Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19985 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 80-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859670907999485952 |
|---|---|
| author | Зарайский, Д.А. |
| author_facet | Зарайский, Д.А. |
| citation_txt | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 80-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-11-30T13:49:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.5
c©2008. Д.А. Зарайский
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ
ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ ЛИНЕЙНЫМИ КОМБИНАЦИЯМИ
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Рассматриваются вопросы об аппроксимации решений уравнения свёртки вида f ∗T = 0, T – ради-
ально, специальными линейными комбинациями решений уравнения (L + µ)ηu = 0, L – оператор
Лапласа, µ ∈ C, η ∈ N, таких, что u ∗ T = 0, на двухточечно-однородных пространствах.
1. Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство с евклидовой
нормой | · |, (ρ, σ) – полярные координаты в Rn \ {0}, ρ(x) = |x|, σ(x) = x/|x|.
BR(x) – шар радиуса R с центром в x, BR = BR(0), BR1,R2 – шаровой слой
{x ∈ Rn : R1 < |x| < R2}. Обозначим D′ (U) – пространство распределений на
открытом множестве U ⊂ Rn, снабжённое ∗-слабой топологией. При f ∈ D′(R)
пусть τaf = f(· − a), a ∈ Rn, f ∗ g – свёртка f и g. ∆ – оператор Лапласа в Rn.
Как обычно, Hk(Sn−1) – пространство однородных гармонических полиномов в Rn
степени k (см., например, [1]), рассматриваемое как подпространство L2(Sn−1, dω),
{Y (k)
l (σ)}dk
l=1 – некоторый ортонормированный базис в Hk. Пусть E ′\(BR) – простран-
ство радиальных (т.е. инвариантных относительно вращений) распределений с ком-
пактными носителями, C∞
\ (BR) = (D′\∩C∞)(BR). Сферическое преобразование рас-
пределения T ∈ E ′\(BR) определяется равенством T̃ (z) = T̂ (ze) =
〈
T, e−iz(·,e)
〉
, T̂ –
преобразование Фурье T . Для T ∈ E ′\(BR), пусть r(T ) – радиус наименьшего шара,
содержащего suppT , положим D′T (U) = {f ∈ D′(U) : f ∗ T = 0 на Ur(T )}, C∞
T (U) =
= {f ∈ C∞(U) : f ∗T = 0 на Ur(T )}, где Ur = {x ∈ X : Br(x) ⊂ U}, (Ur открыто, если
U открыто); очевидно, область определения f ∗T содержит Ur(T ), но не обязательно
совпадает с ним (см. [2, § 4.2]).
Следуя [1, §1.5.3], для η ∈ Z+ обозначим при z 6= 0
Φz,η,k,j(x) =
(
∂
∂z
)η (
Jn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
)
Y
(k)
j (σ),
Ψz,η,k,j(x) =
(
∂
∂z
)η (
Nn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
)
Y
(k)
j (σ),
где Jλ, Nλ – функции Бесселя первого и второго рода, [3], и
Φ0,η,k,j(x) = ρk+2ηY
(k)
j (σ),
Ψ0,η,k,j(x) =
ρ2η−n−k+2Y
(k)
j (σ), если n нечётно или 2η < 2k + n− 2,
ρ2η−n−k+2 log ρY
(k)
j (σ), в противном случае.
80
Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам
Пусть N(Rn) – класс распределений T ∈ E ′\(Rn) таких, что для λ ∈ Z(T̃ ) выпол-
нены неравенства
| Imλ| ≤ γ1 log(2 + |λ|), |T̃ (n(λ,T ))(λ)| ≥ (2 + |λ|)n(λ,T )−γ2 (1)
с положительными константами γ1, γ2, не зависящими от λ, где n(λ, T ) – кратность
нуля λ функции T̃ , если λ 6= 0, либо её половина, если λ = 0, Z(u) – множество
нулей функции u, лежащих в верхней полуплоскости {z ∈ C : Im z > 0} или на луче
[0, +∞). Класс N(Rn) содержится в классе обратимых распределений, то есть любое
распределение T ∈ N(Rn) имеет фундаментальное решение E, E ∗ T = δ0, δ0 –
дельта-функция Дирака. Класс N(Rn) достаточно широк [1, §3.2], он содержит, в
частности, индикатор шара χBr . Положим V ∞
r (U) = C∞
T (U) для T = χBr ; V ∞
r (U)
будет тогда множеством функций из C∞(U) с нулевыми интегралами по замкнутым
шарам радиуса r, лежащих в U .
Если T ∈ N(Rn), 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞, R2 − R1 > r(T ), f ∈ C∞(BR1,R2), и f(x) ∼
∼
∑∞
k=0
∑dk
l=1 fk,l(ρ)Y (k)
l (σ) – ряд Фурье по сферическим гармоникам функции f , то,
[1, Th. 3.2.6, Th. 3.2.7], f ∈ C∞
T (BR1,R2) тогда и только тогда, когда
fk,l(ρ)Y (k)
l (σ) =
∑
λ∈Z(T̃ )
n(λ,T )−1∑
η=0
(αλ,η,k,lΦλ,η,k,j + βλ,η,k,lΨλ,η,k,j) , (2)
и аналогичное утверждение имеет место для функций на BR, где в разложении (2)
присутствуют только члены с Φλ,η,k,j . Таким образом, для семейств
ΦT = {Φz,η,k,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,k∈Z+,1≤j≤d(k)
,
ΨT = {Ψz,η,k,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,k∈Z+,1≤j≤d(k)
,
имеем:
ΦT ⊂ C∞
T (Rn), spanC∞(BR) ΦT = C∞
T (BR), ∀R > 0, (3)
ΨT ⊂ C∞
T (Rn \ {o}), spanC∞(Bε,∞) ΦT ∪ΨT = C∞
T (Bε,∞), ∀ε > 0. (4)
Если U – выпукло, то из аппроксимационной теоремы Хёрмандера–Мальгранжа,
[2, Th. 16.4.1], следует, что spanC∞(U) Φ = C∞
T (U), см. [1].
В связи с этим в [1] для случая, когда T = χBr – индикатор шара, поставлены
следующие вопросы (Problems 4.6-4.8):
1. Для каких областей U ⊂ Rn множество линейных комбинаций функций
Φ1,0,k,l(νmx/r), k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk,m ∈ N, (5)
νm, m ∈ N, – положительные корни Jn/2, плотно в V ∞
r (U) в C∞-топологии?
2. Пусть r > 0, R2 − 2r > R1 > 0, ν ∈ Z+(Jn/2), верно ли тогда, что функ-
ция N(n−2)/2(ν|x|/r) является пределом в C∞(BR1,R2) последовательности линейных
комбинаций функций (5)?
81
Д.А. Зарайский
3. Для каких областей U ⊂ Rn множество линейных комбинаций функций
c1Φ1,0,k,l(νmx/r) + c2Ψ1,0,k,l(νm(x− h)/r),
k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk,m ∈ N, c1, c2 ∈ C, h ∈ Rn \ U, (6)
плотно в V ∞
r (U) в C∞-топологии?
По теореме 1 настоящей работы линейные комбинации функций (6) плотны в
V ∞
r (U) для произвольной области U . Если дополнение U связно, то также и линей-
ные комбинации функций вида (5) плотны в V ∞
r (U). Теорема 2 даёт отрицатель-
ный ответ на второй вопрос и пример областей, для которых линейные комбинации
функций (5) не плотны в V ∞
r (U).
2. Случай евклидова пространства. Для a ∈ Rn положим ΨT,a = τaΨT =
= {f(· − a) : f ∈ Ψ}. Имеет место следующий результат:
Теорема 1. Пусть T ∈ N(Rn) (и, значит, T обратимо), U ⊂ X открыто, A ⊂
Rn – множество такое, что A∩U = ∅, и A пересекается с каждой ограниченной
компонентой связности множества X \ U . Тогда
spanC∞(U) ΦT ∪
⋃
a∈A
ΨT,a = C∞
T (U),
то есть линейные комбинации функций Ψλ,η,k,j(· − a) и Φλ,η,k,j(·), λ ∈ Z(T̃ ), 0 ≤
η ≤ n(λ, T )− 1, k ∈ Z+, 1 ≤ j ≤ dk, a ∈ A, плотны в множестве C∞
T (U).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4 ниже.
Заметим, что теорема 1 остаётся в силе для любого обратимого распределения
T ∈ E ′\(Rn) и семейств ΦT , ΨT удовлетворяющих (3), (4).
Обратно, если U содержит множество «толщины» 2r, охватывающее некоторое
S и U ∪S открыто, а T – обратимо, то функции, которые можно аппроксимировать
элементами D′T (U ∪ S) на U лежат в D′T (U ∪ S) (утверждение (i) теоремы 2).
Теорема 2. Пусть T ∈ E ′\(Rn), r = r(T ), U ⊂ X – открыто, V – объединение U
и некоторого семейства ограниченных компонент связности множества Rn \ Ur
(очевидно, V открыто). Тогда:
(i) Если T обратимо и f ∈ D′(U) аппроксимируется в ∗-слабой топологии D′(U)
распределениями из D′T (V ), то и само f продолжается до распределения из D′T (V ),
причём единственным образом.
(ii) Если λ ∈ Z(T̃ ), Ψλ – решение уравнения (∆+λ2)n(λ,T )f = 0 на U , не продол-
жающееся до его решения на V , то Ψλ не лежит в замкнутой линейной оболочке в
D′(U) ограничений на U функций из D′T (V ) и решений уравнений (∆+µ2)n(µ,T )f = 0
на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
Теорема 3. Система {Φλ,η,k,j ,Ψλ,η,k,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,k∈Z+,1≤j≤d(k)
тополо-
гически линейно независима в D′(BR1,R2), 0 ≤ R1 < R2 − 2r, то есть каждая
функция системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных.
3. Случай некомпактного симметрического пространства ранга один.
В этом параграфе X = G/K – симметрическое пространства некомпактного типа
82
Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам
ранга один, o = eK ∈ X – отмеченная точка, инвариантная относительно действия
группы K. Пусть G = KAN – разложение Ивасавы, M – централизатор A в K, K̂M
– множество представлений δ группы K таких, что существует инвариантный отно-
сительно группы M ⊂ K ненулевой вектор. Множество a∗C комплексных линейных
функционалов на алгебре Ли a группы A стандартным образом отождествляется с
C.
Обозначим E ′\(X) – пространство инвариантных относительно K распределений
на X с компактными носителями. Аналогично евклидову случаю, при T ∈ E ′\(X)
обозначим через T̃ (λ) – сферическое преобразование распределения T , λ ∈ a∗C, [4,
Гл. IV], n(λ, T ) – кратность нуля λ функции T̃ (делённую на 2, если λ = 0), N(X)
– множество распределений T ∈ E ′\(X), для которых выполнено (1). Пусть f × T
свёртка распределений T ∈ E ′\(X) и f ∈ D′(X). Для открытого множества U ⊂ X
обозначим C∞
T (U) – множество решений f ∈ C∞(U) уравнения f × T = 0 на Ur(T ),
где r(T ) и Ur определяются так же, как и в евклидовом случае. Распределение
T ∈ E ′\(X) обратимо, если оно обладает фундаментальным решением E ∈ D′(X),
E × T = δo. BR(x) – шар радиуса R с центром в x, BR = BR(o), BR1,R2(x) = {y ∈
X : R1 < dist(y, x) < R2}, BR1,R2 = BR1,R2(o).
При λ ∈ C, η ∈ Z+, δ ∈ K̂M , j = 1, . . . , d(δ) можно определить функции Φλ,η,δ,j ∈
C∞(X), Ψλ,η,δ,j ∈ C∞(X \ {o}), такие, что для семейств
ΦT = {Φλ,η,δ,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,δ∈K̂m,1≤j≤d(δ)
,
ΨT = {Ψλ,η,δ,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,δ∈K̂m,1≤j≤d(δ)
,
выполнены аналоги соотношений (3), (4), см. [5, Part 2].
Для a ∈ G положим τaf = f(a−1 ·), ΨT,a = τaΨT = {f(a−1 ·) : f ∈ ΨT }.
Теорема 4. Пусть T ∈ N(X), U ⊂ X открыто, A ⊂ G – множество такое,
что A·o∩U = ∅, A·o пересекается с каждой ограниченной компонентой связности
множества X \ U .
Тогда
spanC∞(U) ΦT ∪
⋃
a∈A
ΨT,a = C∞
T (U).
Доказательство. Положим r = r(T ) и зафиксируем E ∈ D′\(X), E × T = δo.
Возьмём произвольное w ∈ E ′(U) ⊂ E ′(X), ортогональное Φ и Ψa, a ∈ A. Поло-
жим v = w × E, тогда w = v × T . Зафиксируем R, ε > 0,
0 < ε < dist(suppw, X \ U), (7)
suppw ⊂ BR, R > 0. (8)
Покажем тогда, что:
(а) v = 0 на Br+ε/2(a · o), ∀a ∈ A;
(б) v = 0 на BR,∞;
(в) если v = 0 на Br+ε/2(s), s ∈ X \ U , то v = 0 на Br+ε(s).
83
Д.А. Зарайский
(а) Пусть ψ ∈ C∞
\ (X) – произвольная функция, такая что
suppψ ⊂ Bε/2. (9)
Для произвольного x ∈ Br+ε/2(a · o) = a ·Br+ε/2 имеем:
x = ag · o, для некоторого g ∈ G, g · o ∈ Br+ε/2, (10)
(v × ψ)(x) = (w × E × ψ)(ag · o) = 〈w, τagE × ψ〉 = 〈w, τaτgE × ψ〉 . (11)
Но (τgE ×ψ)× T = τgE ×ψ× T = τgE × T ×ψ = τgψ. В силу (9),(10), supp τgψ = g ·
suppψ ⊂ g ·Bε/2 = Bε/2(g ·o) ⊂ Br+ε. Значит, τgE×ψ ∈ C∞
T (Bε,∞) = spanC∞(Bε,∞) Φ∪
Ψ, и τaτgE × ψ ∈ spanC∞(Bε,∞(a·o)) Φa ∪ Ψa = spanC∞(Bε,∞(a·o)) Φ ∪ Ψa. Поскольку
a ·o ∈ X \U , то из (7) следует, что w ∈ E ′(Bε,∞(a · o)), и, так как w ортогонально Φ и
Ψa, по непрерывности имеем 〈w, τaτgE × ψ〉 = 0. В силу (10),(11), теперь v×ψ = 0 на
Br+ε/2(a·o). Устремляя ψ, удовлетворяющее (9), к δo, видим, что v = 0 на Br+ε/2(a·o).
(б) Пусть функция ψ ∈ C∞
\ (X), suppψ ⊂ Br, – произвольна. Для x = g · o ∈
∈ BR,∞ имеем: (v×ψ)(x) = 〈w, τgE × ψ〉. Но (τgE×ψ)×T = τgψ, supp τgψ ⊂ g ·Br =
= Br(x) ⊂ {y ∈ X : dist(y, o) > R − r}, значит τgE × ψ ∈ C∞
T (BR) = spanC∞(BR) Φ.
Согласно (8), w ∈ E ′(BR), и, значит, как и в предыдущем рассуждении, v×ψ = 0 на
BR,∞. Поэтому и v = 0 на BR,∞, в силу произвольности ψ.
(в) Из (7) получаем, что v×T = w = 0 на Bε(s). Значит v ∈ D′T (Br+ε(s)), и, если
v = 0 на Br+ε/2(s), то, по теореме единственности, [5, Part 2], v = 0 на Br+ε(s).
Рассмотрим теперь множество {s ∈ X \ U : v = 0 на Br+ε(s)}. Вместе с каждым
s0 ∈ X \U оно содержит все s ∈ X \U , dist(s0, s) < ε/2, по свойству (в). Значит оно
открыто в X \ U , замкнуто, содержит A · o и BR+r+ε ∩ (X \ U). Таким образом, оно
содержит как все ограниченные, так и все неограниченные компоненты X\U , то есть
совпадает с X \ U . Итак, v = 0 на
⋃
s∈X\U
Br+ε(s), supp v ⊂ {x ∈ X : dist(x, X \ U) ≥
r + ε} ⊂ Ur. Так как supp v ⊂ Br (свойство (б)), то v ∈ E ′(Ur).
Теперь для любой f ∈ C∞
T (U) имеем: 〈w, f〉 = 〈v × T, f〉 = 〈v, f × T 〉 = 0, так как
f × T = 0 на Ur и supp v ⊂ Ur. По теореме Хана-Банаха, C∞
T (U) ⊂ spanC∞(U) Φ ∪⋃
a∈A
Ψa.
Обратное включение очевидно: Φ ⊂ C∞
T (X), Ψa ⊂ C∞
T (X \ {a · o}), значит
Φ|U ,Ψa|U ∈ C∞
T (U). ¤
Теорема 5. Пусть L – оператор Лапласа на X, ρ = ρX , см. [5, Part 2], T ∈
E ′\(X), r = r(T ), U ⊂ X – открыто, V – объединение U и некоторого семейства
ограниченных компонент связности X \ Ur. Тогда:
(i) Если T обратимо и f ∈ D′(U) аппроксимируется в ∗-слабой топологии D′(U)
распределениями из D′T (V ), то и само f продолжается до распределения из D′T (V ),
причём единственным образом.
(ii) Если λ ∈ Z(T̃ ), Ψλ – решение уравнения (L + ρ2 + λ2)n(λ,T )f = 0 на U , не
продолжающееся до его решения на V , то Ψλ не лежит в замкнутой линейной
оболочке в D′(U) ограничений на U функций из D′T (V ) и решений уравнений (L +
ρ2 + µ2)n(µ,T )f = 0 на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
84
Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам
Теорема 6. Система {Φλ,η,δ,j ,Ψλ,η,δ,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,δ∈K̂m,1≤j≤d(δ)
тополо-
гически линейно независима в D′(BR1,R2), 0 ≤ R1 < R2 − 2r, то есть каждая
функция системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных.
4. Случай компактного симметрического пространства ранга один.Ана-
логичные результаты имеют место для симметрического пространства X = G/K
компактного типа ранга один. В этом случае мы при определении обратимости рас-
пределения T дополнительно предполагаем, что фундаментальное решение E опре-
делено на всём X, то есть |T̃ (ρX + 2l)| ≥ C(l + 1)−γ для некоторых C, γ > 0, не
зависящих от l ∈ Z+, где ρX = n − 1, если X = Sn, ρX = (n − 1)/2, если X = Pn
R,
ρX = n, если X = Pn
C, ρX = 2n + 1, если X = Pn
H, и ρX = 11, если X = P2
Ca.
Будем считать, что диаметр X равен π/2. Ant o = {p ∈ X : distX(p, o) = π/2} –
антиподальное многообразие. Следуя [5, Part 3], обозначим X = X \Ant o, и отожде-
ствим X с RaX со специальным образом заданной римановой метрикой, явный вид
метрики – см. в [5]. При этом отождествлении o соответствует начало координат,
distX(x, o) = arctg |x|, x ∈ X. Для x ∈ X обозначим %(x) = |x| = tg distX(x, o), σ(x) =
x/|x|; BR1,R2 = {x ∈ X : R1 < distX(x, o) < R2}. Пространство сферических гар-
моник степени k ∈ Z+ на единичной сфере в RaX распадается в сумму пространств
Hk,m, m = 0, . . . , MX(k), см. [5], обозначим {Y k,m
j (σ)}dk,m
X
j=1 – ортонормированный ба-
зис в Hk,m. Далее, E ′\(X) – пространство инвариантных относительно K распреде-
лений на X с носителями, содержащимися в X, T̃ – сферическое преобразование
T ∈ E ′\(X), [5]. Тогда можно определить функции Φλ,η,k,m,j = Φλ,η,k,m(%)Y k,m
j (σ),
Ψλ,η,k,m,j = Ψλ,η,k,m(%)Y k,m
j (σ), 1 ≤ j ≤ dk,m
X , см. [5]. Семейства ΦT и ΨT опре-
деляются аналогично некомпактному случаю. Более подробно используемые здесь
обозначения см. [5, Part 3].
Пусть k ∈ Z+, 0 ≤ m ≤ MX(k), 1 ≤ j ≤ dk,m
X фиксированы. Для z ∈ C, следуя [5],
положим A = (ρX + z)/2 + k − m, B = (ρX − z)/2 + k − m, C = k + αX + 1, где
αX = aX/2− 1.
Определим при X 6= Pn
R функцию
Ξλ,η,k,m(%) =
(
d
dz
)κ (
%k(1 + %2)m+1−N (k+1)F
(
A,B, A + B + 1− C,
1
1 + %2
))
,
где κ = η при λ 6= 0 и κ = 2η при λ = 0, а F – гипергеометрическая функция Гаусса,
[3]. Пусть
Ξλ,η,k,m,j(x) = Ξλ,η,k,m(%(x))Y k,m
j (σ(x)).
Тогда можно показать, что Ξλ,η,k,m,j продолжается по непрерывности на Ant o и
является гладкой функцией на X \ {o}. Кроме того,
(L + λ2 − ρ2
X)η+1Ξλ,η,k,m,j = 0, (12)
где L – оператор Лапласа на X. Аналогичные функции Ξλ,η,k,m,j (несколько более
громоздким образом) можно определить и для X = Pn
R.
85
Д.А. Зарайский
Положим ΞT = {Ξλ,η,k,m,j} ⊂ C∞(X \ {o}), где λ ∈ Z(T̃ ), 0 ≤ η ≤ n(λ, T ) − 1,
k ∈ Z+, 0 ≤ m ≤ MX(k), 1 ≤ j ≤ dk,m
X , n(λ, T ) определяется также, как и для X
некомпактного типа; и ΞT,a = {f(a−1·) : f ∈ ΞT }, где a ∈ G. Следующие результаты
являются аналогами теорем 1-6 для компактного случая.
Теорема 7. Пусть T ∈ E ′\(X) обратимо, U ⊂ X – открыто, A ⊂ G – множе-
ство такое, что A ·o∩U = ∅, A ·o пересекается с каждой компонентой связности
X \ U . Тогда
spanC∞(U)
⋃
a∈A
ΞT,a = C∞
T (U).
Следствие. Пусть T ∈ E ′\(X) обратимо, U ⊂ X – открыто, A ⊂ G – множе-
ство такое, что A · o ∩ U = ∅, Ant o ∪ A · o пересекается с каждой компонентой
связности X \ U . Тогда
spanC∞(U) ΦT ∪
⋃
a∈A
ΞT,a = C∞
T (U).
Заметим, что теорема 7 имеет место для любого обратимого T и семейства ΞT
такого, что
spanC∞(Bε,∞) ΞT = C∞
T (Bε,∞), ∀ε > 0,
а следствие из неё – для таких T и ΞT и произвольного семейства ΦT , для которого
spanC∞(X) ΦT = C∞
T (X).
Теорема 8. Пусть T ∈ E ′\(X), r = r(T ), U ⊂ X – открыто, V – объединение
U и некоторого семейства компонент связности множества X \ Ur (очевидно, V
открыто). Тогда:
(i) Если T обратимо и f ∈ D′(U) аппроксимируется в ∗-слабой топологии D′(U)
распределениями из D′T (V ), то и само f продолжается до распределения из D′T (V ),
причём единственным образом.
(ii) Если λ ∈ Z(T̃ ) \ (ρX + 2Z+), Ψλ – решение уравнения (L + λ2− ρ2
X)n(λ,T ) = 0
на U , не продолжающееся до его решения на V , то Ψλ не лежит в замкнутой ли-
нейной оболочке в D′(U) ограничений на U функций из D′T (V ) и решений уравнений
(L + µ2 − ρ2
X)n(µ,T )f = 0 на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
Теорема 9. Пусть 0 ≤ R1 < R2 − 2r, R2 ≤ π/2. Система
{Φλ,η,k,m,j , Ψλ,η,k,m,j}λ∈Z(T̃ ),0≤η≤n(λ,T )−1,k∈Z+,0≤m≤MX(k),1≤j≤dk,m
X
топологически линейно независима в D′(BR1,R2), то есть каждая функция систе-
мы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных.
1. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht, Boston, London: Kluwer
Academic Publishers, 2003. – 454p.
2. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.
Том 1. – М.: Мир, 1986. – 464с.; Том 2. – М.: Мир, 1986. – 456с.
86
Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. – М.: Наука, 1973. – 296с.;
Том 2. – М.: Наука, 1974. – 296с.
4. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 736с.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Uniqueness theorems and descriptions of solutions for convolution
equations on symmetric spaces and for the twisted convolution equation on Cn. – Донецк: Изда-
тельство Донецкого национального университета, 2005. – 82с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
zaraisky@skif.net
Получено 16.05.08
87
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19985 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T13:49:31Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зарайский, Д.А. 2011-05-19T18:49:42Z 2011-05-19T18:49:42Z 2008 Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 80-87. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19985 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца Article published earlier |
| spellingShingle | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца Зарайский, Д.А. |
| title | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца |
| title_full | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца |
| title_fullStr | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца |
| title_full_unstemmed | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца |
| title_short | Аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения Гельмгольца |
| title_sort | аппроксимация функций с нулевыми интегралами по шарам линейными комбинациями решений уравнения гельмгольца |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19985 |
| work_keys_str_mv | AT zaraiskiida approksimaciâfunkciisnulevymiintegralamipošaramlineinymikombinaciâmirešeniiuravneniâgelʹmgolʹca |