Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE
В работе предложен метод моделирования в системе MAPLE решения граничных задач теории упругости методом начальных функций. Разработан формальный подход описания и решения задач теории упругости при помощи символических рядов Власова В.З. Для реализации задач в системе MAPLE разработан специальный пр...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19175 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE / В.А. Толок, В.В. Шапар // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2006. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19175 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Толок, В.А. Шапар, В.В. 2011-04-20T22:26:40Z 2011-04-20T22:26:40Z 2006 Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE / В.А. Толок, В.В. Шапар // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2006. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1815-8277 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19175 539.3, 519.6 В работе предложен метод моделирования в системе MAPLE решения граничных задач теории упругости методом начальных функций. Разработан формальный подход описания и решения задач теории упругости при помощи символических рядов Власова В.З. Для реализации задач в системе MAPLE разработан специальный предпроцессор. У роботі запропонований метод моделювання в системі MAPLE рішення граничних завдань теорії пружності методом початкових функцій. Розроблено формальний підхід опису і рішення завдань теорії пружності за допомогою символічних рядів Власова В.З. Для реалізації завдань в системі MAPLE розроблений спеціальний передпроцесор. Simulation method of solving boundary tasks of elasticity theory using initial functions method in the system MAPLE has been proposed in the paper. Formal approach of describing and solving tasks of elasticity theory using V.Z.Vlasov symbolic series has been developed. Special preprocessor has been developed the tasks to be implemented in the system MAPLE. ru Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE Операторно-символьні ряди Власова В.З. в рішенні задач теорії пружності в системі MAPLE Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE |
| spellingShingle |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE Толок, В.А. Шапар, В.В. |
| title_short |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE |
| title_full |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE |
| title_fullStr |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE |
| title_full_unstemmed |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE |
| title_sort |
операторно-символьные ряды власова в.з. в решении задач теории упругости в системе maple |
| author |
Толок, В.А. Шапар, В.В. |
| author_facet |
Толок, В.А. Шапар, В.В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| publisher |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Операторно-символьні ряди Власова В.З. в рішенні задач теорії пружності в системі MAPLE |
| description |
В работе предложен метод моделирования в системе MAPLE решения граничных задач теории упругости методом начальных функций. Разработан формальный подход описания и решения задач теории упругости при помощи символических рядов Власова В.З. Для реализации задач в системе MAPLE разработан специальный предпроцессор.
У роботі запропонований метод моделювання в системі MAPLE рішення граничних завдань теорії пружності методом початкових функцій. Розроблено формальний підхід опису і рішення завдань теорії пружності за допомогою символічних рядів Власова В.З. Для реалізації завдань в системі MAPLE розроблений спеціальний передпроцесор.
Simulation method of solving boundary tasks of elasticity theory using initial functions method in the system MAPLE has been proposed in the paper. Formal approach of describing and solving tasks of elasticity theory using V.Z.Vlasov symbolic series has been developed. Special preprocessor has been developed the tasks to be implemented in the system MAPLE.
|
| issn |
1815-8277 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19175 |
| citation_txt |
Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории упругости в системе MAPLE / В.А. Толок, В.В. Шапар // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2006. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tolokva operatornosimvolʹnyerâdyvlasovavzvrešeniizadačteoriiuprugostivsistememaple AT šaparvv operatornosimvolʹnyerâdyvlasovavzvrešeniizadačteoriiuprugostivsistememaple AT tolokva operatornosimvolʹnírâdivlasovavzvríšennízadačteoríípružnostívsistemímaple AT šaparvv operatornosimvolʹnírâdivlasovavzvríšennízadačteoríípružnostívsistemímaple |
| first_indexed |
2025-11-27T01:49:55Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:49:55Z |
| _version_ |
1850791978849009664 |
| fulltext |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
66
УДК 539.3, 519.6
ОПЕРАТОРНО-СИМВОЛЬНЫЕ РЯДЫ ВЛАСОВА В.З.
В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СИСТЕМЕ MAPLE
© В.А. Толок, В.В. Шапар, 2006
Запорожский институт имени гетмана Петра Сагайдачного МАУП, г. Запорожье
У роботі запропонований метод моделювання в системі MAPLE рішення граничних завдань теорії
пружності методом початкових функцій. Розроблено формальний підхід опису і рішення завдань теорії
пружності за допомогою символічних рядів Власова В.З. Для реалізації завдань в системі MAPLE розроблений
спеціальний передпроцесор.
В работе предложен метод моделирования в системе MAPLE решения граничных задач теории
упругости методом начальных функций. Разработан формальный подход описания и решения задач теории
упругости при помощи символических рядов Власова В.З. Для реализации задач в системе MAPLE разработан
специальный предпроцессор.
Simulation method of solving boundary tasks of elasticity theory using initial functions method in the system
MAPLE has been proposed in the paper. Formal approach of describing and solving tasks of elasticity theory using
V.Z.Vlasov symbolic series has been developed. Special preprocessor has been developed the tasks to be implemented
in the system MAPLE.
В работе [1] Власов В.З. с помощью разложения в ряд Макларена по одной из
координат построил новую форму общего решения двух- и трехмерной задачи теории
упругости в отсутствии массовых сил. В пространстве выделяется плоскость z=0,
определяются искомые величины на этой плоскости (начальные функции) и через них
выражаются основные величины в пространстве – напряжения и перемещения. Важно то, что
практически получались формулы с понижением размерности на единицу. В связи с
громоздкостью полученных выражений, Власовым В.З. [1] были предложены символьные
обозначения разложений, использующих некоторую аналогию методу разложения
Макларена и разложениям экспоненциальных, гиперболических и тригонометрических
функций, это позволило компактно записать сложные выражения.
В настоящей работе эта аналогия обобщается и вводится понятие так называемых
операторно-символьных рядов Власова В.З., операций над ними с моделированием
последних в системе MAPLE и показана возможность решения некоторых задач теории
упругости (Т.У.).
В случае отсутствия массовых сил [2-4] все основные искомые величины Т.У.
удовлетворяют бигармоническому уравнению:
∇∇U = 0. (1)
Операторные функции будем вводить через представление их в разложении в ряд
Макларена по переменной z. Так, например, будем иметь:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
67
k
k
z=0 xy
k=0
xy xy
z
f(x,y,z)= f(x,y,z) =f(x,y,z)EXP(d z)=
k!
=f(x,y,z)CH(d z)+f(x,y,z)SH(d z),
∞
∑
(2)
где 2
2
2
2
dy
d
dx
d
d xy += .
Если теперь построить функцию с условием, чтобы она удовлетворяла
бигармоническому уравнению, то получим:
0 xy 1 xy
2 xy 3 xy
f(x,y,z)=f (x,y)cos(d z)+f (x,y) sin(d z)+
+f (x,y) z cos(d z)+f (x,y) z sin(d z).
(3)
И, что важно: это z=0 0f(x,y,z) =f (x,y) – начальная функция.
Следуя Власову В.З. [1], в виде (3) представим U(x,y,z), V(x,y,z), W(x,y,z), Z(x,y,z),
Y(x,y,z), X(x,y,z) и выразим величины с индексом Ui, Vi, Wi, Zi, Yi, Xi (i≠0) через U0, V0, W0,
Z0, Y0, X0. С этой целью воспользуемся соотношениями Власова В.З.[1]:
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
U W+X,
V W+Y,
ν 1-2ν
W ( U V) Z ,
1-ν 2(1-ν)
Z X Y,
1+ν 2 ν
Y U V V Z,
1-ν 1-ν 1-ν
1+ν 2 ν
X V U U- Z.
1-ν 1-ν 1-ν
z x
z y
z x y
z x y
z x y x y y
z x y y x x
∂ ∂= −
∂ ∂
∂ ∂= −
∂ ∂
∂ ∂ ∂= − + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= − −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(4)
Далее на MAPLE проводим следующий ряд операций [5-7]:
- подставляем основные соотношения в виде (3) в систему (4) назвав ее R;
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
68
- полагая в полученной системе R z=0 и дифференцируя затем по z и снова полагая
z=0, получаем относительно индексных переменных Ui, Vi, Wi, Zi, Yi, Xi четыре группы
уравнений:
>eval(value(R), z = 0); Eval('R', z = 0) = %
1 2 0 0 1 2 0 0 1 2z=0
0 0 0
1 2 0 0 1 2
2
20 0 0
0 1 2
2
20 0 0
0
R =[γU +U =-αW +X , γV +V =-βW +Y , γW +W =
ν (αU +βV ) (1-2 ν) Z
=- + , γZ +Z =-αX +βY , γY +Y =
1-ν 2(1-ν)
(1+ν)αβU 2β V νβZ
=- -α V - - , γX +X
1-ν 1-ν 1-ν
(1+ν)αβV 2α U ν αZ
=- -β U - -
1-ν 1-ν 1-
=
],
ν
(5)
>eval(diff(value(R), z), z = 0); Eval(Diff('R', z), z = 0) = %
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 3 1 2 1 2 0 3
z=0
1 2 1 22
1 2 1 2 0 3
1 2 2
0 3 1 2 1 2
2
0 3
=[-γ U +2γU =-α γW +W +γX +X , -γ V +2γV =
ν α γU +U +β γV +V
=-β γW +W +γY +Y , -γ W +2γW =- +
1-ν
(1-2ν) γZ +Z
+ , -γ Z +2γZ =-α γX +X -β γY +Y ,
2 1-ν
(1+ν)α
-γ Y +2γY =-
R
z
∂
∂
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 22
1 2
2
1 2 1 2 1 22 2
0 3 1 2
β γU +U 2β γV +V νβ γZ +Z
-α γV +V - - ,
1-ν 1-ν 1-ν
(1+ν)αβ γV +V 2α γU +U να γZ +Z
-γ X +2γX =- -β γU +U - - ],
1-ν 1-ν 1-ν
> eval(diff(value(R), `$`(z, 2)), z = 0); Eval(Diff('R', `$`(z, 2)), z = 0) = %
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
69
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 0 3 0 3 1 22
0
0 3 0 32
0 3 0 3 1 2
0 3 2
1 2 0 3 0 3
=[-γ U -3γU =-α - γW +2W -γX +2X , -γ V -3γV =
ν α -γU +2U +β -γV +2V
=-β -γW +2W -γY +2Y , -γ W -3γW =- +
1-ν
(1-2ν) -γZ +Z
+ , -γ Z -3γZ =-α -γX +2X -β - γY +Y ,
2 1-ν
z
R
z
=
∂
∂
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 3 0 3 0 32 2
1 2 0 3
2
0 3 0 3 0 32 2
1 2 0 3
(1+ν)αβ -γU +2U 2β -γV +2V νβ -γZ +Z
-γ Y -3γY =- -α -γV +2V - - ,
1-ν 1-ν 1-ν
(1+ν)αβ -γV +2V 2α -γU +2U να -γZ +Z
-γ X -3γX =- -β -γU +2U - - ],
1-ν 1-ν 1-ν
(6)
>eval(diff(value(R), `$`(z, 3)), z = 0); Eval(Diff('R', `$`(z, 3)), z = 0) = %
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2
0 3 1 2 1 2 0 3 1 23
0
1 2 1 2 1 22
1 2 0 3
2
0 3 1 2 1 2
1 22 2
0 3 1 2
=[γ U -4γU =-α -γW -3W -γX +3X , γ V -4γV -β -γW -3W
ν α -γU -3U +β - γV -3V (1-2ν) -γZ -3Z
-γY +3Y , γ W -4γW =- + ,
1-ν 2 1-ν
γ Z -4γZ =-α -γX -3X -β -γY -3Y ,
(1+ν)αβ -γU -3U
γ Y -4γY =- -α - γV -3V
1-ν
z
R
z
=
∂ = ∂
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 22 2
0 3 1 2
2β - γV -3V νβ -γZ -3Z
- - ,
1-ν 1-ν
(1+ν)αβ -γV -3V 2α -γU -3U να -γZ -3Z
γ X -4γX =- -β -γU -3U - - ],
1-ν 1-ν 1-ν
- первые три используем для выражения индексных переменных через U0, V0, W0, Z0,
Y0, X0, а последняя группа удовлетворяется тождественно и этим доказывается полное
удовлетворение уравнений Т.У.
Таким образом, получаем формулы, точно совпадающие с соотношениями в работе
[1].
Для задачи плоской деформации таким же способом было получено:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
70
0 0
0 0
γ ysin(γ y) (4 ν γ-2γ)sin(γ y) γ ycos(γ y)
U= cos(γ y)+ U + + V +
2(ν-1) 4 γ (ν-1) 2(ν-1)
ysin(γ y) (-4 ν+3)sin(γ y) y cos(γ y)
+ Y - + X ,
4(ν-1) 4 γ (ν-1) 4(ν-1)
0 0
0 0
(4 ν γ-2γ)sin(γ y) γ ycos(γ y) γ ysin(γ y)
V= + U + cos(γ y)- V +
4 γ (ν-1) 2(ν-1) 2(ν-1)
(4 ν-3)sin(γ y) ycos(γ y) ysin(γ y)
+ + Y + X ,
4 γ (ν-1) 4(ν-1) 4(ν-1)
2 2
0 0
0 0
γ ysin(γ y) γ sin(γ y) γ ycos(γ y)
Y= U + + V +
ν-1 ν-1 ν-1
γ ysin(γ y) (1-2 ν)sin(γ y) γ ycos(γ y)
+ cos(γ y)- Y + + X ,
2(ν-1) 2(ν-1) 2(ν-1)
2 2
0 0
0 0
γ sin(γ y) γ y cos(γ y) γ ysin(γ y)
X= + U + V +
ν-1 ν-1 ν-1
(2 ν-1)sin(γ y) γ y cos(γ y) γ ysin(γ y)
+ Y + cos(γ y)+ X ,
2(ν-1) 2(ν-1) 2(ν-1)
γ=
x
∂
∂
,
(7)
что также точно совпадает с соотношением в работе [1].
Для иллюстрации на MAPLE [5-7] проведем решение задачи для свободно опертой по
краям толстой плиты, изгибаемой нагрузкой постоянной интенсивности Р. С этой целью
решение будем искать в виде рядов:
0 n n 0 n n
n=1 n=1
0 n n 0 n n n
n=1 n=1
U = u cos(α x), V = v sin(α x),
nπ
Y = y sin(α x), X = x cos(α x), α = ,
l
∞ ∞
∞ ∞
∑ ∑
∑ ∑
(8)
Подставив (8) в (7), получим:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
71
2n
n n n n n
n=1 n
2
n n n n n n n n
n n n n
cos(α x)
U= ((-2yα sinh(yα )+4(ν-1)α cosh(yα ))u +
4α (ν-1)
+(2yα cosh(yα )+2(1-2ν)α sinh(yα ))v +yα sinh(yα )y +
+(-yα cosh(yα )+(4ν-3)sinh(yα ))x ),
∞
∑
2n
n n n n n
n=1 n
2
n n n n n
n n n n n n n
sin(α x)
V= ((-2yα cosh(yα )-2(2ν-1)α sinh(yα ))u +
4α (ν-1)
+(2yα sinh(yα )+4(ν-1)α cosh(yα ))v +
+(yα cosh(yα )-(3-4ν)sinh(yα ))y -yα sinh(yα )x ),
∞
∑
2 2n
n n n n n n n n
n=1
n n n n n n n n
sin(α x)
Y= (-2yα sinh(yα )u +(-2α sinh(yα )+2yα cosh(yα ))v +
2(ν-1)
+(yα sinh(yα )+2(ν-1)cosh(yα ))y +((2ν-1)sinh(yα )-yα cosh(yα ))x ),
∞
∑
2 2n
n n n n n n n n
n=1
n n n n n n n n
cos(α x)
X= ((-2α sinh(yα )-2yα cosh(yα ))u +2yα sinh(yα )v +
2(ν-1)
+((2ν-1)sinh(yα )+yα cosh(yα ))y +(-yα sinh(yα )+2(ν-1)cosh(yα ))x ).
∞
∑
(9)
Далее, выполняя процедуру Галёркина, решаем систему:
l l
m my=h
0 0
l
my=h
0
Y sin(α x) dx= Psin(α x)dx
X sin(α x) dx=0
∫ ∫
∫
0,0 == nn xy .
Полученное решение имеет вид:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
72
( )( )( )( )n n n
n n n n
h a hα hα
n
n h a 2h a h a 2h a
n n n
-4Pe h e -1 e +1 cos(α l)-1 ν-1
u =
α (2e hα +1-e )(2e hα -1+e )l
,
( )( )( )( )n n n
n n n n
h a 2hα 2hα
n n
n h a 2h a h a 2ha
n n n
-4Pe e -1+hα e +1 cos(α l)-1 ν-1
v =
α (2e hα +1-e )(2e hα -1+e )l
.
(10)
Решение (10) сходится достаточно быстро, и хорошо согласуется с функцией
процесса, оно представлено на графиках (рис. 1):
Рис.1. Графики перемещений и напряжений U,V,Y,X.
При реализации предлагаемого метода удобно использовать преобразование Фурье
[3]. Решим, например, классическую задачу Фламана, решение которой описано в [3]. Так
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
73
как у нас всего два граничных условия и на бесконечности решение должно убывать, то
берем следующий операторно-символический ряд:
0 1
33 33 1 3 33 3σ =(σ (x )+x σ ) EXP(dx x ) . (11)
Отметим что (11) - бигармоническая функция. После преобразования Фурье будем
иметь:
3- q xF
33 3σ =(A+x B)e ,
3- q x
3F
13
i e (-B+ q A+ q x B)
σ =
q
,
3- q x
3F
11 2
q e (-2B+ q A+ q x B)
σ =
q
.
(12)
Причём:
j3 j3 j3A=δ , B=i qδ + q δ . (13)
Подставив (13) в (12), получаем следующий вид изображения напряжений:
( )3- q xF
11 3 j1 3 j3σ =e i(2sign(q)-q x )δ +(1- q x )δ ,
( )3- q xF
13 3 j1 3 j3σ =e (1- q x )δ +i q x δ ,
( )3- q xF
11 3 j1 3 j3σ =e i q x δ +(1+ q x )δ .
(14)
Используя (14), находим отображения перемещений, применив обратное
преобразование Фурье, получаем решение задачи Фламана:
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2006 (№ 3)
74
1 31
31 2
3
2
3
33 2
2
3
11 2
1 31
13 2
3
x xx1
u = (1-2ν)arctg - ,
2πµ x r
x1
u =- (1-2ν)(ln(r)+C)- ,
2πµ r
x1
u = (1-2ν)(ln(r)+C)+ ,
2πµ r
x xx1
u =- (1-2ν)arctg + ,
2πµ x r
(15)
2 2
1 3 1 3
113 311 133 3134 4
3 3
3 1
333 1114 4
2x x 2x x
σ =σ = , σ =σ = ,
π r π r
2x 2x
σ = , σ = .
π r π r
(16)
Таким образом, в работе предложен метод компьютерной реализации на базе
операторно-символьных рядов Власова В.З. решения граничных задач Т.У. с помощью
системы MAPLE. С этой целью разработан в MAPLE специальный предпроцессор.
Литература
1. Власов В.З. и Леонтьев Н.Н. Балки плиты и оболочки на упругом основании. – М.: ФИЗМАТГИЗ,
1960
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория Упругости. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
3. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Талаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002.
4. Кац А.М. Теория Упругости. – Санкт-Петербург, 2002
5. Васильев А. Н. Maple 8. Самоучитель. – Москва, 2003.
6. Аладьев В.З. Эффективная работа в Maple 6/7. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
7. Аладьев В.З. Системы компьютерной алгебры: Maple: Искусство программирования. – М.:
Лаборатория базовых знаний, 2006
|