Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами
Розроблений новий алгоритм числового розв’язання обернених крайових задач на квазiконформнi вiдображення в анiзотропних середовищах з вiльними межами.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19248 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В. I. Гаврилюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 27-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19248 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-192482025-02-23T17:25:34Z Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами Nonlinear inversions of the boundary-value problems on quasiconformal mappings in anisotropic media with free borders Бомба, А.Я. Гаврилюк, В.І. Скопецький, В.В. Інформатика та кібернетика Розроблений новий алгоритм числового розв’язання обернених крайових задач на квазiконформнi вiдображення в анiзотропних середовищах з вiльними межами. We have designed a new algorithm of the numerical solution of inverse nonlinear boundary-value problems on quasiconformal mappings in anisotropic media with free borders. 2010 Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В. I. Гаврилюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 27-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19248 519.63.4.001.57+517.54 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Бомба, А.Я. Гаврилюк, В.І. Скопецький, В.В. Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами Доповіді НАН України |
| description |
Розроблений новий алгоритм числового розв’язання обернених крайових задач на квазiконформнi вiдображення в анiзотропних середовищах з вiльними межами. |
| author |
Бомба, А.Я. Гаврилюк, В.І. Скопецький, В.В. |
| author_facet |
Бомба, А.Я. Гаврилюк, В.І. Скопецький, В.В. |
| author_sort |
Бомба, А.Я. |
| title |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| title_short |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| title_full |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| title_fullStr |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| title_full_unstemmed |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| title_sort |
нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19248 |
| citation_txt |
Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах з вільними межами / А.Я. Бомба, В. I. Гаврилюк, В.В. Скопецький // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 27-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bombaaâ nelíníjníobernennâkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâvanízotropnihseredoviŝahzvílʹnimimežami AT gavrilûkví nelíníjníobernennâkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâvanízotropnihseredoviŝahzvílʹnimimežami AT skopecʹkijvv nelíníjníobernennâkrajovihzadačnakvazíkonformnívídobražennâvanízotropnihseredoviŝahzvílʹnimimežami AT bombaaâ nonlinearinversionsoftheboundaryvalueproblemsonquasiconformalmappingsinanisotropicmediawithfreeborders AT gavrilûkví nonlinearinversionsoftheboundaryvalueproblemsonquasiconformalmappingsinanisotropicmediawithfreeborders AT skopecʹkijvv nonlinearinversionsoftheboundaryvalueproblemsonquasiconformalmappingsinanisotropicmediawithfreeborders |
| first_indexed |
2025-11-24T03:04:48Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:04:48Z |
| _version_ |
1849639293162618880 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2010
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.63.4.001.57+517.54
© 2010
А.Я. Бомба, В. I. Гаврилюк,
член-кореспондент НАН України В. В. Скопецький
Нелiнiйнi обернення крайових задач на квазiконформнi
вiдображення в анiзотропних середовищах з вiльними
межами
Розроблений новий алгоритм числового розв’язання обернених крайових задач на квазi-
конформнi вiдображення в анiзотропних середовищах з вiльними межами.
У роботах [1–4] для побудови динамiчних сiток потенцiальних i квазiпотенцiальних полiв,
розрахунку рiзного роду профiлiв з одночасним знаходженням iнших характеристик (ви-
трат, величин перетокiв тощо) розроблений метод обернених крайових задач (конформних
i квазiконформних вiдображень). Зокрема, у роботах [2–4] проведено математичне моде-
лювання нелiнiйних процесiв фiльтрацiї з урахуванням зворотного впливу характеристик
процесу на характеристики середовища, в [1] розглядається випадок поєднання методiв фi-
ктивних областей та квазiконформних вiдображень розв’язання нелiнiйних крайових задач
для розрахунку фiльтрацiйних режимiв у середовищах з вiльними дiлянками границь (кри-
вими депресiї) та промiжками типу “височування”. Нижче пропонується алгоритм чисель-
ного розв’язання обернених нелiнiйних крайових задач на квазiконформнi вiдображення
в анiзотропних середовищах — криволiнiйних чотирикутних областях, обмежених двома
еквiпотенцiальними лiнiями та двома лiнiями течiї, коли однiєю з дiлянок границi є невi-
дома (вiльна) крива.
Постановка задачi. Розглянемо процес типу “фiльтрацiя” у деякiй криволiнiйнiй об-
ластi Gz = ABC∗D (ABC∗D ∈ AB̃C̃D) з вiльною кривою BC0 та промiжком типу “висо-
чування” C1C0 (рис. 1, а)), наприклад, за умов:
∂
∂x
(
κ11(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂x
+ κ12(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂y
)
+
+
∂
∂y
(
κ21(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂x
+ κ22(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂y
)
= 0,
ϕ|AB = ϕ∗, ϕ|DC1
= ϕ∗, ϕ′
~n|BC0
= ϕ′
~n|AD = 0, h|BC◦C1
= g(y),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 27
Рис. 1. Область фiльтрацiї Gz з вiльною кривою i промiжком височування (а) та вiдповiдна їй область
квазiкомплексного квазiпотенцiалу Gω (б )
Рис. 2. Гiдродинамiчна сiтка
де перше рiвняння є наслiдком рiвнянням руху ~υ = κ grad h (закон Дарсi) та рiвняння
нерозривностi div ~υ = 0; κ = (κrs)r,s=1,2, κrs = κrs(x, y, ϕ, ψ) — обмеженi неперервно-дифе-
ренцiйованi в областi Gz функцiї, що характеризують провiднiсть середовища, його анiзо-
тропiю та схильнiсть до деформацiй; ~υ = (υx(x, y) + i · υy(x, y)) — швидкiсть фiльтрацiї;
h = h(x, y) — напiр в точцi (x, y); ϕ = ϕ(x, y) — квазiпотенцiал поля; g(y) — обмежена не-
перервно-диференцiйована функцiя; ~n — зовнiшня нормаль до вiдповiдної дiлянки границi
даної областi.
Для простоти викладення розглянемо даний процес для випадку греблi. Вiдповiдну
фiзичну область фiльтрацiї Gz(z = x + iy) (аналогiчно [1–3]) зображено на рис. 2, де
AB = {z : m1y − x = 0, 0 6 x 6 l1}; SD = {z : m2y + x − l1 − b − l2 = 0}; DA = {z : y =
= 0, 0 6 x 6 l1 + b + l2}; C1D = {z : m2y + x − l1 − b − l2 = 0, x1 6 x 6 l1 + b + l2};
C1C = {z : y = h∗, x1 6 x 6 x∗}; BC0C — вiльна (невiдома) поверхня (крива депресiї);
AD — непроникна основа греблi; HГ та H, h∗ — вiдповiдно висота греблi та напори на нiй;
b — ширина гребеня; m1 = l1/HГ та m2 = l2/HГ — коефiцiєнти закладання верхового та
низового укосiв; C0C1C — фiктивна дiлянка розглядуваної областi фiльтрацiї, x∗ — шукана
абсциса точки C, при умовах:
h|BC0C = h|BC0C1
= y, ϕ = 1− h− h∗
H − h∗
, ϕ|AB = 0, ϕ|CC1D = 1,
dϕ
dn
∣∣∣∣
BC
=
dϕ
dn
∣∣∣∣
DA
= 0.
Задача на квазiконформне вiдображення ω = ω(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y) розглядуваної
областi Gz на вiдповiдну область квазiкомплексного квазiпотенцiалу Gω = {ω : 0 < ϕ <
< 1, 0 < ψ < Q} (ψ = ψ(x, y) — функцiя течiї квазiкомплексно спряжена до ϕ = ϕ(x, y))
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
з невiдомим параметром — повною питомою витратою Q =
∫
AB
−υydx + υxdy матиме ви-
гляд [3, 4]
κ11(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂x
+ κ12(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂y
=
∂ψ
∂y
,
κ21(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂x
+ κ22(x, y, ϕ, ψ)
∂ϕ
∂y
= −∂ψ
∂x
,
(1)
ϕ|AB = 0, ϕ|CC1D = 1, ψ|DA = 0, ψ|BC = Q. (2)
Запишемо обернену до (1), (2) задачу на квазiконформне вiдображення z = z(ω) = x(ϕ,ψ)+
+ iy(ϕ,ψ) областi Gω на Gz при невiдомому Q
κ11(x, y, ϕ, ψ)
∂y
∂ψ
− κ12(x, y, ϕ, ψ)
∂x
∂ψ
=
∂x
∂ϕ
,
κ21(x, y, ϕ, ψ)
∂y
∂ψ
− κ22(x, y, ϕ, ψ)
∂x
∂ψ
=
∂y
∂ϕ
;
(3)
m1y(0, ψ)− x(0, ψ) = 0, 0 6 ψ 6 Q,
m2y(1, ψ) + x(1, ψ) − l1 − b− l2 = 0, 0 6 ψ 6 Q1,
y(1, ψ) = h∗, Q1 6 ψ 6 Q,
y(ϕ,Q) = h∗ + (1− ϕ)∗(H − h∗), 0 6 ϕ 6 1,
y(ϕ, 0) = 0, 0 6 ϕ 6 1.
(4)
Для простоти викладок розглянемо випадок, коли κrs = κrs(x, y). Тодi вiдповiднi рiвняння
другого порядку для знаходження функцiй x = x(ϕ,ψ) та y = y(ϕ,ψ) у дивергентнiй формi
мають вигляд [3]
∂
∂ψ
(
κ11(x, y)κ22(x, y)− κ21(x, y)κ12(x, y)
κ11(x, y)
∂x
∂ψ
− κ21(x, y)
κ11(x, y)
∂x
∂ϕ
)
+
+
∂
∂ϕ
(
1
κ11(x, y)
∂x
∂ϕ
+
κ12(x, y)
κ11(x, y)
∂x
∂ψ
)
= 0,
∂
∂ψ
(
κ11(x, y)κ22(x, y)− κ21(x, y)κ12(x, y)
κ22(x, y)
∂y
∂ψ
+
κ12(x, y)
κ22(x, y)
∂y
∂ϕ
)
+
+
∂
∂ϕ
(
1
κ22(x, y)
∂y
∂ϕ
− κ21(x, y)
κ22(x, y)
∂y
∂ψ
)
= 0.
(5)
Рiзницевий аналог рiвнянь (5), крайових умов (4), приграничних умов ортогональностi
та умов “квазiконформної подiбностi в малому” вiдповiдних чотирикутникiв у вiдповiд-
нiй рiвномiрнiй сiтковiй областi Gγ
ω = {(ϕi, ψj) : ϕi = ∆ϕi, i = 0,m+ 1; ψj = ∆ψj, j =
= 0, n+ 1; ∆ϕ = 1/m+1, ∆ψ = Q/n+1, γ = ∆ϕ/∆ψ, m, n ∈ N} запишемо у виглядi [3, 4]
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 29
σ(“ai+1,j+1xi+1,j+1 − (“ai+1,j+1 + “ai,j+1)xi,j+1 + “ai,j+1xi−1,j+1) +
+ (1− 2σ)(“ai+1,jxi+1,j − (“ai+1,j + “ai,j)xi,j + “ai,jxi−1,j) +
+ σ(“ai+1,j−1xi+1,j−1 − (“ai+1,j−1 + “ai,j−1)xi,j−1 + “ai,j−1xi−1,j−1) +
+ γ2(σ(“bi+1,j+1xi+1,j+1 − (“bi+1,j+1 + “bi+1,j)xi+1,j + “bi+1,jxi+1,j−1) +
+ (1− 2σ)(“bi,j+1xi,j+1 − (“bi,j+1 + “bi,j)xi,j + “bi,jxi,j−1) +
+ σ(“bi−1,j+1xi−1,j+1 − (“bi−1,j+1 + “bi−1,j)xi−1,j + “bi−1,jxi−1,j−1)) +
+ γ(“ci+1,j(xi+1,j+1 − xi+1,j−1)− “ci−1,j(xi−1,j+1 − xi−1,j−1)−
− “di,j+1(xi+1,j+1 − xi−1,j+1) + “di,j−1(xi+1,j−1 − xi−1,j−1))/4 = 0,
σ(ăi+1,j+1yi+1,j+1 − (ăi+1,j+1 + ăi,j+1)yi,j+1 + ăi,j+1yi−1,j+1) +
+ (1− 2σ)(ăi+1,jyi+1,j − (ăi+1,j + ăi,j)yi,j + ăi,jyi−1,j) +
+ σ(ăi+1,j−1yi+1,j−1 − (ăi+1,j−1 + ăi,j−1)yi,j−1 + ăi,j−1yi−1,j−1) +
+ γ2(σ(b̆i+1,j+1yi+1,j+1 − (b̆i+1,j+1 + b̆i+1,j)yi+1,j + b̆i+1,jyi+1,j−1) +
+ (1− 2σ)(b̆i,j+1yi,j+1 − (b̆i,j+1 + b̆i,j)yi,j + b̆i,jyi,j−1) +
+ σ(b̆i−1,j+1yi−1,j+1 − (b̆i−1,j+1 + b̆i−1,j)yi−1,j + b̆i−1,jyi−1,j−1)) +
+ γ(−c̆i+1,j(yi+1,j+1 − yi+1,j−1) + c̆i−1,j(yi−1,j+1 − yi−1,j−1) +
+ d̆i,j+1(yi+1,j+1 − yi−1,j+1)− d̆i,j−1(yi+1,j−1 − yi−1,j−1))/4 = 0,
i = 1,m, j = 1, n;
(6)
m1y0,j − x0,j = 0, j = 0, n+ 1,
m2ym+1,j + xm+1,j − l1 − b− l2 = 0, j = 0, n0,
ym+1,j = h∗, j = n0, n+ 1,
yi,n+1 = h∗ + (H − h∗)(1− ϕi), i = 0,m+ 1,
yi,0 = 0, i = 0,m+ 1;
(7)
(y1,j − y0,j) +m1(x1,j − x0,j) =
=
√
1 +m2
1
√
(x1,j − x0,j)2 + (y1,j − y0,j)2
√
1− cos2 Θ10,j, j = 0, n + 1,
(xi,n − xi,n+1)(xi−1,n+1 − xi,n+1) + (yi,n − yi,n+1)(yi−1,n+1 − yi,n+1) =
=
√
(yi−1,n+1 − yi,n+1)2 + (xi,n+1 − xi−1,n+1)2 ×
×
√
(xi,n − xi,n+1)2 + (yi,n − yi,n+1)2
√
1− cos2 Θ2i,n+1, i = 0,m+ 1,
−(ym,j − ym+1,j) +m2(xm,j − xm+1,j) =
√
1 +m2
2 ×
×
√
(xm+1,j − xm,j)2 + (ym+1,j − ym,j)2
√
1− cos2 Θ3m+1,j , j = 0, n0,
(xm,j − xm+1,j) =
√
(xm+1,j − xm,j)2 + (ym+1,j − ym,j)2
√
1− cos2Θ3m+1,j ,
j = n0, n+ 1,
(xi,1 − xi,0) =
√
(xi,1 − xi,0)2 + (yi,1 − yi,0)2
√
1− cos2 Θ4i,0, i = 0,m+ 1;
(8)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
γ =
1
(m+ 1)(n+ 1)
×
×
m,n∑
i,j=0
√
(xi+1,j−xi,j)2+(yi+1,j−yi,j)2+
√
(xi+1,j+1−xi,j+1)2+(yi+1,j+1−yi,j+1)2
ai,j + ai+1,j
,
ai,j =
√
(κij11(yi,j+1−yi,j)−κij12(xi,j+1−xi,j))2+(κij21(yi,j+1−yi,j)−κij22(xi,j+1−xi,j))2,
(9)
де
κijrs = κrs(xi,j, yi,j), “ai,j = ac
(
1
κ11i,j
)
, “bi,j = bd
(
κ11i,jκ
22
i,j − κ21i,jκ
12
i,j
κ11i,j
)
,
“ci,j = ac
(
κ12i,j
κ11i,j
)
, “di,j = bd
(
κ21i,j
κ11i,j
)
, ăi,j = ac
(
1
κ22i,j
)
,
b̆i,j = bd
(
κ11i,jκ
22
i,j − κ21i,jκ
12
i,j
κ22i,j
)
, c̆i,j = ac
(
κ21i,j
κ22i,j
)
, d̆i,j = bd
(
κ12i,j
κ22i,j
)
,
ac(ki,j) = ki−0,5,j, ac(ki,j) =
ki,j + ki−1,j
2
, ac(ki,j) =
2ki,jki−1,j
ki,j + ki−1,j
,
bd(ki,j) = ki,j−0,5, bd(ki,j) =
ki,j + ki,j−1
2
, bd(ki,j) =
2ki,jki,j−1
ki,j + ki,j−1
;
cosΘ1 =
κ11 − (κ12 + κ21)m1 + κ22m
2
1√
1 +m2
1
√
(−κ11 + κ12m1)2 + (−κ21 + κ22m1)2
, j = 0, n+ 1;
cosΘ3 =
κ11 + (κ12 + κ21)m2 + κ22m
2
2√
1 +m2
2
√
(κ11 + κ12m2)2 + (κ21 + κ22m2)2
, j = 0, n0;
cosΘ3 =
κ22√
κ12 + κ22
, j = n0, n+ 1;
cosΘ2 =
(
κ11(yi−1,n+1 − yi,n+1)
2 + (κ12 + κ21)(yi−1,n+1 − yi,n+1)(xi,n+1 − xi−1,n+1) +
+ κ22(xi,n+1 − xi−1,n+1)
2
)
/
(
(κ11(yi−1,n+1 − yi,n+1) + κ12(xi,n+1 − xi−1,n+1)
2 +
+ (κ21(yi−1,n+1 − yi,n+1) + κ22(xi,n+1 − xi−1,n+1))
2)1/2 ×
× ((yi−1,n+1 − yi,n+1)
2 + (xi,n+1 − xi−1,n+1)
2)1/2
)
, i = 0,m+ 1;
cosΘ4 =
κ22√
κ12 + κ22
, i = 0,m+ 1.
Алгоритм наближення розв’язку даної задачi в загальному випадку будуємо шляхом по-
етапної параметризацiї (“почергового заморожування”) параметра γ (або витрати Q), гра-
ничних та внутрiшнiх вузлiв сiтки Gγ
z [5] з використанням iдей методу блочної iтерацiї
(див., наприклад, [4]) для обгрунтування його збiжностi. Задавши кiлькiсть вузлiв роз-
биття сiтки m та n, параметр ε1, що характеризує точнiсть роботи алгоритму розв’язання
вiдповiдної рiзницевої задачi, початковi наближення координат граничних вузлiв x
(0)
0,j , y
(0)
0,j ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 31
x
(0)
m+1,j, y
(0)
m+1,j , x
(0)
i,n+1, y
(0)
i,n+1, x
(0)
i,0 , y
(0)
i,0 (так, щоб виконувалися рiвностi (7)) та початковi
наближення координат внутрiшнiх вузлiв
(
x
(0)
i,j , y
(0)
i,j
)
, i = 1,m, j = 1, n. Початкове набли-
ження квазiконформного iнварiанта γ знаходимо за формулою (9), в якiй використовуємо
щойно заданi початковi значення координат внутрiшнiх вузлiв, тобто γ(0) = γ(x
(0)
i,j , y
(0)
i,j ).
Далi проводимо уточнення: внутрiшнiх вузлiв (x
(k+1)
i,j , y
(k+1)
i,j ) (k = 0, 1, . . . — номер кроку
iтерацiї) за допомогою iтерацiйного методу Зейделя [5] за формулами, отриманими шляхом
розв’язання (6) вiдносно xi,j та yi,j (для прискорення швидкостi збiжностi всього процесу
i економiї машинного часу та на основi iдей методу блочної iтерацiї [5] використаємо ли-
ше перший iтерацiйний крок); величини γ за формулами (9) та витрати Q за формулою
Q =
1
γ
n+ 1
m+ 1
; координат граничних вузлiв, наприклад, шляхом розв’язання системи нелi-
нiйних рiвнянь (7), (8), де в (7) ϕi, що вiдповiдає “фiктивнiй областi”, визначається з умови
ϕk+1
i = ϕi(x
k+1
i,j , yk+1
i,j )
∣∣
m2y
k+1
i,j +xk+1
i,j −l1−b−l2=0
. Далi перевiряємо виконання умов закiнчення
обчислювального процесу, наприклад, за формулами
max
xi,j ,yi,j∈∂Gz
(
|x(k+1)
i,j − x
(k)
i,j |, |y
(k+1)
i,j − y
(k)
i,j |
)
< ε,
|Q(k+1) −Q(k)| < ε, |D(k+1) −D(k)| < ε,
(10)
де
D =
1
(m+ 1)(n + 1)
m,n∑
i,j=0
√
(xi+1,j+1 − xi,j)2 + (yi+1,j+1 − yi,j)2√
(xi,j+1 − xi+1,j)2 + (yi,j+1 − yi+1,j)2
—
усереднене значення вiдношення довжин дiагоналей криволiнiйних чотирикутникiв сiткової
областi Gγ
z .
Якщо умови (10) не справджуються, то повертаємося до уточнення координат внутрiш-
нiх вузлiв i т. д. У протилежному випадку обчислюємо нев’язку квазiконформностi отри-
маної сiтки за формулою ε∗ =
√
ε2x + ε2y, де εx, εy — нев’язки апроксимацiй рiвнянь (3):
εx =
m,n
max
i,j=1
|xi+1,j − xi−1,j − γ(κij11(yi,j+1 − yi,j−1) + κij12(xi,j+1 − xi,j−1))|,
εy =
m,n
max
i,j=1
|yi+1,j − yi−1,j − γ(κij21(yi,j+1 − yi,j−1) + κij22(xi,j+1 − xi,j−1))|.
У випадку, коли не виконується, наприклад, лише одна iз умов (10), узгоджуємо спiв-
вiдношення мiж точнiстю ε∗ та заданою кiлькiстю крокiв розбиття m, n (в першу чергу,
шляхом збiльшення останнiх). Якщо ж потрiбно збiльшити ступiнь точностi наближеного
розв’язку (зменшити нев’язку ε∗), то збiльшуємо параметри розбиття m i n та розв’язує-
мо рiзницеву задачу (6)–(9) заново. Оптимальнiсть спiввiдношення мiж m i n досягається
аналогiчно [5] шляхом оптимiзацiї аналогiв функцiоналiв типу Рiмана.
Результати числового розрахунку. Висновки i зауваження. Провiвши розрахун-
ки за описаним алгоритмом при розбиттi областi фiльтрацiї m × n = 30 × 8, точностi на-
ближення ε = 10−5, конструктивних параметрах греблi H = 12 м, HГ = 14 м, h∗ = 4 м,
l1 = 42 м, b = 6 м, l2 = 35 м, коефiцiєнтах фiльтрацiї κ11 = 1 + 0,01x, κ12 = 0, κ21 = 0,
κ22 = 1 − 0,01x, за k = 4562 крокiв отримуємо гiдродинамiчну сiтку руху (див. рис. 2.),
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
знаходимо повну фiльтрацiйну витрату Q = 0,1833 м3/добу (за максимальної нев’язки
ε∗ = 4,0E−3) та встановлюємо промiжок височування C0C1 (що на 57% менше вiдповiдного
випадку для однорiдного середовища, при κ11 = κ22 = 1, κ12 = κ21 = 0).
Описанi вище алгоритми чисельного розв’язання обернених нелiнiйних крайових за-
дач на квазiконформнi вiдображення реалiзованi у виглядi пакетiв програм для ПК IBM
PC/AT. Обгрунтування побудованого нами алгоритму почергового “замороження” шуканих
параметра квазiконформностi, внутрiшнiх та граничних вузлiв криволiнiйної областi, як i
в [1–4], проводилось iз використанням iдей методу блочної iтерацiї.
Використання такого пiдходу до розв’язання задач на квазiконформнi вiдображення
в анiзотропних середовищах з вiльними межами дозволяє встановлювати динамiку змiни
положення кривої депресiї, визначити ступiнь деформацiйних процесiв у масивi низової
призми та прогнозувати їх наслiдки для роботи греблi. Зокрема, на основi числових розра-
хункiв встановлено, що поворот осей елiпса анiзотропiї навiть на незначний кут (близько
5◦) призводить до пiдвищення положення вiльної кривої до 15%.
1. Бомба А.Я., Гаврилюк В.И., Скопецкий В.В. Метод “фиктивных областей” и квазиконформных
отображений решения нелинейных краевых задач со свободными границами и включениями // Ком-
пьютерная математика. – 2007. – № 1. – С. 91–101.
2. Бомба А.Я., Гаврилюк В. I. Модифiкацiя алгоритму числового розв’язання обернених задач на квазi-
конформнi вiдображення для випадку областей з вiльними межами // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Сер.
Математичне моделювання. Iнформацiйнi технологiї. Автоматизованi системи управлiння. – 2008. –
№ 833. – С. 39–46.
3. Бомба А.Я., Каштан С.С. Нелiнiйнi обернення крайових задач на квазiконформнi вiдображення в
анiзотропних середовищах // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. Фiз.-мат. науки. – 2001. – Вип. 4. – С. 182–195.
4. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелiнiйнi математичнi моделi процесiв геогiдро-
динамiки. – Київ: Наук. думка, 2007. – 308 с.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем. – Москва: Наука, 1977. – 656 с.
Надiйшло до редакцiї 25.06.2009Рiвненський державний гуманiтарний унiверситет
Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
A.Ya. Bomba, V. I. Gavrilyuk,
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.V. Scopecky
Nonlinear inversions of the boundary-value problems on quasiconformal
mappings in anisotropic media with free borders
We have designed a new algorithm of the numerical solution of inverse nonlinear boundary-value
problems on quasiconformal mappings in anisotropic media with free borders.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 33
|