Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок
Дослiджується стiйкiсть композитного матерiалу, армованого перiодичним рядом нанотрубок, iз застосуванням моделi “волокон скiнченних розмiрiв” в рамках тривимiрної лiнеаризованої теорiї стiйкостi деформiвних тiл за допомогою моделi кусково-однорiдного середовища. Дослiджено залежнiсть величини крити...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19250 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок / В.А. Декрет // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19250 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Декрет, В.А. 2011-04-23T15:20:55Z 2011-04-23T15:20:55Z 2010 Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок / В.А. Декрет // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19250 539.3 Дослiджується стiйкiсть композитного матерiалу, армованого перiодичним рядом нанотрубок, iз застосуванням моделi “волокон скiнченних розмiрiв” в рамках тривимiрної лiнеаризованої теорiї стiйкостi деформiвних тiл за допомогою моделi кусково-однорiдного середовища. Дослiджено залежнiсть величини критичної деформацiї в наповнювачi та матрицi вiд геометричних параметрiв композита та виконано порiвняння отриманих результатiв за цими двома критерiями. The research of stability of a composite material reinforced by periodical rows of nanotubes with application of the “short fibers” model is presented within the framework of the three-dimensional linearized theory of stability of deformable bodies with the application of the model of piecewise-homogeneous medium. Dependence of the value of critical strain in fibers and the matrix on the geometric parameters of the composite is studied, and the comparison of the data obtained is executed by these two criteria. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок On the research of the stability of composites reinforced by periodic rows of nanotubes published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| spellingShingle |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок Декрет, В.А. Механіка |
| title_short |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| title_full |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| title_fullStr |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| title_full_unstemmed |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| title_sort |
про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок |
| author |
Декрет, В.А. |
| author_facet |
Декрет, В.А. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| title_alt |
On the research of the stability of composites reinforced by periodic rows of nanotubes |
| description |
Дослiджується стiйкiсть композитного матерiалу, армованого перiодичним рядом нанотрубок, iз застосуванням моделi “волокон скiнченних розмiрiв” в рамках тривимiрної лiнеаризованої теорiї стiйкостi деформiвних тiл за допомогою моделi кусково-однорiдного середовища. Дослiджено залежнiсть величини критичної деформацiї в наповнювачi та матрицi вiд геометричних параметрiв композита та виконано порiвняння отриманих результатiв за цими двома критерiями.
The research of stability of a composite material reinforced by periodical rows of nanotubes with application of the “short fibers” model is presented within the framework of the three-dimensional linearized theory of stability of deformable bodies with the application of the model of piecewise-homogeneous medium. Dependence of the value of critical strain in fibers and the matrix on the geometric parameters of the composite is studied, and the comparison of the data obtained is executed by these two criteria.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19250 |
| citation_txt |
Про дослідження стійкості композитних матеріалів, армованих періодичними рядами нанотрубок / В.А. Декрет // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 40-46. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT dekretva prodoslídžennâstíikostíkompozitnihmateríalívarmovanihperíodičnimirâdaminanotrubok AT dekretva ontheresearchofthestabilityofcompositesreinforcedbyperiodicrowsofnanotubes |
| first_indexed |
2025-11-25T16:33:46Z |
| last_indexed |
2025-11-25T16:33:46Z |
| _version_ |
1850518232819040256 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2010
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2010
В.А. Декрет
Про дослiдження стiйкостi композитних матерiалiв,
армованих перiодичними рядами нанотрубок
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
Дослiджується стiйкiсть композитного матерiалу, армованого перiодичним рядом на-
нотрубок, iз застосуванням моделi “волокон скiнченних розмiрiв” в рамках тривимiрної
лiнеаризованої теорiї стiйкостi деформiвних тiл за допомогою моделi кусково-однорiдно-
го середовища. Дослiджено залежнiсть величини критичної деформацiї в наповнювачi
та матрицi вiд геометричних параметрiв композита та виконано порiвняння отрима-
них результатiв за цими двома критерiями.
Дослiдження композитних матерiалiв, армованих нанотрубками, що мають великi значен-
ня модуля пружностi та високу мiцнiсть при деформацiях, становить значний науковий
та практичний iнтерес. Одним з основних механiзмiв руйнування пiд дiєю стискуючого
навантаження таких нанокомпозитiв, якi можна вiднести до класу волокнистих компози-
тних матерiалiв, є втрата стiйкостi наповнювача в структурi матерiалу. Найбiльш точнi та
фiзично коректнi результати в теорiї стiйкостi волокнистих композитних матерiалiв при
стисканнi отриманi за допомогою основних спiввiдношень тривимiрної лiнеаризованої тео-
рiї стiйкостi деформiвних тiл (наприклад, [1]) та моделi кусково-однорiдного середовища.
Iдея застосування такого пiдходу для дослiдження нанокомпозитiв вперше запропонова-
на в роботi [2] та отримала подальший розвиток в [3–6]. Слiд вiдзначити, що переважну
бiльшiсть результатiв в рамках такого пiдходу одержано для волокнистих матерiалiв на
основi моделi нескiнченнодовгих волокон (infinite fibers), коли наповнювач моделюється не-
скiнченнодовгими в напрямку навантаження цилiндрами кругового поперечного перерiзу.
Сучасний аналiз результатiв таких дослiджень наведено в [1, 7, 8] та iн. Лише в останнi роки
були отриманi результати в рамках пiдходу на основi моделi волокон скiнченних розмiрiв
(short fibers) [9–11]. Порiвняльний аналiз цих результатiв (infinite fibers, short fibers) пода-
но в роботi [12]. Необхiдно вiдзначити, що результати порiвняльного аналiзу для моделей
нескiнченнодовгих волокон та волокон скiнченних розмiрiв iстотно залежать вiд величин,
за якими здiйснюється порiвняння. Так, в роботi [12] такий аналiз проведено для величин
|εкр
a
11
|. У випадку моделi нескiнченнодовгих волокон ε
кр
a
11
вiдповiдає критичному значенню
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
деформацiї вздовж осi Ox1 як для армуючих елементiв, так i для матрицi. У випадку моделi
волокон скiнченних розмiрiв введена така величина:
ε
кр
a
11
= ε
кр
a
11
(x1, x2) при x1 = 0 и x2 = 0. (1)
У цьому випадку величина (1) вiдповiдає критичному значенню деформацiї вздовж осi Ox1
в середнiй точцi армуючого елемента (волокна). Для моделi волокон скiнченних розмiрiв
величина (1) характеризує тiльки критичне значення деформацiї вздовж осi Ox1 для воло-
кна i не характеризує критичне значення деформацiї для матрицi, що може мати суттєво
iншi значення.
У роботах [9, 10], де наводяться результати дослiдження втрати стiйкостi композитних
матерiалiв, армованих перiодичними рядами коротких волокон в рамках моделi волокон
скiнченних розмiрiв, застосовувалася величина критичної деформацiї для матрицi “на не-
скiнченностi”
|εкр
m
11
|∞ = |εкр
m
11
| при x1 → ±∞. (2)
У зв’язку з вищенаведеним становить iнтерес дослiдження залежностi величини критичної
деформацiї εкр
a
11
вiд механiчних та геометричних параметрiв компонентiв стосовно компо-
зитних матерiалiв, армованих перiодичними рядами коротких волокон.
Постановка задачi. Розглянемо задачу стiйкостi композитного матерiалу, армованого
перiодичним рядом послiдовно розмiщених коротких волокон, пiд дiєю стискуючого на-
вантаження, направленого вздовж волокон. Вказана постановка виникає при дослiдженнi
волокнистих композитних матерiалiв регулярної структури, що складаються iз окремих
рядiв послiдовно розмiщених коротких волокон, причому в межах одного ряду волокна
розмiщенi досить щiльно, а окремi ряди волокон — на достатнiй вiдстанi один вiд одного.
Проведемо дослiдження явища внутрiшньої нестiйкостi в умовах плоскої деформацiї, яке не
пов’язано iз впливом граничних поверхонь, в зв’язку з чим матрицю та ряд волокон можна
вважати нескiнченним, крiм того, будемо розглядати лише перiодичнi вздовж напрямку
навантаження форми втрати стiйкостi.
Таким чином, в декартових координатах x1Ox2 композитний матерiал моделюється не-
скiнченною матрицею, наповненою нескiнченним перiодичним рядом коротких волокон, що
направленi вздовж осi Ox1. На нескiнченностi композит навантажений вздовж осi Ox1,
стискуючим навантаженням постiйної iнтенсивностi P (рис. 1).
Для постановки задачi видiлимо прямокутний фрагмент композитного матерiалу, що
задовольняє умови перiодичностi структури композита. Ширина розрахункової областi ви-
значається з умови перiодичностi l1 = L + r, де L — довжина включення; r — вiдстань
мiж сусiднiми волокнами (див. рис. 1); висота розрахункової областi визначається з умови
затухання збурень, що задовольняє умову l2 ≫ D та визначається в результатi обчислю-
вального експерименту.
Композитний матерiал моделюємо кусково-однорiдним середовищем, коли матерiал в ме-
жах компонента композита вважається однорiдним та виконуються контактнi умови на ме-
жi компонентiв. Компоненти композита будемо вважати лiнiйно пружними та iзотропними.
Дослiдження стiйкостi виконаємо iз застосуванням статичного методу тривимiрної лi-
неаризованої теорiї стiйкостi [1]. Необхiдно вiдзначити, що в рамках моделi волокон скiн-
ченних розмiрiв приходимо до задачi стiйкостi волокнистих матерiалiв з неоднорiдним до-
критичним станом, що визначається в результатi розв’язання вiдповiдної задачi про кон-
центрацiю напружень в околi волокон.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 41
Рис. 1
Таким чином, дослiдження докритичного стану виконується в рамках класичної лiнiйної
теорiї стiйкостi iзотропного тiла, для якої рiвняння рiвноваги та спiввiдношення пружностi
запишемо в такому виглядi:
∂
∂xi
σ0
ij = 0;
σ0
ij = δijλε
0
nn + 2µε0ij ,
2ε0ij =
∂u0i
∂xj
+
∂u0j
∂xi
.
(3)
Для переходу у виразах (3) до матрицi та наповнювача необхiдно всi величини в (3) позначи-
ти вiдповiдними iндексами “m” i “a”. Оскiльки для матрицi, згiдно з розрахунковою схемою
на рис. 1, дослiдження виконується для нескiнченної областi, то напруження i перемiщення
в матрицi зручно подати у виглядi суми
σ0
m
ij = σ∞
ij + σ10
m
ij ;
u0
m
j = u∞j + u10
m
j ,
(4)
де σ∞
ij i u∞j вiдповiдають зовнiшньому навантаженню P (рис. 1), заданому для матрицi
“на нескiнченностi”; σ10
m
ij i u10
m
j вiдповiдають збуренням напружено-деформованого стану,
зумовленим наявнiстю волокна скiнченних розмiрiв. Зауважимо, що величини з iндексами
“∞” та “1” також визначаються спiввiдношеннями (3). Величини σ∞
ij та u∞j у вiдповiдностi
до розрахункової схеми на рис. 1 обчислюють так:
σ∞
11 = −P ; σ∞
22 = 0; σ∞
12 = 0;
u∞1 = A1x1; u∞2 = A2x2,
(5)
де A1 i A2 визначаються iз другого виразу (3) з урахуванням перших трьох виразiв (5).
Таким чином, для матрицi отримаємо вирази (3) (величини σ10
m
ij , ε10
m
ij та u10
m
j , постiй-
нi λm та µm) i для волокна отримаємо вирази (3) (величини σ0
a
ij , ε0
a
ij та u0
a
j , постiйнi λa та
µa). Отже, дослiдження докритичного стану проводиться iз застосуванням вищенаведених
величин та основних спiввiдношень (3).
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Повне формулювання задач також включає умови неперервностi векторiв напружень та
перемiщень на границях роздiлу, якi для розрахункової схеми на рис. 1 подамо у такому
виглядi:
σ∞
11 + σ10
m
11 = σ0
a
11 , σ10
m
12 = σ0
a
12 , u∞1 + u10
m
1 = u0
a
1 , u∞2 + u10
m
2 = u0
a
2
при x1 = ±
L
2
та |x2 6 ±
D
2
;
σ10
m
22 = σ0
a
22 , σ10
m
12 = σ0
a
12 , u∞1 + u10
m
1 = u0
a
1 , u∞2 + u10
m
2 = u0
a
2
при |x1| 6 ±
L
2
та x1 = ±
D
2
;
(6)
граничнi умови та умови затухання збурень на границi розрахункової областi
u10
m
1 = px1, σ10
m
12 = 0, при x1 = ±
l1
2
;
u∞i → 0, σ∞
ij → 0, при x2 = ±
l2
2
.
(7)
Вищенаведена постановка задачi щодо визначення докритичного стану вiдповiдає за-
гальноприйнятому пiдходу при дослiдженнi задач концентрацiї напружень в околi отворiв
та включень.
Пiсля визначення докритичного стану для розрахункової схеми, наведеної на рис. 1, до-
слiдження задачi стiйкостi проводитимемо в рамках другого варiанту теорiї малих докри-
тичних деформацiй [1] при моделюваннi матрицi та волокон лiнiйно-пружними iзотропними
тiлами, що узгоджено з постановкою задачi визначення докритичного стану. Таким чином,
мають мiсце основнi спiввiдношення у виглядi
∂
∂xi
(
ωijαβ
∂
∂xβ
uα
)
= 0; i, j, α, β = 1, 2. (8)
В цьому випадку компоненти несиметричного тензора напружень для задачi стiйкостi за-
пишемо
tij = ωijαβ
∂
∂xβ
uα. (9)
Вiдзначимо, що (8) i (9) подано в загальному виглядi для матрицi та наповнювача. При
дослiдженнi задачi стiйкостi основнi спiввiдношення (8) i (9) слiд застосувати окремо для
матрицi, записавши їх стосовно величин σ1
m
ij , ε1
m
ij i u1
m
j , а також ω1
m
ijαβ, λm i µm. Цi спiввiд-
ношення слiд окремо застосувати для волокна, записавши їх стосовно величин σa
ij , ε
a
ij i uaj ,
а також ωa
ijαβ, λa i µa. Отже, мають мiсце такi вирази для матрицi:
ω1
m
ijαβ = δijδαβλm + (δiβδαj + δiαδβj)µm + δαjσ
0
m
iβ ; σ0
m
iβ = −δiβσ
0
ββP + σ1
m
iβ (10)
i для волокна:
ωa
ijαβ = δijδαβλa + (δiβδαj + δiαδβj)µa + δαjσ
0
a
iβ . (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 43
Повне формулювання задачi стiйкостi iз застосуванням основних спiввiдношень у вигля-
дi (8) i (9) з урахуванням (10) для матрицi та (11) для волокна скiнченних розмiрiв також
включають умови неперервностi векторiв напружень та перемiщень на границях роздiлу,
якi для розрахункової схеми на рис. 1 подамо в такому виглядi:
t1
m
11 = ta11, t1
m
12 = ta12, u1
m
1 = ua1, u1
m
2 = ua2
при x1 = ±
L
2
та |x2| 6 ±
D
2
;
t1
m
22 = ta22, t1
m
21 = ta21, u1
m
1 = ua1, u1
m
2 = ua2
при |x1| 6 ±
L
2
та x1 = ±
D
2
,
(12)
та умови затухання збурень на границi розрахункової областi для матрицi
u1
m
j → 0 при x1 = ±
l1
2
та x2 = ±
l2
2
. (13)
Сформульована задача стiйкостi (10)–(13) включає рiвняння (8), коефiцiєнти яких залежать
вiд двох змiнних x1 та x2, оскiльки, внаслiдок позначень (10) i (11), в цi коефiцiєнти входять
величини σ10
m
iβ та σ0
a
iβ , що визначаються в результатi розв’язання вiдповiдної задачi про
концентрацiю напружень докритичного стану.
Очевидно, виконати розв’язання поставлених задач аналiтичними методами неможливо;
в зв’язку з цим для розв’язання задачi визначення докритичного стану та задачi стiйкостi
застосовуються чисельнi методи, як описано в [9–11].
Отриманi результати дослiдження наведенi у виглядi залежностi величини (1) вiд гео-
метричних параметрiв композита. Для моделi волокон скiнченних розмiрiв величина (1)
вiдповiдає критичному значенню деформацiї вздовж осi Ox1 в середнiй точцi армуючого
елемента (волокна). Отже, для моделi волокон скiнченних розмiрiв величина (1) характе-
ризує тiльки критичне значення деформацiї вздовж осi Ox1 для волокна i не характеризує
критичне значення деформацiї для матрицi. Розрахунки виконанi для таких значень па-
раметрiв компонентiв композита: вiдношення модулiв Юнга EaE
−1
m = 1000; коефiцiєнти
Пуассона ν1 = ν2; геометричнi параметри волокна LD−1 = 100, 200, 300, 500. Безроз-
мiрна вiдстань мiж волокнами r∗ = rL−1 послiдовно змiнюється в iнтервалi 0, 2 6 r∗ 6
6 4,5.
На рис. 2 показано залежнiсть величини критичної деформацiї |εкр
a
11
| вiд геометричних
параметрiв наповнювача LD−1 для деяких значень r∗ = 0,2; 1; 4 (кривi 1, 2, 3 вiдповiдно).
Для порiвняння, на рис. 3 показано залежнiсть величини критичної деформацiї |εкр
m
11
| (для
матрицi “на нескiнченностi”) вiд геометричних параметрiв наповнювача LD−1 для деяких
значень r∗ = 0,2; 1; 4 (кривi 1, 2, 3 вiдповiдно).
Таким чином, результати дослiдження стiйкостi композитного матерiалу, армованого
перiодичним рядом послiдовно розмiщених коротких волокон (нанотрубок), при стисканнi
вздовж напряму армування для моделi волокон скiнченних розмiрiв iстотно залежать вiд
вибраних величин, для яких виконується аналiз. Так, при обчисленнi критичної деформацiї
|εкр
a
11
| в середнiй точцi армуючого елемента (волокна) були отриманi значно меншi значення,
нiж для матрицi, оскiльки матриця значно менш жорстка порiвняно з волокнами. При
цьому було встановлено, що значення критичної деформацiї в середнiй точцi армуючого
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Рис. 2
Рис. 3
елемента (волокна) (1) значно менше залежить вiд величини вiдстанi мiж волокнами, нiж
в матрицi (2).
1. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. – Berlin: Sprin-
ger, 1999. – 555 p.
2. Guz A.N., Rushchitsky J. J. Nanomaterials. On mechanics of nanomaterials // Int. Appl. Mech. – 2003. –
39, No 11. – P. 1271–1293.
3. Guz A.N., Roger A.A., Guz I. A. Developing a compressive failure theory of nanocomposites // Ibid. –
2005. – 41, No 3. – P. 233–255.
4. Guz A.N., Rushchitsky J. J., Guz I.A. Establishing fundamentals of the mechanics of nanocomposites //
Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, No 3. – P. 247–271.
5. Guz A.N., Rushchitsky J. J., Guz I.A. Comparative computer modeling of Carbon-polymer composites
with Carbon or graphite microfibers or Carbon nanotubes // CMES. – 2008. – 26, No 3. – P. 139–156.
6. Guz I.A., Roger A.A., Guz A.N., Rushchitsky J. J. Developing the mechanical models for nanomaterials //
Composites: Part A. – 2007. – 38. – P. 1234–1250.
7. Babich I.Yu, Guz A.N., Chekhov V.N. The three-dimensional theory of stability of fibrous and laminated
materials // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, No 9. – P. 1103–1141.
8. Guz A.N. Constructing the three-dimensional theory of stability of deformable bodies // Ibid. – No 1. –
P. 1–37.
9. Dekret V.A. Plane instability for a composite reinforced with a periodic row of short serial fibers // Ibid. –
2006. – 42, No 6. – P. 90–100.
10. Dekret V.A. Plane instability for a composite reinforced with a periodic row of short parallel fibers //
Ibid. – 2008. – 44, No 5. – P. 498–504.
11. Dekret V.A. Near-surface instability of composite materials weakly reinforced with short fibers // Ibid. –
No 6. – P. 609–625.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 45
12. Guz A.N., Dekret V.A. On two models in the three-dimensional theory of stability of composite mate-
rials // Ibid. – No 8. – P. 839–854.
Надiйшло до редакцiї 18.03.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
V.A. Dekret
On the research of the stability of composites reinforced by periodic
rows of nanotubes
The research of stability of a composite material reinforced by periodical rows of nanotubes with
application of the “short fibers” model is presented within the framework of the three-dimensional
linearized theory of stability of deformable bodies with the application of the model of piecewi-
se-homogeneous medium. Dependence of the value of critical strain in fibers and the matrix on
the geometric parameters of the composite is studied, and the comparison of the data obtained is
executed by these two criteria.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|