О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби
Доведено збiжнiсть рядiв Фур’є–Якобi в просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмеженi.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19747 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби / В.П. Моторный, С.В. Гончаров, П.К. Нитиема // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19747 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-197472025-02-23T19:32:06Z О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби On the mean convergence of Fourier–Jacobi series Моторный, В.П. Гончаров, С.В. Нитиема, П.К. Математика Доведено збiжнiсть рядiв Фур’є–Якобi в просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмеженi. We study the convergence of Fourier–Jacobi series in the space Lp,A,B in the case where the Lebesgue constants are unbounded. 2010 Article О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби / В.П. Моторный, С.В. Гончаров, П.К. Нитиема // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19747 517.5 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Моторный, В.П. Гончаров, С.В. Нитиема, П.К. О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби Доповіді НАН України |
| description |
Доведено збiжнiсть рядiв Фур’є–Якобi в просторах Lp,A,B у випадку, коли константи Лебега необмеженi. |
| format |
Article |
| author |
Моторный, В.П. Гончаров, С.В. Нитиема, П.К. |
| author_facet |
Моторный, В.П. Гончаров, С.В. Нитиема, П.К. |
| author_sort |
Моторный, В.П. |
| title |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби |
| title_short |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби |
| title_full |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби |
| title_fullStr |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби |
| title_full_unstemmed |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби |
| title_sort |
о сходимости в среднем рядов фурье–якоби |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19747 |
| citation_txt |
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби / В.П. Моторный, С.В. Гончаров, П.К. Нитиема // Доп. НАН України. — 2010. — № 3. — С. 35-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT motornyjvp oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT gončarovsv oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT nitiemapk oshodimostivsrednemrâdovfurʹeâkobi AT motornyjvp onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT gončarovsv onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries AT nitiemapk onthemeanconvergenceoffourierjacobiseries |
| first_indexed |
2025-11-24T16:10:50Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:10:50Z |
| _version_ |
1849688746490855424 |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2010
Член-корреспондент НАН Украины В.П. Моторный, С. В. Гончаров,
П.К. Нитиема
О сходимости в среднем рядов Фурье–Якоби
Доведено збiжнiсть рядiв Фур’є–Якобi в просторах Lp,A,B у випадку, коли константи
Лебега необмеженi.
Пусть Pα,β
n (x) — многочлены Якоби, ортогональные на отрезке [−1, 1] с весом ρ(x) = (1 −
−x)α(1+x)β, (α > −1, β > −1). Через Lp,A,B oбозначим пространство измеримых на отрезке
[−1, 1] функций f , для которых fw1/p ∈ Lp, где весовая функция w(x) = (1 − x)A(1 + x)B ,
A, B > −1. Норма ‖f‖p,A,B = ‖fw1/p‖p. Если A = B = 0, то Lp,0,0 = Lp и ‖f‖p,0,0 = ‖f‖p =
=
{
1
∫
−1
|f(x)| dx
}1/p
.
Через Sα,β
n (f) будем обозначать частную сумму порядка n ряда Фурье–Якоби функции
f ∈ L1,α,β. Частные суммы Sα,β
n (f) можно рассматривать как оператор, действующий в не-
котором подпространстве X пространства L1,α,β. Норма этого оператора
‖Sα,β
n ‖X = sup
‖f‖X61
‖Sα,β
n (f)‖X
называется константой Лебега. В силу неравенства Лебега
‖f − Sα,β
n (f)‖X 6 (1 + ‖Sα,β
n ‖X)En(f)X , (1)
где En(f)X — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени
не выше n в пространстве X. Ограниченность констант Лебега влечет за собой сходимость
ряда Фурье–Якоби для любой функции в пространстве X, если в пространстве X имеет
место теорема Вейерштрасса, а также определяет порядок сходимости частных сумм ряда
Фурье–Якоби Sα,β
n (f) к f в пространстве X. В работах X. Полларда [1, 2], Дж. Неймана
и У. Рудина [3], Г. Винга [4] и Б. Маккенхоупта [5] были выделены пространства интегрируе-
мых с весом функций, в которых константы Лебега ограничены. Наиболее общий результат
получен Б. Маккенхоуптом, и формулируется он следующим образом.
Теорема 1. Пусть 1 < p < ∞. Тогда для того чтобы ‖Sα,β
n ‖p,A,B были ограничены,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
∣
∣
∣
∣
α+ 1
2
− A
p
− 1
p
∣
∣
∣
∣
< min
(
1
4
,
α+ 1
2
)
, (2)
∣
∣
∣
∣
β + 1
2
− B
p
− 1
p
∣
∣
∣
∣
< min
(
1
4
,
β + 1
2
)
. (3)
В [6] показано, что для того чтобы каждая функция f ∈ Lp,A,B имела ряд Фурье–Якоби,
соответствующий весу ρ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
α+ 1
2
− A+ 1
p
> −α+ 1
2
,
β + 1
2
− B + 1
p
> −β + 1
2
, (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 35
если p > 1, a при p = 1 в (4) знак > следует заменить на >. Так как A+ 1 > 0 и B + 1 > 0,
то левые части неравенств (4) меньше соответственно (α+1)/2 и (β+1)/2. Поэтому вопрос
о сходимости рядов Фурье–Якоби в пространствах Lp,A,B следует рассматривать в случаях
∣
∣
∣
∣
α+ 1
2
− A+ 1
p
∣
∣
∣
∣
<
α+ 1
2
,
∣
∣
∣
∣
β + 1
2
− B + 1
p
∣
∣
∣
∣
<
β + 1
2
. (5)
Отметим, что если α, β ∈ (−1;−1/2] и 1 < p < ∞, то в силу (5) условия (2), (3) заведомо
имеют место. Поэтому оценку роста констант Лебега сумм Фурье–Якоби следует находить,
когда max{α, β} > −1/2.
Первые работы, связанные с разложением функций по ортогональным на отрезке [−1; 1]
алгебраическим многочленам, в основном посвящены многочленам Лежандра. Это прежде
всего работы [1–4, 7, 8]. В работе [8] для оценки уклонения в пространстве C[−1;1] сумм
Фурье–Лежандра от непрерывных или дифференцируемых функций была использована
теорема Тимана об усилении теоремы Джексона о наилучшем приближении непрерывных
функций алгебраическими многочленами на отрезке. Исследование поведения констант Ле-
бега и функций Лебега сумм Фурье–Якоби в пространстве C[−1;1] осуществлено в рабо-
тах [9, 10], а также в других работах этих же авторов. В этом случае точные по порядку
оценки приближений суммами Фурье–Якоби непосредственно следуют из неравенства Ле-
бега (1). Как оказалось (см. [11–13]), в случае приближений суммами Фурье–Лежандра,
когда 1 6 p 6 4/3 и p = 4, неравенство Лебега приводит к грубым оценкам. Это можно
объяснить тем, что с улучшением дифференциально-разностных свойств функции мень-
ше влияет на порядок стремления к нулю величины ‖f − S0,0
n (f)‖Lp рост констант Лебега,
соответствующих многочленам Лежандра. Для функций с достаточно хорошими диффе-
ренциально-разностными свойствами суммы Фурье–Лежандра осуществляют приближение
в Lp, когда 1 < p 6 4/3, по порядку не хуже наилучшего. Этот результат был установлен
с помощью обобщенных констант Лебега, которые были введены в [11, 12], если 1 6 p 6 4/3
и p > 4, следующим образом:
D
(0,0)
n,p,θ = sup
‖f/σ(n,θ)‖p61
‖S(0,0)
n (f)‖p,
где σ(n, θ, x) = (
√
1− x2 + 1/n)θ, θ > 0.
Позже в [10] в случаях 1 6 p 6 4/3 и p > 4 исследовались обобщенные константы
Лебега следующего вида:
B
(0,0)
n,p,θ = sup
‖f‖p61
‖S(0,0)
n (f)σ(n, θ)‖q,
где 1/p + 1/q = 1, θ > 0.
Известно, что поведение частных рядов Фурье–Якоби на отрезке [a; b] ⊂ (−1; 1) по-
добно поведению частных сумм рядов Фурье по тригонометрической системе. Например,
b
∫
a
|f(x) − S
(α,β)
n (f ;x)|pdx → 0, когда n → ∞, для любого p ∈ (1;∞). Следовательно, осо-
бенности поведения частных рядов Фурье–Якоби на отрезке [−1, 1], такие как сходимость,
неограниченный рост констант Лебега, определяются свойствами многочленов Якоби у кон-
цов отрезка [−1, 1]. Этим замечанием можно мотивировать введение обобщенных констант
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
Лебега. Оказалось, что в случаях, когда обобщенные константы Лебега ограничены (а кон-
станты Лебега неограничены) частные суммы рядов Фурье–Лежандра функции f могут
осуществлять приближение функции f по порядку не хуже наилучшего. Это следует из
возможности приблизить [13] функцию в пространстве Lp алгебраическими многочленами
с весом (
√
1− x2 + 1/n)−θ по порядку не хуже наилучшего. Действительно, так как для
любого многочлена Pn(x) степени не выше n, S0,0
n (Pn;x) = Pn(x) и, в силу определения
констант D
(0,0)
n,p,θ, для любой функции f ∈ Lp имеет место неравенство
‖S0,0
n (f)‖p 6 D
(0,0)
n,p,θ
∥
∥
∥
∥
f
σ(n, θ)
∥
∥
∥
∥
p
, (6)
то
‖f − S0,0
n (f)‖p 6 ‖f − Pn‖p + ‖S0,0
n (f − Pn)‖p 6 ‖f − Pn‖p +D
(0,0)
n,p,θ
∥
∥
∥
∥
f − Pn
σ(n, θ)
∥
∥
∥
∥
p
. (7)
Через Hr+γ
p , r = 0, 1, . . . , 0 < γ 6 1, обозначим класс функций, заданных на отрезке
[−1, 1] и имеющих там r-ю производную f (r)(x) ∈ Lp, для которой при любом 0 < h < 1
выполняется неравенство
{ 1−h
∫
−1
|f (r)(x)− f (r)(x+ h)|pdx
}1/p
6 Chγ .
Известно следующее утверждение [13].
Предложение 1. Для любой функции f ∈ Hr+γ
p существует последовательность ал-
гебраических многочленов Pn(x) степени не выше n > 2 таких, что
∥
∥
∥
∥
f(x)− Pn(x)
(
√
1− x2 + 1/n)r+γ
∥
∥
∥
∥
p
6
C ln1/p n
nr+γ
. (8)
При этом, если под знаком нормы заменить r + γ на меньшее число, то в правой части
неравенства lnn можно убрать.
В работе [14] получен следующий результат.
Предложение 2. Многочлены Pn(x) в предложении 1 можно выбрать так, что в зна-
менателе дроби, стоящей в левой части неравенства (8), слагаемое 1/n можно убрать.
В настоящей работе изучаются обобщенные константы Лебега для частных сумм Фурье–
Якоби в пространствах Lp,A,B и оценки уклонений частных сумм Фурье–Якоби от функций
в пространствах Lp,A,B. Приведем примеры пространств и классы функций, имеющих до-
статочно высокую гладкость, для которых частные суммы Фурье–Якоби осуществляют при-
ближение по порядку не хуже наилучшего. Сразу заметим, что это возможно тогда, когда
(α + 1)/2 − (A + 1)/p ∈ (−(α + 1)/2;−1/4] и (β + 1)/2 − (B + 1)/p ∈ (−(β + 1)/2;−1/4].
Если же (α+ 1)/2 − (A+ 1)/p ∈ [1/4; (α + 1)/2) или (β + 1)/2 − (B + 1)/p ∈ [1/4;β + 1)/2),
то порядок приближения суммами Фурье–Якоби, также как и для сумм Фурье–Лежандра,
определяется ростом констант Лебега.
Для любых n, p, θ, δ, α, β, A, B положим
Dα,β,A,B
n,p,θ,δ = sup
‖f/ρ(n,θ,δ)‖p,A,B61
‖Sα,β
n (f)‖p,A,B,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 37
где ρ(n, θ, δ, x) = (
√
1− x+1/n)θ(
√
1 + x+1/n)δ , θ, δ > 0. Эти константы совпадают с клас-
сическими константами Лебега, если γ = δ = 0.
Далее будем использовать параметры µ и ν, которые определяются следующим образом:
µ = (2A + 2)/p − α − 3/2, ν = (2B + 2)/p − β − 3/2.
Теорема 2. Пусть 1 < p < ∞, q = p/(p − 1), max{α, β} > −1/2, для чисел α, β, A, B
выполняется условие (5) и θ > µ > 0, δ > ν > 0. Тогда имеют место неравенства
Dα,β,A,B
n,p,θ,δ 6
Cθ,δ, если θ > µ, δ > ν,
Cµ,ν ln
1/q n, если θ = µ или δ = ν и µ, ν > 0,
C ln(n+ 1), если θ = µ = 0 или δ = ν = 0.
(9)
Из теоремы 2 и предложения 2 следует утверждение.
Теорема 3. Пусть 1 < p < ∞, α = β; µ = ν = (2A+2)/p−α−3/2 > 0, A = B ∈ (−1/2; 0),
f ∈ Hr+γ
p . Тогда имеет место неравенство
‖f(x)− S(α,β)
n (f)‖p,A,A 6
Cγ
nr+γ
, если γ > µ− 2A
p
,
C
ln1/p(n+ 1)
n−µ+2A/p+2γ
, если
µ
2
− A
p
< γ 6 µ− 2A
p
.
(10)
Чтобы сформулировать следующую теорему, приведем результат М.К. Потапова [15]
о структурной характеристике классов функций с заданным порядком наилучших прибли-
жений. Для этого введем один из вариантов функции обобщенного сдвига. Пусть f ∈ Lp,A,B,
положим
f(x, t, A,B) =
1
φ(A,B)
1
∫
0
1
∫
−1
f
[
x cos t+ rz sin t
√
1− x2 − (1− r2)(1− x) sin2
t
2
]
×
× (1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr,
где
φ(A,B) =
1
∫
0
1
∫
−1
(1− r2)A−B−1r2B+1(1− z2)B−1/2dzdr, A > B > − 1
2p
.
Предложение 3. Пусть 1 < p < ∞, числа A, B, θ, δ, p и γ таковы, что 0 < γ < 2,
θ, δ > 0, γ/2 < 1 + 1/p + min{−θ/2 + A/p,−δ/2 + B/p}, A > B > −1/2. Для того чтобы
функция f удовлетворяла условию
∥
∥
∥
∥
[
f(x)− f
(
x, t,
A
p
,
B
p
)](
1− x+ sin2
t
2
)−θ/2(
1 + x+ sin2
t
2
)−δ/2∥
∥
∥
∥
p,A,B
6
6 C1
∣
∣
∣
∣
sin
t
2
∣
∣
∣
∣
γ
, (11)
где f(x, t, A/p,B/p) — функция обобщенного сдвига, необходимо и достаточно, чтобы на-
шлась последовательность алгебраических многочленов Pn(x) таких, что
∥
∥
∥
∥
f(x)− Pn(x)
(
√
1− x+ 1/n)θ(
√
1 + x+ 1/n)δ
∥
∥
∥
∥
p,A,B
6
C2
nγ
. (12)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
Теорема 4. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, p и γ таковы, что
0 < γ < 2, θ ∈ (µ;µ + 1/2), δ ∈ (ν; ν + 1/2), где µ > 0, ν > 0, и для функции f ∈ Lp,A,B
выполняется условие (11). Тогда
‖f(x)− S(α,β)
n (f)‖p,A,B 6
C3
(n+ 1)γ
. (13)
Действительно, из условия теоремы вытекает условие предложения 3 и, следовательно,
имеет место необходимость предложения 3, а тогда, в силу (9) и (12), имеет место (13).
Теорема 5. Пусть 1 < p < ∞, A > B > −1/2, числа A, B, θ, δ, γ, p и r таковы,
что r− натуральное число, 0 < γ 6 1, θ ∈ (µ;µ + 1/2), δ ∈ (ν; ν + 1/2), где µ > 0, ν > 0.
Функция f ∈ Lp,A,B имеет абсолютно непрерывную производную r − 1 порядка на любом
отрезке [a, ; b] ⊂ (−1; 1), f (r)(x, t, A,B) — функция обобщенного сдвига производной f (r)(x),
для которой выполняется условие
∥
∥
∥
∥
[
f (r)(x)− f (r)
(
x, t,
A
p
+
r
2
,
B
p
+
r
2
)]
(1− x)r/2(1 + x)r/2
(
1− x+ sin2
t
2
)−θ/2
×
×
(
1 + x+ sin2
t
2
)−δ/2∥
∥
∥
∥
p,A,B
6 C4
∣
∣
∣
∣
sin
t
2
∣
∣
∣
∣
γ
.
Тогда
‖f(x)− S(α,β)
n (f)‖p,A,B 6
C5
(n+ 1)r+γ
. (14)
Заметим [6], что для указанных границ изменения параметров µ, ν константы Лебега
‖Sα,β
n ‖p,A,B имеют степенной рост [6]:
‖Sα,β
n ‖p,A,B ≍ Cµ,ν
{
nmax{µ,ν}, если max{µ, ν} > 0,
ln(n+ 1), если µ = ν = 0.
Поэтому применение неравенства (1) дает порядок приближения функций гораздо хуже,
нежели соотношения (10), (13), (14).
1. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series // Trans. Amer. J. Math. Soc. – 1947. – 62. –
P. 387–403. – Ibedem. – 1948. – 63. – P. 355–367.
2. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series // Duke Math. J. – 1949. – 16, No 1. – P. 189–191.
3. Neuman J., Rudin W. Mean convergence of orthogonal series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – 3. –
P. 219–222.
4. Wing G.M. The mean convergence of orthogonal series // Amer. J. Math. – 1950. – 72. – P. 792–807.
5. Muckehoupt B. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 23, No 2. –
P. 306–310.
6. Казакова Н.М. О порядках констант Лебега сумм Фурье–Якоби в пространствах. – Свердловск,
1981. – 54 с. – Деп. в ВИНИТИ 23.06.1981, № 3053–81.
7. Gronwall T.H. Uber die Laplacesche Reihe // Math. Ann. – 1913. – 74. – P. 213–270.
8. Суетин П.К. О представлении непрерывных и дифференцируемых функций по многочленам Ле-
жандра // Докл. АН СССР. – 1964. – 158, № 6. – С. 1275–1277.
9. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функции Лебега сумм Фурье–Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.
мат. – 1968. – 1, № 1. – С. 11–23.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №3 39
10. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи мат.
наук. – 1978. – 33, № 4. – С. 51–106.
11. Моторный В.П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Докл. АН
СССР. – 1972. – 204, № 4. – С. 788–790.
12. Моторный В.П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1973. – 37, № 1. – С. 135–147.
13. Моторный В.П. Приближение функций алгебраическими многочленами в метрике Lp // Там же. –
1971. – 35, № 4. – С. 874–899.
14. Ходак Л.Б. Сходимость рядов Фурье по многочленам Якоби в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. –
1982. – № 8. – С. 28–31.
15. Потапов М.К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего
приближения // Тр. мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 134. – С. 260–277.
Поступило в редакцию 13.07.2009Днепропетровский национальный университет
Университет Уагадугу, Буркина-Фасо
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.P. Motornyi, S.V. Goncharov,
P.C. Nitiema
On the mean convergence of Fourier–Jacobi series
We study the convergence of Fourier–Jacobi series in the space Lp,A,B in the case where the
Lebesgue constants are unbounded.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №3
|