Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации
Рассмотрены логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации средствами логических сетей с возможностью адаптации. Приведены примеры синтеза сетей с помощью рассмотренных автоматов на основе структур выражений для заданных нечетких множеств и отношений....
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190525 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации / С.Л. Крывый, В.Н. Опанасенко, С.Б. Завьялов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 175–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190525 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1905252025-02-23T17:27:10Z Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации Логічні операції над нечіткими множинами і відношеннями в автоматній інтерпретації Logical operations on fuzzy sets and relations through automatic interpretation Крывый, С.Л. Опанасенко, В.Н. Завьялов, С.Б. Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу Рассмотрены логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации средствами логических сетей с возможностью адаптации. Приведены примеры синтеза сетей с помощью рассмотренных автоматов на основе структур выражений для заданных нечетких множеств и отношений. Розглянуто логічні операції над нечіткими множинами і відношеннями в автоматній інтерпретації засобами логікових мереж зі здатністю адаптації. Наведено приклади синтезу мереж за допомогою розглянутих автоматів на основі структур виразів для заданих нечітких множин і відношень. Logical operations on fuzzy sets and relations are considered in the automatic interpretation by means of logical networks with the possibility of adaptation. Examples of the synthesis of networks using the considered automata based on expression structures for the given fuzzy sets and relations are given. 2020 Article Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации / С.Л. Крывый, В.Н. Опанасенко, С.Б. Завьялов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 175–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190525 516.813 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу |
| spellingShingle |
Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу Крывый, С.Л. Опанасенко, В.Н. Завьялов, С.Б. Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации Кибернетика и системный анализ |
| description |
Рассмотрены логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации средствами логических сетей с возможностью адаптации. Приведены примеры синтеза сетей с помощью рассмотренных автоматов на основе структур выражений для заданных нечетких множеств и отношений. |
| format |
Article |
| author |
Крывый, С.Л. Опанасенко, В.Н. Завьялов, С.Б. |
| author_facet |
Крывый, С.Л. Опанасенко, В.Н. Завьялов, С.Б. |
| author_sort |
Крывый, С.Л. |
| title |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| title_short |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| title_full |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| title_fullStr |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| title_full_unstemmed |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| title_sort |
логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Нові засоби кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки та системного аналізу |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190525 |
| citation_txt |
Логические операции над нечеткими множествами и отношениями в автоматной интерпретации / С.Л. Крывый, В.Н. Опанасенко, С.Б. Завьялов // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 175–183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kryvyjsl logičeskieoperaciinadnečetkimimnožestvamiiotnošeniâmivavtomatnojinterpretacii AT opanasenkovn logičeskieoperaciinadnečetkimimnožestvamiiotnošeniâmivavtomatnojinterpretacii AT zavʹâlovsb logičeskieoperaciinadnečetkimimnožestvamiiotnošeniâmivavtomatnojinterpretacii AT kryvyjsl logíčníoperacíínadnečítkimimnožinamiívídnošennâmivavtomatníjínterpretacíí AT opanasenkovn logíčníoperacíínadnečítkimimnožinamiívídnošennâmivavtomatníjínterpretacíí AT zavʹâlovsb logíčníoperacíínadnečítkimimnožinamiívídnošennâmivavtomatníjínterpretacíí AT kryvyjsl logicaloperationsonfuzzysetsandrelationsthroughautomaticinterpretation AT opanasenkovn logicaloperationsonfuzzysetsandrelationsthroughautomaticinterpretation AT zavʹâlovsb logicaloperationsonfuzzysetsandrelationsthroughautomaticinterpretation |
| first_indexed |
2025-11-24T03:03:56Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:03:56Z |
| _version_ |
1849639238290636800 |
| fulltext |
Ñ.Ë. ÊÐÛÂÛÉ, Â.Í. ÎÏÀÍÀÑÅÍÊÎ, Ñ.Á. ÇÀÂÜßËÎÂ
ÓÄÊ 516.813 ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÍÅ×ÅÒÊÈÌÈ
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ È ÎÒÍÎØÅÍÈßÌÈ
 ÀÂÒÎÌÀÒÍÎÉ ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñ-
òâàìè è îòíîøåíèÿìè â àâòîìàòíîé èíòåðïðåòàöèè ñðåäñòâàìè ëîãè÷åñêèõ
ñåòåé ñ âîçìîæíîñòüþ àäàïòàöèè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ñèíòåçà ñåòåé ñ
ïîìîùüþ ðàññìîòðåííûõ àâòîìàòîâ íà îñíîâå ñòðóêòóð âûðàæåíèé äëÿ çà-
äàííûõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, îòíîøåíèÿ, ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Àäàïòàöèÿ àïïàðàòíûõ ñðåäñòâ ê ðåàëèçàöèè îïåðàöèé ðàçáèåíèÿ âåêòîðîâ ñ öå-
ëûìè êîîðäèíàòàìè (ñì. [1, 2]) îáóñëîâëèâàåò âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè îïåðàöèé
íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè è îòíîøåíèÿìè. Ïðåäëàãàåìûé â íàñòîÿùåé ñòàòüå
ïîäõîä ê âûïîëíåíèþ óêàçàííûõ îïåðàöèé èçâåñòåí êàê «òåõíîëîãèÿ ðåêîíôèãó-
ðèðóåìîãî êîìïüþòèíãà» [3], è åãî âîïëîùåíèå â ðåàëüíûå ïðîåêòû ñòàëî âîç-
ìîæíûì áëàãîäàðÿ ïîÿâëåíèþ ïðîãðàììèðóåìûõ èíòåãðàëüíûõ ñõåì [4–6].
 ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [7, 8] ðàññìàòðèâàëñÿ ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è àäàïòàöèè
àïïàðàòíûõ ñðåäñòâ âìåñòå ñ ôîðìàëèçîâàííûì îáîñíîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ
àëãîðèòìîâ íà îñíîâå àäàïòèâíûõ ëîãè÷åñêèõ ñåòåé (ÀËÑ), îðèåíòèðîâàííûõ íà
ðåàëèçàöèþ àëãîðèòìîâ ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà âåêòîðîâ ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìîâ òàêîãî ðàçáèåíèÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå íà îñíîâå
àâòîìàòíîãî ïîäõîäà ïðåäëàãàþòñÿ àëãîðèòìû âûïîëíåíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé
íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè (ÍÌ) è íå÷åòêèìè îòíîøåíèÿìè (ÍÎ).
1. ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÍÅ×ÅÒÊÈÌÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ È ÍÅ×ÅÒÊÈÌÈ
ÎÒÍÎØÅÍÈßÌÈ. ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÈÕ ÐÅÀËÈÇÀÖÈÈ
Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè è íå÷åòêèìè îòíîøåíèÿìè ïîäðàçäåëÿ-
þòñÿ íà ëîãè÷åñêèå è àëãåáðàè÷åñêèå. Ê ëîãè÷åñêèì îòíîñÿòñÿ îïåðàöèè âêëþ-
÷åíèÿ, ðàâåíñòâà, îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, äîïîëíåíèÿ, ðàçíîñòè è äèçúþíê-
òèâíîé ñóììû äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ýòèõ îïåðàöèé
îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè � : [ , ]X M� �0 1 [9–11].
Ïóñòü �A x( ) è �B x( ) — ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà x ê ìíîæåñòâàì
A è B ñîîòâåòñòâåííî. Îïåðàöèè âêëþ÷åíèÿ A B� è ðàâåíñòâà A B� äëÿ íå÷åò-
êèõ ìíîæåñòâ èìåþò áóëåâû çíà÷åíèÿ, ò.å. ðåçóëüòàòîì èõ âû÷èñëåíèé åñòü çíà-
÷åíèå 0 èëè 1. Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé
A B x A B x xA B� � � � �, ( ) ( )� � ; A B x A B x xA B� � � � �, ( ) ( )� � .
Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ A B� äâóõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ îïðåäåëÿåò íàèìåíü-
øåå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, âêëþ÷àþùåå êàê À, òàê è Â, ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæ-
íîñòè max ( ( ), ( ))� �A Bx x .
Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ A B� äâóõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ îïðåäåëÿåò íàèáîëü-
øåå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååñÿ îäíîâðåìåííî è â À, è â Â, ñ ôóíêöèåé
ïðèíàäëåæíîñòè min ( ( ), ( ))� �A Bx x .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 175
© Ñ.Ë. Êðûâûé, Â.Í. Îïàíàñåíêî, Ñ.Á. Çàâüÿëîâ, 2020
Îïåðàöèÿ äîïîëíåíèÿ A îïðåäåëÿåò íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ ôóíêöèåé ïðè-
íàäëåæíîñòè � �A Ax x( ) ( )� 1 .
Îïåðàöèÿ ðàçíîñòè A B A B � � äâóõ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
ââåäåííûå îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðè-
íàäëåæíîñòè � � �A B A Bx x x � ( ) min ( ( ), ( ))1 .
Îïåðàöèÿ äèçúþíêòèâíîé ñóììû A B A B B A
� ( ) ( )� äâóõ íå÷åòêèõ ìíî-
æåñòâ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ââåäåííûå îïåðàöèè ðàçíîñòè è îáúåäèíåíèÿ è îïðåäåëÿåòñÿ
ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè max (min ( ( ), ( )), min ( ( ), ( )))� � � �A B B Ax x x x1 1 .
 ñâÿçè ñ òåì, ÷òî îïåðàöèè ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà, à òàêæå îòíîøåíèÿ � , �, � è
,
êàê áûëî ïîêàçàíî â [2, 3], âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ, òî äàëåå
îïèñûâàåòñÿ àâòîìàòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåàëèçàöèè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. Èìååòñÿ
íåêîòîðàÿ îñîáåííîñòü ðåàëèçàöèè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè
â èõ àâòîìàòíîé èíòåðïðåòàöèè. Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé, îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ
( )A B� , ïåðåñå÷åíèÿ (A B� ), äîïîëíåíèÿ ( A ), ðàçíîñòè (A B A B � � ) è äèçúþíê-
òèâíîé ñóììû (A B A B B A
� ( ) ( )� ) îïðåäåëÿþò â ðåçóëüòàòå íå÷åòêèå ìíî-
æåñòâà, à îïåðàöèè âêëþ÷åíèÿ è ðàâåíñòâà îïðåäåëÿþò áóëåâû çíà÷åíèÿ.
2. ÀÂÒÎÌÀÒÍÀß ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÐÀÖÈÉ
ÍÀÄ ÍÅ×ÅÒÊÈÌÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÈ
Ðàññìîòðèì ãðàôû ïåðåõîäîâ è âûõîäîâ àâòîìàòîâ Ìèëè A � , A� , Amin , Amax ,
A� , A� è A , ãäå A� — àâòîìàò, âû÷èñëÿþùèé ðàâåíñòâî äâóõ ÍÌ (ðèñ. 1);
A� âû÷èñëÿåò âêëþ÷åíèå äâóõ
ÍÌ (ðèñ. 2); Amin , Amax — àâòî-
ìàòû, âû÷èñëÿþùèå ñîîòâåòñòâåí-
íî ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå
èç äâóõ ÷èñåë; A� , A� — àâòîìà-
òû, âû÷èñëÿþùèå îïåðàöèè ïåðå-
ñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ. Ïðè ýòîì
àâòîìàòû Amin è A� (ðèñ. 3),
à òàêæå àâòîìàòû Amax è A� î÷å-
âèäíî ñîâïàäàþò (ðèñ. 4). Àâòîìàò
A (ðèñ. 5) âû÷èñëÿåò ðàçíîñòü
äâóõ ÷èñåë. Ñ ïîìîùüþ àâòîìà-
òîâ ñòðîÿòñÿ ñåòè, âû÷èñëÿþùèå
çíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä
ÍÌ. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðèíàä-
ëåæíîñòè ïðåäñòàâëÿþòñÿ äâîè÷-
íûìè ñëîâàìè p x x xk� 1 2� , q �
� y y yk1 2� , íà êîòîðûõ ââîäèòñÿ
ëèíåéíûé ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé
176 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
0 1
1,0
1
1 0
0 1
0,1
0
0 1 1 0
0,1,0,1
Ðèñ. 1. Àâòîìàò A �
1
0
12
0 1
0,1
1
0
1
0
0 1 1 0
0,1,0,1
0 1 1 0
0,1,0,1
0
Ðèñ. 2. Àâòîìàò A�
12
0,0
0
0
1
1
0
11
1
0
0 0,
1
0
0,
0
1
0,
1,
1
1 1
0
0
0
1
1
0
0
0
0, 1
1
1
0
1,
Ðèñ. 3. Àâòîìàòû A
�
, Amin
12
0,0
0
0
1
1,1
0
11
1
0
0 0,
1
0
0,
0
1
0,
1,
1
1 1
1
10
1
1
0
0
0
0, 1
1
1
0
Ðèñ. 4. Àâòîìàòû A
�
, Amax
ïîðÿäîê: p q� � � � � � �i x y ji i
� �ix yj j , i k�1 2, , ,� . Ýòîò ïî-
ðÿäîê ïåðåíîñèòñÿ íà ðàçðÿäû. Íà
âõîä àâòîìàòîâ A� , A� , Amin ,
Amax , A� , A� âõîäíûå ñëîâà ïî-
äàþòñÿ ñòàðøèìè ðàçðÿäàìè, à íà
âõîä àâòîìàòà A — ìëàäøèìè.
Îïðåäåëåíèå 1. Ñåòüþ àâòî-
ìàòîâ íàçûâàåòñÿ n-êà A A� ( ,1 �
� , )An , ñîñòîÿùàÿ èç àâòîìàòîâ
A i i i i i i
iA X Y f g a� ( , , , , , )
0
, i n�1 2, , ,� . Ñîñòîÿíèåì ñåòè A íàçûâàåòñÿ n-êà ñî-
ñòîÿíèé ( , , )a an1 � , ãäå a Ai i� äëÿ êàæäîãî i n�1 2, , ,� . Ñîñòîÿíèå ñåòè
( , , )a an1 � íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì, åñëè a ai
i�
0
; n-êà x x xn� ( , , )1 � , ãäå
x X i ni i� �, , , ,1 2 � , íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì â ñåòè À, ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåò-
ñÿ ïåðåõîä èç ñîñòîÿíèÿ ( , , )a an1 � â ñîñòîÿíèå ( , , )b bn1 � òàê, ÷òî
( , , ) ( ( , ), , ( , ))b b f a x f a xn n n n1 1 1 1� �� , ãåíåðèðóÿ ïðè ýòîì ïåðåõîäå âûõîäíûå
çíà÷åíèÿ ( ( , ), , ( , )),y g a x y g a x y Yn n n n i i1 1 1 1� � �� .
Ñåòü íàçîâåì îäíîðîäíîé, åñëè âñå åå àâòîìàòû îäíîãî òèïà.
Ïðåæäå ÷åì îïèñûâàòü ñåòè, ðåàëèçóþùèå îïåðàöèè, óòî÷íèì ïðåäñòàâëå-
íèå çíà÷åíèé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè �( )x äâîè÷íûìè ñëîâàìè.
Äàëåå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè-
íàäëåæíîñòè èìååò íå áîëåå îäíîé çíà÷àùåé äåñÿòè÷íîé öèôðû. Ýòî äàåò âîç-
ìîæíîñòü ïðåäñòàâëÿòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äâîè÷íûìè ÷èñëàìè ðàçðÿäíîñòè 4
äëÿ àðãóìåíòîâ è çíà÷åíèé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, ïîëó-
÷åííûõ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ñ ðàçðÿäíîñòüþ 8. Íàïðèìåð, çíà÷å-
íèÿ ôóíêöèé �A x( )1 � 0,1, �A x( )2 � 0,2, �A x( )3 � 0,9, �A x( )4 1� áóäóò èìåòü
òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äâîè÷íûìè ñëîâàìè:
�
A
x p/ ( )1 10001� � (÷èñëî 0,1), �
A
x p/ ( )2 20010� � (÷èñëî 0,2),
�
A
x p/ ( )3 31001� � (÷èñëî 0,9), �
A
x p/ ( )4 41010� � (÷èñëî 1).
Ââåäåì åùå îäíî óòî÷íåíèå: âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ íàä
ìíîæåñòâàìè-àðãóìåíòàìè ñ îäèíàêîâûìè ñîñòàâëÿþùèìè, ò.å. ÍÌ è ÍÎ äîëæíû
èìåòü îäíè è òå æå ñîñòàâëÿþùèå x j . Ýòî ëåãêî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ òàêîãî
«âûðàâíèâàíèÿ» äëèíû: ìíîæåñòâà-àðãóìåíòû äîïîëíÿþòñÿ ñîñòàâëÿþùèìè
0 01| , , |x xj jk� äëÿ òåõ j ki � �1, , , êîòîðûå èõ íå èìåþò. Òàêèì îáðàçîì, ñî-
ñòàâëÿþùèå îáîèõ àðãóìåíòîâ îïåðàöèé íàä ÍÌ è ÍÎ áóäóò èìåòü îäíè è òå æå
ýëåìåíòû. Ïóñòü àðãóìåíòû A è B ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé èìåþò âèä
A p x p x p x p x� � � �{ }1 1 2 2 3 3 4 4| | | | , B q x q x q x q x� � � �{ }1 1 2 2 3 3 4 4| | | | .
Òîãäà ñåòü, âû÷èñëÿþùàÿ çíà÷åíèå îïåðàöèè âêëþ÷åíèÿ, ñîñòîèò èç àâòîìàòîâ
òèïà Amin (â äàííîì ñëó÷àå èç ÷åòûðåõ àâòîìàòîâ). Âû÷èñëåíèå îïåðàöèé
A B� è A B� òàêîé ñåòüþ ïðîèñõîäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ñåòü îñòà-
íàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè, ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî 0 è 2, òî A B� ; åñëè ñîñòî-
ÿò èç 0 è 1, òî B A� ; à åñëè ñîñòîÿò òîëüêî èç íóëåé, òî A B� .
Âû÷èñëåíèå îïåðàöèè äîïîëíåíèÿ A ìíîæåñòâà A âûïîëíÿåòñÿ ñåòüþ àâòî-
ìàòîâ òèïà A . Ñîñòîÿíèþ ñåòè, â êîòîðîì îíà îñòàíîâèëàñü, ñîîòâåòñòâóþò âû-
õîäíûå ñëîâà p p p1 2 3, , , p4 , ÿâëÿþùèåñÿ äâîè÷íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè çíà÷åíèé
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 177
0
0
0
1
1
1
0
0
0,
1
0
1,
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1, 0,
1
0 1
Ðèñ. 5. Àâòîìàò A âû÷èòàíèÿ äâîè÷íûõ ÷èñåë x, y,
ãäå x y�
ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè � �A Ax x( ) ( )� 1 ìíîæåñòâà A . Â ýòîé ñåòè ïåðâûé
àðãóìåíò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé 1 (ïðåäñòàâëÿåòñÿ äâîè÷íûì ñëîâîì 1010).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ îïåðàöèé A B� è A B� . Íà-
ïðèìåð, åñëè ñåòü èç àâòîìàòîâ òèïà A� îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè (1, 0, 2, 2),
òî ìíîæåñòâî
A B x x x x x x x xB B A A� � � � �{ }� � � �( ) | ( ) | ( ) | ( ) |1 1 2 2 3 3 4 4 ;
åñëè ñåòü èç àâòîìàòîâ òèïà A� îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè (1, 0, 2, 2), òî
ìíîæåñòâî
A B x x x x x x x xA B B B� � � � �{ }� � � �( )| ( )| ( )| ( )|1 1 2 2 3 3 4 4 .
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçíîñòè A B íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ íåîáõîäèìà êîìïîçèöèÿ
ñåòåé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìèíèìóìîâ è äîïîëíåíèÿ. Âíà÷àëå ñòðîèòñÿ äîïîëíåíèå
ìíîæåñòâà B ñ ïîìîùüþ ñåòè èç àâòîìàòîâ òèïà A , à çàòåì ïî çíà÷åíèÿì ôóíê-
öèè ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâ A è B ñòðîèòñÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíî-
æåñòâà A B . Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì âû÷èñëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè
ìíîæåñòâà A B
: âíà÷àëå âû÷èñëÿþòñÿ ìíîæåñòâà A B è B A îïèñàííûì
âûøå ñïîñîáîì, à çàòåì ñåòüþ èç àâòîìàòîâ òèïà Amax íàõîäÿò ñîñòàâëÿþùèå
ìíîæåñòâà A B
. Ñõåìàòè÷åñêè òàêèå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñèíòåçà ñåòè, âû÷èñëÿþùåé çíà÷åíèÿ îïåðàöèè ëîãè÷åñ-
êîãî òèïà.
Ïðèìåð 1. Ïðîâåðèòü èñòèííîñòü âêëþ÷åíèÿ ( ) ( ) ( )A B Ñ D A B� � � � �
� � �( )C D A C� äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ A B C, , , D âèäà
A x x x� � �{ }0 2 0 5 0 41 2 3, | , | , | ; B x x x� � �{ }0 4 0 6 011 2 3, | , | , | ;
C x x x� � �{ }01 0 11 2 3, | | | ; D x x x� � �{ }0 7 1 0 71 2 3, | | , | .
178 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
{�1 | x1
+ �
2
| x
2
+ �
3
| x
3
+ �
4
| x
4} �A
B
A
max
A
max Amax A
max
Amin
A
min
A
min Amin A
min
A
min Amin A
min
A A A A A
A A A
�
B
(x
1
) �B (x2 ) �
B
(x
3
) �B (x4 ) �
A
(x
1
) �
A
(x
2
) �A(x3 ) �
A
(x
4
)
�
A
(x
1
) �
A
(x
2
) �
A
(x
3
) �A(x4 ) �
B
(x
1
) �
B
(x
2
) �B (x3 ) �
B
(x
4
)
Ðèñ. 6. Ñõåìà âû÷èñëåíèÿ îïåðàöèè A B
äëÿ ÍÌ
Ðåøåíèå. Èñõîäÿ èç ñòðóêòóðû àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ, ñèíòåçèðóåì
íåîäíîðîäíóþ ñåòü (ðèñ. 7), ñîñòîÿùóþ èç îäíîðîäíûõ ñåòåé àâòîìàòîâ, êîòîðûå
ðåàëèçóþò ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàöèè. Äâîè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíê-
öèé ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâ A B, , C è D èìåþò âèä
A x x x
a a a
� � �{ };0010 0101 01001 2 3
1 2 3
| | | B x x x
b b b
� � �{ };0100 0110 00011 2 3
1 2 3
| | |
C x x x
ñ ñ ñ
� � �{ };
1
0001 0000 10101 2 3
2 3
| | | D x x x
d d d
� � �{ }.0111 1010 01111 2 3
1 2 3
| | |
Ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè ñåòüþ èëëþñòðèðóåò-
ñÿ ñëåäóþùåé ñõåìîé:
Ïîñêîëüêó � � �1 2 3 1� � � , òî âêëþ÷åíèå èñòèííî.
Êîíåö ïðèìåðà.
Èç ïðèìåðà 1 ñëåäóåò, ÷òî ñèíòåçèðîâàííàÿ ñåòü íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé,
õîòÿ ñîñòàâëÿþùèå åå ïîäñåòè îäíîðîäíû. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà ñåòè,
ðåàëèçóþùåé ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè äëÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, ñîñòîèò â ïîñòðî-
åíèè íåîäíîðîäíûõ ñåòåé èç îäíîðîäíûõ ïîäñåòåé.
3. ÍÅ×ÅÒÊÈÅ ÎÒÍÎØÅÍÈß È ËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÏÅÐÀÖÈÈ ÍÀÄ ÍÈÌÈ
Ðàññìîòðèì ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ÍÎ. Ïóñòü E E E En� � � �1 2 � — äåêàð-
òîâî ïðîèçâåäåíèå óíèâåðñàëüíûõ ìíîæåñòâ è M � [ , ]0 1 — ìíîæåñòâî, â êîòîðîì
ïðèíèìàþò ñâîè çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâ Å En1, ,� .
Íå÷åòêèì n-àðíûì îòíîøåíèåì R íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî
R E� , ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî ïðèíèìàþò ñâîè çíà÷åíèÿ â ìíîæå-
ñòâå M � [ , ]0 1 . Åñëè n � 2, òî R — áèíàðíîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå ìåæäó ýëåìåí-
òàìè ìíîæåñòâ X E� 1 è Y E� 2 ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè �R X Y M: � � ,
ò.å. êàæäîé ïàðå ( , )x y X Y� � ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
âåëè÷èíó �R x y( , ) [ , ]� 0 1 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 179
x1 x2 x3
1010 1010 1010 � çíà÷åíèå 1
D � 0111 1010 0111
0011 0000 0011 � D � A
C � 0001 0000 1010
0001 0000 0011 � C D� � A �
A � 0010 0101 0100
B � 0100 0110 0001
0100 0110 0100 � A B� � A �
C D� � 0001 0000 0011
A B� � 0100 0110 0100
0001 0000 0011 � ( ) ( )A B C D� � � � A �
A � 0010 0101 0100
C � 0001 0000 1010
0001 0000 0100 � A C� � A �
0001 0000 0100 � A C� �
0001 0000 0011 ( ) ( )A B C D� � � � �A
� � �
�1 1� �2 1� �3 1� � ðåçóëüòàò
Íå÷åòêèå îòíîøåíèÿ, êàê ïðàâèëî,
çàäàþòñÿ â âèäå òàáëèö.
Ïðèìåð 2. Ïóñòü X x x x� { }1 2 3, , ,
Y y y y y� { }1 2 3 4, , , è M � [ , ]0 1 . Íå÷åò-
êîå îòíîøåíèå R X Y� � çàäàåòñÿ
òàáë. 1, â êîòîðîé íà ïåðåñå÷åíèè ñòðî-
êè xi è ñòîëáöà y j íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå
ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè �R i jx y( , ).
Êîíåö ïðèìåðà.
Îáúåäèíåíèå R R1 2� îïðåäåëÿåò-
ñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
� � �R R R Rx y x y x y
1 2 1 2� ( , ) ( , ) ( , )� � ,
ãäå ñèìâîë � îçíà÷àåò îïåðàöèþ max.
Ïåðåñå÷åíèå R R1 2� îïðåäåëÿåòñÿ
ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
� � �R R R Rx y x y x y
1 2 1 2� ( , ) ( , ) ( , )� � ,
ãäå ñèìâîë � îçíà÷àåò îïåðàöèþ min.
Äîïîëíåíèå îòíîøåíèÿ R (îáîçíà-
÷åíèå R ) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðè-
íàäëåæíîñòè
� �R Rx y x y( , ) ( , )� 1 .
Äèçúþíêòèâíàÿ ñóììà R R1 2
çà-
äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
R R R R R R1 2 1 2 2 1
� � � �( ) ( ).
Îïðåäåëèì îòíîøåíèå, áëèæàé-
øåå ê íå÷åòêîìó. Ïóñòü R — íå÷åòêîå
îòíîøåíèå ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè �R x y( , ) . Îòíîøåíèå R, áëèæàéøåå ê
íå÷åòêîìó îòíîøåíèþ, îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
�
�
�R
R
Rx y
x y
x y( , )
, ( , ) , ;
, ( , ) , ;
,
�
�
�
0 0 5
1 0 5
0 1
åñëè
åñëè
èëè åñëè �R x y( , ) , .�
�
�
�
�� 0 5
Ïðîèçâåäåíèå (êîìïîçèöèÿ) íå÷åòêèõ îòíîøåíèé R R1 2� , ãäå R X Y1 � � ,
R Y Z2 � � , îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
� � �R R
y
R Rx z x y y z
1 2 1 2� � ��( , ) ( ( , ) ( , )) .
Èíîãäà òàêîå ïðîèçâåäåíèå íàçûâàþò max-min-êîìïîçèöèåé îòíîøåíèé R1 è R2 .
Ïðèìåð 3. Ïóñòü îòíîøåíèÿ R1 è R2 çàäàíû òàáë. 2 è òàáë. 3.
Âû÷èñëèì îòíîøåíèå, áëèæàéøåå ê íå÷åòêîìó îòíîøåíèþ R R1 2� .
Ðåøåíèå. Âíà÷àëå âûïîëíèì îïåðàöèè íàä ÍÎ. Âû÷èñëåíèå êîìïîçèöèè
R R1 2� îòíîøåíèé R1 è R2 , èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè êîìïîçèöèè ÍÎ,
ïðèâîäèò ê òàêèì çíà÷åíèÿì:
�R R x z
1 2 1 1� �( , ) max (min (0,1; 0,1), min (0,7; 0,3), min (0,4; 0,1)) �
� max (0,1; 0,3; 0,1) � 0,3,
180 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
�1 �2 �3
A�A�A�
A�A�A�
A�A�A�
a3 c3 a2 c2 a1 c1
A�A�A�
A�A�A�
A A A
a3 b3 a2 b2 a1 b1
c3 c2 c1
1 d3 1 d2 1 d1
Ðèñ. 7. Êîíôèãóðàöèÿ ñåòè
Ò à á ë è ö à 1. Îòíîøåíèå R
R y1 y2 y3
y4
x1 0 0 0,1 0,3
x2 0 0,8 1 0,7
x3 1 0,5 0,6 1
�R R x z
1 2 1 2� �( , ) max (min (0,1; 0), min (0,7; 0,6), min (0,4; 1)) �
� max (0; 0,6; 0,4) � 0,6,
�R R x z
1 2 1 3� �( , ) max (min (0,1; 1), min (0,7; 0), min (0,4; 0)) �
� max (0,1; 0; 0) � 0,1,
�R R x z
1 2 1 4� �( , ) max (min (0,1; 0,2), min (0,7; 0,9), min(0,4; 0,5)) �
� max (0,1; 0,7; 0,4) � 0,7.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì âû÷èñëÿþòñÿ îñòàëüíûå ýëåìåíòû îòíîøåíèÿ
R R1 2� , êîòîðûå ïðèâåäåíû â òàáë. 4. Ïî ýòîé òàáëèöå íàõîäèì îòíîøåíèå
R R1 2� , áëèæàéøåå ê R R1 2� , çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ êîòîðîãî ïðèâåäåíû â òàáë. 5.
×òîáû ñèíòåçèðîâàòü ñåòü, âû÷èñëÿþùóþ R R1 2� , ââåäåì ÍÎ
R x z� {( , ) |1 1 0,5; ( , ) |x z1 2 0,5; ( , ) |x z1 3 0,5; ( , ) |x z1 4 0,5; ( , ) |x z2 1 0,5;
( , ) |x z2 2 0,5; ( , ) |x z2 3 0,5; ( , ) |x z2 4 0,5}.
Ïî ýòîìó ÍÎ, ïðèìåíÿÿ àâòîìàò A� , âû÷èñëÿåì òðåáóåìîå îòíîøåíèå. Îòìå-
òèì, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå 0,5, íå óäîâëåòâîðÿþò ýêñïåðòà, òî
îí ìîæåò èõ èçìåíÿòü ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ.
Ñèíòåç ñåòè èç àâòîìàòîâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ñòðóêòóðå âûðàæåíèÿ R R1 2� �
� � �R R R1 2 . Ôðàãìåíò ñåòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ (x z1 1, ) îòíîøåíèÿ
R R1 2� ïîêàçàí íà ðèñ. 8.
Ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé âûðàæåíèé, âêëþ÷àþùèõ ÍÎ, ïðèìåíÿþòñÿ òîæ-
äåñòâà â öåëÿõ îïòèìèçàöèè âûðàæåíèé. Íàïðèìåð, òîæäåñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ
( ) ( ) ( )R R R R R R R1 2 1 3 1 2 3� � � � �� ,
( ) ( ) ( )R R R R R R R1 2 1 3 1 2 3� � � � �� ;
R R R R R R R R R1 2 3 1 2 3 1 2 3� � � � � � � �( ) ( ) ,
( ) ( ) ( )R R R R R R R3 2 3 1 3 2 1� � � �� �
ïîçâîëÿþò óìåíüøèòü ÷èñëî âûïîëíÿåìûõ îïåðàöèé è òåì ñàìûì óïðîñòèòü
ñòðóêòóðó ñåòè.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 181
Ò à á ë è ö à 2. Îòíîøåíèå R1
R1 y1 y2 y3
x1 0,1 0,7 0,4
x2 1 0,5 0
Ò à á ë è ö à 3. Îòíîøåíèå R2
R2 z1 z2 z3
z4
y1 0,1 0 1 0,2
y2 0,3 0,6 0 0,9
y3 0,1 1 0 0,5
Ò à á ë è ö à 4 . Îòíîøåíèå R R1 2�
R R1 2� z1 z2 z3 z4
x1 0,3 0,6 0,1 0,7
x2 0,9 0,5 1 0,5
Ò à á ë è ö à 5 . Îòíîøåíèå R R1 2�
R R1 2� z1 z2 z3 z4
x1 0 1 0 1
x2 1 1 1 1
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà àâòîìàòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðà-
öèé íàä íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè è íå÷åòêèìè îòíîøåíèÿìè, à òàêæå îïèñàíà
ðåàëèçàöèÿ ýòèõ îïåðàöèé ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîðîäíûõ ñåòåé èç
àâòîìàòîâ ñ âîçìîæíîñòüþ àäàïòàöèè. Åñëè âûðàæåíèå çàäàíî, òî ïî åãî
ñòðóêòóðå ñèíòåçèðóåòñÿ àäàïòèâíàÿ ëîãè÷åñêàÿ ñåòü, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåò çíà-
÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàëèñü àâòîìàòû è ñåòè èç àâòîìà-
òîâ ñëåäóþùèõ òèïîâ: Amin , Amax , A� , A , A � .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Kryvyi S.L., Opanasenko V.M., Zavyalov S.B. Partitioning of a set of vectors with integer
coordinates by means of the logical hardware. Cybernetics and Systems Analysis. 2019. Vol. 55, N 3.
P. 462–473. https://doi.org/10.1007/s10559-019-00154-3.
2. Kryvyi S.L., Opanasenko V.M. Partitioning a set of vectors with nonnegative integer coordinates
using logical hardware. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 2. P. 310–319.
https://doi.org/10.1007/s10559-018-0033-0.
3. Palagin A.V., Opanasenko V.M., Kryvyi S.L. Resource and energy optimization oriented
development of FPGA-based adaptive logical networks for classification problem. In: Green IT
Engineering: Components, Networks and Systems Implementation. Kharchenko V., Kondratenko Y.,
Kacprzyk J. (Eds.). Cham: Springer, 2017. Vol. 105. P. 195–218. https://doi.org/10.1007/978-3-319
-55595-9_10.
4. Opanasenko V.N., Kryvyi S.L. Synthesis of neural-like networks on the basis of conversion of cyclic
Hamming codes. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 4. P. 627–635. https://doi.org/
10.1007/s10559-017-9965-z.
5. Drozd O., Kharchenko V., Rucinski A., Kochanski T., Garbos R., Maevsky D. Development of
models in resilient computing. Proc. of 10th IEEE International Conference on Dependable Systems,
Services and Technologies (DESSERT’2019). Leeds, UK, June 5–7, 2019. P. 2–7.
182 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6
Amax
0,30,1 0,1 0,7 0,10,4
0,1
0,1
0,3
0,3
0
Amax
Amin Amin Amin
A�
�R(x1 , z1) � 0,5
�R (x1 , y1)
1
�R (y1 , z1)
2
�R (x1 , y2)
1
�R (y2 , z1)
2
�R (x1 , y3)
1
�R (y3 , z1)
2
�R �R (x1 , z1) � 0,3
1 2
Ðèñ. 8. Ôðàãìåíò ñåòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé (x z1 1, ) îòíîøåíèÿ R R1 2� èç ïðèìåðà 3
6. Kondratenko Y.P., Sidenko Ie.V. Decision-making based on fuzzy estimation of quality level for
cargo delivery. In: Recent Developments and New Directions in Soft Computing. Studies in
Fuzziness and Soft Computing. Zadeh L.A. et al. (Eds.). Springer International Publishing, 2014.
P. 331–344.
7. Opanasenko V., Kryvyi S. Synthesis of multilevel structures with multiple outputs. CEUR Workshop
Proceeding of 10th International Conference of Programming, UkrPROG 2016. Kyiv, Ukraine.
2016. Vol. 1631, Code 122904. P. 32–37.
8. Palagin A., Opanasenko V. The implementation of extended arithmetics on FPGA-based structures.
Proceedings of the 2017 IEEE 9th International Conference on Intelligent Data Acquisition and
Advanced Computing Systems: Technology and Applications (IDAACS 2017). Bucharest, Romania,
2017. Vol. 2. P. 1014–1019. DOI: 10.1109/IDAACS.2017.8095239.
9. Áîðèñîâ À.Í., Àëåêñååâ À.Â., Ìåðêóðüåâà Ã.Â. Îáðàáîòêà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè â ñèñòåìàõ
ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ìîñêâà: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. 304 ñ.
10. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. 1965. Vol. 8, Iss. 3. P. 338–353.
11. Áåëëìàí Ð., Çàäå Ë. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé â ðàñïëûâ÷àòûõ óñëîâèÿõ. Âîïðîñû àíàëèçà è ïðîöåäó-
ðû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ìîñêâà: Ìèð, 1976. Ñ. 172–215.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 12.03.2020
Ñ.Ë. Êðèâèé, Â.Ì. Îïàíàñåíêî, Ñ.Á. Çàâ’ÿëîâ
ËÎò×Ͳ ÎÏÅÐÀÖ²¯ ÍÀÄ ÍÅײÒÊÈÌÈ ÌÍÎÆÈÍÀÌÈ ² ²ÄÍÎØÅÍÍßÌÈ
 ÀÂÒÎÌÀÒÍ²É ²ÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ëîã³÷í³ îïåðàö³¿ íàä íå÷³òêèìè ìíîæèíàìè ³ â³äíî-
øåííÿìè â àâòîìàòí³é ³íòåðïðåòàö³¿ çàñîáàìè ëîã³êîâèõ ìåðåæ ç³ çäàòí³ñòþ
àäàïòàö³¿. Íàâåäåíî ïðèêëàäè ñèíòåçó ìåðåæ çà äîïîìîãîþ ðîçãëÿíóòèõ àâ-
òîìàò³â íà îñíîâ³ ñòðóêòóð âèðàç³â äëÿ çàäàíèõ íå÷³òêèõ ìíîæèí ³ â³äíî-
øåíü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íå÷³òê³ ìíîæèíè, â³äíîñèíè, ëîã³÷í³ îïåðàö³¿.
S.L. Kryvyi, V.M. Opanasenko, S.B. Zavyalov
LOGICAL OPERATIONS ON FUZZY SETS AND RELATIONS
THROUGH AUTOMATIC INTERPRETATION
Abstract. Logical operations on fuzzy sets and relations are considered in the
automatic interpretation by means of logical networks with the possibility of
adaptation. Examples of the synthesis of networks using the considered automata
based on expression structures for the given fuzzy sets and relations are given.
Keywords: fuzzy sets, relations, logical operations.
Êðûâûé Ñåðãåé Ëóêüÿíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà
Øåâ÷åíêî, e-mail: sl.krivoi@gmail.com.
Îïàíàñåíêî Âëàäèìèð Íèêîëàåâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: opanasenkoincyb@gmail.com.
Çàâüÿëîâ Ñòàíèñëàâ Áîðèñîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, äèðåêòîð ÎÎÎ «Ðàäèîíèêñ», Êèåâ, e-mail: radionix13@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 6 183
|