Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння
З метою аналiтичного продовження в глобальних областях значень сили тяжiння, якi є значеннями модуля градiєнта потенцiалу сили тяжiння (МГПСТ), сформульована у виглядi iнтегрального рiвняння нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа. Для її розв’язання у виглядi потенцiалу простого ша...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19148 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 112-119. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19148 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дубовенко, Ю.І. 2011-04-20T17:43:29Z 2011-04-20T17:43:29Z 2009 Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 112-119. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19148 550.831+550.8 З метою аналiтичного продовження в глобальних областях значень сили тяжiння, якi є значеннями модуля градiєнта потенцiалу сили тяжiння (МГПСТ), сформульована у виглядi iнтегрального рiвняння нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа. Для її розв’язання у виглядi потенцiалу простого шару на поверхнi Ляпунова слiд визначити невiдому густину простого шару. На пiдставi аналiтичних властивостей функцiї МГПСТ задачу Алексiдзе зведено до нелiнiйного iнтегрального рiвняння сили тяжiння. For purposes of an analytic continuation of gravity values as a module of gravity potential gradients (MGPG) in global areas, a nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation is formulated. To solve it as a simple layer potential on the Lyapunov’s surface, it is necessary to define the unknown simple layer density. On the basis of analytical features of the MGPG function, the Alexidze problem is reduced to the solution of a nonlinear integral gravity equation. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння Reduction of the Alexidze problem to the gravity equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| spellingShingle |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння Дубовенко, Ю.І. Науки про Землю |
| title_short |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| title_full |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| title_fullStr |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| title_full_unstemmed |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| title_sort |
редукція задачі алексідзе до рівняння сили тяжіння |
| author |
Дубовенко, Ю.І. |
| author_facet |
Дубовенко, Ю.І. |
| topic |
Науки про Землю |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Reduction of the Alexidze problem to the gravity equation |
| description |
З метою аналiтичного продовження в глобальних областях значень сили тяжiння, якi є значеннями модуля градiєнта потенцiалу сили тяжiння (МГПСТ), сформульована у виглядi iнтегрального рiвняння нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа. Для її розв’язання у виглядi потенцiалу простого шару на поверхнi Ляпунова слiд визначити невiдому густину простого шару. На пiдставi аналiтичних властивостей функцiї МГПСТ задачу Алексiдзе зведено до нелiнiйного iнтегрального рiвняння сили тяжiння.
For purposes of an analytic continuation of gravity values as a module of gravity potential gradients (MGPG) in global areas, a nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation is formulated. To solve it as a simple layer potential on the Lyapunov’s surface, it is necessary to define the unknown simple layer density. On the basis of analytical features of the MGPG function, the Alexidze problem is reduced to the solution of a nonlinear integral gravity equation.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19148 |
| citation_txt |
Редукція задачі Алексідзе до рівняння сили тяжіння / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 12. — С. 112-119. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT dubovenkoûí redukcíâzadačíaleksídzedorívnânnâsilitâžínnâ AT dubovenkoûí reductionofthealexidzeproblemtothegravityequation |
| first_indexed |
2025-11-24T05:06:46Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:06:46Z |
| _version_ |
1850843344946593792 |
| fulltext |
УДК 550.831+550.8
© 2009
Ю. I. Дубовенко
Редукцiя задачi Алексiдзе до рiвняння сили тяжiння
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
З метою аналiтичного продовження в глобальних областях значень сили тяжiння, якi
є значеннями модуля градiєнта потенцiалу сили тяжiння (МГПСТ), сформульована
у виглядi iнтегрального рiвняння нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Ла-
пласа. Для її розв’язання у виглядi потенцiалу простого шару на поверхнi Ляпунова слiд
визначити невiдому густину простого шару. На пiдставi аналiтичних властивостей
функцiї МГПСТ задачу Алексiдзе зведено до нелiнiйного iнтегрального рiвняння сили
тяжiння.
Методи трансформацiї потенцiальних полiв дають змогу розв’язати з достатньою точнiстю
будь-яку задачу за умови задання вхiдної iнформацiї в локальних областях певної малої
мiри. Наявнi результати гравiтацiйних i магнiтних спостережень як рiзницi приростiв мо-
дуля градiєнта потенцiалу сили тяжiння (МГПСТ) можна використовувати при розробцi
схем трансформацiй потенцiалу в глобальнiй областi.
Для глобальних побудов густинних моделей земної кори, якi виконують на пiдставi ре-
зультатiв регiональних спостережень, потрiбно розв’язати задачу аналiтичного продовжен-
ня аномалiй сили тяжiння [1]. В публiкацiї [2] виокремлено два альтернативнi напрями,
що базуються на аналiзi характеристичних властивостей МГПСТ. Один з них зводиться
до розв’язання зовнiшньої задачi Дiрiхле для лiнiйного диференцiального рiвняння типу
Гельмгольца з невiдомим змiнним коефiцiєнтом [3].
Перехiд до задачi вiдновлення потенцiалу усунув необхiднiсть обчислення подальших
наближень як коефiцiєнтiв рiвняння сили тяжiння, так i самих значень сили тяжiння,
оскiльки останнi можна знайти не лише з розв’язання задачi Дiрiхле для рiвняння сили
тяжiння, а й з безпосереднього диференцiювання вiдновленого потенцiалу. Через це задача
вiдновлення потенцiалу за даними МГПСТ, яка не належить до класичних задач гравiмет-
рiї, набуває особливого значення. Один з можливих способiв її розв’язання розроблений
у статтi [4], а iнший — гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа — викладений
в роботах [5, 6].
Постановка задачi. Нехай y− — обмежена область точок тривимiрного евклiдового
простору, яка зайнята масами Землi; y+ — необмежене доповнення до y−, що вiльне вiд
тяжiючих об’єктiв; ∂y — границя множин y− й y+, що ототожнена з фiзичною поверхнею
Землi. В прямокутнiй декартовiй системi координат Ox1x2x3 з початком у центрi Землi осi
Ox1, Ox2 лежать в екваторiальнiй площинi, а вiсь Ox3 збiгається з вiссю її обертання. Точки
областi y− позначимо через ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ y−, а доповнення y+ — через x = (x1, x2, x3) ∈
∈ y+. Маси M(ξ), ξ ∈ y−, густиною dM(ξ) = σ(ξ)dξ усерединi Землi генерують у просторi y+
поле сили тяжiння з потенцiалом
W (x) = f
∫
y−
σ(ξ)
|x− ξ|
dξ +
{
Ω(x), x ∈ y−,
0, x ∈ y+,
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
де f — гравiтацiйна стала; Ω(x) = 0,5ω2(x1 + x2) — потенцiал вiдцентрової сили; ω — модуль
вектора кутової швидкостi Землi. Напруженiсть магнiтного поля (значення МГПСТ, згiдно
з публiкацiєю [2]) дорiвнює
g(x) = | − ∇W (x)| =
3
∑
k=1
∂W (x)
∂xk
∂xk(x)
∂n
= (g(x), n(x)), (1)
де ∂xk(x)/∂n = cos(n, xk), k = 1, 2, 3, — напрямний косинус одиничного вектора n(x) внут-
рiшньої нормалi до еквiпотенцiальної поверхнi dW (x) : W (y) = Cx, яка проходить через
точку x.
Для такої моделi середовища необхiдно розв’язати нелiнiйну граничну задачу Алексiдзе
для рiвняння Лапласа: знайти функцiю W (x), x ∈ y+, яка задовольняє всерединi необмеже-
ної замкненої областi y+ = y+
⋃
∂y рiвнянню Лапласа ∆W (x) = 0, x ∈ y+, якщо в будь-якiй
точцi ляпуновської межi ∂y областi та в нескiнченно вiддаленiй точцi вона задовольняє
умовам:
3
∑
k=1
(
∂W (x)
∂xk
)2
= g2(x) при x ∈ ∂y,
W (x) → 0 при |x| → ∞,
(2)
де g(x) — задана неперервна функцiя вигляду (1).
Гармонiчну в областi y+ функцiю W (x), x ∈ y+, вiдшукуємо як потенцiал простого шару
W (x) =
1
4π
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|
dSξ при x ∈ y+ (3)
з невiдомою густиною σ(x), x ∈ ∂y (iнтегровною, хоча загалом може бути бiльш гладкою
функцiєю), поширеною на поверхнi ∂y Ляпунова. Для виведення рiвняння, з якого вiднов-
люють невiдому густину σ(x) за заданими на поверхнi ∂y значеннями g(x) МГПСТ, та для
обчислення значень g(x) у точках областi y+ при знайденiй густинi визначимо, виходячи iз
зображення (3) потенцiалу, квадрат модуля його градiєнта:
g2(x) = | gradW (x)|2 =
1
16π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
3
∑
k=1
xk − ξk
|x− ξ|2
xk − ηk
|x− η|2
dSηdSξ.
Цей вираз стане компактнiшим, якщо ввести в обiг одиничнi вектори p й q, якi спрямо-
ванi з точки x у точки ξ й η вiдповiдно, що проходять по поверхнi ∂y. Їх складовi матимуть
вигляд
pi = cos(p, xi) =
xi − ξi
|x− ξ|
, qi = cos(xi, q) =
xi − ηi
|x− η|
,
а кут мiж самими векторами —
cos(p, q) =
3
∑
i=1
cos(p, xi) cos(xi, q) =
3
∑
i=1
xi − ξi
|x− ξ|
xi − ηi
|x− η|
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 113
З урахуванням цих позначень вираз для g2(x) набуває вигляду
g2(x) =
1
16π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ. (4)
Проаналiзуємо аналiтичнi особливостi функцiї g(x) модуля градiєнта потенцiалу про-
стого шару (4). Першою з них є неперервнiсть, що випливає з леми 1.
Лема 1. Модуль градiєнта потенцiалу простого шару є неперервною функцiєю точки
x ∈ ∂y, яка рухається по поверхнi ∂y Ляпунова.
Доведення. Слiд переконатися в iснуваннi iнтеграла (4), поширеного на частину
∂y(x) = ∂y
⋂
S(x, ε) поверхнi ∂y усерединi кулi S(x, ε) Ляпунова радiусом ε > 0 з цен-
тром у точцi x ∈ ∂y, оскiльки його iснування в iншiй частинi ∂y/∂y(x) не пiдлягає сумнiву.
Доведення iснування iнтеграла за значенням ∂y(x) полягає в знаходженнi нерiвностей, що
випливають з локальних властивостей поверхонь Ляпунова, властивих i поверхнi ∂y.
Лема 2. Квадрат модуля градiєнта потенцiалу простого шару, поширеного на сферi
радiусом ρ з одиничною поверхневою густиною σ(x) = 1, x ∈ ∂y, становить
g2(x) =
1
16π2
∫
∂y
∫
∂y
cos(p, q)
|x− ξ|2|x− η|2
dSηdSξ =
ρ4
|x|4
, |x| > ρ,
1
4
, |x| = ρ,
0, |x| < ρ.
Доведення. Розглянемо випадок, коли точка розташована поза сферою ∂y радiусом ρ.
Покладемо в точцi x початок допомiжної системи координат Oξ1ξ2ξ3 з напрямом осi Oξ3
через центр сфери, який матиме координати (0, 0, a), де a = |x| — аплiката центра сфери,
а її рiвняння — ξ21 + ξ22 + (ξ3 − a)2 = ρ2. У полярних координатах рiвняння набуває вигляду
r(ϕ, λ)− 2ar(ϕ, λ) cos ϕ+ a2 − ρ2 = 0,
оскiльки ξ1 = r(ϕ, λ) sinϕ cos λ, ξ2 = r(ϕ, λ) sinϕ sin λ, ξ3 = r(ϕ, λ) cosϕ. Звiдси випливає, що
r(ϕ, λ) = r(ϕ), причому r(ϕ) = a cosϕ±
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ, 0 6 ϕ 6 ϕ0 (де ϕ0 = arcsin ρ/a). То-
му рiвняння сфери можна однозначно подiлити вiдносно напряму осi Oξ3 на двi частини —
“верхню” та “нижню”, що задаються вiдповiдно рiвняннями:
rв(ϕ) = a cosϕ+
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ при 0 6 ϕ 6 ϕ0,
rн(ϕ) = a cosϕ−
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ при 0 6 ϕ 6 ϕ0.
Знайдемо найменший елемент dS сфери ∂y, параметризованої полярними координатами,
для чого складемо матрицю
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂ξ1
∂ϕ
∂ξ2
∂ϕ
∂ξ3
∂ϕ
∂ξ1
∂λ
∂ξ2
∂λ
∂ξ3
∂λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
114 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
за її елементами та обчислимо коефiцiєнти Гауса сфери ∂y, отримавши при цьому
dS = r(ϕ, λ)
√
r2(ϕ) +
[
∂r(ϕ)
∂ϕ
]2
sinϕdϕdλ.
З урахуванням зображень наведених частин сфери отримуємо значення елементiв по-
верхнi “верхньої” та “нижньої” частин сфери вiдповiдно у виглядi
dSв =
r2
в
(ϕ)ρ sinϕ
√
ρ2 − a2 sinϕ
dϕdλ
та
dSн =
r2
н
(ϕ)ρ sinϕ
√
ρ2 − a2 sinϕ
dϕdλ.
Враховуючи, що |ξ| = r(ϕ), та виразивши напрямнi косинуси одиничних векторiв p й q
через ϕ й λ, отримаємо
g2(x) =
( ϕ0
∫
0
ρ sinϕ cosϕ
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ
dϕ
)2
=
ρ4
|x|4
.
Нехай точка x лежить на сферi ∂y. Покладемо в нiй початок допомiжної сферичної
системи координат та отримаємо рiвняння сфери r(ϕ) = 2ρ cosϕ, 0 6 ϕ 6 π/2, i, вiдповiдно,
елемент поверхнi dS =
√
EG− F 2dϕdλ = 4ρ2 sinϕ cosϕdϕdλ, де E = E(ϕ, λ), G = G(ϕ, λ),
F = F (ϕ, λ) — коефiцiєнти Гауса поверхнi ∂y. Пiдставивши останнiй вираз у g2(x), отри-
маємо
g2(x) =
1
4
( π/2
∫
0
4ρ2 cos2 ϕ sinϕ
r2(ϕ)
)2
=
1
4
,
що доводить лему для x ∈ ∂y.
Якщо точка x розташована всерединi сфери ∂y, покладемо початок сферичної системи
координат у точку x з полярною вiссю, яка проходить через центр сфери, та отримаємо
рiвняння сфери для точок її “верхньої” та “нижньої” частин:
rв(ϕ) = a cosϕ+
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ при 0 6 ϕ 6
π
2
,
та
rн(ϕ) = a cosϕ−
√
ρ2 − a2 sin2 ϕ при −
π
2
6 ϕ 6 0,
де a = |x| — аплiката центра сфери. Звiдси з нескладних перетворень цих виразiв можна
записати g2(x) = 0 при |x| < ρ.
Функцiя g2(x) (4) є розривною i має розрив неперервностi при перетинi точкою x по-
верхнi ∂y. Щоб знайти величину розриву, через g20(x) введемо пряме значення квадрата
МГПСТ, якщо точка x лежить на поверхнi ∂y, а через g2e(x) i g2i (x) — граничнi значення
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 115
g2(x), якщо точка x прямує до поверхнi ∂y поза та всерединi областi y− по нормалi до
поверхнi ∂y. Величину розриву розкриває теорема.
Теорема 1. Нехай простий шар поширений на поверхнi ∂y Ляпунова, що охоплює
область y−. Якщо густина σ(x), x ∈ ∂y потенцiалу простого шару незмiнна, то квадрат
МГПСТ значення g2(x0) при наближеннi точки x0 у напрямi нормалi n(x) до точки x
на поверхнi ∂y поза та всерединi областi y− має рiзнi границi:
lim
x0→x∈∂y
x0∈n∩y+
g2(x0) = g2e(x) =
1
4
σ2(x) +
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x),
lim
x0→x∈∂y
x0∈n∩y−
g2(x0) = g2i (x) =
1
4
σ2(x)−
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x).
Доведення. Для доведення теореми застосуємо означення МГПСТ та твердження
з публiкацiї [3]: якщо густина потенцiалу простого шару (3) є диференцiйовною, граничнi
значення частинних похiдних потенцiалу 1-го й 2-го порядку визначаються величинами:
∂W (x)
∂xi
= −
1
4π
∫
∂y
xi − ξi
|x− ξ|3
σ(ξ) dSξ +
1
2
σ(x) cos(xi, n), i = j, i, j = 1, 2, 3,
∂2W (x)
∂x2i
= −
1
4π
∫
∂y
3(xi − ξi)
2 − |x− ξ|3
|x− ξ|5
(σ(ξ)− σ(x)) dSξ +
1
2
σ(x)
∂
∂xi
cos(xi, n),
∂2W (x)
∂xi∂xj
=
3
4π
∫
∂y
(x− − ξi)(xj − ξj)
|x− ξ|5
(σ(ξ)− σ(x)) dSξ +
1
2
σ(x)
∂
∂xi
cos(xj , n),
якi можна отримати з подання потенцiалу W (x) у виглядi
W (x) =
1
4π
∫
∂y
1
|x− ξ|
(σ(ξ) − σ(x)) dSξ +
1
4π
σ(x)
∫
∂y
dSξ
|x− ξ|
,
за умов замiни безпосереднього диференцiювання за xi диференцiюванням по внутрiшнiй
нормалi n до поверхнi ∂y у точцi x та врахування тотожностi
1
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
dSξ =
1, x ∈ y+,
1
2
, x ∈ ∂y,
0, x ∈ y−,
що випливає з тотожностi Грiна при V (x) ≡ 1.
Дiйсно, при x ∈ n
⋂
y+ отримаємо
lim
x0→x∈∂y
3
∑
k=1
(
∂W (x0)
∂xk
)2
= g2e(x) =
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
=
3
∑
k=1
(
1
2
σ(x) cos(n, xk) +
cos(n, xk)
4π
∫
∂y
∂
∂n
σ(ξ)
|x− ξ|
dSξ
)2
=
=
1
4
σ2(x) +
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x)
i аналогiчно при x ∈ n
⋂
y− —
lim
x0→x∈∂y
3
∑
k=1
(
∂W (x0)
∂xk
)2
= g2i (x) =
1
4
σ2(x)−
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x),
де
g20(x) =
1
16π2
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ, x ∈ ∂y.
Звiдси при σ(x) ≡ 1, x ∈ ∂y та з умови для сфери
1
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
dSξ =
1
2
маємо g2e(x) − g20(x) = 3/4, x ∈ ∂y, що узгоджується з лемою 2.
Оскiльки функцiя g2(x) при наближеннi точки x до поверхнi ∂y має розрив (доведений
теоремою 1), а при русi тiєї самої точки по поверхнi ∂y вона неперервна (як стверджує
лема 1), то для виконання граничних умов (2) задачi Алексiдзе необхiдно, щоб виконувалась
рiвнiсть g2e(x) = g2(x), x ∈ ∂y, тобто заданi на межi ∂y значення сили тяжiння дорiвнюють
значенням у зовнiшньому просторi.
Характеризуючи зображення для значення g2e(x) у теоремi 1, отримуємо (щодо невiдомої
густини потенцiалу простого шару (3)) нелiнiйне iнтегральне рiвняння сили тяжiння:
1
4
σ2(x) +
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ +
1
16π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ =
= g2(x), x ∈ ∂y. (5)
Розв’язок σ(x), x ∈ ∂y рiвняння (5) еквiвалентний розв’язку задачi Алексiдзе з гранични-
ми даними на поверхнi ∂y Ляпунова, оскiльки при будь-якому виборi значення густини
потенцiал (3) простого шару задовольняє в областi y+ рiвнянню Лапласа, а знайдене з (5)
значення густини забезпечує виконання граничної умови (2). Питання розв’язностi задачi
Алексiдзе редукується до з’ясування умов iснування, єдиностi та стiйкостi розв’язку рiв-
няння (5).
Це рiвняння можна спростити, виходячи з того, що внутрiшня точка не тяжiє до одно-
рiдного сферичного шару. Отже, можна припустити, що iснують не тiльки для сферичних,
а й для iнших шарiв такi розподiли густини, якi не притягують внутрiшнiх точок. У спра-
ведливостi припущення переконаємось, якщо проаналiзуємо взаємодiю внутрiшнiх точок
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 117
областi з простим шаром у точках межi ∂y областi, що є поверхнею Ляпунова, з густиною,
яка задовольняє iнтегральному рiвнянню
1
4
σ2(x)−
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x) = 0, x ∈ ∂y. (6)
Якщо густина σ(x) простого шару є розв’язком рiвняння (6), шар створює потенцiал
W (x), значення якого не змiнюються всерединi областi y−. Дiйсно, умова (6) вiдповiдає
граничнiй рiвностi g2i (x) = 0, x ∈ ∂y, яка, в свою чергу, еквiвалентна спiввiдношенню
| gradW (x)|2 = 0, x ∈ ∂y. Звiдси випливає, що гармонiчна функцiя W (x), x ∈ y− у кожнiй
точцi межi ∂y Ляпунова задовольняє умову ∂W (x)/∂xk = 0, k = 1, 2, 3, тобто потенцiал
W (x) = const сталий в усiй областi x ∈ y−. Через це внутрiшнi точки областi y− не тяжiють
до простого шару з густиною, яка задовольняє рiвнянню (6).
Додамо вирази (5) i (6), в результатi чого отримаємо нове iнтегральне рiвняння
σ2(x) +
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ = 2g2(x), x ∈ ∂y, (7)
розв’язок якого зумовлює розподiл сили тяжiння g(x) у необмеженiй областi y+, що вiд-
повiдає постiйному значенню потенцiалу W (x) усерединi областi y−. Розв’язки рiвнянь (5)
i (7) допомагають визначати не тiльки потенцiал W (x), x ∈ y+, а й значення модуля його
градiєнта в будь-якiй точцi необмеженої областi y+, їх можна обчислити як з (4), так i за
зручнiшою формулою
g2(x) =
1
16π2
3
∑
k=1
(
∫
∂y
xk − ξk
|x− ξ|3
σ(ξ) dSξ
)2
.
Зведення задачi Алексiдзе з граничними умовами (2) на поверхнi ∂y Ляпунова до розв’язан-
ня нелiнiйного iнтегрального рiвняння сили тяжiння (5) дозволяє вивчити питання розв’яз-
ностi й єдиностi її розв’язкiв та ефективно знаходити числовi наближенi обчислення для
областей складної форми.
1. Алексидзе М.А. Редукция силы тяжести. – Тбилиси: Мецниереба, 1965. – 256 с.
2. Черный А.В. Избранные задачи гравиметрии и гравиразведки и методы их решения: Дис. . . . д-ра
физ.-мат. наук: 04.00.22 / НАН Украины. Ин-т геофизики им. С.И. Субботина. – Киев, 1991. – 429 с.
3. Якимчик А. I. Гранична задача вiдновлення потенцiалу за значеннями модуля його градiєнта: Авто-
реф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук: 04.00.22 / НАН України. Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна. – Київ,
2001. – 16 с.
4. Черный А.В. Описание гравитационных аномалий // Докл. АН УССР. Сер. Б. – 1982. – № 4. –
С. 18–21.
5. Чорний А.В. Про нову задачу для рiвняння Лапласа // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. Геологiя. – 1995. –
Вип. 13. – С. 72–80.
6. Дубовенко Ю. I. Спосiб вiдновлення потенцiалу за значеннями модуля його градiєнта: Матерiали
наук. конф. “Геофiзичнi технологiї прогнозування та монiторингу геологiчного середовища”, Львiв,
6–10 жовт. 2008 p. – Львiв: СПОЛОМ, 2008. – С. 156–158.
Надiйшло до редакцiї 01.04.2009Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
118 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №12
Yu. I. Dubovenko
Reduction of the Alexidze problem to the gravity equation
For purposes of an analytic continuation of gravity values as a module of gravity potential gradients
(MGPG) in global areas, a nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation
is formulated. To solve it as a simple layer potential on the Lyapunov’s surface, it is necessary to
define the unknown simple layer density. On the basis of analytical features of the MGPG function,
the Alexidze problem is reduced to the solution of a nonlinear integral gravity equation.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №12 119
|