Меры риска в виде инфимальной конволюции
Изучены свойства мер риска, построенных в виде инфимальной конволюции. Описано двойственное представление таких мер, их субдифференциал, условия экстремума, представление для оптимизации и использования в ограничениях. Результаты исследования продемонстрированы на примерах известных мер риска такой...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кібернетика та системний аналіз |
|---|---|
| Datum: | 2021 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190583 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Меры риска в виде инфимальной конволюции / В.С. Кирилюк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 35–54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190583 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кирилюк, В.С. 2023-06-14T10:51:32Z 2023-06-14T10:51:32Z 2021 Меры риска в виде инфимальной конволюции / В.С. Кирилюк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 35–54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190583 519.21 Изучены свойства мер риска, построенных в виде инфимальной конволюции. Описано двойственное представление таких мер, их субдифференциал, условия экстремума, представление для оптимизации и использования в ограничениях. Результаты исследования продемонстрированы на примерах известных мер риска такой конструкции. Это позволяет систематизировать известные результаты и облегчить потенциальный поиск новых вариантов мер риска. Вивчено властивості мір ризику, побудованих у вигляді інфімальної конволюції. Описано двоїсте представлення таких мір, їхній субдиференціал, умови екстремуму, представлення для оптимізації та використання в обмеженнях. Результати вивчення демонструються на прикладах відомих мір ризику такої конструкції. Це дає змогу систематизувати відомі результати і полегшити потенційний пошук нових варіантів мір ризику. The properties of risk measures in the form of infimal convolution are studied. The dual representation of such measures, their subdifferential, extremum conditions, representation for optimization and use in constraints are described. The results of the study are demonstrated by examples of known risk measures of such construction. This allows systematization of the well-known results and facilitates a potential search for new variants of risk measures. Работа частично поддержана грантом CPEA-LT-2016/10003 Норвежского агентства по международному сотрудничеству и повышению качества высшего образования (the Norwegian Agency for International Cooperation and Quality Enhancement in Higher Education (Diku)). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Меры риска в виде инфимальной конволюции Міри ризику у вигляді інфімальної конволюції Risk measures in the form of infimal convolution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Меры риска в виде инфимальной конволюции |
| spellingShingle |
Меры риска в виде инфимальной конволюции Кирилюк, В.С. Системний аналіз |
| title_short |
Меры риска в виде инфимальной конволюции |
| title_full |
Меры риска в виде инфимальной конволюции |
| title_fullStr |
Меры риска в виде инфимальной конволюции |
| title_full_unstemmed |
Меры риска в виде инфимальной конволюции |
| title_sort |
меры риска в виде инфимальной конволюции |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2021 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кібернетика та системний аналіз |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Міри ризику у вигляді інфімальної конволюції Risk measures in the form of infimal convolution |
| description |
Изучены свойства мер риска, построенных в виде инфимальной конволюции. Описано двойственное представление таких мер, их субдифференциал, условия экстремума, представление для оптимизации и использования в ограничениях. Результаты исследования продемонстрированы на примерах известных мер риска такой конструкции. Это позволяет систематизировать известные результаты и облегчить потенциальный поиск новых вариантов мер риска.
Вивчено властивості мір ризику, побудованих у вигляді інфімальної конволюції. Описано двоїсте представлення таких мір, їхній субдиференціал, умови екстремуму, представлення для оптимізації та використання в обмеженнях. Результати вивчення демонструються на прикладах відомих мір ризику такої конструкції. Це дає змогу систематизувати відомі результати і полегшити потенційний пошук нових варіантів мір ризику.
The properties of risk measures in the form of infimal convolution are studied. The dual representation of such measures, their subdifferential, extremum conditions, representation for optimization and use in constraints are described. The results of the study are demonstrated by examples of known risk measures of such construction. This allows systematization of the well-known results and facilitates a potential search for new variants of risk measures.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190583 |
| citation_txt |
Меры риска в виде инфимальной конволюции / В.С. Кирилюк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 35–54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs meryriskavvideinfimalʹnoikonvolûcii AT kirilûkvs míririzikuuviglâdíínfímalʹnoíkonvolûcíí AT kirilûkvs riskmeasuresintheformofinfimalconvolution |
| first_indexed |
2025-11-27T06:07:51Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:07:51Z |
| _version_ |
1850804162204270592 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ Â ÂÈÄÅ ÈÍÔÈÌÀËÜÍÎÉ ÊÎÍÂÎËÞÖÈÈ1
Àííîòàöèÿ. Èçó÷åíû ñâîéñòâà ìåð ðèñêà, ïîñòðîåííûõ â âèäå èíôèìàëü-
íîé êîíâîëþöèè. Îïèñàíî äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå òàêèõ ìåð, èõ ñóá-
äèôôåðåíöèàë, óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, ïðåäñòàâëåíèå äëÿ îïòèìèçàöèè è èñ-
ïîëüçîâàíèÿ â îãðàíè÷åíèÿõ. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ äåìîíñòðèðóþòñÿ íà
ïðèìåðàõ èçâåñòíûõ ìåð ðèñêà òàêîé êîíñòðóêöèè. Ýòî ïîçâîëÿåò ñèñòåìà-
òèçèðîâàòü èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû è îáëåã÷èòü ïîòåíöèàëüíûé ïîèñê íîâûõ
âàðèàíòîâ ìåð ðèñêà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíôèìàëüíàÿ êîíâîëþöèÿ, âûïóêëàÿ ìåðà ðèñêà, êîãå-
ðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, conditional value-at-risk, äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå,
ñóáäèôôåðåíöèàë, îæèäàåìàÿ ïîëåçíîñòü, äåòåðìèíèðîâàííûé ýêâèâàëåíò.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èíôèìàëüíîé êîíâîëþöèåé äâóõ âûïóêëûõ ôóíêöèé â [1] íàçâàíà êîíñòðóêöèÿ
f x g x f y g x y
y X
( ) ( ) { ( ) ( )}� � � �
�
inf , (1)
êîòîðàÿ íûíå óñïåøíî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåð ðèñêà.
Íàïðèìåð, â [2] â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ ìàêñèìèçàöèè â ñòîõàñòè÷åñêîì
ïðîãðàììèðîâàíèè ðàññìàòðèâàëñÿ òàê íàçûâàåìûé «îïòèìèçèðóåìûé ýêâèâà-
ëåíò îïðåäåëåííîñòè» (Optimized Certainty Equivalent, OCE):
S X Eu Xu
R
( ) ( )� � �
�
sup{ }
�
� � ,
ãäå u( )� — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè. Ýòîò êðèòåðèé, âçÿòûé ñî çíàêîì
«–» äëÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè, îïèñûâàåòñÿ êîíñòðóêöèåé (1).
 ðàáîòàõ [3, 4] äëÿ ôèíàíñîâîãî ïîòîêà X ââåäåíà ìåðà ðèñêà Conditional
Value-at-Risk (CVaR):
CVaR X E X
R
�
�
�
�
�( ) ( )� �
�
� �
�
�
�
��
�inf
1
1
.
Îíà îïèñûâàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå �-õâîñòà íàèáîëüøèõ ïîòåðü ôèíàíñîâîãî
ïîòîêà X , ïîýòîìó åãî âåëè÷èíà ó÷èòûâàåòñÿ ñî çíàêîì «–».
Åñëè â êîíñòðóêöèè â êà÷åñòâå âåëè÷èíû X ñðàçó ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àéíûå
ïîòåðè, òî îíà èñïîëüçóåòñÿ áåç çíàêà «–»:
CVaR X E X
R
�
�
�
�
�( ) ( )� �
�
�
�
�
�
��
�inf
1
1
. (2)
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòà ìåðà òàêæå èçâåñòíà êàê Expected Shortfall [5], Tail
VaR [6] è Averaged VaR [7]. Îíà èìååò òåîðåòè÷åñêè ïîëåçíûå ñâîéñòâà è îòíîñèò-
ñÿ ê øèðîêî èçâåñòíîìó êëàññó êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà (ÊÌÐ), äëÿ êîòîðîãî â [8]
ïðåäëîæåí ðÿä àêñèîìàòè÷åñêèõ ñâîéñòâ.  [9] ïîíÿòèå ÊÌÐ ïðè îòêàçå îò òðåáî-
âàíèÿ ïîëîæèòåëüíîé îäíîðîäíîñòè îáîáùåíî äî ïîíÿòèÿ âûïóêëîé ìåðû ðèñêà.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 35
1 Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà ãðàíòîì CPEA-LT-2016/10003 Íîðâåæñêîãî àãåíòñòâà ïî
ìåæäóíàðîäíîìó ñîòðóäíè÷åñòâó è ïîâûøåíèþ êà÷åñòâà âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ (the Norwegian
Agency for International Cooperation and Quality Enhancement in Higher Education (Diku)).
© Â.Ñ. Êèðèëþê, 2021
 [10] êîíñòðóêöèÿ (2) ìîäèôèöèðîâàíà çàìåíîé êîìïîíåíòû E X( )� ��
êîìïîíåíòîé || ( ) ||X � �� . Ïðè ýòîì îíà ñîõðàíèëà ñâîéñòâà ÊÌÐ.
 ðàáîòàõ [11, 12] ñîñòàâëÿþùàÿ E X( )� �� â êîíñòðóêöèè (2) çàìåíåíà
êîìïîíåíòàìè ñ äåòåðìèíèðîâàííûì ýêâèâàëåíòîì � ��u Eu X1 ( )� . Ïðè âûáîðå
íåêîòîðûõ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè u( )� òàêèå êîíñòðóêöèè — ñîîòâåòñòâåííî
âûïóêëàÿ è êîãåðåíòíàÿ ìåðû ðèñêà.
Òàêèì îáðàçîì, ìåðû ðèñêà â âèäå èíôèìàëüíîé êîíâîëþöèè ìîæíî ñòðî-
èòü êàê ïî ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì (ñ.â.) ïîòåðü (ïîäîáíî CVaR), òàê è ïî åå îæè-
äàåìîé ïîëåçíîñòè (äåòåðìèíèðîâàííîìó ýêâèâàëåíòó). Ýòî ïîçâîëÿåò îáúåäè-
íèòü â òàêîé êîíñòðóêöèè ïîäõîäû, ïðèìåíÿåìûå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè
äëÿ ôèíàíñîâûõ è ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé.  ïåðâîì ñëó÷àå ðåøåíèå îöåíè-
âàåòñÿ ïî ñîîòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê, âî âòîðîì — ïî îæèäàåìîé
ïîëåçíîñòè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà êîìïîíåíò �( )� è �( )� äëÿ èíôè-
ìàëüíîé êîíâîëþöèè âèäà
� �� � � �
�
( ) ( ) ( )}X X
R
� � �
�
inf , (3)
êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïðèäàòü åé ïîñòóëèðóåìûå ñâîéñòâà ìåðû ðèñêà. Äëÿ òà-
êèõ êîíñòðóêöèé ðàññìàòðèâàåòñÿ äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå, ñóáäèôôåðåí-
öèàë, óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, à òàêæå âîçìîæíîñòè ìèíèìèçàöèè è ïðèìåíåíèÿ
â îãðàíè÷åíèÿõ. Ðåçóëüòàòû èçó÷åíèÿ äåìîíñòðèðóþòñÿ íà ïðèìåðå èçâåñòíûõ
ìåð ðèñêà. Ýòî ïîçâîëÿåò ñèñòåìàòèçèðîâàòü ðåçóëüòàòû äëÿ ìåð ðèñêà ñ äàí-
íîé êîíñòðóêöèåé è îáëåã÷èòü ïîòåíöèàëüíûé ïîèñê èõ íîâûõ âàðèàíòîâ.
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÈÍÔÈÌÀËÜÍÎÉ ÊÎÍÂÎËÞÖÈÈ ÊÀÊ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ
Ââåäåì ïðåäâàðèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü ( , , )
� P — íåêîòîðîå âåðîÿòíîñ-
òíîå ïðîñòðàíñòâî, X — ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî �-èçìåðèìûõ ôóíêöèé
X R:
� , íàçûâàåìûõ ñ.â.
 êà÷åñòâå X áóäåì ðàññìàòðèâàòü èçìåðèìûå ïðîñòðàíñòâà L Pp ( , , )
� ,
p� ��[ , )1 . Êàê èçâåñòíî, äëÿ íèõ äâîéñòâåííûìè ïðîñòðàíñòâàìè X * åñòü
L Pq ( , , )
� , q � ��( , ]1 , ïðè
1 1
1
p q
� � , à äåéñòâèå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà
� �L Pq ( , , )
� íà ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà X L Pp� ( , , )
� èìååò âèä
� � � �� � , ( ) ( ) ( )X X dP
.
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f R R: { }X � � ��� ñîáñòâåííàÿ, åñëè � �x X
f x( ) � �� è dom f x f x� � �� ��{ : ( ) } , ãäå dom f íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëå-
íèÿ ôóíêöèè f .
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f ( )� íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè f x x( ( ))
1 21� � �
� � �
f x f x( ) ( ) ( )1 21 äëÿ 0 1� �
è ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó (ïí.ñí.), åñëè
f x f y
y x
( ) lim ( )�
�
inf .
Îòíîñèòåëüíîé (ïîëíîé) âíóòðåííîñòüþ ìíîæåñòâà M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñò-
âî òî÷åê ri M (int M ), êîòîðûå âõîäÿò â M âìåñòå ñ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòüþ
â åãî àôôèííîé îáîëî÷êå (ïîëíîé îêðåñòíîñòüþ).
Ñóáäèôôåðåíöèàëîì âûïóêëîé ñîáñòâåííîé è ïí.ñí. ôóíêöèè f ( )� â òî÷êå
x0 íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå âûïóêëîå è ñëàáî* çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ
ôóíêöèîíàëîâ:
� � � � � � � � �f x x x f x f x x( ) : , ( ) ( )0 0 0{ }� � X .
36 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà êîíñòðóêöèþ âèäà (3), ãäå ñîñòàâëÿþùèå
åå ôóíêöèè � �: , :R R R� �X ñîáñòâåííûå, âûïóêëûå è ïí.ñí. Òîãäà âûïóê-
ëîñòü �( )� ñðàçó ñëåäóåò èç êîíñòðóêöèè (3).
Óòâåðæäåíèå 1. Ôóíêöèÿ �( )� âûïóêëàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì äëÿ íåêîòîðûõ X X1 2, �X è
�( , )0 1 âûïóêëóþ êîìáèíàöèþ
�
�( ) ( ) ( )X X1 21� � .
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå, íî ôèêñèðîâàííîå �� 0 . Òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ
�( )� â âèäå (3) ñóùåñòâóþò òàêèå � �X X R
1 2
, � , ÷òî
� � � � � �( ) ( ) ( )X XX X1 1 1
� � � � , � � � � � �( ) ( ) ( )X XX X2 2 2
� � � � .
Òîãäà
�
�( ) ( ) ( )X X1 21� � �
� � � �
� � � � �( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))X X X XX X
1 1 2 21 21� � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� �
� �
� �
� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X XX X
1 2 1 2
1 11 2
� � � � � � � � � ��
�
� �
�
� �( ( ) ) ( ( ) ( ( ) ))X X X XX X
1 2 1 2
1 1 11 2 �
� � � ��
�( ( ) )X X1 21 .
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè �� 0 ýòî íåðàâåíñòâî ïîäòâåðæäàåò âûïóêëîñòü �( )� .
Ïðèâåäåì àêñèîìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìåðû ðèñêà � : X � R èç [8, 9]:
(A0) — ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó, �( ) lim ( )X f Y
Y X
�
�
inf ;
(A1) — ìîíîòîííîñòü, � �( ) ( )X Y� , åñëè X Y� (ïî ðàñïðåäåëåíèþ);
(A2) — âûïóêëîñòü, �
�
�
( ( ) ) ( ) ( ) ( ),X X X X1 2 1 21 1 0 1� � � � � � � ;
(A3) — òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü, � �( ) ( ) ,X a X a a R� � � � ;
(A4) — íîðìàëèçàöèÿ, �( )0 0� ;
(A5) — ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü, �
�
( ) ( ),X X� � 0 .
Çàìå÷àíèå 1. Àêñèîìû ïðèâåäåíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñ.â. X îïèñûâàåò âåëè-
÷èíû, õàðàêòåðèçóåìûå ïðåäïî÷òåíèåì «÷åì ìåíüøå — òåì ëó÷øå» òèïà ïîòåðè,
ñòîèìîñòü è äð. Åñëè X îïèñûâàåò âåëè÷èíó ôèíàíñîâîãî ïîòîêà («÷åì áîëü-
øå — òåì ëó÷øå»), òî ïðèáàâëåíèå ê íåé íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíû
(ñóììû äåíåã) äîëæíî óìåíüøàòü ðèñê ïîòåíöèàëüíûõ ïîòåðü. Äëÿ ìåð ðèñêà,
îïðåäåëåííûõ äëÿ òàêèõ ñ.â. X , äâå èç ïðèâåäåííûõ àêñèîì ñîîòâåòñòâåííî ìî-
äèôèöèðóþòñÿ:
(A1a) — ìîíîòîííîñòü, � �( ) ( )X Y� , åñëè X Y� (ïî ðàñïðåäåëåíèþ);
(A3a) — òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü, � �( ) ( ) ,X a X a a R� � � � .
Îòìåòèì, ÷òî (A1a) îçíà÷àåò àíòèìîíîòîííîñòü â ñìûñëå (A1).
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè óæå èìååòñÿ ìåðà ðèñêà �( )� , ïîñòðîåííàÿ ïî ñëó÷àéíûì
ïîòåðÿì, òî äëÿ îöåíêè ðèñêà ôèíàíñîâîãî ïîòîêà X äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü
�( )�X .
Ôóíêöèÿ � : X � R íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ìåðîé ðèñêà [9], åñëè âûïîëíÿþò-
ñÿ àêñèîìû (A0)–(A4). Åñëè îíà ê òîìó æå ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà (àêñèî-
ìà (A5)), òî íàçûâàåòñÿ êîãåðåíòíîé ìåðîé ðèñêà [8].
Êàê îòìå÷àëîñü, êîíñòðóêöèÿ �( )� ãàðàíòèðóåò åå âûïóêëîñòü. Ðàññìîòðèì
ñâîéñòâà ôóíêöèé �( )� è �( )� èç (3), êîòîðûå ïîçâîëÿþò �( )� èìåòü è äðóãèå íóæ-
íûå ñâîéñòâà ìåðû. Íà÷íåì ñ ìîíîòîííîñòè.
Óòâåðæäåíèå 2. Èç ìîíîòîííîñòè �( )� ñëåäóåò ìîíîòîííîñòü �( )� .
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 37
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè X Y� , òî è X Y� � �� �, � �R . Ïîýòîìó èç ìîíî-
òîííîñòè �( )� ñëåäóåò � � � �( ) ( )X Y� � � . Òîãäà
� � � � � � � � � �
� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X Y Y
R R
� � � � � � �
� �
inf { } inf { } .
Òàêèì îáðàçîì, åñëè X Y� , òî � �( ) ( )X Y� .
Óòâåðæäåíèå 3. Èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè �( )� ñëåäóåò èí-
âàðèàíòíîñòü �( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî êîíñòðóêöèè (3)
� � � � � � � �
� �
( ) ( ) ( ) ( ) ( (X a X a a a X
R R
� � � � � � � � � �
� �
inf { } inf { � � �a))}
� � � � � � � �
�
inf { }
�
� � � � �
R
a a X a X a( ) ( ( )) ( ) .
Çàìå÷àíèå 3. Òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ �( )� èìååò âèä
� � � �( ) ( )� �0 . (4)
Äåéñòâèòåëüíî, � � � � � � �( ) ( ) ( ) ,� � � � �0 0 R.
Óòâåðæäåíèå 4. Èç ïîëîæèòåëüíîé îäíîðîäíîñòè ôóíêöèé � �( ), ( )� � ñëåäóåò
ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü �( )� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì �
( )X äëÿ
� 0 :
�
� � �
� �
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( / ) ( ( /X X X
R Y
� � � � � �
� �
inf { } inf {
X
))} �
� � � � � �
� �
inf { } inf {
Y Y
X X
X X
� �
� �
� �
� �
( / ) ( / ) ( / ) ( / )} �
�( )X .
Çàìå÷àíèå 4. Èç ïîëîæèòåëüíîé îäíîðîäíîñòè è òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàí-
òíîñòè �( )� ñëåäóåò, ÷òî � � �( ) � .
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâî ïí.ñí. äëÿ ôóíêöèè �( )� . Êàê èçâåñòíî [1], èíôèìàëü-
íàÿ êîíâîëþöèÿ ìîæåò íå áûòü ïí.ñí. è ñîáñòâåííîé, äàæå åñëè òàêîâûìè ÿâëÿ-
þòñÿ ôóíêöèè �( )� è �( )� . Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå.
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 9.2.2 [1, ñ.76] �( )� — ñîáñòâåííàÿ è èíôèìóì â (3) äîñ-
òèãàåòñÿ â êîíå÷íîé òî÷êå, åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå äëÿ ðåöåññèâíûõ
ôóíêöèé � �( ), ( )� � :
( )( ) ( )( ) ,� � � � � �0 0 0 0� �� � � � � �R . (5)
Èñïîëüçîâàâ òåîðåìó 8.5 [1, ñ. 66], çàïèøåì óñëîâèå (5) â áîëåå ïðèâû÷íûõ
îáîçíà÷åíèÿõ
lim
( ) ( ) ( ) ( )
� �
� � � � �
� � �
���
� � � � � � �
�
X X
0 � � �� �R, 0 .
Ïîñêîëüêó çíà÷åíèå ðåöåññèâíûõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ òàê: � �� �dom è
� � �( )X � �dom , òî
lim
( ) ( ) ( ) ( )
� �
� � � � �
� � �
���
� � � � � � �
�
X X
�
� � � �
���
lim
( ) ( ) ( ) ( )
�
� � �
� �
0 0
.
Ïîýòîìó (5) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
�
� �
� �
�
��� ���
�
�
� �0 0
� � �� �R, 0 . (6)
38 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Äëÿ ïí.ñí., âûïóêëûõ è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé � �( ), ( )� � äàííîå óñëîâèå
îáåñïå÷èâàåò ñîáñòâåííîñòü âûïóêëîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè �( )� . Åñëè ïðè ýòîì
�( )� ìîíîòîííà, òî è �( )� ìîíîòîííà. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 7.79 [13,
c. 404] ôóíêöèÿ �( )� ïí.ñí. è ñóáäèôôåðåíöèðóåìà íà int dom( )� . Ñëåäîâàòåëüíî,
íà int dom( )�
lim ( ) ( )inf
X X
X X
�
�
0
0� � . (7)
Îòìåòèì, ÷òî íà int dom( )� ãàðàíòèðóåòñÿ íå òîëüêî ñâîéñòâî (7) äëÿ ôóíê-
öèè �( )� , íî è åå íåïðåðûâíîñòü.
Åñëè ïðè ýòîì �( )� òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíà, îíà èìååò âèä (4). Ñëåäîâà-
òåëüíî, óñëîâèå (6) ñâîäèòñÿ ê
lim
( ) ( )
�
� �
�
���
�
�
0
� � �� �R, 0 . (8)
Åñëè ôóíêöèÿ �( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, òî ïîëó÷èì
� � �( ) � � � �� �R, 0 . (9)
Îòìåòèì, ÷òî ýòî óñëîâèå óæå ðàññìàòðèâàëîñü â [10].
Åñëè �( )� íå ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, èñïîëüçóåì åå âûïóêëîñòü
1
1
1
0
�
�
� � �( ) ( ) ( )� �
�
�
!
"
# � èëè
1 1
0
�
� � �
�( ) ( ) ( )� �
�
.
Òîãäà
lim
( ) ( )
lim ( ( )
�
� �
� �
��� ���
��
�
!
"
# � �
�
�
�
�
!
"
0 1 1
# � �� � � �( )) ( ) ( )0 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå (8) âûïîëíÿåòñÿ, åñëè � � � �( ) ( )� �0 .
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûïîëíåíèÿ (8) äîñòàòî÷íî óñëîâèÿ
� � � � � �( ) ( ) ,� � � � �0 0R . (10)
Ïðè �( )0 0� óñëîâèå (10) ñâîäèòñÿ ê (9), êîòîðîå ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå (5),
äàæå åñëè �( )� íå ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà. Ñôîðìóëèðóåì ýòî â âèäå
óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 5. Åñëè ôóíêöèÿ �( )� òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíà è �( )0 0� ,
òî óñëîâèå (9) ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå (5).
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ñâîéñòâó íîðìàëèçàöèè äëÿ �( )� . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå
óñëîâèå, îáîçíà÷åííîå (Ñ1) (Condition):
� � � � �( ) ( ) ,� � � �0 R, íî � � $ � � � �� � � � � � �� � �0 R: ( ) ( ) . (Ñ1)
Óòâåðæäåíèå 6. Åñëè äëÿ ôóíêöèé � �( ), ( )� � âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (Ñ1), òî
�( )� íîðìàëèçîâàíà, ò.å. �( )0 0� .
Äîêàçàòåëüñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç êîíñòðóêöèè (3).
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà �( )� è �( )� , êîòîðûå ïîçâîëÿþò ãàðàíòèðîâàòü âûïîë-
íåíèå óñëîâèÿ (Ñ1).
Êàê óïîìèíàëîñü ðàíåå, ïðè âûïîëíåíèè (5) èíôèìóì â (3) äîñòèãàåòñÿ, òîã-
äà óñëîâèå (Ñ1) èìååò áîëåå ïðîñòîé âèä
� � � � �( ) ( ) ,� � � �0 R, íî $ � � �� � � � �0 0 0 0: ( ) ( ) . (11)
Åñëè ïðè ýòîì �( )� òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíà, òî â ñèëó (4) óñëîâèå (11)
ïðèîáðåòàåò âèä
� � � � �( ) ( ) ,� � � �0 R, íî $ � � �� � � � �0 0 00: ( ) ( ) . (12)
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 39
Åñëè ê òîìó æå �( )� è �( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíû, òî, êàê íåòðóäíî ïîêà-
çàòü, � �( ) , ( )0 0 0 0� � .  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå (10) ïðèîáðåòàåò âèä (9), à ýòî
â ñî÷åòàíèè ñ � �( ) ( )0 0 0� � âëå÷åò âûïîëíåíèå (12). Âåäü òîãäà � � �( ) � �
� � �� �( ) , � � 0 , à äëÿ � 0 0� ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî � �( ) ( )0 0 0� � .
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (9) â ñî÷åòàíèè ñ � �( ) ( )0 0 0� � è òðàíñëÿöèîííîé
èíâàðèàíòíîñòüþ �( )� ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (Ñ1).  ýòîì ñëó÷àå
� � � �( ) ,� �R.
Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàòû ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé â âèäå ñëåäñòâèé
óòâåðæäåíèÿ 6.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè � � �( ) � , �( )0 0� è âûïîëíåíî óñëîâèå (9), òî �( )� íîðìà-
ëèçîâàíà.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè � � �( ) � , �( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà è âûïîëíåíî
óñëîâèå (9), òî �( )� íîðìàëèçîâàíà.
Ðåçóëüòàòû èç óòâåðæäåíèé 1–6, ñëåäñòâèé 1, 2 è óñëîâèé ïí.ñí. äëÿ �( )�
ïðåäñòàâèì â ôîðìå ñëåäóþùåé òåîðåìû.
Òåîðåìà 1. Åñëè � � �( ) � , à �( )� ïí.ñí., âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ, ìîíîòîííàÿ
è �( )0 0� , à òàêæå âûïîëíåíî óñëîâèå (9), òî êîíñòðóêöèÿ (3) îïðåäåëÿåò âûïóê-
ëóþ ìåðó ðèñêà �( )� íà int dom( )� . Åñëè ê òîìó æå ôóíêöèÿ �( )� ïîëîæèòåëüíî
îäíîðîäíà, òî �( )� ÿâëÿåòñÿ ÊÌÐ.
Çàìå÷àíèå 5. Ñâîéñòâà �( )� ïîäîáíû ñâîéñòâàì ìåðû ðèñêà �( )� . Ôóíêöèÿ
�( )� óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ìåðû, êðîìå òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè,
êîòîðàÿ äëÿ �( )� îáåñïå÷èâàåòñÿ êîíñòðóêöèåé (3) ïðè � � �( ) � . Âìåñòî òðàíñëÿ-
öèîííîé èíâàðèàíòíîñòè îò �( )� òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (9).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà X — âåëè÷èíà ôèíàíñîâîãî ïîòîêà. Òîãäà êîí-
ñòðóêöèþ (3) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåðû ðèñêà �( )X , êîãäà X
âõîäèò â åå êîíñòðóêöèþ áåç çíàêà «–» (ñì. çàìå÷àíèÿ 1, 2).  ýòîì ñëó÷àå ìîíî-
òîííîñòü è òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü ôóíêöèé ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå
àêñèîì (A1a) è (A3a).
Äëÿ òàêîãî ñëó÷àÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 ìîäèôèöèðóåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì.
Òåîðåìà 1a. Åñëè � � �( ) � � , à �( )� ïí.ñí., âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ, ìîíîòîí-
íàÿ â ñìûñëå (A1a) è �( )0 0� , à òàêæå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (9), òî êîíñòðóê-
öèÿ (3) îïðåäåëÿåò âûïóêëóþ ìåðó ðèñêà �( )� íà int dom( )� . Åñëè ê òîìó æå
ôóíêöèÿ �( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, òî �( )� ÿâëÿåòñÿ ÊÌÐ.
ÄÂÎÉÑÒÂÅÍÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ È ÑÓÁÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀË ÌÅÐ ÐÈÑÊÀ,
ÈÕ ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈß È ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ Â ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÕ
Äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå è ñóáäèôôåðåíöèàë ìåðû ðèñêà. Äëÿ âûïóê-
ëîé, ñîáñòâåííîé è ïí.ñí. ôóíêöèè � : X � R ìîæíî îïðåäåëèòü ñîïðÿæåííóþ
ôóíêöèþ � * *: X � R
� � � � � �
�
* ( ) [ , ( )] [ , ( )]� � � � � � � �
� �
sup sup
domX X
X X X X
X
� �� X * .
Êàê èçâåñòíî [13], åñëè �( )� âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ è ïí.ñí., òî åå ñîïðÿæåí-
íàÿ � * ( )� òàêæå èìååò ýòè ñâîéñòâà.
Ðàññìîòðèì ñîïðÿæåííóþ ñ � * ( )� ôóíêöèþ � ** **: X � R :
� � � � � � �
� � �
** * *( ) [ , ( )] [ , ( )
* *
X X X� � � � � � � �
� �
sup sup
domX
] .
40 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ôåíõåëÿ–Ìîðî [13, òåîðåìà 7.71, ñ. 401], åñëè
� : X � R âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ è ïí.ñí., òî � �** � , ïîýòîìó �( )� ïðåäñòàâëÿåò-
ñÿ ïîñðåäñòâîì � * ( )� êàê
� � � � � � �
� � �
( ) [ , ( )] [ , ( )]
* *
* *X X X� � � � � � � �
� �
sup sup
domX
. (13)
Òàêîå îïèñàíèå ìåðû ðèñêà �( )� íàçûâàåòñÿ åå äâîéñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì.
Çàìå÷àíèå 6. Äàííîå ïðåäñòàâëåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ðåôëåêñèâíûõ ïðî-
ñòðàíñòâ L P pp ( , , ), ( , )
� 0 1� �� . Äëÿ ïàðû ïðîñòðàíñòâ: L P� ( , , )
� 0 ,
L P1 0( , , )
� ïåðâîå ïðîñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñî ñëàáîé òîïîëîãèåé, âòî-
ðîå — ñî ñëàáî* òîïîëîãèåé [13].
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèþ � � �( ), �R, ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñóæåíèå íà R
ôóíêöèè ~ :� X � R :
~ ( )
( ), ,
, \ ,
�
�
X
X X R
X R
�
�
�� �
�
�
X
(14)
÷üÿ ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèÿ ~ ( )*� � èìååò âèä
~ ( ) [ , ~ ( )] [ , ( )]*� � � � � � � �
�
� � � � � � � �
� �
sup sup
X R
X X
X
.
Ïóñòü �( )� îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (3) è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (6), êîòî-
ðîå ãàðàíòèðóåò åå ñîáñòâåííîñòü. Îïèøåì åå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ
� � � � � � �
�
* ( ) [ , ( )] [ , ( ( )� � � � � � � � �
� � �
sup sup inf
X X R
X X X
X X
� �( ))]X � �
� � � � � � � � � � �
� � �
sup
( ) ,
[ , ( ) , ( )]
X R
X X
� �
� � � � � � � �
X
� � � � � � � � �
� �
sup sup
X R
X X
X
[ , ( )] [ , ( )]� � � � � �
�
� � � � � � � � � �
� �
sup sup
X X R
X X X
X
[ , ( )] [ , ~ ( )] ( ) ~ (* *� � � � � � � � �) .
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ (13)
� � � � � �
�
( ) [ , (~ ( ) ( ))]
*
* *X X� � � � �
�
sup
X
. (15)
Ðàññìîòðèì âûïóêëóþ ìåðó ðèñêà, ïîñòðîåííóþ ñ ïîìîùüþ êîíñòðóê-
öèè (3). Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ôóíêöèÿ �( )� èìååò âèä � � �( ) � . Êàê íåòðóäíî
âèäåòü, òîãäà äëÿ ôóíêöèè ~� èç (14)
~ ( ) [ , ]
, , ,
, , .
*� � � � �
�
��
� � � � �
�� � � �
� � �
�
�
�
sup
R
1 1
0 1 1
Ñëåäîâàòåëüíî, dom { }~ : ,*� � �� � � �1 1 è èç (15) ïîëó÷èì
� � � �
� � � �
( ) [ , ( )]
* : ,
*X X� � � �
� % � � �
sup
dom { }1 1
. (16)
Òàêèì îáðàçîì, ìåðà ðèñêà èç êîíñòðóêöèè (3) ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 1
îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå (16).
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 41
Óòâåðæäåíèå 7. Èç ìîíîòîííîñòè �( )� ñëåäóåò, ÷òî dom { }� � � * : ( ) . .& � 0 a s .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî � �X * $ � �' � ': ( )P 0 , ÷òî � ( )� 0
� � ' . Ðàññìîòðèì èçìåðèìóþ ôóíêöèþ
X '
'
'
( )
, ,
, ,
�
�
(
�
�
1
0
òîãäà � � ��, X ' 0 . Âûáåðåì X � dom � è ðàññìîòðèì X X tXt � � ' . Êàê íå-
òðóäíî âèäåòü, äëÿ t � 0 X X t� . Òîãäà èç ìîíîòîííîñòè �( )� ñëåäóåò, ÷òî
� �( ) ( )X X t� , ïîýòîìó
� � � � � �* ( ) [ , ( )] [ , ,� � � � � � � � � � �
� �� �
sup sup
t R
t t
t R
X X X t X ' �( )]X = +� .
Ñëåäîâàòåëüíî, � �(dom *, ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.
Çàìå÷àíèå 7. Èç óòâåðæäåíèÿ 7 è îãðàíè÷åíèÿ { }� �: ,� � �1 1 ñëåäóåò, ÷òî ñóï-
ðåìóì â (16) èùåòñÿ íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé âåðîÿòíîñòíûõ ïëîòíîñòåé èç
dom � * .
Åñëè ê òîìó æå ôóíêöèÿ �( )� èç (3) ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, òî � * — èíäè-
êàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà dom � * . Ñëåäîâàòåëüíî,
� �
� � � �
( ) ,
* : ,
X X� � �
� % � � �
sup
dom { }1 1
. (17)
Òåïåðü ìîæåì âû÷èñëèòü ñóáäèôôåðåíöèàë � ��( ) .  ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåð-
æäåíèåì 7.73 [13, ñ. 402], åñëè âûïóêëàÿ ïí.ñí. ìåðà �( )� êîíå÷íà â òî÷êå X , òî
� � � � �
�
� � �
� �
( ) max [ , ( )]
*
*X X Xarg
dom
.
Ó÷èòûâàÿ (16), èìååì
� � � � �
� % � � �
� � �
� � � �
( ) max [ , ( )]
* : ,
*X X Xarg
dom { }1 1
. (18)
 ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîé îäíîðîäíîñòè �( )� òàêàÿ ôîðìóëà ñâîäèòñÿ ê
� � � �
� % � � �
� �
� � � �
( ) max ,
* : ,
X Xarg
dom { }1 1
. (19)
Åñëè X — âåëè÷èíà ôèíàíñîâîãî ïîòîêà, êîòîðàÿ âõîäèò â ìåðó ðèñêà áåç
çíàêà «–», òî ìîäèôèöèðóþòñÿ íå òîëüêî äâå àêñèîìû è òåîðåìà 1, íî è åå äâîé-
ñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1a òîãäà � � �( ) � � è
~ ( ) [ , ]
, , ,
, , .
*� � � � �
�
��
� � � � �
�� � � � �
� � � �
�
�
�
sup
R
1 1
0 1 1
Ñëåäîâàòåëüíî, dom { }~ : ,*� � �� � � � �1 1 è
� � � �
� � � �
( ) [ , ( )]
* : ,
*X X� � � �
� % � � ��
sup
dom { }1 1
. (20)
Åñëè ê òîìó æå ôóíêöèÿ �( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, òî
� �
� � � �
( ) ,
* : ,
X X� � �
� % � � ��
sup
dom { }1 1
. (21)
42 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Åñëè �( )X — êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, òî
� � � �
� % � � ��
� �
� � � �
( ) max ,
* : ,
X X
X
arg
dom { }1
.
À èç àíòèìîíîòîííîñòè �( )� àíàëîãè÷íî óòâåðæäåíèþ 7 ñëåäóåò, ÷òî
dom { }� � � * : ( ) . .& � 0 a s .
Ñðàâíèì òåïåðü � ��( ) èç (18) ñ îïèñàíèåì � ��( ) â âèäå
� � � � �
�
� � �
� �
( ) max [ , ( )]
*
*X X Xarg
dom
.
Èçó÷èì âçàèìîñâÿçü ýòèõ ñóáäèôôåðåíöèàëîâ, ïðåäâàðèòåëüíî èçëîæèâ íå-
êîòîðûå íåîáõîäèìûå ôàêòû.
Ñóáäèôôåðåíöèàë ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè f * ( )� â òî÷êå � 0 åñòü ìíîæåñòâî
â èñõîäíîì (ðåôëåêñèâíîì) ïðîñòðàíñòâå
� � � � � � � � �f x f f* * * *( ) , ( ) ( )� � � � � �0 0 0{ }X .
Êàê èçâåñòíî èç òåîðåìû Ôåíõåëÿ–Ìîðî [13, òåîðåìà 7.71, ñ. 401], äëÿ âû-
ïóêëûõ, ñîáñòâåííûõ è ïí.ñí. ôóíêöèé f ( )� èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå f f** � .
Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ýêâèâàëåíòíîñòåé:
� � � � ��� ) � � � � ) � � � � ) ��f x f x f x f x f x x f( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , (* ** * * �) .
Ñëåäîâàòåëüíî,
� ��� ) ��f x x f( ) ( )*
0 0 . (22)
Äëÿ òî÷åê X R0 � & X ðàññìîòðèì ñóáäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ~( )� � :
� � � � � � � � � �~( ) : , ~ ( ) ~ ( )*� � � � �X X X X X X0 0 0{ }X X .
Êàê íåòðóäíî âèäåòü, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ~( )� � èç (14)
� � � � � � � � ��~( ) : , ( ), ( )*� � � � � � � � � � � �0 0 0 0{ }X ,
ò.å. ýòî ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ èç X * , äåéñòâèå êîòîðûõ íà ïðÿ-
ìîé ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèåì ýëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà �� �( )0 .
Îïèøåì ñâÿçü ìåæäó � ��( ) è � ��( ) .
Òåîðåìà 2. Ïðè óñëîâèè (6) äëÿ ñóáäèôôåðåíöèàëà �( )� èç êîíñòðóêöèè (3)
ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
� * � � %�
�
� � � � �
�
( ) ( ) ~ ( )X X
R
0 0{ }� .
Åñëè ïðè ýòîì int dom dom� �* *~% ��, òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
� � � � %�
�
� � � � �
�
( ) ( ) ~ ( )X X
R
0 0{ }� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè óñëîâèè (6) �( )� áóäåò ñîáñòâåííîé. Ðàññìîòðèì ðàç-
íîñòü
� � �� � � � � � � �
� �
( ) ( ) ( ) ( )} { ( ) ( )X X X X
R R
� � � � � � �
� �
0 0inf inf } �
� � � � � �� � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )X XX X 0 � �� R,
� � � �
�
� �� � � �
�
X
R
Xarg min ( ) ( )}.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 43
Ñëåäîâàòåëüíî, � �� R, åñëè � � � � ��� � %�( ) ~ ( )X 0 , òî
� � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X XX X� � � � � � � �0 0
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �, , , ,X XX X X X0 0 .
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ��( )X 0 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî � �� R � � %� �( )X 0
%� & �~( ) ( )� � � X 0 , ò.å.
{ }� � %� & �
�
� � � � �
�
( ) ~ ( ) ( )X X
R
0 0� .
Ïîêàæåì òåïåðü ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ îáðàòíîå âêëþ÷åíèå.
Óñëîâèå (6) ãàðàíòèðóåò ñîáñòâåííîñòü êîíñòðóêöèè (3), ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè
ñ (22) è (15)
� � �� � �� �� � � � � � � �( ) : ( ) : (~ )( )* * *X X X0 0 0{ } { }.
Ïî óñëîâèÿì òåîðåìû int dom dom� �* *~% ��, ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå
Ìîðî–Ðîêàôåëëàðà [13, òåîðåìà 7.4, ñ. 338]� � � � ��(~ ) ~* * * *� � � � . Ñëåäîâàòåëüíî,
� � �� �� � $ �� �� � � � � � � � � � � �( ) : ~ ( ) ( ) / : ~ ( ), (* * *X X X0 0 0{ } { ) ( )*��� � }.
Ôóíêöèè ~ ,* *� � âûïóêëûå, ñîáñòâåííûå è ïí. ñí., òîãäà â ñèëó (22)
$ �� � �� ) $ �� �� �� � � � � � � � � � � � � �: ~ ( ), ( ) ( ) : ~ ( ), ( )* *X X0 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, � ��� �( )X 0 $ �� %� �� � � � � �: ~ ( ) ( )X 0 , ò.å. âêëþ÷åíèå
� & � � %�
�
� � � � �
�
( ) ( ) ~ ( )X X
R
0 0{ }� .
Ó÷èòûâàÿ ðàíåå äîêàçàííîå îáðàòíîå âêëþ÷åíèå, îêîí÷àòåëüíî èìååì
� � � � %�
�
� � � � �
�
( ) ( ) ~ ( )X X
R
0 0{ }� ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.
Òåïåðü ìîæåì îïèñàòü ñóáäèôôåðåíöèàë äëÿ âûïóêëîé (êîãåðåíòíîé) ìåðû
ðèñêà èç êîíñòðóêöèè (3) ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 1. Ñ ó÷åòîì � � �( ) � è
� � � � �~( ) : ,� � � �{ }1 1 ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå òåîðåìû 2.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1 äëÿ âûïóêëîé ìåðû
ðèñêà �( )� èç (3), òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå âêëþ÷åíèå:
� * � � % � � �
�
� � � � �
�
( ) ( ) : ,X X
R
0 0 1 1{ { }}� .
Åñëè ïðè ýòîì int dom { }� � �* : ,% � � � ��1 1 , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � � � % � � �
�
� � � � �
�
( ) ( ) : ,X X
R
0 0 1 1{ { }}� .
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà X — âåëè÷èíà ôèíàíñîâîãî ïîòîêà, âõîäÿùàÿ
â êîíñòðóêöèþ (3) áåç çíàêà «–». Òîãäà ñëåäñòâèå ìîäèôèöèðóåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì.
Ñëåäñòâèå 1a. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1a äëÿ âûïóêëîé ìåðû
ðèñêà �( )� èç (3), òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå âêëþ÷åíèå:
� * � � % � � � �
�
� � � � �
�
( ) ( ) : ,X X
R
0 0 1 1{ { }}� .
44 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Åñëè ïðè ýòîì int dom { }� � �* : ,% � � � � ��1 1 , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � � � % � � � �
�
� � � � �
�
( ) ( ) : ,X X
R
0 0 1 1{ { }}� .
Ìèíèìèçàöèÿ è ïðèìåíåíèå ìåðû ðèñêà â îãðàíè÷åíèÿõ. Ðàññìîòðèì
ìèíèìèçàöèþ ìåðû ðèñêà �( )� íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå C & X. Îáîçíà÷èì
+( , ) ( )X X� � � �� � � , òîãäà èìååì
� �
�
( ) ( , )X X
R
�
�
inf + è inf inf inf
X C X C R
X X
� � �
�� �
�
( ) ( , )+ .
Åñëè óñëîâèå (8) îáåñïå÷èâàåò äîñòèæåíèå ìèíèìóìà ïî �, òî
inf inf
X C X C R
X X
� � �
� � �� � � �
�
( ) min( ( )) .
Åñëè ïðè ýòîì èíôèìóì äîñòèãàåòñÿ, òî inf
X C X C
X X
� �
�� �( ) min ( ) . Òîãäà
min ( ) min min[ ( )] min ( ,
( , )X C X C R X C R
X X X
� � � � ,
� � � �� � � �
� �
+ �) , (23)
ãäå +( , )X � — âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ ïî îáîèì àðãóìåíòàì. Åå âûïóêëîñòü äîêà-
çûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî äàëåå äëÿ êîìïîçèòíîé ôóíêöèè.
Åñëè ìíîæåñòâî Ñ âûïóêëîå, òî ìèíèìèçàöèÿ �( )� ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ âû-
ïóêëîé çàäà÷è èç ïðàâîé ÷àñòè (23).
Êîìïîçèòíàÿ ôóíêöèÿ è óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Ïóñòü ñ.â. X çàâèñèò îò ïå-
ðåìåííîé x R n� â âèäå X f x x R n( ) ( , ), � � , ãäå f x( , ) — âûïóêëàÿ è íåïðå-
ðûâíàÿ ïî x ôóíêöèÿ. Ó÷èòûâàÿ ïí.ñí. �( )� íà int dom( )� è íåïðåðûâíîñòü
f x( , ) ïî x, íåòðóäíî ïîêàçàòü ïí.ñí. ïî x òàê íàçûâàåìîé êîìïîçèòíîé ôóíê-
öèè �( ( , ))f x � .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ F x f x( , ) ( ( , ) )� � � �� � � � . Ïîêàæåì, ÷òî îíà
âûïóêëà ïî îáåèì ïåðåìåííûì.
Äåéñòâèòåëüíî, èç âûïóêëîñòè ïî x ôóíêöèè f x( , ) , à òàêæå âûïóêëîñòè è
ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè �( )� íåòðóäíî çàïèñàòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ñîîòíîøå-
íèé:
F x x( ( ) , ( ) )
�
�1 2 1 21 1� � � � �
� � � � � � � � � � �
�
� �
�
�1 2 1 2 1 21 1 1( ) ( ( ( ) , ) ( ) )f x x
� � � � � � � � � � � �
�
� �
�
�1 2 1 2 1 21 1 1( ) ( ( , ) ( ) ( , ) ( ) )f x f x
� � � � � � � � � �
� � �
� � �( ( ( , ) )) ( )( ( ( , ) ))1 1 1 2 2 21f x f x
� � �
�
�F x F x( , ) ( ) ( , )1 1 2 21 .
Çàìå÷àíèå 8. Èç âûïóêëîñòè F x( , )� ïî îáåèì ïåðåìåííûì ñëåäóåò âûïóê-
ëîñòü ôóíêöèè
�( ) ( ( , ))x f x� � .
Ïîýòîìó âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ è ïí.ñí. ôóíêöèÿ
�( ) ( ( , ))x f x� � äîñòèãàåò
ìèíèìóìà íà âûïóêëîì çàìêíóòîì è îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå M R n& è
min ( ( , )) min min( ( ( , ) )) min
x M x M R x M
f x f x
� � � �
� � � � � �� � � �
� ,
( , )
�
�
�R
F x . (24)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîãëàñíî (24) òàêàÿ ìèíèìèçàöèÿ ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó ìèíè-
ìóìà âûïóêëîé ôóíêöèè F x f x( , ) ( ( , ) )� � � �� � � � íà âûïóêëîì çàìêíóòîì ìíî-
æåñòâå M R, , ò.å. ê çàäà÷å âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Îáîçíà÷èì z x g z f x� � �( , ), ( , ) ( , )� �. Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ âûïóê-
ëà ïî z:
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 45
g z z f x x( ( ) , ) ( ( ) , ) ( )
�
�1 2 1 2 1 21 1 1� � � � � � � � �
� � � � � � � �
�
�
( ( , ) ) ( )( ( , ) ) ( , ) ( ) (f x f x g z g z1 1 2 2 11 1 2 , ) .
Ðàññìîòðèì ñóáäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè F z( ) , ãäå z x z M R� � ,( , ),� . Ïîñ-
êîëüêó F x g z( , ) ( ( , ))� � �� � � , òî
� � � � �� �F z z x x g z( ) ( , ): ( , ) ( ( , ))* * *{ }� � �1 , (25)
ãäå �( ( , ))g z � — êîìïîçèòíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ �( )� ìîíîòîííà è âûïóêëà,
g z( , )� âûïóêëà ïî z, ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ [13, òåîðåìà 6.11, ñ. 268]
� � � �
�
�
!
�
�� �
� �
� �
( ( , ) ( ) ( ) ( )
( ( , ))
g z g z dP
g z
0 0
0
cl
�
"
#
#
, (26)
ãäå cl — ñëàáî* çàìûêàíèå ìíîæåñòâà.
Ñëåäîâàòåëüíî, �F z( )0 îïèñûâàåòñÿ â âèäå (25), (26), ãäå z x� ( , )� ,
g z f x( , ) ( , ) �� � . Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ ê èñõîäíûì îáîçíà÷åíèÿì, ïîëó÷àåì
� �F x( , )0 0�
� � � � ��
��
( , ):( , ) ( ( ) ) ( ) ( )* *
( (
x x f x dP
f x
� � � �
� �
1 0 0cl
0 0, ) )� �
�
�
!
"
#
#
�
�
-
-
�
-
�-�
� . (27)
Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåòñÿ âûïóêëàÿ îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à
min{ ( ): }F z z M R� , â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû
âûïóêëîãî àíàëèçà. Îòìåòèì, ÷òî riC îáîçíà÷àåò îòíîñèòåëüíóþ âíóòðåííîñòü
ìíîæåñòâà C.
Åñëè ri ( ridomM R F, % ��) è F íåïðåðûâíà â òî÷êå z F0 �dom , òî íåîá-
õîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìà F z( ) â z0 åñòü � %F z( )0
% , � ��( ( ))*con M R z0 [1, òåîðåìà 27.4, ñ. 270], ãäå ( )*� îáîçíà÷àåò äâîéñòâåí-
íûé êîíóñ äëÿ con ( )M R z, � 0 .
Ó÷èòûâàÿ F x f x( , ) ( ( , ) )� � � �� � � � , z x0 0 0� ( , )� è ôîðìóëó (27), îêîí÷à-
òåëüíî ïîëó÷àåì òàêîå óñëîâèå ìèíèìóìà â âèäå
$ � , �( , ) ( ( ( , )))* *x M R x� �con 0 0 ,
÷òî ( , ) ( ( ) ) ( ) ( )*
( ( , ) )
x f x dP
f x
� � �
� � �
� � � ��
�� � �
1 0 0
0 0
cl
�
�
�
!
"
#
#
.
Èñïîëüçîâàíèå â îãðàíè÷åíèÿõ. Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åíèå ñâåðõó íà ìåðó
ðèñêà � �( )X � íà ìíîæåñòâå X C� . Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïðè óñëîâèÿõ (23) åãî
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
� � � � � � �( ) , : ( )X X C X C R X� � ) � � $ � � � � .
Äëÿ êîìïîçèòíîé ôóíêöèè îãðàíè÷åíèå ïîäîáíîãî âèäà òàêæå ïðåäñòàâèìî
â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
� � � � � � �( ( , )) , : ( ( , ) )f x x M x M R f x� � � ) � � $ � � � � � .
Òàêîå óñëîâèå ñëîæíî ó÷åñòü ïðè âû÷èñëåíèÿõ, ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ñî-
îòâåòñòâóþùèì äâîéñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì ìåðû ðèñêà. Äëÿ âûïóêëîé ìåðû
ðèñêà ñîãëàñíî (16)
� � � � � � � � � �( ) , , ( ) , ( : , ),* *X X C X X C� � ) � � � � � % � � � �dom { }1 1 .
46 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Äëÿ êîìïîçèòíîé ôóíêöèè ïîäîáíîå îãðàíè÷åíèå îïèñûâàåòñÿ â âèäå
� � � � � � � � � �( ( , )) , , ( , ) ( ) , ( : ,* *f x x M f x� � � ) � � � � � � % �dom { 1 1� � �}), .x M
 ñëó÷àå, êîãäà X — âåëè÷èíà ôèíàíñîâîãî ïîòîêà, âõîäÿùàÿ â êîíñòðóê-
öèþ (3) áåç çíàêà «–», òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä
� � � � � � � � � �( ) , , ( ) , ( : , ),* *X X C X X� � ) � � � � � % � � � � �dom { }1 1 C,
� � � � � �( ( , )) , , ( , ) ( ) ,*f x x M f x� � � ) � � � � �
� � �� �� % � � � � �( { , }), .*dom 1 1 x M
Êàê óïîìèíàëîñü ðàíåå, åñëè �( )� åñòü ÊÌÐ, òî � * ( )� — èíäèêàòîðíàÿ ôóíê-
öèÿ ìíîæåñòâà dom � * , ñëåäîâàòåëüíî, â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâ
íåò êîìïîíåíòû � �* ( ) .
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (23) è (24) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîèñêà ìè-
íèìóìà ôóíêöèé �( )� è �( ( ))f � , à ïðåäñòàâëåííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ ôóíêöèåé
� * ( )� — äëÿ ó÷åòà îãðàíè÷åíèé ñâåðõó íà íèõ. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü â ïîäî-
áíûõ çàäà÷àõ ñòàíäàðòíûå ñðåäñòâà âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
ÏÐÈÌÅÐÛ ÌÅÐ ÐÈÑÊÀ Ñ ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈÅÉ ÈÍÔÈÌÀËÜÍÎÉ ÊÎÍÂÎËÞÖÈÈ
Ïðèâåäåì ïðèìåðû èçâåñòíûõ ìåð ðèñêà ñ êîíñòðóêöèåé (3).
Ïðèìåð 1. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì CVaR� ( )� , ïðåäñòàâëåííóþ â âèäå (2). Íå-
ñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1 äëÿ ôóíêöèè �
�
( ) ( )X E X�
�
�
1
1
âûïîëíåíû.  ÷àñòíîñòè, óñëîâèå (9):
1
1�
��
�
� �E ( ) � � �� �R, 0 .
Ýòà ìåðà îïèñûâàåòñÿ â âèäå (17)
� �
� � � �
( ) ,
* : ,
X X� � �
� % � � �
sup
dom { }1 1
,
ãäå
� � � � �
�
* ( ) [ , ( )] , ,� � � � � � � �
�
� �
.
/0
1
23
��sup sup
X X
X X X X
1
1
1
� � �
�
� � � �
.
/0
1
23
� �sup
X
X X�
�
�
1
1
, , ,
çäåñü 1 X� * — ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé êàê � ( ) �1 � �
,
ò.å. � � � �1, ( ) ( )X X dP
.
Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 7 ìîæíî ïîêàçàòü: åñëè äëÿ íåêî-
òîðîãî � �X * $ � �' � ': ( )P 0 è � � � � ' ( ) 0 èëè � � �
�
�
�
' ( )
1
1
, òî
� �* ( ) = +�.
Ñëåäîâàòåëüíî, dom � �
�
* ( ) . .� � � �
�
�
�
�
�
0
1
1
a s . Ó÷èòûâàÿ äîïîëíèòåëüíîå
îãðàíè÷åíèå èç (17), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
CVaR X X a s dP�
�
� �
�
� ( ) , : . ., ( ) ( )� � � � �
�
�
.
/
0
0
1
�sup 0
1
1
1
2
3
3
.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 47
Ñîîòâåòñòâåííî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå X åå êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ îïèñû-
âàåòñÿ â âèäå (19) êàê
� � � � � �
�
�
�
�CVaR X X a s dP�
�
� �
�
� ( ) max , : . ., ( ) ( )arg 0
1
1
1
�
-
-
�
-
�-
�
�
� �
� � �
�
� � �
�( ) , ( ) ( ),
: ( ) ( ) , ( ) [ ,*
0
1 0
åñëè X VaR X
dPX 1 1
1 1
/ ( )], ( ) ( ),
( ) / ( ), ( )
� �
� � �
� �
� �
�åñëè
åñëè
X VaR X
X
VaR X� ( ),
�
�
-
-
-
-
ãäå VaR X z R F zX� �( ) : ( )� � �inf { } , à FX ( )� — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. X .
Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñóáäèôôåðåíöèàëà õîðîøî èçâåñòíî (ñì. íàïðèìåð,
[13, ñ. 273]).
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü îïòèìèçèðóåìûé ýêâèâàëåíò îïðåäåëåííîñòè
èç [2]:
� � � � � � � �
� �
S X Eu X Xu
R R
( ) ( ) ( ) ( )inf { } inf { }
� �
� � � � � � , (28)
ãäå � � � �( ) , ( ) ( )� � � �X Eu X .
Ïîñêîëüêó â (28) ñ.â. X îïèñûâàåò âåëè÷èíó ôèíàíñîâîãî ïîòîêà, òî â ñîîò-
âåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1a �S Xu ( ) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ìåðîé ðèñêà, åñëè �( )� ïí.ñí.,
âûïóêëàÿ, ñîáñòâåííàÿ, ìîíîòîííàÿ â ñìûñëå (A1a) è �( )0 0� , à òàêæå
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (6).
 ñèëó îáû÷íûõ äëÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u( )� ñâîéñòâ ìîíîòîííîñòè è âîã-
íóòîñòè ïðîâåðêå ïîäëåæàò òîëüêî �( )0 0� è óñëîâèå (6).
Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî u( )0 0� , à óñëîâèå (6) èìååò âèä
lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
�
� �
�
� �
��� ���
�
� �
� �0 0
� � �� �R, 0 ,
èëè â ñèëó òîãî, ÷òî � �( ) ( )0 0 0� � è � � �( ) � � ,
lim
( )
�
�
���
�
� �
Eu
� � �� �R, 0 .
Âîñïîëüçîâàâøèñü âûïóêëîñòüþ ôóíêöèè � �Eu( ) , íåòðóäíî (àíàëîãè÷íî íåðà-
âåíñòâó (10)) ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âûïîëíåíèÿ (6)
Eu( )� �� � � �� �R, 0 . (29)
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôóíêöèÿ �S Xu ( ) èç (28) áûëà âûïóêëîé ìåðîé ðèñêà
äîñòàòî÷íî äâóõ óñëîâèé äëÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè: u( )0 0� è (29). Åñëè ïðè ýòîì
ôóíêöèÿ u( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà, òî �S Xu ( ) åñòü ÊÌÐ. Íàïðèìåð, òàêèìè
ôóíêöèÿìè ìîãóò áûòü [14] u t b e bt b
1 1 0( ) ( ),/� � � � ��� , è êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ
ôóíêöèÿ
u t
t t
t t
2
2
1
0
0
( )
, ,
, ,
�
�
�
�
�
�
�
äëÿ 0 11 2� � �� � .
Ñîîòíîøåíèå êîíñòàíò � �1 2, â u2 ( )� ñðàçó ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå óñëî-
âèé (29). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèè � i iEu i( ) ( ), ,� � � � �1 2 , óäîâëåòâîðÿ-
þò óñëîâèÿì òåîðåìû 1a, ïðè÷åì � 2 ( )� ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà. Ïîýòîìó u1 ( )�
ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (29) îïðåäåëÿåò âûïóêëóþ ìåðó ðèñêà, à u2 ( )� — ÊÌÐ.
48 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå (20) äëÿ �S Xu ( ) :
� � � � � � � �
�
S X X a s dPu ( ) , ( ): . ., ( ) ( )
*
*sup
dom� �
� � � � � 0 1
�
.
/
0
0
1
2
3
3
.
Òîãäà
� � �* ( ) [ , , ( ) ]� � � � � �sup
X
X u X1 , (30)
ãäå 1 X� * — ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, äåéñòâóþùèé êàê � ( ) � � �1
, ò.å.
� � � �1, ( ) ( )X X dP
,
� � � � � � �
.
/
0
0
1
2
3
�
�S X X dPu ( ) , ( ): ( ) ( )
*
*sup
dom� �
� � � � 1
3
.
Ñîîòâåòñòâåííî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè
îïèñûâàåòñÿ â âèäå (20) êàê
� � � � � � � �
�
�
�( ( )) max , ( ): ( ) ( )
*
*S X X dPu arg
dom� �
� � � � 1
�
-
-
�
-
�-
.
Äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u t
t t
t t
2
2
1
0
0
( )
, ,
, ,
�
�
�
�
�
�
�
ðàññìîòðèì
� * ( )� èç (30). Òîãäà � � �( ) ( ) ( ) ( )X Eu X E X E X� � � � �� �2 1 2 è
� � � � � � �* ( ) [ , , , ] [ ,� � � � � � � � � � � �� � �sup sup
X X
X X X X1 2 11 1 1 � � � � ��� � 2 1, ].X
Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó äëÿ óòâåðæäåíèÿ 7 ìîæíî ïîêàçàòü, åñëè äëÿ íå-
êîòîðîãî � �X * $ � �' � ': ( )P 0 è � �( )� � 2 � � ' èëè � �( ) � � 1 � � ' ,
òî � �* ( ) = +�.
Ñëåäîâàòåëüíî, dom { }� � � �* ( ) . .� � � � � �2 1 a s . Ó÷èòûâàÿ ïîëîæèòåëüíóþ
îäíîðîäíîñòü ôóíêöèè �( ) ( )� � � �Eu2 , ñîãëàñíî (21) è (20) èìååì
� � � � � � � � � �
.
/
0
0
1
�S X X a s dPu ( ) , : . ., ( ) ( )sup
�
� � � � � 2 1 1
2
3
3
,
� � � � � � � � � � �( ( )) max , : . ., ( ) ( )S X X a s dPu arg
�
� � � � � 2 1 1
�
�
�
-
-
�
-
�-
�
�
� �
� � � � � �
�
�
� �
� � � � �
�
( ) ,
: ( ) ( ) , ( ) [ , ],
( )
*
2
2 11X dP
�
�
�
-
-
-
-
�
�
��
�
�
�1,
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) (
åñëè
åñëè
åñëè
X X
X X
X X ),
ãäå �( )X — çíà÷åíèå àðãóìåíòà â ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (29) ïðè � � �( ) � � ,
� � �( ) ( ) ( ) ( )X Eu X E X E X� � � � �� �2 1 2 .
Çàìå÷àíèå 9. Êàê îòìå÷åíî â [14], åñëè ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå àðãóìåíòà
X âåëè÷èíó ïîòåðü, òî ìåðà � �S u2
( ) ïðè � �
�
1 20
1
1
� �
�
, ñîâïàäàåò ñ CVaR� ( )� .
Ñëåäîâàòåëüíî, CVaR� ( )� ÿâëÿåòñÿ åå ÷àñòíûì ñëó÷àåì.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 49
Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì ïîíÿòèå KÌÐ Âûñøèõ ìîìåíòîâ, èçó÷åííîå â [10]:
� �
�
� � � �
� �
( ) || ( ) || ( )X X X
R
p
R
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
inf inf {
1
1
},
ãäå �
�
( ) || ( ) ||X X p�
�
�
1
1
äëÿ � �( , )0 1 .
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå (9) âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó
� �
�
�
�
� � � �( ) || ( ) || | | , ( , )�
�
�
�
� � � � ��
1
1
1
1
0 1p R .
Òàê êàê �( )� âûïóêëàÿ, ìîíîòîííàÿ è ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíàÿ, òî �( )X åñòü
ÊÌÐ è îïèñûâàåòñÿ â âèäå (19)
� �
� � � �
( ) ,
* : ,
X X� � �
� % � � �
sup
dom { }1 1
,
ãäå
� � �
�
�
�
* ( ) , || || , |� � � �
�
.
/0
1
23
� � � �
�
� �sup sup
X
p
X
X X X
1
1
1
1
| || ,X Xp� ��� �
.
/0
1
23
� .
Àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 1 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî dom { }� �* ( ) . .& � � 0 a s . Êðîìå òîãî,
sup sup
X
qX X
�
� � �
�
� �
.
/
0
1
2
3 �
�
�
�
��
�
�
�
�
, ,
, | | ||
|| |||
1
1
0 1
1
/ ( ),
, || || / ( ).
1
1 1
�
�� � �
�
�
�
� �q
Ñëåäîâàòåëüíî, dom { }� � �* ( ) . ., || ||� � � �0 1a s q . Ñ ó÷åòîì ïîëîæèòåëüíîé
îäíîðîäíîñòè ôóíêöèè �( )� ìåðó �( )� ñîãëàñíî (17) ìîæíî îïèñàòü êàê
� � � � �
�
( ) , : || || , . ., ( ) ( )X X a s dPq� � � � � �
.
/
0
0
1
�sup 1 0 1
2
3
3
,
à ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå åå êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ ñîãëàñíî (18) — êàê
� � � � � � �
�
�� � � � �
�
( ) max , : || || , . ., ( ) ( )X X a s dPqarg 1 0 1
�
-
-
�
-
�-
.
Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì âàðèàíò ïîñòðîåíèÿ ìåðû ðèñêà ñ èñïîëüçîâàíèåì
äåòåðìèíèðîâàííîãî ýêâèâàëåíòà èç [11]
� �
�
� � � � � �
� �
( ) [ ( )] (X E X X
R R
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
inf inf {
1
1
1 )}, (31)
ãäå �
�
� �( ) [ ( )]X E X�
�
�1
1
1 ïðè � �( , )0 1 , à â êà÷åñòâå �( )� ðàññìàòðèâàåòñÿ
îäíîñòîðîííÿÿ íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ «íåïîëåçíîñòè», ñòðîÿùàÿñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì �1 0( ) ( ) ( )t u t u� � � � , îïðåäåëèì �
�
( )
( ), ,
, .
t
t t
t
� �
�
�
�
1 0
0 0
Ñëåäîâàòåëüíî, � � �� � � �1 ( ) { : ( ) }sup t R t a .
50 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Êàê ïîêàçàíî â [11], òàêàÿ �( )� ãàðàíòèðóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (9):
� �
�
� � �
�
� � �( ) ( ) (( ) )�
�
�
�
�� �
�
1
1
1
1
1 1
�
�
� �
�
�� �
1
1
1
1�
� � �
�
� �sup{t t: ( ) (( ) )} ( ) .
Ìîíîòîííîñòü �( )� î÷åâèäíà. Äëÿ åå âûïóêëîñòè ôóíêöèÿ �( )� äîëæíà áûòü
ñòðîãî âûïóêëîé è òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé, à ôóíêöèÿ
�
�
4 �
4 4 �
( )
( )
—
ñòðîãî âûïóêëîé [2, òåîðåìà 1, ñ. 1450].  êà÷åñòâå ôóíêöèè �( )� ñ óêàçàííûìè
ñâîéñòâàìè â [11] ðàññìàòðèâàëàñü �
( ) ,
( )� � � � ��1 1
t
.
Òîãäà �( )� îïèñûâàåòñÿ ñâîèì äâîéñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì êàê
� � � � �
� �
( ) , ( ): ( ) ( )
*
*X X dP� � � � �
.
/
0
0
1
2
3
3�
�sup
dom
1
,
ãäå � � �
�
� � �* ( ) , [ ( )] ,� � � �
�
� � �
.
/0
1
23
�
�
� �sup
X
X E X X
1
1
1 . Ïîýòîìó àíàëîãè÷íî
ïðèìåðó 1 dom { }� �* ( ) . .& � � 0 a s .
Ñîîòâåòñòâåííî åå ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ îïèñûâà-
åòñÿ â âèäå (18) êàê
� � � � � � �
�
� � � � � �
� �
( ) max , ( ): . ., ( ) ( )
*
*X X a s dParg
dom
0 1
�
�
�
-
-
�
-
�-
.
Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì ÊÌÐ â âèäå (3) èç [12]:
� �� � �
�
1
1( ) { ( )}X u Eu X
R
� � � � �
�
�sup , 0 1� � �� � . (32)
Çäåñü êîýôôèöèåíòû � �, èìåþò ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Íàïðèìåð,
� � �1 1 0/ ( )r — ýëåìåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ, êîòîðûé ïðèâîäèò áóäóùóþ ÷èñòóþ
ñòîèìîñòü ê òåêóùåé. Òîãäà �1 ( )� — òàê íàçûâàåìàÿ ìîíåòàðíàÿ ìåðà ðèñêà, äëÿ
êîòîðîé òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü çàìåíÿåòñÿ äåíåæíîé â ñëåäóþùåì
ñìûñëå: (A3b) � � �1 1( ) ( ) ,X a X a a R� � � � .
Êàê íåòðóäíî âèäåòü,
� �� � � �� �
� �
1
1 1( ) { ( ) ( )} {X u Eu X u Eu
R R
� � � � � � � �
�
�
�
�inf inf ( )}X � ��
� � �
�
inf { }
�
� � � �
R
X( ) ( ) ,
ãäå � � �� � �( ) , ( ) ( )� � � � �X u Eu X1 .
Äëÿ ñâåäåíèÿ ê êîíñòðóêöèè (3) ïîäåëèì ýòó ôóíêöèþ íà �, òîãäà
1
1
�
� � � � � �
�
( ) ( ) ( ) ( )X X X
R
� � � �
�
inf { },
ãäå � � � �
�
�
( ) , ( ) ( )� � � � �X u Eu X1 .
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 51
Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â ïðèìåðå 1, óñëîâèå (9) ìîæíî ñâåñòè
ê óñëîâèþ u Eu� �1 ( )�
�
�
�, êîòîðîå ïðè 0� �� � âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ.
Êàê è â ïðèìåðå 4, ìîíîòîííîñòü �( )� î÷åâèäíà, à äëÿ åå âûïóêëîñòè ôóíê-
öèÿ u( )� äîëæíà áûòü ñòðîãî âîãíóòîé è òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé,
à ôóíêöèÿ
4 �
44 �
u
u
( )
( )
— ñòðîãî âîãíóòîé. Òàêîé êëàññ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿìè
ñ óâåëè÷èâàþùèìñÿ îòíîñèòåëüíûì èçáåãàíèåì ðèñêà [15]. Ñëåäîâàòåëüíî,
ôóíêöèè ïîëåçíîñòè u( )� èç ýòîãî êëàññà ñ ïîìîùüþ (32) îïðåäåëÿþò âûïóêëóþ
ìåðó ðèñêà. Òîãäà â òî÷êå X ñâîåãî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ �1 ( )� èç (32) îïèñûâàåòñÿ
äâîéñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèåì êàê
�
�
�
�
� � � �
� �
1
1 1
1( ) ( ) , ( ): ( ) ( )
*
*X X X dP� � � � � � �
�
sup
dom
�
.
/
0
0
1
2
3
3
,
ãäå � � �
�
�
* ( ) , ( )� � � �
.
/
0
1
2
3
�sup
X
X u Eu X1 .
Èç àíòèìîíîòîííîñòè ôóíêöèè �
�
�
( ) ( )X u Eu X� � �1 àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 1
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî dom { }� �* ( ) . .& � � 0 a s . Ïîýòîìó
�
�
� � � � �
� �
1
1
0 1( ) , ( ): . ., ( ) ( )
*
*X X a s dP� � � � � � �
�
sup
dom
�
.
/
0
0
1
2
3
3
.
Ñîîòâåòñòâåííî åå ñóáäèôôåðåíöèàë â òàêîé òî÷êå X îïèñûâàåòñÿ
â âèäå (20) êàê
� � � � � �
�
�
�
� � � � �
� �
1
1
0( ) max , ( ): . ., ( ) (
*
*X X a s dParg
dom
) � �
�
�
-
-
�
-
�-
� 1
.
Åñëè âûáðàòü u( )� èç êëàññà ôóíêöèé ïîëåçíîñòè ñ ïîñòîÿííûì îòíîñèòåëüíûì
èçáåãàíèåì ðèñêà, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ �( )� îêàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îä-
íîðîäíîé. Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà èç [15, òåîðåìà 6, ñ. 135] ñëåäóåò, ÷òî ïðè ôóíêöèÿõ
èç ýòîãî êëàññà äëÿ àðãóìåíòà
X ïðåìèÿ çà ðèñê íå çàâèñèò îò
, ò.å.
E X u Eu X
E X
u Eu X( ) ( )
( )
( )
� � � �
� �1 1
const � �
0 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ �
�
�
( ) ( )� � � ��u Eu1 ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà.
Ïîýòîìó ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè u( )� èç ýòîãî êëàññà ñ ïîìîùüþ (32) îïðåäåëÿ-
åò ÊÌÐ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêàÿ ìåðà ðèñêà â òî÷êå X åå êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ ñî
ñâîèì ñóáäèôôåðåíöèàëîì îïðåäåëÿåòñÿ êàê
�
�
� � �
� �
( ) , : . ., ( ) ( )
*
X X a s dP� � � � � �
.
/
0
0
1
�
�
1
0 1sup
dom
2
3
3
,
� � � � � � �
.
�
��
�
� � �
� �
( ) max , : . ., ( ) ( )
*
X X a s dP
1
0 1arg
dom
/
0
0
1
2
3
3
.
52 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
Îòìåòèì, ÷òî åñëè òåïåðü äëÿ íåêîòîðîé âûïóêëîé ôóíêöèè f x( , ) íà âû-
ïóêëîì çàìêíóòîì ìíîæåñòâå M R n& íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü êîìïîçèò-
íóþ ôóíêöèþ �( ( , ))f x � äëÿ ìåð ðèñêà èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ, òî íåòðóäíî
ñôîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå çàäà÷è âûïóêëîé îïòèìèçàöèè, ê êîòîðûì
ñâîäèòñÿ òàêàÿ ìèíèìèçàöèÿ.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæíî ñäåëàòü äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà
ñ ïîìîùüþ êîìïîçèòíîé ôóíêöèè îïèñûâàþòñÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ
(ñì., íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòàíîâêè èç [16, 17]).
 îòëè÷èå îò àïïàðàòà ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð, ýôôåêòèâíî ðàáî-
òàþùåãî â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ (ñì. [18] è ññûëêè
ê íåé), îïèñàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðàáîòû ñ áîëåå
îáùèìè âûïóêëûìè ïðîáëåìàìè.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì ðàáîòó [19] ñ îïèñàíèåì ìîäåëåé êàòàñòðîôè÷åñêèõ
è òåððîðèñòè÷åñêèõ ðèñêîâ, êîòîðûå ñâåäåíû ê êîíå÷íîìåðíûì ïðîáëåìàì ñòî-
õàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå èçó÷àþòñÿ ìåðû ðèñêà, ïîñòðîåííûå â ôîðìå èíôèìàëüíîé êîíâîëþ-
öèè (3) äâóõ ôóíêöèé-êîìïîíåíò. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå êîì-
ïîíåíò òàêîé êîíñòðóêöèè ôóíêöèè, êîòîðûå âàæíû äëÿ ó÷åòà ðèñêà, íî íå
èìåþò ñâîéñòâ ìåðû, íàïðèìåð äåòåðìèíèðîâàííûé ýêâèâàëåíò.
Èçó÷åíî äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå è ñóáäèôôåðåíöèàë ïîäîáíûõ êîí-
ñòðóêöèé, îïèñàíû óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, à òàêæå âîçìîæíîñòè èõ îïòèìèçàöèè è
èñïîëüçîâàíèÿ â îãðàíè÷åíèÿõ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ìèíèìèçàöèè ïîäîáíûõ ìåð
ðèñêà óäîáíî èñïîëüçîâàòü èõ èñõîäíîå îïèñàíèå, à äëÿ ïðèìåíåíèÿ â îãðàíè÷å-
íèÿõ — äâîéñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü äëÿ çàäà÷ îïòèìè-
çàöèè ñ èõ èñïîëüçîâàíèåì ñòàíäàðòíûå ñðåäñòâà âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ðàññìîòðåí ðÿä èçâåñòíûõ ìåð ðèñêà ñ ïîäîáíîé êîí-
ñòðóêöèåé, êîòîðûå èçó÷àþòñÿ â ðàìêàõ ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà. Ýòî ïîçâîëÿåò
ñèñòåìàòèçèðîâàòü èçâåñòíûå ðàíåå ðåçóëüòàòû è îáëåã÷èòü ïîòåíöèàëüíûé ïî-
èñê íîâûõ âàðèàíòîâ ìåð ðèñêà. Îòìåòèì, òàêîé ïîèñê — ïðîöåññ íåôîðìàëü-
íûé, ïîñêîëüêó íîâûå ìåðû äîëæíû íå òîëüêî èìåòü èçó÷åííûå â ðàáîòå
òåõíè÷åñêèå ñâîéñòâà, íî è äîïóñêàòü ñîäåðæàòåëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Rockafellar R.T. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970. 451 p.
2. Ben-Tal A., Teboulle M. Expected utility, penalty functions and duality in stochastic nonlinear
programming. Management Science. 1986. Vol. 32, N 11. P. 1445–1466.
3. Rockafellar R.T., Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk. Journal of Risk. 2000.
Vol. 2, N 3. P. 21–41.
4. Rockafellar R.T., Uryasev S. Conditional upsilon alue-at-risk for general loss distribution. J. Banking
and Finance. 2002. Vol. 26, N 7. P. 1443–1471.
5. Acerbi C., Tasche D. On the coherence of expected shortfall. J. Banking and Finance. 2002. Vol. 26,
N 7. P. 1487–1503.
6. Cherny A.S. Weighted V@R and its properties. Finance and Stochastics. 2006. Vol. 10, N 3.
P. 367–393.
7. F��ollmer H., Schied A. Stochastic finance: an introduction in discrete time, 2nd ed. Berlin: Walter de
Gruyter, 2004. 459 p.
8. Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance.
1999. Vol. 9, N 3. P. 203–228.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 53
9. F��ollmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints. Finance Stochastics. 2002.
Vol. 6, N 4. P. 429–447.
10. Krokhmal P.A. Higher moment coherent risk measures. Quantitative Finance. 2007. Vol. 7, N 4.
P. 373–387.
11. Vinel A., Krokhmal P.A. Certainty equivalent measures of risk. Annals of Operations Research.
2017. Vol. 249, N 1–2. P. 75–95.
12. Geissel S., Sass J., Seifried F.T. Optimal expected utility risk measures. Statistics & Risk Modeling.
2018. Vol. 35, N 1–2. P. 73–87.
13. Shapiro A., Dentcheva D., Ruszczynski A. Lectures on stochastic programming. Modeling and
theory. Philadelphia: SIAM, 2009. 436 p.
14. Ben-Tal A., Teboulle M. An old-new concept of convex risk measures: An optimized certainty
equivalent. Mathematical Finance. 2007. Vol. 17, N 3. P. 449–476.
15. Pratt J.W. Risk aversion in the small and in the large. Econometrica. 1964. Vol. 32, N 1–2.
P. 122–136.
16. Kirilyuk V.S. Polyhedral coherent risk measures and optimal portfolio on the reward-risk ratio.
Cybernetics and System Analysis. 2014. Vol. 50, N 5. P. 724–740.
17. Kirilyuk V.S. Expected utility theory, optimal portfolios, and polyhedral coherent risk measures.
Cybernetics and System Analysis. 2014. Vol. 50, N 6. P. 874–883.
18. Kirilyuk V.S. Polyhedral coherent risk measures and robust optimization. Cybernetics and System
Analysis. 2019. Vol. 55, N 6. P. 999–1008.
19. Haivoronskyy O.O., Ermoliev Yu.M., Knopov P.S., Norkin V.I. Mathematical modeling of
distributed catastrophic and terrorist risks. Cybernetics and System Analysis. 2015. Vol. 51, N 1.
P. 85–95.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 08.04.2020
Â.Ñ. Êèðèëþê
̲ÐÈ ÐÈÇÈÊÓ Ó ÂÈÃËßIJ ²ÍÔ²ÌÀËÜÍί ÊÎÍÂÎËÞÖ²¯
Àíîòàö³ÿ. Âèâ÷åíî âëàñòèâîñò³ ì³ð ðèçèêó, ïîáóäîâàíèõ ó âèãëÿä³
³íô³ìàëüíî¿ êîíâîëþö³¿. Îïèñàíî äâî¿ñòå ïðåäñòàâëåííÿ òàêèõ ì³ð, ¿õí³é
ñóáäèôåðåíö³àë, óìîâè åêñòðåìóìó, ïðåäñòàâëåííÿ äëÿ îïòèì³çàö³¿ òà âèêî-
ðèñòàííÿ â îáìåæåííÿõ. Ðåçóëüòàòè âèâ÷åííÿ äåìîíñòðóþòüñÿ íà ïðèêëàäàõ
â³äîìèõ ì³ð ðèçèêó òàêî¿ êîíñòðóêö³¿. Öå äຠçìîãó ñèñòåìàòèçóâàòè â³äîì³
ðåçóëüòàòè ³ ïîëåãøèòè ïîòåíö³éíèé ïîøóê íîâèõ âàð³àíò³â ì³ð ðèçèêó.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ³íô³ìàëüíà êîíâîëþö³ÿ, îïóêëà ì³ðà ðèçèêó, êîãåðåíòíà
ì³ðà ðèçèêó, conditional value-at-risk, äâî¿ñòå ïðåäñòàâëåííÿ, ñóáäèôåðåíö³àë,
î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü, äåòåðì³íîâàíèé åêâ³âàëåíò.
V.S. Kirilyuk
RISK MEASURES IN THE FORM OF INFIMAL CONVOLUTION
Abstract. The properties of risk measures in the form of infimal convolution are
studied. The dual representation of such measures, their subdifferential,
extremum conditions, representation for optimization and use in constraints are
described. The results of the study are demonstrated by examples of known risk
measures of such construction. This allows systematization of the well-known
results and facilitates a potential search for new variants of risk measures.
Keywords: infimal convolution, convex risk measure, coherent risk measure,
conditional value-at-risk, dual representation, subdifferential, expected utility,
deterministic equivalent.
Êèðèëþê Âëàäèìèð Ñåìåíîâè÷,
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: vlad00@ukr.net.
54 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1
|