Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19980 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860111000244584448 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T17:33:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 531.38
c©2008. И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
С ДВУМЯ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ
Изучено положение равновесия замкнутой системы n твердых тел, связанных упругими сфериче-
скими шарнирами, в предположении отсутствия внешних сил и моментов. Найдено новое решение
уравнений равновесия системы, описывающее конфигурацию, в которой все оси симметрии тел
расположены в одной плоскости и пересекаются в двух различных точках. Внешне эта конфигура-
ция напоминает две соединенные восьмерки и названа авторами "двойная восьмерка". Рассмотрен
частный случай, когда система состоит из пяти тел. Определены области геометрических парамет-
ров, для которых это решение существует.
Введение. В последнее время появилось значительное число публикаций, по-
священных исследованию замкнутых стержневых систем. Это связано с одним из
наиболее интересных приложений теории стержней, а именно, моделированию с их
помощью молекул ДНК. Поиск равновесных состояний упругих стержней является
одним из направлений исследования. Первыми равновесными состояниями, полу-
ченными в [1–4], были такие, в которых упругая ось стержня была расположена в
плоскости и представляла собой окружность или “восьмерку”. В 2000 году Е.Л. Ста-
ростин нашел еще одно равновесное состояние [5], которому соответствовала конфи-
гурация с несколькими самопересечениями упругой оси в одной точке. Найденное
решение было названо им решением типа “розы”. Позднее он провел численный ана-
лиз этого решения [6].
В работах [7, 8] была предложена конечномерная модель замкнутого упругого
стержня, которая представляет собой систему n твердых тел, связанных упругими
сферическими шарнирами. Упругий момент в шарнире был введен таким образом,
чтобы при n →∞ он совпадал с моментом, определенным в теории упругих стерж-
ней. Использование таких упругих моментов в конечномерной модели позволяет
моделировать с ее помощью большие прогибы и учитывать геометрическую нели-
нейность изучаемых объектов. Конечномерный подход дал возможность выписать
известные решения в явном виде. Так, в [7, 8] получено решение, описывающее в
конечномерном случае окружность и “восьмерку”, а в [9, 10] определены условия
существования конечномерной конфигурации и для решения типа “розы”.
В настоящей работе получено новое решение, описывающее конфигурацию, в ко-
торой оси симметрии тел пересекаются в двух различных точках. Внешне эта конфи-
гурация напоминает две соединенные восьмерки. Рассмотрен простейший пример,
когда система состоит из пяти твердых тел. Выделены области параметров суще-
ствования найденного решения.
1. Уравнения равновесия. Полагаем, что изучаемая система состоит из n
гироскопов Лагранжа Sk, которые связаны в точках Ok (k = 1, n) пересечения их
осей симметрии упругими сферическими шарнирами. Считаем, что на систему не
26
Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями
действуют внешние силы и моменты, и ее центр масс C неподвижен. Свяжем с
ним неподвижную систему координат CXY Z, а с каждым телом Sk (k = 1, n) –
подвижную систему координат CkXkYkZk, где Ck – центр масс тела Sk, а ось CkYk
направлена вдоль его оси симметрии. Как и в [7, 8], определим положение системы
координат, связанной с телом Sk, по отношению к неподвижной системе координат
углами Крылова ψk, θk, ϕk. Тогда для замкнутых систем (O1 = On+1) имеем
n∑
k=1
hk sinψk sin θk = 0;
n∑
k=1
hk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk cosψk sin θk = 0, (1)
где hk = OkOk+1.
Пусть Rk и Lk соответственно сила и момент силы, характеризующие действие
тела Sk−1 на Sk, а −Rk+1 и −Lk+1 – соответственно сила и момент силы действия
тела Sk+1 на Sk. Из условия замкнутости системы для введенных сил и моментов
следует
Rn+1 = R1 = R; Ln+1 = L1 = L. (2)
Полагая далее сумму всех сил и моментов, действующих на тело Sk, равной
нулю, получаем следующие уравнения равновесия:
Rk −Rk+1 = 0; Lk − Lk+1 − hk ×Rk+1 = 0 (k = 1, n). (3)
Поскольку в сферическом шарнире момент силы реакции равен нулю [11], то оста-
ются только упругие моменты воздействия со стороны тел Sk−1 и Sk+1 на тело Sk.
Определяя их как в [7, 8], имеем
Lk = c2
1(κ1
ke
1
k + κ2
ke
2
k) + c2
2κ3
ke
3
k. (4)
Здесь c2
1, c2
2 – соответственно изгибная и крутильная жесткости, ei
k (k = = 1, n; i =
1, 2, 3) – орты связанной с телом Sk системы координат, κi
k – компоненты дискрет-
ного аналога вектора Дарбу κk в точке Ok, который равен
κk =
1
2h
3∑
i=1
(ei
k−1 × ei
k), h = min
k
hk. (5)
Далее, как и в работах [1–9], будем считать, что оси тел находятся в одной плос-
кости и угол ψk = 0, k = 1, n. Кроме того, аналогично [7–9], считаем, что разность
углов собственного вращения ϕk+1−ϕk = const (постоянное кручение). Проектируя
в этом случае уравнения равновесия (3) с учетом (2), (4) на ось CkXk‖CX, получаем
sin(θk+1 − θk)− sin(θk − θk−1) = Hk(Ry sin θk −Rz cos θk), (6)
где Hk =
hkh
c2
1
, k = 1, n; θ1 = θn+1, θ0 = θn; Ry, Rz – проекции вектора силы
реакции R соответственно на оси OY и OZ.
27
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Условия замкнутости системы тел в плоском случае находим из уравнений (1),
в которых ψk = 0. Имеем
n∑
k=1
hk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk sin θk = 0. (7)
Рис. 1. "Двойная восьмерка".
Итак, наша задача найти решение системы (6), (7), описывающее конфигурацию,
в которой оси симметрии тел пересекаются в двух разных точках.
2. Новое решение “двойная восьмерка”. Рассмотрим конфигурацию, в ко-
торой существует самопересечение осей симметрии тел не в одной, а в двух точках.
Одной из возможных симметричных конфигураций может служить фигура, пред-
ставляющая из себя “двойную восьмерку”. В простейшем случае она может быть
представлена системой пяти тел, изображенной на рис. 1. Полагаем, что фигура
симметрична относительно оси OZ.
В точках Ok (k = 1, 6; O6 = O1) пересечения осей симметрии тел Sk расположены
упругие сферические шарниры. Считаем, что длины осей симметрии тел OkOk+1
равны
O1O2 = O4O5 = h1; O2O3 = O3O4 = h2; O1O5 = h3. (8)
При этом углы θk между осями OkOk+1 и осью OY (см. рис. 1) равны
θ1 = −θ4 = ϕ1; θ2 = −θ3 = −ϕ2; θ5 = π. (9)
Отметим, что ϕ1 и ϕ2 – острые углы.
Потребовав выполнения условий замкнутости (7), получим, что введенные углы
ϕ1, ϕ2 должны удовлетворять уравнению
h1 cosϕ1 + h2 cosϕ2 =
h3
2
. (10)
Введем безразмерные параметры
a1 =
h1
h2
; a2 =
h3
2h2
. (11)
28
Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями
Тогда из (10) следует
cosϕ2 = a2 − a1 cosϕ1. (12)
Учитывая, что ϕ2 острый угол, из (12) получаем
a2 − a1
a1
< cosϕ1 <
a2
a1
. (13)
Так как ϕ1 тоже острый угол и, следовательно, 0 < cosϕ1 < 1, то, с учетом (13),
окончательно имеем
max
(
a2 − a1
a1
, 0
)
< cosϕ1 < min
(
a2
a1
, 1
)
. (14)
Отметим, что переменные ϕi, ai (i = 1, 2) должны удовлетворять еще двум усло-
виям, следующим из геометрии заданной конфигурации (см. рис. 1). Поскольку
точка O3 имеет координаты (0,−z), то, очевидно, получаем
sinϕ1
sinϕ2
<
1
a1
, (15)
0 < a2 < a1 + 1. (16)
Теперь определим значения сил реакций Ry, Rz и углов ϕ1 и ϕ2, которые удо-
влетворяют уравнениям равновесия изучаемой системы. Подставляя (8), (9) в (6),
получаем Rz = 0 и
sinϕ1 − sin(ϕ1 + ϕ2) = H1Ry sinϕ1,
(17)
sin 2ϕ2 + sin(ϕ1 + ϕ2) = −H2Ry sinϕ2.
После исключения Ry из (17), имеем
sinϕ1 − sin(ϕ1 + ϕ2)
sin 2ϕ2 + sin(ϕ1 + ϕ2)
= −a1
sinϕ1
sinϕ2
. (18)
Введем дополнительный параметр p
sinϕ2 = p sinϕ1. (19)
Из (15), (19) следует, что
p > a1 > 0. (20)
Подставляя (19) в (18) и учитывая, что sinϕ1 6= 0, получаем
cosϕ1 =
p(1− a2) + a1a2(2p + 1)
(p− a1)2 + 2pa2
1
. (21)
Подстановка (21) в (14) с учетом (16), (20) позволяет выделить области измене-
ния параметров a1, a2, p, в которых возможно выполнение неравенства (14). Имеем
следующие четыре области:
I. a2 < min(a1, 1), p > a1
(
1 +
1
a2
)
;
29
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
II. a1 < a2 < 1, p > p∗∗;
III. 1 < a2 < a1, a1
(
1 +
1
a2
)
< p < p2;
IV. max(a1, 1) < a2 < a + 1 + 1, p∗∗ < p < p2.
Здесь p∗∗ и p2 соответственно положительные корни уравнений
f1(p) = p2 + p[2a1(a1 − a2 − 1) + a2 − 1] + a1(a1 − a2) = 0; (22)
f2(p) = p2 − pa1
2a1 + a2 − 1
a2 − 1
− a2
1
a2 − 1
= 0. (23)
Следует отметить, что в области III имеем f2
(
a1 +
a1
a2
)
< 0, поэтому
a1
(
1 +
1
a2
)
< p2 в этой области. Учитывая далее, что параболы f1 и f2 пересе-
каются в точке p1 = − a1a2
2a1a2 − a2 + 1
, а в области IV
p1 < 0;
a2
1
a2 − 1
> a1(a2 − a1)
получаем, что в этой области p2 > p∗∗.
Поскольку sin2 ϕ2 + cos2 ϕ2 = 1, то из (12), (19) следует
cos2 ϕ1(a2
1 − p2)− 2a1a2 cosϕ1 + a2
2 + p2 − 1 = 0. (24)
Исключая из (24) с помощью (21) cosϕ1, получаем уравнение для определения па-
раметра p = p(a1, a2). Имеем
F6 = p6 + 4a1(a1 − 1)p5 + [4a1(1− a1)(a1 − a2)2 + 2(4a3
1 − 4a2
1 + 2a1−
−1)(a1 − a2)− 2(2a3
1 − a2
1 − a1 + 1)]p4 + [−4a2
1(a1 − a2)2+ (25)
+4a1(2a2
1 + 1)(a1 − a2)− 4a1(a2
1 + 2a1 − 1)]p3 + [−2a2
1(a1 − a2)−
−a2
1(3a
2
1 − 10a1 + 5)]p2 + 4a3
1(1− a1)p− a4
1 = 0.
Численные исследования позволили выделить область существования решений
этого уравнения с учетом выделенных интервалов I–IV. Она представлена на рис. 2.
Рассмотрим несколько частных случаев решения данной задачи.
3. Случай a1 = a2. Пусть a1 = a2 = a. При этом из (11) следует 2h1 = h3, а из
I–IV получаем следующие интервалы определения параметра p :
a) a < 1, p > a1 + 1; b) a > 1, a1 + 1 < p < p2, (26)
30
Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями
Рис. 2. Область существования решения. Рис. 3. Функция F6(p2).
где p2 =
a
2(a− 1)
(3a− 1 +
√
9a2 − 2a− 3) (предельный случай a = 1 будет рассмот-
рен отдельно). На этих интервалах необходимо определить корни уравнения (25),
которое принимает вид
F6 = p6 + 4a(a− 1)p5 − 2[a3 + (a− 1)(a2 − 1)]p4 − 4a[(a + 1)(a− 1) + 2a]p3−
−a2[5(a− 1)2 − 2a2]p2 − 4(a− 1)p− a4 = 0. (27)
Учитывая, что F6(∞) > 0 и F6(a + 1) = −(2a3 + 2a2 + 1)2 < 0, получаем, что
в области (26, a) уравнение (27) всегда имеет хотя бы один положительный корень
p ∈ (a + 1,∞)
График функции F6(p1) приведен на рис. 3. Он показывает, что в области (26,
b) функция F6(p2) > 0, а поскольку, как было отмечено выше, F6(a + 1) < < 0, то и
в этой области существует положительный корень p ∈ (a + 1, p2).
Рассмотрим предельный случай, когда a = 1 (при этом h1 = h2). Из (21) следует
cosϕ =
2p + 1
(p + a)2
и на интервале (20) определения параметра p : p > 1, имеем
0 < cosϕ < 1. Уравнение (27) в этом случае представляется так
f6 = p6 − 2p4 − 8p3 + 2p2 − 1 = 0
и имеет единственный корень в области p ∈ (1,∞), p = 2.
4. Случай ϕ1 = ϕ2. В заключение рассмотрим еще один частный случай ϕ1 =
ϕ2 = ϕ. При этом из (12) следует
cosϕ =
a2
a1 + 1
. (28)
Очевидно, что в области (16) выполнено неравенство 0 < cosϕ < 1. Кроме того,
из (18) получаем
cosϕ =
1
2(1− 2a1)
. (29)
Тогда из (28), (29) следует
a2 =
a1 + 1
2(1− a1)
. (30)
31
И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин
Из (16), (30) имеем a1 < 1/4 или, с учетом (11), получаем h1 < 4h2.
Таким образом, на интервале a1 ∈ (0, 0.25), существует решение
θ1 = −θ2 = θ3 = −θ4 = ϕ, θ5 = π,
где ϕ = arccos
(
1
2(1− 2a2)
)
.
1. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. – 1986. – 21D. – P.213-226.
2. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК// В кн.: Мате-
матические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999. – С.308-338.
3. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Meccanica 31. – V.3. – 1996. – P.235-271.
4. Кугушев Е.И., Пирогова Е.Е., Старостин Е.Л. Математическая модель образования трехмер-
ной структуры ДНК. –1997. – 24с. – (Препринт РАН ИПМ им. М.В. Келдыша, №77).
5. Starostin E.I. Equilibrion configurations of a thin elastic rod with self contacts // Proc. of the 16th
IMACS World Congress 2000, August 21-25. – 2000.
6. Starostin E.I. Symmetric equilibria of a thin elastic rod with self contacts // Phil. Teans. K. Soc.
Lon., A, 362. – 2004. – P.1317-1334.
7. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня // Ме-
ханика твердого тела. – 2005. – Вып.35. – С.33-39.
8. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твердых тел
// Там же. – 2006. – Вып.36. – С.94-103.
9. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопересечения-
ми // Там же. – 2007. – Вып.37. – С.145-151.
10. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Равновесные конфигурации замкнутой систе-
мы твердых тел // Тезисы международ. конф. "Классические задачи динамики твердого тела"
(9-13 июня, 2007, Донецк, Украина). – Донецк, 2007. – С.12-13.
11. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. – М.: Мир, 1980. – 292с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 10.01.08
32
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19980 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:33:47Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. 2011-05-19T18:39:16Z 2011-05-19T18:39:16Z 2008 Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 26-32. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19980 531.38 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями Article published earlier |
| spellingShingle | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. |
| title | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| title_full | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| title_fullStr | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| title_full_unstemmed | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| title_short | Положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| title_sort | положение равновесия упругих систем с двумя самопересечениями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19980 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia položenieravnovesiâuprugihsistemsdvumâsamoperesečeniâmi AT ŝepinnn položenieravnovesiâuprugihsistemsdvumâsamoperesečeniâmi |