Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations
Досліджено існування нормалізованих гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі у
 всій комплексній площині з припущенням, що його вимірний коефіцієнт має компактний носій, а виродження рівняння контролюється коефіцієнтом тангенціальної дилатації. Доведено, що якщо коефіцієнт&...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2023 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2023
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/192997 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 2. — С. 10-17. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859987862945005568 |
|---|---|
| author | Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. |
| author_facet | Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. |
| citation_txt | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 2. — С. 10-17. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено існування нормалізованих гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі у
всій комплексній площині з припущенням, що його вимірний коефіцієнт має компактний носій, а виродження рівняння контролюється коефіцієнтом тангенціальної дилатації. Доведено, що якщо коефіцієнт
тангенціальної дилатації має обмежені чи скінченні середні осциляційні домінанти або задовольняє умову
інтегральної розбіжності типу Лехто, то рівняння Бельтрамі допускає регулярний гомеоморфний розв’язок
із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності. Також розглянуто деякі інші інтегральні критерії
типу Кальдерона-Зігмунда і Орліча для існування нормалізованих регулярних розв’язків як у термінах
коефіцієнта тангенціальної дилатації, так і в термінах коефіцієнта максимальної дилатації. Зокрема, наведено низку критеріїв існування регулярних гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності в термінах ітеративних логарифмів. Отримані
результати можуть бути використані для дослідження крайових задач гідромеханіки в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:30:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
10
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
C i t a t i o n: Gutlyanskiĭ V.Ya., Ryazanov V.I., Sevost’yanov E.A., Yakubov E. Hydrodynamic normalization
conditions in the theory of degenerate Beltrami equations. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 2. P. 10—17.
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.02.010
© Видавець ВД «Академперіодика» НАН України, 2023. Стаття опублікована за умовами відкритого до-
ступу за ліцензією CC BY-NC-ND (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. № 2: 10—17
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.02.010
UDC 517.5
V.Ya. Gutlyanskiĭ1,2, https://orcid.org/0000-0002-8691-4617
V.I. Ryazanov1, 2, https://orcid.org/0000-0002-4503-4939
E.A. Sevost’yanov1,3, https://orcid.org/0000-0001-7892-6186
E. Yakubov4, https://orcid.org/0000-0002-2744-1338
1 Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Slov’yansk
2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv
3 Zhytomyr Ivan Fanko State University, Zhytomyr
4 Holon Institute of Technology, Israel
E-mail: vgutlyanskii@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com,
esevostyanov2009@gmail.com, eduardyakubov@gmail.com
Hydrodynamic normalization conditions
in the theory of degenerate Beltrami equations
Presented by Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.Ya. Gutlyanskiĭ
We study the existence of normalized homeomorphic solutions for the degenerate Beltrami equation ( ) zzf z f= μ in
the whole complex plane , assuming that its measurable coefficient ( ), | ( ) | 1z zμ μ < a. e., has compact support
and the degeneration of the equation is controlled by the tangential dilatation quotient 0( , )TK z zμ . We show that if
0( , )TK z zμ has bounded or finite mean oscillation dominants, or satisfies the Lehto type integral divergence condi-
tion, then the Beltrami equation admits a regular homeomorphic 1, 1
locW solution f with the hydrodynamic normaliza-
tion at infinity. We also give integral criteria of Calderon-Zygmund or Orlicz types for the existence of the normalized
solutions in terms of 0( , )TK z zμ and the maximal dilatation ( )K zμ .
Keywords: BMO, bounded mean oscillation, FMO, finite mean oscillation, degenerate Beltrami equations, hydro-
dynamic normalization.
1. Introduction. It is well known that quasiconformal mappings and functions and their generaliza-
tions, the mathematical basis for the study of which is the analytic and geometric theory of linear
and quasilinear partial differential equations of elliptic type, are a powerful tool in the theory of two-
dimensional subsonic compressible flows (see, e. g., [1, Ch. 2]). The Beltrami PDE, that generates
quasiconformal mappings, plays here a cruсial role. Among the variety of approaches related to the
study of such flows, special attention is paid to the proof of existence theorems for homeomorphisms
of the whole complex plane that satisfy the degenerate Beltrami equation, i. e. when the condition of
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 2
Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations
uniform ellipticity for the equation is violated. Some effective criteria for the existence of such ho-
meomorphic solutions can be found, e. g., in [2-9], see also the references therein. Taking into account
the behaviour of a subsonic flow at infinity (see [1, Ch. 3]), the existence of theorems for homeomor-
phic solutions of the degenerate Beltrami equation with hydrodynamic normalization at the infinity
acquires a special role. In this paper, we just give some integral criteria for the existence of such solu-
tions both in terms of the tangential dilatation quotient and the maximal dilatation coefficient.
Let D be a domain in the complex plane and let : Dμ → be a measurable function with
( ) 1zμ < a. e. in D . A Beltrami equation is an equation of the form
( ) zzf z f= μ (1)
with the formal complex derivatives ( ) / 2x yzf f if= + , ( ) / 2z x yf f if= − , z x iy= + , where xf and
yf are usual partial derivatives of f in x and y , correspondingly. The function μ is said to be
the complex coefficient for the Beltrami equation. The measurable function
1 ( )
( ) :
1 ( )
z
K z
zμ
+ μ
=
− μ
(2)
is called the maximal dilatation of equation (1) at point z . The Beltrami equation is called degen-
erate if sup ( )ess K zμ = ∞ .
It is known that if K μ is bounded, then the Beltrami equation has homeomorphic solutions
(see, e. g., historic comments with relevant references in the monographs [2] and [3]). The cor-
responding criteria on the existence of homeomorphic solutions for the degenerate Beltrami equa-
tions were formulated both in terms of K μ and the more refined quantity
2
0
0
0 2
1 ( )
( , ) :
1 ( )
T
z z
z
z z
K z z
z
μ
−− μ
−
=
− μ
(3)
that takes into account not only the modulus of the complex coefficient μ but also its argument.
This quantity is called the tangent dilatation quotient of the Beltrami equation (1) with re-
spect to a point 0 .z ∈ Note that
–1
0( ) ( , ) ( )TK z K z z K zμ μ μ 0,z D z∀ ∈ ∈ . (4)
2. The main lemma. Assuming that the complex coefficient ( ), | ( ) | 1z zμ μ < a. e. in , has
compact support, we study the existence of homeomorphic solutions for the degenerate Beltrami
equation (1) in the whole complex plane with hydrodynamic normalization: ( ) (1)f z z o= + as
z → ∞ . Recall also that a function → in Sobolev’s class 1, 1
locW is called a regular solution of
the Beltrami equation (1) if f satisfies (1) a. e. and its Jacobian ( )fJ z >0 a. e. in .
Lemma 1. Let :μ → be measurable with compact support S, ( ) 1zμ < a. e. and 1 ( )K L Sμ ∈ .
Suppose that, for every 0z S∈ , there is a family of measurable functions
0 , 0: (0, ) (0, )z εψ ε → ∞ ,
0(0, )ε∈ ε , 0 0( ) 0zε = ε > , such that
0
0 0 , 0( ) : ( ) (0, )z zI t dt
ε
ε
ε
ε = ψ < ∞ ∀ε∈ ε∫ (5)
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 2
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
and
0 0
0 0
2 2
0 , 0( , ) ( ) ( ) ( ( ))T
z z
z z
K z z z z dm z o Iμ ε
ε< − <ε
⋅ψ − = ε∫ as 0ε → 0z S∀ ∈ . (6)
Then equation (1) has a regular homeomorphic solution f with ( ) (1)f z z o= + as z → ∞ .
Here and further ( )dm z stands for the Lebesgue measure in .
Proof. By Lemma 3 and Remark 2 in [6] the Beltrami equation (1) has a regular homeomor-
phic solution f in under the hypotheses on μ given above. Note that f is holomorphic and
univalent (one-to-one), i. e. conformal, and with no zeros outside of a closed disk z R because
the support S of μ is compact.
Let us consider the function ( ) (1/ )F fς = ς , 0 : \ {0}ς∈ = , { }= ∪ ∞ , that is conformal
in a punctured disk \ {0}r , where { : }r r= ς∈ ς < , 1/r R= , and 0 is its isolated singular
point. In view of the Casorati-Weierstrass theorem (see, e. g., Proposition II.6.3 in [10]), 0 cannot
be an essential singular point because of the mapping F is homeomorphic.
Moreover, 0 cannot be a removable singular point of F . Indeed, let us assume that F has a
finite limit
0
lim ( )F c
ς→
ς = . Then the extended mapping F is a homeomorphism of into . How-
ever, by a stereographic projection of is homeomorphic to the sphere 2 and, consequently,
by the Brouwer theorem on the invariance of domain the set : ( )C F= is open in (see, e. g.,
Theorem 4.8.16 in [11]). In addition, the set C is compact as a continuous image of the compact
space . Hence the set \C ≠ ∅ is also open in . The latter contradicts the connectivity of
(see, e. g., Proposition I.1.1 in [10]).
Thus, 0 is a (unique) pole of the function F in the disk. Hence the function ( ) : 1/ ( )FΦ ζ = ζ
has a removable singularity at 0 and (0) 0Φ = . By the Riemann extension theorem (see, e. g.,
Proposition II.3.7 in [10]), the extended function Φ is conformal in r . By the Rouche theorem
(0) 0Φ ≠ ¢ (see, e. g., Theorem 63 in [12]), and, consequently, the function Φ has the expansion of
the form 2
1 2c cζ + ζ + in the disk r with 1 0c ≠ . Hence
—1
—12
–1 –2
1 11 2
1 1
( ) 1
(1 )
cz
f z z
z c cc z c z
⎛ ⎞
= = = + +⎜ ⎟Φ + + ⎝ ⎠
–1 –2
1 1 2 (1)c z c c o= − +
along the set { :| |> }z z R∈ , i. e. the function 1 2 1( ) /c f z c c+ gives the desired regular homeo-
morphic solution of the Beltrami equation with the hydrodynamic normalization at infinity.
In particular, by relations (4) we obtain from Lemma 1 the following.
Corollary 1. Let :μ → be with compact support S , | ( ) |<1zμ a. e., 1 ( )K L Sμ ∈ and
0: (0, ) (0, )ψ ε → ∞ , 0 > 0ε , be a measurable function with
ε ε
ε
ψ = ∞ ψ ∞ ∀ε ∈ ε∫ ∫
0 0
0
0
( ) , ( ) < (0, )t dt t dt . (7)
Suppose that
ε
μ
ε − ε ε
⎛ ⎞
⋅ψ − ψ ε → ∀ ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
0
0 0
2
0 0
<| |<
( ) (| |) ( ) ( ) 0
z z
K z z z dm z O t dt as z S . (8)
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 2
Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations
Then the Beltrami equation (1) has a regular homeomorphic solution f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as z → ∞ .
3. BMO and FMO. Recall that a real-valued function u in a domain D in is said to be of
bounded mean oscillation in D , abbr. BMO( )u D∈ , if 1
loc ( )u L D∈ and
*
1
: | ( ) | ( ) < ,sup
| | B
B B
u u z u dm z
B
= − ∞∫ (9)
where the supremum is taken over all discs in D and
1
( ) ( ).
| |B
B
u u z dm z
B
= ∫
The class BMO was introduced by John and Nirenberg (1961) in the paper [13] and soon
became an important concept in harmonic analysis, partial differential equations and related areas
(see, e. g., [14]).
Following [15], given a domain D in , we say that a function : D Rϕ → has finite mean
oscillation at a point 0z D∈ , abbr. 0FMO( )zϕ∈ , if
0
02
0 ( , )
1
( ) ( ) ( ) < ,lim
B z
z z dm zε
ε→ ε
ϕ − ϕ ∞
πε ∫ (10)
where 0( )zεϕ is the mean value of ( )zϕ over 0 0( , ) : { :| |< }B z z z zε = ∈ − ε .
The following statement follows by the triangle inequality.
Proposition 1. If, for a collection of numbers Rεϕ ∈ , 0(0, ]ε∈ ε ,
0
2
0 ( , )
1
( ) ( ) < ,lim
B z
z dm zε
ε→ ε
ϕ − ϕ ∞
πε ∫ (11)
then ϕ is of finite mean oscillation at 0z .
In particular, choosing here 0εϕ ≡ , 0(0, ]ε∈ ε in Proposition 1, we obtain the following.
Corollary 2. If, for a point 0z D∈ ,
0
2
0 ( , )
1
( ) ( ) < ,lim
B z
z dm z
ε→ ε
ϕ ∞
πε ∫ (12)
then ϕ has finite mean oscillation at 0z .
Versions of the next lemma have been first proved for the class BMO in [5]. For the FMO
case, see the paper [15] and the monographs [8] and [9].
Lemma 2. Let D be a domain in and let : Dϕ → be a non-negative function of the class
0FMO( )z for some 0z D∈ . Then
ε − ε
ϕ ⎛ ⎞= ε →⎜ ⎟⎝ ⎠ε⎛ ⎞
−⎜ ⎟−⎝ ⎠
∫
0 0
2
<| |<
0
0
( ) ( ) 1
loglog as 0
1
| | log
| |
z z
z dm z
O
z z
z z
(13)
for some 0 0(0, )ε ∈ δ where –
0 0min( , )ee dδ = , 0 0| |sup
z D
d z z
∈
= − .
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 2
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
4. The main results. Choosing ( ) 1/ ( log(1/ ))t t tψ = in Lemma 1, we obtain by Lemma 2 :
Theorem 1. Let :μ → be a measurable function with a compact support S and | ( ) |<1zμ
a. e. Suppose that μ 00( , ) ( )T
zK z z Q z a. e. in
0zU for every point 0z S∈ , a neighbourhood
0zU of
0z and a function → ∞
0 0
: [0, ]z zQ U in the class 0FMO( )z . Then the Beltrami equation (1) has
regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic normalization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
Since 0( , ) ( )TK z z K zμ μ0 for all z and 0z C∈ , we obtain the following consequence.
Corollary 3. Let :μ → be measurable with a compact support S and | ( ) |<1zμ a. e.
Suppose that ( ) ( )K z Q zμ a. e. in with : [1, ]Q → ∞ in the class BMO . Then the Bel-
trami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic normalization
( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
By Corollary 2, we obtain the next consequence of Theorem 1.
Corollary 4. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e.,
1 ( )K L Dμ ∈ and
μ
ε→ ε
∞ ∀ ∈
πε ∫
0
0 02
0 ( , )
1
( , ) ( ) < .lim T
B z
K z z dm z z S (14)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
Next, if we take in Lemma 1 ( ) 1/t tψ = , we come to Calderon-Zygmund type conditions.
Theorem 2. Let :μ → be measurable with a compact support S, |μ (z)| < 1 a. e., 1 ( )K L Sμ ∈
and, for some 0 > 0ε ,
μ
ε − ε
= ε ε → ∀ ∈
−∫
0 0
2
0 02
0<| |<
( )
( , ) ([log1 ] ) 0 .
| |
T
z z
dm z
K z z o as z S
z z
(15)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
Remark 1. Choosing in Lemma 1 the function ( ) 1/ ( log1/ )t t tψ = instead of ( ) 1/t tψ = , we
are able to replace (15) by
μ
ε − ε
⎛ ⎞⎡ ⎤= ε →⎜ ⎟⎢ ⎥ε⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞
−⎜ ⎟−⎝ ⎠
∫
0 0
2
0
2
<| |<
0
0
( , ) ( ) 1
loglog 0 .
1
| | log
| |
T
z z
K z z dm z
o as
z z
z z
(16)
In general, we are able to give here the whole scale of the corresponding conditions, using the
function ψ(t) in terms of the iterated logarithms: 1/ ( log1/ loglog1/ log log1/ )t t t t⋅ ⋅ ⋅ .
If we take in Lemma 1 ε μψ ≡ ψ =
0 0, 0( ) ( ) : 1/[ ( , )]T
z zt t tk z t , where 0( , )Tk z rμ is the integral mean
of 0( , )TK z zμ over the circle 0 0( , ) : { : | | }S z r z z z r= ∈ − = , we arrive at the Lehto type criterion.
Theorem 3. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e., ( )K L S∈
and, for some 0 > 0ε ,
ε
μ
= ∞ ∀ ∈∫
0
0
00
.
( , )T
dr
z S
rk z r
(17)
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 2
Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
Corollary 5. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e.,
1 ( )K L Sμ ∈ and
0 0( , ) (log1 ) 0 .Tk z O as z Sμ ε = ε ε → ∀ ∈ (18)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
Remark 2. In particular, the conclusion of Corollary 5 holds if
0 0 0
0
1
( , ) log a .
| |
TK z z O s z z z S
z zμ
⎛ ⎞
= → ∀ ∈⎜ ⎟−⎝ ⎠
(19)
Moreover, (18) can be replaced by the weaker conditions
0 0
1 1 1
( , ) log loglog log log .Tk z O z Sμ
⎛ ⎞⎡ ⎤ε = ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈⎜ ⎟⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦⎝ ⎠
(20)
Combining Theorems 2.5 and 3.2 in [7] and Theorems 3, we come to the Orlicz type conditions.
Theorem 4. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e., 1 ( )K L Sμ ∈
and, for a neighborhood
0zU of 0z ,
μΦ ∞ ∀ ∈∫ 0
0
0 0( ( , )) ( ) < ,T
z
Uz
K z z dm z z S (21)
where Φ ∞ → ∞
0
: [0, ] [0, ]z is a convex non-decreasing function with
∞
Δ
Φ = +∞ Δ ∀ ∈∫ 0
0
0 02
( )
log ( ) , ( ) > 0, .z
z
dt
t z z S
t
(22)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with ( ) (1)f z z o= + as
.z → ∞
Corollary 6. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e. and
( ( )) ( ) <
S
K z dm zμΦ ∞∫ (23)
for a convex non-decreasing function : [0, ] [0, ]Φ ∞ → ∞ with
2
log ( )
dt
t
t
∞
δ
Φ = +∞∫ (24)
for some > 0δ . Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with hydrody-
namic normalization at the infinity.
Remark 3. By Theorem 5.1 in [7] the condition (24) is not only sufficient but also necessary to
have a regular solution in for arbitrary Beltrami equations (1) with the integral constraints (23).
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 2
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
Corollary 7. Let :μ → be measurable with a compact support S , | ( ) |<1zμ a. e., 1 ( )K L Sμ ∈
and, for a neighborhood
0zU of 0z and 0( ) > 0zα ,
α μ ∞ ∀ ∈∫ 0 0
0
( ) ( , )
0( ) < .
Tz K z z
Uz
e dm z z S (25)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f, normalized by ( ) (1)f z z o= +
as .z → ∞
See the paper [4] and the monograph [8], Ch. A1, for similar results.
In particular, the following consequence can be found as Theorem 20.4.9 in the monograph
[2], where the corresponding solutions are called principal solutions of the Beltrami equations.
Corollary 8. Let :μ → be measurable with a compact support S, | ( ) |<1zμ a. e. and, for
some > 0α ,
( )
( ) < .
K z
S
e dm z
α μ ∞∫ (26)
Then the Beltrami equation (1) has regular homeomorphic solutions f with the hydrodynamic nor-
malization ( ) (1)f z z o= + as .z → ∞
It is known that if μ has a compact support, then there exists a number 0 >1α such that the
Beltrami equation (1) for μ satisfying (26) with 0α α admits a unique principal solution f
with 1, 2( ) ( )f z z W− ∈ (see, e. g., [2, Ch. 20]).
The first two authors are partially supported by the project “Mathematical modelling of complex
dynamical systems and processes caused by the state security”, No. 0123U100853, of National Aca-
demy of Sciences of Ukraine and by the Grant EFDS-FL2-08 of the fund of the European Federation
of Academies of Sciences and Humanities (ALLEA).
REFERENCES
1. Bers, L. (1958). Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics. Surveys in Applied Mathe-
matics. (Vol. 3). New York: Wiley.
2. Astala, K., Iwaniec, T. & Martin, G. (2009). Elliptic partial differential equations and quasiconformal map-
pings in the plane. Princeton Mathematical Series, (Vol. 48). Princeton, NJ: Princeton University Press.
3. Bojarski, B., Gutlyanskii, V., Martio, O. & Ryazanov, V. (2013). Infinitesimal geometry of quasiconformal
and bi-Lipschitz mappings in the plane. Tracts in Mathematics. (Vol. 19). Zürich: European Mathematical
Society (EMS).
4. Gutlyanskii, V., Martio, O., Sugawa, T. & Vuorinen, M. (2005). On the degenerate Beltrami equation. Trans.
Am. Math. Soc., 357, No. 3, pp. 875-900.
5. Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2001). BMO-quasiconformal mappings. J. Anal. Math., 83, pp. 1-20.
https://doi.org/10.1007/BF02790254
6. Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2006). On the theory of the Beltrami equation. Ukr. Math. J., 58,
No. 11, pp. 1786-1798. https://doi.org/10.1007/s11253-006-0168-4
7. Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). Integral conditions in the theory of the Beltrami equations.
Complex Var. Elliptic Equ., 57, No. 12, pp. 1247-1270. https://doi.org/10.1080/17476933.2010.534790
8. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). The Beltrami Equation: A geometric ap-
proach. Developments in Mathematics, (Vol. 26). New York: Springer.
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 2
Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations
9. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. Springer
Monographs in Mathematics. New York: Springer.
10. Fischer, W. & Lieb, I. (2012). A course in complex analysis. From basic results to advanced topics. Wies-
baden : Vieweg + Teubner.
11. Spanier, E. H. (1995). Algebraic topology. Berlin: Springer.
12. Tutschke, W. & Vasudeva, H. L. (2005). An introduction to complex analysis. Classical and modern ap-
proaches. Modern Analysis Series. (Vol. 7). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC.
13. John, F. & Nirenberg, L. (1961). On functions of bounded mean oscillation. Comm. Pure Appl. Math., 14,
pp. 415-426. https://doi.org/10.1002/cpa.3160140317
14. Reimann, H. M. & Rychener, T. (1975). Funktionen beschränkter mittlerer oszillation. Lecture Notes in
Mathematics. (Bd. 487). Berlin, Heidelberg: Springer.
15. Ignat’ev, A. & Ryazanov, V. (2005). Finite mean oscillation in the mapping theory. Ukr. Math. Bull., 2, No. 3,
pp. 403-424.
Received 03.12.2022
В.Я. Гутлянський1, 2, https://orcid.org/0000-0002-8691-4617
В.І. Рязанов1, 2, https://orcid.org/0000-0002-4503-4939
Є. О. Севостьянов1, 3, https://orcid.org/0000-0001-7892-6186
Е. Якубов 4, https://orcid.org/0000-0002-2744-1338
1 Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Слов’янськ
2 Інститут математики НАН України, Київ
3 Житомирський національний університет ім. Івана Франка, Житомир
4 Інститут технологій Холона, Ізраїль
E-mail: vgutlyanskii@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com,
esevostyanov2009@gmail.com, eduardyakubov@gmail.com
ГІДРОДИНАМІЧНІ УМОВИ НОРМУВАННЯ
В ТЕОРІЇ ВИРОДЖЕНИХ РІВНЯНЬ БЕЛЬТРАМІ
Досліджено існування нормалізованих гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі у
всій комплексній площині з припущенням, що його вимірний коефіцієнт має компактний носій, а виро-
дження рівняння контролюється коефіцієнтом тангенціальної дилатації. Доведено, що якщо коефіцієнт
тангенціальної дилатації має обмежені чи скінченні середні осциляційні домінанти або задовольняє умову
інтегральної розбіжності типу Лехто, то рівняння Бельтрамі допускає регулярний гомеоморфний розв’язок
із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності. Також розглянуто деякі інші інтегральні критерії
типу Кальдерона-Зігмунда і Орліча для існування нормалізованих регулярних розв’язків як у термінах
коефіцієнта тангенціальної дилатації, так і в термінах коефіцієнта максимальної дилатації. Зокрема, на-
ведено низку критеріїв існування регулярних гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бель-
трамі із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності в термінах ітеративних логарифмів. Отримані
результати можуть бути використані для дослідження крайових задач гідромеханіки в сильно анізотроп-
них і неоднорідних середовищах.
Ключові слова: BMO, обмежене середнє коливання, FMO, скінченне середнє коливання, вироджені рівняння
Бельтрамі, гідродинамічні умови нормування.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-192997 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T16:30:07Z |
| publishDate | 2023 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. 2023-07-30T13:19:56Z 2023-07-30T13:19:56Z 2023 Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 2. — С. 10-17. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.02.010 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/192997 517.5 Досліджено існування нормалізованих гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі у
 всій комплексній площині з припущенням, що його вимірний коефіцієнт має компактний носій, а виродження рівняння контролюється коефіцієнтом тангенціальної дилатації. Доведено, що якщо коефіцієнт
 тангенціальної дилатації має обмежені чи скінченні середні осциляційні домінанти або задовольняє умову
 інтегральної розбіжності типу Лехто, то рівняння Бельтрамі допускає регулярний гомеоморфний розв’язок
 із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності. Також розглянуто деякі інші інтегральні критерії
 типу Кальдерона-Зігмунда і Орліча для існування нормалізованих регулярних розв’язків як у термінах
 коефіцієнта тангенціальної дилатації, так і в термінах коефіцієнта максимальної дилатації. Зокрема, наведено низку критеріїв існування регулярних гомеоморфних розв’язків для виродженого рівняння Бельтрамі із гідродинамічною нормалізацією на нескінченності в термінах ітеративних логарифмів. Отримані
 результати можуть бути використані для дослідження крайових задач гідромеханіки в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах. The first two authors are partially supported by the project “Mathematical modelling of complex
 dynamical systems and processes caused by the state security”, No. 0123U100853, of National Academy
 of Sciences of Ukraine and by the Grant EFDS-FL2-08 of the fund of the European Federation
 of Academies of Sciences and Humanities (ALLEA). en Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations Гідродинамічні умови нормування в теорії вироджених рівнянь Бельтрамі Article published earlier |
| spellingShingle | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. Математика |
| title | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations |
| title_alt | Гідродинамічні умови нормування в теорії вироджених рівнянь Бельтрамі |
| title_full | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations |
| title_fullStr | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations |
| title_full_unstemmed | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations |
| title_short | Hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate Beltrami equations |
| title_sort | hydrodynamic normalization conditions in the theory of degenerate beltrami equations |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/192997 |
| work_keys_str_mv | AT gutlyanskiivya hydrodynamicnormalizationconditionsinthetheoryofdegeneratebeltramiequations AT ryazanovvi hydrodynamicnormalizationconditionsinthetheoryofdegeneratebeltramiequations AT sevostyanovea hydrodynamicnormalizationconditionsinthetheoryofdegeneratebeltramiequations AT yakubove hydrodynamicnormalizationconditionsinthetheoryofdegeneratebeltramiequations AT gutlyanskiivya gídrodinamíčníumovinormuvannâvteoríívirodženihrívnânʹbelʹtramí AT ryazanovvi gídrodinamíčníumovinormuvannâvteoríívirodženihrívnânʹbelʹtramí AT sevostyanovea gídrodinamíčníumovinormuvannâvteoríívirodženihrívnânʹbelʹtramí AT yakubove gídrodinamíčníumovinormuvannâvteoríívirodženihrívnânʹbelʹtramí |