Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами
Встановлюється коректна розв’язнiсть нелокальної багатоточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевими операторами в класi крайових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. The correct solvability of the non-local many-point problem for evolution equations with pseudo-Besse...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19132 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, Д. I. Спiжавка // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859597273800900608 |
|---|---|
| author | Городецький, В.В. Спіжавка, Д.І. |
| author_facet | Городецький, В.В. Спіжавка, Д.І. |
| citation_txt | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, Д. I. Спiжавка // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Встановлюється коректна розв’язнiсть нелокальної багатоточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевими операторами в класi крайових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв.
The correct solvability of the non-local many-point problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators in the class of boundary conditions which are generalized functions of the distribution type is established.
|
| first_indexed | 2025-11-27T23:00:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 517.96
© 2009
В.В. Городецький, Д. I. Спiжавка
Багатоточкова задача для еволюцiйних рiвнянь
з псевдобесселевими операторами
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Встановлюється коректна розв’язнiсть нелокальної багатоточкової задачi для еволю-
цiйного рiвняння з псевдобесселевими операторами в класi крайових умов, якi є узагаль-
неними функцiями типу розподiлiв.
При математичному моделюваннi реальних процесiв (поширення електромагнiтних хвиль,
коливання рiзних систем, водоперенесення тощо) виникають багатоточковi крайовi задачi
для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними (у тому числi перiодичними) умова-
ми. За останнi 40 рокiв нелокальнi задачi для диференцiально-операторних рiвнянь у рiзних
аспектах вивчало багато науковцiв (О.О. Дезiн, А.М. Нахушев, В.М. Борок, В.К. Роман-
ко, О.А. Самарський, О.Л. Скубачевський та iн.), видiляючи переважно випадки коректно
поставлених задач. Нелокальнi багатоточковi сингулярнi параболiчнi задачi в усьому про-
сторi та в цилiндричнiй областi дослiдженi в [1]. Коректнiсть крайових задач з нелокаль-
ними перiодичними умовами за видiленою змiнною для широких класiв лiнiйних та квазi-
лiнiйних рiвнянь i систем рiвнянь iз частинними похiдними (гiперболiчних, параболiчних,
безтипних) скiнченного порядку, а також лiнiйних рiвнянь нескiнченного порядку розгля-
далась в [2].
У роботi [3] вивченi властивостi оператора A = F−1
Bν
[aFBν
], де FBν
, F−1
Bν
— пряме та обер-
нене перетворення Бесселя, a — однорiдний негладкий у точцi 0 символ (оператор A в [3]
називається псевдобесселевим оператором). Еволюцiйнi рiвняння з оператором A є при-
родними узагальненнями сингулярних параболiчних рiвнянь з оператором Бесселя Bν =
= d2/dx2 +(2ν+1)x−1d/dx, ν > −1/2, який вироджується за просторовою змiнною, оскiль-
ки Bν також можна подати у виглядi Bνϕ = −FBν
[σFBν
[ϕ]], де ϕ — елемент простору,
в якому вказане перетворення визначене. В [3] встановлено коректну розв’язнiсть задачi
Кошi для еволюцiйного рiвняння du/dt+Au = 0, де A — псевдобесселевий оператор, у кла-
сi початкових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 7
У цьому повiдомленнi встановлюється коректна розв’язнiсть багатоточкової задачi для
еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевим оператором у класi крайових умов типу розпо-
дiлiв; дослiджуються структура та властивостi фундаментального розв’язку такої задачi.
Простори основних та узагальнених функцiй. Нехай γ — фiксоване число з мно-
жини (1;+∞) \{2, 3, 4, . . .}, ν — фiксоване число з множини {3/2, 5/2, 7/2, . . .}, p̃0 := 2ν+1,
γ0 := 1 + [γ] + p̃0, M(x) := 1 + |x|, x ∈ R,
Φ = {ϕ ∈ С∞(R) : |Dk
xϕ(x)| 6 ck(1 + |x|)−(γ0+k), k ∈ Z+}.
Введемо в Φ злiченну систему норм за формулами
‖ϕ‖p := sup
x∈R
{
p∑
k=0
M(x)γ0+k|Dk
xϕ(x)|
}
, ϕ ∈ Φ, p ∈ Z+;
при цьому Φ перетворюється в повний досконалий злiченно-нормований простiр [3]. Збi-
жнiсть в Φ можна охарактеризувати ще й так [3]: послiдовнiсть {ϕj , j > 1} ⊂ Φ збiгається
в Φ до функцiї ϕ ∈ Φ тодi i лише тодi, коли вона:
1) обмежена в Φ, тобто
∀ p ∈ Z+ ∃ c = c(p) > 0 ∀ j > 1: ‖ϕj‖p 6 c;
2) правильно збiгається в Φ, а саме для довiльного k ∈ Z+ послiдовнiсть {Dk
x(ϕj − ϕ),
j > 1} збiгається до нуля рiвномiрно на кожному вiдрiзку [a; b] ⊂ R.
Символом
◦
Φ позначатимемо сукупнiсть усiх парних функцiй з простору Φ з вiдповiдною
топологiєю. Цей простiр називатимемо основним, а його елементи — основними функцiями.
У просторi
◦
Φ визначена i неперервна операцiя узагальненого зсуву аргументу T ξ
x :
T ξ
xϕ(x) = bν ·
π∫
0
ϕ(
√
x2 + ξ2 − 2xξ cosω) sin2ν ωdω, ϕ ∈
◦
Φ,
де bν = Γ(ν +1)/(Γ(1/2)Γ(ν +1/2)). За допомогою оператора T ξ
x у просторi
◦
Φ визначається
згортка двох функцiй:
(ϕ ∗ ψ)(x) =
∞∫
0
T ξ
xϕ(x)ψ(ξ)ξ
2ν+1dξ, {ϕ,ψ} ⊂
◦
Φ .
На функцiях з простору
◦
Φ визначена операцiя перетворення Бесселя FBν
:
FBν
[ϕ](x) :=
∞∫
0
ϕ(σ)jν(σx)σ
2ν+1dσ, ϕ ∈
◦
Φ,
де jν — нормована функцiя Бесселя. При цьому FBν
[ϕ] — парна, обмежена, неперервна на
R i нескiнченно диференцiйовна на R \ {0} функцiя, яка задовольняє умову
∀ s ∈ Z+ ∃ cs > 0: sup
x∈R\{0}
|xsDs
xFBν
[ϕ](x)| 6 cs,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
при цьому у функцiї Ds
xFBν
[ϕ](x), x 6= 0, s ∈ N, iснують скiнченнi одностороннi границi
lim
x→±0
Ds
xFBν
[ϕ](x); функцiя D2s
x FBν
[ϕ](x), x 6= 0, s ∈ N, у точцi x = 0 має усувний розрив [3].
У просторi
◦
Ψ := FBν
[
◦
Φ] вводиться структура злiченно-нормованого простору за допомогою
системи норм [3]:
‖ψ‖p := sup
x∈(0;∞)
{
p∑
s=0
x2s|D2s
x ψ(x)|
}
, ψ ∈
◦
Ψ, s ∈ Z+.
Перетворення Бесселя взаємно однозначно i неперервно вiдображає
◦
Φ на
◦
Ψ, при цьому
F−1
Bν
визначається формулою
F−1
Bν
[ψ](σ) = cν
∞∫
0
ψ(x)jν(σx)x
2ν+1dx, ψ ∈
◦
Ψ, cν = (22νΓ2(ν + 1))−1.
Символом (
◦
Φ)
′ позначатимемо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв над вiд-
повiдним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю. Елементи простору (
◦
Φ)′ на-
зиватимемо узагальненими функцiями. Дiя регулярної узагальненої функцiї f ∈ (
◦
Φ)
′ на
основну функцiю ϕ ∈
◦
Φ у цьому випадку визначається формулою
〈f, ϕ〉 =
∞∫
0
f(x)ϕ(x)x2ν+1dx.
Оскiльки в основному просторi
◦
Φ визначена операцiя узагальненого зсуву аргументу, то
згортку узагальненої функцiї f ∈ (
◦
Φ)
′ з основною функцiєю задамо формулою
(f ∗ ϕ)(x) = 〈fξ, T
ξ
xϕ(x)〉 ≡ 〈fξ, T
x
ξ ϕ(ξ)〉, ϕ ∈
◦
Φ,
де fξ позначає дiю функцiонала f за змiнною ξ; при цьому f ∗ ϕ є нескiнченно диферен-
цiйовною функцiєю.
Перетворення Бесселя узагальненої функцiї f ∈ (
◦
Φ)
′ визначимо за допомогою спiввiд-
ношення
〈FBν
[f ], ϕ〉 = 〈f, F−1
Bν
[ϕ]〉, ∀ϕ ∈
◦
Ψ .
Iз властивостi лiнiйностi i неперервностi функцiонала f та перетворення Бесселя (прямо-
го та оберненого) випливає лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiонала FBν
[f ] над простором
◦
Ψ.
Узагальнена функцiя f ∈ (
◦
Φ)
′ називається згортувачем у просторi
◦
Φ, якщо f ∗ ϕ ∈
◦
Φ
для довiльної функцiї ϕ ∈
◦
Φ. Для перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору
(
◦
Φ)
′ правильним є таке твердження [3]: якщо узагальнена функцiя f ∈ (
◦
Φ)
′ — згортувач
у просторi
◦
Φ, то для довiльної основної функцiї ϕ ∈
◦
Φ справджується формула FBν
[f ∗ϕ] =
= FBν
[f ] · FBν
[ϕ].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 9
Основнi результати. Нехай a: R → [0,+∞) — неперервна, парна на R функцiя, одно-
рiдна порядку γ (тобто a(λx) = λγa(x), λ > 0), яка:
1) нескiнченно диференцiйовна при x 6= 0;
2) похiднi функцiї a задовольняють умову
∀ k ∈ N ∃ ck > 0 ∀x ∈ R \ {0} : |Dk
xa(x)| 6 ck|x|
γ−k;
3) ∃ δ̃ > 0 ∀x ∈ R: a(x) > δ̃|x|γ .
Зазначимо, що функцiя a є мультиплiкатором у просторi
◦
Ψ.
Розглянемо тепер рiвняння
∂u
∂t
+Au = 0, (t, x) ∈ (0, T ] × R+ ≡ Ω+, (1)
деA = F−1
Bν
[aFBν
] — псевдобесселевий оператор, побудований за функцiєю a. Iз властивостей
перетворення Бесселя (прямого i оберненого) випливає, що A — лiнiйний i неперервний
оператор у просторi
◦
Φ. Пiд розв’язком рiвняння (1) розумiтимемо функцiю u ∈ C1((0, T ],
◦
Φ),
яка задовольняє рiвняння (1). Для (1) задамо багатоточкову задачу
µu(t, ·)|t=0 − µ1u(t, ·)|t=t1 − · · · − µmu(t, ·)|t=tm = ϕ, (2)
де ϕ ∈ (
◦
Φ∗)
′ ⊂ (
◦
Φ)′, µ > µ1 > · · · > µm > 0, µ >
m∑
k=1
µk, 0 < t1 < · · · < tm = T , (
◦
Φ∗)
′ — клас
узагальнених функцiй з (
◦
Φ)′, якi є згортувачами у просторi
◦
Φ. Пiд розв’язком задачi (1), (2)
розумiтимемо розв’язок рiвняння (1), який задовольняє умову (2) в тому сенсi, що
µ lim
t→+0
u(t, ·) − µ1 lim
t→t1
u(t, ·) − · · · − µm lim
t→tm−0
u(t, ·) = ϕ
(границi розглядаються у просторi (
◦
Φ)
′).
При дослiдженнi задачi (1), (2) важливу роль вiдiграють функцiї
Q(t, σ) = exp{−ta(σ)}
(
µ−
m∑
k=1
µk exp{−tka(σ)}
)−1
, t ∈ (0, T ], σ ∈ R,
Γ(t, t1, . . . , tm, x) ≡ Γ(t, x) := F−1
Bν
[Q(t, σ)](x), t ∈ (0, T ], x ∈ R.
Правильним є таке твердження.
Лема 1. При фiксованому t > 0 функцiя Q(t, σ) нескiнченно диференцiйовна за σ ∈
∈ R \ {0}; для її похiдних справджуються оцiнки
|Ds
σQ(t, σ)| 6 γsϕs(t)e
−ta(σ)|σ|ω, s ∈ N, σ 6= 0, (3)
де γs > 0 — стала, не залежна вiд t, ϕs(t) =
s∑
p=0
tp,
ω =
{
s(γ − 1), |σ| > 1,
γ − s, |σ| 6 1, σ 6= 0.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
Iз оцiнок (3) випливає, що Q(t, σ), як функцiя аргументу σ, при кожному t > 0 є еле-
ментом простору
◦
Ψ. Тодi функцiя Γ(t, x) = F−1
Bν
[Q(t, σ)](x), як функцiя x, є елементом
простору
◦
Φ = F−1
Bν
[
◦
Ψ] (при кожному t > 0).
Лема 2. Для функцiї Γ та її похiдних правильними є оцiнки
|Dm
x Γ(t;x)| 6 αmt
−(γ0+m−[γ]/γ)(1 + |x|)−(m+γ0), t ∈ (0;T ], x ∈ R, m ∈ Z+,
стала αm > 0 не залежить вiд t, γ0 = γ + 3/2 + [γ].
Γ(t, ·), як функцiя аргументу t, неперервно диференцiйовна на промiжку (0, T ]. При
значеннях t, близьких до нуля, Γ(t, x), як функцiя x, має дельта-подiбний вигляд. Ця вла-
стивiсть випливає з нижченаведеного твердження.
Теорема 1. У просторi (
◦
Φ)′ справджуються граничнi спiввiдношення:
1) lim
t→+0
Γ(t, ·) =
δ
µ− µ0
, µ0 =
m∑
k=1
µk;
2) µ lim
t→+0
Γ(t, ·) − µ1 lim
t→t1
Γ(t, ·) − · · · − µm lim
t→tm−0
Γ(t, ·) = δ (тут δ — дельта-функцiя
Дiрака).
Наслiдком з теореми 1 є таке твердження.
Лема 3. Нехай ω(t, x) = (ϕ ∗ Γ)(t;x), ϕ ∈ (
◦
Φ∗)
′. Тодi в просторi (
◦
Φ)
′ справджується
граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
ω(t, ·)− µ1 lim
t→t1
ω(t, ·)− · · · − µm lim
t→tm−0
ω(t, ·) = ϕ.
Теорема 2. Функцiя Γ(t, ·), t ∈ (0;T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значен-
нями у просторi
◦
Φ, диференцiйовна за t, тобто граничне спiввiдношення
1
∆t
[Γ(t+∆t, x)− Γ(t, x)] →
∂
∂t
Γ(t;x), ∆t→ 0,
виконується в розумiннi збiжностi в просторi
◦
Φ.
Наслiдок 1. Правильною є формула
∂
∂t
(ϕ ∗ Γ)(t, ·) = ϕ ∗
∂Γ(t, ·)
∂t
, ∀ϕ ∈ (
◦
Φ)′, t ∈ (0, T ].
Зазначимо також, що Γ(t, x) задовольняє рiвняння (1). Урахувавши властивостi функ-
цiї Γ, цю функцiю називатимемо фундаментальним розв’язком багатоточкової зада-
чi (1), (2). Основним результатом є таке твердження.
Теорема 3. Задача (1), (2) коректно розв’язна в класi узагальнених функцiй (
◦
Φ∗)
′.
Розв’язок подається у виглядi згортки:
u(t, x) = (ϕ ∗ Γ)(t, x), ϕ ∈ (
◦
Φ∗)
′, (t, x) ∈ Ω+,
де Γ — фундаментальний розв’язок багатоточкової задачi (1), (2).
1. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. –
176 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 11
2. Пташник Б.Й., Iлькiв В.С., Кмiть I.Я., Полiщук В.М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз
частинними похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
3. Городецький В.В., Ленюк О.М. Еволюцiйнi рiвняння з псевдобесселевими операторами // Доп. НАН
України. – 2007. – № 8. – С. 11–15.
Надiйшло до редакцiї 02.04.2009Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
V.V. Gorodetsky, D. I. Spizhavka
The many-point problem for evolution equations with pseudo-Bessel
operators
The correct solvability of the non-local many-point problem for evolution equations with pseudo-
Bessel operators in the class of boundary conditions which are generalized functions of the distri-
bution type is established.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19132 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T23:00:55Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецький, В.В. Спіжавка, Д.І. 2011-04-20T17:06:39Z 2011-04-20T17:06:39Z 2009 Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами / В.В. Городецький, Д. I. Спiжавка // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19132 517.96 Встановлюється коректна розв’язнiсть нелокальної багатоточкової задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевими операторами в класi крайових умов, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. The correct solvability of the non-local many-point problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators in the class of boundary conditions which are generalized functions of the distribution type is established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами The many-point problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators Article published earlier |
| spellingShingle | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами Городецький, В.В. Спіжавка, Д.І. Математика |
| title | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| title_alt | The many-point problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators |
| title_full | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| title_fullStr | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| title_full_unstemmed | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| title_short | Багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| title_sort | багатоточкова задача для еволюційних рівнянь з псевдобесселевими операторами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19132 |
| work_keys_str_mv | AT gorodecʹkiivv bagatotočkovazadačadlâevolûcíinihrívnânʹzpsevdobesselevimioperatorami AT spížavkadí bagatotočkovazadačadlâevolûcíinihrívnânʹzpsevdobesselevimioperatorami AT gorodecʹkiivv themanypointproblemforevolutionequationswithpseudobesseloperators AT spížavkadí themanypointproblemforevolutionequationswithpseudobesseloperators |