Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности

Для конечной последовательности, состоящей из независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значение ноль или единица, установлены двумерные и трехмерные распределения некоторых специальных статистик, характеризующих расположение ее элементов. Приведены таблицы, иллюстрирующие...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кібернетика та системний аналіз
Date:	2021
Main Authors:	Масол, В.И., Поперешняк С.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Subjects:	Програмно-технічні комплекси
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190593
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности / В.И. Масол, С.В. Поперешняк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 160–167. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190593
record_format	dspace
spelling	Масол, В.И. Поперешняк С.В. 2023-06-14T11:36:32Z 2023-06-14T11:36:32Z 2021 Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности / В.И. Масол, С.В. Поперешняк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 160–167. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190593 519.212.2:681.51 Для конечной последовательности, состоящей из независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значение ноль или единица, установлены двумерные и трехмерные распределения некоторых специальных статистик, характеризующих расположение ее элементов. Приведены таблицы, иллюстрирующие применение указанных распределений для последовательности длины 32 в предположении, что ее элементы принимают значения ноль или единица с равными вероятностями. Для скінченної послідовності, що складається з незалежних однаково розподілених випадкових величин, які набувають значень нуль або одиниця, визначено двовимірні та тривимірні розподіли деяких спеціальних статистик, що характеризують розташування її елементів. Наведено таблиці, які ілюструють застосування зазначених розподілів для послідовності довжини 32 у припущенні, що її елементи набувають значень нуль або одиниця з однаковими ймовірностями. For a finite sequence consisting of independent equally distributed random variables, taking the value zero or one, two-dimensional and three-dimensional distributions of some special statistics characterizing the location of its elements are obtained. The tables that illustrate the application of these distributions to a sequence of length 32 whose elements are assumed to take values of zero or one with equal probabilities are presented.э ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Програмно-технічні комплекси Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности Сумісний розподіл деяких статистик випадкової бітової послідовності Joint distribution of some statistics of random bit sequences Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
spellingShingle	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности Масол, В.И. Поперешняк С.В. Програмно-технічні комплекси
title_short	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
title_full	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
title_fullStr	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
title_full_unstemmed	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
title_sort	совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности
author	Масол, В.И. Поперешняк С.В.
author_facet	Масол, В.И. Поперешняк С.В.
topic	Програмно-технічні комплекси
topic_facet	Програмно-технічні комплекси
publishDate	2021
language	Russian
container_title	Кібернетика та системний аналіз
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Сумісний розподіл деяких статистик випадкової бітової послідовності Joint distribution of some statistics of random bit sequences
description	Для конечной последовательности, состоящей из независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значение ноль или единица, установлены двумерные и трехмерные распределения некоторых специальных статистик, характеризующих расположение ее элементов. Приведены таблицы, иллюстрирующие применение указанных распределений для последовательности длины 32 в предположении, что ее элементы принимают значения ноль или единица с равными вероятностями. Для скінченної послідовності, що складається з незалежних однаково розподілених випадкових величин, які набувають значень нуль або одиниця, визначено двовимірні та тривимірні розподіли деяких спеціальних статистик, що характеризують розташування її елементів. Наведено таблиці, які ілюструють застосування зазначених розподілів для послідовності довжини 32 у припущенні, що її елементи набувають значень нуль або одиниця з однаковими ймовірностями. For a finite sequence consisting of independent equally distributed random variables, taking the value zero or one, two-dimensional and three-dimensional distributions of some special statistics characterizing the location of its elements are obtained. The tables that illustrate the application of these distributions to a sequence of length 32 whose elements are assumed to take values of zero or one with equal probabilities are presented.э
issn	1019-5262
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190593
citation_txt	Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности / В.И. Масол, С.В. Поперешняк // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 160–167. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT masolvi sovmestnoeraspredelenienekotoryhstatistikslučainoibitovoiposledovatelʹnosti AT poperešnâksv sovmestnoeraspredelenienekotoryhstatistikslučainoibitovoiposledovatelʹnosti AT masolvi sumísniirozpodíldeâkihstatistikvipadkovoíbítovoíposlídovností AT poperešnâksv sumísniirozpodíldeâkihstatistikvipadkovoíbítovoíposlídovností AT masolvi jointdistributionofsomestatisticsofrandombitsequences AT poperešnâksv jointdistributionofsomestatisticsofrandombitsequences
first_indexed	2025-11-27T07:48:17Z
last_indexed	2025-11-27T07:48:17Z
_version_	1850804167066517504
fulltext	ÓÄÊ 519.212.2:681.51 Â.È. ÌÀÑÎË, Ñ.Â. ÏÎÏÅÐÅØÍßÊ ÑÎÂÌÅÑÒÍÎÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÁÈÒÎÂÎÉ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ Àííîòàöèÿ. Äëÿ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùåé èç íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèå íóëü èëè åäèíèöà, óñòàíîâëåíû äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ íå- êîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ ñòàòèñòèê, õàðàêòåðèçóþùèõ ðàñïîëîæåíèå åå ýëå- ìåíòîâ. Ïðèâåäåíû òàáëèöû, èëëþñòðèðóþùèå ïðèìåíåíèå óêàçàííûõ ðàñ- ïðåäåëåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû 32 â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî åå ýëå- ìåíòû ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ íóëü èëè åäèíèöà ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìíîãîìåðíàÿ ñòàòèñòèêà, ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, s-öåïî÷êè, ñòåãàíîãðàôèÿ, ñòàòèñòè÷åñêîå òåñòèðîâàíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ôàêò íàëè÷èÿ øèôðàòà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íåäîñòàòêîâ êðèïòîçàùèòû èíôîð- ìàöèè, ïîñêîëüêó äàåò ïîâîä «ïðîòèâíèêó» ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå â íåé ñêðûòûõ äàííûõ. Óñòðàíåíèå óêàçàííîãî íåäîñòàòêà ìîæíî îñóùåñòâèòü, èñ- ïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ìåòîäû ñòåãàíîãðàôèè [1]. Ïîñòðîåíèå (â ðàìêàõ öèôðîâîé ñòåãàíîãðàôèè) ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âêðàïëåíèÿ îäíîé áèòîâîé èíôîðìà- öèè â äðóãóþ áèòîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå èñêëþ÷àåò ñòàòèñòè÷åñêîãî àíà- ëèçà åå ëîêàëüíûõ ó÷àñòêîâ íà ïðåäìåò âûÿâëåíèÿ îñîáåííîñòåé ðàñïîëîæå- íèÿ â íèõ íóëåé è åäèíèö. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå, ÿâëÿþùåéñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàáîòû [2], ïîëó÷åíû ÿâíûå ôóíêöèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ 2-öåïî÷åê è 3-öåïî÷åê ñïåöèàëüíîãî âèäà. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � �1 2, , ,� n , (1) ãäå � i �{ }0 1, , i n�1 2, , ,� , n � 0, â ïðåäïîëîæåíèè ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ. Óñëîâèå 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ñîñòîèò èç n , n � 0, íåçàâèñèìûõ îäèíàêî- âî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí; âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé { }� i �1 , { }� i � 0 èçâåñòíû è èìåþò âèä P pi{ }� � �1 , P qi{ }� � �0 , (2) ãäå p q� �1, i n�1 2, , ,� . Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü � � �j j j s, , ,� � �1 1� ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1) íàçûâà- þò s-öåïî÷êîé, j n s� � �1 2 1, , ,� , s n�1 2, , ,� . Îáîçíà÷èì � ( , , , )t t ts1 2 � ÷èñëî s-öåïî÷åê, ñîâïàäàþùèõ ñ t t ts1 2, , ,� , ãäå ti �{ }0 1, , i s�1 2, , ,� . Íàïðèìåð, ïî- ñëåäîâàòåëüíîñòü òèïà 1001011100100011 èìååò äâå 4-öåïî÷êè òèïà 1001, � ( )1001 2� ; ÷åòûðå 2-öåïî÷êè òèïà 00, � ( )00 4� ; îäíó 3-öåïî÷êó òèïà 111, � ( )111 1� è ò.ä. Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (2) è öåëûå ÷èñëà n, k k k1 2 3, , , t , t� òàêèå, ÷òî k k1 2 0� � , k3 0� , t �{ }0 1, , t t� � �1 . Òîãäà: âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèé { }� ( )tt k� 1 , { }� ( )ttt k� 2 è { }� ( )tt t k� � 3 èìååò âèä 160 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 © Â.È. Ìàñîë, Ñ.Â. Ïîïåðåøíÿê, 2021 P tt k ttt k tt t k{ }� � �( ) , ( ) , ( )� � � �� 1 2 3 � � � � � � �� m n m m t tp q m k k k m k k 1 1 0 0 1 1 2 1 3 1 � � � � � � � �� m m k m k k t t t 1 1 3 2 � � � � � � � � � � � Z k k k m m k k kt t( ; ) ( ) ( ) ,1 1 2 1 2 31 0� � (3) ãäå m n m0 1� � , �( )E — èíäèêàòîð ñîáûòèÿ E , Z a b a b a b a b( ; ) , , ,� � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 0 åñëè åñëè , â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ;0 � âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèé { }� ( )tt k� 1 è { ( ) }� ttt k� 2 , åñëè öåëûå ÷èñëà k k1 2, , t òàêèå, ÷òî k k1 2 0� � , t �{ }0 1, , èìååò âèä P tt k ttt k{ }� �( ) , ( )� � �1 2 � � � � �� m n m m t t t p q m k k k m m k Z 1 1 0 0 1 1 2 1 1 ( ; )k k k1 1 2� � � � � � ; (4) âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèé { }� ( )tt k� 1 è { }� ( )tt t k� � 2 èìååò âèä P tt k tt t k p q m km n m m t{ }� �( ) , ( )� � � � � �� 1 2 0 1 1 1 0 1 � � � � � �� m k k t 1 2 1 � � � � � � � �� m m k m k k m m k kt t t t t 1 1 2 1 2 2 1 0� �( ) ( )� � ; (5) âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèé { }� ( )tt k� 1 è { }� �( ) ( )ttt t t t k� �� 2 èìååò âèä P tt k ttt t t t k p q m n m m { }� � �( ) , ( ) ( )� � � � �� 1 2 01 1 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� * * k m k t t t t m k m k m 2 12 1 1 1 m k m k t t t � � � � � � � � � � � � 1 1 2 � * � � � � � � � � � � � Z k m k m m k kt t t( ; ) ( ) ( ) .1 1 1 21 0� � � (6) Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîñíóåì ñîîòíîøåíèå (3). Â ñèëó óñëîâèÿ (2) êîëè÷åñòâî åäèíèö (îáîçíà÷èì åãî �) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1) èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðå- äåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ( , )n p : P m C p qn m m n m{ }� � � � , m n�1 2, , ,� . (7) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 161 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì P E E E P m P E E E m m n { } { } { }1 2 3 0 1 2 3, , , , /� � � � � � � , (8) ãäå E tt k1 1� �{ }� ( ) , E ttt k2 2� �{ }� ( ) è E tt t k3 3� ��{ }� ( ) . Ïîêàæåì, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå P E E E m C C C Cn m m k k k k k m kt t { }1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 , , / ( )� � � � � � � � �1 2 3 1 1 3k m m k m k k C t t t * � � � � � . (9) Äëÿ ýòîãî ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: � ( , )n m1 — ñîâîêóïíîñòü âñåõ (0, 1)-ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äëèíû n, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò m1 åäèíèö è m0 íóëåé, m m n0 1� � , n � 3; Q — ÷èñëî âñåõ âåêòîðîâ � �, � � �� ( , )n m1 , äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ èìåþò ìåñòî ñîáûòèÿ E1, E2 , E3 . Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà � �, � � �� ( , )n m1 , ñîñòîÿùåãî èç mt (m t� ) t-ýëåìåí- òîâ (t� -ýëåìåíòîâ), m m nt t � �� , t �{ }0 1, , èìååì: ïðè óñëîâèè E1 âåêòîð � � ñîñòîèò èç m kt � 1 t-ñåðèé; ñðåäè m kt � �1 1 ïðîìåæóòêîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè t-ñåðèÿìè, k3 ïîçèöèé çàíÿòû (ïðè óñëîâèè E3) â òî÷íîñòè îäíèì t� -ýëåìåíòîì; ÷èñëî �t t-ñåðèé äëèíû åäèíèöà â âåêòîðå � � (ïðè óñëîâèÿõ E1 è E2) ñî- ñòàâëÿåò �t tk m k� � �2 12 . (10) Äàííûé âåêòîð � � îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî (ïðè óñëîâèÿõ E E1 2, , E3), åñëè çàôèêñèðîâàòü: îäíî èç R t1, (R t1, �) âñåõ âîçìîæíûõ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ðàçìåùåíèé t-ñå- ðèé (t� -ñåðèé) äëèíû åäèíèöà íà m kt � 1 (m kt � �1 1) ïîçèöèÿõ; îäíî èç R t2, (R t2, �) âñåõ âîçìîæíûõ ðàçáèåíèé îñòàâøèõñÿ mt t� � t-ýëå- ìåíòîâ (m k t� � 3 t� -ýëåìåíòîâ) íà t-ñåðèè (t� -ñåðèè) ïîäõîäÿùåé äëèíû. Ñ ó÷åòîì (10) ïîëó÷àåì R Ct m k k k t 1 1 1 2 , � � � . (11) Â ñâîþ î÷åðåäü, R C t m k k t1 11 3 , � � � � . (12) ×èñëî R t2, , ðàâíîå êîëè÷åñòâó âñåõ âîçìîæíûõ ðàçáèåíèé mt t� � t-ýëåìåí- òîâ íà t-ñåðèè, äëèíà êàæäîé èç êîòîðûõ íå ìåíåå äâóõ, óäîâëåòâîðÿåò (ïðè óñëîâèè k k1 2� ) ñîîòíîøåíèþ R C k kt k k 2 1 1 2 1 2 , ( )� � � � . (13) ×èñëî R t2, � , ðàâíîå êîëè÷åñòâó âñåõ âîçìîæíûõ ðàçáèåíèé m k t� � 3 t� -ýëå- ìåíòîâ íà t� -ñåðèè òàêèõ, ÷òî äëèíà êàæäîé t� -ñåðèè, ðàñïîëîæåííîé íà ëþáîé èç âñåõ âîçìîæíûõ ïîçèöèé m k kt � � �1 3 1, íå ìåíåå äâóõ, à îñòàëüíûå t� -ñåðèè èìåþò ïðîèçâîëüíóþ äîïóñòèìóþ äëèíó ïðè óñëîâèè m k kt � � � �1 3 1 2, îïðå- äåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì R C m k k t m m k m k k t t t t 2 2 1 2 1 1 3 2 , ( )� � � � � � � � � � � � . (14) 162 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâó m k kt � � �1 3 1ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè äâóìÿ ñîñåäíèìè t-ñåðèÿìè íàõîäèòñÿ â òî÷íîñòè îäèí t� -ýëåìåíò, à ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ t� -ñåðèè âåêòîðà � � ñîäåðæàò â ñóììå m k t� � 3 t� -ýëåìåíòîâ. ×èñëî âàðèàíòîâ, äëÿ êîòîðûõ ýòà ñóììà ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ, ñî- ñòàâëÿåò m k C m k k t m k m m k k t t t t � � � � � � � � � � � � � 3 2 1 31 1 1 1 3 �( ). (15) Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ k k1 2� èìååì Q R R R Rt t t t � � �1 2 1 2, , , , , îòêóäà ñ ó÷åòîì (11)–(15) ïîëó÷àåì Q C C C C m k k k k k m k k m m k m k k t t t t t� � � � � � � � � � � �1 1 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 2 �( )k k1 2� . (16) Â ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ âåðîÿòíîñòü P E E E m{ }1 2 3 1, , / � � ñîâìåñòíîãî îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèé E E1 2, , E3 ïðè óñëîâèè, ÷òî � � m1, èìååò âèä P E E E m n m Q{ }1 2 3 1 1 1, , / (\| ( , ) \| )� � � �� . (17) Èñïîëüçóÿ (16), (17) è ðàâåíñòâî \| ( , ) \|� n m Cn m 1 1� , (18) ïîëó÷àåì (9). Ñîîòíîøåíèå k k1 2� âîçìîæíî (ïðè óñëîâèÿõ E1 è E2) òîãäà è òîëüêî òîã- äà, êîãäà k k1 2 0� � è, òàêèì îáðàçîì, âñå t-ñåðèè â âåêòîðå � � èìåþò äëèíó åäè- íèöà (ïðè óñëîâèè mt � 1). Â ýòîì ñëó÷àå ïîëîæèì R R k kt t1 2 1 2 0, , ( )� � � �� , (19) à äëÿ R t1, � è R t2, � íàõîäèì R C t m k t1 1 3 , � � � , (20) R C t m m m k t t t 2 2 3 , � � � � � � . (21) Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè k k1 2� è mt � 1, òî â ñèëó (19)–(21) èìååì ÷èñëî Q: Q C C k k m m k m m m k t t t t t� � � � � � � � �1 2 1 2 3 3 0 1�( , ). (22) Ñ ó÷åòîì (17), (18) è (22) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå P E E E m C C Cn m m k m m m k t t t t{ }1 2 3 1 1 1 2 1 3 3, , / ( )� � � �� ( )k k k mt1 2 3 0 . (23) Åñëè k k mt1 2 0� � � , òî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà k3 , k3 0� , ÷èñëî Q � 0, à äëÿ k3 0� èìååì ñîîòíîøåíèå Q k k k mt� � � � ��( )1 2 3 0 , ïîýòîìó P E E E m C k k k mn m t{ }1 2 3 1 1 1 2 3 1 0, , / ( ) ( )� �� . (24) Ôîðìóëû (7)–(9), (17) è (24) äîêàçûâàþò ðàâåíñòâî (3). Òåîðåìà äîêàçàíà. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó (3) ïðîâåðÿþòñÿ ôîðìóëû (4)–(6). ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 163 ÏÐÈÌÅÐÛ Ê ÒÅÎÐÅÌÅ 1 Â ïðèìåðàõ ðàññìîòðåí ñëó÷àé äëÿ p q� �1 2/ è ìàëîé âûáîðêè n , n � 32. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàâåíñòâà (6). Â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ èç (6) äëÿ n � 32 è íåêîòîðûõ çíà÷åíèé k1 è k2 . Â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ ïîìå- ùåíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû çíà÷åíèé k1 è k2 , äëÿ êîòîðûõ èìååì âåðîÿò- íîñòü P tt k ttt{� �( ) , ( )� �1 �( )tt t k� � �2 } 0.02. Â òðåòüåì ñòîëáöå äàíû âåðîÿò- íîñòè (â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå) P tt k ttt tt t k{ }� � �( ) , ( ) ( )� � �� 1 2 äëÿ ïàð ÷èñåë ( , )k k1 2 , óêàçàííûõ â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ ñîîòâåòñòâåííî. Â ÷åòâåðòîì ñòîëáöå äàíà ñóììà íàêîïëåííûõ âåðî- ÿòíîñòåé Pc äî ðåàëèçàöèè ñîáûòèÿ { }� � �( ) , ( ) ( )tt k ttt tt t k� � �� 1 2 . Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíà ïóçûðüêîâàÿ äèàãðàììà ðåàëèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ (6) äëÿ n � 32. Çäåñü ïåðâûé ïàðàìåòð (ãîðè- çîíòàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæ- íûå çíà÷åíèÿ k1, âòîðîé ïàðàìåòð (âåð- òèêàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k2 , òðåòèé ïàðàìåòð (ðàçìåð ïóçûðüêà) ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ { }� � �( ) , ( ) ( )tt k ttt tt t k� � �� 1 2 , âûðàæåí- íóþ â ïðîöåíòàõ. Íàïðèìåð, ïðè k1 6� è k2 6� âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñî- áûòèÿ { }� � �( ) , ( ) ( )tt k ttt tt t k� � �1 2 ñîñòàâëÿåò 2.49 %. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàâåíñòâà (4). Â òàáë. 2 ïðèâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ èç (4) äëÿ n � 32 è íåêîòîðûõ çíà÷åíèé k1 è k2 . Â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ ïî- ìåùåíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû çíà÷åíèé k1 è k2 , äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü P tt k ttt k{ }� �( ) , ( )� � �1 2 0.03. Â òðåòüåì ñòîëáöå äàíû çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè (â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå) P tt k ttt k{ }� �( ) , ( )� �1 2 äëÿ ïàð ÷èñåë ( , )k k1 2 , óêà- çàííûõ â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ ñîîòâåòñòâåííî. Â ÷åòâåðòîì ñòîëáöå ïðåä- 164 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ò à á ë è ö à 1. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ äëÿ ÷èñåë k ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà (6) k1 k2 P Pc 7 8 0.02005 0.721063 9 7 0.02006 0.741119 6 7 0.02043 0.761554 5 5 0.02081 0.782367 9 9 0.02095 0.803314 8 6 0.02107 0.824389 6 5 0.02348 0.847872 9 8 0.02377 0.87164 8 8 0.02453 0.896168 6 6 0.02491 0.921081 7 7 0.02612 0.947201 8 7 0.02637 0.973573 7 6 0.02643 1 Ðèñ. 1 k2 k1 2.09 % 2.38 %2.45 %2.01 % 2.04 % 2.61 % 2.64 % 2.01 % 2.49 % 2.64 % 2.11 % 2.08 % 2.35 % ñòàâëåíà ñóììà íàêîïëåííûõ âåðîÿò- íîñòåé Pc äî ðåàëèçàöèè ñîáûòèÿ { }� �( ) , ( )tt k ttt k� �1 2 . Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà ïóçûðüêîâàÿ äèàãðàììà ðåàëèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ (4) äëÿ n � 32. Çäåñü ïåðâûé ïàðàìåòð (ãî- ðèçîíòàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæ- íûå çíà÷åíèÿ k1, âòîðîé ïàðàìåòð (âåð- òèêàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k2 , òðåòèé ïàðàìåòð (ðàçìåð ïóçûðüêà) ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ P tt k ttt k{ }� �( ) , ( )� �1 2 , âûðàæåííóþ â ïðîöåíòàõ. Íàïðèìåð, ïðè k1 7� è k2 3� âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáû- òèÿ P tt k ttt k{ }� �( ) , ( )� �1 2 ñîñòàâëÿ- åò 5.01%. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàâåí- ñòâà (5). Â òàáë. 3 ïðèâåäåíû ñîîòíîøå- íèÿ èç (5) äëÿ n � 32 è íåêîòîðûõ çíà÷å- íèé k1 è k2 . Â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ ïîìåùåíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû çíà- ÷åíèé k1 è k2 , äëÿ êîòîðûõ èìååì âåðîÿò- íîñòü P tt k tt t k{ }� �( ) , ( )� � �� 1 2 0.02. Â òðåòüåì ñòîëáöå äàíû çíà÷åíèÿ âåðî- ÿòíîñòè (â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå) P tt k{�( ) ,� 1 �( )tt t k� 2 } äëÿ ïàð ÷èñåë ( , )k k1 2 , óêàçàííûõ â ïåðâîì è âòîðîì ñòîëáöàõ. Â ÷åòâåðòîì ñòîëáöå ïîìåùåíà ñóììà íàêîïëåííûõ âåðîÿòíîñòåé Pc äî ðåà- ëèçàöèè ñîáûòèÿ { }� �( ) , ( )tt k tt t k� �� 1 2 . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 165 Ò à á ë è ö à 2. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ äëÿ ÷èñåë k ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà (4) k1 k2 P Pc 7 2 0.033341 0.597797 9 4 0.035397 0.633194 4 1 0.036205 0.669399 6 3 0.036262 0.705662 9 5 0.036379 0.74204 5 1 0.037323 0.779364 8 3 0.03736 0.816724 5 2 0.039788 0.856512 8 4 0.044858 0.90137 6 2 0.048534 0.949904 7 3 0.050096 1 Ðèñ. 2 k2 k1 3.64 % 3.54 %4.49 % 3.63 % 5.01 % 3.74 % 3.98 % 4.85 % 3.33 % 3.62 % 3.73 % Ò à á ë è ö à 3 . Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíî- ñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ äëÿ ÷èñåë k ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà (23) k1 k2 P Pc 8 5 0.020082 0.737322 5 4 0.02016 0.757482 7 5 0.020578 0.778061 5 3 0.020824 0.798885 9 3 0.02306 0.821945 9 4 0.023135 0.84508 6 4 0.024607 0.869687 6 3 0.02502 0.894708 8 4 0.025917 0.920625 8 3 0.025982 0.946607 7 4 0.026605 0.973213 7 3 0.026787 1 Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíà ïóçûðüêîâàÿ äèàãðàììà ðåàëèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ (5) äëÿ n � 32. Çäåñü ïåðâûé ïàðàìåòð (ãîðèçîíòàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k1 , âòîðîé ïàðàìåòð (âåðòèêàëüíàÿ îñü) ïðåäñòàâëÿåò âîçìîæíûå çíà÷å- íèÿ k2 , òðåòèé ïàðàìåòð (ðàçìåð ïóçûðüêà) ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííóþ âåðîÿò- íîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ P tt k tt t k{ }� �( ) , ( )� �� 1 2 , âûðàæåííóþ â ïðîöåí- òàõ. Íàïðèìåð, ïðè k1 7� è k2 4� âåðîÿòíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ P tt k tt t k{ }� �( ) , ( )� �� 1 2 ñîñòàâëÿåò 2.66%. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàâåíñòâà (3). Â òàáë. 4 ïðèâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ èç (3) äëÿ n � 32 è íåêîòîðûõ çíà÷åíèé k1, k2 è k3 . Â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì ñòîëáöàõ äàíû âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû çíà÷åíèé k1, k2 è k3 , äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü P tt k ttt k{� �( ) , ( ) ,� �1 2 �( )tt t k� � �3 } 0.01. Â ÷åòâåðòîì ñòîëáöå äàíû çíà÷åíèÿ âåðî- ÿòíîñòè (â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå) P tt k ttt k tt t k{ }� � �( ) , ( ) , ( )� � �� 1 2 3 äëÿ ÷èñåë ( , , )k k k1 2 3 , óêàçàííûõ â ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì ñòîëáöàõ ñîîòâåòñòâåííî. Â ïÿòîì ñòîëáöå ïîìåùåíà ñóììà íàêîïëåííûõ âåðîÿòíîñòåé Pc äî ðåàëèçàöèè ñî- áûòèÿ { }� � �( ) , ( ) , ( )tt k ttt k tt t k� � �� 1 2 3 . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Èçó÷àþòñÿ ñîâìåñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà 2-öåïî÷åê è ÷èñëà 3-öåïî÷åê ôèê- ñèðîâàíîãî âèäà â êîíå÷íîé áèòîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñîñòîÿùåé èç íåçà- âèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Â ñîîòíîøåíè- ÿõ (3)–(6) ðàñìàòðèâàþòñÿ öåïî÷êè âèäà tt , ttt, t t t� , äëÿ êîòîðûõ óñòàíàâëèâà- þòñÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé òàêèõ ñîáûòèé: { }� � �( ) , ( ) , ( )tt k ttt k tt t k� � �� 1 2 3 , { }� �( ) , ( )tt k ttt k� �1 2 , { }� �( ) , ( )tt k tt t k� �� 1 2 , { }� � �( ) , ( ) ( )tt k ttt tt t k� � �� 1 2 , ãäå �( , , , )t t ts1 2 � — ÷èñëî s-öåïî÷åê âèäà t1, 166 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ðèñ. 3 k2 k1 2.06 % 2.31 % 2.01 % 2.02 % 2.66 % 2.59 % 2.68 % 2.60 % 2.31 %2.08 % 2.50 % 2.46 % Ò à á ë è ö à 4. Çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñîáûòèÿ äëÿ ÷èñåë k ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà (3) k1 k2 k3 P Pc 6 2 3 0.010131 0.968497 6 2 4 0.01019 0.978687 7 3 4 0.010539 0.989226 7 3 3 0.010774 1 t ts2 , ,� â èñõîäíîé n -ìåðíîé (0, 1)-ïîñëåäîâàòåëüíîñòè; t t� � �1 ; k1, k2 , k3 — ïîäõîäÿùèå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé óêàçàííûõ ñîáûòèé ïîñòðîåíû íà ïîäñ÷åòå ÷èñëà ñîîòâåòñòâó- þùèõ áëàãîïðèÿòíûõ ñîáûòèé ïðè óñëîâèè, ÷òî (0, 1)-ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñî- äåðæèò ôèêñèðîâàííîå êîëè÷åñòâî íóëåé è åäèíèö. Â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ èñ- ïîëüçîâàíèÿ ÿâíûõ âûðàæåíèé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé ïðèâåäåíû òàáëèöû, â êîòîðûõ ïîìåùåíû çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñîáûòèé äëÿ (0, 1)-ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû n , n � 32 , è íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ïàðàìåò- ðîâ k1, k2 è k3 ïðè îãðàíè÷åíèè, ÷òî íóëè è åäèíèöû ïîÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåðî- ÿòíî. Óñòàíîâëåííûå ôîðìóëû ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ äëÿ çàäà÷ òåñòèðî- âàíèÿ ëîêàëüíûõ ó÷àñòêîâ, ôîðìèðóþùèõñÿ íà âûõîäå ãåíåðàòîðîâ ïñåâäîñëó- ÷àéíûõ ÷èñåë, à òàêæå â èíûõ ñôåðàõ, ãäå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â àíàëèçå áèòîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Çàä³ðàêà Â.Ê., Ñåðã³ºíêî ².Â., Êîâàëåíêî ².Ì., Àíäîí Ï.². Êîìï’þòåðíà ñòåãàíîãðàô³ÿ. Â êí.: Àëåêñåºâ Â.À., Àë³øîâ Í.²., Àíäîí Ï.²., Àí³ñ³ìîâ À.Â., Áàðàí Ë.Á., Áºëîâ Â.Ì., Áîþí Â.Ï., Áóëàâàöü- êèé Â.Ì., Áóí³í Ñ.Ã., Âàëàõ Â.ß. Ñòàí òà ïåðñïåêòèâè ðîçâèòêó ³íôîðìàòèêè â Óêðà¿í³. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2010. Ñ. 736–747. 2. Masol V.I., Popereshnyak S.V. Checking the randomness of bits disposition in local segments of the (0, 1)-sequence. Cybernetics and Systems Analysis. 2020. Vol. 56, N 3. P. 513–520. https://doi.org/10.1007/ s10559-020-00267-0. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 06.08.2020 Â.². Ìàñîë, Ñ.Â. Ïîïåðåøíÿê ÑÓÌ²ÑÍÈÉ ÐÎÇÏÎÄ²Ë ÄÅßÊÈÕ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊ ÂÈÏÀÄÊÎÂÎ¯ Á²ÒÎÂÎ¯ ÏÎÑË²ÄÎÂÍÎÑÒ² Àíîòàö³ÿ. Äëÿ ñê³í÷åííî¿ ïîñë³äîâíîñò³, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç íåçàëåæíèõ îäíà- êîâî ðîçïîä³ëåíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ÿê³ íàáóâàþòü çíà÷åíü íóëü àáî îäèíèöÿ, âèçíà÷åíî äâîâèì³ðí³ òà òðèâèì³ðí³ ðîçïîä³ëè äåÿêèõ ñïåö³àëüíèõ ñòàòèñòèê, ùî õàðàêòåðèçóþòü ðîçòàøóâàííÿ ¿¿ åëåìåíò³â. Íàâåäåíî òàáëèö³, ÿê³ ³ëþñòðóþòü çàñòîñóâàííÿ çàçíà÷åíèõ ðîçïîä³ë³â äëÿ ïîñë³äîâíîñò³ äîâ- æèíè 32 ó ïðèïóùåíí³, ùî ¿¿ åëåìåíòè íàáóâàþòü çíà÷åíü íóëü àáî îäèíè- öÿ ç îäíàêîâèìè éìîâ³ðíîñòÿìè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: áàãàòîâèì³ðíà ñòàòèñòèêà, âèïàäêîâà ïîñë³äîâí³ñòü, s-ëàí- öþæêè, ñòåãàíîãðàô³ÿ, ñòàòèñòè÷íå òåñòóâàííÿ. V. Masol, S. Popereshnyak JOINT DISTRIBUTION OF SOME STATISTICS OF RANDOM BIT SEQUENCES Abstract. For a finite sequence consisting of independent equally distributed random variables, taking the value zero or one, two-dimensional and three-dimensional distributions of some special statistics characterizing the location of its elements are obtained. The tables that illustrate the application of these distributions to a sequence of length 32 whose elements are assumed to take values of zero or one with equal probabilities are presented. Keywords: multidimensional statistic, random sequence, s-chains, steganography, statistical testing. Ìàñîë Âëàäèìèð Èâàíîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: vimasol@ukr.net. Ïîïåðåøíÿê Ñâåòëàíà Âëàäèìèðîâíà, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: spopereshnyak@gmail.com. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 167

Совместное распределение некоторых статистик случайной битовой последовательности

Institution

Similar Items