Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин
На основi методу розкладу функцiй y ряди Фур’є за полiномами Лежандра координати товщини побудовано систему рiвнянь рiвноваги неоднорiдних за товщиною трансверсально-iзотропних пластин i викладено метод знаходження загального аналiтичного розв’язку даної системи....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19597 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин / I.Ю. Хома, Т.М. Прощенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 69-75. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19597 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-195972025-02-10T00:44:05Z Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин The general solution of a system of equations of equilibrium for transversally isotropic plates inhomogeneous in thickness Хома, І.Ю. Прощенко, Т.М. Механіка На основi методу розкладу функцiй y ряди Фур’є за полiномами Лежандра координати товщини побудовано систему рiвнянь рiвноваги неоднорiдних за товщиною трансверсально-iзотропних пластин i викладено метод знаходження загального аналiтичного розв’язку даної системи. On the basis of the expansion of functions in Fourier series in Legendre polynomials of the thickness coordinate, a system of equations of equilibrium for transversally isotropic plates inhomogeneous in thickness is obtained, and a method of constructing the general analytic solution of this system is given. 2010 Article Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин / I.Ю. Хома, Т.М. Прощенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 69-75. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19597 539.3 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Хома, І.Ю. Прощенко, Т.М. Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин Доповіді НАН України |
| description |
На основi методу розкладу функцiй y ряди Фур’є за полiномами Лежандра координати товщини побудовано систему рiвнянь рiвноваги неоднорiдних за товщиною трансверсально-iзотропних пластин i викладено метод знаходження загального аналiтичного розв’язку даної системи. |
| format |
Article |
| author |
Хома, І.Ю. Прощенко, Т.М. |
| author_facet |
Хома, І.Ю. Прощенко, Т.М. |
| author_sort |
Хома, І.Ю. |
| title |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| title_short |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| title_full |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| title_fullStr |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| title_full_unstemmed |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| title_sort |
загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19597 |
| citation_txt |
Загальний розв'язок системи рівнянь рівноваги неоднорідних за товщиною трансверсально-ізотропних пластин / I.Ю. Хома, Т.М. Прощенко // Доп. НАН України. — 2010. — № 2. — С. 69-75. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT homaíû zagalʹniirozvâzoksistemirívnânʹrívnovagineodnorídnihzatovŝinoûtransversalʹnoízotropnihplastin AT proŝenkotm zagalʹniirozvâzoksistemirívnânʹrívnovagineodnorídnihzatovŝinoûtransversalʹnoízotropnihplastin AT homaíû thegeneralsolutionofasystemofequationsofequilibriumfortransversallyisotropicplatesinhomogeneousinthickness AT proŝenkotm thegeneralsolutionofasystemofequationsofequilibriumfortransversallyisotropicplatesinhomogeneousinthickness |
| first_indexed |
2025-12-02T06:24:54Z |
| last_indexed |
2025-12-02T06:24:54Z |
| _version_ |
1850376658487345152 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2010
I.Ю. Хома, Т.М. Прощенко
Загальний розв’язок системи рiвнянь рiвноваги
неоднорiдних за товщиною трансверсально-iзотропних
пластин
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
На основi методу розкладу функцiй y ряди Фур’є за полiномами Лежандра координати
товщини побудовано систему рiвнянь рiвноваги неоднорiдних за товщиною трансвер-
сально-iзотропних пластин i викладено метод знаходження загального аналiтичного
розв’язку даної системи.
Розглянемо трансверсально-iзотропну пластину постiйної товщини 2h (h = const), попере-
чний модуль зсуву Ĝ′ якої є лiнiйною функцiєю товщинної координати x3, тобто Ĝ′ = G′[1+
+ δ∗(1 + ζ)], де ζ = h−1x3; G
′ — константа; δ∗ — параметр, що характеризує неоднорiднiсть
матерiалу. Приймемо рiвняння стану пластини у виглядi
σ11 = c11∂1u1 + c12∂2u2 + c13∂3u3; σ12 = c66(∂1u2 + ∂2u1);
σ22 = c12∂1u1 + c11∂2u2 + c13∂3u3; σ13 = ĉ44(∂1u3 + ∂3u1);
σ33 = c13(∂1u1 + ∂2u2) + c33∂3u3; σ23 = ĉ44(∂2u3 + ∂3u2),
(1)
де ∂j = ∂/∂xj (j = 1, 2, 3); ĉ44 = c44(1 + δζ); c44 = G′(1 + δ∗); δ = δ∗/(1 + δ∗); c11, c12, . . . ,
c66 — пружнi постiйнi.
1. Рiвняння рiвноваги. Наведемо, виходячи з [1, 2], компоненти вектора перемiщень
uj(x1, x2, x3) i тензора напружень σij(x1, x2, x3) у виглядi скiнченного ряду Фур’є за полi-
номами Лежандра Pk(ζ) координати товщини, тобто
{uj(x1, x2, x3), σij(x1, x2, x3)} =
N∑
k=0
{u
(k)
j (x), h−1σ
(k)
ij (x)}Pk(ζ), (2)
де x = (x1, x2) — точка серединної площини пластини; u(k)j (x), σ(k)ij (x) — коефiцiєнти роз-
кладу, якi називатимемо моментами; N — натуральне число.
Iз рiвнянь (1) пiсля усереднення за товщиною з використанням полiномiв Лежандра
отримуємо спiввiдношення мiж моментами напружень i перемiщень. У комплекснiй формi
вони записуються таким чином:
σ
(k)
11 + σ
(k)
22 = 2h[(c12 + c66)e
(k) + c13h
−1u
(k)
3 ];
σ
(k)
33 = h(c13e
(k) + c33h
−1u
(k)
3 ); σ
(k)
11 − σ
(k)
22 + 2iσ
(k)
12 = 4c66h∂zu
(k)
+ ;
σ
(k)
+ = c44h(2∂zw
(k)
3 + h−1w
(k)
+ ) (k = 0, 1, . . . , N),
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 69
де u
(k)
j = (2k + 1)(u
(k+1)
j + u
(k+3)
j + · · · ), причому u
(n)
j = 0, якщо n > N ;
σ
(k)
+ = σ
(k)
13 + iσ
(k)
23 ; u
(k)
+ = u
(k)
1 + iu
(k)
2 ; e(k) = ∂zu
(k)
+ + ∂zu
(k)
+ ;
w
(k)
+ = u
(k)
+ +δu
(k±1)
+ ; w
(k)
3 = u
(k)
3 +δu
(k±1)
3 ; u
(k±1)
j =
k + 1
2k + 3
u
(k+1)
j +
k
2k − 1
u
(k−1)
j .
(4)
Моменти напружень σ
(k)
ij задовольняють систему рiвнянь [3, 4]
∂z(σ
(k)
11 − σ
(k)
22 + 2iσ
(k)
12 ) + ∂z(σ
(k)
11 + σ
(k)
22 )− (2k + 1)h−1
[(k−1)/2]∑
s=0
σ
(k−2s−1)
+ = 0;
∂zσ
(k)
+ + ∂zσ
(k)
+ − (2k + 1)h−1
[(k−1)/2]∑
s=0
σ
(k−2s−1)
33 = 0 (k = 0, 1, . . . , N).
(5)
Тут символ [e] означає цiлу частину числа e.
Пiдставляючи значення моментiв (3) в рiвняння рiвноваги (5), отримаємо для набли-
ження N = 2n (n = 1, 2, . . . , < ∞) систему диференцiальних рiвнянь вiдносно моментiв
перемiщень, тобто
c66∆u
(2k)
+ + 2(c12 + c66)∂ze
(2k) + 2(2k + 1)δc44h
−1∂zu
(2k)
3 +
+ (4k + 1)h−1
[
−2c44
k∑
s=0
∂z(u
(2s−1)
3 + δu
(2s)
3 ) + 2c13
n∑
s=k+1
∂zu
(2s−1)
3 −
−c44h
−1
n∑
s=1
(α
∗(k)
2s−1δu
(2s−1)
+ + β
(k)
2s u
(2s)
+ )
]
= 0 (k = 0, 1, . . . , n); (6)
c44∆w
(2k)
3 + 2kδc44h
−1e(2k) + (4k + 1)h−1 ×
×
[
−c13
k∑
s=1
e(2s−1) + c44
n∑
s=k+1
(e(2s−1) + δe(2s))− c33h
−1
n∑
s=1
β
(k)
2s u
(2s)
3
]
= 0; (7)
c66∆u
(2k−1)
+ + 2(c12 + c66)∂ze
(2k−1) − 2(2k − 1)δc44h
−1∂zu
(2k−1)
3 +
+ (4k − 1)h−1
[
−2c44
k−1∑
s=0
∂z(δu
(2s−1)
3 + u
(2s)
3 ) + 2c13
n∑
s=k
∂zu
(2s)
3 −
−c44h
−1
n∑
s=1
(α
(k)
2s−1u
(2s−1)
+ + β
∗(k)
2s δu
(2s)
+ )
]
= 0 (k = 1, 2, . . . , n); (8)
c44∆w
(2k−1)
3 − 2kδc44h
−1e(2k−1) + (4k − 1)h−1 ×
×
[
−c13
k−1∑
s=0
e(2s) + c44
n∑
s=k
(δe(2s−1) + e(2s))− c33h
−1
n∑
s=1
α
(k)
2s−1u
(2s−1)
3
]
= 0, (9)
де ∆ = 4∂2/∂z∂z — оператор Лапласа; α(k)
2s−1, α
∗(k)
2s−1 i β(k)2s , β∗(k)2s — абсолютнi константи
вигляду [4].
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
2. Загальний розв’язок. Викладемо метод побудови загального аналiтичного розв’яз-
ку системи рiвнянь (6)–(9). Розглянемо спочатку рiвняння (7) при k = 0 i запишемо його
таким чином
∆u
(0)
3 = −
δ
3
∆u
(1)
3 −
1
h
n∑
s=1
(e(2s−1) + δe(2s)). (10)
Далi застосуємо до (6) операцiю ∂z i в знайдених рiвностях розглянемо дiйснi частини.
Використовуючи при цьому позначення (4) для e(k), матимемо
c11∆e
(0) + c13h
−1
n∑
s=1
∆u
(2s)
3 = 0 (k = 0); (11)
c11∆e
(2k) + (2k + 1)δc44h
−1∆u
(2k)
3 + (4k + 1)h−1
[
−c44
k∑
s=0
∆(u
(2s−1)
3 + δu
(2s)
3 ) +
+ c13
n∑
s=k+1
∆u
(2s−1)
3 − c44h
−1
n∑
s=1
(α
∗(k)
2s−1δe
(2s−1) + β
(k)
2s e
(2s))
]
= 0 (12)
(k = 1, 2, . . . , n).
Iз рiвняння (11) пiсля iнтегрування знаходимо момент деформацiї
e(0) = −
c13
c11h
n∑
s=1
u
(2s−1)
3 +
2c
c1c11
u, (13)
де u — довiльна гармонiчна функцiя; c = 1 − c213/c11c33; c1 = c − c66/c11.
Якщо застосувати аналогiчнi перетворення до рiвнянь (8), то отримаємо такi рiвностi:
c11∆e
(1) − c44h
−1∆(3u
(0)
3 + δu
(1)
3 ) +
+ 3h−1
[
c13
n∑
s=1
∆u
(2s)
3 − c44h
−1
n∑
s=1
(e(2s−1) + δe(2s))
]
= 0 (k = 1); (14)
c11∆e
(2k−1) − (2k − 1)δc44h
−1∆u
(2k−1)
3 +
+ (4k − 1)h−1
[
−c44∆u
(0)
3 − c44
n∑
s=1
∆(u
(2s)
3 + δu
(2s−1)
3 ) + c13
n∑
s=k
∆u
(2s)
3 −
− c44h
−1
n∑
s=1
(α
(k)
2s−1e
(2s−1) + β
∗(k)
2s δe(2s))
]
= 0 (k = 2, 3, . . . , n). (15)
Враховуючи (10), рiвняння (14) набуде вигляду
∆e(1) +
3c13
c11h
n∑
s=1
∆u
(2s)
3 = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 71
Звiдси випливає, що
e(1) = −
3c13
c11h
n∑
s=1
∆u
(2s)
3 −
4ch
c66
ũ, (16)
де ũ — довiльна гармонiчна функцiя.
Введемо функцiї ul (l = 1, 2, . . . , 4n − 1) згiдно з формулами
c66u
(1)
3 = −κ∗1hu+ u1; c66u
(2)
3 = ν∗2h
2ũ+ u2;
c66u
(k)
3 = u2k−1 (k = 3, 4, . . . , 2n); c66he
(k) = u2k−2 (k = 2, 3, . . . , 2n),
(17)
в яких κ∗1 = 2c13c66/c1c11c33; ν
∗
2 = 4c13/3c33, i виразимо через них моменти деформацiй e(0),
e(1) та ∆u
(0)
3 . Отже,
c66e
(0) =
2c66
c1c11
u−
c13
c11h
n∑
s=1
u4s−3; c66e
(1) = −4hũ−
3c13
c11h
n∑
s=1
u4s−1;
c66∆u
(0)
3 = 4ũ−
δ
3
(∆u1 + 3h−2u2) +
3c13
c11h2
n∑
s=1
u4s−1 −
1
h2
n∑
s=2
(u4s−4 + δu4s−2).
(18)
Пiдставляючи (17) i (18) в рiвняння (7), (9), (12), (15), отримаємо однорiдну систему вiд-
носно ul, яку запишемо в стандартнiй формi таким чином:
4n−1∑
l=1
(akl − bklh
2∆)ul = 0 (k = 1, 2, . . . , 4n− 1). (19)
Розглянемо характеристичне рiвняння
det ‖akl − kbkl‖ = 0
i будемо вважати, що воно має простi i вiдмiннi вiд нуля коренi km. Тодi розв’язок систе-
ми (19) матиме, згiдно з [5], вигляд
uk =
4n−1∑
m=1
G(k)
m Vm, (20)
де Vm — метагармонiчнi функцiї, що забезпечують виконання рiвностей
∆Vm − kmh
−2Vm = 0, (21)
G(k)
m — константи, якi визначаються алгебраїчними доповненнями елементiв будь-якого ряд-
ка визначника |akl − kbkl|(4n−1)×(4n−1).
Приймемо надалi гармонiчнi функцiї u i ũ у виглядi дiйсних частин деяких аналiтичних
функцiй ϕ′(z) i φ′(z), тобто
u = ϕ′(z) + ϕ′(z), ũ = φ′(z) + φ′(z) (22)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
(штрих означає похiдну за змiнною z). З урахуванням формул (17), (18), (20) i (22) моменти
перемiщень u
(k)
3 набудуть вигляду
c66u
(1)
3 = −κ∗1h[ϕ
′(z) + ϕ′(z)] +
4n−1∑
m=1
c(1)m Vm;
c66u
(2)
3 = ν∗2h
2[φ′(z) + φ′(z)] +
4n−1∑
m=1
c(2)m Vm;
c66u
(k)
3 =
4n−1∑
m=1
c(k)m Vm (k = 3, 4, . . . , 2n),
(23)
а деформацiї e(k) запишуться таким чином:
c66e
(0) =
2c66
c1c11
[ϕ′(z) + ϕ′(z)] +
1
h
4n−1∑
m=1
c̃(0)m Vm;
c66e
(1) = −4h[φ′(z) + φ′(z)] +
1
h
4n−1∑
m=1
c̃(1)m Vm;
c66e
(k) =
1
h
4n−1∑
m=1
c̃(k)m Vm (k = 2, 3, . . . , 2n),
(24)
де c(k)m c̃(k)m — константи.
Якщо внести значення моментiв (23) i (24) в (10), то отримаємо рiвняння, з якого ви-
значаємо
c66u
(0)
3 = zφ(z) + zφ(z) + χ(z) + χ(z) +
4n−1∑
m=1
c(0)m Vm, (25)
де χ(z) — довiльна аналiтична функцiя; c(0)m — константа.
Рiвностi (24) можна навести у виглядi
c66(∂zu
(0)
+ + ∂zu
(0)
+ ) =
2c66
c1c11
[ϕ′(z) + ϕ′(z)] + 2h
4n−1∑
m=1
a(0)m ∂z∂zVm;
c66(∂zu
(1)
+ + ∂zu
(1)
+ ) = −4h[φ′(z) + φ′(z)] + 2h
4n−1∑
m=1
a(1)m ∂z∂zVm;
c66(∂zu
(k)
+ + ∂zu
(k)
+ ) = 2h
4n−1∑
m=1
a(k)m ∂z∂zVm (k = 2, 3, . . . , 2n).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 73
Звiдси знаходимо моменти перемiщень
c66u
(0)
+ =
2c66
c1c11
ϕ(z) + h
4n−1∑
m=1
a(0)m ∂zVm + ih∂zY0;
c66u
(1)
+ = −4hφ(z) + h
4n−1∑
m=1
a(1)m ∂zVm + ih∂zY1;
c66u
(k)
+ = h
4n−1∑
m=1
a(k)m ∂zVm + ih∂zYk (k = 2, 3, . . . , 2n).
(26)
Тут a(k)m = 2k−1
m c̃(k)m ; Yk — довiльнi досить гладкi дiйснi функцiї. Їх потрiбно вибрати такими,
щоб виконувались рiвняння (6) i (8). Отже, якщо внести в (6) i (8) значення моментiв (23)–
(26), то отримаємо систему рiвнянь вiдносно функцiї Yk, з якої знаходимо
Y0 = −ih−1[zϕ(z) − zϕ(z) + ψ∗(z)− ψ∗(z)];
Y1 = 2iν∗1h
2[φ′(z)− φ′(z)] + 2i[zφ(z) − zφ(z) + χ(z)− χ(z)] +
2n∑
s=1
b(1)s ws;
Y2 = −iκ∗2h[ϕ
′(z)− ϕ′(z)]− iν2h
2[φ′(z)− φ′(z)] +
2n∑
s=1
b(2)s ws;
Yk = −iνkh
2[φ′(z)− φ′(z)] +
2n∑
s=1
b(k)s ws (k = 3, 4, . . . , 2n),
(27)
де ψ∗(z) — довiльна аналiтична функцiя; ws — метагармонiчнi функцiї, що задовольняють
рiвняння Гельмгольца.
Пiдставляючи значення функцiй (27) у формули (26), матимемо
c66u
(0)
+ = κ∗ϕ(z) − zϕ′(z)− ψ(z) + h
4n−1∑
m=1
a(0)m ∂zVm;
c66u
(1)
+ = −2h[φ(z) + zφ′(z) + ν∗1h
2φ′′(z) + χ′(z)] + h
4n−1∑
m=1
a(1)m ∂zVm + ih
2n∑
s=1
b(1)s ∂zws;
c66u
(2)
+ = κ∗2h
2φ′′(z) + ν2h
3φ′′(z) + h
4n−1∑
m=1
a(2)m ∂zVm + ih
2n∑
s=1
b(2)s ∂zws;
c66u
(k)
+ = νkh
3φ′′(z) + h
4n−1∑
m=1
a(k)m ∂zVm + ih
2n∑
s=1
b(k)s ∂zws (k = 3, 4, . . . , 2n),
(28)
де ψ(z) = ψ′
∗(z); κ
∗ = 1 + 2c66/c1c11.
Таким чином, функцiї (23)–(25) разом iз (28) складають загальний аналiтичний розв’я-
зок системи рiвнянь (6)–(9).
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №2
1. Khoma I.Yu. Complex representation of the equation of a transversally isotropic shell with prestresses //
Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, No 2. – P. 228–237.
2. Khoma I.Yu., Kondratenko O.A. Stress distribution around a circular cylindrical cavity in a prestressed
plate // Ibid. – 2008. – 44, No 1. – P. 23–34.
3. Kondratenko O.A. Stress state around a circular hole in a prestressed transversally isotropic shell // Ibid. –
No 2. – P. 167–174.
4. Khoma I.Yu. Representation of solution of the deflection equilibrium equation for thick transversally
isotropic plates // J. of Math. Sci. – 2001. – 103, No 3. – P. 306–313.
5. Леви Е. Е. О линейных эллиптических уравнениях в частных производных // Усп. мат. наук. – 1940. –
Вып. 8. – С. 249–292.
Надiйшло до редакцiї 31.03.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
I. Yu. Khoma, T.M. Proshchenko
The general solution of a system of equations of equilibrium for
transversally isotropic plates inhomogeneous in thickness
On the basis of the expansion of functions in Fourier series in Legendre polynomials of the thickness
coordinate, a system of equations of equilibrium for transversally isotropic plates inhomogeneous
in thickness is obtained, and a method of constructing the general analytic solution of this system
is given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №2 75
|