Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні
Запропоновано числовий алгоритм розв’язання двовимiрної задачi оптимального керування нагрiванням довгого прямокутного паралелепiпеда за умов пружнопластичного деформування матерiалу. Визначено керування (температуру нагрiвального середовища), яке за мiнiмальний час переводить тiло з початкового теп...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19253 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні / Р.М. Кушнiр, А.В. Ясiнський // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 59-64. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859665453578715136 |
|---|---|
| author | Кушнір, Р.М. Ясінський, А.В. |
| author_facet | Кушнір, Р.М. Ясінський, А.В. |
| citation_txt | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні / Р.М. Кушнiр, А.В. Ясiнський // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 59-64. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано числовий алгоритм розв’язання двовимiрної задачi оптимального керування нагрiванням довгого прямокутного паралелепiпеда за умов пружнопластичного деформування матерiалу. Визначено керування (температуру нагрiвального середовища), яке за мiнiмальний час переводить тiло з початкового теплового стану у кiнцевий, що характеризується заданою середньоiнтегральною температурою.
A numerical algorithm for solving the two-dimensional problem of the optimal control over the heating of a long rectangular parallelepiped under an elastoplastic deformation of the material has been proposed. The control (temperature of the heating medium) changing the initial thermal state of the body to the final one characterized by a given average integral temperature has been determined.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:45:50Z |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2010
Член-кореспондент НАН України Р.М. Кушнiр, А.В. Ясiнський
Оптимальне керування нагрiванням прямокутної
термочутливої областi за обмежень на напруження
у пластичнiй зонi
Запропоновано числовий алгоритм розв’язання двовимiрної задачi оптимального керу-
вання нагрiванням довгого прямокутного паралелепiпеда за умов пружнопластичного де-
формування матерiалу. Визначено керування (температуру нагрiвального середовища),
яке за мiнiмальний час переводить тiло з початкового теплового стану у кiнцевий, що
характеризується заданою середньоiнтегральною температурою.
Значна частина сучасних технологiчних процесiв виготовлення та експлуатацiї елементiв
конструкцiй, зокрема у металургiйнiй та машинобудiвнiй галузях промисловостi, перед-
бачає їх термiчну обробку. З точки зору зменшення енергетичних затрат таких процесiв
актуальною є проблема мiнiмiзацiї часу нагрiвання чи охолодження виробу [1–3]. Для за-
безпечення вiдповiдних мiцнiсних характеристик i функцiональних властивостей елемен-
тiв конструкцiй при визначеннi режимiв їх найшвидшого нагрiвання (охолодження) по-
трiбно враховувати низку обмежень на параметри теплового i напружено-деформованого
станiв [1–5]. Оскiльки бiльшiсть таких процесiв вiдбувається за умов iнтенсивного тепло-
вого навантаження тiла, то важливим є врахування також залежностi фiзико-механiчних
властивостей матерiалу вiд температури та його пружнопластичного деформування [6].
У цiй роботi для випадку пружнопластичного деформування матерiалу сформульована
математична постановка i розроблено алгоритм числової побудови розв’язку двовимiрної
задачi оптимального за швидкодiєю керування нагрiванням довгого термочутливого прямо-
кутного паралелепiпеда за обмежень на керування i максимальну величину iнтенсивностi
дотичних термонапружень. Одновимiрнi задачi оптимального за швидкодiєю керування на-
грiванням термочутливих тiл канонiчної форми за обмежень на iнтенсивнiсть напружень
розглянуто у роботi [7].
1. Постановка задачi оптимiзацiї. Розглянемо вiльний вiд зовнiшнього силового
навантаження довгий iзотропний однорiдний термочутливий прямокутний паралелепiпед,
який перебуває за умов плоскої деформацiї [6]. Нехай нестацiонарне температурне поле тiла
T (x, y, τ) задовольняє рiвняння теплопровiдностi
∂
∂x
(
λ
∂T
∂x
)
+
∂
∂y
(
λ
∂T
∂y
)
= cV
∂T
∂τ
((x, y) ∈ D, τ > 0) (1)
i крайовi умови
λ
∂T (±1, y, τ)
∂x
∓H±
1 (T (±1, y, τ) − t±1 (y, τ)) = 0 (y ∈ [−a, a], τ > 0), (2)
λ
∂T (x,±a, τ)
∂y
∓H±
2 (T (x,±a, τ) − t±2 (x, τ)) = 0 (x ∈ [−1, 1], τ > 0), (3)
T (x, y, 0) = T0(x, y) ((x, y) ∈ D). (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 59
Тут λ = λ∗(T )/λ0, cV = c∗V (T )/c
0
V — безрозмiрнi коефiцiєнт теплопровiдностi та питома
об’ємна теплоємнiсть, вiдповiдно; λ∗(T ), c∗V (T ) — залежнi вiд температури коефiцiєнт теп-
лопровiдностi та питома об’ємна теплоємнiсть; λ0, c
0
V — деякi сталi значення цих величин;
x = x∗/h, y = y∗/h — безрозмiрнi декартовi координати; τ = λ0τ∗/(c
0
V h
2) — безрозмiрний
час; x∗ ∈ [−h, h], y∗ ∈ [−l, l]; τ∗ — декартовi координати i час; a = l/h; H±
i (T ) = α±
i
±(T )h/λ0 (i = 1, 2) — безрозмiрнi коефiцiєнти теплообмiну; α±
i (T ) (i = 1, 2) — коефiцiєнти
теплообмiну; t±1 (y, τ), t±2 (x, τ) (i = 1, 2) — температури оточуючих середовищ; T0(x, y) —
початковий розподiл температури; D = {(x, y) ∈ [−1, 1] × [−a, a]} — поперечний перерiз
паралелепiпеда; D = {(x, y) ∈ (−1, 1) × (−a, a)}.
Процес термопружнопластичного деформування матерiалу, зумовлений нестацiонарним
температурним полем T (x, y, τ), розглядаємо в межах теорiї неiзотермiчних процесiв де-
формування елементiв тiла за траєкторiями малої кривини [6]. Теплофiзичнi i механiчнi
характеристики матерiалу приймаємо функцiями вiд температури.
Задача оптимiзацiї полягає у визначеннi такого керування u(y, τ) (або v(x, τ)) — тем-
ператури нагрiвального середовища t±1 (y, τ) (або t±2 (x, τ)) чи теплового потоку на однiй iз
граничних поверхонь областi, яке, задовольняючи умову
U1(y, τ) 6 u(y, τ) 6 U2(y, τ) (y ∈ [−a, a], τ > 0) (5)
або
V1(x, τ) 6 v(x, τ) 6 V2(x, τ) (x ∈ [−1, 1], τ > 0) (6)
та обмеження на величину iнтенсивностi дотичних напружень
max
(x,y)∈D
S(T ) 6 S∗(T ), (7)
за мiнiмальний час τ0 = min τ забезпечить нагрiвання тiла з початкового стану (4) у кiнце-
вий, що характеризується заданою середньоiнтегральною температурою
1
4a
a
∫
−a
1
∫
−1
T (x, y, τ0) dxdy = T∗. (8)
Тут Ui, Vi — вiдповiдно нижня (i = 1) та верхня (i = 2) границi обмеження на функцiю ке-
рування; S = (sijsij/2)
1/2 — iнтенсивнiсть дотичних напружень; sij — компоненти девiатора
напружень; S∗(T ) — гранично допустиме значення iнтенсивностi дотичних напружень.
При побудовi розв’язку сформульованої задачi оптимiзацiї припускається керованiсть
розглядуваного процесу, тобто вважається, що умови теплового навантаження i обмеження
є такими, що можливим є досягнення кiнцевої мети нагрiвання (8).
2. Побудова розв’язку задачi. Для побудови розв’язку сформульованої задачi опти-
мiзацiї скористаємося методом, запропонованим у роботах [2, 7]. Згiдно з ним, оптимальне
за швидкодiєю керування приймаємо рiвним гранично допустимому обмеженню
u(y, τ) = U2(y, τ) y ∈ [−a, a], (v(x, τ) = V2(x, τ) x ∈ [−1, 1]) (9)
або таким, що забезпечує виконання рiвностi
max
(x,y)∈D
S(T ) = S∗(T ). (10)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Це означає, що найшвидше нагрiвання тiла за обмежень (5) (або (6)) та (7) здiйснюється по
верхнiй межi одного iз обмежень. Через це розв’язання задачi оптимального за швидкодiєю
керування нагрiванням тiла проводимо поетапно.
Етап 1. На першому етапi припускаємо, що початковий розподiл температури T0(x, y)
задовольняє умову (7) i розв’язуємо пряму задачу термопластичностi за умови (9). Якщо
в процесi нагрiвання тiла за законом (9) умова (7) завжди виконується, то оптимальне
за швидкодiєю керування визначаємо iз умови (9) до моменту досягнення кiнцевої мети
нагрiвання (8).
Оскiльки задача теплопровiдностi (1)–(4) є нелiнiйною, то її розв’язок визначаємо чи-
слово за допомогою методу скiнченних елементiв [8]. Варiацiйне рiвняння теплопровiдностi,
еквiвалентне задачi (1)–(4), матиме вигляд
δID(T ) = 0. (11)
Вигляд функцiоналу ID(T ) наведено у роботi [6].
Згiдно з методом скiнченних елементiв, область змiни просторових координат D апро-
ксимуємо двовимiрними скiнченними елементами, а температурне поле подаємо у виглядi
T (x, y, τ ) =
I
∑
i=0
J
∑
j=0
Tij(τ)ϕi(x)ϕj(y), (12)
де Tij(τ) — невiдомi значення температури у вузлових точках заданого розбиття областi на
скiнченнi елементи; ϕi(x)ϕj(y) — базиснi функцiї з локальним носiєм [8].
Внаслiдок представлення (12) функцiонал ID(T ) залежатиме вiд дискретних значень
вузлових температур Tij, а варiацiйне рiвняння (11) зведеться до системи звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь першого порядку
C
dT(τ)
dτ
+RT(τ) = F, (13)
де C, R — вiдповiдно матрицi теплоємностi та теплопровiдностi; F — вектор правих частин
ключової системи рiвнянь; T — вектор вузлових температур [6].
Неявна рiзницева схема [6, 9] системи диференцiальних рiвнянь (13) матиме вигляд
(
R+
1
∆τ
C
)
Tm =
1
∆τ
CTm−1 + Fm, (14)
де Tm−1, Tm, Fm — вектори вiдповiдних вузлових величин для моментiв часу τm−1 i τm.
Матрицi C i R будуть блочними i тридiагональними. Це дозволяє застосувати до розв’я-
зання отриманої системи рiвнянь ефективнi iтерацiйнi методи [9]. Iтерацiйний процес розв’я-
зання задачi теплопровiдностi завершується, коли два послiдовнi наближення температури
у кожнiй вузловiй точцi розбиття областi D збiгаються з наперед заданою точнiстю.
Нелiнiйну задачу термопластичностi лiнеаризуємо методом додаткових деформацiй [6].
З цiєю метою, аналогiчно до задачi теплопровiдностi, процес деформування елементiв тiла
розбиваємо на ряд малих етапiв за часом. Iнтегруючи вiдповiднi фiзичнi спiввiдношення
вздовж усього шляху деформування i пiдсумовуючи при цьому прирости пластичних де-
формацiй за етап, побудову розв’язку задачi термопластичностi зводимо до розв’язання
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 61
на кожному етапi навантаження послiдовностi задач термопружностi для однорiдного iзо-
тропного тiла з додатковими деформацiями, що враховують як пластичне деформування
матерiалу, так i залежнiсть механiчних характеристик вiд температури.
Розв’язок задачi термопружностi для прямокутної областi будуємо методом, що перед-
бачає зведення вихiдної задачi до iнтегро-диференцiальних рiвнянь [10].
Етап 2. В момент часу τ = τk, коли максимальне значення iнтенсивностi дотичних
напружень перевищує гранично допустиме, здiйснюємо перехiд на керування, яке забезпе-
чує виконання умови (10). Ця умова служить умовою спряження температурних режимiв,
визначених на першому та другому етапах керування, i використовується для визначення
часу перемикання τk. Отже, починаючи з моменту часу τk, переходимо до розв’язання обер-
неної задачi термопластичностi: за заданим допустимим значенням iнтенсивностi дотичних
напружень S∗(T ) в пластичнiй областi деформування матерiалу визначаємо вiдповiдну те-
плову дiю — функцiю керування u(y, τ) або v(x, τ).
Для визначення керування дискретний аналог двовимiрної задачi теплопровiдностi (14)
з невiдомою тепер, крiм температури, функцiєю u(y, τ) або v(x, τ), доповнюємо умовою (10),
яка замикає цю систему рiвнянь. Умову (10) записуємо через розподiл температури i до-
даткових деформацiй на основi розв’язку задачi термопружностi з додатковими деформа-
цiями.
Невiдомий в момент часу τ = τk розподiл пластичної деформацiї в умовi (10), а, отже,
i керування визначаємо методом послiдовних наближень. За початкове наближення для
розрахунку пластичних деформацiй (ε
(p)
ij )(k) у момент часу τ = τk приймаємо їх розподiл
у попереднiй момент часу τ = τk−1. Потiм визначаємо початкове наближення додаткових
деформацiй i розв’язуємо розширену систему рiвнянь (14), (10), тобто визначаємо початковi
наближення функцiї керування i температурного поля у прямокутнiй областi. За знайденим
наближенням функцiї керування на основi розв’язку прямої задачi термопластичностi ви-
значаємо перше наближення розподiлу пластичних i додаткових деформацiй у момент часу
τ = τk. У результатi розв’язання оберненої задачi за знайденим наближенням додатко-
вих деформацiй визначаємо нове наближення функцiї керування i температурного режиму.
Процес послiдовних наближень для моменту часу τ = τk продовжуємо до збiгу з наперед
заданою точнiстю двох послiдовних наближень керування.
При досягненнi функцiєю керування гранично допустимого значення в усiй областi її
визначення здiйснюємо перехiд на перший етап алгоритму розв’язання задачi керування.
З умови (9) визначаємо момент перемикання керування. Обчислення припиняємо при до-
сягненнi кiнцевої мети нагрiвання.
3. Числовий приклад. Розглянемо задачу оптимального за швидкодiєю керування
нагрiванням квадратної областi 0, 05 × 0, 05 м2, виготовленої iз сталi ЕI-395, теплофiзичнi
i механiчнi характеристики якої наведено у роботi [6]. Вважаємо, що нагрiвання теплоiзо-
льованої по поверхнях x = −1 i y = ±a квадратної областi здiйснюється через поверхню
x = 1 оточуючим середовищем, температуру якого t+1 (y, τ) вибираємо за функцiєю керу-
вання. При цьому приймаємо, що H+
1 = 1; T0 = 20 ◦С i U2(y, τ) = ϕ(τ)(1 − y2/a2), де
ϕ(τ) — функцiя часу, закон змiни якої зображено на рис. 1 штриховою лiнiєю 3. Штрихо-
вими лiнiями 1 i 2 на цьому рисунку зображено характер поведiнки величин S = S
√
3 i T
у максимально навантаженiй точцi тiла M(1, 0), коли t+1 (y, τ) = U2(y, τ) протягом усього
процесу нагрiвання. Поведiнку в часi оптимального керування при S∗(T ) = 400/
√
3 МПа
i T∗ = 55 ◦С зображено на рис. 1 суцiльною лiнiєю 3. Суцiльними лiнiями 1, 2 на рисунку
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Рис. 1. Поведiнка за часом iнтенсивностi напружень (крива 1 ), температури (крива 2 ) та оптимального
керування (крива 3 ) у максимально навантаженiй точцi M(1, 0) квадратної областi
зображено поведiнку величин S i T у точцi M(1, 0) при реалiзацiї знайденого оптимального
режиму нагрiвання областi. Як видно iз рисунка, оптимальне керування складається з трьох
етапiв. На першому [0, τ1] i третьому [τ2, τ0] етапах воно дорiвнює гранично допустимому,
а на другому [τ1, τ2] — забезпечує виконання умови (10).
За результатами проведених розрахункiв було побудовано у двовимiрному просторi Iлью-
шина [6] траєкторiї деформування максимально навантаженої точки областi. Оцiнка радi-
усiв кривини побудованих траєкторiй пiдтвердила правомiрнiсть використання для розра-
хунку напружено–деформованого стану спiввiдношень теорiї процесiв деформування еле-
ментiв тiла за траєкторiями малої кривини.
Дослiдження виконанi в рамках спiльного проекту НАН України i РФФД (проект
0108U006250).
1. Mahapatra D.B. Time optimal control on linear diffusion systems by a spatial discretization procedure //
IEEE Trans. Automat. Contr. – 1977. – 22, No 3. – P. 481–482.
2. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. – Киев: Наук. думка,
1988. – 312 с.
3. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. – Москва: Металлургия,
1993. – 279 с.
4. Nyashin Y., Kiryukhin V., Ziegler F. Control of thermal stresses and strain // J. of Thermal Stresses. –
2000. – 23. – P. 309–326.
5. Ashida F., Tauchert T.R. Control of transient thermoelastic displacement in a composite disk // Ibid. –
2002. – 25. – P. 99–121.
6. Шевченко Ю.Н., Савченко В. Г. Термовязкопластичность. – Киев: Наук. думка, 1987. – 264 с. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций. В 5-ти т. Т. 2).
7. Vihak V.M., Yasinskii A. V., Yuzvyak M.Y. Optimal control of the heating of thermosensitive canonical
bodies with constraints on the stress in the plastic zone // Intern. Appl. Mech. – 1995. – 31, No 12. –
P. 997–1003.
8. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – Москва: Мир, 1986. – 319 с.
9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – Москва: Наука, 1989. – 606 с.
10. Vihak V.M., Yuzvyak M.Y., Yasinskij A.V. The solution of the plane thermoelasticity problem for a
rectangular domain // J. of Thermal Stresses. – 1998. – 21. – P. 545–561.
Надiйшло до редакцiї 21.05.2009Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 63
Corresponding Member of the NAS of Ukraine R.M. Kushnir, A.V. Yasinskyy
Optimal control over the heating of a thermosensitive rectangular
domain under restrictions of stresses in a plastic zone
A numerical algorithm for solving the two-dimensional problem of the optimal control over the
heating of a long rectangular parallelepiped under an elastoplastic deformation of the material has
been proposed. The control (temperature of the heating medium) changing the initial thermal state of
the body to the final one characterized by a given average integral temperature has been determined.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19253 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:45:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кушнір, Р.М. Ясінський, А.В. 2011-04-23T15:36:09Z 2011-04-23T15:36:09Z 2010 Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні / Р.М. Кушнiр, А.В. Ясiнський // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 59-64. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19253 539.3 Запропоновано числовий алгоритм розв’язання двовимiрної задачi оптимального керування нагрiванням довгого прямокутного паралелепiпеда за умов пружнопластичного деформування матерiалу. Визначено керування (температуру нагрiвального середовища), яке за мiнiмальний час переводить тiло з початкового теплового стану у кiнцевий, що характеризується заданою середньоiнтегральною температурою. A numerical algorithm for solving the two-dimensional problem of the optimal control over the heating of a long rectangular parallelepiped under an elastoplastic deformation of the material has been proposed. The control (temperature of the heating medium) changing the initial thermal state of the body to the final one characterized by a given average integral temperature has been determined. Дослiдження виконанi в рамках спiльного проекту НАН України i РФФД (проект 0108U006250). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні Optimal control over the heating of a thermosensitive rectangular domain under restrictions of stresses in a plastic zone published earlier |
| spellingShingle | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні Кушнір, Р.М. Ясінський, А.В. Механіка |
| title | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| title_alt | Optimal control over the heating of a thermosensitive rectangular domain under restrictions of stresses in a plastic zone |
| title_full | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| title_fullStr | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| title_full_unstemmed | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| title_short | Оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| title_sort | оптимальне керування нагріванням прямокутної термочутливої області за обмежень на напруження у пластичній зоні |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19253 |
| work_keys_str_mv | AT kušnírrm optimalʹnekeruvannânagrívannâmprâmokutnoítermočutlivoíoblastízaobmeženʹnanapružennâuplastičníizoní AT âsínsʹkiiav optimalʹnekeruvannânagrívannâmprâmokutnoítermočutlivoíoblastízaobmeženʹnanapružennâuplastičníizoní AT kušnírrm optimalcontrolovertheheatingofathermosensitiverectangulardomainunderrestrictionsofstressesinaplasticzone AT âsínsʹkiiav optimalcontrolovertheheatingofathermosensitiverectangulardomainunderrestrictionsofstressesinaplasticzone |