Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω
Отримано асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень у метрицi простору C деяким лiнiйним методом Un класiв iнтегралiв Пуассона неперервних 2π-перiодичних функцiй, модулi неперервностi яких не перевищують заданих мажорант. Встановлено асимптотичнi рiвностi для найкращих рiвномiрних наближ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19585 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω / А.С. Сердюк, I.В. Соколенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860219664492134400 |
|---|---|
| author | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. |
| author_facet | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. |
| citation_txt | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω / А.С. Сердюк, I.В. Соколенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень у метрицi простору C деяким лiнiйним методом Un класiв iнтегралiв Пуассона неперервних 2π-перiодичних функцiй, модулi неперервностi яких не перевищують заданих мажорант. Встановлено асимптотичнi рiвностi для найкращих рiвномiрних наближень тригонометричними полiномами зазначених класiв.
We find asymptotic equalities for exact upper bounds of approximations in the metric of a space C by some linear method Un on the classes of Poisson integrals of continuous 2π-periodic functions, moduli of continuity of which do not exceed the set majorants. This allowed us to obtain asymptotic equalities for the best uniform approximations by trigonometric polynomials of these classes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2010
А.С. Сердюк, I. В. Соколенко
Найкраще наближення iнтегралiв Пуассона функцiй
з класу Hω
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Отримано асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень у метрицi про-
стору C деяким лiнiйним методом Un класiв iнтегралiв Пуассона неперервних 2π-перiо-
дичних функцiй, модулi неперервностi яких не перевищують заданих мажорант. Вста-
новлено асимптотичнi рiвностi для найкращих рiвномiрних наближень тригонометри-
чними полiномами зазначених класiв.
Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ, у якому норма задається за
допомогою рiвностi
‖ϕ‖C = max
t
|ϕ(t)|;
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй ϕ з нормою
‖ϕ‖∞ = ess sup
t
|ϕ(t)|;
L = L1 — простiр 2π-перiодичних сумовних на [−π, π] функцiй, де норма задана формулою
‖ϕ‖L =
π
∫
−π
|ϕ(t)| dt.
Нехай, далi, Cq
β,p i Cq
βHω — класи неперервних 2π-перiодичних функцiй f(·), якi зада-
ються згортками
f(x) =
a0(f)
2
+
1
π
π
∫
−π
ϕ(x− t)P q
β (t) dt (1)
з ядром Пуассона P q
β (t):
P q
β (t) =
∞
∑
k=1
qk cos
(
kt−
βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R, (2)
де ϕ ∈ Up i, вiдповiдно, ϕ ∈ Hω:
Up = {ϕ : ‖ϕ‖Lp 6 1}, p = 1,∞; Hω = {ϕ ∈ C : ω(ϕ; t) 6 ω(t)}, (3)
ω(ϕ; t) — модуль неперервностi функцiї ϕ(·), ω(t) — фiксований модуль неперервностi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 33
Розглянемо величину вигляду
E(N;Un)X = sup
f∈N
‖f(·)− Un(f ; ·)‖X , (4)
де N — деякий функцiональний клас у просторi X ⊆ L з нормою ‖·‖X , Un — метод наближе-
ння, який кожнiй функцiї f з N ставить у вiдповiднiсть тригонометричний полiном Un(f ;x)
порядку не бiльшого нiж n. Якщо для величини (4) отримано асимптотичну рiвнiсть, тобто
якщо в явному виглядi знайдено таку функцiю ϕ(n) = ϕ(N;Un;X), що
E(N;Un)X = ϕ(n) + o(ϕ(n)), n → ∞,
то кажуть, що розв’язано задачу Колмогорова–Нiкольського для класу N i методу Un у про-
сторi X.
Дана задача має багату iсторiю, пов’язану з iменами таких видатних фахiвцiв з теорiї
функцiй, як А.М. Колмогоров, С.М. Нiкольський, Б. Надь, В.К. Дзядик, М.П. Корнєйчук,
С.Б. Стєчкiн, О.В. Єфiмов, С.О. Теляковський, О. I. Степанець, В.П. Моторний та iн.
Ознайомитись з нею можна, наприклад, по монографiях [1–5].
Для класiв Cq
β,∞ i сум Фур’є розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського було отримано
С.М. Нiкольським [6], який довiв, що
E(Cq
β,∞;Sn−1)C =
8qn
π2
K(q) +
O(1)qn
n
, (5)
де
K(q) =
π/2
∫
0
dt
√
1− q2 sin2 t
, q ∈ [0, 1), — (6)
повний елiптичний iнтеграл першого роду.
С.Б. Стєчкiн [7] передовiв цей результат iншим способом, який дозволив уточнити зали-
шковий член у формулi (5). Як зазначено в [8], С.Б. Стєчкiн звернув увагу на необхiднiсть
розв’язання аналогiчної задачi для класу Cq
βHω. Класи Cq
βHω порiвняно з класами Cq
β,∞
враховують бiльш тонкi властивостi функцiй, тому розв’язання екстремальних задач для
них завжди iстотно ускладнюється i, як правило, методи, розробленi для розв’язання задач
на класах Cq
β,∞, є недостатнiми для розв’язання таких задач на класах Cq
βHω. Крiм то-
го, винятковiсть класiв Cq
βHω з точки зору задачi Колмогорова–Нiкольського пояснюється
тим, що на цих класах порядки верхнiх меж вiдхилень сум Фур’є i найкращих наближень
тригонометричними полiномами збiгаються.
Зазначимо, що в подiбних ситуацiях розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського вiдо-
мий у небагатьох випадках, i перша така задача була розв’язана М.П. Корнєйчуком [9], який
розробив апарат знаходження точних оцiнок верхнiх меж вiдхилень iнтегралiв на класах
Hω, основу якого складає вiдома лема Корнєйчука–Стєчкiна. З його допомогою М.П. Кор-
нєйчук вперше отримав розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського у випадку наближення
сумами Фавара на класах Hω при ω(t) = tα, 0 < α 6 1.
О. I. Степанець [8], використовуючи згадану лему Корнєйчука–Стєчкiна, отримав такий
розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського для класiв Cq
βHω i сум Фур’є:
E(Cq
βHω;Sn−1)C =
4qn
π2
K(q)en(ω) +
O(1)qnω(1/n)
(1− q)2n
, (7)
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
де
en(ω) = θω
π/2
∫
0
ω
(
2t
n
)
sin tdt, (8)
1/2 6 θω 6 1, причому θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi, O(1) — величинa,
рiвномiрно обмежена вiдносно параметрiв n, q i β.
Паралельно з отриманням асимптотичних оцiнок наближень класiв перiодичних фун-
кцiй тригонометричними полiномами активно розвивався й iнший не менш важливий на-
прям теорiї наближень — знаходження точних значень найкращих наближень перiодичних
функцiй тригонометричними полiномами.
Нехай N — деякий функцiональний клас у просторi X ⊆ L з нормою ‖ · ‖X . Величини
вигляду
En(N)X = sup
f∈N
En(f)X = sup
f∈N
inf
Tn−1
‖f(·)− Tn−1(·)‖X , n ∈ N, (9)
де inf розглядається по усiх можливих тригонометричних полiномах
Tn−1(x) =
n−1
∑
k=0
(αk cos kx+ βk sin kx), αk, βk ∈ R,
називають найкращими наближеннями класу N у метрицi простору X.
Отриманню точних значень величин (9) присвяченi працi таких визначних математи-
кiв, як Ж. Фавар, Н. I. Ахiєзер, М. Г. Крейн, Б. Надь, С.М. Нiкольський, В.К. Дзядик,
М.П. Корнєйчук, С.Б. Стєчкiн, Сунь Юн Шень, В.Ф. Бабенко та iн. З iсторiєю даного
питання можна ознайомитись, наприклад, по монографiях [1, 3, 5, 10, 11].
Для класiв Cq
β,∞ та Lq
β,1 виконуються рiвностi
En(C
q
β,∞)C = En(L
q
β,1)L =
4
π
∣
∣
∣
∣
∣
∞
∑
ν=0
q(2ν+1)n
2ν + 1
sin
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
∣
∣
∣
∣
∣
, n ∈ N, (10)
де θn ∈ [0, 1) та θn є коренем рiвняння
∞
∑
ν=0
q(2ν+1)n cos
(
(2ν + 1)θnπ −
βπ
2
)
= 0.
При цiлих β значення величин En(C
q
β,∞)C обчислив М.Г. Крейн [12], а величин En(L
q
β,1)L —
С.М. Нiкольський [6], для дiйсних β формула (10) випливає з роботи А.В. Бушанського [13].
Що ж стосується класiв Cq
βHω, то iснуючi методи знаходження величин найкращих
наближень не дозволяють обчислити їх точнi значення. Тому актуальним постає питання
про асимптотичну при n → ∞ поведiнку величин En(C
q
βHω)C , яка до цього часу була
невiдомою.
У данiй роботi отримано розв’язок задачi Колмогорова–Нiкольського для деякого лi-
нiйного методу Un i класу Cq
βHω у рiвномiрнiй метрицi i показано, що точна верхня межа
вiдхилень полiномiв Un(f ; ·) вiд функцiй f з класу Cq
βHω асимптотично збiгається з вели-
чинами найкращих наближень En(C
q
βHω)C для опуклих модулiв неперервностi ω(t).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 35
Означимо метод наближення Un таким чином. Кожнiй функцiї f iз класу Cq
βHω поста-
вимо у вiдповiднiсть тригонометричний полiном Un−1(f ;x) = Un−1(q;β; f ;x) вигляду
Un−1(f ;x) =
a0(f)
2
+
n−1
∑
k=1
{λ
(n)
k (ak cos kx+ bk sin kx) + ν
(n)
k (ak sin kx− bk cos kx)}, (11)
де ak = ak(ϕ), bk = bk(ϕ), k = 1, 2, . . . , — коефiцiєнти Фур’є функцiї ϕ, а числа λ
(n)
k =
= λ
(n)
k (q;β) i ν
(n)
k = ν
(n)
k (q;β), k = 1, . . . , n− 1, n ∈ N, означаються за допомогою рiвностей
λ
(n)
k = (qk − q2n−k) cos
βπ
2
, k = 1, n− 1; (12)
ν
(n)
k = (qk − q2n−k) sin
βπ
2
, k = 1, n − 1. (13)
Мають мiсце такi твердження.
Теорема 1. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R i ω(t) — довiльний модуль неперервностi. Тодi
при n → ∞
E(Cq
βHω;Un−1)C = sup
f∈Cq
β
Hω
‖f(·)− Un−1(f, ·)‖C =
2qn
π
en(ω)+
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (14)
де en(ω) визначається рiвнiстю (8), в якiй 2/3 6 θω 6 1, причому θω = 1, якщо ω(t) —
опуклий модуль неперервностi, a O(1) — величинa, рiвномiрно обмеженa вiдносно пара-
метрiв n, q i β.
Теорема 2. Нехай q ∈ (0, 1), β ∈ R i ω(t) — довiльний модуль неперервностi. Тодi
при n → ∞
En(C
q
βHω)C=
2qn
π
en(ω) +
O(1)qn+1ω(1/n)
(1− q)2n
, (15)
де en(ω) визначається рiвнiстю (8), в якiй 2/3 6 θω 6 1, причому θω = 1, якщо ω(t) —
опуклий модуль неперервностi, а O(1) — величинa, рiвномiрно обмеженa вiдносно пара-
метрiв n, q i β.
Як випливає з (14) i (15), на класах Cq
βHω метод Un є асимптотично найкращим серед
усiх можливих лiнiйних методiв наближення в рiвномiрнiй метрицi.
Порiвнюючи оцiнки О. I. Степанця (7) i теорему 2, бачимо, що для опуклих модулiв
неперервностi ω(t) справедливе асимптотичне спiввiдношення
En(C
q
βHω)C
E(Cq
βHω;Sn−1)C
∼
π
2K(q)
,
де K(q) — визначається формулою (6), а запис A(n) ∼ B(n) означає виконання граничної
рiвностi lim
n→∞
A(n)
B(n)
= 1.
Отже, на класах Cq
βHω апроксимацiйнi властивостi сум Фур’є порiвняно з властивостями
полiномiв найкращого наближення погiршуються при прямуваннi параметра q до 1 злiва.
Аналогiчний ефект для класiв Cq
β,∞ був вiдомий ранiше.
Зазначимо також, що для схожого за побудовою до Un лiнiйного методу U∗
n задачу
Колмогорова–Нiкольського в рiвномiрнiй метрицi для класiв Cq
β,p при всiх 1 6 p 6 ∞
розв’язано в роботi [14].
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
1. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – Москва: Физматгиз,
1960. – 624 с.
2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций. – Москва: Наука, 1977. – 510 с.
3. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – Москва: Наука, 1987. – 423 с.
4. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. 1. – 427 с.
5. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. –
Ч. 2. – 468 с.
6. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207–256.
7. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1980. – 145. – С. 126–151.
8. Степанец А.И. Решение задачи Колмогорова–Никольского для интегралов Пуассона непрерывных
фунций // Мат. сб. – 2001. – 192, № 1. – С. 113–138.
9. Корнейчук Н.П. Об оценке приближений класса H
α тригонометрическими многочленами // Иссле-
дование по современным проблемам конструктивной теории функций. – Москва: Физматгиз, 1961. –
С. 148–154.
10. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – Москва: Наука, 1965. – 407 с.
11. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. – Москва: Наука, 1976. – 320 с.
12. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. – 1938. –
18, № 4–5. – С. 245–249.
13. Бушанский А.В. О наилучшем в среднем гармоническом приближении некоторых функций // Ис-
следования по теории приближения функций и их приложения. – Киев: Ин-т математики АН УССР,
1978. – С. 29–37.
14. Сердюк А.С. Наближення iнтегралiв Пуассона одним лiнiйним методом наближення в рiвномiрнiй
та iнтегральнiй метриках // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – С. 976–982.
Надiйшло до редакцiї 27.05.2009Iнститут математики НАН України, Київ
A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko
The best approximation of Poisson integrals of functions from the
class Hω
We find asymptotic equalities for exact upper bounds of approximations in the metric of a space C
by some linear method Un on the classes of Poisson integrals of continuous 2π-periodic functions,
moduli of continuity of which do not exceed the set majorants. This allowed us to obtain asymptotic
equalities for the best uniform approximations by trigonometric polynomials of these classes.
У статтi А.С. Сердюка “Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена в рiвно-
мiрнiй та iнтегральних метриках” (2009, № 6, с. 35) формула (6) була вiддрукована невiрно.
Ця формула повинна мати такий вигляд:
σ(θ, p)
df
=
1 при θ = 1 i p = 1,
2 при 1 < θ 6 ∞ i p = 1,
3 при 1 6 θ 6 ∞ i p ∈ N \ {1}.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19585 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. 2011-05-11T10:52:21Z 2011-05-11T10:52:21Z 2010 Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω / А.С. Сердюк, I.В. Соколенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 33-37. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19585 517.5 Отримано асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень у метрицi простору C деяким лiнiйним методом Un класiв iнтегралiв Пуассона неперервних 2π-перiодичних функцiй, модулi неперервностi яких не перевищують заданих мажорант. Встановлено асимптотичнi рiвностi для найкращих рiвномiрних наближень тригонометричними полiномами зазначених класiв. We find asymptotic equalities for exact upper bounds of approximations in the metric of a space C by some linear method Un on the classes of Poisson integrals of continuous 2π-periodic functions, moduli of continuity of which do not exceed the set majorants. This allowed us to obtain asymptotic equalities for the best uniform approximations by trigonometric polynomials of these classes. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω The best approximation of Poisson integrals of functions from the class Hω Article published earlier |
| spellingShingle | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω Сердюк, А.С. Соколенко, І.В. Математика |
| title | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω |
| title_alt | The best approximation of Poisson integrals of functions from the class Hω |
| title_full | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω |
| title_fullStr | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω |
| title_full_unstemmed | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω |
| title_short | Найкраще наближення інтегралів Пуассона функцій з класу Hω |
| title_sort | найкраще наближення інтегралів пуассона функцій з класу hω |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19585 |
| work_keys_str_mv | AT serdûkas naikraŝenabližennâíntegralívpuassonafunkcíizklasuhω AT sokolenkoív naikraŝenabližennâíntegralívpuassonafunkcíizklasuhω AT serdûkas thebestapproximationofpoissonintegralsoffunctionsfromtheclasshω AT sokolenkoív thebestapproximationofpoissonintegralsoffunctionsfromtheclasshω |