Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів
Отримано загальний метод побудови явних аналiтичних формул для полiномiальних базисних сплайнiв на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв. A general method for the construction of explicit analytical formulas for polynomial basis splines on a nonuniform grid of knots is given....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19249 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів / О.М. Литвин, О.В. Ткаченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 34-39. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859820167522942976 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. |
| author_facet | Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. |
| citation_txt | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів / О.М. Литвин, О.В. Ткаченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 34-39. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано загальний метод побудови явних аналiтичних формул для полiномiальних базисних сплайнiв на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв.
A general method for the construction of explicit analytical formulas for polynomial basis splines on a nonuniform grid of knots is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:25:02Z |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2010
О.М. Литвин, О. В. Ткаченко
Математичне моделювання процесiв iнтерполяцiйними
сплайнами на нерегулярнiй сiтцi вузлiв
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Отримано загальний метод побудови явних аналiтичних формул для полiномiальних
базисних сплайнiв на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв.
Актуальнiсть теми. Використання В-сплайнiв вищих порядкiв для побудови операторiв
iнтерполяцiї та апроксимацiї функцiй, заданих таблицею значень, є одним з ефективних ме-
тодiв наближення функцiй сплайнами. Але використання для цього класичних В-сплайнiв
n-го степеня (n = 2, 3, . . .), заданих на рiвномiрнiй сiтцi вузлiв рекурентними формулами
(Nk(t) — сплайн степеня k − 1)
Nk(x) =
∞
∫
−∞
Nk−1(t)N1(x− t) dt, k = 2, 3, . . . ;
N1(t) = 1, 0 6 t < 1; N1(t) = 0, t < 0, t > 1,
має ряд недолiкiв. Пояснимо їх на прикладi задачi iнтерполювання невiдомої функцiї f(x),
заданої таблицею експериментальних даних (Xk, Yk), Yk = f(Xk), 0 = X0 < X1 < · · · <
< XQ = 1, k = 1, Q. Для спрощення припустимо, що iнтерполяцiйний сплайн будуємо за
допомогою B-сплайна 2-го степеня
N3(x) =
∞
∫
−∞
N2(t)N1(x− 1) dt =
1
2
0, x 6 0,
x2, x ∈ (0, 1],
−2x2 + 6x− 3, x ∈ (1, 2],
(x− 3)2, x ∈ (2, 3),
0, x > 3
(1)
у виглядi:
S(X,Y, x) =
Q+2
∑
j=0
cjN3(Qx− j + 2). (2)
Як видно з (1), базисний сплайн N3(x) має вузли x = 0, 1, 2, 3. В цих точках друга похiдна
d2
dx2
N3(x) має розриви першого роду. Тому функцiя N3(Qx) має вузли в точках Qx = k,
k = 0, 1, 2, 3, тобто в точках xk = k/Q, k = 0, 1, 2, 3; Q > 3 i функцiя N3(Q(x − p/Q)) =
= N3(Qx− p), 0 6 p 6 Q має вузли в точках xk = (k + p)/Q, k = 0, 1, 2, 3; 0 6 k + p 6 Q.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Тому, якщо система експериментальних даних (Xp, Yp), 0 6 p 6 Q задана на рiвномiрнiй
сiтцi вузлiв Xp = p/Q, 0 6 p 6 Q, то для знаходження невiдомих Cj, 0 6 j 6 Q + 2
у формулi (2) отримаємо СЛАР
Q+2
∑
j=0
cjN3(QXp − j + 2) = Yp, 0 6 p 6 Q, (3a)
до якої слiд додати двi граничнi умови
Q+2
∑
j=0
cjN
′
3(QXp − j + 2) = Y ′
p, p = 0, Q. (3б)
Враховуючи, що
N3(QXp − j + 2) = N3(p− j + 2),
N3(0) = 0, N3(1) =
1
2
, N3(2) =
1
2
, N3(3) = 0;
N ′
3(0) = 0, N ′
3(1) = 1, N ′
3(2) = −1, N ′
3(3) = 0,
можна зробити висновок, що елементи ap,j = N3(p − j + 2) матрицi системи (3а) не треба
обчислювати. Але у випадку Xp 6= p/Q, 0 6 p 6 Q для формування матрицi системи
потрiбно обчислювати значення N3(QXp − j + 2).
Таким чином, по-перше, перевага сплайнiв, вузли яких збiгаються з вузлами iнтерполя-
цiї, полягає у бiльш простiй процедурi отримання коефiцiєнтiв Cj , 0 6 j 6 Q+2. По-друге,
якщо для наближення використовуються базиснi сплайни та їх похiднi на рiвномiрнiй сiтцi
вузлiв, а точки iнтерполяцiї Xp 6= p/Q, то мiж двома точками iнтерполяцiї може змiнюва-
тись аналiтичний вираз базисних сплайнiв та їх похiдних i, бiльш того, в цей iнтервал може
попасти навiть декiлька доданкiв суми
Q+2
∑
j=0
cjN3(QXp − j + 2),
що потребує детального дослiдження похибки наближення.
Тобто, актуальною є задача побудови явних аналiтичних виразiв для базисних сплайнiв
n-го степеня (n = 2, 3, . . .) дефекту r (r = 1, 2, . . . , n − 1).
Аналiз лiтературних джерел, присвячених поставленiй задачi. Вiдзначимо, що
при заданих числових значеннях вузлiв базисного сплайна iснують ефективнi алгоритми їх
побудови [1–8], якi входять до програмних продуктiв сучасних систем комп’ютерної матема-
тики Mathcad, Maple, Matlab. На жаль, їх використання у випадку необхiдностi отримання
явних аналiтичних виразiв для параметрiв базисних сплайнiв залежно вiд координат сiтки
вузлiв сплайна не є можливим.
Основнi твердження. Описаний вище метод побудови B-сплайнiв дозволяє ефективно
будувати базиснi сплайни лише для рiвномiрної сiтки вузлiв. В деяких задачах експеримен-
тальнi данi отриманi на нерiвномiрнiй сiтцi, тому використання базисних сплайнiв з рiв-
номiрною сiткою може привести до небажаних результатiв. Нижче викладемо ефективний
метод побудови базисного сплайна n-го степеня на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 35
Теорема 1. Якщо −∞ < X0 < X1 < · · · < Xn+1 < ∞, y0 = 0, yn+1 = 0, yk, k = 1, n —
невiдомi сталi i функцiя SSn(x,X, y) визначається таким чином:
SS(n−1)
n (x,X, y) =
dn−1
dxn−1
SSn(x,X, y),
SS(n−1)
n (x,X, y) =
0, x 6 X0,
gn−1(x,X, y), Xk−1 < x 6 Xk, k = 1, n + 1,
0, x > Xn+1,
(4)
gn−1(x,X, y) := yk−1
x−Xk
Xk−1 −Xk
+ yk
x−Xk−1
Xk −Xk−1
,
SS(n−p)
n (x,X, y) =
0, x 6 X0,
x
∫
X0
SS(n−p+1)
n (t,X, y)dt, p = 2, n,
0, x > Xn+1,
(5)
при умовi
SS(n−p)
n (Xn+1,X, y) = 0, p = 2, n. (6)
Це однорiдна система n−1 лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з n невiдомими. Одну змiнну,
наприклад yn, можна визначити з деякої додаткової умови нормування (yn = 1 або yn =
=
(Xn+1
∫
X0
SSn(x,X, y∗)dx
)
−1
, y∗ = [0, y∗1 , . . . , y
∗
n−1, 1, 0]
T , вектор y∗ є розв’язком системи (6)
при yn = 1). Тодi функцiя
SSn(x,X, y∗) = SS(0)
n (x,X, y∗)
задовольняє умову
SSn(x,X, y∗) ∈ Cn−1(R).
При цьому функцiя
Sn(x,X) = SSn(x,X, y∗)
(Xn+1
∫
X0
SSn(t,X, y∗) dt
)
−1
є базисним сплайном степеня n дефекту 1 з властивiстю
∞
∫
−∞
Sn(t,X, y) dt = 1.
П р и к л ад 1 . Базисний сплайн 2-го степеня дефекту 1 на довiльнiй сiтцi вузлiв −∞ < X0 <
< X1 < X2 < X3 < ∞ має вигляд:
S2(x,X) = SS2(x,X, y∗)
( X3
∫
X0
SS2(x,X, y∗) dt
)
−1
;
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
SS2(x,X, y) =
0, x 6 X0, x > X3,
(x−X0)
2
2(X1 −X0)
y1, X0 < x 6 X1,
(X2 −X0)
2
y1 +
(x−X2)
2
2(X1 −X2)
y1 +
(x−X1)
2
2(X2 −X1)
y2, X1 < x 6 X2,
(X2 −X0)
2
y1 +
(X3 −X1)
2
2
y2 +
(x −X3)
2
2(X2 −X3)
y2, X2 < x 6 X3.
З умови SS2(X3, X, y) = 0 отримуємо
y2 = −
(X2 −X0)
(X3 −X1)
y1.
Якщо
y1 =
( X3
∫
X0
SS2(x,X, y∗) dx
)
−1
,
то, очевидно, отримана формула
S2(x,X) = SS2(x,X, y∗)
( X3
∫
X0
SS2(x,X, y∗) dx
)
−1
задовольняє умову:
X3
∫
X0
S2(x,X) dx = 1.
П р и к л ад 2 . У нормованому сплайнi 3-го степеня S3(x,X) ∈ C2(R),
S3(x,X) = SS3(x,X, y∗)
( X4
∫
X0
SS3(x,X, y∗) dx
)
−1
,
невiдомi y1, y2, y3 знаходимо з умов:
S3(X4, X, y) = 0;
d
dx
S3(x,X, y)
∣
∣
∣
∣
x=X4
= 0.
Розв’язок цiєї системи має вигляд:
y1 =
(X4 −X1)(X4 −X2)
(X3 −X0)(X2 −X0)
y3;
y2 =
(X4 −X2)(X0 +X1 −X3 −X4)
(X3 −X0)(X3 −X1)
y3.
Введемо також позначення S3(x,X) = SS3(x,X, y∗). Тодi для шуканого сплайна отримаємо (7).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 37
Таким чином, у роботi запропоновано загальний метод побудови явних аналiтичних
формул для полiномiальних базисних сплайнiв на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв. Для частин-
них випадкiв n = 2, 3 наведенi явнi вирази для цих сплайнiв. Цi результати планується
використати для наближення реальних кривих, заданих таблицями даних,
S3(x) =
0, x 6 X0,
y1(x−X0)
3
6(X1 −X0)
, X0 < x 6 X1,
y1
6
(X1 −X0)
2 +
y1
2
(X1 −X0)(x−X1) +
+
y1
2(X1 −X2)
(
(x−X2)
3 −(X1 −X2)
3
3
−(X1 −X2)
2(x−X1)
)
+
+
(x−X1)
3
X2 −X1
y2
6
, X1 < x 6 X2,
y1
2
(X1 −X0)
(
X1 −X0
3
+ (X2 −X1)
)
+
+
y1
2(X1−X2)
(
−
(X1−X2)
3
3
+(X1 −X2)
3
)
+
y2
2
(X2−X1)(x−X2)+
+
y2
2(X2 −X3)
(
(x−X3)
3 − (X2 −X3)
3
3
)
−
y2
2(X2 −X3)
×
× ((X2 −X3)
2(x−X2)) +
(x−X2)
3
X3 −X2
y3
6
, X2 < x 6 X3,
y1
2
(X1 −X0)
(
X1 −X0
3
+ (X2 −X1)
)
+
+
y1
2(X1−X2)
(
−
(X1−X2)
3
3
+(X1−X2)
3
)
+
y2
2
(X2−X1)(X3−X2)+
+
y2
2(X2 −X3)
(
−(X2 −X3)
3
3
− (X2 −X3)
2(X3 −X2)
)
+
+
(X3−X2)
3
X3−X2
y3
6
+
y1
2
(X2−X0)(x−X3)+
y2
2
(X3−X1)(x−X3)+
+
y3
2
(X3−X2)(x−X3)+
y3
2(X3−X4)
(
(x−X4)
3−(X3−X4)
3
3
)
+
+
y3
2(X3 −X4)
((X4 −X3)
2(x−X3)), X3 < x < X4,
0, x > X4.
(7)
1. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. – Москва: Радио и связь, 1985. – 304 с.
2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. – Москва: Наука, 1983. – 352 с.
3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука, 1980. –
352 с.
4. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – Москва: Наука, 1976. –
248 с.
5. Гаврилюк I.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. У 2-х ч. Ч. 1. – Київ: Вища шк., 1995. – 376 с.
6. Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Обчислювальнi методи в задачах прикладної математики. –
Київ: Либiдь, 1995. – 279 с.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
7. Гребенников А.И. Метод сплайнов в численном анализе. – Москва: Изд-во МГУ, 1979. – 100 с.
8. Квасов Б.И. Метод изогеометрической аппроксимации сплайнами. – Москва: НИЦ, 2006. – 416 с.
Надiйшло до редакцiї 17.02.2009Українська iнженерно-педагогiчна
академiя, Харкiв
O.N. Lytvyn, A. W. Tkachenko
Mathematical modeling of processes by interpolating splines on
a nonuniform grid of knots
A general method for the construction of explicit analytical formulas for polynomial basis splines
on a nonuniform grid of knots is given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19249 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:25:02Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. 2011-04-23T15:16:13Z 2011-04-23T15:16:13Z 2010 Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів / О.М. Литвин, О.В. Ткаченко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 34-39. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19249 519.6 Отримано загальний метод побудови явних аналiтичних формул для полiномiальних базисних сплайнiв на нерiвномiрнiй сiтцi вузлiв. A general method for the construction of explicit analytical formulas for polynomial basis splines on a nonuniform grid of knots is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів Mathematical modeling of processes by interpolating splines on a nonuniform grid of knots published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів Литвин, О.М. Ткаченко, О.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| title_alt | Mathematical modeling of processes by interpolating splines on a nonuniform grid of knots |
| title_full | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| title_fullStr | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| title_short | Математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| title_sort | математичне моделювання процесів інтерполяційними сплайнами на нерегулярній сітці вузлів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19249 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom matematičnemodelûvannâprocesívínterpolâcíinimisplainaminaneregulârníisítcívuzlív AT tkačenkoov matematičnemodelûvannâprocesívínterpolâcíinimisplainaminaneregulârníisítcívuzlív AT litvinom mathematicalmodelingofprocessesbyinterpolatingsplinesonanonuniformgridofknots AT tkačenkoov mathematicalmodelingofprocessesbyinterpolatingsplinesonanonuniformgridofknots |