Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях
Рассмотрена задача стохастического программирования, где эмпирическая функция строится по неоднородным наблюдениям однородного случайного поля. Исследовано однородное в узком смысле случайное поле, удовлетворяющее условию сильного перемешивания. Приведены условия, при которых эмпирическая оценка явл...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кібернетика та системний аналіз |
|---|---|
| Datum: | 2021 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190582 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях / П.С. Кнопов, Е.И. Касицкая // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 21–34. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860181771819155456 |
|---|---|
| author | Кнопов, П.С. Касицкая, Е.И. |
| author_facet | Кнопов, П.С. Касицкая, Е.И. |
| citation_txt | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях / П.С. Кнопов, Е.И. Касицкая // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 21–34. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кібернетика та системний аналіз |
| description | Рассмотрена задача стохастического программирования, где эмпирическая функция строится по неоднородным наблюдениям однородного случайного поля. Исследовано однородное в узком смысле случайное поле, удовлетворяющее условию сильного перемешивания. Приведены условия, при которых эмпирическая оценка является состоятельной и оцениваются ее большие уклонения для однородных наблюдений.
Розглянуто задачу стохастичного програмування, у якій емпіричну функцію будують за неоднорідними спостереженнями однорідного випадкового поля. Досліджено однорідне у вузькому розумінні випадкове поле, що задовольняє умові сильного перемішування. Наведено умови, за яких емпірична оцінка є конзистентною та оцінено її великі відхилення для однорідних спостережень.
The paper considers a stochastic programming problem with the empirical function constructed from nonhomogeneous observations of a homogeneous random field. The field satisfying the strong mixing condition is investigated in the problem. The conditions whereby the empirical estimate is consistent are given, and large deviations of the estimate for homogeneous observations are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ, Å.È. ÊÀÑÈÖÊÀß
ÓÄÊ 519.21 ÑÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÑÒÜ È ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÁÎËÜØÈÕ
ÓÊËÎÍÅÍÈÉ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÖÅÍÎÊ
 ÇÀÄÀ×Å ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ
ÄËß ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÃÎ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÏÎËß
ÏÐÈ ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ È ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ
ÍÀÁËÞÄÅÍÈßÕ1
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ãäå ýì-
ïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñòðîèòñÿ ïî íåîäíîðîäíûì íàáëþäåíèÿì îäíîðîäíîãî
ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Èññëåäîâàíî îäíîðîäíîå â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíîå ïîëå,
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ. Ïðèâåäåíû óñëîâèÿ,
ïðè êîòîðûõ ýìïèðè÷åñêàÿ îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé è îöåíèâàþòñÿ
åå áîëüøèå óêëîíåíèÿ äëÿ îäíîðîäíûõ íàáëþäåíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îäíîðîäíîå
â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíîå ïîëå, íåîäíîðîäíûå íàáëþäåíèÿ, óñëîâèå ñèëü-
íîãî ïåðåìåøèâàíèÿ, áîëüøèå óêëîíåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè âîçíèêàåò, êîãäà íåîáõîäèìî ïðèíÿòü íà-
èëó÷øåå â íåêîòîðîì ñìûñëå ðåøåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè è ðèñ-
êà [1]. Îïòèìèçèðóåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè óïðàâëåíèÿ, çàâèñÿùåé îò
ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.
Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèòóàöèÿ çàìåíû ïåðâîíà÷àëüíîé çàäà÷è ïðîáëåìîé
îïòèìèçàöèè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè, ïîñòðîåííîé íà îñíîâàíèè èìåþùèõñÿ íà-
áëþäåíèé. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðèìåíÿåòñÿ òàê
íàçûâàåìûé ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ — îäèí èç îñíîâíûõ íåïðÿìûõ ìåòî-
äîâ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [2, 3].  ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò ïðîáëåìà
îöåíêè òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè, îáîñíîâàíèÿ ñõîäèìîñòè ýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê
ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà íàáëþäåíèé.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ íàáëþäåíèÿ îäíîðîäíîãî â óçêîì
ñìûñëå ñëó÷àéíîãî ïîëÿ íà ïðÿìîóãîëüíèêå ïëîñêîñòè. Èññëåäîâàíà ìèíèìèçè-
ðóåìàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò êîîðäèíàòû. Äîêàçàíà ñòðîãàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü
ýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê. Äëÿ ñèòóàöèè, êîãäà ôóíêöèÿ êðèòåðèÿ íàïðÿìóþ íå çàâè-
ñèò îò êîîðäèíàòû, èññëåäîâàíû áîëüøèå óêëîíåíèÿ òî÷åê ìèíèìóìà
ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè îò ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî { }�( , ), ( , )t t t t1 2 1 2
2�� — îäíîðîäíîå â óçêîì ñìûñëå äåé-
ñòâèòåëüíîå ñëó÷àéíîå ïîëå ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè, çàäàííîå íà ïîëíîì
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 21
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà 2020.02/0121 Íàöèîíàëüíîãî ôîíäà èññëåäîâàíèé
Óêðàèíû.
© Ï.Ñ. Êíîïîâ, Å.È. Êàñèöêàÿ, 2021
âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� G P , X a b� �[ ; ] � ; h X:� � �
2 � � � — íå-
ïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, âûïóêëàÿ ïî x X� .
Èññëåäóåì çàäà÷ó
F x
T T
h t t x t t dt dtT T
TT
1 2
21
1
1 2
1 2 1 2 1 2
00
( ) ( , , , ( , )) mi� ��� � n, x X� . (1)
Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
à) sup { }E h t t x t t x X t t[max | ( , , , ( , )) | , ], ,1 2 1 2 1 2 0� �
� ;
á) ïðè ëþáîì x X� ñóùåñòâóåò F x EF xT T( ) lim ( )�
1 2
, T T1 2, � � ;
â) ñóùåñòâóþò òàêèå x X0 � , c� 0, ÷òî
F x F x c x x x X( ) ( ) | | ,
� �0 0 . (2)
Èç óñëîâèÿ â) âûòåêàåò, ÷òî x0 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è
F x x X( ) min,� � . (3)
Èç âûïóêëîñòè ïî x X� ôóíêöèè h ñëåäóåò âûïóêëîñòü ôóíêöèè F xT T1 2
( ) ïðè
ëþáûõ T1, T2 , �, à òàêæå âûïóêëîñòü EF xT T1 2
( ) ïðè âñåõ T1
, T2 è âûïóêëîñòü F x( ).
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g : � �� îáîçíà÷èì
� �
�
�
g x
g x g x
( ) lim
( ) ( )
,
�
�
� 0, (4)
� �
� �
�
�g x
g x g x
( ) lim
( ) ( )
,
�
�
� 0 , (5)
åñëè ýòè ïðåäåëû ñóùåñòâóþò.
Îáîçíà÷èì g x EF xT T T T1 2 1 2
( ) ( )� , x X� . Ïîñêîëüêó èç âûïóêëîñòè ôóíêöèè
ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå äëÿ íåå ïðåäåëîâ (4), (5), ïîëó÷àåì, ÷òî òàêèå ïðåäåëû
ñóùåñòâóþò:
— ïðè âñåõ t1, t2 , y äëÿ ôóíêöèè h t t y( , , , )1 2 � ;
— äëÿ ëþáûõ t1, t2 ôóíêöèè Eh t t t t( , , , ( , ))1 2 1 2� � ;
— äëÿ âñåõ T T1 2, , � ôóíêöèè FT T1 2
( )� ;
— ïðè âñåõ T1, T2 äëÿ gT T1 2
( )� ;
— äëÿ F ( )� .
Èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1 [4]. Ïóñòü èìååòñÿ ôóíêöèÿ u X R: � �� , âûïóêëàÿ ïî ïåðâîìó
àðãóìåíòó è èçìåðèìàÿ ïî âòîðîìó, ïðè÷åì E u x| ( , ) |�
� , x X� .
Îáîçíà÷èì � �( ) ( , )x Eu x� . Òîãäà � � � � � �
� �� � � �( ) ( , ), ( ) ( , )x Eu x x Eu x .
 ñèëó ëåììû 1 äëÿ âñåõ t1, t2 �� , T T1 2 0, � , x X� èìååì
( ) ( , , , ( , )) ( , , , ( , ))Eh t t x t t E h t t x t t� � �
1 2 1 2 1 2 1 2� �{ },
( ) ( , , , ( , )) ( , , , ( , ))Eh t t x t t E h t t x t t� � �� �1 2 1 2 1 2 1 2� �{ },
( ) ( ) ( ) ( )g x E F xT T T T1 2 1 2
� � �
{ }, ( ) ( ) ( ) ( )g x E F xT T T T1 2 1 2
� � �� �{ }.
ÑÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÎÖÅÍÎÊ
Ëåììà 2. Ïóñòü, êðîìå ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé, ñïðàâåäëèâû òàêæå ñëåäóþùèå:
1) ïîëå �( , )t t1 2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ [5], ò.å. ñó-
ùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ a d( ), d 0; a d( ) � 0, d � � , ÷òî äëÿ ëþáûõ H1,
H R2
2� èìååì
sup{| ( ) ( ) ( ) |P A B P A P B� � ; A H��( )1 , B H a d H H� ��( )} ( ( , ))2 1 2 ,
ãäå
� � �( ) { ( , ), ( , ) }H t t t t H� �1 2 1 2 , d H H t t s s( , ) inf {| | ( , ) ( ) | |1 2 1 2 1 2� � � ,
( , )t t H1 2 1� , ( , )s s H1 2 2� ;
a d
c
d
( ) �
0
21 �
, �� 0;
22 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
2) ñóùåñòâóåò L � 0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ t t1 2, , � èìååì
| ( , , , ( , )) |� �
h t t x t t L1 2 0 1 2� , | ( , , , ( , )) |� ��h t t x t t L1 2 0 1 2� ;
3) äëÿ íåêîòîðîãî � �� 8 /
E h t t x t t{ }| ( , , , ( , )) |1 2 1 2
4� �
� , x X� , t t R1 2, � ;
4) ( ) ( ) ( )g x F xT T1 2 0 0� � �
, ( ) ( ) ( )g x F xT T1 2 0 0� � �� � , T � � ;
5) ñóùåñòâóåò c'' � 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî t R2 �
0
1 1
0
1 2 1 2
�
�
�� �E dt ds ct t s t| |� � ' ' ,
ãäå � � �t t h t t x t t Eh t t x t t
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2� � � �
( , , , ( , )) ( , , , ( , )) ;
6) íàéäåòñÿ c''' � 0 òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ t1 ��
0
2 2
0
1 2 1 2
�
�
�� �E dt ds ct t t s| |� � ''' ;
7) äëÿ ëåâîé ïðîèçâîäíîé âûïîëíåíû óñëîâèÿ, àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿì 5 è 6.
Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( )F x F xT T1 2 0 0� � �
, T T1 2, � � ; (6)
( ) ( ) ( )F x F xT T1 2 0 0� � �� � , T T1 2, � �. (7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì
T T T T T TF x E F x
1 2 1 2 1 20 0� � � �
( ) ( ) ( ) ( ){ }.
Èìååì
E E
T T
h t t x t t dt dt
T T
TT
�
1 2
21
2
1 2 00
1 2 0 1 2 1 2
1
� ���
( , , , ( , ))
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
���
E
T T
h t t x t t dt dt
TT
1
1 2 0
1 2 0 1 2 1 2
0
2
21
( , , , ( , ))�
� �
�
�
�
�
���
E
T T
h t t x t t dt dt
TT
1
1 2 00
1 2 0 1 2 1 2
21
( , , , ( , ))�
� �
�
�
�
�
���
1
1 2 00
1 2 0 1 2 1 2
2
21
T T
Eh t t x t t dt dt
TT
( , , , ( , ))�
� � � �
E
T T
h t t x t t Eh t t x t
1
1 2
1 2 0 1 2 1 2 0 1[ ( , , , ( , )) ( , , , ( ,� � t dt dt
TT
2 1 2
00
2
21
))]��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� � ���
E
T T
h t t x t t Eh
TT
1
1
2
2
2
00
1 2 0 1 2
21
[ ( , , , ( , ))� ( , , , ( , ))]t t x t t
TT
1 2 0 1 2
00
21
� ���
� � � �
[ ( , , , ( , )) ( , , , ( , ))]h s s x s s Eh s s x s s d1 2 0 1 2 1 2 0 1 2� � s ds dt dt1 2 1 2
�
�
�
�
�
� ����E
T T
dt dt ds dst t s s
TTTT
1
1
2
2
2 1 2 1 2
0000
1 2 1 2
2121
� � ,
ãäå � � �t t h t t x t t Eh t t x t t
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2� � � �
( , , , ( , )) ( , , , ( , )).
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 23
Äàëåå ñîãëàñíî [6, 7],
| | / ( | | ( , ) ( , ) | | )E c t t s st t s s� � �
1 2 1 2 1 1 2 1 2
21�
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
E
T T
c
t t s s
dt dt ds
T T
�1 2
2
1
2
2
2
1
1 2 1 2
2 1 2 1
1
1
�
�
| | ( , ) ( , ) | |
ds
c
T T
TTTT
2
0000
2
1 2
2121
���� � .
Îáîçíà÷èì T n n( ) � 2 . Òîãäà P n mT n T m{ } ( ) ( ) , ,� � � �0 1.
Ââåäåì
nm T T T n T m� �sup | |( ) ( )1 2
, T n T T n T m T T m( ) ( ), ( ) ( )� �
� �
1 21 1 .
Ïîëó÷àåì
| | | | , ( ) ( )( ) ( )
T T T n T m nm T n T T n
1 2 1 1�
� �
, T m T T m( ) ( )� �
2 1 .
Èìååì
� �T T T n T m t t
TT
t t
T T
dt dt
n m
1 2 1 2
21
1
1 1
1 2
1 2
00
2 2
� � ���( ) ( ) 2
22
1 2
00
dt dt
mn
�� �
� ��� ��
1 1
1 2
1 2
00 1 2
1 2
00
1 2
21
1 2
22
T T
dt dt
T T
dt dtt t
TT
t t
mn
� �
��� ��
1 1
1 2
1 2
00
2 2 1 2
00
1 2
22
1 2
22
T T
dt dt
n m
dt dtt t
mn
t t
mn
� � �
� �
!
"
#
# �� ��
1
1 2
1 2
00
1 2
00
1 2
21
1 2
2
1
T T
dt dt dt dtt t
TT
t t
mT
� �
#
�
�� ��� � �t t
mT
t t
mn
t tdt dt dt dt dt d
1 2
2
1
1 2
22
1 21 2
00
1 2
00
1 t
n m
dt dt
mn
t t
mn
2
00
2 2 1 2
00
22
1 2
22
1
�� ��
$
%
&
&
&
� ��
�
�� ��
1
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
2
21
1 2
2
2
1
T T
dt dt dt dtt t
m
TT
t t
m
n
T
t� � �
1 2
22
1 2
00
t
mn
dt dt��
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
�
� ��� �
1 1
2 2 1 2
00 1 2
1 2
0
1 2
22
1 2
2
21
n m
dt dt
T T
dt dtt t
mn
t t
m
TT
� �� � �
1
1 2 0
1 2
2
1
2
1 2T T
dt dt
n
T m
t t�
�
!
"
##
$
%
&& ���
1 1 1
1 2
2 2 1 2
00 1 2
1 2
22
1 2T T n m
dt dt
T T
t t
mn
t t� � dt dt
m
Tn
1 2
0 2
2
2
��
�� �
1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
02
2
1 2
2
1
1 2
2
2
T T
dt dt
T T
dt dt
m
T
t t
n
T
t t
m
n
� �
T1
�
1 1
1 2
2 2 1 2
00
1 2
22
T T n m
dt dtt t
mn
�
!
"
##
$
%
&& �� � .
Îáîçíà÷èì
� �nm t t
m
Tn
T T
dt dt T n T T n T� � �
��sup , ( ) ( ), (
1
1
1 2
1 2
0
11 2
2
2
2
m T T m) ( )� �
�
�
�
��
�
�
�
�
2 1 ,
24 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
� �nm
m
T
t t
n
T
T T
dt dt T n T T n T� � �
��sup , ( ) ( ),
1
1
1 2
1 2 1
2
2
1 2
2
1
( ) ( )m T T m� �
�
�
�
��
�
�
�
�
2 1 ,
� �nm
m
n
T
t t
T T
dt dt T n T T n T� � �
��sup , ( ) ( ), (
1
1
1 2 0
1 2 1
2
2
1
1 2
m T T m) ( )� �
�
�
�
��
�
�
�
�
2 1 .
Òîãäà
� � �nm nm nm nm�
�
!
"
#
#
$
%
&
&
� �
sup , ( ) ( ), (( ) ( )
n m
T T
T n T T n T mT n T m
2 2
1 2
11 1 ) ( ) .� �
�
�
�
��
�
�
�
�
T T m2 1 (8)
Äàëåå,
E E
T T
dt dt Tnm t t
m
Tn
( ) sup ,� �2
1 2
1 2
0
2
1
1 2
2
2
2
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
�� ( ) ( ), ( ) ( )n T T n T m T T m� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 21 1
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
� �E
T T
dt dt dt
m
T
t t
n
m
T
sup
1
1
2
2
2 2 1
0
2
2
2
2
1 2
2
2
2
�� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�, ( ) ( ), ( ) ( )T n T T n T m T T m1 21 1
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
��E
m m
n m
dt ds dt t
n
s t
n
( )1 2 2
4 4
0
1 1
0
1 2
2
1 2
2
� � t
m
m
2
1
2
2( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&��
( )
( )
m m
n m
E dt dst t s t
nn
1 2 2
4 4
0
1 1
0
1 2 1 2
22
� �
&
�
� dt
m
m
2
1
2
2( )
�
�
�c
m m
n m
c
n m
3
2 2 2
4 4
4
4 2
1[( ) ]
.
Àíàëîãè÷íî E
c
n m
nm( )� 2 5
2 4
� . Ñëåäîâàòåëüíî,
P n mnm nm{ }� �� � �� �0 0 1, , , .
Äàëåå,
E E
T T
dt dt T n T T nnm
m
T
t t
n
T
( ) sup , ( ) (� �2
1 2
1 2 1
1
2
2
1 2
2
1
� � ���
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�1 12
2
), ( ) ( )T m T T m
� ���E
T T
dt dt ds ds
m
T
t t s s
n
T
m
T
n
sup
1
1
2
2
2 1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
1
2
2
� �
2
1
1 21 1
T
T n T T n T m T T m� � �
� �
�
�
�
��
�
�
�
�
�, ( ) ( ), ( ) ( )
�
�
�
�
��
��E
T T
dt dt ds ds
m
T
t t s s
n
T
sup | |
1
1
2
2
2 1 2 1
2
2
1 2 1 2
2
1
� � 2
2
2
2
1
m
T
n
T
�� ,
T n T T n T m T T m( ) ( ), ( ) ( )� �
� �
�
�
�
�
�1 21 1
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 25
�
��E
n m
dt dt ds ds
m
m
t t s s
n
n
m
1
4 4
1
1 2
1
1 2
2
2
1 2 1 2
2
2 ( )( )
| |� �
2
2
2
2 11 ( )( ) m
n
n
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c n n m m
n m
c
n m
6
2 2 2 2 2 2
4 4
7
2 2
1 1{ } { }( ) ( )
.
Òîãäà P n mnm{ }� � � � �0 1, , .
Ïîñêîëüêó ïðè n T n2
1
21� �
( ) , m T m2
2
21� �
( ) èìååì
n m
T T
2 2
1 2
1 1� � ,
èç (8) ñëåäóåò P n mnm{ }
� � � �0 1, , . Òîãäà P T TT T{ }
1 2
0 11 2� � � �, , .
Àíàëîãè÷íî îöåíèâàåòñÿ ëåâàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Òåïåðü èç óñëîâèÿ 3 ñëåäóåò
óòâåðæäåíèå ëåììû.
Òåîðåìà 1. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñóùåñòâóþò T T01 01� ( )� , T T02 02� ( )� òàêèå, ÷òî
ïðè âñåõ T T1 01� , T T2 02� çàäà÷à (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x T T x( , )1 2 0� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó (2), (3) �
F x c( )0 , � �F x c( )0 .
Ñîãëàñíî ëåììå 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðûõ T01, T02 , èìååì
( ) ( ) , ( ) ( )F x F xT T T T1 2 1 20 00 0� � � �
� . (9)
Èç (9) è âûïóêëîñòè FT T1 2
âûòåêàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈß ÈÇ ÒÅÎÐÈÈ ÁÎËÜØÈÕ ÓÊËÎÍÅÍÈÉ
Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðèåé áîëüøèõ óêëîíåíèé.
Òåîðåìà 2 [8, ñ. 53]. Ïóñòü
� �( , )1 2 , �1, �2 0� , — ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ
ìåð íà H-çàìêíóòîì âûïóêëîì ïîäìíîæåñòâå ñåïàðàáåëüíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàí-
ñòâà J. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 'J -ñîïðÿæåííîìó J ïðîñòðàíñòâó ñó-
ùåñòâóåò
( (( ) lim [ , ]
,
( , )� � �
�
� �� �
� �)
!
"
##
$
%
&&� ��
�
�1 2
1 20
1 2
1 2
,
ãäå (
� �
( ) ln exp , ( )� * +� { }x dx
J
, * +�, x — ñîîòíîøåíèå äâîéñòâåííîñòè. Îáîç-
íà÷èì ( (' '� * + � �( ) sup , ( ),q q J{ }� � � , q H� . Òîãäà (' íåîòðèöàòåëüíà, âû-
ïóêëà, ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó è äëÿ ëþáîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà A H�
ïîëó÷èì
lim sup ln ( ( , )( )) inf ( ),
,� �
� �
� �
1 2 0
1 2 1 2
�
'� � �A q q A{ }( .
Îïðåäåëåíèå 1 [8]. Ïóñòü , — ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî,
{ }�( , ), ( , )t t t t R1 2 1 2
2� — îäíîðîäíîå â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíîå ïîëå íà ( , , )� G P
ñî çíà÷åíèÿìè â , . Ïðè �� 0 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � �1, ,� p , p 2 , íàçûâàþòñÿ
�-èçìåðèìî îòäåëåííûìè, åñëè � j ÿâëÿåòñÿ � �{ }( , ), ( , )t t t t H j1 2 1 2 � -èçìåðèìîé
äëÿ âñåõ j p�{ }1, ,� , ãäå d H Hi j( , ) �, i j- ; H j , j p�1, ,� , áîðåëåâñêèå ìíî-
æåñòâà â �
2 ; d( , )� � — ðàññòîÿíèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè.
Îïðåäåëåíèå 2 [8]. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíîå ïîëå èç îïðåäåëåíèÿ 1 óäîâëåò-
âîðÿåò ïåðâîé ãèïîòåçå ãèïåðïåðåìåøèâàíèÿ, åñëè ñóùåñòâóþò �0 �
R è íåâîç-
ðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ � � �: [ , ){ }� �
�0 1 òàêèå, ÷òî
lim ( )
�
� �
��
�1; | | , , | | | | | | ( )� � � � �1
1
1� p L j L
j
p
�
�
.
26 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
ïðè âñåõ p 2, � �� 0 , à òàêæå �-èçìåðèìî îòäåëåííûõ � �1, ,� p , ãäå
| | | | ( | | ) /� �
L
r r
r E� { } 1 .
ÁÎËÜØÈÅ ÓÊËÎÍÅÍÈß ÄËß ÎÄÍÎÐÎÄÍÎÃÎ ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÏÎËß
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X — êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî J. Êàê èçâåñòíî [9], èìååì
( ( )) ( )C X M X' � — ñîâîêóïíîñòü îãðàíè÷åííûõ çíàêîâûõ ìåð íà X , à òàêæå
* + � �g Q g x Q dx
X
, ( ) ( ); g C X� ( ), Q M X� ( ).
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü �( , ), ( , )t t t t R1 2 1 2
2� , — îäíîðîäíîå â óçêîì ñìûñëå ñëó-
÷àéíîå ïîëå ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè, óäîâëåòâîðÿþùåå ïåðâîé ãèïîòåçå
ãèïåðïåðåìåøèâàíèÿ íà ( , , )� G P , ñî çíà÷åíèÿìè â êîìïàêòíîì âûïóêëîì ìíî-
æåñòâå K C X� ( ). Òîãäà äëÿ âñåõ Q M X� ( ) ñóùåñòâóåò
(( ) lim ln exp ( , )( ) ( )
,
Q
T T
E t t x dt dt Q dx
T T
T
�
��1 2
1
1 2
1 2 1 2
0
�
21
0
���
!
"
#
#
$
%
&
&� ��
�
T
X
[ , ]
è äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî A K� èìååì
lim sup ln ( , )
,T T
TT
T T
P
T T
t t dt dt A
1 2
21
1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
00��
�� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
� � �'inf ( ),{ }( g g A ,
ãäå ( (' � � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�( ) sup ( ) ( ) ( ), ( )g g x Q dx Q Q M X
X
— íåîòðèöàòåëüíàÿ âûïóêëàÿ
ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì Q M X� ( ). Ïóñòü �0 — êîíñòàíòà èç óñëîâèÿ
ãèïåðïåðåìåøèâàíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � �� 0 ; S i � �, S Ti i
, i �1 2, . Èìååì
T N S ri T i Ti i
�
, NTi
�� , r ST ii
, i �1 2, .
Îáîçíà÷èì
f E t t x dt dt Q dxT T
TT
X
1 2
21
1 2 1 2
00
�
�
�
�
��
�
���ln exp ( , )( ) ( )� �
�
�
!
"
#
##
$
%
&
&&
,
(10)
c g g K� �max | | | | ,{ }, | | | | max | ( ) | ,g g x x X� �{ }, g C X� ( ).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå [9]
�( , ) sup | ( ) |, , , ( ),Q X Q H H H i j H B X ki
i
k
i j i� � �/ - � �
�
�
�
� �
0
1
�
�
�
�
�
�
�, Q M X� ( ).
Èìååì
[ , ] [ , ] [ , ( ) ] [ , (0 0 11 2
0
1
1 1 1 1 2 2 2
2
2
T T j S j S j S j
j
NT
� �
�
�
�
� {
�
�
1 2
0
1
1
1
) ]S
j
NT
}� �
� � �
j
N
T
T
j S j S N S T
1
1
2
0
1
1 1 1 1 2 21
�
�
�{ }[ , ( ) ] [ , ]
� � �
j
N
T T
T
N S T j S j S N S T
2
2
1 1
0
1
1 1 2 2 2 2 1 11
�
�
�
{ }[ , ] [ , ( ) ] [ , ]� �[ , ]N S TT2 2 2
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 27
�
� �
�
�
�
�
j
N
j
N TT
j S j S j S j
2
2
1
1
0
1
0
1
1 1 1 1 2 2 21�� {[ , ( ) ] [ , (� 1 2) ]S � � }�
� ��
j
N
j
N TT
j S j S j S
2
2
1
1
0
1
0
1
1 1 1 1 2 21 1
�
�
�
�
� �
�{[ , ( ) ] [( )� �, ( ) ]j S2 21
}�
� �
j
NT
j S j S j S j S
2
2
0
1
1 1 1 1 2 2 2 21 1 1
�
�
�
�
�{[( ) , ( ) ] [ , ( )� �]}
j
NT
1
1
0
1
�
�
� �
� �
j
NT
j S j S j S j
2
2
0
1
1 1 1 1 2 2 21 1 1
�
�
�
�
�
{[( ) , ( ) ] [( ) , (� � 1 2
0
1
1
1
) ]S
j
NT
}
�
�
� �
� � �
j
N
T
T
j S j S N S T
1
1
2
0
1
1 1 1 1 2 21
�
�
� �{ }[ , ( ) ] [ , ]�
� � �
j
N
T
T
j S j S N S T
1
1
2
0
1
1 1 1 1 2 21 1
�
�
�
�{ }[( ) , ( ) ] [ , ]�
� � �
j
N
T
T
N S T j S j S
2
2
1
0
1
1 1 2 2 2 21
�
�
�
�{ }[ , ] [ , ( ) ]�
� � �
j
N
T T
T
N S T j S j S N
2
2
1 1
0
1
1 1 2 2 2 21 1
�
�
�
�
{ }[ , ] [( ) , ( ) ] [� S T N S TT1 1 2 22
, ] [ , ]� .
Ñëåäîâàòåëüíî,
f E t t x dt dtT T
j S
j S
j S
j
1 2
2 2
2 2
1 1
1
1 2 1 2�
�
�ln exp ( , )( )
( )( �
�
1 1
2
2
1
1
1
0
1
0
1
�
�
�
�
�
�00�
�
�
�
�
�
�
�
��
!
"
#
#
#
)S
j
N
j
N
X
TT �
�
�
�
( )
( )( )
( , )( )
j S
j S
j S
j S
t t x dt dt
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
1 2 1 2
1
�
�
�
�00
�
�
�
�
j
N
j
N TT
2
2
1
1
0
1
0
1
�
�
�
j S
j S
j S
j S
t t x dt dt
2 2
2 2
1 1
1 1
1 2 1 2
1
1 ( )
( )
( )
( , )( )
�
�
�
1
2
2
1
1
0
1
0
1
�00
�
�
�
�
j
N
j
N TT
�
�
�
( )
( )
( )
(
( , )( )
j S
j S
j S
j
t t x dt dt
2 2
2 2
1 1
1
1
1
1 2 1 2
1 ��
�
�
�
�
�
�00
1
0
1
0
1 1
2
2
1
1
)S
j
N
j
N TT
��0
�
�
�
N S
T
j S
j S
j
N
T
T
t t x dt dt
2 2
2
1 1
1 1
1
1
1
0
1
1 2 1
( )
( , )( )
�
� 2
��
�
� N S
T
j S
j S
j
N
T
t t x dt dt
2 2
2
1 1
1 1
1
1 2 1 2
1
1
0
�
�
( , )( )
( )
( )T
T j S
j S
N S
T
j
t t x dt dt
1
2 2
2 2
1 1
1
2
1 1
1 2 1 2
0
�
�
�
0 ��
( )
( , )( )
�
�
NT2
1�
0
�
�
��
( )
( )
( , )( )
j S
j S
N S
T
j
N
t t x dt dt
T 2 2
2 2
1 1
1
2 1
1
1 2 1 2
0 �
�
T
TT N S
T
N S
T
t t x dt dt Q dx
2
2 2
2
1 1
11
1 2 1 2
�
0 ��
�
�
�
�
�
��( , )( ) ( )
�
�
$
%
&
&
&
. (11)
28 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Èìåþò ìåñòî îöåíêè
( )
( )
( )
( )
( , )( )
j S
j S
j S
j S
t t x d
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
1
1
1 2
�
�
��
��
� t dt Q dx c Q X N N
Xj
N
j
N
T T
TT
1 2
0
1
0
1
2
2
2
1
1
1 2
( ) ( , )�00
�
�
�
�
� � � ;
N S
T
j S
j S
X T
t t x dt dt Q dx
2 2
2
1 1
1 1
1 2 1 2
1
1
��
�
�
�
( , )( ) ( )
( )
( )
�0
�
�
�
j
N
T T
T
cr Q X N
1
1
2 1
0
1
��( , ) ;
( )
( )
( , )( )
j S
j S
N S
T
Xj
N
T
T
t t x
2 2
2 2
1 1
1
2
2
1
1
0
1
1 2
�
�
�
���0
�
� dt dt Q dx cr Q X NT T1 2 1 2
( ) ( , )� �� ;
N S
T
N S
T
X
T T
TT
t t x dt dt Q dx cr r
2 2
2
1 1
1
1 21 2 1 2��� �� �( , )( ) ( ) (Q X, ) ;
( )
( )( )
( , )( )
j S
j S
j S
j S
t t x dt dt
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
1 2 1 2
1
�
�
�
�
�
���00
�
�
�
�
� �
Xj
N
j
N
T T
TT
Q dx c S Q X N N
2
2
1
1
1 2
0
1
0
1
1( ) ( ) ( , )� � � ;
j S
j S
j S
j S
t t x dt dt
2 2
2 2
1 1
1 1 1
1 2 1 2
1
1 ( )
( )
( )
( , )( )
�
�
�
�
�
���00
�
�
�
�
� �
Xj
N
j
N
T T
TT
Q dx c S Q X N N
2
2
1
1
1 2
0
1
0
1
2( ) ( ) ( , )� � � ;
N S
T
j S
j S
Xj
T
t t x dt dt Q dx
2 2
2
1 1
1 1
1
1 2 1 2
1
���
�
�
�
�
( , )( ) ( )
( )
0
1
1
1
2 1
N
T T
T
c S r Q X N
�
0 � �( ) ( , )� � ;
j S
j S
N S
T
Xj
t t x dt dt Q dx
T 2 2
2 2
1 1
1
2
1
1 2 1 2
( )
( , )( ) ( )
�
�
���
�
�
0
1
2
2
1 2
N
T T
T
cr S Q X N
�
0 � �( ) ( , )� � .
Îáîçíà÷èì
A t t x dt dt
j S
j S
j S
j S
1
1
1 2 1 2
1
2 2
2 2
1 1
1 1
�
�
�
��
( )( )
( , )( )
��
� Q dx
Xj
N
j
N TT
( )�00
�
�
�
�
2
2
1
1
0
1
0
1
.
Àíàëîãè÷íî ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ ïîä çíàêîì ýêñ-
ïîíåíòû â (11). Ïîëó÷àåì
f E A E AT T i
i
i
i
1 2
1
9
1
9
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� �
0ln exp ln exp.
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� � �ln (exp ( ) ( , ) exp ( ) ( , ){ } {c S Q X N N c S Q X NT T T� � � � � �1 21 2 1
NT2
}�
� � �exp ( , ) exp ( ) ( , ){ } { }c Q X N N c S r Q X NT T T T� � � �2
11 2 2 1
� �exp ( , ) exp ( ) ( , ) exp{ } { } {c r Q X N cr S Q X N cT T T T� � � � �
2 1 1 22 r Q X NT T1 2
�( , ) }�
� � �exp ( , ) exp ){ }cr r Q X E AT T1 2 1�
� �
�
c S Q X N N c S Q X N N c QT T T T� � � � � � � �( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ,1 2
2
1 2 1 2
X N NT T)
1 2
�
�c S r Q X N c r Q X N cr S QT T T T T( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ,1 22 1 2 1 1
� � � � � � X NT)
2
cr Q X N cr r Q X E AT T T T1 2 1 2 1�� �( , ) ( , ) ln ( exp ).
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 29
Èìååì
exp exp ( , )( )
( )(
A t t x dt dt
j S
j S
j S
j
1
1
1 2 1 2
1
2 2
2 2
1 1
1
�
�
�
�
�
)
( )
S
Xj
N
j
N
Q dx
TT 1
2
2
1
1
0
1
0
1 �
�
�
�
�
��..
�
.
 ñèëó ïåðâîé ãèïîòåçû ãèïåðïåðåìåøèâàíèÿ
E Aexp 1 �
�
�
�
�E t t x dt dt
j S
j S
j S
j S
exp ( , )( )
( )( )
2 2
2 2
1 1
1 1 1
1 2 1 2
1 �
�
�
� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
##
$
%
&
&
&&
Q dx
Xj
( )
( ) ( )
1
2�
�
�
�
.. �
0
1
0
1
2
1
1
N
j
N TT
�
�
�E t t x dt dt
j S
j S
j S
j
exp ( ) ( , )( )
( )(
� � �
�
2 2
2 2
1 1
1 1
1 2 1 2
1) ( )
( )
S
Xj
Q dx
1
2
1
0
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
� � �N
j
N TT 2
1
1
1
0
1 �
�
�
.. �
�
�
�
�
�
���
���E t t x dt dt Q dx
SS
X
exp ( ) ( , )( ) ( )� � �
��
00
1 2 1 2
21
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
N NT T1 2
� �( )
.
Äàëåå, èìååì
� � �
��
( ) ( , )( ) ( )
00
1 2 1 2
21 SS
X
t t x dt dt Q dx
��
��� �
� �
��
���( ( ) ) ( , )( ) ( )� � �
��
1
0
1 2 1 2
0
21 SS
X
t t x dt dt Q dx
� �
��
���
00
1 2 1 2 1
21
1
SS
X
t t x dt dt Q dx c S
��
� � �( , )( ) ( ) ( ( ) ) ( � �
� � �)( ) ( , )S Q X2
��
���
00
1 2 1 2
21 SS
X
t t x dt dt Q dx
��
�( , )( ) ( ) .
Çàïèøåì
0
1 2 1 2
0
1 2 1 2
0
21 2SS S
t t x dt dt t t x dt dt
��
�� �
��
� �( , )( ) ( , )( )�� ��� �
�0 0
1 2 1 2
1 2
1
1S S
S
S
t t x dt dt�
�
( , )( )
� �
�
�
�� �
S
SS S
t t x dt dt t t x dt
2
21 2
0
1 2 1 2
0
1 2 1
�
�
� �( , )( ) ( , )( ) dt c S c S
S
2
0
2 1
1
�
�� � �( ) .
Ñëåäîâàòåëüíî,
0
1 2 1 2
0 00
1
21 21SS
X
SS
t t x dt dt Q dx t
��
��� ���
��
� �( , )( ) ( ) ( , t x dt dt Q dx
X
2 1 2)( ) ( )�
�c S Q X c S Q X� � � ��2 1( , ) ( ) ( , ).
Ïîëó÷àåì
� � � �
��
( ) ( , )( ) ( ) ( , )(
00
1 2 1 2 1 2
21 SS
X
t t x dt dt Q dx t t
��
��� � x dt dt Q dx
SS
X
) ( )1 2
00
21
���
�
� � �c S Q X c S Q X c S S� � � �� � � � � �2 1 1 21( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ) ( )( ) (Q X, ).
30 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Òîãäà
exp ( ) ( , )( ) ( )� � �
��
t t x dt dt Q dx
SS
X
1 2 1 2
00
21 ��
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����exp ( , )( ) ( )� t t x dt dt Q dx
SS
X
1 2 1 2
00
21
� � �exp [ ( , )]exp[ ( ) ( , )]c S Q X c S Q X� � � ��2 1
� � � �exp [( ( ) ) ( )( ) ( , )]� � � � �1 1 2c S S Q X .
Èìååì
ln ( exp ) ln exp ( ) ( , )( )E A E t t x dt dt
S
1
0
1 2 1 2
0
2
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�S
X
N N
Q dx
T T
1
1 2
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
� � �
( )
( )
�
�
�
�
�
�
��
��
N N
E t t x dt dt
T T
SS
1 2
21
0
1 2 1 2
0
� �
� � �
��
( )
ln exp ( ) ( , )( ) Q dx
X
( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
�
�
!
"
#
##
�
N N
c S Q X c S Q X
T T1 2
2 1
� �
� � � ��
( )
ln exp[ ( , )]exp[ ( ) ( , )]�
� � � � �exp[( ( ) ) ( )( ) ( , )]� � � � �1 1 2c S S Q X
�
�
�
�
�
�
�
�
�
$
%
&
&&���E t t x dt dt Q dx
SS
X
exp ( , )( ) ( )� 1 2 1 2
00
21
�
�
�
N N
c S Q X c S Q X
T T1 2
2 1
� �
� � � ��
( )
( ( , ) ( ) ( , )
� � �
( ( ) ) ( )( ) ( , ) )� � � � �1 1 2 1 2
c S S Q X f S S .
Ïîëó÷àåì
f c S Q X N N c S Q X N N cT T T T T T1 2 1 2 1 21 2� �
�
� � � � � � �( ) ( , ) ( ) ( , ) 2
1 2
�( , )Q X N NT T
�
�c S r Q X N c r Q X N cr S QT T T T T( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ,1 22 1 2 1 1
� � � � � � X NT)
2
cr Q X N cr r Q X
N N
c S Q XT T T T
T T
1 2 1 2
1 2
2�� �
� �
� �( , ) ( , )
( )
( ( , )
�
� � �
c S Q X c S S Q X f S S( ) ( , ) ( ( ) ) ( )( ) ( , ) )1 1 21
1 2
� �� � � � � � .
Ñëåäîâàòåëüíî,
f
T T
c S Q X N N
N S N S
c ST T T T
T T
1 2 1 2
1 21 2
1
1 2
2
�
�
�( ) ( , ) ( )� �� � ��( , )Q X N N
N S N S
T T
T T
1 2
1 21 2
�c Q X N N
N S N S
c S r Q X N
N S
T T
T T
T T
T
� � � �2
1 2
11 2
1 2
2 1
1
( , ) ( ) ( , )
1 2 1 2
2 1
1
T
c r Q X N
N S T
T T
T
� �( , )
�
c S r Q X N
N S T
c r Q X N
N S T
T T
T
T T
T
( ) ( , ) ( , )2
2 1 2 1
1 2
2
1 2
2
� � � � cr r Q X
T T
N N
N S N S
T T T T
T T
1 2 1 2
1 22 1 1 2
�
� �
( , )
( )
�
( ( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ) ( )( ) (c S Q X c S Q X c S S� � � �� � � � � �2 1 1 21
�
� � � Q X f S S, ) )
�
1 2
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 31
�
�
�
c S Q X
S S
c S Q X
S S
c Q X
S
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )1
1 2
2
1 2
2
1
� �� � �� � �
S 2
�
�c S r Q X
S T
c r Q X
S T
c S rT T T( ) ( , ) ( , ) ( ) (1
1 2 1 2
22 2 1
� � � � � � Q X
S T
, )
2 1
c r Q X
S T
cr r Q X
T T S S
c S
T T T� � �
� �
� �1 1 2
2 1 2 1 1 2
2
1( , ) ( , )
( )
( ( , )Q X
�
� � �
c S Q X c S S Q X f S S( ) ( , ) ( ( ) ) ( )( ) ( , ) )1 1 21
1 2
� �� � � � � � .
Óñòðåìèâ T1, T2 ê � , ïîëó÷èì
lim sup
( ) ( , ) ( )
,T T
T Tf
T T
c S Q X
S S
c S
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
��
�
�
�� �� � �� � �
� �
( , ) ( , )
( )
Q X
S S
c Q X
S S S S1 2
2
1 2 1 2
1
�
�
�
� � �( ( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ) ( )( )c S Q X c S Q X c S S� � � �� � � � � �2 1 1 21 ( , ) )Q X f S S
1 2
.
Ïðè S S1 2, � � èìååì
lim sup
( ( ) ) ( , )
( ) ( )
li
,T T
T Tf
T T
c Q X
1 2
1 2
1 2
1 1
��
�
�
� � �
� � � �
m inf
,S S
S Sf
S S
1 2
1 2
1 2��
.
Óñòðåìèâ � ê � , ïîëó÷èì
lim sup lim inf
, ,T T
T T
S S
S Sf
T T
f
S S
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2�� ��
� .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò
(( ) lim [ , ]
,
Q
f
T TT T
T T
� � ��
�
��1 2
1 2
1 2
.
Ïðèìåíèì òåîðåìó 2. Èìååì
H K� , J C X� ( ), J M X' � ( ), * + � �Q g g x Q dx
X
, ( ) ( ), � �1
1
2
2
1 1
� �
T T
, .
Äàëåå,
1 1
1 2T T
,
!
"
##
$
%
&& — âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà C X( ) , çàäàâàåìàÿ ðàñïðåäåëåíèåì
1
1 2
1 2 1 2
00
21
T T
t t dt dt
TT
�( , )�� . Òîãäà
lim
,
( , )
� �
� �� �
� �1 2
1 20
1 2
1 2�
!
"
##
$
%
&& �(
Q
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�� �lim ln exp ( ) ( )
,T T
X
T T
g x T T Q dx
T1 2
1 1
1 2
1 2
1
, ( )
( )
1
2T
dg
C X
!
"
##
$
%
&&
!
"
#
#
$
%
&
& ��
�
!
�� ��lim ln exp ( , )
,T T
TT
T T
E
T T
t t dt dt
1 2
21
1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
00
�
"
#
#
$
%
&
&
�
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
�� ( ) ( )x T T Q dx
X
1 2
� �
��
lim ( )
,T T
T Tf
T T
Q
1 2
1 2
1 2
( .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
32 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
ÎÖÅÍÊÀ ÁÎËÜØÈÕ ÓÊËÎÍÅÍÈÉ ÄËß ÈÑÕÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å (1).
Òåîðåìà 4. Ïóñòü ïîëå { }�( , ), ( , )t t t t1 2 1 2
2�� óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîé ãèïîòåçå ãè-
ïåðïåðåìåøèâàíèÿ. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ h íå çàâèñèò îò t1, t2 . Ñäåëàåì
åùå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ôóíêöèÿ min [ ( , ), ( , )],� � �
�h x y h x y y R0 0 , íåïðåðûâíà.
Òîãäà
lim sup ln ( ) inf ( ), [ ; ]
,T T
T T
c
T T
P A V z z L
1 2
1 2
1
0
1 2��
'� � � �{ }, (12)
ãäå
V z zQ X V Q Q M X' � � �( ) sup ( ) ( ), ( ){ },
V Q
T T
E Q X h x t t h x( ) lim ln exp ( ) min [ ( , ( , )), (� � �
�
1
1 2
0 1 2 0� , ( , ))]� t t dt dt
TT
1 2 1 2
00
21
��
�
�
�
��
�
�
�
�
,
T T1 2, � � ,
A F x x x XT T T T1 2 1 2 0� � �{ { } }� : arg min ( ) , , A A
T T
c
T T
1 2 1 2
� �� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
P A P F x F x L
T T
c
T T T T( ) min [( ) ( ), ( ) ( )] [ ;
1 2 1 2 1 20 0 0� � � � �
�{ ]} �
� � �
�P
T T
h x t t h x t t dt dt
1
1 2
0 1 2 0 1 2 1min [ ( , ( , )), ( , ( , ))]� � 2
00
21
0
TT
L�� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
[ ; ] . (13)
Îáîçíà÷èì K x x X L L� � � � �{ ( ) , ; [ ; ]}� � � . Î÷åâèäíî, ÷òî K — êîìïàêò-
íîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî C X( ).
Èññëåäóåì ôóíêöèþ
a a x h x t t h x t tt t t t1 2 1 2 0 1 2 0 1 2� � � �
�( ) min [ ( , ( , )), ( , ( ,� � ))], x X� .
Ïðè âñåõ t t1 2, , � èìååì a Kt t1 2
( )� � . Ïîëîæèì K x x X L1 0� � � � �{ }� � �( ) , ; [ ; ] .
Ïîëó÷àåì, ÷òî K1 — çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî K. Äàëåå,
P
T T
h x t t h x t t dt dt
1
1 2
0 1 2 0 1 2 1 2min [ ( , ( , )), ( , ( , ))]� �
�� �
00
21
0
TT
L�� � �
�
�
�
��
�
�
�
�
�[ ; ]
� ��� �P
T T
a dt dt
T T
a dt dtt t
TT
t t
TT
1 1
1 2
1 2
00 1 2
1 2
00
1 2
21
1 2
21
� �
!
"
#
#
$
%
&
&�
�
�
�
��
�
�
�
�
( ),x x X K1 . (14)
Ïðèìåíèì òåîðåìó 3. Èìååì
limsup ln
,T T
t t
TT
T T
P
T T
a dt dt K
1 2
1 2
21
1 1
1 2 1 2
1 2
00
1
��
�� �
�
�
�
��
�
�
�
�
� � �'inf ( ),{ }V z z K1 , (15)
ãäå
V z zQ X V Q Q M X* ( ) sup ( ) ( ), ( )� � �{ },
V Q
T T
E a Q dx dt dt
T T
t t
X
TT
( ) lim ln exp ( )
,
�
�� ��
1 2
1 2
2
1
1 2
1 2
00
1
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�� ��lim ln exp ( )
,T T
t t
TT
T T
E Q X a dt dt
1 2
1 2
21
1
1 2
1 2
00
�
�
�
�
.
Èç (13)–(15) âûòåêàåò (12). Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 33
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ, ãäå âîçíèêà-
åò çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, â ÷àñòíîñòè, ïðè îöåíêå êîýôôèöèåí-
òîâ ðåãðåññèè, â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ è ò.ä., êîãäà òðåáóåòñÿ íàéòè îïòè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ïðè íåîäíîðîäíûõ èëè îäíîðîäíûõ íàáëþäåíèÿõ
ñëó÷àéíîãî ïîëÿ íà ïëîñêîñòè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Mikhalevich V.S., Knopov P.S., Golodnikov A.N. Mathematical models and methods of riks assessment in
ecologically hazardous industries. Cybernetics and Systems Analysis. 1994. Vol. 30, N 2. P. 259–273.
2. Knopov P.S., Kasitskaya E.J. Properties of empirical estimates in stochastic optimization and identification
problems programming problems. Annals of Operations Research. 1995. Vol. 56, N 1. P. 225–239.
3. Knopov P.S. Asymptotic properties of some classes of m-estimates. Cybernetics and Systems Analysis. 1997.
Vol. 33, N 4. P. 468–481.
4. Êíîïîâ Ï.Ñ., Êàñèöêàÿ Å.È. Î áîëüøèõ óêëîíåíèÿõ ýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê â çàäà÷å ñòîõàñòè÷åñêîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íåñòàöèîíàðíûõ íàáëþäåíèÿõ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2010.
Ò. 46, ¹ 5. Ñ. 46–50.
5. Ëåîíåíêî Í.Í. Îá îöåíêàõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Óêð.
ìàò. æóðí. 1978. ¹ 6. Ñ. 749–756.
6. Ivanov A.V., Leonenko N.N. Statistical analysis of random fields. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1989.
244 p.
7. Êíîïîâ Ï.Ñ. Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1981.
151 ñ.
8. Deuscel J.-D., Stroock D.W. Large deviations. Boston, etc.: Academ. Press, 1989. 306 p.
9. Dunford N., Schwartz J. Linear operators, Part I: General theory. New York: Interscience, 1957. 896 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.07.2020
Ï.Ñ. Êíîïîâ, ª.É. Êàñ³öüêà
ÊÎÍÇÈÑÒÅÍÒͲÑÒÜ ² ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÂÅËÈÊÈÕ Â²ÄÕÈËÅÍÜ ÅÌϲÐÈ×ÍÈÕ
ÎÖ²ÍÎÊ Â ÇÀÄÀײ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×Íί ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯ ÄËß ÎÄÍÎвÄÍÎÃÎ
ÂÈÏÀÄÊÎÂÎÃÎ ÏÎËß ÇÀ ÍÅÎÄÍÎвÄÍÈÕ ÒÀ ÎÄÍÎвÄÍÈÕ ÑÏÎÑÒÅÐÅÆÅÍÜ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ñòîõàñòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ, ó ÿê³é åìï³ðè÷-
íó ôóíêö³þ áóäóþòü çà íåîäíîð³äíèìè ñïîñòåðåæåííÿìè îäíîð³äíîãî âè-
ïàäêîâîãî ïîëÿ. Äîñë³äæåíî îäíîð³äíå ó âóçüêîìó ðîçóì³íí³ âèïàäêîâå
ïîëå, ùî çàäîâîëüíÿº óìîâ³ ñèëüíîãî ïåðåì³øóâàííÿ. Íàâåäåíî óìîâè, çà
ÿêèõ åìï³ðè÷íà îö³íêà º êîíçèñòåíòíîþ òà îö³íåíî ¿¿ âåëèê³ â³äõèëåííÿ äëÿ
îäíîð³äíèõ ñïîñòåðåæåíü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: çàäà÷à ñòîõàñòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ, îäíîð³äíå ó âóçüêîìó
ðîçóì³íí³ âèïàäêîâå ïîëå, íåîäíîð³äí³ ñïîñòåðåæåííÿ, óìîâà ñèëüíîãî ïå-
ðåì³øóâàííÿ, âåëèê³ â³äõèëåííÿ.
P.S. Knopov, E.J. Kasitskaya
CONSISTENCY AND PROPERTIES OF LARGE DEVIATIONS OF EMPIRICAL ESTIMATES
IN STOCHASTIC OPTIMIZATION PROBLEMS FOR HOMOGENEOUS RANDOM FIELDS
UNDER NONHOMOGENEOUS AND HOMOGENEOUS OBSERVATIONS
Abstract. The paper considers a stochastic programming problem with the
empirical function constructed from nonhomogeneous observations of a homo-
geneous random field. The field satisfying the strong mixing condition is
investigated in the problem. The conditions whereby the empirical estimate is
consistent are given, and large deviations of the estimate for homogeneous
observations are considered.
Keywords: stochastic programming problem, a homogeneous in a strict sense
random field, nonhomogeneous observations, strong mixing condition, large
deviations.
Êíîïîâ Ïàâåë Ñîëîìîíîâè÷,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé îòäåëîì Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: knopov1@yahoo.com.
Êàñèöêàÿ Åâãåíèÿ Èîñèôîâíà,
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: e.kasitskaya@gmail.com.
34 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190582 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:26Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кнопов, П.С. Касицкая, Е.И. 2023-06-14T10:47:54Z 2023-06-14T10:47:54Z 2021 Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях / П.С. Кнопов, Е.И. Касицкая // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 21–34. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190582 519.21 Рассмотрена задача стохастического программирования, где эмпирическая функция строится по неоднородным наблюдениям однородного случайного поля. Исследовано однородное в узком смысле случайное поле, удовлетворяющее условию сильного перемешивания. Приведены условия, при которых эмпирическая оценка является состоятельной и оцениваются ее большие уклонения для однородных наблюдений. Розглянуто задачу стохастичного програмування, у якій емпіричну функцію будують за неоднорідними спостереженнями однорідного випадкового поля. Досліджено однорідне у вузькому розумінні випадкове поле, що задовольняє умові сильного перемішування. Наведено умови, за яких емпірична оцінка є конзистентною та оцінено її великі відхилення для однорідних спостережень. The paper considers a stochastic programming problem with the empirical function constructed from nonhomogeneous observations of a homogeneous random field. The field satisfying the strong mixing condition is investigated in the problem. The conditions whereby the empirical estimate is consistent are given, and large deviations of the estimate for homogeneous observations are considered. Работа выполнена при поддержке гранта 2020.02/0121 Национального фонда исследований Украины. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях Конзистентність і властивості великих відхилень емпіричних оцінок в задачі стохастичної оптимізації для однорідного випадкового поля за неоднорідних та однорідних спостережень Consistency and properties of large deviations of empirical estimates in stochastic optimization problems for homogeneous random fields under nonhomogeneous and homogeneous observations Article published earlier |
| spellingShingle | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях Кнопов, П.С. Касицкая, Е.И. Системний аналіз |
| title | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| title_alt | Конзистентність і властивості великих відхилень емпіричних оцінок в задачі стохастичної оптимізації для однорідного випадкового поля за неоднорідних та однорідних спостережень Consistency and properties of large deviations of empirical estimates in stochastic optimization problems for homogeneous random fields under nonhomogeneous and homogeneous observations |
| title_full | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| title_fullStr | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| title_full_unstemmed | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| title_short | Состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| title_sort | состоятельность и свойства больших уклонений эмпирических оценок в задаче стохастической оптимизации для однородного случайного поля при неоднородных и однородных наблюдениях |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190582 |
| work_keys_str_mv | AT knopovps sostoâtelʹnostʹisvoistvabolʹšihukloneniiémpiričeskihocenokvzadačestohastičeskoioptimizaciidlâodnorodnogoslučainogopolâprineodnorodnyhiodnorodnyhnablûdeniâh AT kasickaâei sostoâtelʹnostʹisvoistvabolʹšihukloneniiémpiričeskihocenokvzadačestohastičeskoioptimizaciidlâodnorodnogoslučainogopolâprineodnorodnyhiodnorodnyhnablûdeniâh AT knopovps konzistentnístʹívlastivostívelikihvídhilenʹempíričnihocínokvzadačístohastičnoíoptimízacíídlâodnorídnogovipadkovogopolâzaneodnorídnihtaodnorídnihspostereženʹ AT kasickaâei konzistentnístʹívlastivostívelikihvídhilenʹempíričnihocínokvzadačístohastičnoíoptimízacíídlâodnorídnogovipadkovogopolâzaneodnorídnihtaodnorídnihspostereženʹ AT knopovps consistencyandpropertiesoflargedeviationsofempiricalestimatesinstochasticoptimizationproblemsforhomogeneousrandomfieldsundernonhomogeneousandhomogeneousobservations AT kasickaâei consistencyandpropertiesoflargedeviationsofempiricalestimatesinstochasticoptimizationproblemsforhomogeneousrandomfieldsundernonhomogeneousandhomogeneousobservations |