Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита
Дослiджено змiну з часом напружень на контурi елiптичного отвору в композитнiй пластинi. Вивчено вплив спiввiдношень мiж модулями iзотропних в’язкопружних матерiалiв компонент композита на напруження як функцiї часу. Розв’язок отримано в рамках пружно-в’язкопружної аналогiї. Наведено результати, якi...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19251 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860088030766825472 |
|---|---|
| author | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. |
| author_facet | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. |
| citation_txt | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено змiну з часом напружень на контурi елiптичного отвору в композитнiй пластинi. Вивчено вплив спiввiдношень мiж модулями iзотропних в’язкопружних матерiалiв компонент композита на напруження як функцiї часу. Розв’язок отримано в рамках пружно-в’язкопружної аналогiї. Наведено результати, якi свiдчать про те, що при врахуваннi в’язкопружних властивостей обох компонентiв композита може виникнути ситуацiя, коли напруження у деяких точках контуру отвору є немонотонними з часом i екстремум досягається на часовому iнтервалi проведення дослiджень.
The stress on the boundary of an elliptic hole in the composite plate is investigated in a time domain. The effect of the time-dependent ratio between the moduli of composite phases on the stress is studied. A solution is found with the help of the elastic-viscoelastic analogy. The results show a possibility of the situation where the stress at some points varies nonmonotonically with time, and the extremum is reached inside the time interval where the investigation is made.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:21:12Z |
| fulltext |
УДК 539.375
© 2010
А.О. Камiнський, М. Ф. Селiванов
Про вплив на концентрацiю напружень бiля
елiптичного отвору в пластинi з композитного матерiалу
в’язкопружних властивостей компонентiв композита
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Дослiджено змiну з часом напружень на контурi елiптичного отвору в композитнiй
пластинi. Вивчено вплив спiввiдношень мiж модулями iзотропних в’язкопружних ма-
терiалiв компонент композита на напруження як функцiї часу. Розв’язок отримано
в рамках пружно-в’язкопружної аналогiї. Наведено результати, якi свiдчать про те,
що при врахуваннi в’язкопружних властивостей обох компонентiв композита може
виникнути ситуацiя, коли напруження у деяких точках контуру отвору є немонотон-
ними з часом i екстремум досягається на часовому iнтервалi проведення дослiджень.
У другiй половинi 20-го сторiччя iнтенсивно проводилися дослiдження концентрацiї напру-
жень бiля отворiв в пластинах i оболонках, виготовлених з в’язкопружних анiзотропних
матерiалiв. При дослiдженнi композитiв, в основному, розглядалися такi, що складаються
з пружної арматури (скло, вуглеволокно) i в’язкопружного наповнювача (епоксидної смоли
або iнших сполучникiв) [1]. Рiзниця мiж миттєвими i довготривалими модулями цих ком-
позитiв була незначною i процес повзучостi проходив порiвняно невеликий, вiдносно часу
експлуатацiї, промiжок часу. Тому для дослiдження напруженого стану в таких композитах
використовувалися лише граничнi значення характеристик повзучостi: миттєве i довготри-
вале [2, 3].
Застосування в сучаснiй промисловостi нових матерiалiв, якi виявляють в’язкопружнi
властивостi пiд час усього часу експлуатацiї, призвело до бiльш уважного ставлення до
описання релаксацiї чи повзучостi таких матерiалiв. З огляду на велику рiзницю мiж мит-
тєвими i довготривалими модулями матерiалу важливим фактором в описi його механiчних
властивостей став час. Iнформативними стали не тiльки граничнi значення модулiв, а й їх
значення пiд час деформування. Важливiсть отримання з достатньою точнiстю промiжних
значень модулiв зумовлена тим, що в багатьох дослiдженнях проводиться моделювання
механiчних властивостей композитiв на основi матерiалiв, що виявляють в’язкопружнi вла-
стивостi. Властивостi композитiв, в свою чергу, використовуються для дослiджень напру-
жено-деформованого стану елементiв конструкцiй. Особливо уважно до таких дослiджень
треба пiдходити, коли з часом змiнюються характеристики обох компонентiв композита.
Змiна рiзницi мiж модулями двох матерiалiв з часом зумовлює вiдмiнну поведiнку параме-
трiв напруженого стану вiд тiєї, що виникає при врахуваннi властивостей спадковостi лише
матерiалу наповнювача.
В роботi дослiджено вплив розбiжностей мiж релаксацiйними властивостями наповню-
вача i армуючого матерiалу на напружений стан поблизу елiптичного отвору в пластинi,
що перебуває в умовi плоского напруженого стану. Властивостi наповнювача зафiксованi;
як модулi використанi такi, що отриманi за допомогою однiєї функцiї Мiттаг–Леффлера.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 47
Модуль армуючого матерiалу моделюється змiщенням модуля наповнювача в горизонталь-
ному i вертикальному напрямках, а також змiною вiдношення граничних в часi модулiв. Це
дозволило виявити вплив спiввiдношення мiж модулями на напружений стан.
Розглядається матерiал, армований однотипними включеннями (елiпсоїдами обертання)
з однонапрямленою вiссю симетрiї. При моделюваннi властивостей композита змiнними па-
раметрами є концентрацiя включень i вiдношення довжини до ширини для включення. При
дослiдженнi напруженого стану змiнними параметрами моделi є довжина напiвосей елiпса,
кут нахилу до горизонтальної осi прикладеного на нескiнченностi навантаження, а також
кут нахилу осi анiзотропiї. Розв’язання задачi проведено в рамках пружно-в’язкопружної
аналогiї, яка базується на перетвореннi Лапласа [4]. Розв’язки в часовiй областi отримано
методом, що розвивається в роботi авторiв i базується на представленнi розв’язку в областi
перетворення рацiональною функцiєю. Одержанi результати вказують на тi небезпечнi па-
раметри рiзницi мiж властивостями матерiалiв компонент композита, при яких напруження
в точцi околу отвору є немонотонним з часом i досягає свого максимуму всерединi часового
iнтервалу, на якому шукається розв’язок задачi.
1. В’язкопружне деформування матерiалiв компонент композита. Будемо опи-
сувати змiну модуля Юнга матерiалiв компонент композита з часом у формi
E(i)(t) = E(i)
∞
+
n∑
k=1
λ
(i)
k
β
(i)
k
Eα,1(−β
(i)
k tα), (1)
де E∞ — довготривале значення модуля; iндекс i = 1 вiдповiдає характеристицi матерiалу
армування, i = 2 — наповнювача;
Eα,β(z) =
∞∑
n=0
zn
Γ(αn + β)
— (2)
функцiя Мiттаг–Леффлера; Γ — гама-функцiя Ейлера. При α = 1 i β = 1 функцiя (2)
перетворюється на експоненцiйну.
Будемо вивчати якiсну сторону задачi, тому задовольнимося лише одним доданком у ви-
разi (1), до того ж до спрощення вiднесемо описання релаксацiйних властивостей обох ма-
терiалiв компонентiв композита за допомогою одного i того ж параметра α функцiї (2). За
цих умов вираз (1) в областi перетворення набуде вигляду
Ẽ(i)(s) = E(i)
∞
+ (E
(i)
0 − E(i)
∞
)
sα
sα + β(i)
, (3)
де Ẽ(s) = sE(s), E(s) — перетворення Лапласа функцiї E(t); E0 — миттєве значення модуля.
Вважатимемо об’ємну деформацiю пружною; це дозволить записати коефiцiєнти Пуас-
сона матерiалiв у виглядi
ν̃(i) =
1
2
[
1− (1− 2ν
(i)
0 )
Ẽ
(i)
0
E(i)
]
.
Зафiксуємо характеристики матерiалу наповнювача та введемо коефiцiєнти, що хара-
ктеризують взаємне розташування залежностей вiд часу для модулiв в’язкопружностi ма-
терiалiв армування i наповнювача
kE = lg
E
(1)
0
E
(2)
0
, k1 = lg
E
(1)
0
E
(1)
∞
, kβ = −
1
α
lg
β(1)
β(2)
. (4)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Перший з коефiцiєнтiв визначає спiввiдношення мiж миттєвим модулем Юнга матерiалiв
армуючих елементiв i матрицi, другий — вiдношення миттєвого та довготривалого модулiв
Юнга для матерiалу армування, третiй — зсув в додатному напрямку осi часу кривої, що
описує змiну в часi модуля матерiалу армування вiдносно залежностi, що описує змiну
в часi модуля матерiалу наповнювача.
2. Побудова розв’язку у часовiй областi. Для отримання ефективних пружних
модулiв композитного матерiалу скористаємося результатами роботи [5], пружне поле на-
пружень знайдемо, використовуючи результати роботи [1]. Структура цих розв’язкiв на-
ведена нижче. Згiдно з принципом пружно-в’язкопружної аналогiї, замiнюючи залежнi
вiд часу характеристики релаксацiї вiдповiдними перетвореними величинами, отримаємо
розв’язок σ̃ в областi перетворення. Напруження як функцiю часу знайдемо за допомогою
оберненого перетворення Лапласа
σij(t) = L
−1
[
1
s
σ̃ij(s)
]
.
За аналогiєю з формою представлення модуля релаксацiї матерiалiв (1), будемо шукати
представлення функцiї напруження в областi перетворення в такiй формi
σ̃ij(s) = σ̃(ij)
∞
+
∑
k
λ
(ij)
k sα
sα + β
(ij)
k
, (5)
щоб в часовiй областi
σij(t) = σ(ij)
∞
+
∑
k
λ
(ij)
k
β
(ij)
k
Eα,1(−β
(ij)
k tα).
Питання побудови розв’язку в часовiй областi розглянуто в роботi [6].
3. Пружний розв’язок задачi. Нехай вiсь анiзотропiї збiгається з напрямком осi z.
Визначальнi спiввiдношення в трансверсально iзотропному тiлi запишемо у виглядi
σx = λ11εx + λ12εy + λ13εz, τyz = λ44γyz;
σy = λ12εx + λ11εy + λ13εz, τzx = λ44γzx;
σz = λ13εx + λ13εy + λ33εz , τxy = λ66γxy.
(6)
Як матерiал дослiджуватимемо дискретно-волокнистий композит з орiєнтованими
вздовж осi z сфероїдальними волокнами. Такий композит в макрооб’ємi має осьову си-
метрiю i, згiдно з результатами роботи [5], може бути охарактеризованим п’ятьма пружни-
ми сталими λ11, λ12, λ13, λ33, λ44, якi є функцiями механiчних характеристик матерiалiв
компонент композита (в задачi, що розглядається, цi матерiали є iзотропними з заданими
характеристиками E(i), ν(i)), об’ємного вмiсту армуючої фази, c1 та геометричного пара-
метра включення, k (вiдношення повздовжнього розмiру до поперечного розмiру елiпсоїда
обертання, яким включення моделюється).
Залишаючи модулi λij у виглядi, що вiдповiдає визначальним спiввiдношенням (6), пе-
репишемо цi спiввiдношення для випадку, коли вiсь анiзотропiї збiгається з вiссю x (x→ y,
y → z, z → x), i розв’яжемо отриманi спiввiдношення вiдносно деформацiй. Одержимо
εx = A33σx +A13σy +A13σz, γyz = A66τyz,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 49
εy = A13σx +A11σy +A12σz, γzx = A44τzx,
εz = A13σx +A12σy +A11σz, γxy = A44τxy,
де A11 = ∆11/∆, A12 = −∆12/∆, A13 = −∆13/∆, A33 = ∆33/∆, A44 = 1/λ44,
∆11 = λ11λ33 − λ213, ∆13 = λ13(λ11 − λ12),
∆12 = λ12λ33 − λ213, ∆33 = λ211 − λ212, ∆ = ∆33λ33 − 2λ13∆13.
За умовою плоского напруженого стану σz = τzx = τyz = 0 i визначальнi спiввiдношення
набудуть вигляду
εx = a11σx + a12σy, εy = a12σx + a22σy, γxy = a66τxy, (7)
де a11 = A33, a12 = A13, a22 = A11, a66 = A44.
При поворотi системи координат xyz навколо осi z на кут ϕ визначальнi спiввiдношен-
ня (7) набудуть вигляду
εx = a11σx + a12σy + a16τxy,
εy = a12σx + a22σy + a16τxy,
γxy = a16σx + a26σy + a66τxy,
де пружнi сталi набудуть вигляду згiдно з [7].
З напружень у полярнiй системi координат σr, τrϑ та σϑ наведемо лише останнє
σϑ = 2Re[(cos ϑ+ s1 sinϑ)
2ϕ′(z1) + (cos ϑ+ s2 sinϑ)
2ψ′(z2)],
де функцiї ϕ(z1) i ψ(z2) залежать вiд довжин пiвосей елiпса, iнтенсивностi зовнiшнього
навантаження p та кута нахилу напрямку його прикладання α, а також вiд s1 = α1 + β1
i s2 = α2+β2 — коренiв характеристичного рiвняння основного диференцiального рiвняння
плоскої задачi теорiї пружностi, яке має задовольняти функцiя напружень
a11s
4
− 2a16s
3 + (2a12 + a66)s
2
− 2a26s+ a22 = 0. (8)
Вiдзначимо, що у випадку, коли осi ортотропiї збiгаються з напрямками осей координат,
рiвняння (8) має чисто уявнi коренi, що дозволяє подати розв’язок у бiльш компактнiй
формi.
4. Аналiз отриманих результатiв. Як було запропоновано, для отримання чисель-
них результатiв фiксуватимемо залежнiсть модуля Юнга матерiалу наповнювача вiд часу,
а спiввiдношення модулiв Юнга армуючого матерiалу i матерiалу наповнювача визначати-
мемо коефiцiєнтами (4). Для матрицi вiзьмемо
E
(2)
0 = 4 · 109 Па, ν
(2)
0 = 0,35, lg
E
(2)
0
E
(2)
∞
= 3, β(2) = 10−1 с−α, α = 0,5,
а для наповнювача зафiксуємо ν
(1)
0 = 0,3.
Дослiдимо напружений стан в однонапрямлено армованому композитi з об’ємним вмi-
стом армуючого компонента c1 = 0,33, вiдношенням довжини до ширини волокон k = 100
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Рис. 1
(тобто волокна вважатимемо довгими). Вiдношення бiльшої напiвосi елiпса до меншої за-
фiксуємо на рiвнi a/b = 3.
Вивчимо залежнiсть вiд часу напруження σθ в точцi з координатами ρ = 1, θ = 0 для
двох напрямкiв дiї зовнiшнього навантаження. Всi залежностi другого стовпця рис. 1 отри-
манi для α = 0, третього — для α = π/2. В першому рядку графiкiв на рис. 1 вiдображена
змiна з часом модулiв матерiалiв компонент композита та напруження в точцi контуру елi-
пса в цьому композитному матерiалi для kβ = 5, kE = 1. На всiх рисунках першого рядка
суцiльнi кривi вiдповiдають k1 = 0 (матерiал волокон є пружним), штриховi кривi — k1 = 1,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 51
Рис. 2
штрихпунктирнi — k1 = 2, пунктирнi — k1 = 3. Другий рядок графiкiв на рис. 1 вiдповiдає
k1 = 2, kβ = 5, суцiльнi кривi — kE = 0,5, штриховi — kE = 1, штрихпунктирнi — kE = 1,5,
пунктирнi — kE = 2. Третiй рядок графiкiв на рис. 1 вiдповiдає k1 = 2, kE = 1,5, суцiльнi
кривi — kβ = 0, штриховi — kβ = 1, штрихпунктирнi — kβ = 3, пунктирнi — kβ = 5.
На рис. 2 для вказаних комбiнацiй кутiв α (кут, що визначає напрямок прикладання
зовнiшнього навантаження) i ϕ (кут, що визначає напрямок армування) проiлюстрована
змiна напружень на контурi отвору для трьох фiксованих моментiв часу t = 1 с (суцiльнi
кривi), t = 104 с (штриховi кривi) та t = 108 с (пунктирнi кривi).
Аналiз рисункiв дає можливiсть зробити висновок про те, що напруження при немоно-
тоннiй змiнi спiввiдношення мiж модулями матерiалiв компонент композита призводить до
того, що напруження в точцi околу елiптичного отвору також перестає бути монотонним
i може досягнути екстремуму на дослiдженому iнтервалi змiни часу.
1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – Киев: Наук. думка, 1968. – 888 с.
2. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т // Под ред. А.Н. Гузя. – Киев:
Наук. думка, 1983.
3. Ван Фо Фы Г.А. Композиционные материалы волокнистого строения. – Киев: Наук. думка, 1970. –
404 с.
4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – Москва: Мир, 1982. – 336 с.
5. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов // Механика композитов: В 12 т. Т. 3. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
6. Камiнський А.О., Селiванов М.Ф., Чорноiван Ю.О. Визначення ефективних характеристик в’язко-
пружного композиту, релаксацiя компонент якого описується експонентами рiзних дробових поряд-
кiв // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 3. – С. 7–18.
7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – Москва: Наука, 1977. – 416 с.
Надiйшло до редакцiї 28.04.2009Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка
НАН України, Київ
A.O. Kaminsky, M. F. Selivanov
On the effect of viscoelastic properties of components of a composite on
the stress concentration near an elliptic hole in the composite plate
The stress on the boundary of an elliptic hole in the composite plate is investigated in a time
domain. The effect of the time-dependent ratio between the moduli of composite phases on the
stress is studied. A solution is found with the help of the elastic-viscoelastic analogy. The results
show a possibility of the situation where the stress at some points varies nonmonotonically with
time, and the extremum is reached inside the time interval where the investigation is made.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19251 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:21:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. 2011-04-23T15:25:58Z 2011-04-23T15:25:58Z 2010 Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита / А.О. Камiнський, М.Ф. Селiванов // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 47-53. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19251 539.375 Дослiджено змiну з часом напружень на контурi елiптичного отвору в композитнiй пластинi. Вивчено вплив спiввiдношень мiж модулями iзотропних в’язкопружних матерiалiв компонент композита на напруження як функцiї часу. Розв’язок отримано в рамках пружно-в’язкопружної аналогiї. Наведено результати, якi свiдчать про те, що при врахуваннi в’язкопружних властивостей обох компонентiв композита може виникнути ситуацiя, коли напруження у деяких точках контуру отвору є немонотонними з часом i екстремум досягається на часовому iнтервалi проведення дослiджень. The stress on the boundary of an elliptic hole in the composite plate is investigated in a time domain. The effect of the time-dependent ratio between the moduli of composite phases on the stress is studied. A solution is found with the help of the elastic-viscoelastic analogy. The results show a possibility of the situation where the stress at some points varies nonmonotonically with time, and the extremum is reached inside the time interval where the investigation is made. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита On the effect of viscoelastic properties of components of a composite on the stress concentration near an elliptic hole in the composite plate published earlier |
| spellingShingle | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Механіка |
| title | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| title_alt | On the effect of viscoelastic properties of components of a composite on the stress concentration near an elliptic hole in the composite plate |
| title_full | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| title_fullStr | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| title_full_unstemmed | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| title_short | Про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| title_sort | про вплив на концентрацію напружень біля еліптичного отвору в пластині з композитного матеріалу в'язкопружних властивостей компонентів композита |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19251 |
| work_keys_str_mv | AT kamínsʹkiiao provplivnakoncentracíûnapruženʹbílâelíptičnogootvoruvplastinízkompozitnogomateríaluvâzkopružnihvlastivosteikomponentívkompozita AT selívanovmf provplivnakoncentracíûnapruženʹbílâelíptičnogootvoruvplastinízkompozitnogomateríaluvâzkopružnihvlastivosteikomponentívkompozita AT kamínsʹkiiao ontheeffectofviscoelasticpropertiesofcomponentsofacompositeonthestressconcentrationnearanellipticholeinthecompositeplate AT selívanovmf ontheeffectofviscoelasticpropertiesofcomponentsofacompositeonthestressconcentrationnearanellipticholeinthecompositeplate |