Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів
Знайдено аналiтичнi розв’язки для диференцiальних рiвнянь магнiтних силових лiнiй довiльної системи прямолiнiйних паралельних струмiв. Analytic solutions of the differential equations for magnetic field lines of an arbitrary system of straight parallel currents are derived....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19592 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів / А.А. Сидорчук, В. Г. Теребус // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 50-52. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859908752591814656 |
|---|---|
| author | Сидорчук, А.А. Теребус, В.Г. |
| author_facet | Сидорчук, А.А. Теребус, В.Г. |
| citation_txt | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів / А.А. Сидорчук, В. Г. Теребус // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 50-52. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Знайдено аналiтичнi розв’язки для диференцiальних рiвнянь магнiтних силових лiнiй довiльної системи прямолiнiйних паралельних струмiв.
Analytic solutions of the differential equations for magnetic field lines of an arbitrary system of straight parallel currents are derived.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:01:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 537.871.3
© 2010
А.А. Сидорчук, В. Г. Теребус
Магнiтне поле довiльної системи прямолiнiйних
паралельних струмiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Знайдено аналiтичнi розв’язки для диференцiальних рiвнянь магнiтних силових лiнiй
довiльної системи прямолiнiйних паралельних струмiв.
З фiзики вiдомо, що з точнiстю до довiльного множника, який залежить вiд вибору сис-
теми одиниць вимiрювання, вектор магнiтного поля прямолiнiйного струму визначається
формулою (в скалярному варiантi представленою В.Р. Смайтом, 1954, с. 275):
~B =
~I × ~R
R2
,
де ~B — вектор магнiтної iндукцiї; ~I — вектор струму; ~R — радiус-вектор точки, де шукається
поле.
Поле довiльної системи прямолiнiйних струмiв визначатиметься адитивною сумою ве-
кторiв поля кожного зi струмiв. В декартовiй системi координат компоненти вектора поля
такої системи струмiв можна записати у виглядi:
~B = (Bx, By), Bx = −
N∑
i=1
Ii(y − yi)
(x− xi)2 + (y − yi)2
, By =
N∑
i=1
Ii(x− xi)
(x− xi)2 + (y − yi)2
. (1)
Тут N — число струмiв; (xi, yi) — координати струмiв, а (x, y) — координати точки, в якiй
визначається поле. В полярнiй системi координат вирази для компонент магнiтного поля
будуть такими:
Bx = −
N∑
i=1
Ii(r sinϕ− ri sinϕi)
(r cosϕ− ri cosϕi)2 + (r sinϕ− ri sinϕi)2
,
By =
N∑
i=1
Ii(r cosϕ− ri cosϕi)
(r cosϕ− ri cosϕi)2 + (r sinϕ− ri sinϕi)2
,
(2)
де (ri, ϕi) — координати струмiв.
За визначенням, рiвнянню магнiтних силових лiнiй вiдповiдає умова дотичностi кожної
силової лiнiї до вектора магнiтного поля. Це приводить до диференцiальних рiвнянь магнi-
тних силових лiнiй довiльного числа прямих паралельних струмiв у декартовiй та полярнiй
системах координат у виглядi:
dy
dx
= −
N∑
i=1
Ii(x− xi)
(x− xi)2 + (y − yi)2
n∑
i=1
Ii(y − yi)
(x− xi)2 + (y − yi)2
, (3)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
Рис. 1. Зображення картини магнiтного поля систем струмiв: а — для конфiгурацiї (x1, y1, I1) = (−1, 0, 1),
(x2, y2, I2) = (0, 0,−1), (x3, y3, I3) = (1, 0, 1); б — для конфiгурацiї (x1, y1, I1) = (1, 0, 2), (x2, y2, I2) = (−1, 0, 1),
(x3, y3, I3) = (0,−1,−3/2), (x4, y4, I4) = (0, 1,−3/2)
dr
dϕ
= r
F (r, ϕ) sinϕ+ cosϕ
F (r, ϕ) cos ϕ− sinϕ
, (4)
де
F (r, ϕ) = −
n∑
i=1
Ii(r cosϕ− ri cosϕi)
(r cosϕ− ri cosϕi)2 + (r sinϕ− ri sinϕi)2
n∑
i=1
Ii(r sinϕ− ri sinϕi)
(r cosϕ− ri cosϕi)2 + (r sinϕ− ri sinϕi)2
.
У вiдомих нам роботах, присвячених вiзуалiзацiї магнiтних полiв, починаючи з класи-
чного трактату Максвелла [1], використовують чисельнi методи розв’язання рiвняння ти-
пу (3) або (4). В довiдниках аналiтичних розв’язкiв нелiнiйних звичайних диференцiальних
рiвнянь (див. [2]), а також у роботах з оглядом методiв побудови картини магнiтного поля
(див. [3]), аналiтичний розв’язок рiвнянь (3) та (4) не наведений. Спроби використати суча-
снi комп’ютернi технологiї, якi здатнi розв’язувати в аналiтичнiй формi нелiнiйнi звичайнi
диференцiальнi рiвняння [4], також не приводять до успiху для рiвнянь типу (3) та (4).
Нами отримано загальнi розв’язки рiвнянь (3) та (4) вiдповiдно у виглядi:
N∑
i=1
Ii ln((x− xi)
2 + (y − yi)
2) = c, (5)
N∑
i=1
Ii ln((r cosϕ− ri cosϕi)
2 + (r sinϕ− ri sinϕi)
2) = c. (6)
Тут c — довiльна константа, яка iдентифiкує конкретну магнiтну силову лiнiю. В цьому
можна переконатися безпосередньо пiдстановкою (5) та (6) в (3), (4) вiдповiдно.
Загальнi розв’язки (5) та (6) дозволяють значно спростити проблему вiзуалiзацiї магнi-
тних полiв. На рис. 1 показанi деякi приклади.
Автори висловлюють подяку проф. В. В. Козорiзу за постановку задачi i кориснi поради.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 51
1. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. 2. – Москва: Наука, 1989. – 436 с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Москва: Наука, 1971. –
576 с.
3. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля. – Москва: Атомиздат, 1963. – 264 с.
4. http://www.maplesoft.com.
Надiйшло до редакцiї 01.07.2009Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A.A. Sydorchuk, V. G. Terebus
The magnetic field of an arbitrary system of straight parallel currents
Analytic solutions of the differential equations for magnetic field lines of an arbitrary system of
straight parallel currents are derived.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19592 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:01:17Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сидорчук, А.А. Теребус, В.Г. 2011-05-11T18:05:31Z 2011-05-11T18:05:31Z 2010 Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів / А.А. Сидорчук, В. Г. Теребус // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 50-52. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19592 537.871.3 Знайдено аналiтичнi розв’язки для диференцiальних рiвнянь магнiтних силових лiнiй довiльної системи прямолiнiйних паралельних струмiв. Analytic solutions of the differential equations for magnetic field lines of an arbitrary system of straight parallel currents are derived. Автори висловлюють подяку проф. В.В. Козорiзу за постановку задачi i кориснi поради. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів The magnetic field of an arbitrary system of straight parallel currents Article published earlier |
| spellingShingle | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів Сидорчук, А.А. Теребус, В.Г. Інформатика та кібернетика |
| title | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| title_alt | The magnetic field of an arbitrary system of straight parallel currents |
| title_full | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| title_fullStr | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| title_full_unstemmed | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| title_short | Магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| title_sort | магнітне поле довільної системи прямолінійних паралельних струмів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19592 |
| work_keys_str_mv | AT sidorčukaa magnítnepoledovílʹnoísistemiprâmolíníinihparalelʹnihstrumív AT terebusvg magnítnepoledovílʹnoísistemiprâmolíníinihparalelʹnihstrumív AT sidorčukaa themagneticfieldofanarbitrarysystemofstraightparallelcurrents AT terebusvg themagneticfieldofanarbitrarysystemofstraightparallelcurrents |