Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих

Розглянуто питання оцінки похибки та оптимізації вибору параметрів в операторах інтерлінації функції ермітового типу на системі M паралельних прямих. Для цього застосовано формули узагальненої ермітової інтерлінації, які на відміну від формул звичайної ермітової інтерлінації надають змогу автоматичн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кібернетика та системний аналіз
Дата:	2021
Автори:	Сергієнко, I.В., Литвин, О.М., Литвин, О.О., Ткаченко, О.В., Білобородов, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Теми:	Системний аналіз
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190647
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих / I.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, А.А. Білобородов// Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 52–61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190647
record_format	dspace
spelling	Сергієнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Білобородов, А.А. 2023-06-17T18:37:55Z 2023-06-17T18:37:55Z 2021 Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих / I.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, А.А. Білобородов// Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 52–61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190647 519.6 Розглянуто питання оцінки похибки та оптимізації вибору параметрів в операторах інтерлінації функції ермітового типу на системі M паралельних прямих. Для цього застосовано формули узагальненої ермітової інтерлінації, які на відміну від формул звичайної ермітової інтерлінації надають змогу автоматично зберігати той самий клас диференційовності, якому належить наближувана функція. Під час побудови цих операторів використано довільну систему не рівних одне одному чисел β₀, β₁, ... , βN. Запропоновано метод оптимального вибору цих параметрів та оцінку похибки залишку. Рассмотрена задача оценки погрешности и оптимизации выбора параметров в операторах интерлинации эрмитового типа функций на системе M параллельных прямых. Для этого использованы формулы обобщенной эрмитовой интерлинации, которые в отличие от формул обычной эрмитовой интерлинации позволяют автоматически сохранять тот же класс дифференцируемости, к которому принадлежит приближенная функция. При построении этих операторов использована произвольная система не равных между собой чисел β₀, β₁, ... , βN. Предложены метод оптимального выбора этих параметров и оценка погрешности остатка. This article discusses the issue of estimating the error and optimizing the choice of parameters in Hermitian-type operators of interlineation of functions on a system of M parallel lines. For this, the formulas of generalized Hermitian-type interlineation are used, which, unlike the formulas of ordinary Hermitian-type interlineation, allow automatically preserving the same class of differentiability to which the approximate function belongs. When constructing these operators, an arbitrary system of unequal each other numbers β₀, β₁, ... , βN is used. The article proposes a method for the optimal choice of these parameters and an estimation of error of the remainder. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих Оптимизация погрешности в операторах интерлинации функции на М параллельных прямых Optimization of the error in the operators of interlineation of a function on M parallel lines Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих
spellingShingle	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих Сергієнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Білобородов, А.А. Системний аналіз
title_short	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих
title_full	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих
title_fullStr	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих
title_full_unstemmed	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих
title_sort	оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на m паралельних прямих
author	Сергієнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Білобородов, А.А.
author_facet	Сергієнко, I.В. Литвин, О.М. Литвин, О.О. Ткаченко, О.В. Білобородов, А.А.
topic	Системний аналіз
topic_facet	Системний аналіз
publishDate	2021
language	Ukrainian
container_title	Кібернетика та системний аналіз
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Оптимизация погрешности в операторах интерлинации функции на М параллельных прямых Optimization of the error in the operators of interlineation of a function on M parallel lines
description	Розглянуто питання оцінки похибки та оптимізації вибору параметрів в операторах інтерлінації функції ермітового типу на системі M паралельних прямих. Для цього застосовано формули узагальненої ермітової інтерлінації, які на відміну від формул звичайної ермітової інтерлінації надають змогу автоматично зберігати той самий клас диференційовності, якому належить наближувана функція. Під час побудови цих операторів використано довільну систему не рівних одне одному чисел β₀, β₁, ... , βN. Запропоновано метод оптимального вибору цих параметрів та оцінку похибки залишку. Рассмотрена задача оценки погрешности и оптимизации выбора параметров в операторах интерлинации эрмитового типа функций на системе M параллельных прямых. Для этого использованы формулы обобщенной эрмитовой интерлинации, которые в отличие от формул обычной эрмитовой интерлинации позволяют автоматически сохранять тот же класс дифференцируемости, к которому принадлежит приближенная функция. При построении этих операторов использована произвольная система не равных между собой чисел β₀, β₁, ... , βN. Предложены метод оптимального выбора этих параметров и оценка погрешности остатка. This article discusses the issue of estimating the error and optimizing the choice of parameters in Hermitian-type operators of interlineation of functions on a system of M parallel lines. For this, the formulas of generalized Hermitian-type interlineation are used, which, unlike the formulas of ordinary Hermitian-type interlineation, allow automatically preserving the same class of differentiability to which the approximate function belongs. When constructing these operators, an arbitrary system of unequal each other numbers β₀, β₁, ... , βN is used. The article proposes a method for the optimal choice of these parameters and an estimation of error of the remainder.
issn	1019-5262
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190647
citation_txt	Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих / I.В. Сергієнко, О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.В. Ткаченко, А.А. Білобородов// Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 52–61. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT sergíênkoiv optimízacíâpohibkivoperatorahínterlínacíífunkcíínamparalelʹnihprâmih AT litvinom optimízacíâpohibkivoperatorahínterlínacíífunkcíínamparalelʹnihprâmih AT litvinoo optimízacíâpohibkivoperatorahínterlínacíífunkcíínamparalelʹnihprâmih AT tkačenkoov optimízacíâpohibkivoperatorahínterlínacíífunkcíínamparalelʹnihprâmih AT bíloborodovaa optimízacíâpohibkivoperatorahínterlínacíífunkcíínamparalelʹnihprâmih AT sergíênkoiv optimizaciâpogrešnostivoperatorahinterlinaciifunkciinamparallelʹnyhprâmyh AT litvinom optimizaciâpogrešnostivoperatorahinterlinaciifunkciinamparallelʹnyhprâmyh AT litvinoo optimizaciâpogrešnostivoperatorahinterlinaciifunkciinamparallelʹnyhprâmyh AT tkačenkoov optimizaciâpogrešnostivoperatorahinterlinaciifunkciinamparallelʹnyhprâmyh AT bíloborodovaa optimizaciâpogrešnostivoperatorahinterlinaciifunkciinamparallelʹnyhprâmyh AT sergíênkoiv optimizationoftheerrorintheoperatorsofinterlineationofafunctiononmparallellines AT litvinom optimizationoftheerrorintheoperatorsofinterlineationofafunctiononmparallellines AT litvinoo optimizationoftheerrorintheoperatorsofinterlineationofafunctiononmparallellines AT tkačenkoov optimizationoftheerrorintheoperatorsofinterlineationofafunctiononmparallellines AT bíloborodovaa optimizationoftheerrorintheoperatorsofinterlineationofafunctiononmparallellines
first_indexed	2025-11-26T00:09:22Z
last_indexed	2025-11-26T00:09:22Z
_version_	1850593552297361408
fulltext	I.Â. ÑÅÐÃ²ªÍÊÎ, Î.Ì. ËÈÒÂÈÍ, Î.Î. ËÈÒÂÈÍ, Î.Â. ÒÊÀ×ÅÍÊÎ , À.À. Á²ËÎÁÎÐÎÄÎÂ ÓÄÊ 519.6 ÎÏÒÈÌ²ÇÀÖ²ß ÏÎÕÈÁÊÈ Â ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÕ ²ÍÒÅÐË²ÍÀÖ²¯ ÔÓÍÊÖ²¯ ÍÀ M ÏÀÐÀËÅËÜÍÈÕ ÏÐßÌÈÕ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ îö³íêè ïîõèáêè òà îïòèì³çàö³¿ âèáîðó ïàðà- ìåòð³â â îïåðàòîðàõ ³íòåðë³íàö³¿ ôóíêö³¿ åðì³òîâîãî òèïó íà ñèñòåì³ M ïàðà- ëåëüíèõ ïðÿìèõ. Äëÿ öüîãî çàñòîñîâàíî ôîðìóëè óçàãàëüíåíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿, ÿê³ íà â³äì³íó â³ä ôîðìóë çâè÷àéíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ íàäà- þòü çìîãó àâòîìàòè÷íî çáåð³ãàòè òîé ñàìèé êëàñ äèôåðåíö³éîâíîñò³, ÿêîìó íàëåæèòü íàáëèæóâàíà ôóíêö³ÿ. Ï³ä ÷àñ ïîáóäîâè öèõ îïåðàòîð³â âèêîðèñòà- íî äîâ³ëüíó ñèñòåìó íå ð³âíèõ îäíå îäíîìó ÷èñåë � � �0 1, , ... , N . Çàïðîïîíî- âàíî ìåòîä îïòèìàëüíîãî âèáîðó öèõ ïàðàìåòð³â òà îö³íêó ïîõèáêè çàëèøêó. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ³íòåðë³íàö³ÿ, îïåðàòîð, çàëèøîê, îïòèì³çàö³ÿ. Ìåòîäè íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ çà äîïîìîãîþ îïåðàòîð³â ³íòåðë³íàö³¿ òà ñóì³æí³ ïèòàííÿ ðîçãëÿíóòî â ðîáîòàõ [1–6]. Ó âèïàäêó âèêî- ðèñòàííÿ ôîðìóë åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ ôóíêö³¿ äâîõ ³ á³ëüøå çì³ííèõ áåç çáå- ðåæåííÿ êëàñó ãëàäêîñò³ [1] ³íôîðìàö³ÿ ïðî íàáëèæóâàíó ôóíêö³þ çàäàºòüñÿ ñë³äàìè ôóíêö³¿ òà ñë³äàìè ¿¿ íîðìàëüíèõ ïîõ³äíèõ íà ñèñòåì³ çàäàíèõ ë³í³é. Òîä³, êîëè ñë³äè ïîõ³äíèõ íå íàëåæàòü òîìó ñàìîìó êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³, ÿêîìó íàëåæèòü íàáëèæóâàíà ôóíêö³ÿ, ôîðìóëè åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ ìîæóòü ïðåäñòàâëÿòè ôóíêö³¿, ÿê³ íå íàëåæàòü òîìó ñàìîìó êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³, ùî ³ íàáëèæóâàíà ôóíêö³ÿ, à â äåÿêèõ âèïàäêàõ ìîæóòü áóòè îòðèìàí³ ôóíêö³¿, ÿê³ íàâ³òü íå º äèôåðåíö³éîâíèìè. Ó ðîáîò³ [1] Î.Ì. Ëèòâèíîì çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè îïåðàòîð³â ³íòåðë³íàö³¿ ôóíêö³¿ åðì³òîâîãî òèïó íà ñèñòåì³ M ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ, ÿê³ íà- äàþòü çìîãó àâòîìàòè÷íî çáåð³ãàòè êëàñ äèôåðåíö³éîâíîñò³ íàáëèæóâàíî¿ ôóíêö³¿. Ó ïîáóäîâ³ öèõ îïåðàòîð³â âèêîðèñòàíî ñèñòåìó äîâ³ëüíèõ íå ð³âíèõ îäèí îäíîìó ÷èñåë � � �0 1, , ..., N . Ó ö³é ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî ìåòîä îïòèìàëü- íîãî âèáîðó öèõ ïàðàìåòð³â, à òàêîæ äîñë³äæåíî îö³íêó ïîõèáêè öèõ îïåðàòîð³â. Ñòàòòÿ ñêëàäàºòüñÿ ç òðüîõ ðîçä³ë³â. Ó ïåðøîìó ðîçä³ë³ ðîçãëÿíóòî óçàãàëü- íåíó åðì³òîâó ³íòåðë³íàö³þ íà ñèñòåì³ M ( )M � 2 ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Ó äðóãî- ìó ðîçä³ë³ çàïðîïîíîâàíî îïòèìàëüíèé âèá³ð ïàðàìåòð³â � � �0 1, , ..., N ï³ä ÷àñ ïîáóäîâè óçàãàëüíåíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿, ÿêèé â³äïîâ³äàº îïòèìàëüí³é ïî- õèáö³ íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿, çà äîïîìîãîþ óçàãàëüíåíîãî îïåðàòîðà Äàëàìáåðà. Ó òðåòüîìó ðîçä³ë³ íàâåäåíî îá÷èñëþâàëüíèé åêñïåðèìåíò, ÿêèé ï³äòâåðäæóº îïòèìàëüíèé âèá³ð ïàðàìåòð³â � � �0 1, , ..., N çà äîïîìîãîþ òåîðåìè 5 äëÿ ôóíêö³¿ âèãëÿäó f x y g x y( , ) ( )� � . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 52 © I.Â. Ñåðã³ºíêî, Î.Ì. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, Î.Â. Òêà÷åíêî , À.À. Á³ëîáîðîäîâ, 2021 1. ÔÎÐÌÓËÀ ÓÇÀÃÀËÜÍÅÍÎ¯ ÅÐÌ²ÒÎÂÎ¯ ²ÍÒÅÐË²ÍÀÖ²¯ ÍÀ ÑÈÑÒÅÌ² M ( )M � 2 ÏÀÐÀËÅËÜÍÈÕ ÏÐßÌÈÕ Ðîçãëÿíåìî ôîðìóëó åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ áåç çáåðåæåííÿ êëàñó äèôå- ðåíö³éîâíîñò³ íà ñèñòåì³ M ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ. Íåõàé f x y C Rr( , ) ( ),� 2 �� a y y y bM0 1 1� . Ïîë³íîì Åðì³òà äëÿ f x y( , ) çà çì³ííîþ y ìàº âèãëÿä e f x y f x y h y y y s MN s s N k M k ks k s ( , ): ( , ) ( ) ( ) ! ( , )� � �� 0 00 1 , (1) äå h y y y y yks i N i i k M i N i i k M ( ) ( ) ( ) , ( ) , � � �� 1 0 1 1 0 1 � � �� ( ) ( ) y N s k . Çàïèñ { }� �( ) ( ) ( )y yk ñë³ä ðîçóì³òè òàê: { }� �� ( ) : ( ) ( ) !( ) ( ) ( )y y y y sy s s k k s k � � � 0 , k M� �0 1, , s N� 0, . Âàæëèâî â³äì³òèòè, ùî ôóíêö³ÿ (1) º ïîë³íîìîì ñòåïåíÿ ( )( )M N� � �1 1 1 â³äíîñíî çì³ííî¿ y . Îòæå, çà çì³ííîþ y âîíà º äèôåðåíö³éîâíîþ äîâ³ëüíó ê³ëüê³ñòü ðàç³â. Îäíàê, ÿê ôóíêö³ÿ äâîõ çì³ííèõ âîíà íå íàëåæèòü êëàñó C Rr ( )2 , ÿêîìó íàëåæèòü â³äíîâëþâàíà ôóíêö³ÿ f x y( , ) , îñê³ëüêè f x y C Rs k r s( , ) ( , ) ( )0 � � . Îòæå, îïåðàòîð Åðì³òà íå çáåð³ãàº äèôåðåíö³àëüí³ âëàñòèâîñò³ f êð³ì òîãî âèïàä- êó, êîëè f x y C R( , ) ( )� � 2 . Î.Ì. Ëèòâèí çàïðîïîíóâàâ ôîðìóëó óçàãàëüíåíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ íà ñèñòåì³ M ( )M � 2 ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³ [1]. Àñïåêòè óçàãàëüíåíî¿ åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ òà ñóì³æí³ ïèòàííÿ ðîçãëÿíóòî â ðîáîòàõ [1–5]. Ó ðîáîò³ [1] ñôîðìóëüîâàíî òà äîâåäåíî òàêó òåîðåìó. Òåîðåìà 1. Íåõàé f x y C r( , ) ( )� � , y Nk i, , � — ô³êñîâàí³ ÷èñëà, ÿê³ çàäî- âîëüíÿþòü óìîâè: a y y y bM � � � �0 1 1� , � �� { }i , � � �0 1� � �� N , � � �� { x , a y b } , òîä³ ³ñíóþòü òàê³ ÷èñëà � si , ùî ôóíêö³ÿ E f x y h y f x y y yM N k k M i i N i k k, , ( , ) ( ) ( ( ), )� � �� 0 0 1 0 0 � � �� h y f t yks s N k M si i N x x y y s k i k 10 1 0 0( ) ( , ( ) ( , )� � ) ( ( ) ) ( )! , x y y t s dti k s� � � � �� 1 1 äå h y y y y yks l l k M l N l l k M l N( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � �� 0 1 1 0 1 1� � � � � � � � � ( ) ( ) y N s k , (2) 53 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 { }� �� ( ) : ( ) ( ) !( ) ( ) ( )y y y y sy s s k k s k � � � 0 , k M� �0 1, , s N� 0, , çàäîâîëüíÿº óìîâè f x y C E f x y Cr M N r( , ) ( ) ( , ) ( ),,� � �� p M N p y y p l E f x y y f x y l , ( , )( , ) ( , )0 , l M� �0 1, , p N� 0, . ×èñëà � Nsi , i s N, ,� 0 , äëÿ êîæíîãî p N� 0, çíàõîäÿòü øëÿõîì ðîçâ’ÿçàííÿ òàêèõ ñèñòåì ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü: � � �Nsi i N i p s p � � 0 ( ) , , s p N, ,� 0 . Çàóâàæèìî, ùî íàáîðè ÷èñåë { }� i , i N� 0, , à çíà÷èòü ³ ÷èñëà � Nsi , ìîæóòü áóòè ð³çíèìè äëÿ ð³çíèõ k, k M� �0 1, . ßêùî çàì³ñòü äîïîì³æíèõ ôóíêö³é h yks ( ), k M� �0 1, , s N� 0, , âçÿòè h yk0 ( ) , îòðèìóºìî ïðîñò³øó ôîðìóëó äëÿ ³íòåðë³íàö³¿ íà M ( )M � 2 ïàðàëåëü- íèõ ïðÿìèõ: T f x y h y D f x yM N k k M k N, , ,( , ) ( ) ( , )� � � � 0 0 1 , (3) D f x yk N, , ( , )� � � � � � � � � �� 0 0 i i k k i N f x y y y( ( ), ) � � � � � � � � �� si s N x y y s k i k si k f t y x y y t 1 0 0 1( ) ( , ) ( , ) ( ( ) ) ( )!s dt � � � � �1 . Ó ðîáîò³ [3] íàâåäåíî òàêó òåîðåìó. Òåîðåìà 2. Íåõàé r N, �N, r N� , f x y C Rr( , ) ( )� 2 , { }� i , i N� 0, , — ô³êñî- âàí³ ÷èñëà, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü óìîâó � �B � �0 0 ... � � N B, B �N, B � 0 . Òîä³ äëÿ ÷èñåë { } ~ � i , ~ � � i i B � , i N� 0, , óçàãàëüíåíèé îïåðàòîð Äàëàìáåðà ìàº âèãëÿä ~ ( , ), ,D f x yk N � � � � � � ! " # $� � � � � �� i N i i k kf x B y y y 0 0� � ( ), � � � � � � � � �� si s N s x B y y s k i k B f t y x B y y t i k 1 0 0 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ! " # $ � � � � � � � � �s s dt 1 1( )! . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 54 2. ÂÈÁ²Ð ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â � � �0 1, , . . . , N ²ç òåîðåì 1, 2 âèïëèâàº, ùî ³íòåðë³íàö³éí³ âëàñòèâîñò³ ³ç çáåðåæåííÿì ïîòð³áíîãî êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³ â ïîáóäîâàíèõ îïåðàòîðàõ ³íòåðë³íàö³¿ âèêîíóþòüñÿ íåçàëåæíî â³ä âèáîðó ïàðàìåòð³â � � �0 1, , ..., N . Ïîòð³áíî ëèøå, ùîá âîíè çàäîâîëüíÿëè óìîâó � � � � � �B BN� � �0 1 � . Òîìó çã³äíî ç òâåð- äæåííÿì òåîðåìè 2 áóäåìî ââàæàòè, ùî âñ³ { }� i , i N� 0, , íàëåæàòü ³íòåðâàëó [ , ]�1 1 , êð³ì âèïàäêó, êîëè B � �. Äëÿ íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x y( , ) îïåðàòîðîì (3) ìîæíà îö³íèòè ïîõèáêó çà- ëèøêó R f x y I T f x yM N M N, , , ,( , ) ( ) ( , )� �� . Òåîðåìà 3. Íåõàé f x y C r( , ) ( )� � ; y Nk i, , � — ô³êñîâàí³ ÷èñëà, ÿê³ çàäî- âîëüíÿþòü óìîâó �� a y y y bM0 1 1� , N r �N , � �� { }i , � � � � � �1 10 1� � �� N . ×èñëà � Nsi , i s N, ,� 0 , º ðîçâ’ÿçêàìè ñèñòåì ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü. � � �Nsi i N i p s p � � 0 ( ) , , 0 s p N, . Òîä³ çàëèøîê íàáëèæåí- íÿ ôóíêö³¿ f x y( , ) îïåðàòîðîì TM N, ,� ìàº âèãëÿä R f x y h y R f x yM N k k M k N, , ,( , ) ( ) ( , )� � � � 0 0 1 , (4) äå R f x yk N, ( , ) — çàëèøîê íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x y( , ) óçàãàëüíåíèì îïåðàòî- ðîì Äàëàìáåðà Dk N, ,� íà ïðÿì³é y yk� , ÿêèé ìàº âèãëÿä R f x yk N, ( , ) � � � � � � � � � � � � % Ni i N N k i k N A f t y z x y y z t N 1 0 1 1 1 ( )( , ) ( ( ) ) ( ) � ! ( ) dt dz x x y y zy y i kk � � �� 0 ,(5) äå ( )( , ) ( , )A f x y x y f x yN i i N � � � � � � � � � � ! " # $�1 0 � , % Ni k k i N i k� � � � � ( ) 0 � � , 0 s i N, . Äëÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè 3 ñêîðèñòàºìîñÿ òàêîþ ëåìîþ. Ëåìà 1. Äëÿ ôóíêö³é h yk0 ( ) âèäó (2), k M� �0 1, , âèêîíóºòüñÿ òîòîæí³ñòü h yk k M 0 0 1 1 � � &( ) . Äîâåäåííÿ. Ç âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ h yk0 ( ) âèïëèâàº: h y k q l0 0( ) ( ) ,� l k� , h y k q k q0 0 ( ) ,( ) � � , àáî h y k q l q k l0 0 ( ) , ,( ) � � � . Ïîçíà÷èâøè s y h yk k M ( ) ( )� � � 0 0 1 , 55 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 îòðèìóºìî s y h yq l k q k M l q k M k l q k ( ) ( ) , , , ,( ) ( )� � � � � � � 0 0 1 0 0 1 0� � � � l k M q � � � 0 1 0� , . (6) Âèêîíàííÿ óìîâ (6) q N� 0, , l M� �0 1, , ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî s y( ) º ïîë³íîìîì ñòåïåíÿ M N( )� �1 1, º ìîæëèâèì ò³ëüêè ó âèïàäêó, êîëè s y( ) &1. Ëåìó 1 äîâåäåíî. Çàëèøîê óçàãàëüíåíîãî îïåðàòîðà Äàëàìáåðà ìàº âèãëÿä R f x y T f x y f x y h y DM N M N k k M k N, , , , ,( , ) ( , ) ( , ) ( )� �� ' � � 0 1 f x y( , ) � � � � ! ! " # $ $ � ' � � � � f x y h y h y f x yk k M k k M ( , ) ( ) ( ) ( ( , )1 0 1 0 1 � �D f x yk N, ( , )) � � � ! ! " # $ $ � ' � � � � f x y h y h y R f xk k M k k M k N( , ) ( ) ( ) (,1 0 1 0 1 , )y . Ç óðàõóâàííÿì ëåìè 1 f x y h yk k M ( , ) ( )1 0 0 1 � � ! ! " # $ $ � � � . Îòæå, ìàºìî: R f x y h y R f x yM N k k M k N, , ,( , ) ( ) ( , )� � � � 0 1 . Òåîðåìó 3 äîâåäåíî. ßê áóëî âñòàíîâëåíî ðàí³øå, ³íòåðë³íàö³éí³ âëàñòèâîñò³ îïåðàòîðà (3) âèêî- íóþòüñÿ íåçàëåæíî â³ä âèáîðó ïàðàìåòð³â � � �0 1, , ..., N . Òîìó àêòóàëüíîþ º çàäà÷à îïòèìàëüíîãî âèáîðó öèõ ïàðàìåòð³â ç ìåòîþ ì³í³ì³çàö³¿ ïîõèáêè. Îòæå, ìîæíà ñôîðìóëþâàòè òàêó çàäà÷ó ì³í³ì³çàö³¿ íîðìè çàëèøêó R f x yM N, , ( , )� : \|\| ( , ) \|\| min, , [ ]R f x yM N L D N � � � �2 0 11 1 � � � � � � �� . Ó ðîáîò³ [1] íàâåäåíî îö³íêó ïîõèáêè R f x yk N, , ( , )� . Íåõàé a z xk ( ) , x y y z b zi k k� � � � ( ) ( ), i N� 0, , D t z a z t b z z y yk k k k� �{ }( , )\| ( ) ( );0 ; ( )( , ) ( ),A f t z C DN k� �1 � . Òîä³ ( � �( ( ), )� � �ik i k i ky D , i N� 0, , � � � � � � � �k k k k Nk Nk k k Nky y( ) ( ( ), ..., ( ), , ..., )� � �0 0 0 , R f x y y y N A fk N k N N k, , ,( , ) ( ) ( )! ( ~ )( ( ), ),� � � � �� 1 1 1 ( ~ )( ( ), ) ( )( ( ), ), ,A f A f yN Ni i N N i i k i� � �� 1 1 1� �� % i N � 0 , R f x y A f zk N z z D i N N k ik k , , ( ( ), ) , , ,( , ) max ( ~ )( (� � � � � � � 0 1 ), )z . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 56 Öþ íåð³âí³ñòü ìîæíà îòðèìàòè, ÿêùî äî (5) äâ³÷³ çàñòîñóâàòè óçàãàëüíåíó òåîðåìó ïðî ñåðåäíº â ³íòåãðàëüíîìó ÷èñëåíí³: ( � � � � ) �� ki i kz x x y y z i N( ) [ , ( )] ,0 : R f x yk N, , ( , )� � � � � � � � � � � � % Ni i N N ki k y y A f z y z k 1 0 1 0 ( )( ( ), ), � � � � � � � � � � � � �� ( ( ) ) ( )! ( ) x y y z t N dt dzi k N x x y y zi k � � 1 1 � � � �� % Ni i N N ki k i N k N A f z y z y y z N 1 0 1( )( ( ), ) ( ) ! , � � � � � � � � � � � dz y yk 0 � � � �� % Ni i N N ki k i N k N A f z y z y y z N dz1 0 1 0 ( )( ( ), ) ( ) ! , � � � y yk� � , ( � ) �� i ky y i N[ , ] , :0 % Ni i N N ki k i N k Ny A f z y z y y z N dz� � � � � �1 0 1 0 ( )( ( ), ) ( ) ! , � � � � � � yk � � � �� % Ni i N N ki i k i i N k N A f y y y z N d1 0 1( )( ( ), ) ( ) ! , � � � � � z y yk 0 � � � � � � �� % Ni i N N ki i k i i N k N A f y y y z N d1 0 1( )( ( ), ) ( ) ! , � � � � � z y yk 0 � � � � � � � � � � � % Ni i N N ki i k i i N k N A f y y y N 1 0 1 1 ( )( ( ), ) ( ) ( , � � � � � 1)! � � � � � � � � � ( ) ( )! ( )( ( ),, y y N A f yk N Ni i N i N N ki i k 1 1 0 1 1 % � � �� i ) . Îáðàâøè îáëàñòü D Dk k M � �0 � , çàäà÷ó îïòèì³çàö³¿ ìîæíà çâåñòè äî òàêîãî âèãëÿäó: h y Ak k M z z D i N Ni i N N ik k 0 0 1 0 1 1 � � � � � � ( ) max ( ( ( ), ) , , , � ��% f i i N L D )( ( ), ) [ ] � � � � � ! ! " # $ $ � 0 2 � � � � � � � min 1 10 1� � �� N . ßêùî âèêîíóºòüñÿ óìîâà % Ni i N� �1 0� ) �i N0, , òîä³ ( �( ~ (~ ),~)� � �k ky òàêå, ùî min ( ), ..., ( ) ~ (~ ){ }� � � � � �0 0k k Nk N k k ky y y� � � � �max ( ), ..., ( ) ,{ }� � � �0 0k k Nk N ky y 57 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 ( )( ~ (~ ), ~ ) max ( )( (, , ,A f y A fN k k i N N ki i� � �� 1 0 1� �� yk i), )� , % % Ni i N i N N ki i k i Ni i N iA f y� � � � � � 1 0 1 1 0 � � � � ��( )( ( ), ), N N k kA f y( )( ~ (~ ), ~ ),� � �1 � � � � � �� ( )( ~ (~ ), ~ ),A f yN k k Ni i N i N 1 1 0 � � � � �% . Âðàõîâóþ÷è, ùî % Ni i N i N� � �1 0 1� , îòðèìóºìî R f x y A f yk N N k k, , ,( , ) \| ( )( ~ (~ ), ~ )\|� � � � � ��1 . Ó ðîáîò³ [3] ñôîðìóëüîâàíî òà äîâåäåíî òàêó òåîðåìó. Òåîðåìà 4. ßêùî íàáëèæóâàíà ôóíêö³ÿ f x y( , ) ìàº âèãëÿä f x y g x y( , ) ( ),� � òî çàëèøîê (5) óçàãàëüíåíîãî îïåðàòîðà Äàëàìáåðà ìàº âèãëÿä R f x yk N i N i, ( , ) ( )� � * � � 0 1 � * ' � � ' � � � � � � � � � % Ni i N N k i k N g t z y x y y z t N 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( � )! ( ) dt dz x x y y zy y i kk � � �� ! ! " # $ $ � 0 . Òåîðåìà 5. ßêùî íàáëèæóâàíà ôóíêö³ÿ f x y( , ) ìàº âèãëÿä f x y g x y( , ) ( )� � , òî óçàãàëüíåíà ôîðìóëà åðì³òîâî¿ ³íòåðë³íàö³¿ (3) ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó äèôå- ðåíö³éîâíîñò³ áóäå òî÷íî íàáëèæóâàòè öþ ôóíêö³þ çà â³äïîâ³äíîãî âèáîðó ÷è- ñåë � � �0 1, , ..., N , à ñàìå � i �1 òà � k ( )k i� — äîâ³ëüí³, òà íå äîð³âíþþòü îäíå îäíîìó. Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç òåîðåìîþ 3 çàëèøîê íàáëèæåííÿ (3) ìàº âèä: R f x y h y R f x yM N k k M k N, , ,( , ) ( ) ( , )� � � � 0 0 1 . Ç óðàõóâàííÿì òåîðåìè 4 ìàºìî R f x y R f x yk N i N i k N, ,( , ) ( ) ( , ),� � � � 0 1 � (7) R f x yk N, ( , ) � � ' � � ' � � � � � � � � � % Ni i N N k i k N g t z y x y y z t N 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( � )! ( ) dt dz x x y y zy y i kk � � �� ! ! " # $ $ � 0 . Ï³äñòàâëÿþ÷è (7) â (4), îòðèìóºìî R f x y h y R f x yM N k k M i N i k N, , ,( , ) ( ) ( ) ( , )� �� 0 0 1 0 1 � � ' � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( , ), i N i k k M k Nh y R f x y 0 0 0 1 1 � . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 58 ßêùî ïîêëàñòè � i �1 òà � k ( )k i� äîâ³ëüíèìè, ùî íå äîð³âíþþòü îäíå îä- íîìó, òî R f x y h y R f x yM N i N i k k M k N, , ,( , ) ( ) ( ) ( , )� �� ' � �� 0 0 0 1 1 � � � � � 0 . Òåîðåìó 5 äîâåäåíî. 3. ÎÁ×ÈÑËÞÂÀËÜÍÈÉ ÅÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒ Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ f x y( , ) , îïåðàòîð äëÿ ÿêî¿ ìàº âèãëÿä ( )( , ) ( , )A f x y x y f x yN i i N � � � � � � � � � � ! " # $ ��1 0 � Const. Öüîìó îïåðàòîðó â³äïîâ³äàº, íàïðèêëàä, òàêà ôóíêö³ÿ f x y x y N N ( , ) ( ) ( )! � � � � �1 1 1 , äëÿ ÿêî¿ ( )( , ) ( , ) (A f x y x y f x yN i i N i N � � � � � � � � � � � ! " # $ � �� 1 0 0 1� � i ) . Çàëèøîê óçàãàëüíåíîãî îïåðàòîðà Äàëàìáåðà Dk N, , � íà ïðÿì³é y yk� ìàº âèãëÿä R f x yk N, ( , ) � � ' � � � � � � � � � % Ni i N N i k N A f x y x y y z t N d1 0 1 1 1 ( )( , ) ( ( ) ) ( )! � tdz x x y y zy y i kk � � �� ( ) 0 � � ' � � � � �� ( ) ( ( ) ) ( )!i N i Ni i N i k Nx y y z t N dt 0 1 0 1 1 1 � � % dz x x y y zy y i kk � � �� ( ) 0 � � � � � � � �� I x y y z t N dtdzi i k N x x y y zy i k ( ( ) ) ( )! ( ) � � 1 0 1 y i N i Ni i N i k I� � � � ' � � � ( ) 0 1 0 1 � % , äå âåëè÷èíè I i ìàþòü âèãëÿä I x y y z t N dtdzi i k N x x y y zy y i k � � � � � � �� ( ( ) ) ( )! ( ) � � 1 0 1 k � � � � � � � � � � � � � � � � � u x y y z t x y y z t x dt du u x u y y i k i k i k � � � ( ) ( ) ( � � z) � � � ' � � �� u N dudz N y y z N x y y zy y i N k i kk 1 0 1 1 ( )! ! ( ) ( ) ( � � N N y y x dz k � � � � ) 0 59 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 � ' � � ' � � � � � � � 1 1 1 0 1 N x dz N y y N x y yi N N N y y i N k N N k ! ( ) ! ( ) (� � k ) � ! ! " # $ $ � � � � � � � �� i N k N N ky y N x y y N ( ) ( ) ( ) ( )! 1 1 1 . Ó ðåçóëüòàò³ ñïðîùåííÿ îòðèìóºìî R f x y y y N k N i N i Ni i N i N k N , ( , ) ( ) ( ) ( � � ' � � � � � � � � 0 1 0 1 1 1 � � % ) ( ) ( )! x y y N N k� � � 1 � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 0 1 1 0( )! ( ) ( ) ( ) ( N y y N x i N i k N Ni i N i N N� �% y yk Ni i N � � � � � � � � � ) % 1 0 . Âðàõîâóþ÷è, ùî % Ni i N i N� � �1 0 1� , % Ni i N � � �1 0 0 , îòðèìóºìî R f x y N y yk N i N i k N , ( , ) ( )! ( )( )� � � � � �� 1 1 1 0 1� . Ïîõèáêà íàáëèæåííÿ â³äïîâ³äíî äî òåîðåìè 5 ìàº âèãëÿä R f x y N h y y yM N i N i k k M , , ( , ) ( )! ( ) ( )(� �� ' � ' � � � � � 1 1 1 0 0 0 1 k N) � �1 0 çà ðàõóíîê âèáîðó îäíîãî ç ïàðàìåòð³â � i �1. Öå òâåðäæåííÿ ñòîñóºòüñÿ ëèøå ôóíêö³é ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó ³ ìîæå áóòè ðîçøèðåíå íà âèïàäîê ñóìè ôóíêö³é ç àíàëîã³÷íèì òâåðäæåííÿì äëÿ êîæíîãî çíà- ÷åííÿ îêðåìî. Ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³ äëÿ äîâ³ëüíèõ ôóíêö³é ïîõèáêà áóäå çàëåæàòè â³ä óñ³õ ïàðàìåòð³â. Òîìó ì³í³ì³çàö³þ ïîõèáêè ñë³ä âèêîíóâàòè ç âèêîðèñòàííÿì êëàñè÷íèõ ìåòîä³â ì³í³ì³çàö³¿ çàëèøêîâîãî ÷ëåíà çà âñ³ìà ïàðàìåòðàìè. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ëèòâèí Î.Ì. ²íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é òà äåÿê³ ¿¿ çàñòîñóâàííÿ. Õàðê³â: Îñíîâà, 2002. 544 ñ. 2. Ñåðã³ºíêî ².Â., Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., Òêà÷åíêî Î.Â., Ãðèöàé Î.Ë. Ïîáóäîâà òà äîñë³äæåííÿ îïå- ðàòîðà íàáëèæåííÿ ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ ³ç çáåðåæåííÿì êëàñó äèôåðåíö³éîâíîñò³ çà ñë³äàìè ¿õ ïîõ³äíèõ äî ô³êñîâàíîãî ïîðÿäêó íà çàäàí³é ë³í³¿. Ïðîáëåìè ìàøèíîáóäóâàííÿ. 2016. Ò. 19, ¹ 2. Ñ. 50–57. 3. Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., Òêà÷åíêî Î.Â., Á³ëîáîðîäîâ À.À. Îïòèì³çàö³ÿ âèáîðó ïàðàìåòð³â â óçà- ãàëüíåí³é ôîðìóë³ Äàëàìáåðà äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ. Ñó÷àñí³ ïðîáëåìè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþ- âàííÿ, ïðîãíîçóâàííÿ òà îïòèì³çàö³¿: òåçè äîïîâ³äåé 9-¿ Ì³æíàðîäíî¿ íàóêîâî¿ êîíôåðåíö³¿. Êàì’ÿ- íåöü-Ïîä³ëüñüêèé: Êàì’ÿíåöü-Ïîä³ëüñüêèé íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò ³ìåí³ ²âàíà Îã³ºíêà, 2020. Ñ. 96–99. URL: https://inf.kpnu.edu.ua/wp-content/uploads/2020/05/optima_2020_tezy.pdf. 4. Ñåðã³ºíêî ².Â., Ëèòâèí Î.Ì., Ëèòâèí Î.Î., Òêà÷åíêî Î.Â., Ãðèöàé Î.Ë. Âiäíîâëåííÿ ôóíêöié äâîõ çìiííèõ iç çáåðåæåííÿì êëàñó C Rr ( )2 çà äîïîìîãîþ ¿õ ñëiäiâ òà ñëiäiâ ¿õ ïîõiäíèõ äî ôiêñîâàíîãî ïîðÿäêó íà çàäàíié ë³í³¿. Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2014. ¹ 2. Ñ. 50–55. 5. Ëèòâèí Î.Ì. ²íòåðïîëÿö³ÿ ôóíêö³é òà ¿õ íîðìàëüíèõ ïîõ³äíèõ íà ãëàäêèõ ë³í³ÿõ â R n. Äîï. ÀÍ ÓÐÑÐ. 1984. ¹ 7. Ñ. 15–19. 6. Ëèòâèí Î.Í. Èíòåðïîëÿöèÿ äàííûõ Êîøè íà íåñêîëüêèõ ïàðàëåëüíûõ ïðÿìûõ â R 2 ñ ñîõðàíåíèåì êëàññà äèôôåðåíöèðóåìîñòè. Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. 1985. ¹ 5. Ñ. 509–514. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 30.06.2020 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 60 È.Â. Ñåðãèåíêî, Î.Í. Ëèòâèí, Î.Î. Ëèòâèí, À.Â. Òêà÷åíêî , À.À. Áèëîáîðîäîâ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ Â ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÕ ÈÍÒÅÐËÈÍÀÖÈÈ ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÀ M ÏÀÐÀËËÅËÜÍÛÕ ÏÐßÌÛÕ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà çàäà÷à îöåíêè ïîãðåøíîñòè è îïòèìèçàöèè âûáî- ðà ïàðàìåòðîâ â îïåðàòîðàõ èíòåðëèíàöèè ýðìèòîâîãî òèïà ôóíêöèé íà ñèñòåìå M ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû îáîá- ùåííîé ýðìèòîâîé èíòåðëèíàöèè, êîòîðûå â îòëè÷èå îò ôîðìóë îáû÷íîé ýðìèòîâîé èíòåðëèíàöèè ïîçâîëÿþò àâòîìàòè÷åñêè ñîõðàíÿòü òîò æå êëàññ äèôôåðåíöèðóåìîñòè, ê êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ïðèáëèæåííàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ïîñòðîåíèè ýòèõ îïåðàòîðîâ èñïîëüçîâàíà ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà íå ðàâíûõ ìåæäó ñîáîé ÷èñåë � � �0 1, , ... , N . Ïðåäëîæåíû ìåòîä îïòèìàëüíîãî âûáîðà ýòèõ ïàðàìåòðîâ è îöåíêà ïîãðåøíîñòè îñòàòêà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåðëèíàöèÿ, îïåðàòîð, îñòàòîê, îïòèìèçàöèÿ. I.V. Sergienko, O.M. Lytvyn, O.O. Lytvyn, O.V. Tkachenko , A.A. Biloborodov OPTIMIZATION OF THE ERROR IN THE OPERATORS OF INTERLINEATION OF A FUNCTION ON M PARALLEL LINES Abstract. This article discusses the issue of estimating the error and optimizing the choice of parameters in Hermitian-type operators of interlineation of functions on a system of M parallel lines. For this, the formulas of generalized Hermitian-type interlineation are used, which, unlike the formulas of ordinary Hermitian-type interlineation, allow automatically preserving the same class of differentiability to which the approximate function belongs. When constructing these operators, an arbitrary system of unequal each other numbers � � �0 1, , ... , N is used. The article proposes a method for the optimal choice of these parameters and an estimation of error of the remainder. Keywords: interlineation, operator, remainder, optimization. Ñåðã³ºíêî ²âàí Âàñèëüîâè÷, àêàäåì³ê ÍÀÍ Óêðà¿íè, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, äèðåêòîð ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: incyb@incyb.kiev.ua. Ëèòâèí Îëåã Ìèêîëàéîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîôåñîð êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäåì³¿, Õàðê³â, e-mail: academ_mail@ukr.net. Ëèòâèí Îëåã Îëåãîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Óêðà¿íñüêî¿ ³íæåíåðíî-ïåäàãîã³÷íî¿ àêàäåì³¿, Õàðê³â, e-mail: Olegolitvin55@gmail.com. Òêà÷åíêî Îëåêñàíäð Âîëîäèìèðîâè÷ , êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, íà÷àëüíèê â³ää³ëó ÄÏ «²â÷åíêî-Ïðîãðåñ», Çàïîð³ææÿ. Á³ëîáîðîäîâ Àðòåì Àíäð³éîâè÷, àñï³ðàíò êàôåäðè Õàðê³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ðàä³îåëåêòðîí³êè, å-mail: biloborodow23april@gmail.com. 61 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2

Оптимізація похибки в операторах інтерлінації функції на M паралельних прямих

Репозитарії

Схожі ресурси