Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана
Одержано новий клас систем варiацiйних рiвнянь, через розв’язки яких виражаються мiнiмакснi оцiнки функцiоналiв вiд невiдомих розв’язкiв крайових задач з граничними умовами типу Неймана для рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi. We obtain a new class of systems of variational equations, via whose soluti...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19590 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана / А. Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, А.С. Перцов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859977307103428608 |
|---|---|
| author | Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Перцов, А.С. |
| author_facet | Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Перцов, А.С. |
| citation_txt | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана / А. Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, А.С. Перцов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано новий клас систем варiацiйних рiвнянь, через розв’язки яких виражаються мiнiмакснi оцiнки функцiоналiв вiд невiдомих розв’язкiв крайових задач з граничними умовами типу Неймана для рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi.
We obtain a new class of systems of variational equations, via whose solutions the minimax estimates of functionals of unknown solutions to the boundary-value problems with Neumann-type boundary conditions for the equations of linear elasticity are expressed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:24:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977
© 2010
А.Г. Наконечный, Ю. К. Подлипенко, А.С. Перцов
Минимаксное оценивание решения краевой задачи
для уравнений линейной теории упругости
с граничными условиями типа Неймана
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины A.A. Чикрием)
Одержано новий клас систем варiацiйних рiвнянь, через розв’язки яких виражаються
мiнiмакснi оцiнки функцiоналiв вiд невiдомих розв’язкiв крайових задач з граничними
умовами типу Неймана для рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi.
Задачам минимаксного оценивания состояний систем, описываемых обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных при условии их одно-
значной разрешимости посвящено значительное число работ (см., например, [1] и др.).
Однако в ситуации, когда решения краевых задач не определены однозначно и существу-
ют лишь, если данные этих краевых задач удовлетворяют некоторым условиям совместно-
сти, вопросы их минимаксного оценивания разработаны недостаточно полно. Здесь изве-
стны работы [2, 3]. Исследуемая ниже задача минимаксного оценивания относится к опи-
санному кругу проблем.
В данной работе по зашумленным наблюдениям решений и при специальных ограни-
чениях на правые части уравнений и краевых условий, а также на шумы в наблюдениях,
найдены минимаксные оценки функционалов от решений краевых задач для уравнений
линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана.
Нахождение минимаксных оценок сведено к решению некоторых систем интегро-диф-
ференциальных уравнений и доказана их однозначная разрешимость.
Обозначим через H гильбертово пространство над R со скалярным произведением (·, ·)H
и нормой ‖·‖H . Через JH ∈ L(H,H ′) будем обозначать оператор, называемый изометричным
изоморфизмом, действующий из H на его сопряженное пространство H ′ и определяемый
равенством (u, v)H = 〈JHu, v〉H′×H ∀u, v ∈ H, де 〈f, x〉H′×H := f(x) для x ∈ H, f ∈ H ′.
Этот оператор существует в силу теоремы Рисса.
Обозначим через L2(Ω,H) пространство Бохнера, состоящее из случайных элементов
ξ = ξ(ω), определенных на некотором вероятностном пространстве (Ω,B, P ) со значениями
в H таких, что ‖ξ‖2L2(Ω,H) =
∫
Ω
‖ξ(ω)‖2HdP (ω) < ∞. В этом случае существует интеграл
Бохнера Eξ :=
∫
Ω
ξ(ω) dP (ω) ∈ H, который называется математическим ожиданием или
средним случайного элемента ξ(ω). В L2(Ω,H) можно ввести скалярное произведение
(ξ, η)L2(Ω,H) :=
∫
Ω
(ξ(ω), η(ω))HdP (ω) ∀ ξ, η ∈ L2(Ω,H). (1)
Пространство L2(Ω,H) со скалярным произведением (1) является гильбертовым.
Введем также следующие обозначения: x = (x1, . . . , xn) — пpостранственная перемен-
ная, принадлежащая ограниченной открытой области D ⊂ R
n с липшицевой гpаницей Γ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 43
dx = dx1 . . . dxn — мера Лебега в R
n; L2(D) — пpостpанство функций, суммируемых с ква-
дратом в области D; для целого числа m обозначим через Hm(D) стандартные пpостpан-
ства Соболева с естественными нормами; знак “ :” означает свертку тензора и вектора или
тензора и тензора.
Пусть тело D — ограниченная многосвязная область с липшицевой границей в про-
странстве R
n. Обозначим через u = (u1, . . . , un) вектор перемещения (компоненты которого
являются функциями x ∈ D) и через ǫij — компоненты тензора деформации
ǫ = ǫ(u) =
[
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)]
.
Заметим, что divu =
n∑
i=1
ǫii(u) и что ǫ симметричен: ǫij = ǫji. Кроме того, ǫ(u) = 0 тогда
и только тогда, когда u ∈ RB. Здесь
RB :=
{
r ∈ R
2 : r = a+ b[x2,−x1]
T , n = 2,
r ∈ R
3 : r = a+ b× [x1, x2, x3]
T , n = 3
}
, (2)
где a ∈ R
2, b ∈ R при n = 2 и a, b ∈ R
3 при n = 3 соответственно.
Прямые вычисления показывают, что вектор r в (2), например при n = 3, определяется
формулой r = R(x)α, где α = (a1, a2, a3, b1, b2, b3), а 3× 6-матрица R(x) имеет вид
R(x) =
1 0 0 0 x3 −x2
0 1 0 −x3 0 x1
0 0 1 x2 −x1 0
.
Столбцы этой матрицы
r1 = [1, 0, 0]T , r2 = [0, 1, 0]T , r3 = [0, 0, 1]T ,
r4 = [0,−x3, x2]
T , r5 = [x3, 0,−x1]
T , r6 = [−x2, x1, 0]
T
(3)
образуют базис подпространства RB, так что dimRB = 6 при n = 3 и dimRB = 3 при n = 2.
Тензор напряжения определяется по формуле τ = τ(u) = 2µǫ(u)+λdiv uI, где I — едини-
чная матрица в R
n, λ = λ(x) (λ(x) > 0) и µ = µ(x) (µ(x) > 0) — обобщенные коэффициенты
Ламе, характеризующие упругость тела, которые предполагаются кусочно-непрерывными
функциями в области D. Тензор напряжения τ также является симметричным.
Введем дифференциальный оператор второго порядка
Lu = − div τ(u) =
[
−
n∑
i=1
∂τij
∂xj
= −
n∑
i=1
∂
∂xj
(2µǫij(u) + λdivuδij)
]
.
Задача Неймана в математической теории упругости формулируется следующим обра-
зом: найти вектор перемещения u, удовлетворяющий уравнениям
Lu = F в D, τ(u) : n =
n∑
j=1
τijnj = g на Γ, (4)
где F — вектор объемных сил в теле D; g — векторная функция, заданная на Γ; nj —
направляющие косинусы внешней по отношению к области D нормали n к ее границе Γ.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
Предположим, что F ∈ L2(D)n, g ∈ L2(Γ)n. Тогда под решением задачи (4) понимается
нахождение функции u ∈ H1(D)n, удовлетворяющей интегральному тождеству
a(u,v) := 〈F,v〉 ∀v ∈ H1(D)n, (5)
где
a(u,v) =
∫
D
(2µǫ(u) : ǫ(v) + λdivudivv) dx, 〈F,v〉 =
∫
D
(F,v)Rndx+
∫
Γ
(g,v)RndΓ,
ǫ(u) : ǫ(v) =
n∑
i,j=1
ǫij(u)ǫij(v).
Решение задачи (5) не единственно и определено с точностью до произвольной функции из
RB. Оно существует тогда и только тогда, когда функции F и g удовлетворяют следующим
условиям совместности (см. [4]):
∫
D
(F, r)Rndx+
∫
Γ
(g, r)Rn dΓ = 0 ∀ r ∈ RB. (6)
Постановка задачи минимаксного оценивания. Задача оценивания состоит в том,
чтобы по наблюдениям вида
y = Cu+ η (7)
найти oптимальную, в некотором смысле, оценку значения функционала
l(u) =
∫
D
(l0(x),u(x))R3dx
в классе линейных оценок l̂(u) = (y(u; η), w)H0
+ c, гдe u(x) — решение краевой задачи (4),
элемент w принадлежит гильбертову пространству H0, c ∈ R, l0 ∈ L2(D)n — заданная
функция, в предположении, что правые части F(x), g уравнений (4) и погрешности η = η(ω)
в наблюдениях (7), являющиеся случайными элементами, определенными на некотором ве-
роятностном пространстве (Ω,B, P ) со значениями в H0, неизвестны, а известно лишь, что
элемент F := (F,g) ∈ G0 и η ∈ G1. Здесь C ∈ L(L2(D)n,H0) — линейный непрерывный опе-
ратор, такой, что его ограничение на подпространство RB инъективно; через G0 обозначено
множество функций F̃ := (F̃, g̃) ∈ L2(D)n × L2(Γ)n, удовлетворяющих условиям
∫
D
(Q1(F̃ − F0)(x), (F̃ − F0)(x))
2
Rndx+
∫
Γ
(Q2(g̃ − g0), g̃ − g0)
2
RndΓ 6 1,
∫
D
(F̃, r)Rndx+
∫
Γ
(g̃, r)RndΓ = 0 ∀ r ∈ RB,
а через G1 — множество случайных элементов η̃ ∈ L2(Ω,H0) с нулевыми средними, удов-
летворяющими неравенству E(Q0η̃, η̃)H0
6 1, где Q0, Q1, Q2 — ограниченные самосопря-
женные положительно-определенные операторы в H0, L
2(D)n, L2(Γ)n соответственно, для
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 45
которых существуют ограниченные обратные операторы Q−1
0 , Q−1
1 , Q−1
2 , F̃0 ∈ L2(D)n и g̃0 ∈
∈ L2(Γ)n, заданные функции, удовлетворяющие условиям (6).
Определение 1. Оценку вида
̂̂
l(u) = (y(u; η), ŵ)H0
+ ĉ (8)
будем называть минимаксной оценкой l(u), если элемент ŵ и число ĉ определяются из
условия
σ(w, c) : = sup
(F̃,g̃)∈G0,η̃∈G1
E|l(ũ)− l̂(ũ)|2 → inf
w∈H0,c∈R
:= σ2,
где l̂(ũ) = (ỹ, w)H0
+c, ỹ = Cũ+ η̃, ũ — любое решение краевой задачи (4) при F = F̃, g = g̃.
Величину σ будем называть погрешностью минимаксного оценивания выражения l(u).
Основные результаты. Далее будут сформулированы результаты о представлении
минимаксных оценок. С этой целью положим
U :=
{
w̃ ∈ H0 :
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
w̃)(x), r(x))Rndx = 0 ∀ r ∈ RB
}
,
где C∗ : H ′
0 → L2(D)n — oператор, cопряженный к C, который определяется соотношением
〈Cϕ, φ〉H0×H′
0
=
∫
D
(ϕ(x), C∗φ(x))Rndx
для всех ϕ ∈ L2(D)n, φ ∈ H ′
0, и при каждом фиксированном w ∈ U введем функцию
z(·;w) ∈ H1(D)n как единственное решение следующей вариационной задачи1:
a(v, z(·;w)) =
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
w)(x),v(x))Rndx ∀v ∈ H1(D)n, (9)
∫
D
(Q−1
1 z(x;w), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 z(·;w)), ri)RndΓ = 0, i = 1, 6. (10)
Однозначная разрешимость этой задачи вытекает из того, что правые части уравнений (9),
(10) удовлетворяют условию совместности, поскольку w ∈ U .
Лемма 1. Задача нахождения минимаксной оценки значения функционала l(u) экви-
валентна задаче оптимального управления системой, описываемой вариационной краевой
задачей (9), (10) с функцией стоимости вида
I(w) =
∫
D
(Q−1
1 z(x;w), z(x;w))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 z(·;w), z(·;w))RndΓ +
+ (Q−1
0 w,w)H0
→ inf
w∈U
. (11)
1Нетрудно видеть, что U — непустое, замкнутое, выпуклое множество.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
Доказано, что решение задачи оптимального управления (9)–(11) и, значит, нахождение
минимаксной оценки (8) сводится к решению некоторой системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений. А именно, имеет место следующий результат.
Теорема 1. Существует единственная минимаксная оценка выражения l(u), которая
может быть представлена в виде
̂̂
l(u) = (y(u, η), ŵ)H0
+ ĉ, где
ŵ = Q0Cp, ĉ =
∫
D
(ẑ(x),F0(x))Rndx+
∫
Γ
(ẑ,g0)RndΓ, (12)
а функции p ∈ H1(D)n и ẑ ∈ H1(D)n определяются из системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений
a(v, ẑ) =
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
Q0Cp)(x),v(x))Rndx ∀v ∈ H1(D)n, (13)
∫
D
(Q−1
1 ẑ(x), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 ẑ, ri)Rn dΓ = 0, i = 1, 6, (14)
a(p,w) =
∫
D
(Q−1
1 ẑ(x),w(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 ẑ,w)Rn dΓ, ∀w ∈ H1(D)n, (15)
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
Q0Cp)(x), ri(x))Rndx = 0, i = 1, 6. (16)
Задача (13)–(16) однозначно разрешима. Погрешность оценивания σ определяется фор-
мулой σ = l(p)1/2.
Отметим, что функция ẑ(x) = z(x; ŵ), где z(x;w) является решением задачи (9), (10),
а w = ŵ ∈ U — оптимальное управление cиcтемой, описываемой этими уравнениями с кри-
терием качества (11) (см. лемму 1).
Альтернативное пpедставление для минимаксной оценки через решение системы инте-
гро-дифференциальных уравнений специального вида, не зависящее от конкретного вида
функционала l, получено в следующей теореме.
Теорема 2. Минимаксная оценка выражения l(u) имеет вид
̂̂
l(u) = l(û), где функция
û(x) = û(x, ω) определяется из решения следующей системы интегро-дифференциальных
уравнений:
a(v, p̂) =
∫
D
(C∗JH0
Q0(y − Cû)(x),v(x))R3dx ∀v ∈ H1(D)n, (17)
∫
D
(Q−1
1 p̂(x), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 p̂, ri)RndΓ = 0, i = 1, 6, (18)
a(û,w) =
∫
D
(Q−1
1 p̂(x),w(x))R3dx+
∫
Γ
(Q−1
2 p̂,w)RndΓ, ∀w ∈ H1(D)n, (19)
∫
D
(C∗JH0
Q0(y − Cû)(x), ri(x))Rndx = 0, i = 1, 6, (20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 47
в которой равенства (17)–(20) выполняются с вероятностью 1. Случайные поля, реа-
лизации p̂ и û которых удовлетворяют задаче (17)–(20), принадлежат пространству
L2(Ω,H1(D)n). Задача (17)–(20) однозначно разрешима.
В заключение введем понятие приближенной минимаксной оценки величины l(u), на-
хождение которой сводится к решению некоторой системы линейных алгебраических урав-
нений, и сформулируем теорему о сходимости последовательности таких оценок к точной
минимаксной оценке
̂̂
l(u) в среднем квадратическом.
Учитывая, что пространство V = H1(D)n cепарабельно и разлагается в прямую сумму
V = V ⊥ ⊕KerL, V ⊥ = (KerL)⊥,
где KerL = RB, базис r1, r2, . . . , rn, . . . в нем можно выбрать таким образом, чтобы векторы
r1, r2, . . . , r6 определялись соотношениями (3).
Положим
ẑm =
m∑
i=1
αiri, pm =
m∑
i=1
βiri,
где m > 6, а αi и βi определяются из системы уравнений
a(ri, ẑm) =
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
Q0Cpm)(x), ri(x))Rndx i = 1,m, (21)
∫
D
(Q−1
1 ẑm(x), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 ẑm, ri)RndΓ = 0, i = 1, 6, (22)
a(pm, ri) =
∫
D
(Q−1
1 ẑm(x), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 ẑm, ri)RndΓ, i = 1,m, (23)
∫
D
(l0(x)− (C∗JH0
Q0Cpm)(x), ri(x))Rndx = 0, i = 1, 6. (24)
Отметим, что задача (21)–(24) однозначно разрешима и представляет собой систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно неизвестных αi и βi.
В качестве приближенной минимаксной оценки величины l(u) возьмем выражение
̂̂
lm(u) = (y, ŵm)H0
+ ĉm,
где ŵm := Q0Cpm, ĉm :=
∫
D
(ẑm(x),F0(x))Rndx +
∫
Γ
(ẑm,g0)RndΓ.
Можно также показать, что
̂̂
lm(u) = l(ûm(·, ω)), где функция ûm = ûm(·, ω) определяется
из системы уравнений
a(ri, p̂m) =
∫
D
(C∗JH0
Q0(y − Cûm)(x), ri(x))R3dx, i = 1,m, (25)
∫
D
(Q−1
1 p̂m(x), ri(x))Rndx+
∫
Γ
(Q−1
2 p̂m, ri)RndΓ = 0, i = 1, 6, (26)
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
a(ûm, ri) =
∫
D
(Q−1
1 p̂m(x), ri(x))R3dx+
∫
Γ
(Q−1
2 p̂m, ri)RndΓ, i = 1,m, (27)
∫
D
(C∗JH0
Q0(y − Cûm)(x), ri(x))Rndx = 0, i = 1, 6. (28)
Здесь функции ûm и p̂m принадлежат подпространству, порожденному векторами r1, r2, . . . ,
rm, a система (25)–(28) имеет единственное решение ûm(·, ω) и p̂m(·, ω) при m > 6. Имеет
место следующий результат.
Теорема 3. Приближенная минимаксная оценка
̂̂
lm(u) выражения l(u) сходится к ми-
нимаксной оценке
̂̂
l(u) этого выражения в том смысле, что lim
m→∞
E|
̂̂
lm(u)−
̂̂
l(u)|2 = 0, при
этом
lim
m→∞
E|
̂̂
lm(u)− l(u)|2 = E|
̂̂
l(u)− l(u)|2.
Таким образом, для систем, описываемых краевыми задачами для уравнений линейной
теории упругости с граничными условиями типа Неймана при сформулированных выше
ограничениях на параметры этих задач получены представления для минимаксных оценок
функционалов от решений этих задач и погрешностей оценивания через решения однознач-
но разрешимых систем интегро-дифференциальных уравнений специального вида. Уста-
новлена сходимость приближенных минимаксных оценок, полученных в результате приме-
нения метода Галеркина для численного решения этих систем интегро-дифференциальных
уравнений, к точным.
Методика и результаты работы могут быть использованы в дальнейших теоретических
и прикладных исследованиях процессов в теории упругости, а также при использовании
системного анализа этих процессов.
1. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в
гильбертовых пространствах. – Киев: Изд-во Киев. гос. ун-та, 1985. – 82 с.
2. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач
Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей //
Системнi дослiдження i iнформацiйнi технологiї. – 2004. – № 2. – С. 104–128.
3. Подлипенко Ю.К., Перцов А.C. Мiнiмаксне оцiнювання розв’язкiв крайової задачi для бiгармони-
чного рiвняння з граничними умовами типа Неймана // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. –
2008. – № 4. – С. 153–160.
4. Toselli A., Widlund O. Domain decomposition methods – algorithms and theory. – Berlin, etc.: Springer,
1972. – 450 p.
Поступило в редакцию 30.06.09Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
A.G. Nakonechny, Yu.K. Podlipenko, A. S. Pertsov
Minimax estimation of solutions to the boundary-value problems with
Neumann-type boundary conditions for the equations of linear elasticity
We obtain a new class of systems of variational equations, via whose solutions the minimax esti-
mates of functionals of unknown solutions to the boundary-value problems with Neumann-type
boundary conditions for the equations of linear elasticity are expressed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19590 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:24:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Перцов, А.С. 2011-05-11T17:51:09Z 2011-05-11T17:51:09Z 2010 Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана / А. Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, А.С. Перцов // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 43-49. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19590 517.977 Одержано новий клас систем варiацiйних рiвнянь, через розв’язки яких виражаються мiнiмакснi оцiнки функцiоналiв вiд невiдомих розв’язкiв крайових задач з граничними умовами типу Неймана для рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi. We obtain a new class of systems of variational equations, via whose solutions the minimax estimates of functionals of unknown solutions to the boundary-value problems with Neumann-type boundary conditions for the equations of linear elasticity are expressed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана Minimax estimation of solutions to the boundary-value problems with Neumann-type boundary conditions for the equations of linear elasticity Article published earlier |
| spellingShingle | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Перцов, А.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана |
| title_alt | Minimax estimation of solutions to the boundary-value problems with Neumann-type boundary conditions for the equations of linear elasticity |
| title_full | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана |
| title_fullStr | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана |
| title_full_unstemmed | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана |
| title_short | Минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа Неймана |
| title_sort | минимаксное оценивание решения краевой задачи для уравнений линейной теории упругости с граничными условиями типа неймана |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19590 |
| work_keys_str_mv | AT nakonečnyiag minimaksnoeocenivanierešeniâkraevoizadačidlâuravneniilineinoiteoriiuprugostisgraničnymiusloviâmitipaneimana AT podlipenkoûk minimaksnoeocenivanierešeniâkraevoizadačidlâuravneniilineinoiteoriiuprugostisgraničnymiusloviâmitipaneimana AT percovas minimaksnoeocenivanierešeniâkraevoizadačidlâuravneniilineinoiteoriiuprugostisgraničnymiusloviâmitipaneimana AT nakonečnyiag minimaxestimationofsolutionstotheboundaryvalueproblemswithneumanntypeboundaryconditionsfortheequationsoflinearelasticity AT podlipenkoûk minimaxestimationofsolutionstotheboundaryvalueproblemswithneumanntypeboundaryconditionsfortheequationsoflinearelasticity AT percovas minimaxestimationofsolutionstotheboundaryvalueproblemswithneumanntypeboundaryconditionsfortheequationsoflinearelasticity |