Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних
Запропоновано метод побудови чебишовського наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних з відносною похибкою. Він полягає в побудові проміжного чебишовського наближення узагальненим поліномом значень логарифма функції з абсолютною похибкою. Для побудови чебишовського наближення функц...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кібернетика та системний аналіз |
|---|---|
| Datum: | 2021 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190704 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Л.С. Мельничок, Я.В. Пізюр // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 106–113. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859982606691467264 |
|---|---|
| author | Малачівський, П.С. Мельничок, Л.С. Пізюр Я.В. |
| author_facet | Малачівський, П.С. Мельничок, Л.С. Пізюр Я.В. |
| citation_txt | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Л.С. Мельничок, Я.В. Пізюр // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 106–113. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кібернетика та системний аналіз |
| description | Запропоновано метод побудови чебишовського наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних з відносною похибкою. Він полягає в побудові проміжного чебишовського наближення узагальненим поліномом значень логарифма функції з абсолютною похибкою. Для побудови чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом використано ітераційну схему на основі методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Подані результати розв’язування тестових прикладів підтверджують швидку збіжність методу під час обчислення параметрів чебишовського наближення таблично заданих неперервних функцій однієї, двох і трьох змінних.
Предложен метод построения чебышевского приближения экспоненциальным выражением функций многих переменных с относительной погрешностью. Он заключается в построении промежуточного чебышевского приближения обобщенным полиномом значений логарифма функции с абсолютной погрешностью. Для построения чебышевского приближения функций многих переменных обобщенным полиномом использована итерационная схема на основе метода наименьших квадратов с переменной весовой функцией. Представленные результаты решения тестовых примеров подтверждают быструю сходимость метода при расчете параметров чебышевского приближения таблично заданных непрерывных функций одной, двух и трех переменных.
A method for constructing the Chebyshev approximation by the exponential expression of the multivariable functions with relative error is proposed. It generates an intermediate Chebyshev approximation by a polynomial of the values of the logarithm of a function with absolute error. An iterative scheme based on the least squares method with a variable weight function was used to construct a Chebyshev approximation of the multivariable functions by a generalized polynomial. The presented results of the solution of test examples confirm the fast convergence of the method when calculating the parameters of the Chebyshev approximation of table-defined continuous functions of one, two, and three variables.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:27:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.65
Ï.Ñ. ÌÀËÀײÂÑÜÊÈÉ, Ë.Ñ. ÌÅËÜÍÈ×ÎÊ, ß.Â. ϲÇÞÐ
×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÅ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÅÊÑÏÎÍÅÍÖ²ÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ
ÔÓÍÊÖ²É ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ. ³í
ïîëÿãຠâ ïîáóäîâ³ ïðîì³æíîãî ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì
ïîë³íîìîì çíà÷åíü ëîãàðèôìà ôóíêö³¿ ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ. Äëÿ ïîáó-
äîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ óçàãàëüíåíèì
ïîë³íîìîì âèêîðèñòàíî ³òåðàö³éíó ñõåìó íà îñíîâ³ ìåòîäó íàéìåíøèõ
êâàäðàò³â ç³ çì³ííîþ âàãîâîþ ôóíêö³ºþ. Ïîäàí³ ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçóâàííÿ
òåñòîâèõ ïðèêëàä³â ï³äòâåðäæóþòü øâèäêó çá³æí³ñòü ìåòîäó ï³ä ÷àñ îá÷èñ-
ëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ òàáëè÷íî çàäàíèõ íåïåðåðâíèõ
ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ ³ òðüîõ çì³ííèõ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì,
ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ, ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ, ìåòîä íàéìåíøèõ
êâàäðàò³â, çì³ííà âàãîâà ôóíêö³ÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀײ
ϳä ÷àñ ìîäåëþâàííÿ ñêëàäíèõ ñèñòåì, ôóíêö³îíóâàííÿ ÿêèõ çàëåæèòü â³ä
áàãàòüîõ ïàðàìåòð³â, âèíèêຠïîòðåáà â íàÿâíîñò³ åôåêòèâíèõ àëãîðèòì³â äëÿ
àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ [1–3]. Äëÿ ïîêðàùåííÿ òî÷íîñò³ ìîäå-
ëþâàííÿ äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè íåë³í³éí³ ùîäî ïàðàìåòð³â çàëåæ-
íîñò³ [4–9], ÿê³ â³äïîâ³äàþòü ñóò³ äîñë³äæóâàíèõ ïðîöåñ³â.
Íåõàé íåïåðåðâíà äîäàòíà ôóíêö³ÿ n çì³ííèõ f X( ) , äå X — âåêòîð,
X x x xn� ( , , ..., ),1 2 çàäàíà íà ìíîæèí³ òî÷îê � � { }
=1
X j j
s îáìåæåíî¿ îáëàñò³ D
( )� �D ³ íå íàáóâຠçíà÷åíü, ð³âíèõ íóëåâ³ ( , ( ) )� � �X D f X 0 , äå D R n� ,
R n— n-âèì³ðíèé âåêòîðíèé ïðîñò³ð. Ôóíêö³þ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � íå-
îáõ³äíî íàáëèçèòè åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì E a Xm ( ; ) ,
E a X a em
P a Xm( ; ) ( ; )� 0 , m s� 1 , (1)
äå P a Xm ( ; ) — óçàãàëüíåíèé ïîë³íîì,
P a X a Xm i i
i
m
( ; ) ( )�
�
�
1
,
çà ñèñòåìîþ ë³í³éíî íåçàëåæíèõ íåïåðåðâíèõ íà D ä³éñíèõ ôóíêö³é � i X( ),
i m�1, , à ai , i m� 0, , — íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè: { }a Ai i
m
� �
0
, A R m� �1. Âèðàç
E a Xm ( ; )� íàçèâàòèìåìî ÷åáèøîâñüêèì íàáëèæåííÿì ôóíêö³¿ f X( ) ç â³äíîñ-
íîþ ïîõèáêîþ íà ìíîæèí³ òî÷îê �, ÿêùî â³í çàäîâîëüíÿº óìîâó
max ( ) ( ; )
( )
min max
( ) ( ; )
(X
m
a A X
mf X E a X
f X
f X E a X
f�
�
� �
�
� � X )
.
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì âèêîðèñòîâóþòü äëÿ
îïèñó ñïåö³àëüíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ôóíêö³é [10, 11], à òàêîæ ð³çíèõ ô³çè÷íèõ,
á³îëîã³÷íèõ ³ õ³ì³÷íèõ ïðîöåñ³â [12–15], çîêðåìà äëÿ îïèñó òåðìîìåòðè÷íî¿ õà-
ðàêòåðèñòèêè ãåðìàí³ºâîãî ì³êðîñåíñîðà [16, 17], äëÿ íàáëèæåííÿ ïî÷àòêîâèõ
óìîâ çàäà÷³ ïðîñòîðîâî¿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ [4] òîùî.
106 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
© Ï.Ñ. Ìàëà÷³âñüêèé, Ë.Ñ. Ìåëüíè÷îê, ß.Â. ϳçþð, 2021
Âëàñòèâîñò³ òà ñïîñ³á îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿
âèçíà÷åíî â ïðàö³ [12], äå ïîáóäîâà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì
âèðàçîì ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ïîòðåáóº îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî
íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ. Àíàëîã³÷íî äî ìåòîäó, îïèñà-
íîãî â ïðàö³ [12], ìè çâîäèìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðà-
çîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ äî ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëü-
íåíèì ïîë³íîìîì
P a X a P a Xm m( ; ) ( ; )� �0 (2)
ôóíêö³¿ f X f Xl ( ) ( ( ))� ln íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ ùîäî
íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â a0 ³ ai , i m�1, . ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áà-
ãàòüîõ çì³ííèõ f Xl ( ) ïîë³íîìîì (2) îá÷èñëþºìî ÿê ãðàíè÷íå íàáëèæåííÿ
ó íîðì³ ïðîñòîðó Lp äëÿ p � � çà ìåòîäîì, îïèñàíèì â ïðàöÿõ [18, 19].
ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÅÊÑÏÎÍÅÍÖ²ÀËÜÍÈÌ
ÂÈÐÀÇÎÌ ÔÓÍÊÖ²¯ ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Ó ïðàö³ [12] òåîðåòè÷íî îá´ðóíòîâàíî, ùî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ ìîæíà
îòðèìàòè íà ï³äñòàâ³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì çíà÷åííÿ ëîãà-
ðèôìà ôóíêö³¿ ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ. Ó âèïàäêó ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ
öÿ îñîáëèâ³ñòü ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì òàêîæ
ñïðàâäæóºòüñÿ.
Òåîðåìà 1. Íåõàé íåïåðåðâíà äîäàòíà ôóíêö³ÿ f X( ) çàäàíà íà ìíîæèí³ òî-
÷îê � � { }
=1
X
j
s
j îáìåæåíî¿ îáëàñò³ D ( )� � D ³ íå íàáóâຠçíà÷åíü, ð³âíèõ íó-
ëåâ³ ( , ( ) )� � �X D f X 0 , äå D R n� . ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëü-
íèì âèðàçîì (1) ôóíêö³¿ f X( ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ íà ìíîæèí³ òî÷îê
� � �{ }X j j
s
1
âèçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íî-
ìîì (2) ôóíêö³¿ f X f Xl ( ) ln ( ( ))� íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ.
Çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ai , i m�1, , ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ âèðàçîì (1) çá³ãà-
þòüñÿ ç³ çíà÷åííÿìè îäíîéìåííèõ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçà-
ãàëüíåíèì ïîë³íîìîì P a Xm ( ; ) (2) ôóíêö³¿ f Xl ( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç àáñî-
ëþòíîþ ïîõèáêîþ, à çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà a0 îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
a
f X f X
E a X f X E a X f Xm m
0
2
�
�
( ) ( )
( ; ) ( ) ( ; ) (
max min
min max max min )
, (3)
äå X max — òî÷êà, â ÿê³é â³äíîñíà ïîõèáêà íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì
E a X em
P a Xm( ; ) ( ; )�
äîñÿãຠíàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ íà ìíîæèí³ òî÷îê X �� , à X min — òî÷êà,
â ÿê³é çíà÷åííÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè íàéìåíøå.
Äîâåäåííÿ. Ó ðîáîò³ [4] äëÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ òåîðåòè÷íî îá´ðóíòî-
âàíî, ùî òî÷êè Í-ìíîæèíè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íî-
ìîì (2) çá³ãàþòüñÿ ç òî÷êàìè Í-ìíîæèíè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì (1). Ó òî÷êàõ Í-ìíîæèíè ïîõèáêà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ íàáóâຠíàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ çà ìîäóëåì [4]. ³äïîâ³äíî äî [4] òî÷êè
Í-ìíîæèíè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ — öå àíàëîã
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 107
òî÷îê àëüòåðíàíñó ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿. ¥ðóíòóþ-
÷èñü íà òåîðåòè÷íîìó âèñë³ä³ ïðàö³ [4] ùîäî çãàäàíî¿ âëàñòèâîñò³ òî÷îê Í-ìíîæè-
íè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ, ïðèïóñòèìî, ùî Í-ìíîæèíà òî÷îê ÷åáèøîâñüêîãî
íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ñêëàäàºòüñÿ ç ( )m �2 -õ òî÷îê:
H H i k H i l k l mi i� � � � � ��
{ , , , , , , }1 1 2 .
Ïîçíà÷èìî H � òî÷êè, â ÿêèõ ïîõèáêà íàáëèæåííÿ äîäàòíà, à ÷åðåç H
—
òî÷êè, â ÿêèõ ïîõèáêà íàáëèæåííÿ â³ä’ºìíà. ³äïîâ³äíî äî õàðàêòåðèñòè÷íî¿
âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ïàðàìåòðè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ôóíêö³¿ f X( ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ çàäîâîëüíÿ-
þòü ñèñòåìó ð³âíÿíü
1 1
1
0
0
� �
�
�
a e f H i k
a e f H
P a H
i
P a H
i
m i
m i
( ; )
( ; )
/ ( ) , , ,
/ (
�
) , , ,�
�
�
�
�
�� � i l1
(4)
äå � — ïîõèáêà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ. Ïîñë³äîâíî â³äí³ìàþ÷è â³ä
k-ãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (4) ( )k
1 -å, â³ä ( )k
1 -ãî ð³âíÿííÿ — ( )k
2 -å é ò.ä. ³
àíàëîã³÷íî â³ä l-ãî ð³âíÿííÿ — ( )l
1 -å ³ ò.ä., âèëó÷àºìî ç ñèñòåìè ð³âíÿíü (4)
íåâ³äîì³ a0 ³ �. ×åðåç òå, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f X( ) äîäàòí³ é â³äì³íí³ â³ä
íóëÿ, òî ï³ñëÿ ëîãàðèôìóâàííÿ îòðèìàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü
P a H P a H f H f H im i m i i i( ; ) ( ; ) ln ( ( )) ln ( ( )), ,�
� �
�
� �
�
�
1 1
1 k
P a H P a H f H f Hm i m i i i
�
�
�
1
1 1
,
( ; ) ( ; ) ln ( ( )) ln ( ( )), i l�
�
�
�
�� 1 1, .
(5)
Ñèñòåìà ð³âíÿíü (5) çá³ãàºòüñÿ ç ñèñòåìîþ ð³âíÿíü äëÿ âèçíà÷åííÿ ïàðà-
ìåòð³â ai , i m�1, , ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (2)
ôóíêö³¿ f Xl ( ) ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ. Îñê³ëüêè òî÷êè Í-ìíîæèíè ÷åáèøîâ-
ñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) çá³ãàþòüñÿ ç òî÷êàìè Í-ìíî-
æèíè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (2), ïàðàìåòðè ÷å-
áèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (2) ôóíêö³¿ f Xl ( ) ç àáñî-
ëþòíîþ ïîõèáêîþ çàäîâîëüíÿþòü ñèñòåìó ð³âíÿíü
ln ( ( )) ( ; ) , , ,
ln ( ( )) (
f H a P a H i k
f H a P a
i m i
i m
� �
� �
0
0
1�
; ) , , ,H i li
�
�
�
�
�
�� � 1
(6)
äå � — ïîõèáêà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ. Àíàëîã³÷íî äî âèëó÷åííÿ
íåâ³äîìèõ a0 ³ � ç ñèñòåìè ð³âíÿíü (4) âèëó÷èìî íåâ³äîì³ a0 ³ � ç ñèñòåìè
ð³âíÿíü (6). ϳñëÿ âèëó÷åííÿ öèõ íåâ³äîìèõ îòðèìóºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü, ÿêà
çá³ãàºòüñÿ ç ñèñòåìîþ ð³âíÿíü (5).
Îñê³ëüêè ñèñòåìà ð³âíÿíü äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â ai , i m�1, ,
÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ôóíêö³¿ f X( ) íà
ìíîæèí³ òî÷îê � ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ çá³ãàºòüñÿ ç ñèñòåìîþ ð³âíÿíü ùîäî
çíà÷åíü îäíîéìåííèõ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f Xl ( )
ïîë³íîìîì (2) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ, òî îá÷èñëåííÿ çíà-
÷åíü ïàðàìåòð³â ai , i m�1, , ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðà-
çîì (1) ìîæíà çâåñòè äî îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ ïîë³íîìîì (2).
Çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà a0 ìîæíà âèçíà÷èòè ÿê ðîçâ’ÿçîê îäíîïàðàìåòðè÷íî¿
çàäà÷³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì a E a Xm0 ( ; ) íà ìíî-
108 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
æèí³ òî÷îê � ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ
max
( ) ( ; )
( )
min.
X
m
a
f X a E a X
f X�
� ��
�
0
0
(7)
Ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (7) ùîäî çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà a0 îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìó-
ëîþ (3).
Îòæå, çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ai , i m�1, , ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ çá³ãàþòüñÿ ç³ çíà÷åííÿìè îäíî-
éìåííèõ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì
P a Xm ( ; ) ôóíêö³¿ f Xl ( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ, à çíà÷åí-
íÿ ïàðàìåòðà a0 îá÷èñëþþòü çà ôîðìóëîþ (3). Òåîðåìó äîâåäåíî.
Ìè ðîçãëÿíóëè ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1)
ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ, îñê³ëüêè îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â òàêîãî íàáëèæåííÿ çâî-
äèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ ë³í³éíî¿ çàäà÷³. Ç óðàõóâàííÿì øâèäêîñò³ çì³íè çíà÷åíü
åêñïîíåíö³àëüíîãî âèðàçó âèêîðèñòàííÿ íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì
ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ º ïðàêòè÷íî äîö³ëüíèì [12].
ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒв ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß
ÅÊÑÏÎÍÅÍÖ²ÀËÜÍÈÌ ÂÈÐÀÇÎÌ ÔÓÍÊÖ²¯ ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Äëÿ ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (2) ôóíêö³¿
f Xl ( ) ìîæíà âèêîðèñòàòè ìåòîä, îïèñàíèé â [18, 19], ÿêèé ïîëÿãàº
â ïîñë³äîâíîìó îá÷èñëåíí³ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü ïîë³íîìîì (2)
ôóíêö³¿ f Xl ( ) ó ïðîñòîð³ E p äëÿ p � 2 3 4, , , . . . Äëÿ îö³íêè ïîõèáêè íàáëèæåí-
íÿ â ïðîñòîð³ E p âèêîðèñòîâóºìî íîðìó
�
�
E l m
p
X
p
p f X P a X�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( ) ( ; )
/1
.
Ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ íîðìè �
E
p äëÿ p � � çá³ãàºòüñÿ ç³ çíà÷åííÿì íîðìè
â ïðîñòîð³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é �
C
[20]:
�
�
C
X
l mf X P a X�
�
max ( ) ( ; ) .
Äëÿ ïîáóäîâè ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü âèêîðèñòîâóºìî ³òåðàö³¿ íà
îñíîâ³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
� r l m
X
a A
X f X P a X r( )( ( ) ( ; )) min, , , ... ,
� ��� �
�
�
�
2
0 1 (8)
ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ
� 0 1( ) ,X � � r i
i
r
X X( ) ( )�
�
� �
1
, r p p�
�1 2 3 4, ..., , , , ... ,
äå � k l m kX f X P a X( ) ( ) ( ; ),�
1 , k r�1, , P a Xm k, ( ; ) — íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿
f Xl ( ) çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ � k X( ), ÿêå
â³äïîâ³äຠñåðåäíüîñòåïåíåâîìó íàáëèæåííþ ñòåïåíÿ k �2 .
Çàâåðøåííÿ ïîáóäîâè ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü çà ³òåðàö³ÿìè (8) ìîæ-
íà êîíòðîëþâàòè äîñÿãíåííÿì äåÿêî¿ çàäàíî¿ òî÷íîñò³ �
� � ��
r r
�
1
, (9)
äå
�r
X
l m rX f x P a X( ) max ( ) ( ; ),�
��
.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 109
Çàñòîñóâàííÿ ìîäóëÿ ó ë³â³é ÷àñòèí³ ö³º¿ óìîâè çóìîâëåíî ìîæëèâîþ íàÿâí³ñòþ
ïîõèáîê çàîêðóãëåííÿ ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ �r X( ).
³äïîâ³äíî äî òåîðåìè 1 çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ai , i m�1, , ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ôóíêö³¿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � ç â³äíîñ-
íîþ ïîõèáêîþ çá³ãàþòüñÿ ç³ çíà÷åííÿìè îäíîéìåííèõ ïàðàìåòð³â îòðèìàíîãî íà-
áëèæåííÿ P a Xm r, ( ; ), à çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà a0 îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ (3).
Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ äëÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â
ï³äòâåðäæóþòü õîðîøó çá³æí³ñòü ó âèïàäêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ
òà òðüîõ çì³ííèõ.
Ïðèêëàä 1. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì
E a x a e
a x a x
2 0
1 2
2
( ; ) � � ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ y x e x x( ) � 1+2 +0.3 3
, çàäàíî¿ â òî÷êàõ xi ,
i � 0 20, , äå x ii � 0 1. .
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ � � 0003. â óìîâ³ (9) çà ï’ÿòü
³òåðàö³é (8) äëÿ ôóíêö³¿ y x y xl ( ) ( ( ))� ln îòðèìàíî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ
ïîë³íîìîì
P a x x x2
20 8999999973 1 32890568 1 071094325( ; ) . . .� � � ,
ÿêèé çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.076952839. ×åáèøîâñüêå
íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì
E a x e x x
2
1 32890568 0 89999999732 909951377
2
( ; ) . . .� �
(10)
çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 7.68%.
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì E a x2 ( ; )
ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ, îòðèìàíå çà ³òåðàö³éíîþ ñõåìîþ Ðåìåçà [21, 22] ç óòî÷-
íåííÿì òî÷îê àëüòåðíàíñó çà àëãîðèòìîì Âàëëå–Ïóññåíà
E a x e x
2
1 32499959071477 0 90000021452 921771976( ; ) . . .� � 76721 2x , (11)
çàáåçïå÷óº ïîõèáêó àïðîêñèìàö³¿ 0.0748598. Ïåðåâèùåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ
åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (10) ïîð³âíÿíî ç ïîõèáêîþ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ,
îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà, äîð³âíþº 0.0019414573. Ïîõèáêà íàáëèæåííÿ åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì (10) ïåðåâèùóº íà 2.59% ïîõèáêó ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåí-
íÿ (11), îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà. Êðèâó ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ åêñïîíåíö³àëü-
íèì âèðàçîì (10) â³äîáðàæåíî íà ðèñ. 1. Âîíà â³äïîâ³äຠõàðàêòåðèñòè÷í³é âëàñòè-
âîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ — ìຠ÷îòèðè åêñòðåìàëüí³ òî÷êè:
(0., – 0.07051128659), (0.5, 0.07680129784),
(1.5, – 0.07680129924), (2.0, 0.07137685473), (12)
â ÿêèõ çíà÷åííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ
çà ìîäóëåì çá³ãàþòüñÿ ó ìåæàõ çàäàíî¿
òî÷íîñò³, à çíàê â³äõèëåííÿ ó öèõ òî÷-
êàõ ÷åðãóºòüñÿ [21, 22]. Ö³ åêñòðå-
ìàëüí³ òî÷êè çá³ãàþòüñÿ ç òî÷êàìè àëü-
òåðíàíñó, îòðèìàíèìè ïðè íàáëèæåíí³
çà ñõåìîþ Ðåìåçà. Êð³ì òîãî,
â³äïîâ³äíî äî òâåðäæåííÿ [4] ùîäî òî-
÷îê Í-ìíîæèíè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ ïîë³íîìîì (2) ö³ òî÷êè çá³ãà-
þòüñÿ òàêîæ ³ ç åêñòðåìàëüíèìè òî÷êà-
ìè íàáëèæåííÿ (12).
110 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
Ðèñ. 1. Êðèâà ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî
íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) åêñïîíåíö³àëüíèì
âèðàçîì (10) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ
x
�
Ðîçá³æí³ñòü çíà÷åíü ïîõèáêè íàáëèæåííÿ â åêñòðåìàëüíèõ òî÷êàõ ìîæíà
çìåíøèòè, çá³ëüøèâøè òî÷í³ñòü îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ �
çà óìîâè (9). ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì
E a x2 ( ; ) äëÿ � � 0 00003. îòðèìàíî çà 72 ³òåðàö³¿:
E a x e x x
2
1 325071275 0 90000004752 921555346
2
( ; ) . . .� � . (13)
Íàáëèæåííÿ (13) çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó â³äòâîðåííÿ çíà÷åíü ôóíê-
ö³¿ y x( ), ÿêà äîð³âíþº 7.4895%.  åêñòðåìàëüíèõ òî÷êàõ â³äíîñíà ïîõèáêà
íàáëèæåííÿ ìຠâèãëÿä
(0., — 0.07478014822), (0.5, 0.07489517546),
(1.5, — 0.07489517625), (2.0, 0.07479609998). (14)
²ç (14) âèïëèâàº, ùî ç ï³äâèùåííÿì òî÷íîñò³ îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íà-
áëèæåííÿ åêñòðåìàëüí³ òî÷êè ïîõèáêè íàáëèæåííÿ íå çì³íèëèñÿ, à ðîçá³æí³ñòü
¿õí³õ çíà÷åíü çà ìîäóëåì çìåíøèëàñü.
Ïðèêëàä 2. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ áåòà-ôóíêö³¿ Åéëåðà
B x y
x y
x y
( , )
( ) ( )
)
�
� �
� �
,
çàäàíî¿ â òî÷êàõ ( , )x yi j , i � 0 10, , j � 0 10, , äå x ii � �1 01. , y jj � �1 01. , åêñïî-
íåíö³àëüíèì âèðàçîì
E a x y a e
a x y a xy a x y
2 0
1 2 3
2 2
( ; , ) ( ) ( )� � � � �
(15)
ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ.
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ áåòà-ôóíêö³¿ Åéëåðà çà â³ñ³ì
³òåðàö³é (8) äëÿ � � 0 003. îòðèìàíî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (15),
â ÿêîìó
a0 8 38507483092� . , a1 113493568422�
. , a2 0 405571471776�
. ,
a3 � 0.279093111615. (16)
Öå íàáëèæåííÿ çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ áåòà-ôóíêö³¿ B x y( , ),
ÿêà äîð³âíþº 1.1%.
Âèãëÿä ïîâåðõí³ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (15)
ç êîåô³ö³ºíòàìè (16) ïîäàíî íà ðèñ. 2.
Ïðèêëàä 3. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿
z x y t e x y t xyt
2
0 5 2 2 2
( , , ) . ( ) sin( )� � � � , çàäàíî¿ â òî÷-
êàõ ( , , )x y ti j r , i � 0 10, , j � 0 10, , r � 0 10, , äå
x ii � 0 1. , y jj � 0 1. , t rr � 0 1. , åêñïîíåíö³àëüíèì
âèðàçîì
E a x y a e
a x y t a xyt
2 0
1 2( ; , ) ( )� � � �
ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ.
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó
äëÿ � � 0 003. çà â³ñ³ì ³òåðàö³é îòðèìàíî äëÿ
ôóíêö³¿ z x y t2 ( , , ) íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëü-
íèì âèðàçîì
E a x y t2 ( ; , , ) �
� � � �0 828015993 0 5000037777 0 831658188. ,. ( ) .e x y t xyt
ÿêèé çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåí-
íÿ 18%.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 111
Ðèñ. 2. Ïîâåðõíÿ ïîõèáêè ÷åáèøîâ-
ñüêîãî íàáëèæåííÿ áåòà-ôóíêö³¿ Åéëåðà
åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (16) ç â³ä-
íîñíîþ ïîõèáêîþ
x
y
�
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ òàáëè÷íî çàäàíèõ äîäàòíèõ
ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ f X( ) åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì (1) ç â³äíîñíîþ
ïîõèáêîþ ´ðóíòóºòüñÿ íà ³äå¿ çàñòîñóâàííÿ ïðîì³æíîãî ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (2) ôóíêö³¿ f X f Xl ( ) ln( ( ))� ç àáñîëþòíîþ
ïîõèáêîþ. Çàïðîïîíîâàíèé ìåòîä çàáåçïå÷óº ìîæëèâ³ñòü îá÷èñëåííÿ ÷åáèøî-
âñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëüíèì âèðàçîì ç íåîáõ³äíîþ òî÷í³ñòþ. Ðå-
çóëüòàòè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â ï³äòâåðäæóþòü äîñèòü øâèäêó
çá³æí³ñòü ìåòîäó ï³ä ÷àñ ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ åêñïîíåíö³àëü-
íèì âèðàçîì ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ äëÿ ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ ³ òðüîõ çì³ííèõ.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Cavoretto R. A numerical algorithm for multidimensional modeling of scattered data points. Comp.
Appl. Math. 2015. Vol. 34. P. 65–80.
2. Iske A. Approximation theory and algorithms for data analysis. New York: Springer, 2018.
3. Kalenchuk-Porkhanova A.A. Best Chebyshev approximation of functions of one and many variables.
Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, N 6. P. 988–996.
4. Êîëëàòö Ë., Êðàáñ Â. Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. ×åáûøåâñêèå ïðèáëèæåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ.
Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 272 ñ.
5. Dunham C.B. Approximation with one (or few) parameters nonlinear. Journal of Computational and
Applied Mathematics. 1988. Vol. 21, N 1. P. 115–118.
6. Braess D. Nonlinear approximation theory. Berlin; Heidelberg: Springer–Verlag, 1986.
7. DeVore R. Nonlinear approximation. Acta Numerica. Cambridge University Press. 1998. Vol. 7.
P. 51–150.
8. DeVore R.A. , Kunoth A. Nonlinear approximation and its applications. In multscale, nonlinear and
adaptive approximation. Berlin; Heidelberg: Springer–Verlag, 2009. P. 169–201.
9. Temlyakov V. Nonlinear methods of approximation. J. of FOCM. 2003. Vol. 3. P. 33–107.
10. Ëþê Þ. Ñïåöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ôóíêöèè è èõ àïïðîêñèìàöèè. Ìîñêâà: Ìèð, 1980. 608 ñ.
11. Ïîïîâ Á.À., Òåñëåð Ã.Ñ. Âû÷èñëåíèå ôóíêöèé íà ÝÂÌ. Ñïðàâî÷íèê. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1984.
599 ñ.
12. Ïîïîâ Á.À., Òåñëåð Ã.Ñ. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1980. 352 ñ.
13. Dunham C.B. Difficulties in fitting scientific data. ACM SIGNUM Newsletter. 1990. Vol. 25, N 3.
P. 15–20.
14. Êàëåí÷óê-Ïîðõàíîâà À.Î., Âàêàë Ë.Ï. ³äòâîðåííÿ ôóíêö³îíàëüíèõ çàëåæíîñòåé íà îñíîâ³
íåë³í³éíèõ íàáëèæåíü äåÿêèõ âèä³â. Abstracts of International Conf. “Problems of decision
making under uncertainties.” 21–25 May 2007. Chernivtsi, Ukraine, 2007. P. 135–137.
15. Zuowei Shen, Haizhao Yang, and Shijun Zhang. Nonlinear approximation via compositions. Neural
Networks. Vol. 119, Nov. 2019. P. 74–84.
16. Malachivskyy P.S., Pizyur Ya.V., Danchak N.V., Orazov E.B. Chebyshev approximation
by exponential-power expression. Cybernetics and Systems Analysis. 2013. Vol. 49, N 6. P. 877–881.
17. Malachivskyy P.S., Pizyur Ya.V., Danchak N.V., Orazov E.B. Chebyshev approximation
by exponential expression with relative error. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 2.
P. 286–290.
18. Malachivskyy P.S., Matviychuk Y.N., Pizyur Ya.V., Malachivskyi R.P. Uniform approximation of
functions of two variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 426–431.
19. Malachivskyy P.S., Pizyur Ya.V., Malachivskyi R.P., and Ukhanska O.M. Chebyshev approximation
of functions of several variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2020. Vol. 56, N 1. P. 76–86.
112 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
20. Ðåìeç Å.ß. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1969.
623 ñ.
21. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ì³í³ìàêñíå ñïëàéí-íàáëèæåííÿ.
Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2013. 270 ñ.
22. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., ϳçþð ß.Â. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ â ñåðåäîâèù³ Maple. Ëüâ³â: “ÐÀÑÒÐ – 7”,
2016. 282 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 11.09.2020
Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Ë.Ñ. Ìåëüíû÷îê, ß.Â. Ïèçþð
×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ
ÔÓÍÊÖÈÉ ÌÍÎÃÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ýêñ-
ïîíåíöèàëüíûì âûðàæåíèåì ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñ îòíîñèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòüþ. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñòðîåíèè ïðîìåæóòî÷íîãî ÷åáûøåâñêî-
ãî ïðèáëèæåíèÿ îáîáùåííûì ïîëèíîìîì çíà÷åíèé ëîãàðèôìà ôóíêöèè
ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ
ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ îáîáùåííûì ïîëèíîìîì èñïîëüçîâàíà èòåðà-
öèîííàÿ ñõåìà íà îñíîâå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïåðåìåííîé âåñî-
âîé ôóíêöèåé. Ïðåäñòàâëåííûå ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òåñòîâûõ ïðèìåðîâ
ïîäòâåðæäàþò áûñòðóþ ñõîäèìîñòü ìåòîäà ïðè ðàñ÷åòå ïàðàìåòðîâ ÷åáû-
øåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ òàáëè÷íî çàäàííûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé îäíîé,
äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ÷åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíûì âûðàæåíè-
åì, ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, ñðåäíåñòåïåííîå ïðèáëèæåíèå, ìåòîä
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïåðåìåííàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.
P.S. Malachivskyy, L.S. Melnychok, Ya.V. Pizyur
CHEBYSHEV APPROXIMATION OF THE MULTIVARIABLE FUNCTIONS
BY THE EXPONENTIAL EXPRESSION
Abstract. A method for constructing the Chebyshev approximation by the
exponential expression of the multivariable functions with relative error is
proposed. It generates an intermediate Chebyshev approximation by
a polynomial of the values of the logarithm of a function with absolute error.
An iterative scheme based on the least squares method with a variable weight
function was used to construct a Chebyshev approximation of the multivariable
functions by a generalized polynomial. The presented results of the solution of
test examples confirm the fast convergence of the method when calculating the
parameters of the Chebyshev approximation of table-defined continuous
functions of one, two, and three variables.
Keywords: Chebyshev approximation by the exponential expression,
multivariable functions, mean-power approximation, least squares method,
variable weight function.
Ìàëà÷³âñüêèé Ïåòðî Ñòåôàíîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîâ³äíèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Öåíòðó ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ
²íñòèòóòó ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. ß.Ñ. ϳäñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â,
e-mail: Petro.Malachivskyy@gmail.com.
Ìåëüíè÷îê Ëåâ Ñòåïàíîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Öåíòðó ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ
²íñòèòóòó ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. ß.Ñ. ϳäñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â,
e-mail: levkom@gmail.com.
ϳçþð ßðîïîëê Âîëîäèìèðîâè÷,
êàäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», Ëüâ³â,
e-mail: yaropolk.v.piziur@lpnu.ua.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 113
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190704 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:27:06Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малачівський, П.С. Мельничок, Л.С. Пізюр Я.В. 2023-06-20T11:43:06Z 2023-06-20T11:43:06Z 2021 Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Л.С. Мельничок, Я.В. Пізюр // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 106–113. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190704 519.65 Запропоновано метод побудови чебишовського наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних з відносною похибкою. Він полягає в побудові проміжного чебишовського наближення узагальненим поліномом значень логарифма функції з абсолютною похибкою. Для побудови чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом використано ітераційну схему на основі методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Подані результати розв’язування тестових прикладів підтверджують швидку збіжність методу під час обчислення параметрів чебишовського наближення таблично заданих неперервних функцій однієї, двох і трьох змінних. Предложен метод построения чебышевского приближения экспоненциальным выражением функций многих переменных с относительной погрешностью. Он заключается в построении промежуточного чебышевского приближения обобщенным полиномом значений логарифма функции с абсолютной погрешностью. Для построения чебышевского приближения функций многих переменных обобщенным полиномом использована итерационная схема на основе метода наименьших квадратов с переменной весовой функцией. Представленные результаты решения тестовых примеров подтверждают быструю сходимость метода при расчете параметров чебышевского приближения таблично заданных непрерывных функций одной, двух и трех переменных. A method for constructing the Chebyshev approximation by the exponential expression of the multivariable functions with relative error is proposed. It generates an intermediate Chebyshev approximation by a polynomial of the values of the logarithm of a function with absolute error. An iterative scheme based on the least squares method with a variable weight function was used to construct a Chebyshev approximation of the multivariable functions by a generalized polynomial. The presented results of the solution of test examples confirm the fast convergence of the method when calculating the parameters of the Chebyshev approximation of table-defined continuous functions of one, two, and three variables. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних Чебышевское приближение экспоненциальным выражением функций многих переменных Chebyshev approximation of the multivariable functions by the exponential expression Article published earlier |
| spellingShingle | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних Малачівський, П.С. Мельничок, Л.С. Пізюр Я.В. Системний аналіз |
| title | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| title_alt | Чебышевское приближение экспоненциальным выражением функций многих переменных Chebyshev approximation of the multivariable functions by the exponential expression |
| title_full | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| title_fullStr | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| title_full_unstemmed | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| title_short | Чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| title_sort | чебишовське наближення експоненціальним виразом функцій багатьох змінних |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190704 |
| work_keys_str_mv | AT malačívsʹkiips čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnimvirazomfunkcíibagatʹohzmínnih AT melʹničokls čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnimvirazomfunkcíibagatʹohzmínnih AT pízûrâv čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnimvirazomfunkcíibagatʹohzmínnih AT malačívsʹkiips čebyševskoepribliženieéksponencialʹnymvyraženiemfunkciimnogihperemennyh AT melʹničokls čebyševskoepribliženieéksponencialʹnymvyraženiemfunkciimnogihperemennyh AT pízûrâv čebyševskoepribliženieéksponencialʹnymvyraženiemfunkciimnogihperemennyh AT malačívsʹkiips chebyshevapproximationofthemultivariablefunctionsbytheexponentialexpression AT melʹničokls chebyshevapproximationofthemultivariablefunctionsbytheexponentialexpression AT pízûrâv chebyshevapproximationofthemultivariablefunctionsbytheexponentialexpression |