Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19982 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті / Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 55-62. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860139650025259008 |
|---|---|
| author | Бондарєв, Б.В. Жмихова, Т.В. |
| author_facet | Бондарєв, Б.В. Жмихова, Т.В. |
| citation_txt | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті / Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 55-62. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T17:48:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 519.21
c©2008. Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова
МОДЕЛЬ КРАМЕРА-ЛУНДЕБЕРГА ЗI СТОХАСТИЧНИМИ
ПРЕМIЯМИ ЗА УМОВИ РОЗМIЩЕННЯ КАПIТАЛУ
НА БАНКIВСЬКОМУ ДЕПОЗИТI
В роботi розглянута задача знаходження ймовiрностi небанкрутства страхової компанiї. На основi
класичної моделi Крамера-Лундеберга, де процес премiй – лiнiйна функцiя часу, розглядається
стохастичний процес премiй, незалежний вiд процесу ризику, за умови розмiщення капiталу на
банкiвському депозитi з процентною ставкою r. У якостi розподiлу, що описує розмiри позовiв та
премiй було обрано експоненцiальний розподiл.
Вступ. Проблема платоспроможностi, тобто здатностi страховика виконати свої
зобов’язання, є однiєю з найважливiших у дiяльностi будь-якої страхової компанiї. В
цiй роботi буде розглядатися узагальнення класичної моделi Крамера-Лундеберга,
де процес премiй – стохастичний, незалежний вiд процесу ризику ([1], [2], [3] та iн.),
на вiдмiну вiд детермiнованої лiнiйної неперервної функцiї часу в класичнiй моделi,
з можливiстю iнвестування в безризиковий актив, оскiльки за останнiй час все бiль-
ша увага придiляється бiльш складним моделям узагальнюючим класичну модель,
таким якi пов’язанi з можливiстю використання страховою компанiєю вiльних ко-
штiв, якi вона має в своєму розпорядженнi, для одержання додаткового прибутку
i зменшення тим самим ймовiрностi банкрутства, тому в данiй роботi розглядалася
можливiсть розмiщення капiталу на банкiвському депозитi з процентною ставкою r.
1. Постанова задачi. Розглянемо страхову компанiю з початковим капiталом x,
сумарнi премiї, що отримає страхова компанiя на момент часу t складатимуть Π(t) =
N1(t)∑
i=1
ci, де N1(t) – пуассонiв розподiл з iнтенсивнiстю λ1 (EN1(t) = λ1t,N1(0) = 0),
N1(t) iнтерпретується як число премiй, отриманих страховою компанiєю за промi-
жок часу (0,t] та незалежна вiд N1(t) послiдовнiсть {ci}∞i=1 незалежних однаково
розподiлених випадкових величин з функцiєю розподiлу (G(v), G(0) = 0), що описує
розмiри страхових премiй. Сумарнi виплати по позовам на момент часу t склада-
тимуть R(t) =
N(t)∑
i=1
yi, де N(t) – пуассонiв розподiл з iнтенсивнiстю λ (EN(t) =
λt,N(0) = 0), N(t) iнтерпретується як число позовiв, поданих до страхової компанiї
за промiжок часу (0,t] та незалежна вiд N(t) послiдовнiсть {yi}∞i=1 незалежних од-
наково розподiлених випадкових величин з функцiєю розподiлу (F (v), F (0) = 0), що
описує розмiри виплат страхової компанiї клiєнтам.
Також будемо вважати, що на фiнансовому ринку iснує один безризиковий ак-
тив (банкiвський рахунок) B. Вiдсотки на банкiвський рахунок нараховуються з
постiйною ставкою r(t) ≡ r = const,так що цiна безризикового активу еволюцiонує
55
Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова
вiдповiдно до рiзницевого рiвняння:
∆Bn = rBn−1, B0 > 0, (1)
де B0 – сума, що лежить на банкiвському рахунку в початковий момент часу. Тодi
страхова компанiя, маючи в нульовий момент часу капiтал x, розмiщуючи його на
банкiвському депозитi, на момент часу t буде мати капiтал:
X(t) = x(1 + rt) +
N1(t)∑
i=1
ci −
N(t)∑
i=1
yi. (2)
Задача полягає в знаходженнi ймовiрностi небанкрутства страхової компанiї ка-
пiтал якої описується рiвнянням (2), якщо розмiри страхових премiй мають експо-
ненцiальний розподiл з параметром a, а розмiри позовiв експоненцiальний розподiл
з параметром b.
2. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай ϕ(x) – ймовiрнiсть небанкрутства за промiжок часу (0,t],
тобто
ϕ(x) = P {X(t) > 0, t ∈ R+} ,
тодi ймовiрнiсть небанкрутства страхової компанiї, динамiка капiталу якої опи-
сується рiвнянням (2), може бути знайдена з рiвняння:
(λ1 + λ)ϕ(x) = xrϕ′(x) + λ
x∫
0
ϕ(x− u)dF (u) + λ1
∞∫
0
ϕ(x + v)dG(v), (3)
причому прагнення страхової компанiї до збiльшення свого капiталу накладає умо-
ви позитивностi прибутку, а саме E(r + Π(t)) > ER(t), чи r + λ1Eci > λEyi.
Доведення. Справедливiсть iнтегро-диференцiйного рiвняння (3) випливає з
формули повної ймовiрностi. Протягом малого промiжку часу ∆t можливi такi несу-
мiснi подiї:
вiдсутнiсть стрибкiв як у процесу N1(t), так i процесу N(t), з iмовiрнiстю (1 −
λ∆t)(1− λ1∆t) + õ(∆t);
один стрибок процесу N(t) та вiдсутнiсть стрибкiв N1(t), з iмовiрнiстю λ∆t(1−
λ1∆t) + õ(∆t);
один стрибок процесу N1(t) та вiдсутнiсть стрибкiв N(t), з iмовiрнiстю λ1∆t(1−
λ∆t) + õ(∆t);
одночаснi стрибки N(t), N1(t) чи бiльш нiж один стрибок будь-якого з процесiв,
з iмовiрнiстю õ(∆t).
56
Модель Крамера-Лундеберга
Тодi можемо записати:
ϕ(x) = (1− λ∆t)(1− λ1∆t)ϕ(x + xr∆t)+
+λ∆t(1− λ1∆t)
x+xr∆t∫
0
ϕ(x + xr∆t− u)dF (u)+
+λ1∆t(1− λ∆t)
∞∫
0
ϕ(x + xr∆t + v)dG(v) + õ(∆t).
(4)
Розклавши в ряд ϕ(x + xr∆t) по формулi Тейлора, матимемо:
ϕ(x + xr∆t) = ϕ(x) + ϕ′(x)xr∆t + õ(∆t). (5)
Пiдставивши (5) в (4) та проробивши елементарнi математичнi перетворення, мати-
мемо:
ϕ(x) = (1− λ∆t)(1− λ1∆t)ϕ(x) + ϕ′(x)(1− λ∆t)(1− λ1∆t)xr∆t+
+λ∆t(1− λ1∆t)
x+xr∆t∫
0
ϕ(x + xr∆t− u)dF (u)+
+λ1∆t(1− λ∆t)
∞∫
0
ϕ(x + xr∆t + v)dG(v) + õ(∆t).
(6)
Подiливши (6) на ∆t та перейшовши до границi при ∆t → 0, остаточно матимемо
твердження теореми.
Теорема 1 доведена. ¤
Теорема 2. Якщо F (u) = 1 − e−au, G(v) = 1 − e−bv, (a, b > 0), тодi ймовiр-
нiсть банкрутства страхової компанiї, що розмiщує свiй капiтал на банкiвському
депозитi, цiна якого еволюцiонує вiдповiдно до рiзницевого рiвняння (1), дорiвню-
ватиме:
ϕ(x) = C1
x∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, t(a + b)
)
dt+
+C2
x∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, t(a + b)
)
dt + C3,
де M(m, k, x), W (m, k, x) – функцiї Уiтекера, а за умови, що | r−(λ1+λ)
r | – не цiле,
C1 =
γ1
γ1m1 + m2 + γ2
, C2 =
1
γ1m1 + m2 + γ2
, C3 =
γ2
γ1m1 + m2 + γ2
,
57
Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова
де γ1 =
(
(λ+λ1−r)Γ(2(λ+λ1)/r−2)
(a+b)Γ(2(a−b)/(a+b)+(λ1+r)/r) − λ1m3
)
/λ1m4,
γ2 = (λ+λ1−r)Γ(2(λ+λ1)/r−2)
λ(a+b)Γ(2(a−b)/(a+b)+(λ1+r)/r) ,
m1 =
∞∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt,
m2 =
∞∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt,
m3 =
∞∫
0
v∫
0
(t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt)be−bvdv,
m4 =
∞∫
0
v∫
0
(t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt)be−bvdv,
тут умова позитивностi прибутку матиме вигляд r + λ1/b > λ/a.
Доведення. Оскiльки розмiри страхових премiй мають експонентний розподiл
з параметром a, тобто щiльнiсть розподiлу величин страхових премiй до компанiї
буде такою:
fC(u) =
{
ae−au, u > 0
0, u 6 0,
а розмiри позовiв експоненцiальний розподiл з параметром b, тобто
gy(v) =
{
be−bv, v > 0
0, v 6 0,
тодi, зважаючи на це та (3), ймовiрнiсть небанкрутства будемо знаходити з рiвняння:
(λ1 + λ)ϕ(x) = xrϕ′(x) + λ
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu + λ1
∞∫
0
ϕ(x + v)be−bvdv. (7)
Замiни змiнних u1 = x− u, v1 = x + v приводять до рiвняння:
(λ1 + λ)ϕ(x) = xrϕ′(x) + λ
x∫
0
ϕ(u1)ae−a(x−u1)du1 + λ1
∞∫
x
ϕ(v1)be−b(v1−x)dv1,
звiдки випливає диференцiйованiсть ϕ(x). Вiдзначимо рiвностi
(
λ
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu
)′
x
= λaϕ(x)− λa
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu,
(
λ1
∞∫
0
ϕ(x + v)be−bvdv
)′
x
= −λ1bϕ(x) + λ1b
∞∫
0
ϕ(x + v)be−bvdv.
Отже, диференцiюючи (7), матимемо:
(λ1 + λ)ϕ′(x) = xrϕ′′(x) + rϕ′(x) + λaϕ(x)−
−λa
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu− λ1bϕ(x) + λ1b
∞∫
0
ϕ(x + v)be−bvdv.
(8)
58
Модель Крамера-Лундеберга
Пiдставивши тут значення λ1b
∞∫
0
ϕ(x + v)be−bvdv з (7) та проробивши елементарнi
математичнi перетворення, матимемо:
(λ1 + λ)[ϕ′(x)− bϕ(x)] = xr[ϕ′′(x)− bϕ′(x)] + rϕ′(x)+
+(λa− λ1b)ϕ(x)− λ(a + b)
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu.
(9)
Знову диференцiюючи (9), матимемо:
(λ1 + λ)[ϕ′′(x)− bϕ′(x)] = xr[ϕ′′′(x)− bϕ′′(x)]+
+r[ϕ′′(x)− bϕ′(x)] + rϕ′′(x) + (λa− λ1b)ϕ′(x)−
−λa(a + b)ϕ(x) + λa(a + b)
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu.
(10)
Пiдставивши тут значення λa(a + b)
x∫
0
ϕ(x− u)ae−audu з (9) та знову проробивши
елементарнi математичнi перетворення, матимемо:
xrϕ′′′(x) + [xr(a− b)− (λ + λ1) + 2r]ϕ′′(x)−
−[xrab + (λ1a− λb) + r(a− b)]ϕ′(x) = 0.
(11)
Чи, подiливши (11) на r, остаточно отримаємо:
xϕ′′′(x) + [x(a− b) + 2− λ + λ1
r
]ϕ′′(x)−
+[−xab + (λb− λ1a) + r(b− a)]ϕ′(x) = 0.
(12)
Зробивши тут замiну ϕ′(x) = y(x), (12) можна переписати у видi:
xy′′(x) + [x(a− b) + 2− λ + λ1
r
]y′(x)−
+[−xab + (λb− λ1a) + r(b− a)]y(x) = 0.
(13)
Тут слiд зауважити, що з [4, с.431] рiвняння виду
xy′′(x) + (ax + b)y′(x) + (cx + d)y(x) = 0
за умови що a2 > 4c, має розв’язок:
y(x) = C1x
−b/2e−ax/2M
(
2d− ab
2
√
a2 − 4c
,
1
2
(b− 1), x
√
a2 − 4c
)
+
+C2x
−b/2e−ax/2W
(
2d− ab
2
√
a2 − 4c
,
1
2
(b− 1), x
√
a2 − 4c
)
,
59
Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова
де M(m, k, x) – функцiя, що введена Уiттекером, яка задовiльняє функцiональному
рiвнянню:
M(k,m, x) = (−1)−1/2−mM(−k, m,−x),
а W (m, k, x) – функцiї Уiтекера, такi що
W (m, k, x) = − 1
2πi
Γ(µ)xke−x/2
∫
(−t)µ(1 + t/x)2m+µ−1e−tdt.
Отже, враховуючи це, а також те, що умова a2 > 4c виконується, а саме в нашому
випадку (a + b)2 > 0 матимемо, що розв’язок (13):
y(x) = C1x
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)x/2M
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, x(a + b)
)
+
+C2x
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)x/2W
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, x(a + b)
)
.
(14)
I тепер враховуючи зроблену ранiше замiну, розв’язок (12) прийме вигляд:
ϕ(x) = C3+
+C1
x∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, t(a + b)
)
dt+
+C2
x∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, t(a + b)
)
dt.
(15)
Знайдемо невiдомi константи C1, C2, C3, використовуючи при цьому спiввiдношення:
ϕ(∞) = 1,
(λ + λ1)ϕ(0) = λ1
∞∫
0
ϕ(v)be−bvdv, (16)
(λ + λ1 − r)ϕ′(0) = λ(a + b)ϕ(0).
Для визначення невiдомих констант спочатку скористуємось тим, що за умови, якщо
|2k| = | r−(λ+λ1)
r | – не є цiле, тодi функцiї M(m, k, x), W (m, k, x) пов’язанi спiввiдно-
шенням [5]:
W (m, k, x) =
Γ(−2k)
Γ(1/2− k −m)
M(m, k, x) +
Γ(2k)
Γ(1/2 + k −m)
M(m,−k, x),
де M(m, k, x) = x1/2+ke−x/2Φ(k−m + 1/2, 2k + 1, x), а Φ(a, c, z) – функцiя Куммера,
така що
Φ(a, c, z) = 1 +
∞∑
n=1
a(a + 1)...(a + n− 1)zn
c(c + 1)...(c + n− 1)n!
.
60
Модель Крамера-Лундеберга
Отже, враховуючи це, (14) можна переписати у виглядi:
y(x) = C1x
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)x/2M
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, x(a + b)
)
+
+C2x
λ+λ1
r
−2e−(a−b)xδΦ
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,
1
2
− λ1 + λ
2r
, x(a + b)
)
+
+C2e
−(a−b)xδΦ
(
2(b− a)
a + b
+
λ− λ1
2r
,−1
2
+
λ1 + λ
2r
, x(a + b)
)
.
(17)
де δ =
Γ
(
2
(
(λ1+λ)
r
−1
))
Γ
(
2(a−b)
a+b
+
λ1+r
r
) .
Отже, зважаючи на (17), а також те, що можна виписати:
ϕ′(0) = C2Γ
(
2(λ1 + λ)
r
− 2
)
/Γ
(
2(a− b)
a + b
+
λ1 + r
r
)
.
Отже (16) можна переписати у виглядi:
C1m1 + C2m2 + C3 = 1,
C1λ1m3 + C2λ1m4 − λC3 = 0,
C3 =
(λ + λ1 − r)Γ(2(λ + λ1)/r − 2)C2
λ(a + b)Γ(2(a− b)/(a + b) + (λ1 + r)/r)
,
(18)
де, тут i далi
m1 =
∞∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt,
m2 =
∞∫
0
t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt,
m3 =
∞∫
0
v∫
0
(t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2W
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt)be−bvdv,
m4 =
∞∫
0
v∫
0
(t
λ+λ1
2r
−1e−(a−b)t/2M
(
2(b−a)
a+b + λ−λ1
2r , 1
2 − λ1+λ
2r , t(a + b)
)
dt)be−bvdv.
Розвязуючи (18), матимемо, що
C1 =
γ1
γ1m1 + m2 + γ2
, C2 =
1
γ1m1 + m2 + γ2
, C3 =
γ2
γ1m1 + m2 + γ2
, (19)
де γ1 =
(
(λ + λ1 − r)Γ(2(λ + λ1)/r − 2)
(a + b)Γ(2(a− b)/(a + b) + (λ1 + r)/r)
− λ1m3
)
/λ1m4,
γ2 =
(λ + λ1 − r)Γ(2(λ + λ1)/r − 2)
λ(a + b)Γ(2(a− b)/(a + b) + (λ1 + r)/r)
.
Отже, розвязком (12) буде (15), де константи мають вигляд (19).
Теорема 2 доведена. ¤
Приклад. У випадку коли a = 5, b = 4, λ1 = 0, 8, λ = 0, 5 та r = 0, 2, при початко-
вому капiталi x = 1000, ймовiрнiсть небанкрутства страхової компанiї, що визначається
рiвнянням (15), дорiвнюватиме 0, 9867.
61
Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова
Висновок. На основi класичної моделi Крамера-Лундеберга було розглянуто стоха-
стичний процес премiй, незалежний вiд процесу ризику, за умови розмiщення капiталу на
банкiвському депозитi. Для ймовiрностi небанкрутства було отримано iнтегральне рiвняння
та експоненцiальнi оцiнки.
1. Бойков А.В. Модель Крамера-Лундберга со стохастическими премиями // Теория вероятно-
стей и ее применения. – 2002. – Т.47, В.3. – С.549-553.
2. Жилина Л.С. Оценка вероятности разорения страховой компании для некоторой модели стра-
хования // Прикладна статистика, актуарна та фiнансова математика. – 2000. – №1. – С.67-78.
3. Мельников А.В. Риск-менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике финансов и
страхования. – М.: Анкил, 2001, 112с.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Изд-во "Нау-
ка", главная редакция физ.-мат. литературы, 1972, 577с.
5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. – М.: Изд-во
"Наука", главная редакция физ.-мат. литературы, 1977, 344с.
Донецький нацiональний ун-т
bvbondarev.@cable.netlux.org
zhmykhovatanya@mail.ru
Получено 15.11.07
62
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19982 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:48:52Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондарєв, Б.В. Жмихова, Т.В. 2011-05-19T18:44:08Z 2011-05-19T18:44:08Z 2008 Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті / Б.В. Бондарєв, Т.В. Жмихова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 55-62. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19982 519.21 uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті Article published earlier |
| spellingShingle | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті Бондарєв, Б.В. Жмихова, Т.В. |
| title | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| title_full | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| title_fullStr | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| title_full_unstemmed | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| title_short | Модель Крамера-Лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| title_sort | модель крамера-лундеберга зі стохастичними преміями за умови розміщення капіталу на банківському депозиті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19982 |
| work_keys_str_mv | AT bondarêvbv modelʹkrameralundebergazístohastičnimipremíâmizaumovirozmíŝennâkapítalunabankívsʹkomudepozití AT žmihovatv modelʹkrameralundebergazístohastičnimipremíâmizaumovirozmíŝennâkapítalunabankívsʹkomudepozití |