òà
òðåòüîãî îá÷èñëþâàëüíèõ åêñïåðèìåíò³â, íàâåäåí³ ó òàáë. 3 òà 4.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 129
Ò à á ë è ö ÿ 2 . ʳëüê³ñòü óñï³øíèõ ñòàðòîâèõ òî÷îê äëÿ òðüîõ ñöåíàð³¿â (ïåð-
øèé åêñïåðèìåíò, � �1 2 0� �
, � p � �
0 209440 12. )
ijàïàçîí q � 1.2 q � 1.5 q � 2.0 q � 3.0
x1 0� , y1 � 2.46, x y2 21� �, 2.75, xp � 0.7
[ , ]� 5 5 3 100/100 100/100 100/100 99/100
[ , ]�25 25 3 100/100 100/100 88/100 80/100
[ , ]�50 50 3 93/100 84/100 74/100 71/100
[ , ]�100 100 3 81/100 70/100 65/100 67/100
x y1 10� �, 246, x y xp2 2100 275 70� � �, ,
[ , ]� 5 5 3 95/100 95/100 95/100 95/100
[ , ]�25 25 3 87/100 88/100 85/100 81/100
[ , ]�50 50 3 86/100 70/100 70/100 73/100
[ , ]�100 100 3 78/100 64/100 60/100 62/100
x y1 10 246� �, , x y2 2100 275� �, , xp � 70, D � � � �diag { }10 10 106 4 2, ,
[ , ]� �5 5 3 D 98/100 98/100 98/100 98/100
[ , ]� �25 25 3 D 95/100 95/100 95/100 95/100
[ , ]� �50 50 3 D 92/100 92/100 92/100 92/100
[ , ]� �100 100 3 D 95/100 95/100 95/100 95/100
Ó òàáë. 3 íàâåäåíî âèòðàòè r-àëãîðèòìó (ê³ëüê³ñòü ³òåðàö³é / ê³ëüê³ñòü îá÷èñ-
ëåíü óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ / ê³ëüê³ñòü îá÷èñëåíü óçàãàëüíåíî-
ãî ãðà䳺íòà äî ïîðóøåíèõ îáìåæåíü) çàëåæíî â³ä âèáîðó ïàðàìåòð³â �, h0 , q1
äëÿ çíàõîäæåííÿ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (8) ç ï’ÿòüìà ð³çíèìè
êðèòåð³ÿìè çóïèíêè çà àðãóìåíòîì �x � � � � � �{ }10 10 10 10 104 6 8 10 12, , , , . Àëãîðèòì
â îáîõ âèïàäêàõ ñòàðòóâàâ ç îäí³º¿ é ò³º¿ ñàìî¿ òî÷êè ç êîìïîíåíòàìè a b0 0� �
� �c0 0, S x x y y0 2 1
2
2 1
2� � � �( ) ( ) , ( ) | |s x xp p0 1� � . Ç òàáëèö³ âèäíî, ùî çà-
âäÿêè âèáîðó ïàðàìåòð³â � � 2.0, h0 � 1.0, q1 � 0.95 ìîæíà äîñÿãíóòè ïðèñêîðåí-
íÿ r-àëãîðèòìó ìàéæå â äâà ðàçè ïîð³âíÿíî ç âèïàäêîì âèáîðó ïàðàìåòð³â
� � 1.5, h0 � 1.0, q1 � 1.0. Çàóâàæèìî, ùî õî÷à q1 � 0.95 íå ðåêîìåíäóºòüñÿ âèáè-
ðàòè äëÿ ì³í³ì³çàö³¿ íåãëàäêèõ ôóíêö³é, ó öüîìó âèïàäêó éîãî ìîæíà âèêîðèñòî-
âóâàòè, îñê³ëüêè ê³ëüê³ñòü íåâ³äîìèõ º íåâåëèêîþ.
Ó òàáë. 4 íàâåäåíî ïîð³âíÿííÿ âèòðàò r-àëãîðèòìó (çà ê³ëüê³ñòþ ³òåðàö³é —
itn, çà ê³ëüê³ñòþ îá÷èñëåíü óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ — nfg , çà
ê³ëüê³ñòþ îá÷èñëåíü óçàãàëüíåíîãî ãðà䳺íòà äî ïîðóøåíèõ îáìåæåíü — ng) äëÿ
çíàõîäæåííÿ S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ äëÿ äîáðå ìàñøòàáîâàíèõ äàíèõ (8) òà ïîãàíî
ìàñøòàáîâàíèõ äàíèõ (33). Âèòðàòè (äëÿ (8) / äëÿ (33)) íàâåäåíî äëÿ ï’ÿòüîõ êðè-
òåð³¿â çóïèíêè çà àðãóìåíòîì �x � � � � � �{ }10 10 10 10 105 6 7 8 9, , , , . Ó òàáë. 4 òàêîæ
íàâåäåíî àáñîëþòí³ â³äõèëåííÿ ì³æ êîìïîíåíòàìè ðîçâ’ÿçê³â äëÿ äîáðå ìàñøòà-
áîâàíèõ òà ïîãàíî ìàñøòàáîâàíèõ äàíèõ. Âîíè îá÷èñëþâàëèñÿ çà ôîðìóëàìè
�a a a a� � �� � �| | / | |106 , � b b b b� � �� � �| | / | |106 , � c c c c� � �� � �| | / | |106 ,
� S S S S� � �� � �| | / | |106 , � s s s sp p p p� � �� � �| | / | |106 . Ç òàáë. 4 âèäíî, ùî äëÿ
ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ç äîáðå ìàñøòàáîâàíèìè äàíèìè ïîòð³áíî ìàéæå ó äâà ðàçè
ìåíøå ³òåðàö³é òà ìàéæå â ÷îòèðè ðàçè ìåíøå îá÷èñëåíü óçàãàëüíåíîãî
ãðà䳺íòà, í³æ äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ç ïîãàíî ìàñøòàáîâàíèìè äàíèìè.
Ðåçóëüòàòè îá÷èñëþâàëüíèõ åêñïåðèìåíò³â ïîêàçóþòü, ùî ñòàðòîâó òî÷êó
ìîæíà âèáèðàòè ð³âíîþ ( , , , , | | )min0 0 0 1S x xp � T íåçàëåæíî â³ä ìàñøòàáó äàíèõ
çàäà÷³ (16)–(19). Ùîá çíàéòè ðîçâ’ÿçîê ³ç çàäàíîþ òî÷í³ñòþ çà ìåíøèé ÷àñ, êðà-
ùå ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó ç äîáðå ìàñøòàáîâàíèìè äàíèìè, í³æ ç ïîãàíî ìàñøòàáî-
âàíèìè äàíèìè. Ìàñøòàáóâàííÿ ìîæå â³ä³ãðàâàòè ñóòòºâó ðîëü äëÿ âèáîðó òîãî
130 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Ò à á ë è ö ÿ 3. Ïðèñêîðåííÿ ìîäèô³êàö³¿ r-àëãîðèòìó (äðóãèé åêñïåðèìåíò)
�x q �1.2 q �1.5 q �2.0 q �3.0
� � 1.5, h0 � 1.0, q1 � 1.0
10 4� 133/152/20 142/162/17 142/162/17 142/162/17
10 6� 198/243/20 197/232/17 197/232/17 197/232/17
10 8� 256/307/20 253/312/17 253/312/17 253/312/17
10 10� 302/366/20 303/372/17 314/385/17 289/355/17
10 12� 371/457/20 372/465/17 365/450/17 370/457/17
� � 2.0, h0 � 1.0, q1 � 0.95
10 4� 79/130/19 70/116/11 70/116/11 70/116/11
10 6� 113/179/19 103/154/11 103/154/11 103/154/11
10 8� 133/208/19 127/182/11 127/182/11 127/182/11
10 10� 165/258/19 146/205/11 146/205/11 146/205/11
10 12� 190/292/19 180/250/11 178/247/11 178/247/11
÷è ³íøîãî ïàðàìåòða ó ìîäåëþâàíí³ ïðîô³ë³â â ³òåðàö³éíîìó ðåæèì³ ç îãëÿäó íà
òå, ùî ìàñøòàá äîñòàòíüî âñòàíîâèòè âñüîãî îäèí ðàç, à çàäà÷ó ïîòð³áíî
ðîçâ’ÿçóâàòè áàãàòî ðàç³â.
5. ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÍÅ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÇÎÂͲØÍÜÎÃÎ ÊÎÍÒÓÐÓ
ÑÎÏËÀ ÔÐÀÍÊËß
Íàâåäåìî ðåçóëüòàòè îá÷èñëþâàëüíèõ åêñïåðèìåíò³â ùîäî âèêîðèñòàííÿ ðîçðîá-
ëåíîãî àëãîðèòìó äëÿ ïîáóäîâè ôðàãìåíò³â äîçâóêîâî¿ òà íàäçâóêîâî¿ ÷àñòèí
çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ. Âîíè ïîâ’ÿçàí³ ç ïðîºêòóâàííÿì ñîïëà ç
öåíòðàëüíèì ò³ëîì äëÿ òðüîõ çàäàíèõ ðåïåðíèõ òî÷îê çîâí³øíüîãî êîíòóðó, ÿê³
âèçíà÷àþòü äîçâóêîâó òà íàäçâóêîâó ÷àñòèíè ñîïëà òà ¿õí³ ñòèêóâàííÿ ó òî÷ö³
êðèòè÷íîãî ïåðåð³çó.  ðåïåðíèõ òî÷êàõ ïîõ³äí³ (êóòè íàõèëó äîòè÷íèõ)
äîð³âíþþòü íóëþ. Äëÿ öüîãî êîíòóðó çàäà÷³ (16)–(19) âèçíà÷àþòüñÿ âèõ³äíèìè
äàíèìè, äëÿ ÿêèõ âèêîíóºòüñÿ óìîâà | | / | |y y x x2 1 2 1 1� � �� , òîìó â³äïîâ³äí³
ôðàãìåíòàì êîíòóð³â S-ïîä³áí³ êðèâ³ º âèòÿãíóòèìè â³äíîñíî ãîðèçîíòàëüíî¿ îñ³.
Ïåðøèé åêñïåðèìåíò ïîâ’ÿçàíèé ç äîñë³äæåííÿì âïëèâó êóòà � p íà ôîðìó
S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ äëÿ òåñòîâîãî ïðèêëàäó (8), äëÿ ÿêîãî | | / | |y y x x2 1 2 1� � � 0.29.
Ó òàáë. 5 ïðåäñòàâëåíî òî÷êè ãëîáàëüíèõ ì³í³ìóì³â òðüîõ çàäà÷ äëÿ ð³çíèõ çíà÷åíü
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 131
Ò à á ë è ö ÿ 4. Âèòðàòè r-àëãîðèòìó íà ïîøóê ðîçâ’ÿçê³â äîáðå òà ïîãàíî ìàñ-
øòàáîâàíèõ çàäà÷ (òðåò³é åêñïåðèìåíò)
�x itn nfg ng �a �b �c �S �s p
10 5� 84/204 139/635 19/51 2.64e�06 7.82e�07 1.67e�07 2.26e�08 1.84e�07
10 6� 113/219 179/653 19/51 7.07e�07 5.73e�07 4.10e�07 1.07e�08 2.25e�08
10 7� 113/238 179/684 19/51 2.87e�08 2.19�08 1.58e�08 5.70e�09 3.34e�09
10 8� 133/247 208/695 19/51 3.00e�09 2.09e�09 1.43e�09 1.37e�10 6.72e�11
10 9� 137/258 212/718 19/51 1.06e�09 8.54e�10 6.10e�10 6.23e�11 1.40e�10
Ò à á ë è ö ÿ 5. Ãëîáàëüí³ ì³í³ìóìè òðüîõ çàäà÷ (16)–(19) äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ (8)
� p a
*
b
*
c
*
S
*
s p
*
16
4.0903 �7.3628 2.3632 1.0511 0.74714
12
7.9282 �11.4065 3.0756 1.0556 0.75399
8
11.5304 �15.2523 3.7636 1.0630 0.76259
Ðèñ. 5. Ãðàô³êè êðèâèõ y x( ) (à) òà êðèâèí k s as bs c( ) � � �2 (á) äëÿ òðüîõ ðîçâ’ÿçê³â ç òàáë. 5 äëÿ
çíà÷åíü �p �
16 (1), �p �
12 (2), �p �
8 (3)
1
1
2
2
33
x
y x( )
s
k s( )
à á
( , )x y2 2
( , )x y1 1
êóò³â � p �
{ }16 12 8, , . Âèêîðèñòîâóþ÷è ö³ òî÷êè çà ôîðìóëàìè (10), ëåãêî çíàéòè
ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè (3)–(7) äëÿ ìàñøòàáîâàíèõ âèõ³äíèõ äàíèõ (33), äå � �100.
Ðîçâ’ÿçêè ç òàáë. 5 ïðî³ëþñòðîâàíî íà ðèñ. 5 (x1 � 0.00, y1 � 2.46, x2 � 1.00,
y2 � 2.75, x p � 0.7, � �1 2 0� �
), äå ë³âîðó÷ íàâåäåíî ãðàô³êè êðèâèõ (ðèñ. 5, à),
à ïðàâîðó÷ — ãðàô³êè â³äïîâ³äíèõ êðèâèí (ðèñ. 5, á). Ç ãðàô³ê³â êðèâèí âèäíî,
ùî äëÿ äâîëàíêîâèõ êðèâèõ 1 òà 2 çíàêè êðèâèíè çì³íþþòüñÿ ò³ëüêè â îäí³é
òî÷ö³ (òî÷êà ïåðåãèíó), ùî äîâîäèòü ¿õíþ S-ïîä³áí³ñòü. Äëÿ êðèâî¿ 3 çíàê êðèâè-
íè çì³íþºòüñÿ ó äâîõ òî÷êàõ (â³äì³÷åí³ íà ðèñ. 5, á), òîìó âîíà íå º S-ïîä³áíîþ.
Çàóâàæèìî, ùî ³ç ãðàô³ê³â êðèâèõ òàêèé âèñíîâîê çðîáèòè íå ìîæíà, îñê³ëüêè
óñ³ òðè êðèâ³ âèãëÿäàþòü ÿê S-ïîä³áí³.
Äðóãèé åêñïåðèìåíò ïîâ’ÿçàíèé ç ïîáóäîâîþ äâîõ âàð³àíò³â êðèâèõ äëÿ äîçâó-
êîâî¿ òà íàäçâóêîâî¿ ÷àñòèí çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà çà òðüîìà çàäàíèìè ðåïåð-
íèìè òî÷êàìè: â òî÷ö³ A x yA A( , )� �0 295 ïî÷èíàºòüñÿ äîçâóêîâà ÷àñòèíà, òî÷êà
132 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Ò à á ë è ö ÿ 6. Ðîçâ’ÿçêè äëÿ äîçâóêîâî¿ (x1 � 0.00, y1 � 2.95, x2 � 2.16, y2 � 2.46,
x p � 0.7) òà íàäçâóêîâî¿ (x1 � 2.16, y1 � 2.46, x2 � 6.38, y2 � 2.75, x p � 5.0) ÷àñ-
òèí ñîïëà
� p a
*
b
*
c
*
S
*
s p
*
Äîçâóêîâà ÷àñòèíà
�
12 0.53981 � 0.66700 � 0.15169 2.2312 0.70440
�
8 0.97384 �1.65380 0.22102 2.2439 0.70109
Íàäçâóêîâà ÷àñòèíà
4
0.021423 � 0.13663 0.16123 4.2327 2.8517
2
0.057183 � 0.28816 0.26827 4.2372 2.8571
Ðèñ. 6. Ãðàô³êè êðèâèõ (a) òà êðèâèí (á) äëÿ ðîçâ’ÿçê³â ç òàáë. 6
� p � �
12 (1)
� p � �
8 (2)
� p �
4 (1)
� p �
2 (2)
� p � �
12 (1)
� p � �
8 (2)
� p �
4 (1)
� p �
2 (2)
1
2
2
1
2 1
2
1
Äîçâóêîâà ÷àñòèíà
Äîçâóêîâà ÷àñòèíà
Íàäçâóêîâà ÷àñòèíà
Íàäçâóêîâà ÷àñòèíà
x x
xx
à
á
y x( ) y x( )
k x( ) k x( )
B x yB B( , )� �216 246 º òî÷êîþ êðèòè÷íîãî ïåðåð³çó (÷èñëî Ìàõà M �1), ó òî÷ö³
C x yC C( , )� �638 275 çàê³í÷óºòüñÿ íàäçâóêîâà ÷àñòèíà. Ó òàáë. 6 íàâåäåíî òî÷êè
ãëîáàëüíèõ ì³í³ìóì³â äëÿ çàäà÷ (16)–(19) ç âèõ³äíèìè äàíèìè, äå êîîðäèíàòè òî÷îê
çìåíøóâàëèñÿ â � �100 ðàç. Ðîçãëÿíóòî äâà âàð³àíòè êóò³â � p ïðè àáñöèñ³ x p , ÿêà
äëÿ äîçâóêîâî¿ ÷àñòèíè âèáèðàëàñÿ áëèæ÷îþ äî àáñöèñè òî÷êè A, à äëÿ íàäçâóêîâî¿
÷àñòèíè — áëèæ÷îþ äî àáñöèñè òî÷êè C.
Ãðàô³÷íó ³ëþñòðàö³þ ðîçâ’ÿçê³â íàâåäåíî íà ðèñ. 6, äå ïðåäñòàâëåíî ãðàô³êè
êðèâèõ äëÿ äîçâóêîâîãî òà íàäçâóêîâîãî ôðàãìåíò³â êîíòóðó (ðèñ. 6, à), à òàêîæ
ãðàô³êè êðèâèí, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü öèì êðèâèì (ðèñ. 6, á). Êðèâ³ 1 äëÿ îáîõ ÷àñòèí
êîíòóðó º S-ïîä³áíèìè, äëÿ íèõ êðèâèíè çì³íþþòü çíàê ò³ëüêè â îäí³é òî÷ö³.
Êðèâ³ 2 íå º S-ïîä³áíèìè, äëÿ íèõ êðèâèíà çì³íþº çíàê â äâîõ òî÷êàõ (ðèñ. 6, á).
Ïðîâåäåí³ îá÷èñëþâàëüí³ åêñïåðèìåíòè äëÿ ïðîºêòóâàííÿ ôðàãìåíò³â äîçâó-
êîâî¿ òà íàäçâóêîâî¿ ÷àñòèí çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ ïîêàçàëè åôåê-
òèâí³ñòü ðîçðîáëåíîãî àëãîðèòìó äëÿ ïîáóäîâè äâîëàíêîâèõ S-ïîä³áíèõ êðèâèõ.
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Ðîçðîáëåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü, àëãîðèòì òà ïðîãðàìíå çàáåçïå÷åííÿ äëÿ çà-
äà÷³ ïîáóäîâè S-ïîä³áíî¿ êðèâî¿ â íàòóðàëüí³é ïàðàìåòðèçàö³¿, ÿêà ïðîõîäèòü
÷åðåç äâ³ çàäàí³ òî÷êè ³ç çàäàíèìè êóòàìè íàõèëó äîòè÷íèõ ó íèõ òà çàáåçïå-
÷óº çàäàíèé êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ â òî÷ö³ ³ç çàäàíîþ àáñöèñîþ. Íàâåäåíî ñèñ-
òåìó íåë³í³éíèõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü äëÿ êâàäðàòè÷íî¿ êðèâèíè, äîñë³äæåíî ¿¿
âëàñòèâîñò³, îïèñàíî â³äïîâ³äíó çàäà÷ó ì³í³ì³çàö³¿ íåãëàäêî¿ ôóíêö³¿ òà àëãî-
ðèòì ¿¿ ðîçâ’ÿçàííÿ. Àëãîðèòì ´ðóíòóºòüñÿ íà ìîäèô³êàö³¿ ìåòîäó ç ðîçòÿãîì
ïðîñòîðó â íàïðÿì³ ð³çíèö³ äâîõ ïîñë³äîâíèõ óçàãàëüíåíèõ ãðà䳺íò³â. Ïðîâå-
äåíî îá÷èñëþâàëüí³ åêñïåðèìåíòè, ÿê³ ïîêàçàëè åôåêòèâí³ñòü ðîçðîáëåíîãî
ìåòîäó òà àëãîðèòìó äëÿ ïðîºêòóâàííÿ ôðàãìåíò³â äîçâóêîâî¿ òà íàäçâóêîâî¿
÷àñòèí çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà Ôðàíêëÿ.
Ðîçðîáëåíèé àëãîðèòì ïîáóäîâè çîâí³øíüîãî êîíòóðó ñîïëà çà äîïîìîãîþ
S-ïîä³áíèõ êðèâèõ ç âèêîðèñòàííÿì íàòóðàëüíî¿ ïàðàìåòðèçàö³¿ íàäຠçìîãó êå-
ðóâàòè ôîðìîþ êîíòóðó çà äîïîìîãîþ ì³í³ìàëüíî¿ ê³ëüêîñò³ ïàðàìåòð³â (êóòè
íàõèëó äîòè÷íèõ â òî÷êàõ ç â³äîìèìè àáñöèñàìè ó äîçâóêîâ³é òà íàäçâóêîâ³é
÷àñòèíàõ). Ïðè öüîìó êðèâèíà êîíòóðó çì³íþºòüñÿ ïëàâíî, çàáåçïå÷óþ÷è òèì ñà-
ìèì, çîêðåìà, íåîáõ³äí³ ãåîìåòðè÷í³ òà ãàçîäèíàì³÷í³ âëàñòèâîñò³ êîíòóðó.
Îá÷èñëþâàëüí³ åêñïåðèìåíòè ï³äòâåðäæóþòü ñò³éêó ðîáîòó àëãîðèòìó äëÿ äîáðå
ìàñøòàáîâàíèõ âèõ³äíèõ äàíèõ êîíòóðó, ÿêèé ïðîºêòóºòüñÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è
îòðèìàíèé ðîçâ’ÿçîê çà ôîðìóëàìè (10), ëåãêî çíàéòè ðîçâ’ÿçêè ç íåîáõ³äíîþ
òî÷í³ñòþ äëÿ ïîãàíî ìàñøòàáîâàíèõ âèõ³äíèõ äàíèõ.
Çàïðîïîíîâàíèé ï³äõ³ä äî ïîáóäîâè S-ïîä³áíîãî êîíòóðó ïåðåäáà÷àºòüñÿ âèêî-
ðèñòàòè äëÿ ðîçðîáëåííÿ ãåîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ ïîáóäîâè çîâí³øíüîãî òà
âíóòð³øíüîãî êîíòóð³â ñîïëà ç öåíòðàëüíèì ò³ëîì. Ïðîºêòóâàííÿ ñîïëà ç öåíòðàëü-
íèì ò³ëîì º îäí³ºþ ç àêòóàëüíèõ çàäà÷ äëÿ ï³äâèùåííÿ åêñïëóàòàö³éíèõ âëàñòèâîñ-
òåé ñó÷àñíèõ àâ³àö³éíèõ äâèãóí³â, à ñàìå äëÿ ï³äâèùåííÿ òÿãîâèõ òà åíåðãåòè÷íèõ
õàðàêòåðèñòèê äâèãóí³â çà çàäàíèõ îáìåæåíü íà ãàáàðèòè òà ìàñó ñîïëà [17]. Äëÿ çà-
áåçïå÷åííÿ çàäàíèõ ðåæèì³â ðîáîòè äâèãóíà, ùî ïîâ’ÿçàí³ ç õàðàêòåðèñòèêàìè
ãîðëà ñîïëà, àêòóàëüíîþ º çàäà÷à êåðóâàííÿ ïåðåì³ùåííÿì öåíòðàëüíîãî ò³ëà, ÿêà
çóìîâëþº ïîòðåáó â ðîçâ’ÿçàíí³ îáåðíåíèõ çàäà÷ äëÿ åë³ïòè÷íèõ (ó äîçâóêîâ³é îá-
ëàñò³) òà ã³ïåðáîë³÷íèõ (ó íàäçâóêîâ³é îáëàñò³) ñèñòåì ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ. Äëÿ
ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíèõ çàäà÷ ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ ãðà䳺íòíèìè ïðîöåäóðàìè
Ñåð㳺íêà–Äåéíåêè [18], ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç ðåàë³çàö³ºþ ãðà䳺íòíèõ ìåòîä³â Àë³ôàíî-
âà çà äîïîìîãîþ ïðÿìèõ òà ñïðÿæåíèõ çàäà÷ [19, 20]. ßêùî ïðè öüîìó ãðà䳺íòí³
ìåòîäè Àë³ôàíîâà çàì³íèòè íà ãðà䳺íòí³ ìåòîäè Øîðà ç ïåðåòâîðåííÿì ïðîñòî-
ðó [21, 14], òî çá³æí³ñòü ïðîöåäóð Ñåð㳺íêà–Äåéíåêè ìîæíà ïðèøâèäøèòè.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 133
Ðîçðîáëåí³ ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü, àëãîðèòì òà ïðîãðàìíå çàáåçïå÷åííÿ ìîæóòü
áóòè âèêîðèñòàí³ äëÿ ïðîô³ëþâàííÿ ôðàãìåíò³â ñîïåë òà ïåðåõ³äíèõ êàíàë³â ðåàê-
òèâíèõ äâèãóí³â [22]. Ïîðÿä ç ìåòîäîì Áåçüº–Áåðíøòåéíà ðîçðîáëåíèé àëãîðèòì
ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ ïîáóäîâè ôðàãìåíò³â ïðîô³ë³â ïåðåõ³äíèõ êàíàë³â
çì³ííîãî ïåðåð³çó ç íåîáõ³äíèìè ãåîìåòðè÷íèìè âëàñòèâîñòÿìè. Òàê, íàïðèêëàä,
çà éîãî äîïîìîãîþ ìîæíà ìîäåëþâàòè ôðàãìåíòè ïðîô³ë³â, ÿê³ ïðåäñòàâëÿþòüñÿ
îïóêëèìè (óâ³ãíóòèìè) ôóíêö³ÿìè, ÿê ìîíîòîííî çðîñòàþ÷èìè, òàê ³ ìîíîòîííî
ñïàäíèìè. Âèá³ð àáñöèñè x p òà êóòà � p íàäຠçìîãó êåðóâàòè ôîðìîþ êðèâî¿ ó òà-
êèé ñïîñ³á, ùîá ó áàçèñíèõ (ðåïåðíèõ) òî÷êàõ õàðàêòåðèñòèêè êðèâî¿ â³äïîâ³äàëè
çàäàíèì õàðàêòåðèñòèêàì ïðîô³ëþ, ùî ïðîºêòóºòüñÿ.
Àâòîðè âäÿ÷í³ ñï³âðîá³òíèêàì ÄÏ «²â÷åíêî-Ïðîãðåñ» гçíèêó Ñ.Á.,
ϳö³ Î.Ë., Êàðïåíêó À.Ì. çà óâàãó äî ðîáîòè òà êîðèñí³ ïîðàäè.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Àëåìàñîâ Â.Å., Äðåãàëèí À.Ô., Òèøèí À.Ï. Òåîðèÿ ðàêåòíûõ äâèãàòåëåé. Ìîñêâà: Ìàøèíîñ-
òðîåíèå, 1989. 464 ñ.
2. Ìåëüíèêîâ Ä.À., Ïèðóìîâ Ó.Ã., Ñåðãèåíêî À.À. Ñîïëà ðåàêòèâíûõ äâèãàòåëåé. Àýðîìåõàíèêà
è ãàçîâàÿ äèíàìèêà. Ìîñêâà: Íàóêà, 1976. Ñ. 57–75.
3. Ôðàíêëü Ô.È. Ê òåîðèè ñîïåë Ëàâàëÿ. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. Ìàòåì. 1945. Ò. 9, ¹ 5.
Ñ. 387–422.
4. Ñåðãèåíêî À.À., Ñåìåíîâ Â.Â., Ñîáà÷êèí À.À. Âûáîð îïòèìàëüíûõ ðàçìåðîâ è êîíòóðà êðóã-
ëîãî ñîïëà. Ìîñêâà: Èçä-âî ÌÀÈ, 2004. 60 ñ.
5. Ìèõàéëåíêî Â., Óñòåíêî Ñ. Ðîëü ïðèêëàäíîé ãåîìåòðèè â ïîâûøåíèè ýôôåêòèâíûõ ïîêàçàòå-
ëåé òóðáîìàøèí. Ãåîìåòðè÷íå ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. 2016. ¹ 1. Ñ. 82–86.
6. Ðàøåâñêèé Ï.Ê. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Ìîñêâà: Ãîñòåõèçäàò, 1956. 420 ñ.
7. Ìèùåíêî À.Ñ. Ôîìåíêî À.Ò. Êðàòêèé êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè. Ìîñ-
êâà: Ôèçìàòëèò, 2004. 304 ñ.
8. Áîðèñåíêî Â., Àãàðêîâ Î., Ïàëüêî Ê., Ïàëüêî Ì. Ìîäåëþâàííÿ ïëîñêèõ êðèâèõ ó íàòóðàëüí³é
ïàðàìåòðèçàö³¿. Ãåîìåòðè÷íå ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. 2016. ¹ 1. Ñ. 21–27.
9. Borisenko V., Ustenko S., Ustenko I., Kuzma K. Development of a method for geometrical modeling
of the airfoil profile of an axial turbomachine blade. Eastern-European Journal of Enterprise
Technologies. 2019. Vol 5, N 1 (101). P. 29–38. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2019.180915.
10. Áîðèñåíêî Â.Ä., Óñòåíêî Ñ.À., Óñòåíêî ².Â. Ãåîìåòðè÷íå ìîäåëþâàííÿ s-ïîä³áíèõ ñêåëåòíèõ
ë³í³é ïðîô³ë³â ëîïàòîê îñüîâèõ êîìïðåñîð³â. Âåñòíèê äâèãàòåëåñòðîåíèÿ. 2018. ¹ 1. Ñ. 45–52.
https://doi.org/10.15588/1727-0219-2018-1-7.
11. Ãîëîâàíîâ Í.Í. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìîñêâà: Èç-âî ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòå-
ðàòóðû, 2002. 472 ñ.
12. Ñòåöþê Ï.²., Òêà÷åíêî Î.Â., Ãðèöàé Î.Ë. Äî ïîáóäîâè çîâí³øíüîãî êîíòóðà ñîïëà Ôðàíêëÿ çà
êâàäðàòè÷íîþ êðèâèíîþ. ʳáåðíåòèêà òà êîìï’þòåðí³ òåõíîëî㳿. 2020. ¹ 1. Ñ. 23–31.
13. Øîð Í.Ç., Ñòåöþê Ï.È. Èñïîëüçîâàíèå ìîäèôèêàöèè r-àëãîðèòìà äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî ìè-
íèìóìà ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé. àíàëèç. 1997. Ò. 33, ¹ 4. C. 28–49.
14. Stetsyuk P.I. Shor’s r-algorithms: Theory and practice. In: Optimization Methods and Applications:
In Honor of the 80th Birthday of Ivan V. Sergienko. Butenko S., Pardalos P.M., Shylo V. (Eds.).
Springer, 2017. P. 495–520.
15. Ñòåöþê Ï.È. Òåîðèÿ è ïðîãðàììíûå ðåàëèçàöèè r-àëãîðèòìîâ Øîðà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. 2017. Ò. 53, ¹ 5. Ñ. 43–57.
16. Ñòåöþê Ï.². Êîìï’þòåðíà ïðîãðàìà «Octave-ïðîãðàìà ralgb5a: r( )� -àëãîðèòì ç àäàïòèâíèì
êðîêîì». Ñâ³äîöòâî ïðî ðåºñòðàö³þ àâòîðñüêîãî ïðàâà íà òâ³ð ¹ 85010. Óêðà¿íà. ̳í³ñòåðñòâî
åêîíîì³÷íîãî ðîçâèòêó ³ òîðã³âë³. Äåðæàâíèé äåïàðòàìåíò ³íòåëåêòóàëüíî¿ âëàñíîñò³. Äàòà
ðåºñòðàö³¿ 29.01.2019.
17. Heath C.M., Gray J.S., Park M.A., Nielsen E.J., Carlson J-R. Aerodynamic shape optimization of
a dual-stream supersonic plug nozzle. Proc. 53rd AIAA Aerospace Sciences Meeting (5–9 January
2015, Kissimmee, Florida, USA). Kissimmee, Florida, USA, 2015. 15 p. https://doi.org/10.2514/
6.2015-1047.
18. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions.
Shor N.Z. (Ed.). New York: Kluwer Akad. Publ., 2005. 400 p.
134 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
19. Ñåðãèåíêî È.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. Ðåøåíèå ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíî-
ãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2007. Ò. 43, ¹ 4.
C. 49–72.
20. Ñåðãèåíêî È.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñ-
êèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2007.
Ò. 43, ¹ 5. C. 48–71.
21. Ñåðãèåíêî È.Â., Ñòåöþê Ï.È. Î òðåõ íàó÷íûõ èäåÿõ Í.Ç. Øîðà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé
àíàëèç. 2012. Ò. 48, ¹ 1. C. 4–22.
22. Êðàéêî À.À. Ïðîôèëèðîâàíèå ñîïåë è ïåðåõîäíûõ êàíàëîâ ðåàêòèâíûõ äâèãàòåëåé: äèñ. …
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê: 01.02.05. Ìîñêâà, 2014. 151 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 16.06.2020
Ï.È. Ñòåöþê, À.Â. Òêà÷åíêî, Î.Í. Õîìÿê, Î.Ë. Ãðèöàé
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÍÅØÍÅÃÎ ÊÎÍÒÓÐÀ ÑÎÏËÀ ÔÐÀÍÊËß Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ
S-ÎÁÐÀÇÍÛÕ ÊÐÈÂÛÕ Ñ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÌ ÇÀÊÎÍÎÌ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÊÐÈÂÈÇÍÛ
Àííîòàöèÿ. Ðàçðàáîòàíû ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, àëãîðèòì è ïðîãðàììíîå
îáåñïå÷åíèå äëÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ S-îáðàçíîé êðèâîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
äâå çàäàííûå òî÷êè ñ çàäàííûìè óãëàìè íàêëîíà êàñàòåëüíûõ â íèõ è îáåñ-
ïå÷èâàþùåé çàäàííûé óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé â òî÷êå ñ çàäàííîé àá-
ñöèññîé. Äëÿ óïðàâëåíèÿ òî÷êîé ïåðåãèáà S-îáðàçíîé êðèâîé ñ êâàäðàòè÷-
íûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ êðèâèçíû â íàòóðàëüíîé ïàðàìåòðèçàöèè èñ-
ïîëüçóåòñÿ óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé â òî÷êå ñ çàäàííîé àáñöèññîé.
Àëãîðèòì îñíîâàí íà ìîäèôèêàöèè ìåòîäà ñ ðàñòÿæåíèåì ïðîñòðàíñòâà
â íàïðàâëåíèè ðàçíîñòè äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ îáîáùåííûõ ãðàäèåíòîâ.
Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè ýôôåêòèâíîñòü ðàçðàáîòàííîãî àë-
ãîðèòìà äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ âíåøíåãî êîíòóðà ñîïëà Ôðàíêëÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âíåøíèé êîíòóð ñîïëà, S-îáðàçíàÿ êðèâàÿ, íàòóðàëüíàÿ
ïàðàìåòðèçàöèÿ, êâàäðàòè÷íàÿ êðèâèçíà, íåãëàäêàÿ îïòèìèçàöèÿ, r-àëãîðèòì.
P.I. Stetsyuk, O.V. Tkachenko, Î.M. Khomyak, O.L. Gritsay
CONSTRUCTING THE EXTERNAL CONTOUR OF THE FRANKL NOZZLE USING S-SHAPED
CURVES WITH QUADRATIC DISTRIBUTION OF THE CURVATURE
Abstract. A mathematical model, algorithm, and software are developed for the
problem of constructing an S-shaped curve, which passes through two given
points with given tangent inclination angles at them and provides a given
tangent inclination angle at a point with a given abscissa. To control the
inflection point of the S-shaped curve with quadratic distribution of curvature in
natural parameterization, the tangent inclination angle at the point with the
known abscissa is used. The algorithm is based on a modification of the method
with space dilation in the direction of the difference of two successive
generalized gradients. Computational experiments have shown the efficiency of
the developed algorithm for constructing the external contour of a Frankl-type
nozzle.
Keywords: external nozzle contour, S-shaped curve, natural parameterization,
quadratic curvature, nonsmooth optimization, r-algorithm.
Ñòåöþê Ïåòðî ²âàíîâè÷,
äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, çàâ³äóâà÷ â³ää³ëó ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè,
Êè¿â, e-mail: stetsyukp@gmail.com.
Òêà÷åíêî Îëåêñàíäð Âîëîäèìèðîâè÷,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, íà÷àëüíèê â³ää³ëó ÄÏ «²â÷åíêî-Ïðîãðåñ», Çàïîð³ææÿ,
e-mail: avt2007@outlook.com.
Õîì’ÿê Îëüãà Ìèêîëà¿âíà,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: khomiak.olha@gmail.com.
Ãðèöàé Îëüãà Ëóê’ÿí³âíà,
³íæåíåð-ïðîãðàì³ñò ÄÏ «²â÷åíêî-Ïðîãðåñ», Çàïîð³ææÿ, e-mail: grlelya@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 135
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190521 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:11:31Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стецюк, П.I. Ткаченко, О.В. Хом’як, О.М. Грицай, О.Л. 2023-06-11T18:06:38Z 2023-06-11T18:06:38Z 2020 Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини / П.I. Стецюк, О.В. Ткаченко, О.М. Хом’як, О.Л. Грицай // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 120–135. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190521 519.85 Розроблено математичну модель, алгоритм та програмне забезпечення для задачі побудови S-подібної кривої, яка проходить через дві задані точки із заданими кутами нахилу дотичних у них та забезпечує заданий кут нахилу дотичної в точці із заданою абсцисою. Для керування точкою перегину S-подібної кривої з квадратичним законом розподілу кривини в натуральній параметризації використовується кут нахилу дотичної в точці із заданою абсцисою. Алгоритм ґрунтується на модифікації методу з розтягом простору в напрямі різниці двох послідовних узагальнених градієнтів. Обчислювальні експерименти показали ефективність розробленого алгоритму для проєктування зовнішнього контуру сопла Франкля. Разработаны математическая модель, алгоритм и программное обеспечение для задачи построения S-образной кривой, проходящей через две заданные точки с заданными углами наклона касательных в них и обеспечивающей заданный угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой. Для управления точкой перегиба S-образной кривой с квадратичным законом распределения кривизны в натуральной параметризации используется угол наклона касательной в точке с заданной абсциссой. Алгоритм основан на модификации метода с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных обобщенных градиентов. Вычислительные эксперименты показали эффективность разработанного алгоритма для проектирования внешнего контура сопла Франкля. A mathematical model, algorithm, and software are developed for the problem of constructing an S-shaped curve, which passes through two given points with given tangent inclination angles at them and provides a given tangent inclination angle at a point with a given abscissa. To control the inflection point of the S-shaped curve with quadratic distribution of curvature in natural parameterization, the tangent inclination angle at the point with the known abscissa is used. The algorithm is based on a modification of the method with space dilation in the direction of the difference of two successive generalized gradients. Computational experiments have shown the efficiency of the developed algorithm for constructing the external contour of a Frankl-type nozzle. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини Построение внешнего контура сопла франкля с использованием S-образных кривых с квадратичным законом распределения кривизны Constructing the external contour of the frankl nozzle using S-shaped curves with quadratic distribution of the curvature Article published earlier |
| spellingShingle | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини Стецюк, П.I. Ткаченко, О.В. Хом’як, О.М. Грицай, О.Л. Системний аналіз |
| title | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| title_alt | Построение внешнего контура сопла франкля с использованием S-образных кривых с квадратичным законом распределения кривизны Constructing the external contour of the frankl nozzle using S-shaped curves with quadratic distribution of the curvature |
| title_full | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| title_fullStr | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| title_full_unstemmed | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| title_short | Побудова зовнішнього контуру сопла Франкля з використанням S-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| title_sort | побудова зовнішнього контуру сопла франкля з використанням s-подібних кривих із квадратичним законом розподілу кривини |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190521 |
| work_keys_str_mv | AT stecûkpi pobudovazovníšnʹogokonturusoplafranklâzvikoristannâmspodíbnihkrivihízkvadratičnimzakonomrozpodílukrivini AT tkačenkoov pobudovazovníšnʹogokonturusoplafranklâzvikoristannâmspodíbnihkrivihízkvadratičnimzakonomrozpodílukrivini AT homâkom pobudovazovníšnʹogokonturusoplafranklâzvikoristannâmspodíbnihkrivihízkvadratičnimzakonomrozpodílukrivini AT gricaiol pobudovazovníšnʹogokonturusoplafranklâzvikoristannâmspodíbnihkrivihízkvadratičnimzakonomrozpodílukrivini AT stecûkpi postroenievnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemsobraznyhkrivyhskvadratičnymzakonomraspredeleniâkrivizny AT tkačenkoov postroenievnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemsobraznyhkrivyhskvadratičnymzakonomraspredeleniâkrivizny AT homâkom postroenievnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemsobraznyhkrivyhskvadratičnymzakonomraspredeleniâkrivizny AT gricaiol postroenievnešnegokonturasoplafranklâsispolʹzovaniemsobraznyhkrivyhskvadratičnymzakonomraspredeleniâkrivizny AT stecûkpi constructingtheexternalcontourofthefranklnozzleusingsshapedcurveswithquadraticdistributionofthecurvature AT tkačenkoov constructingtheexternalcontourofthefranklnozzleusingsshapedcurveswithquadraticdistributionofthecurvature AT homâkom constructingtheexternalcontourofthefranklnozzleusingsshapedcurveswithquadraticdistributionofthecurvature AT gricaiol constructingtheexternalcontourofthefranklnozzleusingsshapedcurveswithquadraticdistributionofthecurvature |