Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій
Розглянуто метод томографічної реконструкції неоднорідностей у випадку довільної діаграми напрямленості та сканування за однією координатою. Показано, що у цьому разі реєстровані дані (проєкції) записують у вигляді суми порядкових згорток діаграми напрямленості та відповідної ділянки відновлюваного...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кібернетика та системний аналіз |
|---|---|
| Дата: | 2021 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2021
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190708 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій / A.Б. Лозинський, І.М. Романишин, Б.П. Русин // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 144–151. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243177137504256 |
|---|---|
| author | Лозинський, A.Б. Романишин, І.М. Русин, Б.П. |
| author_facet | Лозинський, A.Б. Романишин, І.М. Русин, Б.П. |
| citation_txt | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій / A.Б. Лозинський, І.М. Романишин, Б.П. Русин // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 144–151. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кібернетика та системний аналіз |
| description | Розглянуто метод томографічної реконструкції неоднорідностей у випадку довільної діаграми напрямленості та сканування за однією координатою. Показано, що у цьому разі реєстровані дані (проєкції) записують у вигляді суми порядкових згорток діаграми напрямленості та відповідної ділянки відновлюваного розподілу. Проаналізовано особливості проєкційних даних, зворотних проєкцій. Пропонується будувати сумарне зображення у вигляді адитивного або кон’юнктивного об’єднання результатів зворотного проєктування для різних діаграм напрямленості. Запропоновано ітераційну процедуру побудови послідовних наближень до шуканого розв’язку.
Изложен метод томографической реконструкции неоднородностей в случае произвольной диаграммы направленности и сканирования по одной координате. Показано, что в этом случае зарегистрированные данные (проекции) записываются в виде суммы построчечных сверток строк диаграммы направленности и соответствующего участка восстанавливаемого распределения. Проанализированы особенности проекционных данных, обратных проекций. Предложено строить «суммарное» изображение в видеаддитивного або конъюнктивного объединения результатов обратного проецирования для разных диаграмм направленности. Предложена итерационная процедура построения последовательных приближений к искомому решению.
The method of tomographic reconstruction of inhomogeneities in the case of an arbitrary directional diagram and scanning along one coordinate is described. It is shown that in this case registered data (projections) are represented as the sum of the line-by-line convolutions of the lines of the directional diagram and the corresponding line of the reconstructed distribution. The features of projection data, backprojections are analyzed. It is proposed to construct a cumulative image as an additive or conjunctive combination of the back projection results for different orientation diagrams. An iterative procedure for constructing sequential approximations to the desired solution is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
A.Á. ËÎÇÈÍÑÜÊÈÉ, ².Ì. ÐÎÌÀÍÈØÈÍ, Á.Ï. ÐÓÑÈÍ
ÒÎÌÎÃÐÀÔ²×ÍŠ²ÄÍÎÂËÅÍÍß ÇÎÁÐÀÆÅÍÜ
ÍÀ ÎÑÍβ ÓÇÀÃÀËÜÍÅÍÈÕ ÏÐΪÊÖ²É
Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ìåòîä òîìîãðàô³÷íî¿ ðåêîíñòðóêö³¿ íåîäíîð³äíîñòåé
ó âèïàäêó äîâ³ëüíî¿ ä³àãðàìè íàïðÿìëåíîñò³ òà ñêàíóâàííÿ çà îäí³ºþ êîîð-
äèíàòîþ. Ïîêàçàíî, ùî ó öüîìó ðàç³ ðåºñòðîâàí³ äàí³ (ïðîºêö³¿) çàïèñóþòü
ó âèãëÿä³ ñóìè ïîðÿäêîâèõ çãîðòîê ä³àãðàìè íàïðÿìëåíîñò³ òà â³äïîâ³äíî¿
ä³ëÿíêè â³äíîâëþâàíîãî ðîçïîä³ëó. Ïðîàíàë³çîâàíî îñîáëèâîñò³ ïðîºêö³éíèõ
äàíèõ, çâîðîòíèõ ïðîºêö³é. Ïðîïîíóºòüñÿ áóäóâàòè ñóìàðíå çîáðàæåííÿ
ó âèãëÿä³ àäèòèâíîãî àáî êîí’þíêòèâíîãî îá’ºäíàííÿ ðåçóëüòàò³â çâîðîò-
íîãî ïðîºêòóâàííÿ äëÿ ð³çíèõ ä³àãðàì íàïðÿìëåíîñò³. Çàïðîïîíîâàíî ³òå-
ðàö³éíó ïðîöåäóðó ïîáóäîâè ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü äî øóêàíîãî ðîçâ’ÿçêó.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: òîìîãðàô³÷íå â³äíîâëåííÿ, ïðîñòîðîâèé ðîçïîä³ë, ä³àãðàìà
íàïðÿìëåíîñò³, çãîðòêà, çâîðîòíå ïðîºêòóâàííÿ, ñóìàðíå çîáðàæåííÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀײ
Ç ðîçâèòêîì êîìï’þòåðíèõ çàñîá³â òà ³íôîðìàö³éíèõ òåõíîëîã³é ïî÷àëè ³íòåí-
ñèâíî ðîçâèâàòèñÿ ³ øèðîêî âïðîâàäæóâàòèñÿ ìåòîäè êîìï’þòåðíî¿ òîìîãðàô³¿
ó áàãàòüîõ ãàëóçÿõ íàóêè ³ òåõí³êè [1–6]. Òîìîãðàô³ÿ ïðèçíà÷åíà âèð³øóâàòè
êëàñ çàäà÷ âèÿâëåííÿ âíóòð³øíüîãî ðîçïîä³ëó õàðàêòåðèñòèê ñåðåäîâèùà íà
ï³äñòàâ³ äàíèõ, îòðèìàíèõ çîíäóâàííÿì.
Êëàñè÷íà òîìîãðàô³ÿ ãðóíòóºòüñÿ íà çàñòîñóâàíí³ ïåðåòâîðåííÿ Ðàäîíà [1, 2]:
R M x y L x y dxdy( , ) ( , ) ( , )� � ��� �� ,
L x y x y�� � � � �( , ) ( cos sin )� � � .
Îäíèì ç íàéá³ëüø âæèâàíèõ ìåòîä³â â³äíîâëåííÿ çîáðàæåííÿ íà îñíîâ³
ïðîºêö³éíèõ äàíèõ R ( , )� � º ìåòîä çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ ³ ïîáóäîâè ñóìàð-
íîãî çîáðàæåííÿ [6]
M x y R L x y d d
Rad
SUM ( , ) ( , ) ( , ) .� ��
1
2�
� � � ���
Ñóìàðíå çîáðàæåííÿ â³äïîâ³äຠâèõ³äíèì çîáðàæåííÿì ÷åðåç �-ô³ëüòð [7]
M x y M x y( , ) � ( , )� � ��
Rad
SUM .
Åôåêòèâí³ñòü çàñòîñóâàííÿ òîìîãðàô³÷íèõ ìåòîä³â ³ çàñîá³â âèçíà÷àºòüñÿ
ãåîìåòð³ºþ îá’ºêòó òà â³äïîâ³äíîþ ñõåìîþ çáîðó äàíèõ.
Ó òîìîãðàô³¿ ÷àñòî âèêîðèñòîâóþòü òàêó ñõåìó çáîðó äàíèõ. Ô³êñóþòü ïåâ-
íèé êóò � ³ çáèðàþòü ïðîºêö³éí³ äàí³ âñ³õ �. Âíàñë³äîê öüîãî êóò çì³íþºòüñÿ ³
ïðîöåñ çáîðó äàíèõ ïîâòîðþºòüñÿ. Çàçíà÷èìî, ùî ïðè ô³êñîâàíîìó � ë³í³¿
L x y�� ( , ) äëÿ ð³çíèõ � ïàðàëåëüí³ ì³æ ñîáîþ ³ çñóíóò³ ïî êîîðäèíàò³ x (àáî ïî y).
Ïîçíà÷èìî ¿õ L x y� ( , ) ³ ñòîñîâíî êîæíîãî � çàïèøåìî
R x M L x d d� �� � � � � �( ) ( , ) ( , ) ,� ���
L x y x y� � � �( , ) ( cos ),� � sin
R x R x� � �( ) ( cos , ).� (1)
144 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
© À.Á. Ëîçèíñüêèé, I.Ì. Ðîìàíèøèí, Á.Ï Ðóñèí, 2021
Äëÿ çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ ³ ïîáóäîâè ñóìàðíîãî çîáðàæåííÿ ìàºìî
M x y R L x y d� � �� � �inv ( , ) ( ) ( , ) ,� ��
M x y M x y d
Rad
SUM inv
{ }
( , ) cos ( , ) ,� � � ��
�
M x y M x y( , ) � ( , ) .� � ��
Rad
SUM
Îäíàê ðåçóëüòàò äâîâèì³ðíîãî çîíäóâàííÿ (ñêàíóâàííÿ) ó äåÿêèõ ïðàêòè÷-
íèõ çàäà÷àõ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿä³ çãîðòêè ïðîñòîðîâîãî ðîçïîä³ëó ïàðà-
ìåòðà M x y( , ) ç «äçåðêàëüíîþ» ä³àãðàìîþ íàïðÿìëåíîñò³ ñèñòåìè ðåºñòðàö³¿
~
( , ) ( , )D x y D x y� � � [8]:
s M D d d� �� ( , ) ( , ) ,� � � � � �
S x y M D x y d d( , ) ( , ) ( , )� � ��� � � � � � ��
S x y M D x y d d( , ) ( , )
~
( , ) ,� � ��� � � � � � �
S x y D x y M x y( , )
~
( , ) ( , ).� �
Ó äåÿêèõ âèïàäêàõ çá³ð äàíèõ çä³éñíþºòüñÿ äëÿ âñ³õ çì³ùåíü ïî êîîðäèíàò³
x ó ðàç³ ô³êñîâàíîãî y ïîä³áíî äî âèçíà÷åíî¿ âèùå ñõåìè. Óçàãàëüíèìî âèãëÿä
ä³àãðàìè D x y( , ) ³ âíåñåìî ó ¿¿ âèãëÿä çñóâ ïî êîîðäèíàò³ y (äâ³ ä³àãðàìè, ÿê³
â³äð³çíÿþòüñÿ ò³ëüêè çñóâîì ïî y, ââàæàòèìåìî ð³çíèìè):
S x M D x d dD ( ) ( , )
~
( , ) ,� �� � � � � � �
S x D M x yD ( ) � ( , )� � � . (2)
Îòæå, îòðèìóºìî âèðàç, àíàëîã³÷íèé (1); öå çóìîâëþº ïðåäñòàâèòè ³ çâîðîò-
íå ïåðåòâîðåííÿ ÷åðåç ñóìàðíå çîáðàæåííÿ, íàïðèêëàä
M x y D S x
D D
inv ( , ) � ( ) ,� �1
M x y A M x y M x yAVR inv inv( , ) � ( , ), ( , ), ... ,� � �
D1 D2
M x y B M x y( , ) � ( , ) ,� � �AVR
(3)
òîáòî çà äîïîìîãîþ ïåâíîãî îïåðàòîðà çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ �D �1,
îá’ºäíàííÿ çâîðîòíèõ ïðîºêö³é ç óñüîãî íàáîðó ä³àãðàì îïåðàòîðîì �A ³ çàñòî-
ñóâàííÿ êîðåêòóþ÷îãî îïåðàòîðà �B. Âèðàç (3) º ñïðàâåäëèâèì ïðèíàéìí³ ó
äâîõ âèïàäêàõ:
1) äëÿ ïåðåòâîðåííÿ Ðàäîíà, êîëè çà íàá³ð ä³àãðàì âèçíà÷àºòüñÿ íàá³ð ïðÿ-
ìèõ L x y� ( , ), òîä³ çàñòîñóâàííÿ �D �1îçíà÷àòèìå çãîðòêó S LD * � ïî êîîðäèíàò³ x,
� ( ): ( )A
�
{ }D
³ � �B � �;
2) äëÿ íàáîðó ä³àãðàì ó âèãëÿä³ äåëüòà-ôóíêö³é ïðè êîæíîìó y, òîáòî êîëè
êîæíà ä³àãðàìà º äâîâèì³ðíîþ äåëüòà-ôóíêö³ºþ
D x y x x y yy� �( , ) ( ~ , ~ )� � �2 , (4)
òîä³ �D D� �1
� , � ( ): ( )A
�
{ }D
ÿê ³ äëÿ ïðÿìèõ, à îïåðàòîð �B â³äñóòí³é, òîáòî
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 145
M x y M x y( , ) ( , )� AVR . Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âèðàç (3) íåîáõ³äíî äîñë³äèòè
á³ëüø äåòàëüíî.
ÏÐßÌÅ ÏÐΪÊÒÓÂÀÍÍß
Âèðàç S xD ( )� ó ð³âíÿííÿõ (2), (3) º óçàãàëüíåíîþ ïðîºêö³ºþ îá’ºêòà ùîäî
ä³àãðàìè D. Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå âèðàç (2). ×åðåç òå, ùî çãîðòêà â³äáó-
âàºòüñÿ ò³ëüêè çà êîîðäèíàòîþ x, ïîäàìî éîãî ó âèãëÿä³
S x M x D xy y
y
D ( ) ( ) ( )� � �
{ }
, (5)
òîáòî ïðîºêö³ÿ ðîçêëàäàºòüñÿ íà ñóìó îäíîâèì³ðíèõ çãîðòîê îêðåìèõ ðÿäê³â
çîáðàæåííÿ ³ç â³äïîâ³äíèìè ðÿäêàìè ä³àãðàìè. Ç âèðàçó (5) âèïëèâàþòü òàê³
âàæëèâ³ íàñë³äêè.
Íàñë³äîê 1. ßêùî äëÿ äåÿêîãî y ðÿäîê ä³àãðàìè ïîðîæí³é — ì³ñòèòü ò³ëüêè
íóë³, òî â³äïîâ³äíèé ðÿäîê âèõ³äíîãî çîáðàæåííÿ íå âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó ôîðìó-
âàíí³ ïðîºêö³¿.
Íàñë³äîê 2. ßêùî ó ðÿäêàõ ä³àãðàìè ìîæíà âèîêðåìèòè íåçàëåæíó â³ä y
ñï³ëüíó ÷àñòèíó, òî ¿¿ ìîæíà «âèíåñòè çà äóæêè» ³ îá’ºäíàòè ³ç çîáðàæåííÿì.
Ó öüîìó ðàç³ ïðîºêö³ÿ íåñå ³íôîðìàö³þ íå ïðî ñàì³ åëåìåíòè âèõ³äíîãî çîáðà-
æåííÿ, à ò³ëüêè ïðî åëåìåíòè éîãî ìîäèô³êîâàíèõ ðÿäê³â.
Íàïðèêëàä, ä³àãðàìà ÿâëÿº ñîáîþ ñìóãó ç ïðîô³ëåì
�f x âçäîâæ ïðÿìî¿ ë³í³¿
x g y ky y� � �( ) 0 , òîáòî D x f x g y f x x g yy ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]� � � � �� . Òàêà ä³àãðàìà
ôîðìóº ïðîºêö³þ [9]
S x M x f x x g y M x f xD y
y
y( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [� � � � � � � � �
{ } { }
{ }
� � x g y
y
�
( )].
{ }
(6)
Âèðàç (6) â³äïîâ³äຠðàäîí³âñüê³é ïðîºêö³¿ (1) âçäîâæ ïðÿìî¿ x g y� ( ) âèõ³äíî-
ãî çîáðàæåííÿ, êîæíèé ðÿäîê ÿêîãî çãîðíóòèé ç ôóíêö³ºþ ïðîô³ëþ ñìóãè
ä³àãðàìè.
ÇÂÎÐÎÒÍÅ ÏÐΪÊÒÓÂÀÍÍß
гâíÿííÿ (2) âèçíà÷ຠïðîºêö³ºþ S D îá’ºêòà M äëÿ ä³àãðàìè D. Çà çâîðîòíó
ïðîºêö³þ âèêîðèñòîâóºìî òàêå M
D
inv , ÿêå òàêîæ çàäîâîëüíÿº öå ð³âíÿííÿ:
M D x d d S x M x D x d d
D D
inv ( , )
~
( , ) ( ) ( , )
~
( , ) � � � � � � � � ��� ��� . (7)
Âî÷åâèäü, ùî ð³âíÿííÿ (7) çàëåæíî â³ä âèãëÿäêó ä³àãðàì ìàòèìå áàãàòî ðîç-
â’ÿçê³â. Òîìó ó ðàç³ çâóæåííÿ îáëàñò³ éîãî ðîçâ’ÿçê³â çâîðîòíó ïðîºêö³þ M
D
inv
(íà îñíîâ³ â³äîìèõ D òà S D ) ôîðìóºìî çà ïåâíèìè ïðàâèëàìè, çàëó÷àºìî äîñòóï-
íó àïð³îðíó ³íôîðìàö³þ òà íàêëàäàºìî àðãóìåíòîâàí³ çàäà÷åþ îáìåæåííÿ, ùî
ìîæå çóìîâèòè â³äñóòí³ñòü ðîçâ’ÿçêó. Ó öüîìó ðàç³ ïîòð³áíî ì³í³ì³çóâàòè
ôóíêö³îíàë
M D x d d S x
D D
M
inv
inv
( , ) ( , ) ( ) min � � �� � �� .
Çì³ñò ð³âíÿííÿ (7) çðó÷íî ïîäàòè â îïåðàòîðí³é ôîðì³:
S x D M x yD ( ) � ( , )� � � ,
M x y D S x D D M x y
D D
inv ( , ) � ( ) � � ( , )� � � � � �� �1 1 ,
146 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
äå ÷åðåç îïåðàòîð �D ïîçíà÷åíà îïåðàö³ÿ çãîðòêè ç ä³àãðàìîþ D x y( , ), à ÷åðåç
îïåðàòîð �D �1 — çâîðîòíå ïåðåòâîðåííÿ. ßêùî øóêàòè éîãî ó âèãëÿä³ çãîðòêè
çà êîîðäèíàòîþ x ç ïåâíîþ çâîðîòíîþ ä³àãðàìîþ D x y�1 ( , ), òî íà ï³äñòàâ³ (7)
ìàºìî
S x D x M x D x M x D x D x SD y y y yD y y D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � ��inv 1 ( )x ,
çâ³äêè (äëÿ íåïîðîæí³õ D y)
D x D x xy y( ) ( ) ( )� ��1 � . (8)
Öå îçíà÷àº, ùî D y
�1 äëÿ êîæíîãî y ìîæå ðîçðàõîâóâàòèñÿ ÿê îïåðàòîð äåêîíâî-
ëþö³¿ äëÿ â³äïîâ³äíîãî îäíîâèì³ðíîãî îïåðàòîðà çãîðòêè D y . Ãåîìåòðè÷íèì
ì³ñöåì òî÷îê äåëüòà-ôóíêö³é (8) íà îá’ºêòí³é ïëîùèí³ ( , )x y º ïðÿìà x � 0. Ç âèðà-
çó (8) âèïëèâàº, ùî ÿêùî D y ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿä³ D aDy y� 0 , òî
D
a
Dy y
� ��1
0
11
.
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó çíàõîäæåííÿ çâîðîòíî¿ ä³àãðàìè D �1 äëÿ â³äîìî¿ D º íå-
òðèâ³àëüíîþ çàäà÷åþ, òîìó âàðòî ðîçãëÿíóòè äåòàëüí³øå îêðåì³ ¿¿ âàð³àíòè. Çàçíà÷è-
ìî, ùî êîëè ä³àãðàìà D ñêëàäàºòüñÿ ç äåëüòà-ôóíêö³é ó âèãëÿä³ (4), òîáòî D D� � , òî
D D� �1 .
Ñòîñîâíî ä³àãðàì ó âèãëÿä³ ïðÿìèõ L� (ðàäîí³âñüêå ïðîºêóâàííÿ, äèâ. (1)) öå
ñï³ââ³äíîøåííÿ òàêîæ âèêîíóºòüñÿ. Öèì ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ ³ ó âèïàäêàõ, êîëè ä³à-
ãðàìó D ç ïåâíèì íàáëèæåííÿì ìîæíà ââàæàòè áëèçüêîþ äî D� . Ñòóï³íü â³ä-
ïîâ³äíîñò³ ó öüîìó ðàç³ çðó÷íî îö³íþâàòè çà ì³ðîþ âèêîíàííÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ (8).
Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (5) ó âèãëÿä³
S x S xD yD
y
( ) ( )�
{ }
, (9)
S x D x M xyD y y( ) ( ) ( )� � ,
äå S xyD ( ) ïîçíà÷èìî âêëàä ðÿäêà M xy ( ) ó ñóìàðíèé â³äãóê òîìîãðàô³÷íî¿
ñèñòåìè S xD ( ). Âî÷åâèäü, ùî çà óìîâè (8) âèêîíóºòüñÿ ³ ð³âí³ñòü
D x S x M xy yD y
� � �1 ( ) ( ) ( ) ,
òîáòî çâîðîòíà ïðîºêö³ÿ M
D
inv ïðè êîæíîìó y ì³ñòèòü íåñïîòâîðåíå çîáðàæåííÿ
ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ðÿäêà M y . Àëå äëÿ òîìîãðàô³÷íî¿ ñèñòåìè ïàðö³àëüí³ ñïîñòå-
ðåæåííÿ S xyD ( ) íåäîñòóïí³, à äîñòóïíèì º ò³ëüêè ñóìàðíèé â³äãóê S xD ( ). Îòæå,
êîæåí ðÿäîê çâîðîòíî¿ ïðîºêö³¿ M
yD
inv º ñóìîþ ÿê M y , òàê ³ àðòåôàêò³â M
yD
art :
M x M x M x
yD y yD
inv art( ) ( ) ( )� � ,
M x D x S x S x
yD y D yD
art ( ) ( ) [ ( ) ( )]� � ��1
àáî ç óðàõóâàííÿì (9)
M x D x D x M x D x D x M
yD y y
inv
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �� �
1 1
� �
�
� � ( )x
{ }�
,
M x y D x D x M x
yD y
art
{ }
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ,� � � � ��
1 1� � � �
�
(10)
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 147
äå íåñïîòâîðåíà ÷àñòèíà çîáðàæåííÿ ôîðìóºòüñÿ ïðè � � y çà äîïîìîãîþ
óçãîäæåíèõ ïî y ðÿäê³â îïåðàòîð³â D ³ D �1, à ñïîòâîðåííÿ M
yD
art âèíèêàþòü
ïðè � � y. Îòæå, õàðàêòåð ñïîòâîðåíü ñóâîðî âèçíà÷åíèé ñòðóêòóðîþ ä³àãðàìè
ñèñòåìè ðåºñòðàö³¿ ³ éîãî ìîæíà êîìïåíñóâàòè ó äåÿêèõ ñïåö³àëüíèõ âèïàäêàõ.
ÎÁ’ªÄÍÀÍÍß ÇÂÎÐÎÒÍÈÕ ÏÐΪÊÖ²É. ÑÓÌÀÐÍÅ ² ÊÎÍ’ÞÍÊÒÈÂÍÅ ÇÎÁÐÀÆÅÍÍß
Âèðàç (8) âèçíà÷ຠîá’ºäíàííÿ çâîðîòíèõ ïðîºêö³é M AVR çà íàáîðîì ä³àãðàì D
çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðà �A. Ó òîìîãðàô³¿ çàçâè÷àé âèêîðèñòîâóþòü ó òàêîìó
ðàç³ àðèôìåòè÷íå ñåðåäíº. Öå âèïðàâäàíî ÷åðåç òå, ùî çà óìîâè (8) êîæíà
çâîðîòíà ïðîºêö³ÿ M
D
inv äëÿ êîæíîãî y º ñóìîþ íåñïîòâîðåíîãî çîáðàæåííÿ
ðÿäêà M y ³ àðòåôàêò³â M
yD
art (10). Ïðè àðèôìåòè÷íîìó óñåðåäíåíí³ çîáðàæåí-
íÿ ðÿäê³â M y íàêîïè÷óþòüñÿ êîãåðåíòíî íà â³äì³íó â³ä M
yD
art , ùî çá³ëüøóº
¿õíº â³äíîøåííÿ.
Ðîçãëÿíåìî ñóìó çâîðîòíèõ ïðîºêö³é ó ðàç³ îäíîãî çíà÷åííÿ y (ñóìàðíå çîá-
ðàæåííÿ îäíîãî ðÿäêà M y
SUM) äëÿ N äîâ³ëüíèõ ä³àãðàì Di :
M x
N
M x M x M xy yD yD yDN
SUM inv inv inv( ) [ ( ) ( ) ( )]� � � � �
1
1 2
�
� � � � � � �� � �1
1
1
1 2
1
2
1
N
D x S x D x S x D x S
y D y D Ny DN[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� ( )]x �
� � � ��
1 1
N
D x D x M xiy i
i
N
( ) ( ) ( )� �
�{ }
� � ��
1 1
N
M x D x D xiy i
i
N
� �
�
( ) ( ) ( )
{ }
. (11)
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âèðàç (11) çà êîíêðåòíèì íàáîðîì ä³àãðàì óìîæëèâ-
ëþº âèçíà÷èòè çâ’ÿçîê M SUM ç âèõ³äíèì çîáðàæåííÿì M ³ ïî ìîæëèâîñò³ óñó-
íóòè ñïîòâîðåííÿ, ÿê³ ïðèâíîñÿòüñÿ ó ñóìàðíå çîáðàæåííÿ çãîðòêîþ ç ÿäðîì
D x D xiy i
i
N
� �
1 ( )
~
( )� . Çàçíà÷èìî, ÿêùî ä³àãðàìà ìຠâèãëÿä ïðÿìèõ ë³í³é L� — ðà-
äîí³âñüêîãî ïðîºêóâàííÿ, çãîðòêà ç åëåìåíòîì ÿäðà
D x D x x yy
� � � � �1 ( ) � ( ) [ cos( ) ( ) ( )]� � � � �sin (12)
åêâ³âàëåíòíà çñóâó ïî x, ïðîïîðö³éíîìó ( ) ( )� �� y tg . Òîä³
M x
N
x y M xy i i
i
N
SUM
{ }
sin( ) [ cos ( ) ( ) ( )] ( )� � � � � �
1
� � � � �
�
� � � �
1
N
M x yi i
i
N
�
�
� � �[ cos ( ) ( ) ( )]sin
{ }
� � � � �
1
N
M x x yi i
i
N
�
�
� � � �( ) [ cos ( ) ( ) ( )].sin
{ }
Êð³ì àðèôìåòè÷íîãî ñåðåäíüîãî ó ÿêîñò³ îïåðàòîðà �A ïðèéìàþòü òàêîæ
³ ãåîìåòðè÷íå ñåðåäíº. Îòðèìàíèé ðåçóëüòàò íàçâåìî êîí’þíêòèâíèì çîáðàæåí-
íÿì M CONJ . Àíàëîã³÷íî äî âèðàçó (11) çàïèøåìî
148 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
M x M x M x M xy yD yD yDN
NCONJ inv inv inv( ) [ ( ) ( ) ( )]� �
1 2
�
� � � �� � �D x S x D x S x D x S x
y D y D Ny DN1
1
1 2
1
2
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )�N �
� � ��
� D x D x M xiy i
i
N
N
1 ( )
~
( ) ( )� �
�{ }
. (13)
Âèðàç (13) íàáóâຠñóòòºâî ïðîñò³øîãî âèãëÿäó äëÿ ðàäîí³âñüêîãî ïðîºêòó-
âàííÿ âçäîâæ ë³í³é L� . Ç óðàõóâàííÿì (12) îòðèìóºìî
M x M x yy i i
i
N
N
CONJ
{ }
sin( ) [ cos( ) ( ) ( )]� � �
� �
�
� � � .
Àíàëîã³÷íî äî âèðàç³â (11) ³ (13) ìîæíà îòðèìàòè ³ ðåçóëüòàò äëÿ ³íøèõ
âàð³àíò³â ðåàë³çàö³¿ îïåðàòîðà îá’ºäíàííÿ çâîðîòíèõ ïðîºêö³é
~
A, íàïðèêëàä êîëè
ïîïàðíî çä³éñíþºòüñÿ ñïî÷àòêó ãåîìåòðè÷íå óñåðåäíåííÿ, à äàë³ — àðèôìåòè÷íå.
Âèðàçè (11) ³ (12) îòðèìàíî íà îñíîâ³ ïðèïóùåííÿ, ùî ñêàíóâàííÿ
çä³éñíþºòüñÿ çà êîîðäèíàòîþ x. ßêùî óìîâè åêñïåðèìåíòó äîçâîëÿþòü âèêîíàòè
òàêîæ ñêàíóâàííÿ çà êîîðäèíàòîþ y, òî ïîâí³ñòþ àíàëîã³÷íî ìîæíà îòðèìàòè
çâîðîòí³ ïðîºêö³¿ òàêîæ äëÿ ñòîâïö³â øóêàíîãî çîáðàæåííÿ, à ðåçóëüòàò îäåðæà-
òè çà äîïîìîãîþ óñåðåäíåííÿ óñ³õ çâîðîòíèõ ïðîºêö³é.
×åðåç òå, ùî îòðèìàí³ çàãàëüí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ÿê äëÿ çâîðîòíèõ ïðîºêö³é (10),
òàê ³ çà ðåçóëüòàòîì ¿õí³õ óñåðåäíåíü (11), (13) íå äàþòü çìîãè áåçïîñåðåäíüî îäåð-
æàòè âèõ³äíå çîáðàæåííÿ, íåîáõ³äíå çàñòîñóâàííÿ êîðåêòóþ÷îãî îïåðàòîðà �B (3), çà-
ëåæíîãî â³ä íàáîðó ä³àãðàì, ÿê³ çàñòîñîâàíî äëÿ îòðèìàííÿ ïðîºêö³é.
²ÒÅÐÀÖ²ÉÍÈÉ ÌÅÒÎÄ ÎÒÐÈÌÀÍÍß ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÈÕ ÍÀÁËÈÆÅÍÜ
ÄÎ ØÓÊÀÍÎÃÎ ÐÎÇÂ’ßÇÊÓ
Çàïðîïîíîâàíà òîìîãðàô³÷íà òåõíîëîã³ÿ (2), (3) ïîëÿãຠâ îòðèìàíí³
ïðîºêö³éíèõ äàíèõ
S x D M x yD ( ) � ( , )� � � ,
çâîðîòíîìó ïðîºêòóâàíí³ òà ïîáóäîâ³ ñóìàðíîãî çîáðàæåííÿ:
M x y D S x
D D
inv ( , ) � ( )� � ��1 ,
M x y A M x y M x y
D D
AVR inv inv( , ) � ( , ), ( , ), ...� � �
1 2
.
Ñóìàðíå çîáðàæåííÿ ìîæå áóäóâàòèñÿ àäèòèâíèì (11) àáî êîí’þíê-
òèâíèì (13) îá’ºäíàííÿì ðåçóëüòàò³â çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ.
³äîìî [5], ùî ñóìàðíå çîáðàæåííÿ º ò³ëüêè íèçüêî÷àñòîòíîþ êîﳺþ øóêà-
íîãî ðîçïîä³ëó. Çàïðîïîíóºìî ³òåðàö³éíó ïðîöåäóðó ïîáóäîâè ïîñë³äîâíèõ íà-
áëèæåíü äî øóêàíîãî ðîçïîä³ëó. Çàïèøåìî íåâ’ÿçêó ì³æ ñóìàðíèì çîáðàæåííÿì
³ øóêàíèì ðîçïîä³ëîì:
�M x y M x y M x y( , ) ( , ) ( , )� � AVR .
Âèçíà÷èìî ïðîºêö³þ ó ðàç³ íåâ’ÿçêè:
S x D M x y D M x y M x y
D
� �( ) � ( , ) � ( , ) ( , )� � � � � � � �AVR
� � � � � � � � � �� ( , ) � ( , ) ( ) � ( , )D M x y D M x y S x D M x yD
AVR AVR ,
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 149
ïðîâåäåìî çâîðîòíå ïðîºêòóâàííÿ äëÿ íåâ’ÿçêè
� �M x y D S x
D D
inv ( , ) � ( )� � ��1
òà ïîáóäóºìî ñóìàðíå ¿¿ çîáðàæåííÿ:
� � �M x y A M x y M x y
D D
AVR inv inv( , ) � ( , ), ( , )� � �
1 2
,
äå � �M x y M x y
D D1 2
inv inv( , ), ( , ), ... — çâîðîòí³ ïðîºêö³¿ íåâ’ÿçêè äëÿ ð³çíèõ ä³à-
ãðàì íàïðÿìëåíîñò³.
Çîáðàæåííÿ
M x y M x y M x y
1
AVR AVR AVR( , ) ( , ) ( , )� � �
áóäå ïåðøèì íàáëèæåííÿì äî øóêàíîãî ðîçâ’ÿçêó.
Àíàëîã³÷íî áóäóþòüñÿ âèù³ íàáëèæåííÿ.
×èñåëüíå ìîäåëþâàííÿ äëÿ îêðåìèõ òèïîâèõ ìîäåëüíèõ çîáðàæåíü ï³äòâåð-
äèëî çá³æí³ñòü ³òåðàö³éíî¿ ïðîöåäóðè.
Îòæå, ðîçãëÿíóòî ìåòîä çáîðó äàíèõ ³ òîìîãðàô³÷íî¿ ðåêîíñòðóêö³¿ íå-
îäíîð³äíîñòåé íà îñíîâ³ óçàãàëüíåíèõ ïðîºêö³é. Ïðè öüîìó çá³ð äàíèõ
çä³éñíþºòüñÿ ñêàíóâàííÿì çà îäí³ºþ êîîðäèíàòîþ äëÿ äîâ³ëüíî¿ ä³àãðàìè íàïðÿì-
ëåíîñò³. Ïîêàçàíî, ùî ó öüîìó âèïàäêó ðåºñòðîâàí³ äàí³ (óçàãàëüíåí³ ïðîºêö³¿) çà-
ïèñóþòü ó âèãëÿä³ ñóìè ïîðÿäêîâèõ çãîðòîê ä³àãðàìè íàïðÿìëåíîñò³
òà â³äïîâ³äíî¿ ä³ëÿíêè â³äíîâëþâàíîãî ðîçïîä³ëó. Ðåêîíñòðóêö³ÿ çä³éñíþºòüñÿ
çâîðîòíèì ïðîºêòóâàííÿì, ïîáóäîâîþ ñóìàðíîãî çîáðàæåííÿ òà éîãî ô³ëüòðàö³¿.
Çâîðîòíå ïðîºêòóâàííÿ çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ îïåðàòîðà äåêîíâîëþö³¿ íà
îñíîâ³ óçàãàëüíåíî¿ ïðîºêö³¿. Ñóìàðíå çîáðàæåííÿ ïîáóäîâàíå ó âèãëÿä³ àäèòèâ-
íîãî àáî êîí’þíêòèâíîãî îá’ºäíàííÿ ðåçóëüòàò³â çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ äëÿ
ð³çíèõ ä³àãðàì íàïðÿìëåíîñò³. Ô³ëüòðàö³ÿ ñóìàðíîãî çîáðàæåííÿ çàáåçïå÷åíà ïî-
áóäîâîþ îïåðàòîðà äåêîíâîëþö³¿ äëÿ çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ òà àäèòèâíèì àáî
êîí’þíêòèâíèì îá’ºäíàííÿì ðåçóëüòàò³â çâîðîòíîãî ïðîºêòóâàííÿ. Çàïðîïîíîâàíî
³òåðàö³éíó ïðîöåäóðó ïîáóäîâè ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü äî øóêàíîãî ðîçâ’ÿçêó. Ïî-
êàçàíî, ùî â îêðåìèõ âèïàäêàõ äëÿ ä³àãðàìè íàïðÿìëåíîñò³ ó âèãëÿä³ �-ôóíêö³¿ òà
ðàäîí³âñüêî¿ ïðîºêö³¿ íàâåäåí³ ðåçóëüòàòè óçãîäæóþòüñÿ ³ç çàãàëüíîâ³äîìèìè.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Radon J. Uber die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte langs gewisser Manningfaltigkeiten.
Berichte Sachsische Academie der Wissenschaften. Leipzig, Mathem. Phys. 69, 1917. P. 262–267.
2. Helgason S. The Radon Transform. 2nd Ed., 1999. 192 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-1463-0.
3. Ñåð㳺íêî ².Â., Ëèòâèí Î.Ì., Ïåðøèíà Þ.². Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ â êîìï’þòåðí³é òîìîãðàô³¿ ç
âèêîðèñòàííÿì ³íòåðôëåòàö³¿ ôóíêö³é. Õàðê³â: ÕÍÓÐÅ, 2008. 160 ñ.
4. Lytvyn O.M., Lytvyn O.O., Dragun V.V. Estimating the structure of a discontinuous layer by tomographic
methods. Cybernetics and Systems Analysis. 2019, Vol. 55, N 3. P. 413–421.
5. Kobasyar M., Rusyn B. The Radon transform application for accurate and efficient curve. Modern Problems
of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science. Proceedings of the International
Conference TCSET’2004. Lviv–Slavsko, Ukraine. 26–28 February, 2004. P. 223–224.
6. Kobasyar M., Rusyn B. The estimation of rotation and shift between images with the logarithmic-energy
form of Radon transform. Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer
Science. Proceedings of the International Conference TCSET’2008. Lviv–Slavsko, Ukraine.
19–23 February, 2008. P. 350–352.
150 ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3
7. Òåðåùåíêî Ñ.À. Ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé òîìîãðàôèè. Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 2004. 320 ñ.
8. Bracewell R.N., Roberts J.A. Aerial smoothing in radio astronomy. Australian J. of Physics. 1954. Vol. 7.
P. 615–640.
9. Bracewell R.N. Strip integration in radio astronomy. Australian J. of Physics. 1956. Vol. 9. P. 198–217.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 04.03.2020
À.Á. Ëîçèíñêèé, È.Ì. Ðîìàíèøèí, Á.Ï. Ðóñûí
ÒÎÌÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÎÑÑÒÀÍÎÂËÅÍÈÅ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÕ ÏÐÎÅÊÖÈÉ
Àííîòàöèÿ. Èçëîæåí ìåòîä òîìîãðàôè÷åñêîé ðåêîíñòðóêöèè íåîäíîðîä-
íîñòåé â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé äèàãðàììû íàïðàâëåííîñòè è ñêàíèðîâàíèÿ
ïî îäíîé êîîðäèíàòå. Ïîêàçàíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå çàðåãèñòðèðîâàííûå äàí-
íûå (ïðîåêöèè) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå ñóììû ïîñòðî÷å÷íûõ ñâåðòîê ñòðîê
äèàãðàììû íàïðàâëåííîñòè è ñîîòâåòñòâóþùåãî ó÷àñòêà âîññòàíàâëèâàåìî-
ãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîàíàëèçèðîâàíû îñîáåííîñòè ïðîåêöèîííûõ äàííûõ,
îáðàòíûõ ïðîåêöèé. Ïðåäëîæåíî ñòðîèòü «ñóììàðíîå» èçîáðàæåíèå â âèäå
àääèòèâíîãî àáî êîíúþíêòèâíîãî îáúåäèíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ îáðàòíîãî ïðîå-
öèðîâàíèÿ äëÿ ðàçíûõ äèàãðàìì íàïðàâëåííîñòè. Ïðåäëîæåíà èòåðàöèîííàÿ
ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ê èñêîìîìó ðåøå-
íèþ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òîìîãðàôè÷åñêîå âîññòàíîâëåíèå, ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñ-
ïðåäåëåíèå, äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè, ñâåðòêà, îáðàòíîå ïðîåöèðîâàíèå,
ñóììàðíîå èçîáðàæåíèå.
À.B. Lozynsky, I.Ì. Romanyshyn, B.P. Rusyn
TOMOGRAPHIC RESTORATION OF IMAGES BASED ON GENERALIZED PROJECTIONS
Abstract. The method of tomographic reconstruction of inhomogeneities in the
case of an arbitrary directional diagram and scanning along one coordinate is
described. It is shown that in this case registered data (projections) are
represented as the sum of the line-by-line convolutions of the lines of the
directional diagram and the corresponding line of the reconstructed distribution.
The features of projection data, backprojections are analyzed. It is proposed to
construct a cumulative image as an additive or conjunctive combination of the
back projection results for different orientation diagrams. An iterative procedure
for constructing sequential approximations to the desired solution is proposed.
Keywords: tomographic restoration, spatial distribution, directional diagram,
convolution, backprojection, total image.
Ëîçèíñüêèé Àíäð³é Áîãäàíîâè÷,
ìîëîäøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Ô³çèêî-ìåõàí³÷íîãî ³íñòèòóòó
³ì. Ã.Â. Êàðïåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, e-mail: lozynskyy.a@gmail.com.
Ðîìàíèøèí ²ãîð Ìèõàéëîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Ô³çèêî-ìåõàí³÷íîãî ³íñòèòóòó
³ì. Ã.Â. Êàðïåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, e-mail: romanyshyn@ipm.lviv.ua.
Ðóñèí Áîãäàí Ïàâëîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåcîð, çàâ³äóâà÷ â³ää³ëó Ô³çèêî-ìåõàí³÷íîãî ³íñòèòóòó
³ì. Ã.Â. Êàðïåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, e-mail: rusyn@ipm.lviv.ua.
ISSN 1019-5262. ʳáåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 151
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190708 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:30Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лозинський, A.Б. Романишин, І.М. Русин, Б.П. 2023-06-20T12:16:35Z 2023-06-20T12:16:35Z 2021 Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій / A.Б. Лозинський, І.М. Романишин, Б.П. Русин // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 144–151. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190708 519.6 Розглянуто метод томографічної реконструкції неоднорідностей у випадку довільної діаграми напрямленості та сканування за однією координатою. Показано, що у цьому разі реєстровані дані (проєкції) записують у вигляді суми порядкових згорток діаграми напрямленості та відповідної ділянки відновлюваного розподілу. Проаналізовано особливості проєкційних даних, зворотних проєкцій. Пропонується будувати сумарне зображення у вигляді адитивного або кон’юнктивного об’єднання результатів зворотного проєктування для різних діаграм напрямленості. Запропоновано ітераційну процедуру побудови послідовних наближень до шуканого розв’язку. Изложен метод томографической реконструкции неоднородностей в случае произвольной диаграммы направленности и сканирования по одной координате. Показано, что в этом случае зарегистрированные данные (проекции) записываются в виде суммы построчечных сверток строк диаграммы направленности и соответствующего участка восстанавливаемого распределения. Проанализированы особенности проекционных данных, обратных проекций. Предложено строить «суммарное» изображение в видеаддитивного або конъюнктивного объединения результатов обратного проецирования для разных диаграмм направленности. Предложена итерационная процедура построения последовательных приближений к искомому решению. The method of tomographic reconstruction of inhomogeneities in the case of an arbitrary directional diagram and scanning along one coordinate is described. It is shown that in this case registered data (projections) are represented as the sum of the line-by-line convolutions of the lines of the directional diagram and the corresponding line of the reconstructed distribution. The features of projection data, backprojections are analyzed. It is proposed to construct a cumulative image as an additive or conjunctive combination of the back projection results for different orientation diagrams. An iterative procedure for constructing sequential approximations to the desired solution is proposed. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кібернетика та системний аналіз Системний аналіз Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій Томографическое восстановление изображений на основе обобщенных проекций Tomographic restoration of images based on generalized projections Article published earlier |
| spellingShingle | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій Лозинський, A.Б. Романишин, І.М. Русин, Б.П. Системний аналіз |
| title | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| title_alt | Томографическое восстановление изображений на основе обобщенных проекций Tomographic restoration of images based on generalized projections |
| title_full | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| title_fullStr | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| title_full_unstemmed | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| title_short | Томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| title_sort | томографічне відновлення зображень на основі узагальнених проєкцій |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190708 |
| work_keys_str_mv | AT lozinsʹkiiab tomografíčnevídnovlennâzobraženʹnaosnovíuzagalʹnenihproêkcíi AT romanišiním tomografíčnevídnovlennâzobraženʹnaosnovíuzagalʹnenihproêkcíi AT rusinbp tomografíčnevídnovlennâzobraženʹnaosnovíuzagalʹnenihproêkcíi AT lozinsʹkiiab tomografičeskoevosstanovlenieizobraženiinaosnoveobobŝennyhproekcii AT romanišiním tomografičeskoevosstanovlenieizobraženiinaosnoveobobŝennyhproekcii AT rusinbp tomografičeskoevosstanovlenieizobraženiinaosnoveobobŝennyhproekcii AT lozinsʹkiiab tomographicrestorationofimagesbasedongeneralizedprojections AT romanišiním tomographicrestorationofimagesbasedongeneralizedprojections AT rusinbp tomographicrestorationofimagesbasedongeneralizedprojections |