Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах
Проведено чисельне моделювання руху довгих акустичних хвиль у шаруватих перiодичних баротропних релаксуючих середовищах: вода — твердий компонент; вода — твердий компонент — твердий релаксуючий компонент та вода — повiтря. Показано, що малi збурення параметрiв поширюються в них як в усереднених одно...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19261 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 110-114. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860064828346859520 |
|---|---|
| author | Даниленко, В.А. Куліч, В.В. |
| author_facet | Даниленко, В.А. Куліч, В.В. |
| citation_txt | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 110-114. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Проведено чисельне моделювання руху довгих акустичних хвиль у шаруватих перiодичних баротропних релаксуючих середовищах: вода — твердий компонент; вода — твердий компонент — твердий релаксуючий компонент та вода — повiтря. Показано, що малi збурення параметрiв поширюються в них як в усереднених однорiдних середовищах.
Long acoustic waves in layered periodic barotropic relaxing media such as water — solid, water — solid — solid relaxing component, and water — air are numerically modeled. It is demonstrated that the small disturbances of parameters propagate as those in averaged homogeneous media.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:06:57Z |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2010
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 532.59:517.95
© 2010
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко, В.В. Кулiч
Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих
перiодичних баротропних релаксуючих середовищах
Проведено чисельне моделювання руху довгих акустичних хвиль у шаруватих перiоди-
чних баротропних релаксуючих середовищах: вода — твердий компонент; вода — твер-
дий компонент — твердий релаксуючий компонент та вода — повiтря. Показано, що
малi збурення параметрiв поширюються в них як в усереднених однорiдних середовищах.
У даному повiдомленнi проведено математичне моделювання довгих акустичних хвиль у ба-
гатошарових перiодичних середовищах у плоскiй одновимiрнiй постановцi. Перiодичне се-
редовище — це велика кiлькiсть однакових елементарних комiрок з незмiнним масовим
складом компонентiв: шарiв води i твердої речовини або повiтря. Третiй компонент є ре-
лаксуючим.
У кожному шарi середовище є суцiльним та однорiдним. Для опису руху речовини шарiв
використовуємо рiвняння гiдродинамiки в лагранжевих масових координатах [1]:
∂V
∂t
−
∂u
∂s
= 0,
∂u
∂t
+
∂p
∂s
= 0, (1)
де s — лагранжева масова координата; t — час; u — масова швидкiсть; V — питомий об’єм;
p — тиск.
Нерелаксуючi компоненти пiдпорядковуються рiвнянню стану Тета з вiдповiдними ко-
ефiцiєнтами:
p = p0 +
ρ10c
2
10
γi
((
ρ
ρi0
)γi
− 1
)
, i = 1, 2, 3. (2)
Тут p0 = 0,1 МПа — атмосферний тиск. Властивостi води: ρ20 = 1000 кг/м3 — початкова
густина; c20 = 1500 м/с — швидкiсть звуку при атмосферному тиску; γ2 = 7 — показник
адiабати. Для твердої речовини: ρ30 = 2650 кг/м3; c30 = 4500 м/с; γ3 = 4; для повiтря:
ρ10 = 1,3 кг/м3; γ1 = 1,4; c10 = 328 м/с.
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Компонента, що релаксує, пiдпорядковується динамiчному рiвнянню стану першого по-
рядку у часi [2, 3]:
dp
dt
= c2f
dρ
dt
−
p− pe
τ
, (3)
де τ = 10 мкс — час релаксацiї; pe — рiвноважний тиск; cf — заморожена швидкiсть звуку.
Вважається, що рiвноважний (pe) та заморожений (pf ) тиски задаються також рiвнянням
Тета з вiдповiдними параметрами: ρe0 = ρf0 = ρ30; cf0 = 6 км/с; ce0 = 3 км/с; γf = 7; γe = 4.
Рух речовини в кожному шарi описується рiвняннями (1) та одним з двох рiвнянь (2)
або (3). Їх числове розв’язання здiйснюється скiнченно-рiзницевим методом Годунова пер-
шого порядку точностi у часi та просторi [4].
Розрахунки проводили за безрозмiрними величинами. За характернi параметри вибрано:
p = 1 ГПа; x = 0,01 м; ρ = 1000 кг/м3; u = 1000 м/с; t = 10−5 с; s = 10 кг/м2.
У розрахунках використовували близько 300 елементарних комiрок за розмiрами εE0 =
= 5 см. Крок у просторi вибирався таким, що менший шар вмiщував мiнiмум 10 розрахун-
кових точок.
Для порiвняння проводили розрахунки усереднених задач, рiвняння яких отримано
асимптотичним методом [2, 3]. Усередненi рiвняння в нульовому за перiодом структури
наближеннi набувають такого вигляду:
∂〈V (0)〉
∂t
−
∂u(0)
∂m
= 0,
∂u(0)
∂t
+
∂p(0)
∂m
= 0, d〈V (0)〉 = −
〈
V (0)2
c(0)2
〉
dp(0) (4)
(тут m — повiльна змiнна). Середнi значення шарової системи знаходимо, зокрема для
питомого об’єму двокомпонентного середовища, за формулою 〈V 〉 = k2V2 + k3V3, де ki —
масовий склад i-ї компоненти.
Доведено, що p(0), u(0) й p(1) не залежать вiд швидкої змiнної ξ на вiдмiну вiд питомого
об’єму V (0) = V (0)(ξ).
Рiвняння (4) утворюють гiперболiчну систему, що дозволяє для її числового розв’язання
використовувати метод Годунова.
Запропоновано таку формулу для обчислення усередненої швидкостi звуку [5, 6]:
cE =
(〈
1
λ
〉
〈ρ〉
)
−1/2
, (5)
де λ = ρ dp/dρ = ρc2 — коефiцiєнт стисливостi незбуреного середовища.
При атмосферному тиску
〈
1
λ
〉
=
α2
ρ20c220
+
α3
ρ30c230
=
k2
ρ220c
2
20V0
+
k3
ρ230c
2
30V0
= V −1
0
〈
V 2
c2
〉
0
.
Тут V0 — середнiй питомий об’єм середовища; αi — склад компонентiв за об’ємом; ki =
= αiV0ρi0.
Усередненi швидкостi звуку для моделi (4) у лагранжевiй та ейлеровiй системах коор-
динат знаходяться за формулами
cL =
〈
V (0)2
c(0)2
〉
−1/2
, cE = 〈V (0)〉cL. (6)
Спiввiдношення (5) й (6) збiгаються при атмосферному тиску.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 111
Рис. 1. Розподiл тиску (а) та масової швидкостi (б ) в акустичному збуреннi в однiй з елементарних комiрок
при t = 150 мкс
Моделювання руху збурень. Для мiкроструктурного середовища вода — твердий
компонент початковий склад компонентiв становив: α2 = 0,2; α3 = 0,8; iншi параметри
середовища — ρ0 = 2320 кг/м3; k2 = 0,0862; k3 = 0,9138; εL = 116 кг/м2.
Проведено чисельне моделювання поширення збурення малої амплiтуди в мiкрострук-
турному середовищi, яке спочатку є нерухомим та задавалося формулою (∆ = 0,01):
p = p0 +∆p0e
−s2/(100ε2
L
). (7)
З цього виразу випливає, що збурення охоплює бiльш нiж 60 елементарних комiрок перi-
одичного середовища.
З часом збурення розпадається на два однакових, якi симетрично рухаються в про-
тилежних напрямах. Завдяки симетрiї задачi розрахунки проводили тiльки для додатних
просторових координат s > 0.
Розподiли тиску та масової швидкостi у збуреннi в елементарнiй комiрцi в момент ча-
су t = 150 мкс зображено на рис. 1. Тиск майже однаково змiнюється в компонентах. Змiна
масової швидкостi здiйснюється в основному в рiдкому компонентi. Рiзниця в поведiнцi
цих параметрiв проявляється в усередненiй задачi: масова швидкiсть у першому набли-
женнi за перiодом структури u(1) залежить вiд швидкої змiнної ξ, а тиск p(1) не залежить
вiд неї.
Розподiли тиску в перiодичному середовищi вода — твердий компонент у рiзнi моменти
часу зображено суцiльною лiнiєю на рис. 2, а. Для порiвняння розраховано рух акустичного
збурення за допомогою розв’язання усередненої системи (4), що тотожно розв’язку прямої
задачi. Максимум тиску рухається з постiйною швидкiстю cL1 = 4,74 · 106 кг/(м2 · с); cE =
= 2,04 км/с. Величина швидкостi звуку, що обчислена за формулою (4) cL2 = 4, 73 · 106 кг/
(м2 · с) ≈ cL1, тобто рух акустичного збурення вiдповiдає рiвнянням (4).
Чисельне моделювання поширення збурення малої амплiтуди здiйснено для релаксую-
чого середовища. Елементарна комiрка мала такi властивостi, якi близькi до перiодичного
середовища вода — твердий компонент: sr = 26 кг/м2; s2 = 10 кг/м2; s3 = 80 кг/м2. Релак-
суючий компонент спочатку знаходився в рiвноважному станi.
Профiлi тиску в рiзнi моменти часу зображено штриховою лiнiєю на рис. 2, а. Спо-
стерiгається усереднений рух акустичного збурення з меншою швидкiстю. За 1,5 мс руху
амплiтуда збурення помiтно зменшилася в релаксуючому середовищi.
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Рис. 2. Рух акустичного збурення в перiодичних середовищах:
а — вода — твердий компонент (1 ), релаксуюче (2 ); б — сильнонеоднорiдне вода — повiтря
Математичне моделювання поширення збурення малої амплiтуди розглядається для пе-
рiодичного сильнонеоднорiдного середовища вода — повiтря. В початковий момент зада-
валося нерухоме збурення (7) з параметром ∆ = 0,0001. Початковий склад компонентiв
становив: α1 = 0,2; α2 = 0,8; iншi параметри середовища — ρ0 = 800 кг/м3; k1 = 0,000325;
k2 = 0,999675.
Шар повiтря вмiщував 13 розрахункових точок з однаковим безрозмiрним кроком у про-
сторi: h = 0,0001. При такому незмiнному кроцi у просторi на шар води припадає 40000
точок. Для їх зменшення використовується змiнний h, який збiльшується в геометричнiй
прогресiї hi+1 = 1,01hi, починаючи вiд межi шарiв. З середини шару води крок у просторi
починає аналогiчно зменшуватися: hi+11,01 = hi. Завдяки такому алгоритму досягається
невелика похибка рiзницевих рiвнянь [1]. При розбиттi простору на одну елементарну ко-
мiрку тепер припадає 1077 точок.
Профiлi тиску в сильнонеоднорiдному середовищi вода — повiтря в рiзнi моменти ча-
су для s > 0 зображено на рис. 2, б. Спочатку формується рух збурення, з часом вста-
новлюється постiйна швидкiсть переднього фронту. Елемент профiлю при тиску p = p0
(1 + 2,34 · 10−5) рухається зi швидкiстю cLp = 2,29 · 104 кг/(м2 · с). З формул (6) маємо
cL = 2,37 ·104 кг/(м2 ·с); cE = 29,6 м/с. Близькiсть значень cLp й cL вказує на те, що в данiй
постановцi задачi для сильнонеоднорiдних структур справедливi рiвняння (4).
Таким чином, у розглянутих системах спостерiгаються усереднений рух довгих акусти-
чних збурень тиску й аналогiчна поведiнка масової швидкостi та збурення усередненого
питомого об’єму.
1. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – Москва: На-
ука, 1992. – 424 с.
2. Вахненко В.А., Даниленко В.А., Кулич В.В. Элементы теории самоорганизации и нелинейных вол-
новых процессов в природных средах со структурой. – Киев, 1991. – 44 с. – (Препр. / Ин-т геофизики
АН УССР).
3. Вахненко В.А., Кулiч В.В. Длинноволновые процессы в периодической среде // Прикл. мат. и техн.
физика. – 1992. – № 6. – С. 49–56.
4. Роменский Е.И. Разностная схема Годунова для одномерных релаксационных уравнений термоупру-
гопластичности // Тр. Ин-т математики СО АН СССР. Т. 11. Вычислительные проблемы в задачах
математической физики. – Новосибирск: Наука, 1988. – С. 101–115.
5. Сандраков Г.В. Осреднение линеаризованной системы гидродинамики с малой вязкостью и скорость
звука в смесях. – Москва, 1987. – 30 с. – (Препр. / Отд-ние вычисл. мат. АН СССР; № 178).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 113
6. Бахвалов Н.С., Сандраков Г. В., Эглит М.Э. Математическое моделирование процесса распростра-
нения звуковых волн в смесях // Вестн. Моск. ун-та. Сер 1. Математика. Механика. – 1996. – № 6. –
С. 19–21.
Надiйшло до редакцiї 06.05.2009Вiддiлення геодинамiки вибуху Iнституту геофiзики
iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.A. Danylenko, V. V. Kulich
Modeling of long acoustic waves in layered periodic barotropic media
Long acoustic waves in layered periodic barotropic relaxing media such as water — solid, water —
solid — solid relaxing component, and water — air are numerically modeled. It is demonstrated
that the small disturbances of parameters propagate as those in averaged homogeneous media.
114 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19261 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:06:57Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даниленко, В.А. Куліч, В.В. 2011-04-23T16:21:21Z 2011-04-23T16:21:21Z 2010 Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах / В.А. Даниленко, В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 110-114. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19261 532.59:517.95 Проведено чисельне моделювання руху довгих акустичних хвиль у шаруватих перiодичних баротропних релаксуючих середовищах: вода — твердий компонент; вода — твердий компонент — твердий релаксуючий компонент та вода — повiтря. Показано, що малi збурення параметрiв поширюються в них як в усереднених однорiдних середовищах. Long acoustic waves in layered periodic barotropic relaxing media such as water — solid, water — solid — solid relaxing component, and water — air are numerically modeled. It is demonstrated that the small disturbances of parameters propagate as those in averaged homogeneous media. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах Modeling of long acoustic waves in layered periodic barotropic media published earlier |
| spellingShingle | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах Даниленко, В.А. Куліч, В.В. Науки про Землю |
| title | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| title_alt | Modeling of long acoustic waves in layered periodic barotropic media |
| title_full | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| title_fullStr | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| title_full_unstemmed | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| title_short | Моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| title_sort | моделювання довгих акустичних хвиль у шаруватих періодичних баротропних релаксуючих середовищах |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19261 |
| work_keys_str_mv | AT danilenkova modelûvannâdovgihakustičnihhvilʹušaruvatihperíodičnihbarotropnihrelaksuûčihseredoviŝah AT kulíčvv modelûvannâdovgihakustičnihhvilʹušaruvatihperíodičnihbarotropnihrelaksuûčihseredoviŝah AT danilenkova modelingoflongacousticwavesinlayeredperiodicbarotropicmedia AT kulíčvv modelingoflongacousticwavesinlayeredperiodicbarotropicmedia |