Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций
Поставлена i розв’язана задача вилучення стiйких змiнних для нелiнiйної автономної системи диференцiальних рiвнянь iз вiдомою функцiєю Ляпунова зi знакосталою похiдною. Методом додаткових функцiй функцiя Ляпунова перетворена до вигляду, який дозволяє видiлити стiйкi змiннi та здобути iнтеграл. Обмiр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19538 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 11-16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19538 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ковалев, А.М. 2011-05-07T14:11:17Z 2011-05-07T14:11:17Z 2010 Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 11-16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19538 531.36 Поставлена i розв’язана задача вилучення стiйких змiнних для нелiнiйної автономної системи диференцiальних рiвнянь iз вiдомою функцiєю Ляпунова зi знакосталою похiдною. Методом додаткових функцiй функцiя Ляпунова перетворена до вигляду, який дозволяє видiлити стiйкi змiннi та здобути iнтеграл. Обмiрковано зв’язок цих питань з методом в’язки iнтегралiв Четаєва. Розглянуто рухи твердого тiла з маховиком i гiроскопа Горячева–Чаплигiна. The problem of the selection of stable variables is formulated and solved for a nonlinear autonomous system of differential equations with a known Lyapunov function with the derivative of constant sign. With the help of the method of additional functions, a Lyapunov function is transformed to select the stable variables and to obtain an integral. The connection between these questions and the Chetaev method of integrals bundles is discussed. The motions of a rigid body with rotor and a Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций Selection of the stable variables of nonlinear systems by using the method of additional functions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| spellingShingle |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций Ковалев, А.М. Математика |
| title_short |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| title_full |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| title_fullStr |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| title_full_unstemmed |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| title_sort |
выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций |
| author |
Ковалев, А.М. |
| author_facet |
Ковалев, А.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Selection of the stable variables of nonlinear systems by using the method of additional functions |
| description |
Поставлена i розв’язана задача вилучення стiйких змiнних для нелiнiйної автономної системи диференцiальних рiвнянь iз вiдомою функцiєю Ляпунова зi знакосталою похiдною. Методом додаткових функцiй функцiя Ляпунова перетворена до вигляду, який дозволяє видiлити стiйкi змiннi та здобути iнтеграл. Обмiрковано зв’язок цих питань з методом в’язки iнтегралiв Четаєва. Розглянуто рухи твердого тiла з маховиком i гiроскопа Горячева–Чаплигiна.
The problem of the selection of stable variables is formulated and solved for a nonlinear autonomous system of differential equations with a known Lyapunov function with the derivative of constant sign. With the help of the method of additional functions, a Lyapunov function is transformed to select the stable variables and to obtain an integral. The connection between these questions and the Chetaev method of integrals bundles is discussed. The motions of a rigid body with rotor and a Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19538 |
| citation_txt |
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 11-16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam vydelenieustoičivyhperemennyhnelineinyhsistemsispolʹzovaniemmetodadopolnitelʹnyhfunkcii AT kovalevam selectionofthestablevariablesofnonlinearsystemsbyusingthemethodofadditionalfunctions |
| first_indexed |
2025-11-25T20:38:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:38:29Z |
| _version_ |
1850524741078614016 |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев
Выделение устойчивых переменных нелинейных систем
с использованием метода дополнительных функций
Поставлена i розв’язана задача вилучення стiйких змiнних для нелiнiйної автономної
системи диференцiальних рiвнянь iз вiдомою функцiєю Ляпунова зi знакосталою похi-
дною. Методом додаткових функцiй функцiя Ляпунова перетворена до вигляду, який
дозволяє видiлити стiйкi змiннi та здобути iнтеграл. Обмiрковано зв’язок цих питань
з методом в’язки iнтегралiв Четаєва. Розглянуто рухи твердого тiла з маховиком i гi-
роскопа Горячева–Чаплигiна.
На важность исследования задач устойчивости для систем с функцией Ляпунова со знако-
постоянной производной одним из первых указал Н.Н. Красовский [1]. Новые возможности
в решении этих задач связаны с созданием метода дополнительных функций [2–4], позволя-
ющего преобразовать функцию Ляпунова со знакопостоянной производной таким образом,
что множество обращения производной в нуль становится инвариантным [5]. Именно свой-
ство инвариантности позволило получить новые результаты по асимптотической устойчи-
вости [6] и неустойчивости [5].
Применение метода дополнительных функций к задачам устойчивости, выполненное
в настоящей работе, показало, что устойчивые движения связаны со свойством интегриру-
емости системы. Подтверждением этого является и метод связки интегралов Четаева [7–9],
позволяющий строить функцию Ляпунова из известных интегралов движения. С другой
стороны, предлагаемый подход показывает, что при известной функции Ляпунова для
устойчивых движений ее можно преобразовать к такому виду, из которого можно получить
интегралы, а также частные интегралы системы в зависимости от структуры движения.
В первом пункте данной статьи ставится задача выделения устойчивых переменных
для устойчивого по Ляпунову нулевого решения, как переменных, которые при неограни-
ченном возрастании времени не стремятся к нулю. Свойствам функций Ляпунова, выделя-
ющим устойчивые переменные, посвящен пункт 2. Существование интегралов, в том числе
частных интегралов, и их получение из преобразованной функции Ляпунова рассмотрено
в пункте 3. Здесь же обсуждается связь этих вопросов с методом связки интегралов Чета-
ева. В пункте 4 на примере равновесия твердого тела с маховиком показывается процесс
построения интеграла для системы, описывающей рассматриваемое движение. Изучению
равновесия гироскопа Горячева–Чаплыгина посвящен пункт 5. Демонстрируется возмож-
ность получения классических интегралов, а также возможность “поднятия” частного ин-
теграла Горячева–Чаплыгина до “полного” интеграла. Некоторые итоги представленного
исследования приведены в заключении.
1. Выделение устойчивых переменных. Рассматривается устойчивость нулевого
решения системы
ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1)
где D — некоторая окрестность нуля, функция f(x) предполагается непрерывно диффе-
ренцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференцирование по
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 11
времени t зависимой переменной x, а также функции V (x) в силу системы (1): V (x) =
= 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ — оператор дифференцирования; в применении к скалярной
функции он дает градиент, а к вектор-функции — матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает
скалярное произведение.
С целью более детальной характеристики движений в окрестности нулевого решения во-
спользуемся подходом, принятым в частичной устойчивости, и введем понятия устойчивых,
асимптотически устойчивых и неустойчивых переменных.
Определение 1. Переменная y = g(x) (y ∈ R
1) называется устойчивой, асимптотиче-
ски устойчивой, неустойчивой, если нулевое решение системы (1) является, соответственно,
устойчивым, асимптотически устойчивым, неустойчивым относительно этой переменной.
Отметим, что устойчивые переменные при неограниченном возрастании времени не стре-
мятся к нулю, оставаясь все время в заданной ограниченной области.
Рассмотрим задачу выделения устойчивых переменных для систем с известной функци-
ей Ляпунова со знакопостоянной производной. Для исследования используем метод допол-
нительных функций, который был успешно применен в статье [6] для выделения асимпто-
тически устойчивых переменных.
2. Функции Ляпунова для устойчивых переменных. Метод дополнительных фун-
кций позволяет преобразовать функцию Ляпунова со знакопостоянной производной к виду,
при котором множество обращения в нуль производной является инвариантным [6]. Этот
результат, содержащийся в теореме 6 работы [6], следует выделить в отдельную теорему.
Теорема 1. Пусть для системы (1) известна знакоопределенная функция V (x), прои-
зводная которой в силу системы (1) является функцией знакопостоянной, знака противо-
положного V (x). Множество обращения V̇ (x) в нуль описывается функциями ϕi(x), диф-
ференцируемыми достаточное число раз; знакоопределенность V (x) определяется формой
конечного порядка; знакопостоянство V̇ (x), неравенства ϕ
(j)
i (x) 6= 0 определяются члена-
ми разложения в окрестности нуля конечного порядка. Тогда добавлением дополнитель-
ных функций Vai(x) функция V (x) приводится к виду
Vf (y, z) = Vf1(y) + Vf2(y, z), (2)
где функции y(x), z(x) являются достаточное число раз дифференцируемыми функци-
ями, при этом y(0) = 0, z(0) = 0, det
∂(y, z)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
6= 0; множество M = {(y, z) : y =
= 0} является инвариантным; функции Vf (y, z), Vf1(y), Vf2(0, z) являются знакоопре-
деленными; V̇f2(y, z) = 0; V̇f1(y) является функцией знакоопределенной, знака противопо-
ложного Vf (y, z).
Доказательство теоремы 1 является частью доказательств теорем 6, 7 работы [6]. С ис-
пользованием преобразованной функции (2) в этих теоремах доказано, что нулевое решение
системы (1) асимптотически устойчиво относительно переменной y, и это множество являе-
тся максимальным, т. е. относительно оставшихся переменных z нулевое решение устойчиво
неасимптотически. В принятых в данной работе терминах этот результат можно сформу-
лировать следующим образом.
Теорема 2. Пусть для системы (1) известна функция Ляпунова со знакопостоян-
ной производной. Тогда путем преобразования ее к виду (2) переменные разделяются на
устойчивые переменные z и асимптотически устойчивые переменные y.
3. Интегралы и метод Четаева. Вид преобразованной функции (2) и ее свойства ука-
зывают на связь задачи о выделении устойчивых переменных с существованием интегралов
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
системы (1). Свойства функций Vf2(y, z), V̇f2(y, z), Vf2(0, z), устанавливаемые теоремой 1,
позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть переменные системы (1) разделены на устойчивые переменные z
и асимптотически устойчивые переменные y и построена функция Ляпунова (2). Тогда
у системы (1) существует интеграл Vf2(y, z), при этом частный интеграл Vf2(0, z) яв-
ляется знакоопределенным.
Из данной теоремы вытекает следствие.
Следствие 1. Все переменные системы (1) являются устойчивыми тогда и толь-
ко тогда, когда существует знакоопределенный интеграл, который является функцией
Ляпунова для нулевого решения.
Именно для решения вопроса об устойчивости в случае, описанном в следствии 1,
Н. Г. Четаев предложил метод связки интегралов [7–9] для построения функции Ляпунова.
Если же в случае устойчивого решения среди переменных имеются асимптотически устой-
чивые, то функция Ляпунова имеет более сложный вид (2). Тем не менее, она включает
в себя интеграл в качестве составной части. Таким образом, задачи исследования устойчи-
вых решений и интегрирования динамических систем являются, в определенном смысле,
обратными друг другу: зная функцию Ляпунова, можно указать интеграл и наоборот. Это
означает, что результаты из одной области можно использовать при решении задач из дру-
гой области. Продемонстрируем это на двух классических задачах динамики систем твер-
дых тел.
4. Равновесие твердого тела с маховиком. Рассмотрим движение относительно
центра масс твердого тела с маховиком. Уравнения движения можно записать в форме [10]
(Aω + λe)• = (Aω + λe)× ω, λ̇ = −αλ. (3)
Здесь ω — угловая скорость тела; λ — величина кинетического момента маховика; e —
единичный вектор направления кинетического момента маховика; A — тензор инерции сис-
темы тело–маховик; α — коэффициент усиления.
Система (3) допускает положение равновесия ω = 0, λ = 0. Для исследования его на
устойчивость в качестве функции Ляпунова примем функцию
V = (Aω + λe)2 + λ2. (4)
Для производной V̇ имеем выражение V̇ = −2αλ2. Функция (4) имеет вид (2): V = V1(λ) +
+ V2(λ, ω), где V , V1(λ) = λ2, V2(0, ω) = (Aω)2 — положительно определенные функции;
V̇2(λ, ω) = 0; V̇1(λ) — при α > 0 отрицательно определенная функция; множество M =
= {(λ, ω) : λ = 0} — инвариантно. На основании теоремы 2 заключаем, что для системы (3)
переменные ωi являются устойчивыми, а переменная λ — асимптотически устойчивая.
Применяя теорему 3 к функции (4), устанавливаем, что у системы (3) существует ин-
теграл V2(λ, ω) = (Aω + λe)2, при этом частный интеграл V2(0, ω) = (Aω)2 является поло-
жительно определенным.
Таким образом, знание функции Ляпунова (4) позволило получить интеграл систе-
мы (3). С другой стороны, знание этого интеграла не приводит непосредственно к постро-
ению функции Ляпунова (например, методом Четаева), а требует дополнительных рассу-
ждений.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 13
5. Движение гироскопа Горячева–Чаплыгина. Движение гироскопа Горячева–
Чаплыгина описывается уравнениями [11]
4ṗ = 3qr, 4q̇ = −3pr − aγ3, ṙ = aγ2,
γ̇1 = rγ2 − qγ3, γ̇2 = pγ3 − rγ1, γ̇3 = qγ1 − pγ2,
(5)
где p, q, r и γ1, γ2, γ3 — проекции на подвижные оси, соответственно, вектора угловой скоро-
сти тела и единичного вектора вертикали; a — параметр, характеризующий распределение
масс тела.
Уравнения (5) допускают интегралы
J1 = 4(p2 + q2) + r2 − 2aγ1 = c1,
J2 = 4(pγ1 + qγ2) + rγ3 = c2,
J3 = γ21 + γ22 + γ23 = 1.
При c2 = 0 уравнения (5) допускают дополнительный интеграл [11]
J4 = r(p2 + q2) + apγ3 = c4. (6)
Положению равновесия тела соответствуют следующие значения переменных:
p0 = q0 = r0 = 0, γ10 = ±1, γ20 = γ30 = 0. (7)
Для рассмотрения устойчивости решения (7) системы (5) введем возмущения
p = x1, q = x2, r = x3, γ1 = γ10 + x4, γ2 = x5, γ3 = x6
и запишем уравнения и интегралы возмущенного движения
4ẋ1 = 3x2x3, 4ẋ2 = −3x1x3 − ax6, ẋ3 = ax5,
ẋ4 = x3x5 − x2x6, ẋ5 = −γ10x3 + x1x6 − x3x4,
ẋ6 = γ10x2 + x2x4 − x1x5;
(8)
Jp1 = −2ax4 + 4(x21 + x22) + x23,
Jp2 = 4γ10x1 + 4(x1x4 + x2x5) + x3x6,
Jp3 = 2γ10x4 + x24 + x25 + x26.
(9)
Постоянные интегралов (9) выбраны таким образом, чтобы в начале координат интегралы
обращались в нуль.
Выберем в качестве функции Ляпунова интеграл
V =
γ10
a
[4(x21 + x22) + x23] + x24 + x25 + x26. (10)
На основании следствия 1 заключаем, что при aγ10 > 0 все переменные системы (8) явля-
ются устойчивыми.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
Поставим задачу получения из интеграла (10) новых интегралов. В качестве первого
варианта рассмотрим две функции V1s = x24 + x25 + x26, V2s = 4(x21 + x22) + x23. Находим
V̇1s = 2γ10(x2x6 − x5x3) = −2γ10ẋ4, V̇2s = 2a(x5x3 − x2x6) = 2aẋ4.
Отсюда следует, что функции V1f = V1s + 2γ10x4, V2f = V2s − 2ax4 будут интегралами
системы (8). При этом V1f = Jp3, V2f = Jp1 и V =
γ10
a
Jp1 + Jp3.
Еще пару интегралов можно получить, взяв одним из них Jp2. Тогда второй интеграл
получается из формулы (10) как J = V − Jp2. В силу построения эти четыре интеграла
зависимы. Независимыми являются три классических интеграла (9).
Для получения четвертого независимого интеграла можно использовать частный инте-
грал (6), который на инвариантном многообразии M = {x : Jp2 = 0} является независимым
от известных трех интегралов (9). Однако эта задача ввиду своей сложности представляет
предмет самостоятельного исследования.
Заключение. В настоящей статье предложена дальнейшая детализация свойства устой-
чивости путем введения устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых перемен-
ных. Такое деление переменных существенно расширяет представление о локальном пове-
дении траекторий в окрестности изучаемого движения и будет особенно полезным при пере-
ходе к глобальному анализу движения. Рассмотрен случай устойчивого решения в предпо-
ложении, что функция Ляпунова известна. Исследование основано на приведении функции
Ляпунова к специальному виду, когда множество обращения производной в нуль инвариан-
тно. Такое преобразование всегда возможно с помощью метода дополнительных функций.
Специальный вид позволяет разделить переменные на устойчивые и асимптотически устой-
чивые, а также получить интеграл движения. В случае, когда все переменные устойчивые,
существует знакоопределенный интеграл, что обосновывает применение в этой ситуации
метода связки интегралов Четаева. Однако связь свойств интегрируемости и устойчиво-
сти является более сложной, что демонстрирует ситуация, когда имеются асимптотически
устойчивые переменные. Вопросы существования интеграла и построения функции Ляпу-
нова в этом случае требуют дополнительного анализа, что показывают рассмотренные ме-
ханические системы.
1. Красовский Н.Н. Критерии, основанные на функциях Ляпунова со знакопостоянными производными.
Дополнение III к монографии И.Г. Малкин. Теория устойчивости движения. – Москва: Наука, 1966. –
С. 463–467.
2. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовле-
творяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 2. –
С. 266–272.
3. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–
Красовского // Доп. НАН України. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
4. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы
Барбашина–Красовского // Пробл. управления и информатики. – 2008. – № 6. – С. 5–15.
5. Ковалев А.М. Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций //
Доп. НАН України. – 2009. – № 11. – С. 21–27.
6. Ковалев А.М. Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости // Доп. НАН
України. – 2009. – № 7. – С. 17–23.
7. Четаев Н. Г. Об устойчивости вращательных движений снаряда // Прикл. математика и механика. –
1946. – 10, вып. 1. – С. 135–138.
8. Четаев Н. Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Ла-
гранжа // Прикл. математика и механика. – 1954. – 18, вып. 1. – С. 457–458.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 15
9. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. – Москва: Наука, 1990. – 176 с.
10. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta math. – 1899. – 22. – P. 201–358.
11. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке. (Сооб-
щено 28 дек. 1899 г. в Моск. мат. об-ве). Собр. соч. Т. 1. Москва; Ленинград, 1948. – С. 118–124. (Изд.
1-е. – Тр. отделения физ. наук об-ва любителей естествознания. – 1901. – 10, вып. 2. – С. 32–34).
Поступило в редакцию 27.08.2009Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.M. Kovalev
Selection of the stable variables of nonlinear systems by using the
method of additional functions
The problem of the selection of stable variables is formulated and solved for a nonlinear autonomous
system of differential equations with a known Lyapunov function with the derivative of constant
sign. With the help of the method of additional functions, a Lyapunov function is transformed to
select the stable variables and to obtain an integral. The connection between these questions and
the Chetaev method of integrals bundles is discussed. The motions of a rigid body with rotor and
a Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
|