Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі
Розглянуто функцiонально-дискретний (FD) метод наближеного розв’язування задачi Кошi на нескiнченному iнтервалi й сформульовано теорему, що мiстить достатнi умови збiжностi методу та оцiнку похибки. FD-метод є в деякому сенсi подiбним до методу розкладу Адомяна (ADM), проте, як показано на прикладi,...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19539 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859975756729286656 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. |
| citation_txt | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто функцiонально-дискретний (FD) метод наближеного розв’язування задачi Кошi на нескiнченному iнтервалi й сформульовано теорему, що мiстить достатнi умови збiжностi методу та оцiнку похибки. FD-метод є в деякому сенсi подiбним до методу розкладу Адомяна (ADM), проте, як показано на прикладi, iнодi FD-метод виявляється збiжним, тодi як ADM є розбiжним. Наведенi результати можуть бути легко перенесенi на випадок систем дифренцiальних рiвнянь.
We offer a functional discrete method for solving the Cauchy problem for the first-order ordinary differential equations (ODE) on the infinite interval. The theorem about convergence and error estimates is proved. This method (FD-method) is in some sense similar to the Adomian decomposition method (ADM). But it is shown that, for some problems, the FD-method is convergent, whereas ADM is divergent. The results presented can be easily generalized for the case of systems of ODE.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:23:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.622.1
© 2010
Академiк НАН України В.Л. Макаров, Д. В. Драгунов
Функцiонально-дискретний метод наближеного
розв’язування задачi Кошi на нескiнченному iнтервалi
Розглянуто функцiонально-дискретний (FD) метод наближеного розв’язування зада-
чi Кошi на нескiнченному iнтервалi й сформульовано теорему, що мiстить достатнi
умови збiжностi методу та оцiнку похибки. FD-метод є в деякому сенсi подiбним до
методу розкладу Адомяна (ADM), проте, як показано на прикладi, iнодi FD-метод ви-
являється збiжним, тодi як ADM є розбiжним. Наведенi результати можуть бути
легко перенесенi на випадок систем дифренцiальних рiвнянь.
Постановка задачi. За останнi два десятирiччя опублiковано чимало робiт, присвячених
методу розкладу Адомяна (Adomian Decomposition Method, далi ADM) (див. [1]) та пи-
танням його застосування до розв’язування лiнiйних та нелiнiйних операторних рiвнянь,
у тому числi диференцiальних рiвнянь з крайовими та початковими умовами (див. [2–4] та
цитовану там лiтературу).
Iдейно спорiдненим з ADM є функцiонально-дискретний метод (FD-метод), запропоно-
ваний уперше в роботi [5]. Як було показано пiзнiше [6–8], FD-метод може успiшно застосо-
вуватися при розв’язуваннi широкого кола операторних рiвнянь, зокрема диференцiальних
рiвнянь з крайовими умовами. Суттєвою вiдмiннiстю мiж ADM та FD-методом є прису-
тнiсть в останньому деякого параметра h, змiнюючи який можна забезпечити збiжнiсть
методу, а також регулювати швидкiсть збiжностi у випадках, коли ADM виявляється роз-
бiжним.
Розглянемо задачу Кошi
d
dx
u(x)−N(x, u(x))u(x) = φ(x), u(x0) = u0, x ∈ [x0,+∞), (1)
де N(x, u) — дiйсна функцiя, неперервна за x на [x0,+∞) та нескiнченно диференцiйовна
за u на дiйснiй осi, тобто N(x, u) ∈ C0,∞
x,u ([x0,+∞) × R), φ(x) — неперервна на iнтервалi
[x0,+∞) функцiя. Припустимо, що для задачi (1) виконуються умови iснування та єдино-
стi розв’язку. Застосування FD-методу при розв’язуваннi задачi (1) полягає в знаходженнi
наближення розв’язку у виглядi частинної суми
m
u(x) =
m∑
i=0
u(i)(x) ряду
u(x) =
∞∑
i=0
u(i)(x), (2)
де функцiї u(j)(x), j = 1, 2, . . . , знаходяться з рекурентної системи задач Кошi
d
dx
u(j+1)(x)−N(x, u(0)(xi−1))u
(j+1)(x) =
= N ′
u(x, u
(0)(xi−1))u
(0)(x)u(j+1)(xi−1) + F j+1(x), x ∈ [xi−1, xi],
u(j+1)(x0) = 0, [u(j+1)(x)]x=xi
= 0, i = 1, 2, . . . ,
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 17
для якої початковi данi u(0)(x) знаходяться з базової задачi:
d
dx
u(0)(x)−N(x, u(0)(xi−1))u
(0)(x) = φ(x), x ∈ [xi−1, xi], i = 1, 2, . . . ,
u(0)(x0) = u0, [u(0)(x)]x=xi
= u(0)(xi + 0)− u(0)(xi − 0) = 0, i = 1, 2, . . . ,
(4)
де
F (j+1)(x) =
j∑
p=1
Aj+1−p(N(x, (·));u(0)(xi−1), u
(1)(xi−1), . . . , u
(j+1−p)(xi−1))u
(p)(x) +
+
j∑
p=0
[Aj−p(N(x, (·));u(0)(x), u(1)(x), . . . , u(j−p)(x)) −
−Aj−p(N(x, (·));u(0)(xi−1), u
(1)(xi−1), . . . , u
(j−p)(xi−1))]u
(p)(x) +
+Aj+1(N(x, (·));u(0)(xi−1), u
(1)(xi−1), . . . , u
(j)(xi−1), 0)u
(0)(x),
x ∈ [xi−1, xi], i = 1, 2, . . . , j = 0, 1, 2, . . . ,
x1, x2, . . . — вузли деякої фiксованої, взагалi кажучи, нерiвномiрної сiтки ω̂ :
ω̂ =
{
x0 < x1 < x2 < · · · , lim
i→∞
xi = +∞, hi = xi − xi−1, h = sup
i=1,2,...
hi
}
. (5)
Ak(N(x, (·)); v0 , v1, . . . , vk) — полiном Адомяна степеня k для функцiї N(x, u), який може
бути обчислений так (див. [4]):
Ak(N(x, (·)); v0, v1, . . . , vk) =
1
k!
∂k
∂tk
(
N
(
x,
∞∑
i=0
tivi
))∣∣∣∣∣
t=0
=
=
∑
α1+···+αk=k
∂α1
∂uα1
N(x, u)
∣∣∣∣∣
u=v0
v
(α1−α2)
1
(α1 − α2)!
· · ·
v
(αk−1−αk)
k−1
(αk−1 − αk)!
vαk
k
(αk)!
,
де пiдсумовування здiйснюється за усiма можливими невiд’ємними цiлими α1 > α2 > · · · >
> αk. Неважко переконатися, що розв’язки задач (4), (3) можуть бути записанi у виглядi
u(0)(x) = exp
{ x∫
xi−1
N(ξ, u(0)(xi−1)) dξ
}
u(0)(xi−1) +
+
x∫
xi−1
exp
{ x∫
ξ
N(τ, u(0)(xi−1)) dτ
}
φ(ξ) dξ, x ∈ [xi−1, xi], i = 1, 2, . . . , (6)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
u(j+1)(x) = exp
{ x∫
xi−1
N(ξ, u(0)(xi−1)) dξ
}
u(j+1)(xi−1) +
+
x∫
xi−1
exp
{ x∫
ξ
N(τ, u(0)(xi−1)) dτ
}
N ′
u(ξ, u
(0)(xi−1))u
(0)(ξ)u(j+1)(xi−1) dξ +
+
x∫
xi−1
exp
{ x∫
ξ
N(τ, u(0)(xi−1)) dτ
}
F j+1(ξ) dξ, x ∈ [xi−1, xi], i = 1, 2, . . . . (7)
Означення 1. Ми будемо говорити, що FD-метод для задачi Кошi (1) збiгається (до
точного розв’язку задачi), якщо iснує таке h > 0, що для будь-якої сiтки ω̂ (5) з h 6 h
функцiональний ряд (2), члени якого знайденi за формулами (6), (7), збiгається (до точного
розв’язку задачi) рiвномiрно на [x0,+∞).
Збiжнiсть FD-методу розв’язування задачi Кошi на нескiнченному промiжку.
Має мiсце теорема
Теорема 1. Нехай для задачi Кошi (1) виконуються умови:
1) N(x, u) =
∞∑
i=0
ai(x)u
i, де ai(x) ∈ C([x0,+∞)) — неперервнi на [x0,+∞) функцiї,
sup
x∈[x0,+∞)
|ai(x)| 6 Ai, 0 6 Ai ∈ R, i = 0, 1, . . ., i ряд
∞∑
i=0
Aiu
i збiжний ∀u ∈ R;
2) φ(x) — неперервна i обмежена на [x0,+∞) функцiя, sup
x∈[x0,+∞)
|φ(x)| = k < +∞;
3) (N(x, u)u)′u = N(x, u) + uN ′
u(x, u) < −α, α > 0, ∀x ∈ [x0,+∞), ∀u ∈ R.
Тодi для будь-якої початкової умови u0 ∈ R розв’язок u(x) задачi (1) на промiжку [x0,
+∞) iснує, єдиний i, при досить малому кроцi h сiтки ω̂ (5), може бути з будь-якою
точнiстю знайдений за допомогою FD-методу у виглядi частинної суми ряду (2), члени
якого обчислюються за формулами (6), (7). Причому має мiсце така оцiнка абсолютної
похибки методу:
sup
x∈[x0,+∞)
|u(x)−
m
u(x)| 6
C
(1 +m)1+ε
(
h
R
)m+1
1−
h
R
при h < R,
sup
x∈[x0,+∞)
|u(x)−
m
u(x)| 6 C
∞∑
j=m+1
1
(j + 1)1+ε
при h = R,
де ε, R, C — додатнi сталi, що залежать лише вiд вхiдних даних задачi.
Для довiльної визначеної на промiжку 〈a, b〉, a < b 6 +∞ функцiї u(x) позначатимемо
‖u(x)‖0,∞,〈a,b〉 = sup
x∈〈a,b〉
|u(x)|,
‖u(x)‖1,∞,〈a,b〉 = max
{
‖u(x)‖0,∞,〈a,b〉,
∥∥∥∥
d
dx
u(x)
∥∥∥∥
0,∞,〈a,b〉
}
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 19
З мiркувань зручностi будемо писати
‖u(x)‖i,〈a,b〉
def
≡ ‖u(x)‖i,∞,〈a,b〉, ‖u(x)‖i
def
≡ ‖u(x)‖i,∞,[x0,+∞), i = 1, 2.
Для доведення теореми 1 нам знадобляться кiлька допомiжних тверджень, сформульо-
ваних нижче.
Лема 1. Нехай N(x, u) ∈ C0,1
x,u([x0,+∞)×R), а також виконуються умови 2 i 3 теоре-
ми 1. Тодi для довiльних hi > 0, i = 1, 2, . . . , розв’язок u(0)(x) задачi Кошi з кусково-сталим
аргументом
d
dx
u(0)(x)−N(x, u(0)(xi−1))u
(0)(x) = φ(x), x ∈ [xi−1, xi], xi = xi−1 + hi, (8)
u(0)(x0) = u0 ∈ R, [u(0)(x)]x=xi
= 0, i = 1, 2, . . . , (9)
iснує на [x0,+∞) i |u(0)(x)| 6 µ = max{|u0|, k/α}, ∀x ∈ [x0,+∞).
Наведенi нижче леми є уточненням i узагальненням лем 2.1 та 2.2 з [8].
Лемма 2. Нехай N(x, u) ∈ C0,∞
x,u ([x0,+∞) × R) i u(j)(x) — дiйснi функцiї кусково-
гладкi на [x0,+∞), j = 0, 1, 2, . . .. I нехай iснує функцiя Ñ(u) ∈ C∞(R) така, що
sup
x∈[x0,+∞)
|N (p)(x, u)| 6 Ñ (p)(|u|) ∀u ∈ R, p = 0, 1, 2, . . .. Тодi має мiсце нерiвнiсть
‖Ak(N(x, (·));u(0)(x), . . . , u(k)(x))−Ak(N(x, (·));u(0)(xi−1), . . . , u
(k)(xi−1))‖0,[xi−1,xi] 6
6 hiAk(Ñ
′(u)u; ‖u(0)(x)‖1,[x0,+∞), . . . , ‖u
(k)(x)‖1,[x0,+∞)),
k = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . .
Лемма 3. Для будь-якої функцiї N(u) ∈ C∞(R) i f(z) =
∞∑
i=0
ziVi має мiсце рiвнiсть
Aj+1(N(x);V0, . . . , Vj , 0) =
1
(j + 1)!
{
dj+1
dzj+1
(N(f(z)) − (f(z)− V0)N
′(V0))
}
z=0
,
j = 0, 1, . . . .
Доведення теореми 1. Наведемо стисло схему доведення теореми 1. Iз застосуванням
умов 2, 3 доводиться, що розв’язок задачi (1) iснує i є єдиним. За допомогою все тих самих
умов 2, 3, а також формул (6), (7) i результатiв леми 1 доводиться, що для будь-якої сiтки
ω̂ (5) з досить малим h виконується нерiвнiсть
‖u(j+1)(x)‖1,[x0,+∞) 6 σ‖F (j+1)(x)‖0,[x0,+∞), (10)
де σ — стала, що залежить лише вiд вхiдних даних задачi (1). Якщо покласти ∀u ∈ R,
Ñ(u) =
∞∑
i=0
Aiu
i, i скористатися результатами лем 2 та 3, то з (10) одержимо
‖u(j+1)(x)‖1 6 σ
{
j∑
p=1
Aj+1−p(Ñ(u); ‖u(0)(x)‖1, . . . , ‖u
(j+1−p)(x)‖1)‖u
(p)(x)‖1 +
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
+ h
j∑
p=0
Aj−p(Ñ
′(u)u; ‖u(0)(x)‖1, . . . , ‖u
(j−p)(x)‖1)‖u
(p)(x)‖1 +
+
1
(j + 1)!
[
dj+1
dzj+1
(
Ñ
(
∞∑
s=0
zs‖u(s)(x)‖1
)
−
−
∞∑
s=1
zs‖u(s)(x)‖1Ñ
′(‖u(0)(x)‖1)
)]
z=0
}
, j = 0, 1, 2, . . . . (11)
Покладемо в (11) h−j‖u(j)(x)‖1 = νj , j = 0, 1, . . ., i, замiнюючи νj на Vj , змiнимо знак
нерiвностi на знак рiвностi. Далi введемо в розгляд твiрну функцiю
g(z) =
∞∑
j=0
zjVj, (12)
яка на областi свого визначення очевидно мажорує ряд
∞∑
j=0
zj‖u(j)(x)‖1. З (11) одержимо
g(z) − V0 =
σ
1 + σÑ ′(V0)
{[g(z) − V0][Ñ (g(z)) − Ñ(V0)] + zg2(z)Ñ ′(g(z)) +
+ Ñ(g(z)) − Ñ(V0)}. (13)
З використанням спiввiдношення (13) доводиться, що ряд, яким визначається функцiя (12),
має деякий додатний радiус збiжностi R > 0. Повертаючись до старих позначень, одержимо
‖u(j)(x)‖1,[x0,+∞) 6
C
(j + 1)1+ε
(
h
R
)j
, j = 0, 1, . . . , (14)
звiдки випливає, що при h/R 6 1 ряд (2) збiгається рiвномiрно на [x0,+∞). Використову-
ючи умову 1 i теорему про пiдстановку степеневого ряду в степеневий ряд (див. [9], с. 485),
неважко довести, що ряд (2) збiгається до точного розв’язку задачi (1). З останнього в по-
єднаннi з (14) випливають оцiнки похибки, наведенi в теоремi 1. Доведення завершене.
П р и к л ад . Розглянемо задачу Кошi
d
dx
u(x) = −u3(x)− u(x) + cos(x) + sin(x) + sin3(x), u(0) = 0. (15)
Неважко переконатися, що точним розв’язком задачi (15) є функцiя u∗(x) = sin(x). Для чисель-
ного знаходження розв’язку задачi (15) спочатку був застосований ADM. При цьому наближення
розв’язку шукалося у виглядi m-ї частинної суми
m
uA ряду
∞∑
i=0
u
(i)
A
(x), де u
(i)
A
(x) знаходяться реку-
рентно з системи рiвнянь
d
dx
u
(0)
A
(x) = −u
(0)
A
(x) + cos(x) + sin(x) + sin3(x), u
(0)
A
(0) = 0,
d
dx
u
(i)
A
(x) = −
di
dti
t
(
∞∑
i=0
tiu
(i)
A
(x)
)3∣∣∣∣∣
t=0
− u
(i)
A
(x), u
(i)
A
(0) = 0, i = 1, 2, . . . .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 21
Рис. 1. Приклад застосування ADM: суцiльна лiнiя — u
∗(x) = sin(x); ◦ —
0
uA(x); � —
1
uA(x); ♦ —
2
uA(x); + —
3
uA(x); на рис. б зображена область, видiлена штрихованим прямокутником на рис. а
Рис. 2. Приклад застосування FD-методу. Графiки абсолютних похибок: а — δ0(x); б — δ1(x); в — δ2(x);
г — δ3(x); x ∈ [0, 48]
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
З аналiзу побудованих графiкiв (рис. 1) випливає, що метод розкладу Адомяна при розв’язуваннi
задачi Кошi (15) на промiжку [0, 6] є розбiжним.
При застосуваннi до задачi (15) FD-методу з сiткою ω = {x0 = 0, xi = 1/3i, i = 1 . . . , 144}
одержанi результати, що зображенi графiчно на рис. 2. Тут використанi позначення δi(x) = sin(x)−
−
m
u(x), i = 0, 1, . . .. Аналiз графiкiв пiдтверджує експоненцiйний та рiвномiрний характер збiжностi
FD-методу до точного розв’язку задачi (15).
1. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the decomposition method. – Dordrecht: Kluwer, 1994. –
355 p.
2. Hosseini M.M., Nasabzadeh H. On the convergence of Adomian decomposition method // Appl. Math.
and Comput. – 2006. – 182. – P. 536–543.
3. Himoun N., Abbaoui K., Cherruault Y. New results on Adomian method // Kybernetes. – 2003. – 32,
No 4. – P. 523–539.
4. Seng V., Abbaoui K., Cherruault Y. Adomian’s polynomials for nonlinear operators // Math. Comput.
Modelling. – 1996. – 24, No 1. – P. 59–65.
5. Макаров В.Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма-Лиувилля с кусочно-гладкими коеффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. –
С. 34–39.
6. Gavrilyuk I., Klymenko A., Makarov V., Rossokhata N. FD-method for eigenvalue problems with nonlinear
potential // Ukr. Math. J. – 2007. – 59. – P. 14–28.
7. Lazurchak I. I., Makarov V. L., Sytnyk D. Two-sided approximations for nonlinear operator equations //
Comput. Meth. in Appl. Math. – 2008. – 8, No 4. – P. 386–392.
8. Gavrilyuk I. P., Lazurchak I. I., Makarov V.L., Sytnyk D. A method with a controllable exponential
convergence rate for nonlinear differential operator equations // Ibid. – 2009. – 9, No 1. – P. 63–78.
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – Москва: Наука,
1966. – 800 с.
Надiйшло до редакцiї 05.10.2009Iнститут математики НАН України, Київ
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, D.V. Dragunov
The functional discrete method for the approximate solution of the
Cauchy problem on the infinite interval
We offer a functional discrete method for solving the Cauchy problem for the first-order ordinary
differential equations (ODE) on the infinite interval. The theorem about convergence and error esti-
mates is proved. This method (FD-method) is in some sense similar to the Adomian decomposition
method (ADM). But it is shown that, for some problems, the FD-method is convergent, whereas
ADM is divergent. The results presented can be easily generalized for the case of systems of ODE.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19539 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:23:28Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. 2011-05-07T14:17:46Z 2011-05-07T14:17:46Z 2010 Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19539 519.622.1 Розглянуто функцiонально-дискретний (FD) метод наближеного розв’язування задачi Кошi на нескiнченному iнтервалi й сформульовано теорему, що мiстить достатнi умови збiжностi методу та оцiнку похибки. FD-метод є в деякому сенсi подiбним до методу розкладу Адомяна (ADM), проте, як показано на прикладi, iнодi FD-метод виявляється збiжним, тодi як ADM є розбiжним. Наведенi результати можуть бути легко перенесенi на випадок систем дифренцiальних рiвнянь. We offer a functional discrete method for solving the Cauchy problem for the first-order ordinary differential equations (ODE) on the infinite interval. The theorem about convergence and error estimates is proved. This method (FD-method) is in some sense similar to the Adomian decomposition method (ADM). But it is shown that, for some problems, the FD-method is convergent, whereas ADM is divergent. The results presented can be easily generalized for the case of systems of ODE. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі The functional discrete method for the approximate solution of the Cauchy problem on the infinite interval Article published earlier |
| spellingShingle | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі Макаров, В.Л. Драгунов, Д.В. Математика |
| title | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі |
| title_alt | The functional discrete method for the approximate solution of the Cauchy problem on the infinite interval |
| title_full | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі |
| title_fullStr | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі |
| title_full_unstemmed | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі |
| title_short | Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі |
| title_sort | функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі коші на нескінченному інтервалі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19539 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl funkcíonalʹnodiskretniimetodnabliženogorozvâzuvannâzadačíkošínaneskínčennomuíntervalí AT dragunovdv funkcíonalʹnodiskretniimetodnabliženogorozvâzuvannâzadačíkošínaneskínčennomuíntervalí AT makarovvl thefunctionaldiscretemethodfortheapproximatesolutionofthecauchyproblemontheinfiniteinterval AT dragunovdv thefunctionaldiscretemethodfortheapproximatesolutionofthecauchyproblemontheinfiniteinterval |