Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів
Встановлено необхiднi i достатнi умови однозначностi з точнiстю до асоцiйовностi клiтково-трикутних факторизацiй клiтково-трикутних матриць над областями головних iдеалiв, що вiдповiдають факторизацiям їх дiагональних клiток. The necessary and sufficient conditions of uniqueness up to the associatio...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19244 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів / Н.С. Джалюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244689435754496 |
|---|---|
| author | Джалюк, Н.С. |
| author_facet | Джалюк, Н.С. |
| citation_txt | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів / Н.С. Джалюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Встановлено необхiднi i достатнi умови однозначностi з точнiстю до асоцiйовностi клiтково-трикутних факторизацiй клiтково-трикутних матриць над областями головних iдеалiв, що вiдповiдають факторизацiям їх дiагональних клiток.
The necessary and sufficient conditions of uniqueness up to the association of block-triangular factorizations of the block-triangular matrices over principal ideal domains which correspond to the factorizations of their diagonal blocks are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:16Z |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2010
МАТЕМАТИКА
УДК 512.64
© 2010
Н.С. Джалюк
Однозначнiсть клiтково-трикутних факторизацiй
матриць над кiльцями головних iдеалiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Встановлено необхiднi i достатнi умови однозначностi з точнiстю до асоцiйовностi
клiтково-трикутних факторизацiй клiтково-трикутних матриць над областями го-
ловних iдеалiв, що вiдповiдають факторизацiям їх дiагональних клiток.
Факторизацiї матриць клiткової структури, зокрема клiтково-дiагонального та клiтко-
во-трикутного виглядiв над кiльцями многочленiв, вивчались у роботах [1–3], де вказанi
умови, за яких унiтальнi множники у факторизацiях таких матриць мають вiдповiдний
клiтковий вигляд. У зв’язку з вiдшуканням повних наборiв розв’язкiв матричних много-
членних рiвнянь, в [4] дослiджувались факторизацiї клiтково-дiагональних многочленних
матриць з дiагональними клiтками трикутної форми. У [5] встановленi умови iснування
єдиних з точнiстю до асоцiйовностi дiльникiв та факторизацiй матриць над кiльцем го-
ловних iдеалiв, множники в яких мають заданi канонiчнi дiагональнi форми. У роботi [6]
знайденi умови, за яких клiтково-дiагональнi та клiтково-трикутнi матрицi над кiльцями
головних iдеалiв мають з точнiстю до асоцiйовностi факторизацiї лише таких самих клi-
ткових виглядiв.
У данiй роботi встановлено умови, за яких кожнiй факторизацiї дiагональних клiток
клiтково-трикутної матрицi над областю головних iдеалiв вiдповiдає єдина з точнiстю до
асоцiйовностi клiтково-трикутна факторизацiя цiєї матрицi, та запропоновано спосiб побу-
дови таких факторизацiй.
Нехай R — комутативна область головних iдеалiв. Будемо позначати через M(m,n,R)
та M(n,R) — множину m× n-матриць i кiльце n × n-матриць над R вiдповiдно.
Розглянемо неособливу верхню клiтково-трикутну матрицю T ∈ M(n,R), тобто
T = ‖Tpq‖
k
1 , Tpq ∈M(np, nq, R), i Tpq = 0, якщо p > q, p, q = 1, . . . , k. (1)
Нехай дiагональнi клiтки Tpp, p = 1, . . . , k, матрицi T розкладаються на множники
Tpp = BppCpp, p = 1, . . . , k, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 7
i для матрицi T iснує розклад на клiтково-трикутнi множники вигляду
T = BC =
∥∥∥∥∥∥∥∥
B11 B12 . . . B1k
0 B22 . . . B2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Bkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
·
∥∥∥∥∥∥∥∥
C11 C12 . . . C1k
0 C22 . . . C2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Ckk
∥∥∥∥∥∥∥∥
, (3)
де Bpp, Cpp ∈ M(np, R), Bpq, Cpq ∈ M(np, nq, R), p, q = 1, . . . , k, p < q. Факторизацiю (3)
матрицi T будемо називати вiдповiдною до факторизацiї (2) її дiагональних клiток Tpp,
p = 1, . . . , k.
Для матрицi T вигляду (1) iснує клiтково-трикутна факторизацiя (3), що вiдповiдає фа-
кторизацiї (2) її дiагональних клiток Tpp, p = 1, . . . , k, тодi i тiльки тодi, коли має розв’язок
система лiнiйних матричних рiвнянь
BppXpq + YpqCqq +
q−1∑
l=p+1
YplXlq = Tpq, 1 6 p < q 6 k, (4)
причому Xpq = Cpq, Ypq = Bpq, p < q, p, q = 1, . . . , k, — розв’язки цiєї системи.
Розв’язування системи матричних рiвнянь (4) зводиться до послiдовного розв’язування
лiнiйних рiзностороннiх матричних рiвнянь Сiльвестра
AX − Y B = C, (5)
де A ∈ M(m,R), B ∈ M(n,R), C ∈ M(m,n,R) та X,Y ∈ M(m,n,R) — невiдомi матрицi.
У роботi [7] встановлено, що матричне рiвняння (5) має розв’язок тодi i тiльки тодi, коли
матрицi
∥∥∥∥
A C
0 B
∥∥∥∥ та
∥∥∥∥
A 0
0 B
∥∥∥∥
є еквiвалентними у випадку, коли R = P — поле або R = P [x] — кiльце многочленiв над
полем P .
Для матриць над кiльцем головних iдеалiв цей результат узагальнено в [8, 9]. Методи
вiдшукання розв’язкiв та застосування матричних рiвнянь Сiльвестра i деяких їх спецiаль-
них виглядiв наведено в [10].
Над областю головних iдеалiв R кожна матриця лiво- або правоасоцiйована до трику-
тної форми Ермiта [11], тобто для матриць A i B iснують оборотнi над R матрицi P , Q
вiдповiдних розмiрiв такi, що
AP = HA =
∥∥∥∥∥∥∥∥
a11 a12 . . . a1m
0 a22 . . . a2m
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . amm
∥∥∥∥∥∥∥∥
, QB = HB =
∥∥∥∥∥∥∥∥
b11 b12 . . . b1n
0 b22 . . . b2n
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . bnn
∥∥∥∥∥∥∥∥
,
де aij ∈ Raii , i < j, i, j = 1, . . . ,m, bst ∈ Rbtt , s < t, s, t = 1, . . . , n, Rδ — повна множина
лишкiв за модулем δ, δ ∈ R.
Тодi з рiвняння (5) отримуємо матричне рiвняння
HAW − ZHB = C, (6)
де W = P−1X = ‖wij‖
m,n
1 , Z = Y Q−1 = ‖zij‖
m,n
1 .
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Лема 1. Для матричного рiвняння (6) iснує єдиний розв’язок W0 = ‖wij0‖
m,n
1 , Z0 =
= ‖zij0‖
m,n
1 такий, що zij0 ∈ Raii , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, тодi i тiльки тодi, коли
(detHA,detHB) = 1.
Доведення. Необхiднiсть. З матричного рiвняння (6) отримуємо систему лiнiйних рiв-
нянь
m∑
k=i
aikwkj −
j∑
l=1
bljzil = cij , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, (7)
розв’язування якої зводиться до послiдовного розв’язування лiнiйних дiофантових рiвнянь
вигляду
aiiwij − bjjzij = cij , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. (8)
Лiнiйне дiофантове рiвняння (8) має єдиний розв’язок
wij = wij0, zij = zij0 (9)
такий, що zij0 ∈ Raii , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, тодi i тiльки тодi, коли
(aii, bjj) = 1, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. (10)
Звiдси, враховуючи вигляд матриць HA та HB, маємо, що (detHA,detHB) = 1. Цим не-
обхiднiсть доведено.
Достатнiсть. За умови (detHA,detHB) = 1 матричне рiвняння (6) має розв’язок [8].
Тому має розв’язок i система лiнiйних рiвнянь (7). Враховуючи умову на детермiнанти
матриць HA, HB та їх вигляд, маємо, що виконуються спiввiдношення (10). А звiдси ко-
жне з дiофантових рiвнянь (8) має єдиний розв’язок вигляду (9). Тому для матричного
рiвняння (6) iснує єдиний розв’язок W0 = ‖wij0‖
m,n
1 , Z0 = ‖zij0‖
m,n
1 такий, що zij0 ∈ Raii ,
i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Лему доведено.
Зауважимо, що задача про однозначнiсть розв’язкiв з певними властивостями матри-
чних многочленних рiвнянь Сiльвестра дослiджувалася в роботах [3, 12–14].
Лема 2. Нехай дiагональнi клiтки неособливої клiтково-трикутної матрицi T ви-
гляду (1) розкладенi на множники (2). Якщо (detBss,detCs+t,s+t) = 1, s = 1 . . . , k − 1,
t = 1, . . . , k − s, то iснує клiтково-трикутна факторизацiя вигляду (3) матрицi T , що
вiдповiдає факторизацiї (2) її дiагональних клiток.
Доведення. Факторизацiя (3) клiтково-трикутної матрицi T , що вiдповiдає факториза-
цiї (2) її дiагональних клiток, iснує тодi i тiльки тодi, коли має розв’язок система матричних
рiвнянь (4), розв’язування якої зводиться до послiдовного розв’язування лiнiйних матри-
чних рiвнянь типу Сiльвестра
BppXpq + YpqCqq = Tpq, 1 6 p < q 6 k. (11)
З умови леми випливає, що (detBpp,detCqq) = 1, 1 6 p < q 6 k. Тодi кожне з лiнiйних
матричних рiвнянь (11) має розв’язок [8], а отже, має розв’язок система матричних рiв-
нянь (4). Тому iснує клiтково-трикутна факторизацiя вигляду (3) матрицi T , що вiдповiдає
факторизацiї (2) її дiагональних клiток. Лему доведено.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 9
Теорема. Нехай T — неособлива верхня клiтково-трикутна матриця (1) i її дiа-
гональнi клiтки розкладенi на множники вигляду (2). Тодi iснує з точнiстю до асоцi-
йовностi єдина клiтково-трикутна факторизацiя матрицi T , що вiдповiдає факториза-
цiї (2) її дiагональних клiток Tpp, p = 1, . . . , k, у тому i тiльки тому випадку, коли
(detBss,detCs+t,s+t) = 1, для всiх s = 1, . . . , k − 1, t = 1, . . . , k − s.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай для матрицi T iснує єдина з точнiстю до асоцiйовностi
клiтково-трикутна факторизацiя (3), що вiдповiдає факторизацiї (2) її дiагональних клiток.
Iснують оборотнi над R матрицi U , V такi, що TU = F , BV = HB , V −1CU = D —
верхнi трикутнi матрицi та HB у формi Ермiта. Тодi з рiвностi (3) маємо F = HBD, або
∥∥∥∥∥∥∥∥
F11 F12 . . . F1k
0 F22 . . . F2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Fkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
=
∥∥∥∥∥∥∥∥
HB11 G12 . . . G1k
0 HB22 . . . G2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . HBkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
·
∥∥∥∥∥∥∥∥
D11 D12 . . . D1k
0 D22 . . . D2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Dkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
, (12)
деHBpp = BppVpp = ‖h
(p)
ij ‖
np
1 — це форма Ермiта клiтки Bpp, а елементи в i-му рядку матрицi
Gpq = ‖g
(pq)
ij ‖
np,nq
1 належать повнiй множинi лишкiв за модулем дiагонального елемента h
(p)
ii
матрицi HBpp , тобто g
(pq)
ij ∈ R
h
(p)
ii
, i = 1, . . . , np, j = 1, . . . , nq, 1 6 p < q 6 k.
З факторизацiї (12) отримуємо, що матрицi Xpq = Dpq, Ypq = Gpq, 1 6 p < q 6 k,
є розв’язками системи матричних рiвнянь
HBppXpq + YpqDqq +
q−1∑
l=p+1
YplXlg = Fpq, 1 6 p < q 6 k, (13)
розв’язування якої зводиться до послiдовного розв’язування лiнiйних матричних рiвнянь
вигляду
HBppXpq + YpqDqq = Fpq, 1 6 p < q 6 k. (14)
Нехай система матричних рiвнянь (13) має iнший розв’язок Xpq = D̃pq, Ypq = G̃pq =
= ‖g̃
(pq)
ij ‖
np,nq
1 такий, що g̃
(pq)
ij ∈ R
h
(p)
ii
, i = 1, . . . , np, j = 1, . . . , nq, 1 6 p < q 6 k. Тодi
матриця F має факторизацiю
F = H̃BD̃,
де H̃B =
∥∥∥∥∥∥∥∥
HB11 G̃12 . . . G̃1k
0 HB22 . . . G̃2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . HBkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
, D̃ =
∥∥∥∥∥∥∥∥
D11 D̃12 . . . D̃1k
0 D22 . . . D̃2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Dkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
,
(15)
що вiдповiдає факторизацiї
Fpp = HBppDpp, p = 1, . . . , k, (16)
її дiагональних клiток. У факторизацiї (15) матриця H̃B має форму Ермiта та не збiга-
ється з матрицею HB з рiвностi (12). Тому факторизацiя (15) не є асоцiйованою до фа-
кторизацiї (12). А отже, матриця T має факторизацiю, що вiдповiдає факторизацiї (2) її
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
дiагональних клiток, яка не є асоцiйованою до факторизацiї (3) матрицi T , що суперечить
припущенню про iснуванння для матрицi T єдиної з точнiстю до асоцiйовностi такої вiдпо-
вiдної факторизацiї. Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Iснування факторизацiї вигляду (3) матрицi T випливає з леми 2. Дове-
демо єдинiсть з точнiстю до асоцiйовностi такої факторизацiї.
З факторизацiї (3) випливає iснування факторизацiї вигляду (12). Далi з умови теореми
маємо, що (detHBpp , detDqq) = 1, 1 6 p < q 6 k. Тому за лемою 1 робимо висновок, що
кожне з матричних рiвнянь (14) має єдиний розв’язок
Xpq = ‖d
(pq)
ij0 ‖
np,nq
1 , Ypq = ‖g
(pq)
ij0 ‖
np,nq
1
такий, що g
(pq)
ij0 ∈ R
h
(p)
ii
, i = 1, . . . , np, j = 1, . . . , nq, 1 6 p < q 6 k.
Отже, матрицi Dpq, Gpq, 1 6 p < q 6 k, з (12) мають вигляд
Dpq = ‖d
(pq)
ij0 + td
(q)
ii ‖
np,nq
1 , Gpq = ‖g
(pq)
ij0 + th
(p)
ii ‖
np,nq
1 ,
де t ∈ N
⋃
{0}, g
(pq)
ij0 ∈ R
h
(p)
ii
, i = 1, . . . , np, j = 1, . . . , nq, 1 6 p < q 6 k, d
(q)
ii , h
(p)
ii —
дiагональнi елементи матриць Dqq, H
Bpp вiдповiдно. Таким чином, усi факторизацiї вигля-
ду (12) матрицi F , що вiдповiдають розкладам (16) її дiагональних клiток, асоцiйованi мiж
собою.
Нехай для матрицi T iснує iнша клiтково-трикутна факторизацiя, що вiдповiдає факто-
ризацiї (2) її дiагональних клiток, тобто T = B̃C̃, або
T =
∥∥∥∥∥∥∥∥
B11 B̃12 . . . B̃1k
0 B22 . . . B̃2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Bkk
∥∥∥∥∥∥∥∥
·
∥∥∥∥∥∥∥∥
C11 C̃12 . . . C̃1k
0 C22 . . . C̃2k
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . Ckk
∥∥∥∥∥∥∥∥
, (17)
де Bpp, Cpp ∈ M(np, R), B̃pq, C̃pq ∈ M(np, nq, R), p, q = 1, . . . , k, p < q.
Далi аналогiчно, як факторизацiю (3), зведемо факторизацiю (17) до вигляду (12). Як
було показано, усi факторизацiї вигляду (12) асоцiйованi мiж собою. Оскiльки фактори-
зацiї (3) i (12), а також (17) i (12) асоцiйованi, то асоцiйованi i факторизацiї (3) та (17).
Отже, факторизацiя (3) матрицi T , що вiдповiдає факторизацiї (2) її дiагональних клiток,
є єдиною з точнiстю до асоцiйовностi. Теорему доведено.
Враховуючи теореми 2 i 3 з [6] та доведену теорему, отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок. Нехай T ∈ M(n,R) — неособлива верхня клiтково-трикутна матриця ви-
гляду (1) i визначники її дiагональних клiток Tpp, p = 1, . . . , k, розкладенi на множники
detTpp = ϕpψp, p = 1, . . . , k, i
k∏
p=1
ϕp = ϕ,
k∏
p=1
ψp = ψ. (18)
Нехай для спiввiдношень (18) виконується хоча б одна з умов:
а)
( s∏
p=1
ϕp, ψs+1
)
= 1, s = 1, . . . , k − 1, i ((ϕ,ψ), dTn−1) = 1;
б) (detTpp, (ϕ,ψ)) = 1, i = 1, . . . , k − 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 11
Тодi iснують факторизацiї дiагональних клiток
Tpp = BppCpp, p = 1, . . . , k, (19)
де detBpp = ϕp, detCpp = ψp, p = 1, . . . , k, та вiдповiдна до цiєї факторизацiї дiагональних
клiток клiтково-трикутна факторизацiя матрицi T
T = BC, detB = ϕ, detC = ψ,
i така факторизацiя матрицi T з точнiстю до асоцiйовностi є єдиною.
1. Казiмiрський П.С. Розклад матричних многочленiв на множники. – Київ: Наук. думка, 1981. – 224 с.
2. Петричкович В.М. Розкладнiсть на множники клiтково-дiагональних i клiтково-трикутних полiно-
мiальних матриць // Теоретичнi та прикладнi питання алгебри i диференцiальних рiвнянь. – Київ:
Наук. думка, 1977. – С. 92–97.
3. Петричкович В.М. Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная факторизации клеточно-треу-
гольных и клеточно-диагональных многочленных матриц // Мат. заметки. – 1985. – 37, вып. 6. –
С. 789–796.
4. Шаваровский Б. З. Поиск полного набора решений или доказательство неразрешимости некоторых
классов матричных многочленных уравнений с коммутирующими коэффициентами // Журн. вычисл.
мат. и мат. физики. – 2007. – 47, № 12. – С. 1988–1997.
5. Боревич З.И. О факторизациях матриц над кольцом главных идеалов // III Всесоюз. симп. по теории
колец, алгебр и модулей: Тез. докл. – Тарту: Тартус. ун-т, 1976. – С. 19.
6. Джалюк Н., Петричкович В. Факторизацiя клiтково-дiагональних та клiтково-трикутних матриць
над кiльцями головних iдеалiв // Мат. вiсник НТШ. – 2007. – 4. – С. 79–89.
7. Roth W.E. The equations AX − Y B = C and AX −XB = C in matrices // Proc. Amer. Math. Soc. –
1952. – No 3. – P. 392–396.
8. Newman M. The Smith normal form of a partitioned matrix // J. Res. Nat. Bur. Stand. B. – 1974. – 78,
No 1. – P. 3–6.
9. Feinberg R.B. Equivalence of partitioned matrices // Ibid. – 1976. – 80, No 1. – P. 89–97.
10. Kaczorek T. Polynomial and rational matrices. Applications in dynamical systems theory. – London: Sprin-
ger, 2007. – 503 p.
11. Newman M. Integral matrices. – New York: Academic Press, 1972. – 224 p.
12. Barnett S. Regular polynomial matrices having relatively prime determinants // Proc. Camb. Phil. Soc. –
1969. – 65, pr. 3. – P. 585–590.
13. Feinstein J., Bar-Ness Y. On the uniqueness of the minimal solution to the matrix polynomial equation
A(λ)X(λ) + Y (λ)B(λ) = C(λ) // J. Franklin Inst. – 1980. – 310, No 2. – P. 131–134.
14. Prokip V. М. About the uniqueness solution of the matrix polynomial equation A(λ)X(λ)− Y (λ)B(λ) =
= C(λ) // Lobachev. J. Math. – 2008. – 29, No 3. – P. 186–191.
Надiйшло до редакцiї 13.04.2009Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
N. S. Dzhalyuk
The uniqueness of the block-triangular factorizations of the matrices
over a principal ideal rings
The necessary and sufficient conditions of uniqueness up to the association of block-triangular
factorizations of the block-triangular matrices over principal ideal domains which correspond to the
factorizations of their diagonal blocks are established.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19244 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:16Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джалюк, Н.С. 2011-04-23T11:36:04Z 2011-04-23T11:36:04Z 2010 Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів / Н.С. Джалюк // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19244 512.64 Встановлено необхiднi i достатнi умови однозначностi з точнiстю до асоцiйовностi клiтково-трикутних факторизацiй клiтково-трикутних матриць над областями головних iдеалiв, що вiдповiдають факторизацiям їх дiагональних клiток. The necessary and sufficient conditions of uniqueness up to the association of block-triangular factorizations of the block-triangular matrices over principal ideal domains which correspond to the factorizations of their diagonal blocks are established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів The uniqueness of the block-triangular factorizations of the matrices over a principal ideal rings published earlier |
| spellingShingle | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів Джалюк, Н.С. Математика |
| title | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| title_alt | The uniqueness of the block-triangular factorizations of the matrices over a principal ideal rings |
| title_full | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| title_fullStr | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| title_full_unstemmed | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| title_short | Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| title_sort | однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19244 |
| work_keys_str_mv | AT džalûkns odnoznačnístʹklítkovotrikutnihfaktorizacíimatricʹnadkílʹcâmigolovnihídealív AT džalûkns theuniquenessoftheblocktriangularfactorizationsofthematricesoveraprincipalidealrings |