Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода

Построены дробно-фрактальная математическая модель динамики процесса фильтрационной консолидации грунтовой среды, модель динамики процесса фильтрационной консолидации массивов фрактальной структуры с учетом ползучести грунтового скелета (прямая и обратная ретроспективная задачи), а также дробно-фрак...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кібернетика та системний аналіз
Date:	2021
Main Author:	Булавацкий, В.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190699
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода / В.М. Булавацкий // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 53–66. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859693095867645952
author	Булавацкий, В.М.
author_facet	Булавацкий, В.М.
citation_txt	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода / В.М. Булавацкий // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 53–66. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кібернетика та системний аналіз
description	Построены дробно-фрактальная математическая модель динамики процесса фильтрационной консолидации грунтовой среды, модель динамики процесса фильтрационной консолидации массивов фрактальной структуры с учетом ползучести грунтового скелета (прямая и обратная ретроспективная задачи), а также дробно-фрактальная математическая модель динамики процесса фильтрационной консолидации насыщенных солевыми растворами грунтовых сред. В рамках указанных моделей выполнены постановки и получены замкнутые решения некоторых одномерных по геометрической переменной краевых задач о консолидации водонасыщенных грунтовых массивов фрактальной структуры в условиях временной нелокальности процесса уплотнения. Побудовано дробово-фрактальну математичну модель динаміки процесу фільтраційної консолідації ґрунтового середовища, модель динаміки процесу фільтраційної консолідації масивів фрактальної структури з урахуванням повзучості ґрунтового скелета (пряма і обернена ретроспективна завдачі), а також дробово-фрактальну математичну модель динаміки процесу фільтраційної консолідації насичених сольовими розчинами ґрунтових середовищ. У рамках зазначених моделей виконано постановки і отримано замкнені розв’язки деяких одновимірних за геометричною змінною крайових задач про консолідацію водонасичених ґрунтових масивів фрактальної структури в умовах часової нелокальності процесу ущільнення. The author constructs a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of a soil media, a model of the dynamics of the process of filtration consolidation of massifs of fractal structure, taking into account the creep of the soil skeleton (direct and inverse retrospective problems) and a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of saturated saline solutions of soil media. Within the framework of these models, statements have been made and closed solutions have been obtained for some boundary-value problems, one-dimensional with respect to the geometric variable, on the consolidation of water-saturated soil massifs of fractal structure under time nonlocality of the consolidation process.
first_indexed	2025-12-01T00:00:38Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 517.954:532.546 Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ ÇÀÌÊÍÓÒÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÎÉ ÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÐÀÌÊÀÕ ÄÐÎÁÍÎ-ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÃÎ ÏÎÄÕÎÄÀ Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû äðîáíî-ôðàêòàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìè- êè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâîé ñðåäû, ìîäåëü äèíàìè- êè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ìàññèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà (ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ ðåòðîñïåêòèâ- íàÿ çàäà÷è), à òàêæå äðîáíî-ôðàêòàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä. Â ðàìêàõ óêàçàííûõ ìîäåëåé âûïîëíåíû ïîñòàíîâêè è ïî- ëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ îäíîìåðíûõ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïå- ðåìåííîé êðàåâûõ çàäà÷ î êîíñîëèäàöèè âîäîíàñûùåííûõ ãðóíòîâûõ ìàñ- ñèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû â óñëîâèÿõ âðåìåíí�é íåëîêàëüíîñòè ïðîöåñ- ñà óïëîòíåíèÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ôèëüòðàöèîííî- êîíñîëèäàöèîííûå ïðîöåññû, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè, ãðóíòîâûå ñðåäû ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû, äèíàìèêà, äðîáíî-ôðàêòàëüíûé ïîäõîä, ïðÿìûå è îáðàòíûå çàäà÷è, çàìêíóòûå ðåøåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ïðîöåññîâ äå- ôîðìèðîâàíèÿ è êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ãåîïîðèñòûõ ñðåä ÿâëÿåòñÿ àêòó- àëüíîé çàäà÷åé â ñâÿçè ñ ïðîáëåìàìè îõðàíû îêðóæàþùåé ñðåäû, â ÷àñòíîñòè áåçîïàñíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ íàêîïèòåëåé ïðîìûøëåííûõ è áûòîâûõ ñòîêîâ. Â ìàòåìàòè÷åñêîì àñïåêòå èññëåäîâàíèå äèíàìèêè òàêèõ ñðåä ñâîäèòñÿ ê ðåøå- íèþ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è âûïîëíÿëîñü, íàïðèìåð, â [1–8]. Îäíàêî â óêàçàííûõ è ìíîãèõ äðóãèõ ðàáîòàõ ïðè ïîñòàíîâêå ðàçëè÷íûõ êîíñîëèäàöèîííûõ çàäà÷ ïðåäïîëàãàëîñü íàëè÷èå ñòàíäàðòíûõ óñëîâèé, êàñàþùèõñÿ ñòðóêòóðû íàñûùåí- íûõ ãåîïîðèñòûõ ñðåä [9–12], ÷òî íåðåäêî ïðèâîäèò ê çàìåòíîìó ñóæåíèþ îá- ëàñòè ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà çàäà- ÷àì ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ àíîìàëüíûõ ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèîí- íî-êîíñîëèäàöèîííîé äèíàìèêè âîäîíàñûùåííûõ ãåîïîðèñòûõ (ãðóíòîâûõ) ñðåä. Èñïîëüçóåìûé äðîáíî-ôðàêòàëüíûé ïîäõîä [13] ïðè ìîäåëèðîâàíèè äèíà- ìèêè ôîðìèðîâàíèÿ ïîëåé èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïðîöåññå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ïîçâîëÿåò ó÷åñòü â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ âðåìåíí�þ íåëîêàëü- íîñòü äèíàìèêè êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ ãðóíòîâûõ ñðåä ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû. Ñ ó÷åòîì ïîíÿòèÿ ïðîèçâîäíîé Õàóñäîðôà ïî ïðîñòðàíñòâó [14, 15] äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå çàäà÷è: — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñû- ùåííûõ ãðóíòîâûõ ñðåä ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû; — äðîáíî-ôðàêòàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðà- öèîííîé êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâîé ñðåäû; — ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäà- öèè ìàññèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà (ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ ðåòðîñïåêòèâíàÿ çàäà÷è); — äðîáíî-ôðàêòàëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðà- öèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 53 © Â.Ì. Áóëàâàöêèé, 2021 ÏÐÎÑÒÅÉØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ ÍÀÑÛÙÅÍÍÛÕ ÃÐÓÍÒÎÂÛÕ ÑÐÅÄ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ È ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÎÍÍÀß ÊÐÀÅÂÀß ÇÀÄÀ×À Äëÿ äåôîðìèðóåìûõ âîäîíàñûùåííûõ ãðóíòîâûõ ñðåä ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ïîñòóëèðóåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà â âèäå � � � � � � n t u x x � 0, (1) ãäå n — ïîðèñòîñòü ñðåäû, ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè, � �x � — îïåðàòîð ôðàêòàëüíîé ïðîèçâîäíîé, � � 0 — ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü [13–15]. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ôðàêòàëüíîãî àíàëîãà êëàññè÷åñêîãî ôèëüòðàöèîííîãî çàêîíà Äàðñè ïðèìåì ñîãëàñíî [14] ñîîòíîøåíèå u k p x x � � � �� , (2) ãäå k — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè, � — óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè, p x t( , ) — èç- áûòî÷íîå ïîðîâîå äàâëåíèå [9–12]. Ïîñêîëüêó äëÿ äåôîðìèðóåìîé ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé íàãðóçêè èí- òåíñèâíîñòè q ïîëíîñòüþ âîäîíàñûùåííîé ãðóíòîâîé ñðåäû ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå [9, 10, 12] � � � � � � n t e e t 1 1 , (3) ãäå e — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè, e — ñðåäíåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîðèñ- òîñòè, òî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îäíîìåðíîé çàäà÷è [10–12] � � �q p (� — ñóììà ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé â ãðóíòîâîì ñêåëåòå â óñëîâèÿõ êîìïðåññèè, q — ïðèëîæåííàÿ íàãðóçêà) è ëèíåéíîãî ñîîòíîøåíèÿ îáû÷íîé êîìïðåññèîííîé çàâèñèìîñòè [12] e a� � �� const (a — êîýôôèöèåíò óïëîòíåíèÿ) èìååì � � � � � � � � � � e t e t a p t� � . (4) Òîãäà èç (1)–(4) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ èçáûòî÷íîãî íàïîðà, îïèñûâàþùåå äèíàìèêó îäíîìåðíîãî ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâîãî ìàññèâà ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ïîä äåéñòâèåì ìãíîâåííî ïðèëîæåííîé ê åãî ïîâåðõíîñòè íàãðóçêè èíòåíñèâíîñòè q � const : � � � � � � � � � � p t C x p x � � � , (5) ãäå C� — êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè [9–12], îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì C k e a � � � �( )1 . (6) Èç ñîîòíîøåíèÿ (5), â ÷àñòíîñòè ïðè � �1, ïîëó÷àåì êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå êîíñîëèäàöèè Ê. Òåðöàãè [9–12] � � � � � p t C p x � 2 2 , ãäå C� îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (6). Â ðàìêàõ êîíñîëèäàöèîííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâíåíèè âèäà (5), ðàññìîòðèì çàäà÷ó ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè (ïîä äåé- ñòâèåì íàãðóçêè çàäàííîé èíòåíñèâíîñòè q) âîäîíàñûùåííîãî ãðóíòîâîãî ìàñ- ñèâà ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû, èìåþùåãî êîíå÷íóþ ìîùíîñòü è ïîëíîñòüþ ïðîíèöàåìûå ãðàíè x �1 è x l l� �( )1 . 54 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Â ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå äàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )1 0l � �� ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è: � � � � � � � � � � p t C x p x � � � , (7) p t p l t( , ) , ( , )1 0 0� � , (8) p x q( , )0 � , (9) ãäå l� �1 0 — ìîùíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîÿ ãðóíòîâîãî ìàññèâà. Ïåðåïèñàâ èñõîäíîå óðàâíåíèå (7) â âèäå � � � � � � � � � � � � � �p t C x p x x p x � � � � � 2 2 1 2 2 1 21( ) ( ) (10) è ïðèìåíèâ ê çàäà÷å (10), (8), (9) êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå âèäà [16] p t p x t x dx x n n l ( ) ( , ) ( )( )� �� 1 1 , (11) ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäà÷ Êîøè dp t dt C p tn n n ( ) ( ) ( ) � � � � �� 2 0, (12) p qn n( ) ( )0 � � � ( )n N� , (13) ãäå � � � � � �� n n n n n nn l x( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ) , ( ) sin� � � � � � � 1 1 1 1 � � � ) ( ) ( )x n N� � � � �1 . (14) Ðåøàÿ çàäà÷è (12), (13) è ïåðåõîäÿ â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ (11), ïîëó÷àåì ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå p x t q l C tm( , ) exp ( ) � � � � � � � � � �4 1 2 1 2 � � � � � � � 2 1 2 11 m mm x � �� ( ) ( ) ( )� �� . (15) Â ÷àñòíîñòè, èç ñîîòíîøåíèÿ (15) (ïðè � �1) ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþ- ùåé çàäà÷è òåîðèè ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè äëÿ ìàññèâà êîíå÷íîé ìîù- íîñòè â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Ê. Òåðöàãè [9, 12] p x t q l e xC t m mm m( , ) sin ( ( )) � � �� 4 1 1 2 1 2 2 1 2 11 � � � � , ãäå � 2 1 2 1 1m m l� � � �( ) / ( ) . ÄÐÎÁÍÎ-ÔÐÀÊÒÀËÜÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ Ðàñïðîñòðàíÿÿ ôðàêòàëüíûé àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ Äàðñè (2) íà ñëó÷àé ó÷åòà íåëî- êàëüíûõ âðåìåííûõ ýôôåêòîâ (íàïðèìåð, ýôôåêòîâ ïàìÿòè), ìîæíî çàïèñàòü u k D p x x t� � � � � � � � � � 1 , (16) ãäå Dt 1� — îïåðàòîð ïðîèçâîäíîé Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ [17–20] ïîðÿäêà 1� ( )0 1� � . Ñ ó÷åòîì (16) ñîîòíîøåíèå (5) ïðèíèìàåò âèä � � � � � � � � � � � � � �p t C D x p x t� � � 1 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 55 èëè D p x t C x p x t ( ) ( , ) � � � � � � � � � � � , (17) ãäå Dt ( ) — îïåðàòîð äðîáíîé ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïîðÿäêà [17–19]. Ñîîòíîøåíèå (17) ëåæèò â îñíîâå äðîáíî-ôðàêòàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìî- äåëè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè. Â ðàìêàõ äàííîé äðîáíî-ôðàêòàëüíîé ìîäåëè ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðî- ñòåéøóþ (îäíîìåðíóþ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé) êðàåâóþ çàäà÷ó êîíñîëè- äàöèè, ìîäåëèðóþùóþ äèíàìèêó ïðîöåññà óïëîòíåíèÿ ãðóíòîâîãî ìàññèâà êî- íå÷íîé ìîùíîñòè ñ ïðîíèöàåìûìè âåðõíåé x �1è íèæíåé x l l� �( )1 ãðàíÿìè: D p x t C x p x x t lt ( ) ( , ) (( , ) ( , ) ( , ) � � � � � � � � � � � � � ��1 0 , , )0 1 0� � � � , (18) p t p l t( , ) , ( , )1 0 0� � , (19) p x q( , )0 � � const . (20) Ìåòîäèêà ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è àíàëîãè÷íà èçëîæåííîé âûøå ïðè ðåøåíèè êðàåâîé çàäà÷è (7)–(9). Â îáðàçàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ (11) çàäà÷à (18)–(20) ñâîäèò- ñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷ Êîøè âèäà D p t C p tt n n n ( ) ( ) ( ) ( ) � �� 2 0, (21) p qn n( ) ( )0 � � � ( )n N� , (22) ãäå � �� n n ( ) ( ), îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (14). Ðåøåíèÿ çàäà÷ (21), (22) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå p t q E C tn n n( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � 2 ( )n N� , (23) ãäå E ( )� — îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [21]. Ñ ó÷åòîì (23) è ôîðìóëû îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (11) [16] íàõîäèì p x t q l E C tm( , ) ( ) � � � � � � � � � �4 1 2 1 2 � � � � � � � 2 1 2 11 m mm x � �� ( ) ( ) ( )� �� . (24) Îòìåòèì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðè �1 èç ñîîòíîøåíèÿ (24) î÷åâèäíî ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (15). ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ ÌÀÑÑÈÂÎÂ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÏÎËÇÓ×ÅÑÒÈ ÃÐÓÍÒÎÂÎÃÎ ÑÊÅËÅÒÀ Â ñëó÷àå îäíîìåðíîãî óïëîòíåíèÿ âîäîíàñûùåííîãî ãðóíòîâîãî ñëîÿ ïîä äåé- ñòâèåì ìãíîâåííî ïðèëîæåííîé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêè èíòåí- ñèâíîñòüþ q â ïðåäïîëîæåíèÿõ îñíîâíîé ðàñ÷åòíîé ìîäåëè Â.À. Ôëîðèíà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå [9–12] � � � � � � � �� e t a p t a p e d t t 0 1 1 0 1� � �� ( ) , (25) ãäå e t( ) — êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè äåôîðìèðóåìîãî ïîä äåéñòâèåì ïðèëî- æåííîé íàãðóçêè ãðóíòîâîãî ìàññèâà, a0 — ïàðàìåòð ìãíîâåííîé äåôîðìà- öèè, a1, � 1 — ïàðàìåòðû ïîëçó÷åñòè, îïðåäåëÿåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïó- òåì (� 1 — ñêîðîñòü íàðàñòàíèÿ äåôîðìàöèé ïîëçó÷åñòè [10, 12]), p — ïîðî- 56 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 âîå äàâëåíèå. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè òðåõôàçíîé ãðóíòîâîé ñðåäû ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî âûøå çàïè- øåì â âèäå � � � � � � � � � � � e t e p t e u x x � ( ) ( )1 1 0, (26) ãäå — êîýôôèöèåíò îáúåìíîé ñæèìàåìîñòè ãàçîâîé êîìïîíåíòû, e — ñðåäíåå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ïîðèñòîñòè, ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè. Òîãäà èç (26) ñ ó÷åòîì (25) è îáîáùåííîãî ñîîòíîøåíèÿ Äàðñè (2) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå � � � � � � � � � � � � � � � �p t a a e p e d C x p x t t1 1 0 1 1 � � �� ( ) ( ) � � , (27) ãäå C k e a e � � � � � � ( ) ( ( )) 1 1 — êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè [10, 12], a a a� �0 1. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ � � � � � 1 11 , � � � � � � a a e 1 1( ) , ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (27) â âèäå � � � � � � � � � � � p t D p x t C x p x CF t� � � � � � ( , ) , (28) ãäå CF tD � — èçâåñòíûé îïåðàòîð ïðîèçâîäíîé Êàïóòî–Ôàáðèöèî [22], îïðåäå- ëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì CF t t D p x t p t d� � � � � � �( , ) exp ( )� � � � � � � � � � � 1 1 1 0 . (29) Óðàâíåíèå (28) — ýòî óðàâíåíèå íåêëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äèíàìèêó ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííîãî ïðîöåññà äëÿ óïëîòíÿåìîãî (ïîä äåéñòâèåì ìãíîâåííî ïðèëîæåííîé íàãðóçêè çàäàííîé èí- òåíñèâíîñòè) âîäîíàñûùåííîãî ãðóíòîâîãî ìàññèâà ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ÿâëåíèÿ ïîëçó÷åñòè åãî ñêåëåòà. Ïðè � �1 èç óðàâíåíèÿ (28) ïîëó- ÷àåì êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ìàññèâà â óñëî- âèÿõ ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà â âèäå � � � � � � p t D p x t C p x CF t� � � �( , ) 2 2 . Òàêèì îáðàçîì, êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè âîäî- íàñûùåííûõ ãðóíòîâûõ ìàññèâîâ â óñëîâèÿõ ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà ìîæíî çàïèñàòü [6] è â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî äðîáíóþ ïðîèçâîäíóþ Êàïóòî–Ôàáðèöèî ñ íåñèíãó- ëÿðíûì ÿäðîì âèäà (29). Â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîé êîíñîëèäàöèîííîé ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà óðàâíåíèè (28), ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó î ôèëüòðàöèîííîì óïëîòíåíèè ïîä äåéñòâèåì ìãíîâåííî ïðèëîæåííîé íàãðóçêè ãåîìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè ôðàê- òàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà. Ïðåäïîëàãàÿ ãðàíè ìàññèâà, íàïðèìåð, ïîëíîñòüþ ïðîíèöàåìûìè, â ìàòåìàòè÷åñêîé ïîñòàíîâêå äàííóþ çàäà÷ó ñâîäèì ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )1 0l � �� êðàåâîé çàäà÷è � � � � � � � � � � � � � � p t D p x t C x p x f x t CF t� � � � � � �( , ) ( , ) (0 1 0, )� � , (30) p t p l t( , ) , ( , )1 0 0� � , (31) p x h x( , ) ( )0 � , (32) ãäå h x( ) — çàäàííîå íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîðîâîãî äàâëåíèÿ â ìàññèâå, f x t( , ) — ôóíêöèÿ èñòî÷íèêà. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 57 Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàìêíóòîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (30)–(32) ñíà÷àëà ïðè- ìåíèì ê íåé êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå âèäà (11) (ñì. [16]). Â ðå- çóëüòàòå èìååì çàäà÷ó d p t dt D p t C p t f tn CF t n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � �� 2 , (33) p hn n( )0 � ( )n N� , (34) ãäå f t f x t x dx x n n l ( ) ( , ) ( )( )� �� 1 1 , h h x x dx x n Nn n l � � �� ( ) ( ) ( )( )� � �1 1 , (35) à � � n x( ) ( ), � � n ( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (14). Îáîçíà÷èì � ( ) ( ( ))F s F t� � îáðàç Ëàïëàñà ôóíêöèè F t( ) , s — ïàðàìåòð äàí- íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Ïðèìåíÿÿ ê çàäà÷å (33), (34) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàï- ëàñà ïî âðåìåíí�é ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì � ( ) � ( ) ( ) ( )p s f s A s h B sn n n n n� � , (36) ãäå A s s Q s B s s Q s Q s sn n n n n n( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( (� � � � � � � � � � � � � 1 2 � �� ) ( )) s n� �1 , (37) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 , ( )( ) ( ) n nC n N . Ïîñêîëüêó Q s s sn n n( ) ( )( )( ) ( )� � �� 1 2 , ãäå � � � � � � � � � � � n n n n n n ( , ) ( ) ( ) ( ), ( ) (1 2 2 2 4 1 0� � � � � � � � � � � � �n N ) , (38) íà îñíîâàíèè (37) èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ A s s s s B s s s n n n n n ( ) ( )( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � �1 1 2 1 ( ) ( ) ( )s n N n� � � 2 . Ðàçëàãàÿ A s B sn n( ), ( ) íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè, ñ ó÷åòîì òàáëèö îáðàòíîãî ïðå- îáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà [23] íàõîäèì A t en n n n tn( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � ��1 1 12 1 1 1 � � � � � � � � � � n t e n( ) ( ) 2 2� � � � � � � � � � , (39) B t en n n n tn( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � ��1 12 1 1 1 � � � � � �� 1 2 2 � � � � � � � � � � � � � � n t e n( ) ( ) . (40) Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (36) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèé (39), (40) ïîëó÷àåì p t en n n n tn( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) � � � ! "! � � � � � �1 12 1 1 1 � � � � � � � � �� ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 2 n t n t e f dn� � � � � � � � � � � � � � h en n t n n � � � � � � � � �� 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � # $ ! %! � e n t� ( )2 ( )n N� , (41) ãäå hn , f n îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (35). 58 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ïåðåõîäÿ â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà (11), ñ ó÷åòîì ðåçóëü- òàòîâ [16] íàõîäèì ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå p x t l p t xn n n( , ) ( ) ( )( )� � � � � 2 1 1 � � � � , ãäå p t xn n( ), ( )( )� � îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (41) è (14) ñîîòâåòñòâåííî. Â ÷àñòíîñòè, ïðè � �1 íàéäåííîå ðåøåíèå îïðåäåëÿåò ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþ- ùåé çàäà÷è òåîðèè êîíñîëèäàöèè ìàññèâîâ ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà â êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå [9–12]. ÎÁÐÀÒÍÀß ÐÅÒÐÎÑÏÅÊÒÈÂÍÀß ÇÀÄÀ×À ÄËß ÌÎÄÅËÈ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ ÌÀÑÑÈÂÎÂ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÏÎËÇÓ×ÅÑÒÈ ÃÐÓÍÒÎÂÎÃÎ ÑÊÅËÅÒÀ Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íåêëàññè÷åñêîé ìîäåëè êîíñîëèäàöèè (28) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äèôôåðåíöèàëüíîå àíàëîãè÷íî ñëó- ÷àþ êëàññè÷åñêîé êîíñîëèäàöèîííîé ìîäåëè [1, 2, 9–12]. Äåéñòâèòåëüíî, äèô- ôåðåíöèðóÿ (28) ïî ïåðåìåííîé t è ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ óðàâ- íåíèåì (28), ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæåííûì íà êîýôôèöèåíò � �/ ( )1� , ïîëó÷à- åì èñêîìîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå êîíñîëèäàöèè ìàññèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà â âèäå � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 1 p t p t C x x p t p � � � � � � ( , )0 1 0� � �� , (42) ãäå � îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (37). Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå (42), ðàññìîòðèì â îáëàñòè ( , ) ( , )x t T� �& 0 çàäà÷ó âîñ- ñòàíîâëåíèÿ íà÷àëüíîé ôóíêöèè ïîëÿ p x( , )0 ïî çàäàííîìó åå êîíå÷íîìó çíà÷å- íèþ p x T( , ) ïðè óñëîâèÿõ p t p l t( , ) , ( , )1 0 0� � , (43) p x T g x( , ) ( )� , ' �p xt ( , )0 0, (44) ãäå & � ( , )1 l , g x( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, g x L( ) ( )� 2 & . Ïðèìåíÿÿ ê (42)–(44) êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïî ãåîìåòðè- ÷åñêîé ïåðåìåííîé x âèäà (11), ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè d p t dt d p t dt p tn n n n n 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � � � � � �� , (45) p T gn n( ) � , ' �pn ( )0 0, (46) ãäå g g x x dx x C n l nn n l n� � � � � � �� ( ) ( ) , (( ) ( )� � � � � � �1 1 2 1 �N ). (47) Ðåøåíèå çàäà÷è (45), (46) çàïèøåì â âèäå p t g e t n Nn n T t n n( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �� 2 , (48) ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: �n n n t t T ( ) ( ) ( ) ,� � � �n n t nt e n Nn n( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � �� 2 1 2 1 (49) (� n ( , )1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (38)). ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 59 Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (48) ê îðèãèíàëàì êîíå÷íîãî èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé (11), ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà- ÷è (45), (46) â âèäå p x t l g e t xn n T t n n n( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� 2 1 1 2� � � � � � , (50) ãäå gn , � � n x( ) ( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñîîòíîøåíèÿìè (47), (14), à �n t( ) — ñîîòíîøåíèÿìè (49). Èç ñîîòíîøåíèé (48) ïðè óñëîâèè lim n ng �� ( 0 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñîîò- íîøåíèå lim ( ) n np �� 0 , ò.å. çàäà÷à îòûñêàíèÿ p x( , )0 íåêîððåêòíà ïî Àäàìà- ðó [24]. Íèæå ïîñòðîèì ðåãóëÿðèçîâàííîå ðåøåíèå îáðàòíîé ðåòðîñïåêòèâíîé çàäà÷è, áàçèðóÿñü íà ìåòîäàõ ðåãóëÿðèçàöèè [24, 25]. Ðàññìàòðèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîé çàäà÷å ðåãóëÿðèçîâàííóþ çàäà÷ó, çàìåíÿåì óñëîâèÿ (44) óñëîâèÿìè âèäà p x T p x g x( , ) ( , ) ( )� � 0 , ' �p xt ( , )0 0, (51) ãäå � 0 — ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè [24, 25]. Àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (42), (43), (51) ïîëó÷à- åì ñîîòíîøåíèå p x t l g e e n n T t n T n n n ( , ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) � � �� 2 1 0 1 01 2 2 � � � � � � ) ( )( )� � n x . (52) Ïóñòü p x t ( , ), u x t ( , ) — äâà ðåøåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è, ñîîòâåòñòâó- þùèå êîíå÷íûì çíà÷åíèÿì g x( ) è h x( ). Òîãäà èìååì \| \| ( , ) ( , ) \| \| ( ) ( ) ( ) p x u x l g h e e n n T n n � � � � 0 0 2 1 0 1 2 2 � � � � � � � � � n T n n n x ( ) ( ) ( )( ) 2 01 2 � � � � � � � � � � � � � e e g h n n T n T n n n n � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 0 1 0 2 1 ) sup ( ) \| \| \| \|2 2 2� � � � � �n N G n g h , ãäå G n e e n n T n T n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � 2 2 0 1 0 , \| \| \| \| : \| \| \| \| ( ) g g L � 2 & . Îòñþäà ïîëó÷àåì \| \| ( , ) ( , ) \| \| \| \| \| \| p x u x g h 0 0� � � . (53) Äàëåå íàéäåì îöåíêó îòêëîíåíèÿ ðåøåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé çàäà÷è îò ñîîòâåòñò- âóþùåãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è. Ââîäÿ â ðàññìîòðåíèå ïðîñòðàíñòâî L2 ( )& è ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà H � ( )& [26, 27], ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (50), (52) íàõîäèì \| \| ( , ) ( , ) \| \| ( ) ( ( ) ( ) p p g e e n T n T n n n � � � � � 0 0 0 1 2 2 2 2 2 � � � � 0 2 1 ) ( )( )� � n n x � � � � � � � � � � � � sup ( ) \| \| \| \| ( )n N H R n g 2 2 2 & , (54) ãäå R n e e n n T n n T n ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � 2 2 2 2 0 1 0 . (55) 60 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ïîñêîëüêó ïðè n�1 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå � �� n ( ) ( )� 1 , èç (55) ïîëó÷àåì R n e e e n n T n T n ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � �� 1 2 1 2 2 0 1 0 � �n T n ( ) ( )) 2 0 2 � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 1( ) exp ( , ) T M , (56) ãäå M T 1 1 1 2 1 ( , ) exp ( ) � � � � �� . Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (56) ñî- îòíîøåíèå (54) ïðèíèìàåò âèä \| \| ( , ) ( , ) \| \| ( , ) \| \| \| \| ( ) p p M g H � � � �0 0 1 2 � � & , (57) èëè â ïðåäïîëîæåíèè \| \| ( , ) \| \| ( ) p x E H 0 2 & � ( )E � �const 0 èç (57) ïîëó÷àåì îöåíêó \| \| ( , ) ( , ) \| \| ( , )p p M E� � � �0 0 1 � � . (58) Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííûõ îöåíîê íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè â ñëó÷àå íåòî÷íûõ èñõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü P x t ( , ) — ðåøåíèå ðåãó- ëÿðèçîâàííîé çàäà÷è, ñîîòâåòñòâóþùåå çàøóìëåííûì äàííûì g x� ( ), è p x t ( , ) — ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå â ñëó÷àå òî÷íûõ äàííûõ g x( ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî \| \| ( ) ( ) \| \|g x g x� �� , ãäå �� 0 — óðîâåíü øóìà. Òîãäà, èñõîäÿ èç íåðàâåíñòâà òðåó- ãîëüíèêà \| \| ( , ) ( , ) \| \| \| \| ( , ) ( , ) \| \| \| \| ( , )P x p x P x p x p x p 0 0 0 0 0� � � � � ( , ) \| \|x 0 , ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (53), (58) \| \| ( , ) ( , ) \| \| \| \| \| \| ( , ) ( ,P x p x g g M E M � � � � � �0 0 1 1 1� � � � � � )E . (59) Åñëè, íàïðèìåð, ïîëîæèòü � �� E , òî èç (59) ïîëó÷àåì îöåíêó âèäà \| \| ( , ) ( , ) \| \| ( ( , ))P x p x M E � � �0 0 1 1� � � . ÄÐÎÁÍÎ-ÔÐÀÊÒÀËÜÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÍÅËÎÊÀËÜÍÎÃÎ ÂÎ ÂÐÅÌÅÍÈ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ ÍÀÑÛÙÅÍÍÎÉ ÑÎËÅÂÛÌ ÐÀÑÒÂÎÐÎÌ ÃÐÓÍÒÎÂÎÉ ÑÐÅÄÛ Ðàññìàòðèâàÿ èçîòåðìè÷åñêèé íåëîêàëüíûé âî âðåìåíè ôèëüòðàöèîííî-êîíñî- ëèäàöèîííûé ïðîöåññ â íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãðóíòîâîé ñðåäå ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû, áóäåì èñõîäèòü èç ñëåäóþùåãî îáîáùåíèÿ çàêîíîâ Äàðñè è Ôèêà: u D x kH Cx t� � � � ��1 � �( ) , (60) q D d C x CJ u d H x C t t x u� � � � � � � � � � � � ) �1 1 � � � , (61) ãäå ux — ñêîðîñòü ãåîôèëüòðàöèè, H x t p( , ) /� � — èçáûòî÷íûé íàïîð, p — ïî- ðîâîå äàâëåíèå, � — óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè, C x t( , ) — êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â æèäêîé ôàçå, � — êîýôôèöèåíò õèìè÷åñêîãî îñìîñà [28], k — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè, qC — äèôôóçèîííûé ïîòîê, d) — êîýôôèöèåíò êîíâåêòèâíîé äèô- ôóçèè [28], du — êîýôôèöèåíò óëüòðàôèëüòðàöèè, J t 1� — äðîáíûé èíòåãðàë Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ ïîðÿäêà 1� ( )0 1� � , Dt 1� — îïåðàòîð äðîáíîãî äèôôå- ðåíöèðîâàíèÿ Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ òîãî æå ïîðÿäêà ïî ïåðåìåííîé t [17, 19]. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 61 Ñ ó÷åòîì (60), (61) è îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè ôèëüòðàöèîí- íîãî ïîòîêà â óñëîâèÿõ ëèíåéíîãî çàêîíà óïëîòíåíèÿ � � � � � � u x k C H t x � � 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå D H x x C H Ct ( ) ( ) � � � �� , (62) ãäå C� — êîýôôèöèåíò êîíñîëèäàöèè, îïðåäåëÿåìûé ñîãëàñíî ñîîòíîøå- íèþ (6), � � �� C k/ , Dt ( ) — îïåðàòîð ðåãóëÿðèçîâàííîé äðîáíîé ïðîèçâîä- íîé Êàïóòî–Ãåðàñèìîâà ïîðÿäêà ïî ïåðåìåííîé t [17, 19]. Àíàëîãè÷íî èç îáîáùåííîãî ñîîòíîøåíèÿ áàëàíñà ñîëåé â æèäêîé ôàçå ïî- ëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèè ñîëè â ïîòîêå â âèäå � � � � � � � D C x d C x C x kH C d H x t u ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � ) , (63) ãäå � — ïîðèñòîñòü ãåîñðåäû [28]. Ñîîòíîøåíèÿ (62), (63) ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé íîâîé äðîáíî-ôðàêòàëüíîé ìàòåìà- òè÷åñêîé ìîäåëè äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãðóíòîâîé ñðåäû â óñëîâèÿõ âðåìåíí�é íåëîêàëüíîñòè ñ ó÷åòîì ôðàêòàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå � �1 îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé êîíñîëèäàöèîííîé ìîäåëè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä, ïðåäëîæåííîé â [3]. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñû- ùåííîì ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãëèíèñòîì ãåîìàññèâå ââèäó ìàëîñòè ñîîòâåòñòâóþ- ùèõ ôèëüòðàöèîííûõ ñêîðîñòåé ìîæíî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ëèíåàðèçîâàòü óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè, ïðåíåáðåãàÿ âòîðûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñ- òè (63). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íåëî- êàëüíîãî âî âðåìåíè êîíñîëèäàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñ- òâîðîì ãëèíèñòîì ãåîïîðèñòîì ìàññèâå ñ ó÷åòîì îñìîòè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ôðàêòàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû â âèäå D H x x C H Ct ( ) ( ) � � � �� , (64) � � � � D C x x d C d Ht u ( ) ( )� � � � � � � � � ) . (65) Â ðàìêàõ äàííîé ìîäåëè çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ àíîìàëüíîé äèíàìèêè ïðî- öåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè ñ ïðîíèöàå- ìûìè âåðõíåé x �1 è íèæíåé x l l� �( )1 ãðàíÿìè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( ) ( )1 0� � � � � ��x l t ñèñòåìû óðàâíåíèé (64), (65) ïðè ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ: H t H l t H x H( , ) , ( , ) , ( , )1 0 0 0 0� � � , (66) C t C C l t C x( , ) , ( , ) , ( , )1 0 0 00� � � , (67) ãäå H 0 — íà÷àëüíîå çíà÷åíèå èçáûòî÷íîãî íàïîðà â ìàññèâå, C0 — çàäàííîå çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè ñîëåé íà âõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà. Ìåòîäèêà ðåøåíèÿ äàííîé êðàåâîé çàäà÷è êðàòêî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (64) íà íåîïðåäåëåííûé äåéñòâèòåëüíûé êîýôôèöèåíò q è ñëî- æèâ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ (65), ïîëó÷èì D qH C x x qÑ d H d q Ct u ( ) ( ) (( ) ( ) ) � � �� ) . (68) 62 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ïîëîæèì â (68) q C d qru� �� , d q r) � �� , (69) ãäå r — íåêîòîðàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ íèæå. Èç ñîîòíî- øåíèé (69) èìååì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ r � � �� r d C r C d du 2 0� � � � �) )( ) , (70) îòêóäà r d C d C du1 2 21 2 4 0, ( ), ( )� � * � � � �) ) � � � �� . (71) Êîðíÿì r r ii� �( , )1 2 óðàâíåíèÿ (70), îïðåäåëÿåìûì ñîãëàñíî ñîîòíîøå- íèÿì (71), ñîîòâåòñòâóþò äâà çíà÷åíèÿ q : q d r ii i� � �) � � ( , )1 2 . Ïîëîæèì � �i ix t q H x t C x t( , ) ( , ) ( , )� � ( , )i �1 2 . (72) Ñ ó÷åòîì (68), (69), (72) ïîëó÷àåì äëÿ îòûñêàíèÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé � i i( , )�1 2 ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé D r x x x t it i i i ( ) ( , ) ( , ) � � � �� 1 2 . (73) Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (66), (67), íàõîäèì ñîîòâåòñòâóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé � i ( , )i �1 2 â âèäå � � � �i i i it Ñ l t x q H i( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )1 0 0 1 20 0� � � � . (74) (Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ôèçè÷åñêîé êîððåêòíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ íåîáõî- äèìî âûïîëíåíèå óñëîâèé ri � 0 ( , )i �1 2 . Íåðàâåíñòâî r1 0� î÷åâèäíî âûïîëíå- íî, à íåðàâåíñòâî r2 0� èìååò ìåñòî ïðè �� d d Ñu � ) .) Ïåðåõîäÿ â çàäà÷àõ (73), (74) ê îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ñ ïî- ìîùüþ ïîäñòàíîâîê +i ix t x t C l l x i( , ) ( , ) ( ) ( , )� � � � �� 0 1 1 2 , ïîëó÷àåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé +i x t( , ) ( , )i �1 2 òàêèå êðàåâûå çàäà÷è: D r x x x t F x it i i i i ( ) ( , ) ( ) ( , ) � � + +� � � � � � � � � �1 2 , (75) + + +i i i it l t x f x i( , ) , ( , ) , ( , ) ( ) ( , )1 0 0 0 1 2� � � � , (76) ãäå F x r C l x f x q H C l l x ii i i i( ) , ( ) ( ) (� � � � � � � �� 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 2, ) . Ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå êîíå÷íîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå âèäà (11), ïîñòà- âèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷àì (75), (76) ñëåäóþùèå çàäà÷è Êîøè: D t r t it i n i n i n i n( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( , �� + +� � � � � � 2 1� 2; )n N� , (77) +i n i n i n N( ) ( )( ) ( , ; )0 1 2� � �� , (78) ãäå + +i n i n l i n it x t x dx x r C( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) , ( ) � � � �� 1 1 0 1 � ( ) ( )( ) l x dx x n l � � 1 2 1� � � � , ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 63 � � � � �i n i n l q H C l l x x dx x i( ) ( )( ) ( ) ( ,� � � � � � � � �� 0 0 1 1 1 1 2; )n N� . Ðåøàÿ çàäà÷è (77), (78), ïîëó÷àåì +i n i n i nt E r t( ) ( ) , ( ) ( ) � � � � � � � � �� 1 2 � i n i nt E r t( ) , ( ) � � � � � � � � � � � 1 2 (79) ( , ; )i n N� �1 2 , ãäå E z� , ( ) — äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ìèòòàã-Ëåôôëåðà [21]. Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (79) â îáëàñòü îðèãèíàëîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, íàõîäèì +i i n i nx t l E r t( , ) ( ) , ( ) � � � � � � � � � 2 1 1 2 � � � �� n 1 � � � � � � � � � � �� i n i nt E r t( ) , ( ) � � � �1 2 n x i( ) ( ) ( , )� �1 2 , (80) ãäå � � n x( ) ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (14). Ïðè ýòîì ïåðåõîä ê ôóíêöèÿì íàïîðà è êîíöåíòðàöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì H q q C q q q q � � � � � � � � � � � 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 , ( ) , � � i ix t x t C l l x i( , ) ( , ) ( ) ( , )� � � � �+ 0 1 1 2 , ãäå ôóíêöèè +i x t( , ) ( , )i �1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (80). Îòìåòèì, ÷òî èç ïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé ïðè � �1 êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïî- ëó÷àåì ðåøåíèå [3] ñîîòâåòñòâóþùåé êîíñîëèäàöèîííîé çàäà÷è â äðîáíî-äèôôå- ðåíöèàëüíîé ïîñòàíîâêå áåç ó÷åòà ôðàêòàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû. Ïðè �, �1 èç ïî- ëó÷åííîãî ðåøåíèÿ òàêæå ñëåäóåò ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êîíñîëèäàöèîííîé çà- äà÷è â êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå [29]. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ðàññìîòðåíû çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ àíî- ìàëüíûõ ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèîííî-êîíñîëèäàöèîííîé äèíàìèêè âîäîíàñûùåí- íûõ ãðóíòîâûõ ñðåä ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîé âíåøíåé íàãðóçêè. Äëÿ ìîäåëè- ðîâàíèè îñîáåííîñòåé ôîðìèðîâàíèÿ ïîëåé èçáûòî÷íûõ íàïîðîâ â ïðîöåññå ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè èñïîëüçóåòñÿ äðîáíî-ôðàêòàëüíûé ïîäõîä [13], ïîçâîëÿþùèé ó÷åñòü â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ âðåìåíí�þ íåëîêàëüíîñòü äèíà- ìèêè êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ äëÿ ãðóíòîâûõ ñðåä ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû. Îñâåùåíû âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ äðîáíî-ôðàêòàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâîé ñðåäû, ìîäåëè äèíà- ìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè ìàññèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè ãðóíòîâîãî ñêåëåòà (ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ ðåòðîñïåêòèâíàÿ çàäà- ÷è), à òàêæå äðîáíî-ôðàêòàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äèíàìèêè ïðîöåññà ôèëüòðàöèîííîé êîíñîëèäàöèè íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãðóíòîâûõ ñðåä. Â ðàìêàõ óêàçàííûõ ìîäåëåé âûïîëíåíû ïîñòàíîâêè è ïîëó÷åíû çàìêíóòûå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ îäíîìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ î êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâûõ ìàñ- ñèâîâ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðû â óñëîâèÿõ âðåìåíí�é íåëîêàëüíîñòè ïðîöåññà. 64 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Êðèâîíîñ Þ.Ã., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. 283 ñ. 2. Âëàñþê À.Ï., Ìàðòèíþê Ï.Ì. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ êîíñîë³äàö³¿ ãðóíò³â â ïðîöåñ³ ô³ëüòðàö³¿ ñîëüîâèõ ðîç÷èí³â. Ð³âíå: Âèä-âî ÓÄÓÂÃÏ, 2004. 211 ñ. 3. Bulavatsky V.M., Kryvonos Iu.G. The numerically analytical solutions of some geomigratory problems within the framework of fractional-differential mathematical models. Journal of Automation and Information Science. 2014. Vol. 46, N 2. P. 1–11. 4. Bulavatsky V.M. Fractional differential mathematical models of the dynamics of nonequilibrium geomigration processes and problems with nonlocal boundary conditions. Cybernetics and Systems Analysis. 2014. Vol. 50, N 1. P. 81–89. 5. Bulavatsky V.M. Some modelling problems of fractional-differential geofiltrational dynamics within the framework of generalized mathematical models. Journal of Automation and Information Science. 2016. Vol. 48, N 5. P. 27–41. 6. Bulavatsky V.M., Bohaienko V.O. Numerical simulation of fractional- differential filtration-consolidation dynamics within the framework of models with non-singular kernel. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 2. P. 193–204. 7. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Timoshenko A.A., Lyashko N.I., Bondar E.S. Optimal control of intensity of water point sources in unsaturated porous medium. Journal of Automation and Information Science. 2019. Vol. 51, N 7. P. 24–33. 8. Bomba A.Ya., Hladka O.M. Methods of complex analysis of parameters identification of quasiideal processes in nonlinear doubly-layered porous pools. Journal of Automation and Information Sciences. 2014. Vol. 46, N 11. P. 50–62. 9. Ôëîðèí Â.À. Îñíîâû ìåõàíèêè ãðóíòîâ. Ìîñêâà: Ãîññòðîéèçäàò, 1961. Ò. 2. 544 ñ. 10. Çàðåöêèé Þ.Ê. Òåîðèÿ êîíñîëèäàöèè ãðóíòîâ. Ìîñêâà: Íàóêà, 1967. 543 ñ. 11. Øèðèíêóëîâ Ò.Ø., Çàðåöêèé Þ.Ê. Ïîëçó÷åñòü è êîíñîëèäàöèÿ ãðóíòîâ. Òàøêåíò: Ôàí, 1986. 390 ñ. 12. Èâàíîâ Ï.Ë. Ãðóíòû è îñíîâàíèÿ ãèäðîòåõíè÷åñêèõ ñîîðóæåíèé. Ìîñêâà: Âûñø. øê., 1991. 447 ñ. 13. Allwright A., Atangana A. Fractal advection-dispersion equation for groundwater transport in fractured aquifers with self-similarities. The European Physical Journal Plus. 2018. Vol. 133, Iss. 2. Article number: 48. https://doi.org/10.1140/epjp/i2018-11885-3. 14. Chen W. Time-space fabric underlying anomalous diffusion. Chaos, Soliton. Fract. 2006. Vol. 28, Iss. 4. P. 923–929. 15. Cai W., Chen W., Wang F. Three-dimensional Hausdorff derivative diffusion model for isotropic/anisotropic fractal porous media. Thermal Science. 2018. Vol. 22, Suppl. 1. P. S1–S6. 16. Ìàðòûíåíêî Í.À., Ïóñòûëüíèêîâ Ë.Ì. Êîíå÷íûå èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è èõ ïðèìå- íåíèå ê èññëåäîâàíèþ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. 304 ñ. 17. Podlubny I. Fractional differential equations. New York: Academic Press, 1999. 341 p. 18. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. London: Imperial College Press, 2010. 350 p. 19. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p. 20. Sandev T., Tomovsky Z. Fractional equations and models. Theory and applications. Cham, Switzerland: Springer Nature Switzerland AG, 2019. 344 p. 21. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Berlin: Springer Verlag, 2014. 454 p. 22. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel. Progress Fractional Differentiation and Applications. 2015. Vol. 1, N 2. P. 73–85. 23. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, Ëàï- ëàñà, Ìåëëèíà. Ìîñêâà: Íàóêà, 1969. 344 ñ. 24. Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1979. 288 ñ. 25. Kirsch A. An introduction to the mathematical theory of inverse problem. New-York: Springer-Verlag, 1996. 307 p. 26. Ting Wei, Jun-Gang Wang. A modified quasi-boundary value method for the backward time-fractional diffusion problem. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2014. Vol. 48, N 2. P. 603–621. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 65 27. Sakamoto K., Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2011. Vol. 382. P. 426–447. 28. Ëÿøêî È.È., Äåì÷åíêî Ë.È., Ìèñòåöêèé Ã.Å. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ òåïëî- è ìàññîïåðåíî- ñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. 264 ñ. 29. Kaczmarek M., Huekel T. Chemo-mechanical consolidation of clays: analytical solution for a linearized one-dimensional problem. Transport in Porous Media. 1998. Vol. 32. P. 49–74. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 25.09.2020 Â.Ì. Áóëàâàöüêèé ÇÀÌÊÍÅÍ² ÐÎÇÂ’ßÇÊÈ ÄÅßÊÈÕ ÊÐÀÉÎÂÈÕ ÇÀÄÀ× Ô²ËÜÒÐÀÖ²ÉÍÎ-ÊÎÍÑÎË²ÄÀÖ²ÉÍÎ¯ ÄÈÍÀÌ²ÊÈ Â ÐÀÌÊÀÕ ÄÐÎÁÎÂÎ-ÔÐÀÊÒÀËÜÍÎÃÎ Ï²ÄÕÎÄÓ Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî äðîáîâî-ôðàêòàëüíó ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü äèíàì³êè ïðîöåñó ô³ëüòðàö³éíî¿ êîíñîë³äàö³¿ ´ðóíòîâîãî ñåðåäîâèùà, ìîäåëü äè- íàì³êè ïðîöåñó ô³ëüòðàö³éíî¿ êîíñîë³äàö³¿ ìàñèâ³â ôðàêòàëüíî¿ ñòðóêòóðè ç óðàõóâàííÿì ïîâçó÷îñò³ ãðóíòîâîãî ñêåëåòà (ïðÿìà ³ îáåðíåíà ðåòðîñïåê- òèâíà çàâäà÷³), à òàêîæ äðîáîâî-ôðàêòàëüíó ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü äèíàì³êè ïðîöåñó ô³ëüòðàö³éíî¿ êîíñîë³äàö³¿ íàñè÷åíèõ ñîëüîâèìè ðîç÷èíàìè ´ðóíòî- âèõ ñåðåäîâèù. Ó ðàìêàõ çàçíà÷åíèõ ìîäåëåé âèêîíàíî ïîñòàíîâêè ³ îòðè- ìàíî çàìêíåí³ ðîçâ’ÿçêè äåÿêèõ îäíîâèì³ðíèõ çà ãåîìåòðè÷íîþ çì³ííîþ êðàéîâèõ çàäà÷ ïðî êîíñîë³äàö³þ âîäîíàñè÷åíèõ ´ðóíòîâèõ ìàñèâ³â ôðàê- òàëüíî¿ ñòðóêòóðè â óìîâàõ ÷àñîâî¿ íåëîêàëüíîñò³ ïðîöåñó óù³ëüíåííÿ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ, ô³ëüòðàö³éíî-êîíñîë³äàö³éí³ ïðî- öåñè, íåêëàñè÷í³ ìîäåë³, ´ðóíòîâ³ ñåðåäîâèùà ôðàêòàëüíî¿ ñòðóêòóðè, äèíàì³êà, äðîáîâî-ôðàêòàëüíèé ï³äõ³ä, ïðÿì³ òà îáåðíåí³ çàäà÷³, çàìêíåí³ ðîçâ’ÿçêè. V.M. Bulavatsky CLOSED SOLUTIONS OF SOME BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF FILTRATION-CONSOLIDATION DYNAMICS WITHIN FRACTIONAL-FRACTAL APPROACH Abstract. The autor constructs a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of a soil media, a model of the dynamics of the process of filtration consolidation of massifs of fractal structure, taking into account the creep of the soil skeleton (direct and inverse retrospective problems) and a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of saturated saline solutions of soil media. Within the framework of these models, statements have been made and closed solutions have been obtained for some boundary-value problems, one-dimensional with respect to the geometric variable, on the consolidation of water-saturated soil massifs of fractal structure under time nonlocality of the consolidation process. Keywords: mathematical modeling, filtration-consolidation processes, non-classical models, soil media of fractal structure, dynamics, fractional-fractal approach, direct and inverse problems, closed solutions. Áóëàâàöêèé Âëàäèìèð Ìèõàéëîâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èìåíè Â.Ì. Ãëóø- êîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: v_bulav@ukr.net. 66 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190699
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1019-5262
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T00:00:38Z
publishDate	2021
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Булавацкий, В.М. 2023-06-20T11:14:49Z 2023-06-20T11:14:49Z 2021 Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода / В.М. Булавацкий // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 53–66. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190699 517.954:532.546 Построены дробно-фрактальная математическая модель динамики процесса фильтрационной консолидации грунтовой среды, модель динамики процесса фильтрационной консолидации массивов фрактальной структуры с учетом ползучести грунтового скелета (прямая и обратная ретроспективная задачи), а также дробно-фрактальная математическая модель динамики процесса фильтрационной консолидации насыщенных солевыми растворами грунтовых сред. В рамках указанных моделей выполнены постановки и получены замкнутые решения некоторых одномерных по геометрической переменной краевых задач о консолидации водонасыщенных грунтовых массивов фрактальной структуры в условиях временной нелокальности процесса уплотнения. Побудовано дробово-фрактальну математичну модель динаміки процесу фільтраційної консолідації ґрунтового середовища, модель динаміки процесу фільтраційної консолідації масивів фрактальної структури з урахуванням повзучості ґрунтового скелета (пряма і обернена ретроспективна завдачі), а також дробово-фрактальну математичну модель динаміки процесу фільтраційної консолідації насичених сольовими розчинами ґрунтових середовищ. У рамках зазначених моделей виконано постановки і отримано замкнені розв’язки деяких одновимірних за геометричною змінною крайових задач про консолідацію водонасичених ґрунтових масивів фрактальної структури в умовах часової нелокальності процесу ущільнення. The author constructs a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of a soil media, a model of the dynamics of the process of filtration consolidation of massifs of fractal structure, taking into account the creep of the soil skeleton (direct and inverse retrospective problems) and a fractional-fractal mathematical model of the dynamics of the process of filtration consolidation of saturated saline solutions of soil media. Within the framework of these models, statements have been made and closed solutions have been obtained for some boundary-value problems, one-dimensional with respect to the geometric variable, on the consolidation of water-saturated soil massifs of fractal structure under time nonlocality of the consolidation process. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода Замкнені розв’язки деяких крайових задач фільтраційно-консолідаційної динаміки в рамках дробово-фрактального підходу Closed solutions of some boundary-value problems of filtration-consolidation dynamics within fractional-fractal approach Article published earlier
spellingShingle	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода Булавацкий, В.М. Системний аналіз
title	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
title_alt	Замкнені розв’язки деяких крайових задач фільтраційно-консолідаційної динаміки в рамках дробово-фрактального підходу Closed solutions of some boundary-value problems of filtration-consolidation dynamics within fractional-fractal approach
title_full	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
title_fullStr	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
title_full_unstemmed	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
title_short	Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
title_sort	замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода
topic	Системний аналіз
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190699
work_keys_str_mv	AT bulavackiivm zamknutyerešeniânekotoryhkraevyhzadačfilʹtracionnokonsolidacionnoidinamikivramkahdrobnofraktalʹnogopodhoda AT bulavackiivm zamknenírozvâzkideâkihkraiovihzadačfílʹtracíinokonsolídacíinoídinamíkivramkahdrobovofraktalʹnogopídhodu AT bulavackiivm closedsolutionsofsomeboundaryvalueproblemsoffiltrationconsolidationdynamicswithinfractionalfractalapproach

Замкнутые решения некоторых краевых задач фильтрационно-консолидационной динамики в рамках дробно-фрактального подхода

Institution

Similar Items