Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью
Рассмотрена проблема сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики на основе современной версии метода разрешающих функций. Для таких объектов характерно, что на некотором интервале времени не выполняется условие Понтрягина, что существенно затрудняет применени...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кібернетика та системний аналіз |
|---|---|
| Дата: | 2021 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190656 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью / И.С. Раппопорт // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 147–166. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859978491968094208 |
|---|---|
| author | Раппопорт, И.С. |
| author_facet | Раппопорт, И.С. |
| citation_txt | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью / И.С. Раппопорт // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 147–166. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кібернетика та системний аналіз |
| description | Рассмотрена проблема сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики на основе современной версии метода разрешающих функций. Для таких объектов характерно, что на некотором интервале времени не выполняется условие Понтрягина, что существенно затрудняет применение метода разрешающих функций к этому классу игровых задач динамики. Предложен метод решения таких задач, связанный с построением некоторых скалярных функций (разрешающих), качественно характеризующих ход сближения управляемых объектов с различной инерционностью и эффективность принятых решений. Метод разрешающих функций позволяет эффективно использовать современную технику многозначных отображений в обоснованиях игровых конструкций и получении на их основе содержательных результатов. Сравниваются гарантированные времена окончания игры для разных схем сближения управляемых объектов. Приведен иллюстративный пример.
Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових завданнях динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних функцій. Для таких об’єктів характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Понтрягіна, що істотно ускладнює застосування методу розв’язувальних функцій до цього класу ігрових задач динаміки. Запропоновано метод розв’язання таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій (розв’язувальних), що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів з різною інерційністю та ефективн ість прийнятих рішень. Метод розв’язувальних функцій дає змогу ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отриманні на їхній основі змістовних результатів. Порівнюються гарантовані часи закінчення гри для різних схем зближення керованих об’єктів. Наведено ілюстративний приклад.
The problem of convergence of controlled objects with different inertia in game dynamics problems is considered on the basis of the modern version of the method of resolving functions. For such objects, it is characteristic that the Pontryagin condition is not satisfied on a certain time interval, which significantly complicates the application of the method of resolving functions to this class of game dynamics problems. A method for solving such problems is proposed, which is associated with the construction of some scalar functions (resolving), which qualitatively characterize the course of con vergence of controlled objects with different inertia and the efficiency of the decisions made. The method of resolving functions is that it allows you to effectively use the modern technique of multivalued mappings in substantiating game constructions and obtaining meaningful results based on them. The guaranteed end times of the game are compared for different schemes of approaching controlled objects. An illustrative example is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:25:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÌÅÒÎÄ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÄËß ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÑÁËÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ
ÎÁÚÅÊÒÎÂ Ñ ÐÀÇËÈ×ÍÎÉ ÈÍÅÐÖÈÎÍÍÎÑÒÜÞ
Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ ñ ðàç-
ëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè íà îñíîâå ñîâðåìåí-
íîé âåðñèè ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Äëÿ òàêèõ îáúåêòîâ õàðàêòåðíî,
÷òî íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà,
÷òî ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé
ê ýòîìó êëàññó èãðîâûõ çàäà÷ äèíàìèêè. Ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ òàêèõ
çàäà÷, ñâÿçàííûé ñ ïîñòðîåíèåì íåêîòîðûõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé (ðàçðåøàþ-
ùèõ), êà÷åñòâåííî õàðàêòåðèçóþùèõ õîä ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ
ñ ðàçëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ è ýôôåêòèâíîñòü ïðèíÿòûõ ðåøåíèé. Ìåòîä
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííóþ
òåõíèêó ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé â îáîñíîâàíèÿõ èãðîâûõ êîíñòðóêöèé è
ïîëó÷åíèè íà èõ îñíîâå ñîäåðæàòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñðàâíèâàþòñÿ ãàðàí-
òèðîâàííûå âðåìåíà îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ ðàçíûõ ñõåì ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿå-
ìûõ îáúåêòîâ. Ïðèâåäåí èëëþñòðàòèâíûé ïðèìåð.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëÿåìûå îáúåêòû ñ ðàçëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ, êâà-
çèëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, èçìåðèìûé
ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîïè÷åñêàÿ ñòðàòåãèÿ, ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàáîòà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ïðîáëåìû ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ
ñ ðàçëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè íà îñíîâå ìåòîäà
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [1] è åãî ñîâðåìåííîé âåðñèè [2]. Äëÿ òàêèõ îáúåêòîâ
õàðàêòåðíî, ÷òî íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
Ïîíòðÿãèíà, ÷òî ñóùåñòâåííî çàòðóäíÿåò ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé ê ýòîìó êëàññó èãðîâûõ çàäà÷ äèíàìèêè. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü
çàäà÷à «ìàëü÷èê è êðîêîäèë» [1].  ðàáîòå [1] ïðèâåäåíî äâà ñïîñîáà
èñïîëüçîâàíèÿ òåðìèíàëüíîãî ìíîæåñòâà äëÿ ðàñøèðåíèÿ êëàññà çàäà÷ äèíà-
ìèêè, äëÿ êîòîðûõ ïðèìåíèì ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé.
 äàííîé ñòàòüå ïðåäëîæåí ñïîñîá ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è, îòëè÷íûé îò
ïðîöåäóð, ðàññìîòðåííûõ â [1]. Èññëåäóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ìíîãîçíà÷íûå îòî-
áðàæåíèÿ, ïîðîæäàþùèå âåðõíèå è íèæíèå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äâóõ òèïîâ,
âïåðâûå ââåäåííûå â [3]. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôóíêöèé ïîëó÷åíû íåêîòîðûå äîñòà-
òî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ ñ ðàç-
ëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ çà ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ. Ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ
íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå «ìàëü÷èê è êðîêîäèë».
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ [1–4], ïðèìûêàåò ê ïóáëèêàöè-
ÿì [5–28] è ðàñøèðÿåò êëàññ èãðîâûõ çàäà÷ ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ,
èìåþùèõ ðåøåíèå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È. ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñûâàåò-
ñÿ ðàâåíñòâîì
z t g t t u d
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � � �
0
, t � 0 . (1)
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 147
© È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2021
Çäåñü z t R n( )� , ôóíêöèÿ g t( ) , g R R n: � � , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó [9] è îãðàíè-
÷åíà ïðè t 0 , ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � , t � �� 0 , èçìåðèìà ïî t, à òàêæå
ñóììèðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé
� �( , )u , �: U V R n
� , íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ íà ïðÿìîì
ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V , m, l, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � � , è � �( ) , � :R V� � , ÿâëÿþòñÿ èçìåðè-
ìûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
Êðîìå ïðîöåññà (1) çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * , èìåþùåå öèëèí-
äðè÷åñêèé âèä
M M M* � �0 , (2)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M — âûïóêëûé êîìïàêò èç
îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ L ê ïîäïðîñòðàíñòâó M 0 â R n .
Öåëè ïåðâîãî ( )u è âòîðîãî ( )� èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé (ïðåñëå-
äîâàòåëü) ïûòàåòñÿ âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1) íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñ-
òâî (2) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à âòîðîé (óáåãàþùèé) — ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ìî-
ìåíò ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè íà ìíîæåñòâî M * èëè èçáåæàòü âñòðå÷è.
Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà è ïîëàãàåì, ÷òî åñëè èãðà (1), (2) ïðîäîëæà-
åòñÿ íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà â ìîìåíò t áóäåì âûáè-
ðàòü íà îñíîâå èíôîðìàöèè î g T( ) è � t ( )� , ò.å. â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T t( ) ( ( ), ( ))� �� , t T�[ , ]0 , u t U( )� , (3)
ãäå � �t s s t( ) { ( ): [ , ]}� � � 0 — ïðåäûñòîðèÿ óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà ê ìî-
ìåíòó t, èëè â âèäå êîíòðóïðàâëåíèÿ
u t u g T t( ) ( ( ), ( ))� � , t T�[ , ]0 , u t U( )� . (4)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, g t e zAt( ) � 0 , � ( , ) ( )t eA t� �� � , z z( )0 0� , à eAt — ìàòðè÷-
íàÿ ýêñïîíåíòà, òî ãîâîðÿò, ÷òî óïðàâëåíèå u t u z t( ) ( , ( ))� �0 � ðåàëèçóåò êâàçè-
ñòðàòåãèþ [7], à êîíòðóïðàâëåíèå [5] u t u z t( ) ( , ( ))� 0 � ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì
ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè Õàéåêà [8].
Ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûå ôàêòû èç âûïóêëîãî àíàëèçà [1, 10] â âèäå
ëåììû.
Ëåììà 1. Ïóñòü X R n� — âûïóêëûé êîìïàêò, � �( ) — íåîòðèöàòåëüíàÿ
îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà � � � � � �( ) ( )
0 0
T T
Xd d X� �� , T 0 .
Ïðè ýòîì åñëè 0�X , f X( ) ( )� � �� è � � �( )
0
1
T
d�
, òî f d X
T
( )� �
0
� � , f ( )� — èçìå-
ðèìàÿ ôóíêöèÿ, ��[ , ]0 T .
Îáîçíà÷èì � îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ èç R n â L . Ïîëîæèâ
� � � �( , ) { ( , ) : }U u u U� � , ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t t U( , , ) ( , ) ( , )� � � � � �� � , W t W t
V
( , ) ( , , )� � �
�
�
�
�
íà ìíîæåñòâàõ �
V è � ñîîòâåòñòâåííî, ãäå � = {( , ): }t t� �0
� � . Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , , )� � èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ íà
ìíîæåñòâå �
V .
148 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , )� ïðèíèìàåò íåïóñ-
òûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå � .
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t � ìîæíî ñäåëàòü âû-
âîä, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � �� ( , ) ( , )t u áóäåò
L B� -èçìåðèìîé ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V è íåïðåðûâíîé ïî u U� . Ïîýòîìó íà îñíîâà-
íèè òåîðåìû î ïðÿìîì îáðàçå [9] ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå W t( , , )� � ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V . Åñëè âû-
ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî íà ìíîæåñòâå � ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå
îäèí ñåëåêòîð � �0 ( , )t îòîáðàæåíèÿ W t( , )� , � � �0 ( , ) ( , )t W t� . Òàêîé ñåëåêòîð íà-
çûâàþò ñåëåêòîðîì Ïîíòðÿãèíà.
Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå. Íà ìíîæåñòâå �
ñóùåñòâóåò ñåëåêòîð Ïîíòðÿãèíà � �0 ( , )t , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0 0� �
�
[ ( , , ) ( , )]W t t
V
� � � �
�
� .
Ïóñòü � �( , )t , �:� � L, � = {( , ):t t� �0
� �} — íåêîòîðàÿ, ïî÷òè âåçäå
îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ïî t è ñóììèðóåìàÿ ïî �, ��[ , ]0 t , äëÿ êàæäîãî t 0
ôóíêöèÿ, êîòîðóþ íàçîâåì ôóíêöèåé ñäâèãà. Ïóñòü M1 — âûïóêëûé êîìïàêò èç
îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ L ê ïîäïðîñòðàíñòâó M 0 â R n òàêîé, ÷òî åñëè
m M� 1, òî � �m M1 è M M M m L m M M M m
m M
2 1 1
1
� � � � � � � � ��
�
* : ( ){ } � ,
ãäå *� — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü Ìèíêîâñêîãî [1]. Íàçîâåì äîïóñòèìûìè
ôóíêöèþ � �( , )t è ìíîæåñòâà M1, M 2 , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû óêàçàííûå óñëî-
âèÿ è ñâîéñòâà.
Ðàññìîòðèì íà ìíîæåñòâå � íåêîòîðóþ íåïðåðûâíóþ ìàòðè÷íóþ ôóíê-
öèþ B t( , )� . Åå çíà÷åíèÿ — ìàòðèöû ïîðÿäêà k, k — ðàçìåðíîñòü âåêòîðà �. Îáî-
çíà÷èì W t t U B tB ( , , ) ( , ) ( , ( , ) )� � � � � � �� � , � � � � �B t u u B t( , , ) ( , ( , ) )� � � �( , )u ,
t � �� 0, u U� , ��V , è ðàññìîòðèì ïðè ��[ , ]0 t , t 0, ��V ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå
� �B Bt t t U M( , , ) : ( , ) ( , , )� � � � � � � �� � �{ }0 1 .
Åñëè íà ìíîæåñòâå �
V âûïîëíåíî óñëîâèå �( , , )t � � ��, òî ðàññìîòðèì
ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ � � � � � � �B Bt t( , , ) : ( , , )� �inf { }� , ��[ , ]0 t , ��V . Ìîæíî ïî-
êàçàòü [12], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå �B t( , , )� � çàìêíóòîçíà÷íî, L B� -èç-
ìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , ��[ , ]0 t , ��V , à ôóíêöèÿ � � �B t( , , ) L B� -èçìå-
ðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , ��[ , ]0 t , ��V , è ïîýòîìó îíà ñóïåðïîçèöèîííî èç-
ìåðèìà [12], ò.å. � � � �B t( , , ( )) èçìåðèìà ïî �, ��[ , ]0 t , ïðè ëþáîé èçìåðèìîé
ôóíêöèè �( ) ( )� � �V , ãäå V ( )� — ñîâîêóïíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé � �( ) ,
�� ��[ , ]0 , ñî çíà÷åíèÿìè èç V . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ � � �B t( , , ) ïîëóíå-
ïðåðûâíà ñíèçó ïî ïåðåìåííîé � è ôóíêöèÿ sup
�
� � �
�V
B t( , , ) èçìåðèìà ïî �, ��[ , ]0 t .
Óñëîâèå 1. Íà ìíîæåñòâå � ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� , äîïóñòèìûå ôóíê-
öèÿ � �( , )t è ìíîæåñòâî M1, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèå �( , , )t � � ��
è âêëþ÷åíèÿ
0� �
�
[ ( , , ) ( , )]W t tB
V
� � � �
�
� , � � � �
�
B
V
Bt U V t M( , , ) ( , , )�
�
sup 1.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 149
Îáîçíà÷èì � � � � �( ) ( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t t g t t g t t d
t
� � � � �
0
è ðàññìîòðèì ìíî-
æåñòâî � � � � � � �
�
�
( ( ), ( , )) { : ( ) , ( , , )g t t M t dt
t
V
B� � � �
�
0 12
0
sup }. Åñëè ñîîòíîøå-
íèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿþòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0 , òî ïîëîæèì
� � � � ��( ( ), ( , ))g � .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî
óñëîâèå 1, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíî-
æåñòâ M1 , M 2 ìíîæåñòâî � � � �( ( ), ( , ))g � íå ïóñòî è ��� � � �( ( ), ( , ))g � . Òîãäà èãðà
ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò � ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , �� �[ , ]0 . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì ïðè ��V , �� �[ , ]0 êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U u B( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , ) }� � � � � � � � �� � � � � � �� 0 .
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� �
L B� -èçìåðèìî [12] ïðè ��V , �� �[ , ]0 . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðè-
ìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [9] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� � ñîäåðæèò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u( , )� � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èç-
ìåðèìîé ôóíêöèåé [12].
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u( ) ( , ( ))� � � �� , �� �[ , ]0 . Ïðèíèìàÿ
âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
� � � � � � � �z u dB( ) ( , ) ( , ( ), ( ))� � � � � �
�
� �
0
� � � � � � �
�
� � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) ( ( ), ( , ) ( )) ( , ))� u B d
0
.
Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ 1 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà P èìååì
� � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ( ), ( )) ( , , )� � � �
�
B
V
Bu Msup 1,
sup
�
� � � �
�
�
�
�
V
B d( , , )
0
1.
Ïîýòîìó âñëåäñòâèå ëåììû 1 ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
� � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))� � �
�
� B u d M
0
1
è , ñëåäîâàòåëüíî, � � � �
�
� � � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))B u d M
0
1. Ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáî-
ðà óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì ïîëó÷èì �z( )� �M1 � � � ( ) M M M1 2� � è
z M( ) *� � , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 1. Òåîðåìà 1 ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòîäà Ïîíòðÿ-
ãèíà [1] äëÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ ñ ðàçëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ. Åñëè âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî ïîëîæèì B t E( , ) ,� � ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà,
è ïðåîáðàçóåì óñëîâèå 1 â óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
150 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Ðàññìîòðèì ïðè ��[ , ]0 t , t 0, ��V ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , ) { : [ ( , , ) ( , )] [ ( )] }t W t t M tB� �
� � � �
� � � � � ��0 2 . (5)
Óñëîâèå 2. Íà ìíîæåñòâå � ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� , äîïóñòèìûå ôóíê-
öèÿ � �( , )t è ìíîæåñòâà M1, M 2 , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèå
�( , , )t � � �� è âêëþ÷åíèÿ
0 2� � � �
�
{[ ( , , ) ( , )] ( , , )[ ( )]}W t t t M tB
V
� � � � � �
�
� A ,
� � � �
�
B
V
Bt U V t M( , , ) ( , , )�
�
sup 1.
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî ðàññìîòðèì ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ
� � � � � � �B Bt t( , , ) inf : ( , , )� �{ }� , ��[ , ]0 t , ��V , âåðõíþþ è íèæíþþ ñêàëÿðíûå
ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè [3]
� �
� �* ( , , ) : ( , , )t t� �sup{ }A ,
� �
� �
*
( , , ) { : ( , , )}t t� �inf A ,
��[ , ]0 t , ��V .
Ïîêàæåì [12], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � çàìêíóòîçíà÷íî,
L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , ��[ , ]0 t , ��V , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàç-
ðåøàþùèå ôóíêöèè L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , ��[ , ]0 t , ��V ,
è ïîýòîìó îíè ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìû [12], ò.å.
� � �* ( , , ( ))t è
� � �
*
( , , ( ))t
èçìåðèìû ïî �, ��[ , ]0 t , ïðè ëþáîé èçìåðèìîé ôóíêöèè �( ) ( )� � �V . Îòìåòèì òàê-
æå, ÷òî âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó, íèæíÿÿ — ïîëó-
íåïðåðûâíà ñíèçó ïî ïåðåìåííîé �, ôóíêöèè inf
�
� �
�V
t* ( , , ) è sup
�
� �
�V
t
*
( , , ) èç-
ìåðèìû ïî �, ��[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
� � � � � � �
�
�*
( ( ), ( , )) : ( ) , ( , , )1
2
0
0g t t M t d
V
B
t
� � � � �
�
sup 1 1
0
, ( , , ) .
*
sup
�
� � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��V
t
t d (6)
Åñëè ñîîòíîøåíèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ðàâåíñòâà (6) íå âûïîëíÿþòñÿ íè
äëÿ êàêèõ t � 0 , òî ïîëîæèì � � � � ��
*
( ( ), ( , ))1 g � .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî
óñëîâèå 2, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíî-
æåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî � � � �
*
( ( ), ( , ))1 g � íå ïóñòî è � �� � � �
* *
( ( ), ( , ))1 1 g � . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò �
*
1 ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , �� �[ , ]
*
0 1 . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì ïðè ��V , �� �[ , ]
*
0 1 êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U
*
( , )1 � � �
� � � � � � � �{ : ( , ) ( , ( , ) ) ( , ) ( , , )
* * * * *
u U u B� � � � � � �
� �� 1 1 1 1 [ ( )]}
*
M 2
1� � .
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) è íèæíåé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè
� �
* *
( , , )�1 êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )1 � � L B� -èçìåðèìî [12] ïðè
��V , �� �[ , ]
*
0 1 . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [9]
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )1 � � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
u
*
( , )1 � � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [12].
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 151
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u
* *
( ) ( , ( ))1 1� � � �� , �� �[ , ]
*
0 1 . Ïðèíè-
ìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
� � � � � � � �z u dB( ) ( , ) ( , ( ), ( ))
* * * *
*
� � � � � �
�
�
1 1 1 1
0
1
�
� � � � � � � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) ( ( , ) ( ), ( )) ( , ))
* * * * *
1 1 1 1 1� B u d�
0
1�
�
*
. (7)
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà �
*
1 èìååì
0 1�M , � � � � � � � �� �
�
� ( , ) ( , ( ), ( )) sup ( , )
* * * *
� � � �
�
1 1 1 1
1B
V
Bu M ,
sup ( , , )
*
*
�
� � � �
�
�
�
�
V
B d1
0
1
1.
\
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
� � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))
* * *
*
� � �
�
�
1 1 1
0
1
1
B u d M
è ïî ïðåäïîëîæåíèþ
� � � �
�
� � � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))
* * *
*
1 1 1
0
1
1
B u d M .
Âñëåäñòâèå âûáîðà óïðàâëåíèÿ è ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà �
*
1 èìååì
0 2
1� � �M ( )
*
,
� � � � � � � � �
�� ( , ) ( ( , ) ( ), ( )) ( , ) ( , ,
* * * * * *
� � � � � �1 1 1 1 1B u � )[ ( )]
*
M 2
1� � ,
sup ( , , )
* *
*
�
� � �
�
�
�
�
V
d1
0
1
1.
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0
1 1 1 1
1�
� � � � � �
*
( ( , ) ( ( , ) ( ), ( )) ( , ))
* * * *
� � � � � � � � � �� B u d M 2
1� � ( )
*
.
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (7) äàåò
� z M M M M M( ) ( ) ( )
* * *
� � � � � � � � � �1
1
1
2
1
1 2
è, ñëåäîâàòåëüíî, z M( )
*
*P1 � , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ëåììà 2. Äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî óñëî-
âèå 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� , äîïóñòèìûå ôóíê-
öèÿ � �( , )t è ìíîæåñòâà M1, M 2 , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 2 è
0�A ( , , )t � � íà ìíîæåñòâå �
V .
152 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� è äîïóñòèìûå ôóíêöèÿ
� �( , )t , ìíîæåñòâà M1, M 2 , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 2 è 0�A ( , , )t � � íà
ìíîæåñòâå �
V . Òîãäà íóëåâîå çíà÷åíèå
îáåñïå÷èâàåò íåïóñòîòó ïåðåñå÷åíèÿ
â âûðàæåíèè (5), ïîýòîìó ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ �( , , )t � � ��, ��V , èìååì
0� �W t tB ( , , ) ( , )� � � � , ( , )t � ��, ��V . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ( , )t � �� èìååì
0� �
��
� � � �
V
BW t t� [ ( , , ) ( , )] , ò.å. ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 1. Ðàññóæäàÿ â îáðàòíîì
ïîðÿäêå, ïðèõîäèì ê íóæíîìó âûâîäó.
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� , äîïóñòèìûå ôóíêöèÿ
� �( , )t è ìíîæåñòâà M1 , M 2 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî óñëîâèå 1, òî â ñèëó ëåì-
ìû 2
� �
� �
*
( , , ) inf { : ( , , )}t t� � �A 0 íà ìíîæåñòâå �
V .
Óñëîâèå 3. Íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0 2� � � �
��
{[ ( , , ) ( , )] ( , , )[ ( )]
*
W t t t M tB
VV
� � � �
� �
��
sup� }.
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè ñóùåñòâóþò ìàòðèöà B t( , )� , äîïóñòèìûå ôóíêöèÿ
� �( , )t è ìíîæåñòâà M1, M 2 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî óñëîâèå 1, òî ïî àíàëîãèè
ñ ëåììîé 2 âûïîëíåíî óñëîâèå 3 è sup
�
� �
�
�
V
t
*
( , , ) 0 .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g t( ( ), ( , ))� � � �
� �
�
� �� �t t d t d
V
B
t
V
t
0 1 1
0 0
: ( , , ) ( , , )*sup inf
� �
� � � � �
� � � , ( , , )*sup
�
� � �
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
��V
t
t d
0
1 . (8)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 èìååì
� �* ( , , )t � �� äëÿ ��[ , ]0 t , ��V , òî çíà÷å-
íèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (8) åñòåñ-
òâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �� è t T g t� � �( ( ), ( , ))� , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâû
äðóãèå íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà
íåðàâåíñòâà ñîîòíîøåíèÿ (8) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0 , ïîëîæèì
T g t( ( ), ( , ))� � � ��.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå 3, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíî-
æåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî è T T g� � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà èãðà
ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , ��[ , ]0 T . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé �( , ( ), ( , ))T g T M� � 2 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d T d
t
Vt
T
( ) ( , , ( )) ( , , )*
*
� � �� �
�
1
0
� � � �
� � �
�
sup , t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V
T
( ) ( , , )
*
0 1 0
0
� �
�
� sup
�
� � � ,
h T T d T d
T
V
T
( ) ( , , ( )) ( , , )* *� �
�
� � �
1 1 0
0 0
� � � �
� � �
�
inf .
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 153
Âñëåäñòâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè
t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
çàâèñèò îò
ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) { ( ): [ , ]}
*
� � � 0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )
*
0 t , [ , ]
*
t T íàçîâåì «àêòèâíûì» è «ïàññèâíûì» ñî-
îòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà êàæäîì èç íèõ.
Ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
U u U T u B T T1
* ( , ) : ( , ) ( , ( , ) ) ( , )� � � � � � � � �� � � �{ �
� �
� � * ( , , )[ ( )]}T M T2 , ��[ , )
*
0 t , (9)
U u U T u B T T
*
( , ) : ( , ) ( , ( , ) ) ( , )1 � � � � � � � � �� � � �{ �
� �
�
sup
�
� �
V
T M T
*
( , , )[ ( )]}2 , ��[ , ]
*
t T . (10)
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ U 1
* ( , )� � è U
*
( , )1 � � èìåþò íåïóñòûå îáðàçû.
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), ôóíêöèé
� �* ( , , )T è sup
�
� �
�V
T
*
( , , )
êîìïàêòíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ U 1
* ( , )� � , ��[ , )
*
0 t , è U
*
( , )1 � � , ��[ , ]
*
t T , ïðè
��V L B� -èçìåðèìû [4]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòî-
ðà [9] â êàæäîì èç íèõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû ïî îäíîìó L B� -èçìåðèìîìó ñåëåê-
òîðó u1
* ( , )� � è u
*
( , )1 � � , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìûìè
ôóíêöèÿìè [12]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà «àêòèâíîì» ïðîìå-
æóòêå ðàâíûì u u1 1
* *( ) ( , ( ))� � � �� , ��[ , )
*
0 t , à íà «ïàññèâíîì» — ðàâíûì
u u
* *
( ) ( , ( ))1 1� � � �� , ��[ , ]
*
t T .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z T T T u d T TB
t
B( ) ( , ) ( , ( ), ( )) ( , ) ( ,*
*
� � �� � �1
0
u d
t
T
*
( ), ( ))
*
1 � � � ��
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� � � �� � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) ( ( ), ( , ) ( )) ( , ))*
*
T T u B T T d
t
� 1
0
� �� ( ( , ) ( ( ), ( , ) ( )) ( , ))
*
*
� � � � � � � � � �� T u B T T d
t
T
1 . (11)
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà T èìååì
0 1�M , sup
�
� � � �
�
�
V
T
B T d
0
1( , , ) ,
� � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ( ), ( )) ( , , )*T T u T MB
V
B1 1�
�
sup , ��[ , )
*
0 t ,
� � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ( ), ( )) ( , , )
*
T T u T MB
V
B
1
1�
�
sup , ��[ , ]
*
t T .
154 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ïîëó÷èì
� � � � � � � � � � �� �( , ) ( , ( ), ( )) ( , ) ( , ( ),*
*
*
T T u d T T uB
t
B1
0
1
� � � � �( ))
*
d M
t
T
� � 1
è ïî ïðåäïîëîæåíèþ
� �� � � � � � � � � � � �� �( , ) ( , ( ), ( )) ( , ) ( , ( )*
*
*
T T u d T T uB
t
B1
0
1 , ( ))
*
� � �d M
t
T
� � 1.
Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå è cîîòíîøåíèÿ (9)–(11), ïîëó÷àåì
�
� � � �z T M T T M T d
t
( ) ( ) ( , , ( ))[ ( )]*
*
� � � � ��1 2
0
� � �
�
� sup
�
� � �
Vt
T
T M T d
*
( , , )[ ( )]
*
2
� � � ��M T T d M T
t
1 2
0
� � � � ( ) ( , , ( )) [ ( )]*
*
� � �
�
� sup
�
� � �
Vt
T
T d M T* ( , , ) [ ( )]
*
2
� � � �� �
�
M T T d T d
t
Vt
T
1
0
1
� � � �
� � �
�
( ) ( , , ( )) ( , , )*
*
*
*
sup
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� �
!
"
#
#
$
%
&
&� �
�
� � � �
� � �
�
*
*
( , , ( )) ( , , )
*
*
T d T d M
t
Vt
T
0
sup 2 1 2� � �M M M .
Çäåñü ó÷òåíî ðàâåíñòâî h t( )
*
� 0 , âêëþ÷åíèå M M M1 2� � , à ïåðåõîä ïðè èí-
òåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ñ ìíîæåñòâîì M 2 ìîæåò áûòü ïîä-
òâåðæäåí ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé [10].
Äëÿ ñëó÷àÿ �( , ( ), ( , ))T g T M� � � 2 äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 2.
Óñëîâèå 4. Íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0 2� � � �
�
�
{[ ( , , ) ( , )] ( , , )[ ( )]*W t t t M tB
V
V
� � � �
� �
�
�
inf� }.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 3, 4, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è
ìíîæåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî è T T g� � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , ��[ , ]0 T . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé �( , ( ), ( , )T g T M� � 2 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d T d
V
t
Vt
T
( ) ( , , ) ( , , )*
*
� � �
� �
� �1
0
inf sup
� �
� � �
� � �, t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V
T
( ) ( , , )
*
0 1 0
0
� �
�
� sup
�
� � � , h T T d
V
T
( ) ( , , )*� �
��
1 0
0
inf
�
� � � .
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 155
Âñëåäñòâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè
t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
íå çàâèñèò îò
ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) { ( ): [ , ]}
*
� � � 0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )
*
0 t , [ , ]
*
t T íàçîâåì «àêòèâíûì» è «ïàññèâíûì» ñî-
îòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà êàæäîì èç íèõ.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , )*U u U T u B T T1 � � � � � � � � �� � � ��
� �
�
inf
�
� �
V
T M T* ( , , )[ ( )]}2 , ��[ , )
*
0 t , (12)
~
( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , )
*
U u U T u B T T1 � � � � � � � � �� � � ��
� �
�
sup
�
� �
V
T M T
*
( , , )[ ( )]}2 , ��[ , ]
*
t T . (13)
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , )*U 1 � � è
~
( , )
*
U 1 � � èìåþò íåïóñòûå îáðàçû.
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), ôóíêöèé inf
�
� �
�V
T* ( , , ) è
sup
�
� �
�V
T
*
( , , ) êîìïàêòíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , )*U 1 � � , ��[ , )
*
0 t , è
~
( , )
*
U 1 � � ,
��[ , ]
*
t T , ïðè ��V L B� -èçìåðèìû [12]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì
âûáîðå ñåëåêòîðà [9] â êàæäîì èç íèõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû ïî îäíîìó L B� -èç-
ìåðèìîìó ñåëåêòîðó ~ ( , )*u1 � � è ~ ( , )
*
u 1 � � , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èç-
ìåðèìûìè ôóíêöèÿìè [12]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà «àêòèâíîì»
ïðîìåæóòêå ðàâíûì ~ ( ) ~ ( , ( ))* *u u1 1� � � �� , ��[ , )
*
0 t , à íà «ïàññèâíîì» — ðàâíûì
~ ( ) ~ ( , ( ))
* *
u u1 1� � � �� , ��[ , ]
*
t T .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z T T T u d T TB
t
B( ) ( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) (*
*
� � �� � �1
0
, ~ ( ), ( ))
*
*
u d
t
T
1 � � � ��
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� � � �� � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) (~ ( ), ( , ) ( )) ( , ))*
*
T T u B T T d
t
� 1
0
� �� ( ( , ) (~ ( ), ( , ) ( )) ( , ))
*
*
� � � � � � � � � �� T u B T T d
t
T
1 . (14)
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà T èìååì
0 1�M , sup
�
� � � �
�
�
V
T
B T d
0
1( , , ) ,
� � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , , )*T T u T MB
V
B1 1�
�
sup , ��[ , )
*
0 t ,
� � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , , )
*
T T u T MB
V
B
1
1�
�
sup , ��[ , ]
*
t T .
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ïîëó÷èì
� � � � � � � � � � �� �( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) ( , ~ (*
*
*
T T u d T T uB
t
B1
0
1
� � ), ( ))
*
� � �d M
t
T
� � 1,
156 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
ïîýòîìó èìååì
� �� � � � � � � � � � �� �( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) ( , ~ (*
*
*
T T u d T T uB
t
B1
0
1 � � � �), ( ))
*
d M
t
T
�
!
"
#
#
$
%
&
&
� 1.
Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî âêëþ÷åíèÿ, èñïîëüçóÿ cîîòíîøåíèÿ (12)–(14), ïîëó÷àåì
�
� � �
�
z T M T T M T d
V
t
( ) ( ) ( , , )[ ( )]*
*
� � � � �
��1 2
0
inf
� � �
�
� sup
�
� � �
Vt
T
T M T d
*
( , , )[ ( )]
*
2
� � � �
��
M T t d M T
V
t
1 2
0
� � �
�
( ) ( , , ) [ ( )]*
*
inf � � �
�
� sup
�
� � �
Vt
T
T d M T
*
( , , ) [ ( )]
*
2
� � � �
� �
�M T t d T d
V
t
Vt
1
0
1
� � �
� � �
� �
( ) ( , , ) ( , , )*
*
*
inf sup
*
T
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� �
!
"
#
#
$
%
� �
� �inf sup
� �
� � �
� � �
V
t
Vt
T
t d T d*
*
( , , ) ( , , )
*
*0
&
&
� � �M M M M2 1 2 .
Çäåñü ó÷òåíî ðàâåíñòâî h t( )* � 0 , âêëþ÷åíèå M M M1 2� � , à ïåðåõîä ïðè
èíòåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ñ ìíîæåñòâîì M 2 ìîæíî ïîä-
òâåðäèòü ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé [10].
Äëÿ ñëó÷àÿ �( , ( ), ( , ))T g T T M� � 2 äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 2.
ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÌÅÒÎÄÀ. ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ ÂÒÎÐÎÃÎ ÒÈÏÀ
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , )t t
V
� � �
�
�
�
� , ( , )t � �� . (15)
Óñëîâèå 5. Íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 2 è ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0 2� � � �
�
{[ ( , , ) ( , )] ( , )[ ( )]}W t t t M tB
V
� � � � �
�
A� .
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 5, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , )t � íå ïóñòî íà
ìíîæåñòâå � è ïîðîæäàåò âåðõíþþ è íèæíþþ ñêàëÿðíûå ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè
�
�* ( , ) : ( , )t t� �sup{ }A ,
�
�
*
( , ) inf { : ( , )}t t� �A , ��[ , ]0 t .
Ìîæíî ïîêàçàòü [12], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , )t � çàìêíóòîçíà÷-
íî, L-èçìåðèìî ïî � , ��[ , ]0 t , à âåðõíÿÿ
�* ( , )t è íèæíÿÿ
�
*
( , )t ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè L-èçìåðèìû ïî ïåðåìåííîé � ïðè ôèêñèðîâàííîì t.
Çàìå÷àíèå 4. Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ äîïóñòèìûõ ìàòðèöû B t( , )� , ôóíêöèè
� �( , )t è ìíîæåñòâ M1, M 2 íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 3, òî
sup
�
� � �
�
�
V
t t
*
( , , ) ( , )A , ��[ , ]0 t . Òîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå 5 è ñïðàâåäëèâî ðà-
âåíñòâî sup
�
�
� �
�
�
�
V
t t
*
( , , ) ( , ) , ��[ , ]0 t . Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� ,
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 157
äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíîæåñòâ M1, M 2 íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî
óñëîâèå 4, òî inf
�
� � �
�
�
V
t t* ( , , ) ( , )A , ��[ , ]0 t . Òîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå 5 è
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî inf
�
� �
�
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ) , ��[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
P sup
*
( ( ), ( , )) : ( ) , ( , , )2
2
0
0g t t M t d
V
t
B� � � � � �
�
�� � � � �
�
1 1
0
, ( , )
t
t d� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� �� . (16)
Åñëè âêëþ÷åíèå è íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (16) íå âû-
ïîëíÿþòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0 , òî ïîëîæèì � � � � ��
*
( ( ), ( , ))2 g � .
Òåîðåìà 5. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî
óñëîâèå 5, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíî-
æåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî � � � �
*
( ( ), ( , ))2 g � íå ïóñòî è � �� � � �
* *
( ( ), ( , ))2 2 g � . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò �
*
2 ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , �� �[ , ]
*
0 2 . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì ïðè ��V , �� �[ , ]
*
0 2 êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U u B
* * * *
( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , )2 2 2 2� � � � � � � � �� � � � � � ��
�
* * *
( , )[ ( )]}� � �2
2
2M .
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) è íèæíåé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè
�
* *
( , )�2 êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )2 � � L B� -èçìåðèìî [12] ïðè
��V , �� �[ , ]
*
0 2 . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [9]
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )2 � � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
u
*
( , )2 � � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [12].
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u
* *
( ) ( , ( ))2 2� � � �� , �� �[ , ]
*
0 2 . Ïðèíè-
ìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
� � � � � � � �z u dB( ) ( , ) ( , ( ), ( ))
* * * *
*
� � � � � �
�
�
2 2 2 2
0
2
�
� � � � � � � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) ( ( ), ( , ) ( )) ( , ))
* * * * *
2 2 2 2 2� u B d�
0
2�
�
*
. (17)
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà P
*
2 èìååì
0 1�M , � � � � � � � � �
�
� ( , ) ( , ( ), ( )) ( , , )
* * * *
P P sup P2 2 2 2
1B
V
Bu M�
�
,
sup P
P
�
� � � �
�
�
V
B d
0
2
2
1
*
( , , )
*
.
158 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
� � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))
* * *
*
P P
P
2 2 2
0
1
2
B u d M� � ,
ïîýòîìó èìååì
� �� � � � � � � �� ( , ) ( , ( ), ( ))
* * *
*
P P
P
2 2 2
0
1
2
B u d M .
Âñëåäñòâèå âûáîðà óïðàâëåíèÿ è ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà P
*
2 èìååì
0 2
2� �M ( )
*
P ,
� � � � � � � � �
�� ( , ) ( ( , ) ( ), ( )) ( , ) ( , )
* * * * * *
P P P P2 2 2 2 2B u � � [ ( )]
*
M 2
2� P ,
sup P
P
�
� �
�
�
V
d
0
2
2
1
*
* *
( , ) .
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
( ( , ) ( ( , ) ( ), ( )) ( , ))
* * * *
*
� � � � � � � � � �� P P P
P
2 2 2 2
0
2
B u d� �� M 2
2� ( )
*
P .
Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (17) ïîëó÷àåì
� z M M M M M( ) ( ) ( )
* * *
P P P2
1
2
2
2
1 2� � � � � � �
è, ñëåäîâàòåëüíî, z M( )
*
*� �2 , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 5. Åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèé
� �( , )t è ìíîæåñòâ M1, M 2 íà ìíîæåñòâå � âûïîëíåíî óñëîâèå 1, òî 0�A ( , )t � ,
��[ , ]0 t . Òîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ 3, 5 è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
sup
�
� �
�
�
� �
V
t t
* *
( , , ) ( , ) 0 , ��[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
'( ( ), ( , ))g t � � � �
� �
�� �
�
t t d t d t
t
V
B
t
0 1 1
0 0
: ( , , ) , ( , ) , ( , )*
*
sup
�
� � � �
� �
�
0
1
t
d� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� . (18)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0
�* ( , )t � �� äëÿ ��[ , ]0 t , òî â ýòîì ñëó÷àå çíà÷å-
íèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (18) åñòåñò-
âåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �� è t g t� � �'( ( ), ( , ))� , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâû
äðóãèå íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà íå-
ðàâåíñòâà ñîîòíîøåíèÿ (18) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0 , ïîëîæèì
'( ( ), ( , ))g t � � � ��.
Òåîðåìà 6. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå 5, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è
ìíîæåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî '( ( ), ( , ))g � � �� íå ïóñòî è ' '� � � �( ( ), ( , ))g � . Òîãäà
èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò ' ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 159
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , ��[ , ]0 ' . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé �( , ( ), ( , )' 'g M� � è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t d d
t
t
( ) ( , ) ( , )*
*� � �� �1
0
� �
� �' '
'
, t �[ , ]0 ' .
Ïî îïðåäåëåíèþ ' èìååì
h d( ) ( , )
*
0 1 0
0
� � �
� �'
'
, h d( ) ( , )*' '
'
� �
�1 0
0
� � .
Âñëåäñòâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè
t
*
, t
*
( , ]� 0 ' , ÷òî h t( )
*
� 0 . Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
íå çàâèñèò
îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) { ( ): [ , ]}
*
� � � 0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )
*
0 t , [ , ]
*
t ' íàçîâåì «àêòèâíûì» è «ïàññèâíûì» ñî-
îòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà êàæäîì èç íèõ.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , ) ( , )[* *U u U u B2 � � � � � � � � �
�� � � �� ' ' ' ' M 2 � ( )]}' ,
��[ , )
*
0 t , (19)
~
( , ) { : ( , ) ( , ( , ) ) ( , ) ( , )[
* *
U u U u B2 � � � � � � � � �
�� � � �� ' ' ' ' M 2 � ( )]}' ,
��[ , ]
*
t ' . (20)
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , )*U 2 � � è
~
( , )
*
U 2 � � èìåþò íåïóñòûå îáðàçû.
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), ôóíêöèé
�* ( , )' è
�
*
( , )' êîìïàêòíî-
çíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
~
( , )*U 2 � � , ��[ , )
*
0 t , è
~
( , )
*
U 2 � � , ��[ , ]
*
t ' , ïðè ��V
L B� -èçìåðèìû [12]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [9]
â êàæäîì èç íèõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû ïî îäíîìó L B� -èçìåðèìîìó ñåëåêòîðó
~ ( , )*u2 � � è ~ ( , )
*
u 2 � � , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìûìè ôóíêöèÿ-
ìè [12]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà «àêòèâíîì» ïðîìåæóòêå
ðàâíûì ~ ( ) ~ ( , ( ))* *u u2 2� � � �� , ��[ , )
*
0 t , à íà «ïàññèâíîì» — ðàâíûì ~ ( )
*
u 2 � �
� ~ ( , ( ))
*
u 2 � � � , ��[ , ]
*
t ' .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z u dB
t
B( ) ( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) (*
*
' � ' ' � ' '� � �� 2
0
, ~ ( ), ( ))
*
*
u d
t
2 � � � �
'
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
� � � �� � � � � � � � � � �( ) ( ( , ) (~ ( ), ( , ) ( )) ( , ))*
*
' � ' ' 'u B d
t
2
0
� �� ( ( , ) (~ ( ), ( , ) ( )) ( , ))
*
*
� � � � � � � � � �� ' ' '
'
u B d
t
2 . (21)
160 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà ' èìååì
0 1�M , sup
�
� � � �
�
�
V
B d
0
1
'
'( , , ) ,
� � � � � � � � �
�
� ' ' '( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , , )*
B
V
Bu M2 1�
�
sup , ��[ , )
*
0 t ,
� � � � � � � � �
�
� ' ' '( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , , )
*B
V
Bu M2
1�
�
sup , ��[ , ]
*
t ' .
Òîãäà ñ ó÷åòîì ëåììû 1 ïîëó÷èì
� � � � � � � � � � �� ' ' � ' '( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) ( , ~ (*
*
*
B
t
Bu d u2
0
2
� � ), ( ))
*
� � �d M
t
'
� � 1
è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èìååì
� �� � � � � � � � � � �� ' ' � ' '( , ) ( , ~ ( ), ( )) ( , ) ( , ~ (*
*
*
B
t
Bu d u2
0
2 � � � �), ( ))
*
d M
t
'
�
!
"
#
#
$
%
&
&
� 1.
Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî âêëþ÷åíèÿ, èñïîëüçóÿ cîîòíîøåíèÿ (19)–(21), ïîëó÷àåì
�
� �z M M d
t
( ) ( ) ( , )[ ( )]*
*
' ' ' '� � � ��1 2
0
� � ��
� �* ( , )[ ( )]
*
' '
'
M d
t
2
� � � ��M d M
t
1 2
0
� � ( ) ( , ) [ ( )]*
*
' ' ' � � ��
� �
*
( , ) [ ( )]
*
' '
'
d M
t
2
� � � �
!
"
#
#
$
%
&
&
�� �M d d
t
t
1
0
1
� �
� �
( ) ( , ) ( , ) (*
*
*
*
*
' ' ' '
'
, ) ( , )
*
*
*
� �
� �d d M
t
t0
2� ��
!
"
#
#
$
%
&
&
�'
'
� � �M M M1 2 .
Çäåñü ó÷òåíî ðàâåíñòâî h t( )
*
� 0 , âêëþ÷åíèå M M M1 2� � , à ïåðåõîä ïðè èí-
òåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ñ ìíîæåñòâîì M 2 ìîæíî ïîä-
òâåðäèòü ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé [10].
Äëÿ ñëó÷àÿ �( , ( ), ( , ))' 'g M� � � 2 äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó 5.
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Ëåììà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) è íåêîòîðûõ
ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíîæåñòâ M1, M 2 âûïîëíåíî
óñëîâèå 5, ïðè÷åì �( , ( ), ( , ))t g t t M� 2 . Òîãäà èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà
sup
�
� �
�
�
V
t t
* *
( , , ) ( , ) , ( , )t � �� , (22)
inf
�
� �
�
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ) , ( , )t � �� . (23)
Åñëè ê òîìó æå âûïîëíåíî óñëîâèå 3, òî íåðàâåíñòâî (22) ïðåâðàùàåòñÿ â ðà-
âåíñòâî. Åñëè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 4, òî â ðàâåíñòâî ïðåîáðàçóåòñÿ íåðàâåí-
ñòâî (23). Ïðè ýòîì åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ïðèíèìàåò âû-
ïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �
V , òî ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ 3, 4 è â ñîîòíî-
øåíèÿõ (22), (23) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 161
Òåîðåìà 7. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) è íåêîòîðûõ
ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíîæåñòâ M1, M 2 âûïîëíåíî
óñëîâèå 5. Òîãäà èìåþò ìåñòî âêëþ÷åíèÿ
T g g g( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))
* *
� � � ( � � � ( � � � � ( �� � �' 2 1 ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))g g� � � ( � � � �� � .
Åñëè ê òîìó æå âûïîëíåíû óñëîâèÿ 3 è 4 èëè åñëè ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæå-
íèå A ( , , )t � � ïðèíèìàåò âûïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �
V , òî ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà
T g g( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))� � � � � � �� �' , � � � � � � � � � � � � � �
* *
( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) ( ( ), ( , ))2 1g g g� � � .
Äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 3 è òåîðåìû 7 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç êîíñòðóê-
öèé ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé, çàìå÷àíèé è òåîðåì.
Òåîðåìà 8. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå 2, äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèöû B t( , )� , äîïóñòèìûõ ôóíêöèè � �( , )t è ìíî-
æåñòâ M1, M 2 ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî, T T g� � � �( ( ), ( , ))� è ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ïðèíèìàåò âûïóêëûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ ( , )� � ,
��[ , ]0 T , ��V . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì
óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî àâòîìàòè÷åñêè âûòåêàåò èç ëåììû 3 è òåîðåì 6, 7.
ÏÐÈÌÅÐ («ÌÀËÜ×ÈÊ È ÊÐÎÊÎÄÈË»)
Äèíàìèêà ïðåñëåäîâàòåëÿ è óáåãàþùåãî çàäàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿìè
�� ,x u� x R s� , s � 2 , || ||u
,
0 ,
�y � � , y R s� , s � 2 , || ||� �
, � 0 . (24)
Ïðåñëåäîâàíèå ñ÷èòàåòñÿ çàâåðøåííûì, åñëè || ||x y l�
.
Èñõîäíóþ çàäà÷ó (25) ìîæíî ñâåñòè ê êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîìó ïðîöåññó
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå ( , )z z z1 2 � ,
z x y1 � � , � �z x2 � . (25)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèÿ (25). Ñ ó÷åòîì èñõîäíûõ óðàâ-
íåíèé (24) ïîëó÷èì
�z z1 2� � �, �z u2 � . (26)
Òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî èìååò âèä M z z l* { : || || }�
1 , M z z0 1 0� �{ : }, M z� { :
| | | | , }z l z1 2 0
� . Îáîçíà÷èì
M l S M l S M M lS l S l l S l l l l l1 1 2 2 1 1 1 2 1 1� � � � � � � � , * * ( ) , , .
Òîãäà
L z z� �{ : }2 0 , � �
)
*
++
,
-
..
E 0
0 0
, �z z� 1, A
E
�
)
*
++
,
-
..
0
0 0
.
Îáëàñòè óïðàâëåíèé èìåþò âèä
U
u
u�
)
*
++
,
-
..
�
�
�
�
�
�
0
: || ||
, V �
)
*
++
,
-
..
�
�
�
�
�
�
�
� �
0
: || || .
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû (26) èìååò âèä e
E tEAt �
)
*
++
,
-
..0 0
.
Òîãäà ïîëó÷èì �
e U tSAt � , � �e V SAt � , M lS� , ãäå S — åäèíè÷íûé øàð ïîä-
ïðîñòðàíñòâà L ñ öåíòðîì â íóëå.
162 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå âûïîëíåíî íà èíòåðâàëå [ , / )0 �
:
� �
�
�e U e V tS S t SAt At* * ( )� � � � � ��, t �[ , / )0 �
.
Âûáåðåì ôóíêöèþ ñäâèãà � ( )t � 0 è ïîëîæèì
B t
tE t
E t
( )
( / ) , / ,
, / .
�
�
�
�
� �
�
0
Òîãäà èìååì
� � � � � � � �
�
� � � �
�
�
[ ( , , ) ( , )] * ( )
{ }, [
W t t e U e B t V
t
B
V
At At
�
0 0, / ],
( ) , /
�
� �
�t S t�
�
�
�
Ñ ïîìîùüþ ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì
� � �
�
� � � �
�
B t
t l S t
t
( , , )
[ : ( ( / ) ) ], / ,
{ }, /
�
� � �
0 1 0
0
1
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
( , )
( ( / ) )| | | |
, [ , / ],
, /
t
t
l
t
t
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
0
1 max ( , )
, [ , / ],
, / .
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�S
t
t
l
t
t
1
0
0
Ïîñêîëüêó
� �
�
�
�
B
Att U V e E B t V
t S t
t
( , , ) ( ( ))
( ) , [ , / ],
{ }, /
� � �
� �
0
0
�
�
�
�
èìååì � � �
� �
B
S
t U V t l S( , , ) max ( , )�
�
1 è óñëîâèå 1 âûïîëíåíî.
Åñëè l1
2 2� �
/ , òî ïðè âñåõ t � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
( / )
�t t l2
12 0� � � . (27)
Ïîýòîìó äëÿ l1
2 2� �
/ ïðè âñåõ t � 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
0
2
1
2
1
t
S
d
t t
l� �
�
max ( , )
( / )
� �
� � � �
�
.
Ïîëîæèì �( )t e z z tzAt� � �1 2 . Òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå 1, ñïðàâåäëèâû
óñëîâèÿ 2, 3 è
� �
� ��
�
�( , , ) ( , , )t t
V
� �
�
sup 0 . Åñëè ( )t l S� 2 , òî â ñèëó òåîðåìû 1
èëè òåîðåìû 2 èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò t ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëå-
íèÿ âèäà (4). Ïðè ýòîì ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (27) íàèìåíüøèé òàêîé ìîìåíò âðå-
ìåíè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
|| | | ( / )z tz t t l1 2
2 2� � � �
� , t
�
/ .
Ïóñòü ( )t l S 2 . Òîãäà ïðè t �
� �
/ âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
� �* ( , , )t îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ || ( ) ( ) || ( )
� �
�t t l t� � � � �2 , ��S ,
è ôóíêöèÿ
� �* ( , , )t ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 163
( || ( ) || ( ) ) [( , ( )) ( ) ] [ ( )
�
�
�t l t t l t2
2
2 2
2
22� � � � � � 2 21 0( || || )]� ��
îòíîñèòåëüíî
, åñëè ( )t l S 2 , ��S .
Ïîñëå âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì
min ( , , )*
�
� �
�
�
S
t 0 , t �
� �
/ , (28)
ïðè÷åì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ íà âåêòîðå � � �( ( ) / || ( ) || )t t .
Ïóñòü ( )t l S 2 è t � � �
/ . Òîãäà âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
� �* ( , , )t îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ || ( ) || ( )��
�� � � �t l t2 , ��S ,
è ôóíêöèÿ
� �* ( , , )t ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ
( || ( ) || ( ) ) [ ( , ( )) ( ) ] [ (
� �
�
�t l t t l t2
2
2 2
2
22� � � � � � ) || || ]2 2 2 0� �� �
îòíîñèòåëüíî
, åñëè ( )t l S 2 , ��S .
Ïîñëå âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì
min ( , , )
( )
|| ( ) ||
*
�
� �
� �
�
�
� �
�S
t
t
t l2
, t � � �
/ .
(29)
Îïðåäåëèì ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ t �
/ . Äëÿ ýòîãî ñ ó÷åòîì ðà-
âåíñòâ (28), (29) çàïèøåì
min ( , , )*
�
� � �
��
�
S
t
t d
0
min ( , , ) min ( , , )*
( / )
*
( / )
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
� �
S
t
S
t
t
t d t
0
� �d�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
( )
|| ( ) ||
( / )
t
t l
d
t
20
1.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷èì óðàâíåíèå
|| || ( / )z tz t t l l1 2
2
12� � � � �
� . (30)
Íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (30) ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì
îêîí÷àíèÿ èãðû â ñèëó òåîðåìû 3 ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (3). Ëåãêî
ïðîâåðèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 4 è íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ (30) ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì îêîí÷àíèÿ èãðû â ñèëó òåîðåìû 4
ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Ïðè t � 0 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (30) ðàâíà || ||z1 è ñ ðîñòîì t ðàñòåò ëèíåéíî,
à ïðàâàÿ — ðàâíà l l� 1 è ðàñòåò êâàäðàòè÷íî. Òàê êàê || ||z l l1 1 � , äëÿ ëþáûõ z1 è
z2 ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû êîíå÷åí.
Ðàâåíñòâî z tz1 2 0� � ìîæåò áûòü âûïîëíåíî òîëüêî ïîñëå âûïîëíåíèÿ ðà-
âåíñòâà (30), ïîýòîìó ýòîò ñëó÷àé íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ ñ ðàçëè÷íîé èíåðöè-
îííîñòüþ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè. Ñôîðìóëèðîâàíû äîñòàòî÷íûå óñëî-
âèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â ñëó÷àå, êîãäà óñëî-
âèå Ïîíòðÿãèíà íå âûïîëíÿåòñÿ. Ââåäåíû âåðõíèå è íèæíèå ðàçðåøàþùèå
ôóíêöèè ñïåöèàëüíîãî òèïà. Íà èõ îñíîâå ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàç-
ðåøàþùèõ ôóíêöèé, îáåñïå÷èâàþùèõ çàâåðøåíèå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî
ïðîöåññà â êëàññå êâàçèñòðàòåãèé è êîíòðóïðàâëåíèé. Ñðàâíèâàþòñÿ ãàðàíòè-
ðîâàííûå âðåìåíà îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ ðàçíûõ ñõåì ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ
îáúåêòîâ ñ ðàçëè÷íîé èíåðöèîííîñòüþ. Ïðèâåäåí èëëþñòðàòèâíûé ïðèìåð.
164 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Boston; London; Dordrecht: Springer Science and
Business Media, 2013. 424 p.
2. Chikrii A.A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proc. of the Steklov Institute of
Mathematics. 2010. Vol. 271. P. 69–85.
3. Chikrii A.A., Chikrii V. K. Image structure of multi valued mappings in game problems of motion
control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 3. P. 20–35.
4. ×èêðèé À.À. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè.
Òð. ÈÌÌ ÓðÎ ÐÀÍ. 2017. Ò. 23, ¹ 1. Ñ. 293–305. https://doi.org/10.21538/0134-4889-
2017-23-1-293-305.
5. Êðàñîâñêèé Í.Í., Ñóááîòèí À.È. Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. Ìîñêâà: Íàóêà,
1974. 455 ñ.
6. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. Ìîñêâà: Íàóêà, 1988. Ò. 2. 576 ñ.
7. Ñóááîòèí À.È., ×åíöîâ À.Ã. Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà,
1981. 288 ñ.
8. Hajek O. Pursuit games. New York: Academic Press, 1975. Vol. 12. 266 p.
9. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p.
10. Ðîêàôåëëàð Ð. Âûïóêëûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1973. 470 ñ.
11. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974. 480 ñ.
12. ×èêðèé À.À., Ðàïïîïîðò È.Ñ. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿå-
ìûõ ïðîöåññîâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. Ò. 48, ¹ 4. Ñ. 40–64.
13. Chikrii A.A., Matychyn I.I. On linear conflict-controlled processes with fractional derivatives. Trudy
Instituta Mathematiki i Mechaniki URo RAN. 2011. Vol. 17, N 2. P. 256–270.
14. Pittsyk M.V., Chikrii A.A. On group pursuit problem. Journal of Applied Mathematics and
Mechanics. 1982. Vol. 46, N 5. P. 584–589.
15. ×èêðèé À.À., Äçþáåíêî Ê. Ã. Áèëèíåéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïîèñêà äâèæóùèõñÿ îáúåê-
òîâ. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 1997. ¹ 1. Ñ. 92–107.
16. Eidelman S.D., Chikrii A.A. Dynamic game problems of approach for fractional-order equations.
Ukrainian Mathematical Journal. 2000. Vol. 52, N 11. P. 1787–1806.
17. Chikrii A.A., Kalashnikova S.F. Pursuit of a group of evaders by a single controlled object.
Cybernetics. 1987. Vol. 23, N 4. P. 437–445.
18. Ïèëèïåíêî Þ.Â., ×èêðèé À.À. Êîëåáàòåëüíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. Ò. 57, ¹ 3. Ñ. 3–14.
19. Chikrii A.A., Matychyn I.I. Game problems for fractional-order linear systems. Proc. of the Steklov
Institute of Mathemaics. 2010. Suppl. 1. P. s1–s17.
20. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì ñ äðîáíûìè
ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. ¹ 6. Ñ. 66–99.
21. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Game problems for fractional quasilinear systems. Journal Computers
and Mathematics with Applications. New York: Pergamon, 2002. Vol. 44. P. 835–851.
22. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã-Ëåôôëåðà â èãðîâûõ
çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
2000. ¹ 3. Ñ. 3–32.
23. Ôèëèïïîâ À.Ô. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Âåñòí. ÌÃÓ.
Ñåð. ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà, àñòðîíîìèÿ, ôèçèêà, õèìèÿ. 1959. ¹ 2. Ñ. 25–32.
24. Ïîëîâèíêèí Å.Ñ. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ìîñêâà: Èçä-âî ÌÔÒÈ,
1982. 127 ñ.
25. Rappoport I.S. On guaranteed result in game problems of controlled objects approach. Journal of
Automation and Information Sciences. 2020. Vol. 52, Iss. 3. P. 48–64. https://doi.org/
10.1615/JAutomatInfScien.v52.i3.40.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2 165
26. Belousov A.A., Kuleshyn V.V., Vyshenskiy V.I. Real-time algorithm for calculation of the distance
of the interrupted take-off. Journal of Automation and Information Sciences. 2020. Vol. 52, Iss. 4.
P. 38–46. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v52.i4.40.
27. Chikriy A.A., Chikrii G.Ts., Volyanskiy K.Yu. Quasilinear positional integral games of approach.
Journal of Automation and Information Sciences. 2001. Vol. 33, Iss. 10. P. 31–43.
https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v33.i10.40.
28. Chikrii G.Ts. Principle of time stretching in evolutionary games of approach. Journal of Automation
and Information Sciences. 2016. Vol. 48, Iss. 5. P. 12–26. https://doi.org/10.1615/
JAutomatInfScien.v48.i5.20.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 31.07.2020
É.Ñ. Ðàïïîïîðò
ÌÅÒÎÄ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀËÜÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É ÄËß ²ÃÐÎÂÈÕ ÇÀÄÀ× ÇÁËÈÆÅÍÍß ÊÅÐÎÂÀÍÈÕ
ÎÁ’ªÊÒ²Â Ç Ð²ÇÍÎÞ ²ÍÅÐÖ²ÉͲÑÒÞ
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìó çáëèæåííÿ êåðîâàíèõ îá’ºêò³â ç ð³çíîþ
³íåðö³éí³ñòþ â ³ãðîâèõ çàâäàííÿõ äèíàì³êè íà îñíîâ³ ñó÷àñíî¿ âåðñ³¿ ìåòîäó
ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é. Äëÿ òàêèõ îá’ºêò³â õàðàêòåðíî, ùî íà äåÿêîìó
³íòåðâàë³ ÷àñó íå âèêîíóºòüñÿ óìîâà Ïîíòðÿã³íà, ùî ³ñòîòíî óñêëàäíþº çà-
ñòîñóâàííÿ ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é äî öüîãî êëàñó ³ãðîâèõ çàäà÷
äèíàì³êè. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ òàêèõ çàäà÷, ïîâ’ÿçàíèé ç ïîáó-
äîâîþ äåÿêèõ ñêàëÿðíèõ ôóíêö³é (ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ), ùî ÿê³ñíî õàðàêòåðèçó-
þòü õ³ä çáëèæåííÿ êåðîâàíèõ îá’ºêò³â ç ð³çíîþ ³íåðö³éí³ñòþ òà åôåê-
òèâí³ñòü ïðèéíÿòèõ ð³øåíü. Ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é äຠçìîãó åôåê-
òèâíî âèêîðèñòîâóâàòè ñó÷àñíó òåõí³êó áàãàòîçíà÷íèõ â³äîáðàæåíü
â îá´ðóíòóâàííÿõ ³ãðîâèõ êîíñòðóêö³é ³ îòðèìàíí³ íà ¿õí³é îñíîâ³ çì³ñòîâ-
íèõ ðåçóëüòàò³â. Ïîð³âíþþòüñÿ ãàðàíòîâàí³ ÷àñè çàê³í÷åííÿ ãðè äëÿ ð³çíèõ
ñõåì çáëèæåííÿ êåðîâàíèõ îá’ºêò³â. Íàâåäåíî ³ëþñòðàòèâíèé ïðèêëàä.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êåðîâàí³ îá’ºêòè ç ð³çíîþ ³íåðö³éí³ñòþ, êâàç³ë³í³éíà äèôå-
ðåíö³àëüíà ãðà, áàãàòîçíà÷íå â³äîáðàæåííÿ, âèì³ðíèé ñåëåêòîð, ñòðîáî-
ñêîï³÷íà ñòðàòåã³ÿ, ðîçâ’ÿçóâàëüíà ôóíêö³ÿ.
I.S. Rappoport
RESOLVING FUNCTIONS METHOD FOR GAME PROBLEMS OF RELEASEOF
CONTROLLED OBJECTS WITH DIFFERENT INERTIA
Abstract. The problem of convergence of controlled objects with different
inertia in game dynamics problems is considered on the basis of the modern
version of the method of resolving functions. For such objects, it is
characteristic that the Pontryagin condition is not satisfied on a certain time
interval, which significantly complicates the application of the method of
resolving functions to this class of game dynamics problems. A method for
solving such problems is proposed, which is associated with the construction of
some scalar functions (resolving), which qualitatively characterize the course of
con vergence of controlled objects with different inertia and the efficiency of the
decisions made. The method of resolving functions is that it allows you to
effectively use the modern technique of multivalued mappings in substantiating
game constructions and obtaining meaningful results based on them. The
guaranteed end times of the game are compared for different schemes of
approaching controlled objects. An illustrative example is given.
Keywords: controlled objects with different inertia, quasilinear differential
game, multi-valued mapping, measurable selector, stroboscopic strategy,
resolving function.
Ðàïïîïîðò Èîñèô Ñèìîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: jeffrappoport@gmail.com.
166 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190656 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:25:01Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Раппопорт, И.С. 2023-06-17T19:28:05Z 2023-06-17T19:28:05Z 2021 Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью / И.С. Раппопорт // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 2. — С. 147–166. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190656 517.977 Рассмотрена проблема сближения управляемых объектов с различной инерционностью в игровых задачах динамики на основе современной версии метода разрешающих функций. Для таких объектов характерно, что на некотором интервале времени не выполняется условие Понтрягина, что существенно затрудняет применение метода разрешающих функций к этому классу игровых задач динамики. Предложен метод решения таких задач, связанный с построением некоторых скалярных функций (разрешающих), качественно характеризующих ход сближения управляемых объектов с различной инерционностью и эффективность принятых решений. Метод разрешающих функций позволяет эффективно использовать современную технику многозначных отображений в обоснованиях игровых конструкций и получении на их основе содержательных результатов. Сравниваются гарантированные времена окончания игры для разных схем сближения управляемых объектов. Приведен иллюстративный пример. Розглянуто проблему зближення керованих об’єктів з різною інерційністю в ігрових завданнях динаміки на основі сучасної версії методу розв’язувальних функцій. Для таких об’єктів характерно, що на деякому інтервалі часу не виконується умова Понтрягіна, що істотно ускладнює застосування методу розв’язувальних функцій до цього класу ігрових задач динаміки. Запропоновано метод розв’язання таких задач, пов’язаний з побудовою деяких скалярних функцій (розв’язувальних), що якісно характеризують хід зближення керованих об’єктів з різною інерційністю та ефективн ість прийнятих рішень. Метод розв’язувальних функцій дає змогу ефективно використовувати сучасну техніку багатозначних відображень в обґрунтуваннях ігрових конструкцій і отриманні на їхній основі змістовних результатів. Порівнюються гарантовані часи закінчення гри для різних схем зближення керованих об’єктів. Наведено ілюстративний приклад. The problem of convergence of controlled objects with different inertia in game dynamics problems is considered on the basis of the modern version of the method of resolving functions. For such objects, it is characteristic that the Pontryagin condition is not satisfied on a certain time interval, which significantly complicates the application of the method of resolving functions to this class of game dynamics problems. A method for solving such problems is proposed, which is associated with the construction of some scalar functions (resolving), which qualitatively characterize the course of con vergence of controlled objects with different inertia and the efficiency of the decisions made. The method of resolving functions is that it allows you to effectively use the modern technique of multivalued mappings in substantiating game constructions and obtaining meaningful results based on them. The guaranteed end times of the game are compared for different schemes of approaching controlled objects. An illustrative example is given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью Метод розв’язувальних функцій для ігрових задач зближення керованих об’єктів з різною інерційністю Resolving functions method for game problems of release of controlled objects with different inertia Article published earlier |
| spellingShingle | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью Раппопорт, И.С. Системний аналіз |
| title | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| title_alt | Метод розв’язувальних функцій для ігрових задач зближення керованих об’єктів з різною інерційністю Resolving functions method for game problems of release of controlled objects with different inertia |
| title_full | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| title_fullStr | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| title_full_unstemmed | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| title_short | Метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| title_sort | метод разрешающих функций для игровых задач сближения управляемых объектов с различной инерционностью |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190656 |
| work_keys_str_mv | AT rappoportis metodrazrešaûŝihfunkciidlâigrovyhzadačsbliženiâupravlâemyhobʺektovsrazličnoiinercionnostʹû AT rappoportis metodrozvâzuvalʹnihfunkcíidlâígrovihzadačzbližennâkerovanihobêktívzríznoûínercíinístû AT rappoportis resolvingfunctionsmethodforgameproblemsofreleaseofcontrolledobjectswithdifferentinertia |