Розв'язність задачі Алексідзе
Нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа з граничними даними на поверхнi Ляпунова редукована до розв’язання двох еквiвалентних нелiнiйних iнтегральних рiвнянь, якi описують функцiю сили тяжiння. Дослiджено умови єдиностi, iснування та стiйкостi задачi Алексiдзе в цих редукцiях на пар...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19262 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв'язність задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 115-122. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613561181962240 |
|---|---|
| author | Дубовенко, Ю.І. |
| author_facet | Дубовенко, Ю.І. |
| citation_txt | Розв'язність задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 115-122. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа з граничними даними на поверхнi Ляпунова редукована до розв’язання двох еквiвалентних нелiнiйних iнтегральних рiвнянь, якi описують функцiю сили тяжiння. Дослiджено умови єдиностi, iснування та стiйкостi задачi Алексiдзе в цих редукцiях на парi банахових просторiв, до яких належать вхiднi данi та шуканий розв’язок.
The nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation with the boundary data on the Liapunov’s surface is reduced to the solution of two equivalent nonlinear integral equations, which describe the gravity force function. The conditions of the uniqueness, existence, and stability of the Alexidze problem at these reductions on a pair of Banach domains including the initial data and the required solution are investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-28T16:24:59Z |
| fulltext |
УДК 550.831+550.8
© 2010
Ю. I. Дубовенко
Розв’язнiсть задачi Алексiдзе
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа з граничними даними на по-
верхнi Ляпунова редукована до розв’язання двох еквiвалентних нелiнiйних iнтегральних
рiвнянь, якi описують функцiю сили тяжiння. Дослiджено умови єдиностi, iснування
та стiйкостi задачi Алексiдзе в цих редукцiях на парi банахових просторiв, до яких
належать вхiднi данi та шуканий розв’язок.
Однiєю з важливих задач теорiї потенцiалу є гранична задача вiдновлення потенцiалу сили
тяжiння за значеннями модуля його градiєнта, якими є значення аномалiй сили тяжiн-
ня. Теоретичне пiдгрунтя задачi закладене в [1]. Ця задача має два альтернативнi шляхи
розв’язання: пошук границi послiдовностi розв’язкiв лiнiйних задач Неймана для рiвняння
Лапласа [2] та розв’язання нелiнiйної граничної задачi Алексiдзе для того ж рiвняння на
довiльних банахових просторах [3–5].
Потенцiал сили тяжiння V (x) є гармонiчною функцiєю в областi y+, не зайнятiй тяжi-
ючими масами. Використати його для вiдновлення значень сили тяжiння g(x) у точках x
необмеженої областi y+ шляхом розв’язання зовнiшньої граничної задачi Неймана для рiв-
няння Лапласа (як i змiшаної задачi) з граничною умовою ∂V (x)/∂n = g(x), x ∈ ∂Wx,
заважає незбiг рельєфу ∂y з еквiпотенцiальною поверхнею ∂Wx : W (z) = Cx. Непридатне
для редукцiї значень g(x) з поверхнi ∂y в область y+ i розв’язання зовнiшньої задачi Дiрiхле
для рiвняння Лапласа (i задачi Кошi) через негармонiчнiсть [6] функцiї g(x), x ∈ y+.
Трактовка значень аномалiй ∆g(x) як значень гармонiчної функцiї або їх лiнiйної ком-
бiнацiї справедлива для областей малої мiри [2]. Поширення пiдмiни на регiональнi гравi-
метричнi побудови неправомiрне.
Для характеристики розподiлу ∆g(x) у глобальнiй областi слiд враховувати диференцi-
альнi властивостi сили тяжiння, що реалiзованi в нелiнiйнiй граничнiй задачi Алексiдзе для
рiвняння Лапласа [4]: знайти функцiю W (x), x ∈ y+, яка задовольняє всерединi необмеже-
ної замкнутої областi y+ = y+
⋃
∂y рiвняння Лапласа ∆W (x) = 0, x ∈ y+, а в будь-якiй
точцi ляпуновської границi ∂y областi та в нескiнченно вiддаленiй точцi умови:
3
∑
k=1
(
∂W (x)
∂xk
)2
= g2(x), x ∈ ∂y, W (x) → 0, якщо |x| → ∞, (1)
де g(x) — задана неперервна функцiя.
Гармонiчну в областi y+ функцiю W (x) знаходимо як розв’язок нелiнiйного iнтеграль-
ного рiвняння сили тяжiння [5], еквiвалентний розв’язку Алексiдзе (1):
1
4
σ2(x) +
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ)dSξ +
1
16π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q)dSξdSη =
= g2(x), x ∈ ∂y. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 115
Питання розв’язностi задачi Алексiдзе зводимо до з’ясування умов коректностi рiвнян-
ня (2).
Теорема 1 (єдиностi). Нехай W1(x) i W2(x), x ∈ y+ — потенцiали простих шарiв,
поширених на поверхнi ∂y Ляпунова з густинами σ1(x) й σ2(x), x ∈ ∂y, i на цiй границi ∂y
рiвнi градiєнти потенцiалiв | gradW1(x)| = | gradW2(x)| = g(x), x ∈ ∂y, тодi потенцiали
збiгаються мiж собою W1(x) = W2(x) у кожнiй точцi необмеженої областi x ∈ y+.
Доведення. Введемо позначення δW (x) = W1(x) −W2(x), δσ(x) = σ1(x) − σ2(x), з (2)
й умови теореми отримаємо рiвнiсть
3
∑
k=1
(
cos(n, xk)
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ1(ξ) + σ1(x)) dSξ
)2
−
−
3
∑
k=1
(
cos(n, xk)
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ2(ξ)− σ2(x)) dSξ
)2
= 0,
яку можна переписати таким чином:
(
1
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ1(ξ) + σ1(x)) dSξ −
1
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ2(ξ) + σ2(x))dSξ
)
×
×
(
1
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ1(ξ) + σ1(x))dSξ +
1
4π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
(σ2(ξ) + σ2(x))dSξ
)
= 0.
Подамо перший множник у виглядi
δσ(x) +
1
2π
∫
∂y
∂
∂n
1
|x− ξ|
δσ(ξ) dSξ = 0, x ∈ ∂y,
або через еквiвалентне зображення у виглядi
∂δW (x)
∂ne
= 0, x ∈ ∂y. (3)
Оскiльки потенцiал простого шару
δW (x) =
1
4π
∫
∂y
δσ(ξ)
|x− ξ|
dSξ (4)
у нескiнченно вiддаленiй точцi дорiвнює нулю, то за умови (3) вiн тотожно дорiвнює ну-
лю в областi y+, а отже, i на її границi. Оскiльки потенцiал (4) є гармонiчною функцiєю
всерединi областi y−, то δW (x) = 0, x ∈ y−. Звiдси випливає умова ∂δW (x)/∂ni = 0 при
x ∈ ∂y, яка в поєднаннi з умовою (3) означає, що густина δσ(x) потенцiалу δW (x) тотожно
дорiвнює нулю, або σ1(x) ≡ σ2(x), x ∈ ∂y.
Ця теорема вказує на те, що разом з нелiнiйним оператором, який вiдображає прос-
тiр густин σ(x), x ∈ ∂y, потенцiалiв у простiр модулiв їх градiєнтiв g(x), x ∈ ∂y, iснує
116 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
(принаймнi “в малому”) обернення, яке переводить простiр g(x) у простiр σ(x), x ∈ ∂y.
Знайшовши спосiб побудови цього оберненого вiдображення, доведемо iснування розв’язку
задачi Алексiдзе (1).
Скiльки розв’язкiв має рiвняння (2)? Вiдповiдь дає теорема.
Теорема 2 (єдиностi). Якщо нелiнiйне рiвняння (2) має розв’язок, вiн єдиний.
Доведення. Зауважимо, що рiвняння (2) має еквiвалентну простiшу форму [5]:
σ2(x) +
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ(ξ)
|x− ξ|2
σ(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ = 2g2(x), x ∈ ∂y. (5)
Нехай у рiвняннi (5) два розв’язки σ1(x) та σ2(x), x ∈ ∂y, якi породжують два потенцiали
простого шару W1(x) та W2(x), x ∈ y+, модулi градiєнтiв яких збiгаються один з одним на
границi областi y+, тобто:
| gradW1(x)| = | gradW2(x)| = g(x), x ∈ ∂y. (6)
З рiвняння (5) та умови (6) отримуємо спiввiдношення
σ2
1(x) +
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ1(ξ)
|x− ξ|2
σ1(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ − σ2
2(x)−
−
1
4π
∫
∂y
∫
∂y
σ2(ξ)
|x− ξ|2
σ2(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ = 0.
Крiм того, кожна з функцiй σ1(x) й σ2(x) задовольняє однорiдне рiвняння
1
4
σ2(x)−
σ(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ(ξ) dSξ + g20(x) = 0, x ∈ ∂y,
тому матимемо
σ1(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ1(ξ) dSξ −
σ2(x)
4π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ2(ξ) dSξ = 0.
Цю рiвнiсть можна навести як
σ1(x)
∂W1(x)
∂n
− σ2(x)
∂W2(x)
∂n
= 0, x ∈ ∂y.
За означенням, | gradWk(x)| = ∂Wk(x)/∂n(x), де n(x) — нормаль до еквiпотенцiальної
поверхнi Wk(y) = Cx, яка проходить через точку x, тому з останньої рiвностi з ураху-
ванням умови (6) маємо:
σ1(x)
(
∂W1(x)
∂n
−
∂W2(x)
∂n
)
∂n
∂m
+
∂m2(x)
∂m
(σ1(x)− σ2(x)) =
∂W2(x)
∂m
(σ1(x)− σ2(x)) = 0,
x ∈ ∂y.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 117
Це спiввiдношення можливе за умови σ1(x) − σ2(x) = 0 при x ∈ ∂y i доводить тео-
рему 2.
Щоб з’ясувати умови iснування розв’язку задачi Алексiдзе, редукованої до нелiнiйних
рiвнянь (2), (5), розглянемо залежнiсть лiвої частини (5) вiд σ1(x), x ∈ ∂y. Вираз
F0(x;σ1) = σ2
1(x) +
σ1(x)
π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ1(ξ) dSξ +
+
1
4π2
∫
∂y
∫
∂н
σ1(ξ)
|x− ξ|2
σ2(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ —
нелiнiйний щодо аргументу σ1(ξ) функцiонал на деякому лiнiйному нормованому (бана-
ховому) просторi B(∂y) функцiй σ1(x). Якщо σ2(x) ∈ B(∂y) є певним змiщенням з точки
σ1(x) цього простору, то
F0(x;σ1 + σ2) = F0(x;σ1) + 2σ1(x)σ2(x) +
σ2(x)
π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ1(ξ) dSξ +
+
σ1(x)
π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x−ξ|2
σ2(ξ) dSξ+
1
2π2
∫
∂y
∫
∂y
σ1(η)
|x−η|2
σ2(ξ)
|x−ξ|2
cos(p, q) dSηdSξ+F0(x;σ2)=
= F0(x;σ1) + ∆F0(x;σ1, σ2) + F0(x;σ2). (7)
На основi рiвностi
∫
∂н
K(x, ξ)dSξ = 1, x ∈ ∂y, i леми 2 [5] маємо ‖F0(x, σ2)‖B 6 4‖σ2(x)‖
2
B
i за малого змiщення у приростi F0(x;σ1) домiнує лiнiйна функцiя вiд змiщення
∆F0(x;σ1, σ2) = 2ϕ(x)σ2(x) +
1
π
∫
∂y
K(x; ξ;σ1)σ2(ξ) dSξ,
де
ϕ(x) = σ1(x) +
1
2π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ1(ξ) dSξ 6= 0,
K(x, ξ;σ1) =
1
|x− ξ|2
(
σ1(x) cos(n, ρ) +
1
2π
∫
∂y
cos(p, q)
|x− η|2
σ1(η) dSη
)
.
Складемо вiдношення, яке пов’язує малi прирости густини потенцiалу простого шару
з густиною i значеннями модуля градiєнта потенцiалу g(x), x ∈ ∂y, у виглядi:
σ2(x) +
1
2π
∫
∂y
K0(x, ξ;σ1)σ2(ξ) dSξ = f(x, σ1),
де K0(x, ξσ1) = K(x, ξ;σ1)/ϕ(x), f(x, σ1) = 2g2(x)−F0(x;σ1)/2. Якщо ∆σ1,n(x) = σ1,n+1(x)−
−σ1,n(x), fn(x, σ1,n) = 2g2(x)−F0(x;σ1,n)/2, n = 0,1, . . . ,∞; σ1,0(x) = g(x), то отримаємо для
118 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
визначення послiдовностi {σ2,n(x)} малих приростiв густини потенцiалу простого шару
Wn(x) лiнiйне рiвняння Фредгольма другого роду:
σ2,n(x) +
1
2π
∫
∂y
K0(x, ξ;σ1,n)σ2,n(ξ) dSξ = fn(x, σ1,n). (8)
Вiдштовхуючись вiд (7) для функцiоналу F0(x;σ1 + σ2), припустимо, що
A[σ2,n(x)] =
fn(x, σ1,n)
σ1,n(x)
−
1
2π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ2,n(ξ) dSξ −
σ2,n(x)
2π
∫
∂y
cos(n, ρ)
|x− ξ|2
σ1,n(ξ)
σ1,n(x)
dSξ −
−
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ1,n(ξ)
σ1,n(x)
σ2,n(η)
|x− ξ|2
cos(p, q)
|x− η|2
dSηdSξ,
i розглянемо iтерацiйний процес визначення наближень густини σ1(x), x ∈ ∂y, потенцiалу
простого шару, поширеного на поверхнi Ляпунова ∂y:
σ1,0(x) = g(x), σ2,0(x) = 0, x ∈ ∂y,
σ1,n+1(x) = σ1,n(x) + σ2,n(x), σ2,n+1(x) = A[σ2,n(x)], n = 0,1,2, . . . ,∞.
(9)
Теорема 3 (iснування). Нехай задана на поверхнi Ляпунова ∂y функцiя g(x), x ∈ ∂y, на-
лежить до обмеженої множини деякого банахового простору B(∂y), тодi розв’язок σ1(x),
x ∈ ∂y, нелiнiйного рiвняння (2) iснує як гранична функцiя послiдовностi {σ1,n(x)} з прос-
тору B(∂y), генерованої процесом (9), що збiгається зi швидкiстю геометричної прогресiї.
Доведення. Оцiнимо рiзницю σ2,n+1(x) − σ2,n(x) з точнiстю не нижче другого поряд-
ку малостi порiвняно з ‖σ2,n(x)‖B . Виходячи iз (7), 2σ1,n(x)σ2,n+1(x) = 2σ1,n(x)A[σ2,n(x)],
i врахуємо, що σ1,n(x)σ2,n+1(x) − σ1,n−1(x)σ2,n(x) = σ1,n(x)(σ2,n+1(x)− σ2,n(x)) + o(σ2
2,n).
Пiсля нескладних перетворень:
σ2,n+1(x)− σ2,n(x) =
σ1,n−1(x)
σ1,n(x)
(σ2,n(x)− σ2,n−1(x))−
fn(x, σ1,n−1)
σ1,n(x)
−
−
σ1,n−1(x)
σ1,n(x)
1
2π
∫
∂y
cos(m,ρ)
|x− ξ|2
(σ2,n(ξ)− σ2,n−1(ξ)) dSξ −
−
σ2,n(x)− σ2,n−1(x)
2π
∫
∂y
cos(m,ρ)
|x− ξ|2
σ1,n−1(ξ)
σ1,n(x)
dSσ −
−
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ2,n(ξ)− σ2,n(ξ)
|x− ξ|2
cos(p, q)
|x− η|2
σ1,n−1(η)
σ1,n(x)
dSξdSξ.
Звiдси, посилаючись на те, що σ2,0(x) = 0, а прирости σ2,n−1(x) малi, отримуємо ланцю-
жок нерiвностей ‖σ2,n+1(x) − σ2,n(x)‖B 6 q‖σ2,n(x) − σ2,n−1(x)‖B 6 · · · 6 qn‖σ2,1(x)‖B ,
де q = 1 − ‖σ2(x)‖/‖σ1(x)‖, при цьому ‖σ2(x)‖ = min
n
‖σ2,n(x)‖, ‖σ1(x)‖ = max
n
‖σ1,n(x)‖.
Послiдовностi {σ2,n(x)} та {σ1,n(x)} збiгаються. Зi збiжностi випливає, що ‖σ1,n(x)‖ < ∞
i ‖σ2,n(x)‖ → 0 при n → ∞. Через це в нерiвностi ‖4q2(x)−F0(x;σ1,n)‖B 6 M(σ1,n)‖σ2,n(x)‖B
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 119
константа M(σ1,n) > 0 — обмежена. Послiдовнiсть {σ1,n(x)} збiгається зi швидкiстю гео-
метричної прогресiї до розв’язку σ1(x), x ∈ ∂y, рiвняння (2). Рiвняння (5) дослiджується
за аналогiєю.
З нелiнiйного функцiоналу
F1(x;σ1) =
1
2
σ2
1(x) +
1
8π2
∫
∂y
∫
∂y
σ1(ξ)
|x− ξ|2
σ1(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ,
ввiвши позначення
K1(x, ξ;σ1) =
1
4π2
∫
∂y
σ1(η)
σ1(x)
cos(p, q)
|x− η|2
dSη, b(x;σ1) =
1
σ1(x)
(g2(x)− F1(x;σ1)), (10)
пропонуємо три алгоритми визначення густини потенцiалу простого шару.
Алгоритм 1 базується на наближенiй рiвностi ∆F (x;σ1, σ2) = g2(x) − F1(x;σ1), яку
з урахуванням (10) подамо
σ2(x) +
∫
∂y
K1(x, ξ;σ1)σ2(ξ) dSξ = b(x, σ1). (11)
Оскiльки ядро i права частина залежнi вiд густини, то для її визначення придатний процес
σ1,0(x) = g(x), σ2,0(x) = 0, x ∈ ∂y,
σ1,n+1(x) = σ1,n(x) + σ2,n(x), σ2,n+1(x) = A1[σ2,n(x)], n = 0,∞,
(12)
де
A1[σ2,n(x)] = b(x;σ1,n)−
∫
∂y
K1(x, ξ;σ1,n)σ2,n(ξ) dSξ .
Алгоритм 2 базується на рiвностi ∆F (x;σ1, σ2) = g2(x) − F1(x;σ1) − F1(x;σ2), яку
подамо як
σ2(x) +
∫
∂y
K1(x, ξ;σ1)σ2(ξ) dSξ = b1(x, σ1),
де
b1(x;σ1) =
g2(x)− F1(x;σ1)− F1(x;σ2)
σ1(x)
.
Для визначення наближень густини придатний процес
σ1,0(x) = g(x), σ2,0(x) = 0, x ∈ ∂y,
σ1,n+1(x) = σ1,n(x) + σ2,n(x), σ2,n+1(x) = A2[σ2,n(x)], n = 0,∞,
(13)
де
A2[σ2,n(x)] = b1(x;σ1,n)−
∫
∂y
K1(x, ξ;σ1,n)σ2,n(ξ) dSξ.
120 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
Алгоритм 3 оснований на обчисленнi приростiв густини чисельними методами з лiнiй-
них iнтегральних рiвнянь 2-го роду
σ2,n+1(x) +
∫
∂y
K1(x, ξ;σ1,n)σ2,n+1(ξ) dSξ = b1(x, σ1,n) (14)
вiдносно приростiв σ2,n(x) = σ1,n+‘1(x)−σ1,n(x), n = 0,∞; σ1,0(x) = g(x), σ2,0(x) = 0, x ∈ ∂y.
Теорема 4 (iснування). Розв’язок σ1(x), x ∈ ∂y нелiнiйного рiвняння (5) iснує як гра-
ниця послiдовностi {σ1,n(x)} функцiй з простору B(∂y), генерованої процесом (11), що
збiгається зi швидкiстю геометричної прогресiї.
Доведення. Оцiнимо рiзницю приростiв σ2,n+1(x)−σ2,n(x) густини. Виходячи iз зобра-
ження функцiоналу F1(x;σ1 + σ2) = F1(x;σ1) + ∆F1(x;σ1, σ2) + F1(x;σ2), який вiдповiдає
змiщенню σ2(x), запишемо рiвнiсть 2σ1,n(x)σ2,n+1(x) = 2σ1,n(x)A1[σ2,n(x)], з якої одержуємо
σ2,n+1(x)− σ2,n(x) =
σ1,n+1(x)
σ1,n(x)
(σ2,n(x)− σ2,n−1(x))−
−
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ2,n(ξ)− σ2,n−1(ξ)
|x− ξ|2
σ1,n−1(ξ)
σ1,n(x)
cos(p, q)
|x− η|2
dSηdSξ − (g2(x)− F1(x;σ1,n−1)).
Враховуючи, що g = 1 − ‖σ2‖/‖σ1‖ < 1 при ‖σ2‖ = min
n
‖σ2,n(x)‖, ‖σ1‖ = max
n
‖σ1,n(x)‖
i σ2,0(x) = 0, маємо ‖σ2,n+1(x) − σ2,n(x)‖ = g‖σ2,n(x) − σ2,n−1(x)‖ 6 · · · 6 qn‖σ2,1(x)‖.
Послiдовнiсть {σ2,n(x)} збiгається зi швидкiстю геометричної прогресiї разом з послiдов-
нiстю {σ1,n(x)}. З (11) з урахуванням наведеного приходимо до ‖g2(x) − F1(x;σ1,n)‖ 6
6 M1(σ1,n)‖σ2,n(x)‖, де M1(σ1,n) < ∞, з якої випливає, що границя σ1(x) послiдовностi
{σ1,n(x)} задовольняє рiвняння (5). Аналогiчне доведення в алгоритмах 2,3.
Теорема 5 (стiйкостi). Розв’язки нелiнiйних рiвнянь (2) та (5) неперервно залежать
вiд граничної функцiї g(x) ∈ B(∂y).
Доведення. Нехай g1(x) та g2(x), x ∈ ∂y — граничнi данi двох задач Алексiдзе, що
вiдрiзняються не бiльш, нiж на ε > 0. Тодi два розв’язки σ1,1(x) i σ1,2(x) рiвняння (2), що
вiдповiдають граничним даним, задовольнятимуть вiдношенню:
σ2
1,1(x)− σ2
1,2(x) +
σ1,1(x)− σ1,2(x)
π
∫
∂y
cos(m,ρ)
|x− ξ|2
σ1,1(ξ) dSξ +
+
σ1,2(x)
π
∫
∂y
cos(m,ρ)
|x− ξ|2
(σ1,1(ξ)− σ1,2(ξ)) dSξ +
+
1
4π2
∫
∂y
∫
∂y
σ1,1(ξ) + σ1,2(ξ)
|x− ξ|2
σ1,1(η)− σ1,2(η)
|x− η|2
cos(p, q) dSηdSξ = 4(g21(x)− g22(x)).
Звiдси та на основi леми 2 з [5] отримуємо нерiвнiсть
‖σ1,1(x)− σ1,2(x)‖B 6
2‖g1(x) + g2(x)‖B
‖σ1,1(x)‖B + ‖σ1,2(x)‖B
ε, ε > ‖g1(x)− g2(x)‖B . (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №1 121
Отримуємо за нормою банахового простору нерiвнiсть
‖σ1,1(x)− σ1,2(x)‖B 6
‖g1(x) + g2(x)‖B
‖σ1,1(x) + σ1,2(x)‖B
ε, (16)
тобто, малим варiацiям граничних даних g(x) ∈ B(∂y) вiдповiдають малi варiацiї розв’язку
σ1(x) ∈ B(∂y).
Теорема 6. Задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа з граничними даними на поверх-
нi Ляпунова є коректно поставленою задачею на парi банахових просторiв B(∂y)g(x)
i B(y+)W (x).
У справедливостi теореми можна переконатись, якщо довести, що обернений оператор
обмежений у просторi B(y+).
1. Черный А. В. Об уравнении силы тяжести // Докл. АН УССР. Сер. Б. – 1970. – № 2. – С. 145–148.
2. Якимчик А. I. Гранична задача вiдновлення потенцiалу за значеннями модуля його градiєнта: Авто-
реф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук: 04.00.22. – Київ: Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України,
2001. – 16 с.
3. Чорний А.В. Про нову задачу для рiвняння Лапласа // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. Геологiя. – 1995. –
Вип. 13. – С. 72–80.
4. Дубовенко Ю. I. Спосiб вiдновлення потенцiалу за значеннями модуля його градiєнта: Матерiали
наук. конф. “Геофiзичнi технологiї прогнозування та монiторингу геологiчного середовища”, Львiв,
6–10 жовт. 2008 p. – Львiв: СПОЛОМ, 2008. – С. 156–158.
5. Дубовенко Ю. I. Редукцiя задачi Алексiдзе для рiвняння сили тяжiння // Доп. НАН України. – 2009. –
№ 12. – С. 112–119.
6. Алексидзе М.А. Редукция силы тяжести. – Тбилиси: Мецниереба, 1965. – 256 с.
Надiйшло до редакцiї 23.04.2009Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
Yu. I. Dubovenko
Solvability of the Alexidze problem
The nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation with the boundary data
on the Liapunov’s surface is reduced to the solution of two equivalent nonlinear integral equations,
which describe the gravity force function. The conditions of the uniqueness, existence, and stability
of the Alexidze problem at these reductions on a pair of Banach domains including the initial data
and the required solution are investigated.
122 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19262 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T16:24:59Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дубовенко, Ю.І. 2011-04-23T16:30:10Z 2011-04-23T16:30:10Z 2010 Розв'язність задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 1. — С. 115-122. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19262 550.831+550.8 Нелiнiйна гранична задача Алексiдзе для рiвняння Лапласа з граничними даними на поверхнi Ляпунова редукована до розв’язання двох еквiвалентних нелiнiйних iнтегральних рiвнянь, якi описують функцiю сили тяжiння. Дослiджено умови єдиностi, iснування та стiйкостi задачi Алексiдзе в цих редукцiях на парi банахових просторiв, до яких належать вхiднi данi та шуканий розв’язок. The nonlinear boundary-value Alexidze problem for the Laplace’s equation with the boundary data on the Liapunov’s surface is reduced to the solution of two equivalent nonlinear integral equations, which describe the gravity force function. The conditions of the uniqueness, existence, and stability of the Alexidze problem at these reductions on a pair of Banach domains including the initial data and the required solution are investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Розв'язність задачі Алексідзе Solvability of the Alexidze problem published earlier |
| spellingShingle | Розв'язність задачі Алексідзе Дубовенко, Ю.І. Науки про Землю |
| title | Розв'язність задачі Алексідзе |
| title_alt | Solvability of the Alexidze problem |
| title_full | Розв'язність задачі Алексідзе |
| title_fullStr | Розв'язність задачі Алексідзе |
| title_full_unstemmed | Розв'язність задачі Алексідзе |
| title_short | Розв'язність задачі Алексідзе |
| title_sort | розв'язність задачі алексідзе |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19262 |
| work_keys_str_mv | AT dubovenkoûí rozvâznístʹzadačíaleksídze AT dubovenkoûí solvabilityofthealexidzeproblem |