Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19988 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 103-111. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19988 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Коломойцев, Ю.С. 2011-05-19T18:54:09Z 2011-05-19T18:54:09Z 2008 Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 103-111. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19988 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| spellingShingle |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 Коломойцев, Ю.С. |
| title_short |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| title_full |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| title_fullStr |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| title_full_unstemmed |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| title_sort |
оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 |
| author |
Коломойцев, Ю.С. |
| author_facet |
Коломойцев, Ю.С. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19988 |
| citation_txt |
Оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами со спектральным пропуском в lp, 0 < p < 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 103-111. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kolomoicevûs ocenkinailučšegopribliženiâfunkciitrigonometričeskimipolinomamisospektralʹnympropuskomvlp0p1 |
| first_indexed |
2025-11-24T05:11:31Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:11:31Z |
| _version_ |
1850842388854996992 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.5
c©2008. Ю.С. Коломойцев
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ СО
СПЕКТРАЛЬНЫМ ПРОПУСКОМ В Lp, 0 < p < 1
Получены двусторонние оценки наилучшего приближения функций тригонометрическими поли-
номами со спектром в Z \ (−m, m) в метрике пространства Lp, 0 < p < 1.
Введение. Пусть T = (−π, π] – единичная окружность. Обозначим через Lp
множество всех 2π-периодических функций f таких, что
‖f‖p :=
( ∫
T
|f(x)|pdx
) 1
p
< ∞.
Пусть A – собственное подмножество множества Z. Тогда тригонометрическая
система {eikx}k∈A не полна в пространстве интегрируемых функций. Более того,
в работах С.Н. Бернштейна [1] и Л.В. Тайкова [2] было показано, что для любого
n ∈ N
inf
g⊥
‖ cosnt− g⊥(t)‖∞ =
π
4
,
inf
g⊥
‖ cosnt− g⊥(t)‖p = π‖ cos t‖−1
q , 1 ≤ p < ∞,
где 1
p + 1
q = 1, а нижняя грань берется по всем функциям g⊥ ∈ Lp, ортогональным
cosnt.
Совсем иначе дело обстоит в пространстве Lp, когда 0 < p < 1. А.А. Талаляном в
работе [3], по-видимому, впервые было показано, что для любого конечного множе-
ства B ⊂ Z система {eikx}Z\B будет полна в пространстве Lp, 0 < p < 1, более того,
существуют бесконечные множества целых чисел, обладающие этим свойством. Раз-
личные достаточные и необходимые условия полноты тригонометрической системы
с пропусками были получены в работах [4]–[8].
Пусть Tn – множество тригонометрических полиномов порядка не выше n. Утвер-
ждения следующей теоремы были получены В.И. Ивановым и В.А. Юдиным в ра-
боте [5].
Теорема A. Пусть 0 < p < 1, m,n ∈ N и m ≤ n. Справедливы следующие
соотношения:
(i)
inf
{cν}
∥∥∥∥ cosmt−
∑
|ν|≤n,ν 6=m
cνe
iνt
∥∥∥∥
p
³ (n−m + 1)1−
1
p ,
где ³ – двустороннее неравенство с положительными константами, зави-
сящими только от p;
103
Ю.С. Коломойцев
(ii) для любого тригонометрического полинома φm ∈ Tm
inf
{cν}
∥∥∥∥φm(t)−
∑
m<|ν|≤n
cνe
iνt
∥∥∥∥
p
³ n
1− 1
p ,
где ³ — двустороннее неравенство с положительными константами, не за-
висящими от n.
Цель настоящей работы – получить оценки скорости приближения функции по-
линомами, которые построены по системе {eikx}k∈Z\(−m,m).
Введем необходимые обозначения. Пусть f̂(k) := 1
2π
∫
T f(x)e−ikxdx, k ∈ Z – ко-
эффициенты Фурье интегрируемой функции f ; specf := {k ∈ Z : f̂(k) 6= 0} – спектр
функции f ; f̃k,n(t) := 1
4n+1
∑4n
j=0 f (xj,n + t) e−ik(xj,n+t), где xj,n := 2πj
4n+1 . Буквой C
будем обозначать положительные константы, зависящие от указанных параметров.
Константы C могут быть различными даже в одной строке.
Пусть 1 ≤ m < n. Введем класс тригонометрических полиномов
Tm,n := {T ∈ Tn : specT ⊂ [−n, n] \ (−m,m) }.
Величину наилучшего приближения функции f ∈ Lp полиномами со спектром во
множестве Z \ (−m,m) определим следующим образом:
E(m)
n (f)p := inf
T∈Tm,n
‖f − T‖p.
Положим также
En(f)p := inf
T∈Tn
‖f − T‖p.
Мы будем оценивать величину E
(m)
n (f)p для функций f из класса
Hα
1,p := { f ∈ L : sup
n≥1
nαEn−2(f)p ≤ 1},
где E−1(f)p := ‖f‖p.
1. Основные результаты.
Теорема 1. Пусть 0 < p < 1, m,n ∈ N и 2m < n. Тогда
(i) если α > 1
p , то
sup
f∈Hα
1,p
E(m)
n (f)p ³
(m
n
) 1
p
−1
;
(ii) если 1
p − 1 ≤ α ≤ 1
p , то
C1
(m
n
) 1
p
−1
≤ sup
f∈Hα
1,p
E(m)
n (f)p ≤ C2
(m
n
) 1
p
−1
{
ln(m + 1), при α = 1
p ;
m
1
p
−α
, при α ∈ [1p − 1, 1
p);
104
Оценки наилучшего приближения функций в Lp, 0 < p < 1
(iii) если 0 < α < 1
p − 1 и m < 2n1−p−αp, то
sup
f∈Hα
1,p
E(m)
n (f)p ³ 1
nα
,
где ³ – двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими
только от p и α, а C1 и C2 – положительные константы, зависящие от p и α.
2. Вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть f ∈ Lp, 0 < p < 1, m,n ∈ N и 2m < n. Тогда
E
(m)
2n (f)p ≤ C
{
En(f)p +
(m
n
) 1
p
−1
∥∥∥∥
∑
|k|<m
|f̃k,n|
∥∥∥∥
p
}
,
где C – константа, зависящая только от p.
Доказательство. Определим ядро типа Валле-Пуссена
Vn(x) :=
2n∑
k=−2n
g
(
k
n
)
eikx,
где функция g ∈ C∞(R), g(x) = 1 при |x| ≤ 1 и g(x) = 0 при |x| ≥ 2. Известно (см.,
например, [5]), что
C1n
1− 1
p ≤ ‖Vn‖p ≤ C2n
1− 1
p , (1)
где C1 и C2 – положительные константы, не зависящие от n.
Для k ∈ (−m,m) ∩ Z положим
Kk,n(x) := eikxV[n−k
m
](mx),
где [x] – целая часть числа x.
Очевидно, что
specKk,n ⊂ ((−2n, 2n) \ (−m,m)) ∪ {k}. (2)
Далее нам понадобится семейство линейных полиномиальных операторов
Wn(f ;x, t) :=
1
4n + 1
4n∑
j=0
f(xj,n + t)Vn(x− xj,n − t),
введенных К.В. Руновским (см., например, [9]). Известно (см. [9], [10, Гл. 4]), что
для любой функции f ∈ Lp, 0 < p < 1,
∫
T
‖f −Wn(f ; ·, t)‖p
pdt ≤ CEn(f)p
p, n ∈ N, (3)
где C – константа, зависящая только от p.
105
Ю.С. Коломойцев
Положим
Tn,m(f ;x, t) := Wn(f ; x, t)−
m−1∑
k=−m+1
g
(
k
n
)
f̃k,n(t)Kk,n(x).
Поскольку K̂k,n(k) = 1 при k ∈ (−m,m) ∩ Z, из (2) получим, что specTn,m ⊂
(−2n, 2n) \ (−m,m).
Далее, используя неравенства (3) и (1), находим
2πE
(m)
2n (f)p
p ≤
∫
T
‖f − Tn,m(f ; ·, t)‖p
pdt ≤
≤
∫
T
‖f −Wn(f ; ·, t)‖p
pdt +
∫
T
∥∥∥∥
∑
|k|<m
g
(
k
n
)
f̃k,n(t)Kk,n(·)
∥∥∥∥
p
p
dt ≤
≤ C
{
En(f)p
p +
∥∥V[n−m
m ]
∥∥p
p
∥∥∥∥
∑
|k|<m
|f̃k,n|
∥∥∥∥
p
p
}
≤
≤ C
{
En(f)p
p +
(m
n
)1−p
∥∥∥∥
∑
|k|<m
|f̃k,n|
∥∥∥∥
p
p
}
.
Лемма доказана. ¤
Следствие 1. Пусть f ∈ L, m,n ∈ N и 2m < n. Тогда
E
(m)
2n (f)p ≤ C
{
En(f)p + m
1
p n
1− 1
p En(f)1 +
(m
n
) 1
p
−1 ∑
|k|<m
|f̂(k)|
}
,
где C – константа, зависящая только от p.
Доказательство. Следствие 1 вытекает из леммы 1 и утверждения (i), приве-
денной ниже леммы 2. ¤
Лемма 2. Для каждого n ∈ N справедливы следующие утверждения:
(i) если f ∈ L, то
‖f̃k,n‖1 ≤ |f̂(k)|+ CEn(f)1, k = −n, . . . , n, (4)
где C – абсолютная положительная константа;
(ii) если 0 < p < 1, α ≥ 1
p − 1 и f ∈ Hα
1,p, то
‖f̃k,n‖1 ≤ C
(|k|+ 1)α+1− 1
p
, k = −n, . . . , n,
где C – константа, зависящая только от α и p.
106
Оценки наилучшего приближения функций в Lp, 0 < p < 1
Доказательство. Пусть
T2n−1(x) =
1
2π
∫
T
f(x− t)Vn(t)dt,
где Vn – ядро типа Валле-Пуссена, определенное в доказательстве леммы 1. Извест-
но, что ‖f − T2n−1‖1 ≤ CEn(f)1, где константа C не зависит от f и n.
Из равенства
f̃k,n(t) =
1
4n + 1
4n∑
j=0
{f(xj,n + t)− T2n−1(xj,n + t)} e−ik(xj,n+t) + f̂(k)
находим
‖f̃k,n‖1 ≤ ‖f − T2n−1‖1 + |f̂(k)| ≤ CEn(f)1 + |f̂(k)|.
Докажем утверждение (ii). Для каждой интегрируемой функции f справедли-
во следующее соотношение между величинами наилучшего приближения данной
функции:
En(f)1 ≤ C
{
(n + 1)
1
p
−1
En(f)p +
∞∑
k=n+1
k
1
p
−2
Ek(f)p
}
, n ∈ N, (5)
где C – константа, зависящая только от p (см. [11]).
Поскольку функция f ∈ Hα
1,p, из неравенства (5) получим, что En(f)1 ≤
Cn
1
p
−1−α. Заметим еще, что |f̂(±k)| ≤ Ek−1(f)1, k ∈ N. Применив полученные оцен-
ки к неравенству (4), получим утверждение (ii). ¤
Лемма 3. Пусть 0 < p < 1, m,n ∈ N и m < n. Тогда
inf
T∈Tm,n
‖1 + T‖p ³
(m
n
) 1
p
−1
,
где ³ – двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими
только от p.
Доказательство. Оценка сверху следует из леммы 1.
Оценка снизу. Докажем, что
inf
T∈Tm,mn
‖1 + T‖p ≥ Cn
1− 1
p , (6)
где C – константа, не зависящая от m и n.
Прежде всего заметим, что неравенство (6) достаточно доказать для полинома
вида
TN,x(t) = 1 +
N∑
k=m
xk−m+1 cos kt,
где N = mn, x = (x1, . . . , xN−m+1) ∈ RN−m+1. Действительно, из неравенства
|ξ − z| ≥ |ξ − Rez|, ξ ∈ R, z ∈ C следует, что нижняя грань в (6) достигается для
107
Ю.С. Коломойцев
вещественного полинома. Кроме того, для любой периодической функции f спра-
ведливо неравенство ‖f‖p ≥ 1
2‖f(·)+f(−·)‖p, из которого видно, что приближающий
полином в неравенстве (6) можно взять четным.
Далее, из неравенства Марцинкевича-Зигмунда следует, что
‖TN,x‖p
p ≥
C
N
N∑
j=0
∣∣∣∣TN,x
(
2πj
2N + 1
)∣∣∣∣
p
,
где C – константа, зависящая только от p (см. [13]).
Введем в рассмотрение функцию
F (x) = F (x1, . . . , xN−m+1) :=
N∑
j=0
∣∣∣∣TN,x
(
2πj
2N + 1
)∣∣∣∣
p
. (7)
Пусть x∗ = (x∗1, . . . , x
∗
N−m+1) ∈ RN−m+1 – точка, в которой функция F принимает
свое наименьшее значение. Заметим, что F (x∗) > 0. Действительно,
N∑
j=0
∣∣∣∣TN,x∗
(
2πj
2N + 1
)∣∣∣∣
p
≥ N
p
2 ‖TN,x∗‖p
2 > 0.
Последнее соотношение следует из неравенства Марцинкевича-Зигмунда в про-
странстве L2.
Покажем, что существует последовательность целых чисел γj ∈ [0, N ] такая, что
TN,x∗
(
2πγj
2N + 1
)
= 0, j = 1, . . . , N −m + 1. (8)
Для этого рассмотрим функцию F1(x1) := F (x1; x2, . . . , xn−m+1), где переменные
x2, . . . , xN−m+1 фиксированы. В тех точках t ∈ R, в которых существует F ′′
1 (t),
имеем F ′′
1 (t) < 0. Таким образом, функция F1 достигает своего минимума толь-
ко в тех точках, в которых не существует F ′
1(t), т.е. в точках, в которых хо-
тя бы одно из слагаемых в сумме в (7) равно нулю. Следовательно, min
x
F (x) =
min
xN−m+1
. . .min
x2
F (λ1(x2, . . . , xN−m+1), x2, . . . , xN−m+1), где λ1 – некоторая линейная
функция.
Повторяя последовательно по каждой переменной приведенные выше рассужде-
ния, нетрудно убедиться в справедливости системы (8).
Из системы (8) следует, что
min
x
‖TN,x‖p
p ≥
C
N
m∑
j=1
∣∣∣∣TN,x∗
(
2πξj
2N + 1
)∣∣∣∣
p
, (9)
где ξj ∈ [0, N ] ∩ Z+ и ξν 6= ξµ при ν 6= µ.
108
Оценки наилучшего приближения функций в Lp, 0 < p < 1
Введем следующие обозначения: ηj = 2πξj
2N+1 , yj = TN,x∗(ηj), где j = 1, . . . , m.
Используя равенства
T̂N,x∗(ν) =
1
2N + 1
m∑
j=1
yje
−iνηj , |ν| ≤ N
и условие TN,x∗ ∈ Tm,N , получим систему
m∑
j=1
yje
iνηj =
{
2N + 1, если ν = 0;
0, если ν = 1, . . . , m− 1. (10)
Решение системы (10) имеет следующий вид
yj = (−1)j−1(2N + 1)
ei
∑m−1
ν=1,ν 6=j ην
∏m
ν=1,ν 6=j(eiην − eiηj )
, j = 1, . . . , m. (11)
Далее, из (9) и (11) находим
inf
T∈Tm,N
‖1 + T‖p ≥ C
1
N1−p
m∑
j=1
m∏
ν=1,ν 6=j
|eiην − eiηj |−p
1
p
=
= C
m
n
1
p
−1
m∑
j=1
m∏
ν=1,ν 6=j
|eiην − eiηj |−p 1
m
1
p
≥
≥ C
m
n
1
p
−1
m∏
j=1
m∏
ν=1,ν 6=j
|eiην − eiηj |
− 1
m
=
= C
m
n
1
p
−1
∏
ν>j
|eiην − eiηj |
− 2
m
.
(12)
Заметим, что величина ∆m =
∏
ν>j |eiην − eiηj | равна модулю определителя Ван-
дермонда матрицы {eikηj}, k = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , m. Используя неравенство
Адамара, получим, что ∆m ≤ m
m
2 . Таким образом, из неравенства (12) и оценки
сверху величины ∆m вытекает неравенство (6).
Лемма доказана. ¤
Далее нам понадобится понятие модуля гладкости. Определим для функции f ∈
Lp ее модуль гладкости порядка r и шага h стандартным образом
ωr(f, h)p := sup
0<δ≤h
( ∫
T
∣∣∣∣
r∑
ν=0
(−1)ν
(
r
ν
)
f(x + νδ)
∣∣∣∣
p
dx
) 1
p
.
109
Ю.С. Коломойцев
Лемма 4. ([12]) Пусть f ∈ Lp, 0 < p < 1, и r ∈ N. Для того, чтобы
ωr
(
f,
1
n
)
p
³ En(f)p при всех n ∈ N,
необходимо и достаточно, чтобы для некоторого k > r − 1 + 1
p
ωr(f, h)p ³ ωk(f, h)p при всех h > 0,
где ³ – двустороннее неравенство с положительными константами, не завися-
щими от n и h.
Лемма 5. Пусть 0 < p < 1 и 0 < α < 1
p . Тогда существует функция fα ∈ Hα
1,p
такая, что
En(fα)p ³ 1
nα
при всех n ∈ N,
где ³ – двустороннее неравенство с положительными константами, не завися-
щими от n.
Доказательство. Положим
fα(x) = γα
∞∑
k=1
χk(x)
kα
,
где
χk(x) =
{
1, 0 ≤ x < 1
k ;
0, 1
k ≤ x < 2π,
при x ∈ [0, 2π), а для других x функцию χk определяем периодично с периодом 2π.
Константа γα > 0.
Очевидно, что функция fα ∈ L. Оценивая сверху и снизу модуль гладкости функ-
ции fα, нетрудно убедиться в том, что для каждого r ∈ N выполняется соотношение
ωr(fα, δ)p ³ δα, δ > 0. Таким образом, из леммы 4 получим, что En(fα)p ³ n−α,
n ∈ N. Остается только выбрать константу γα так, чтобы fα ∈ Hα
1,p. ¤
3. Доказательство теоремы 1. Оценки сверху в утверждениях теоремы 1
следуют из леммы 1, а снизу соответствующие оценки можно получить из леммы 3
и леммы 5.
1. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов // М. - Л., ОНТИ. – 1937. – С.28-31.
2. Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // Успехи
мат. наук. – 1965. – 20, №3. – C.205-211.
3. Талалян А.А. Представление функций классов Lp[0, 1], 0 < p < 1, ортогональными рядами //
Acta Math. Academ. Sci. Hungar. – 1970. – 21, №1-2. – C.1-9.
4. Shapiro J.H. Subspaces of Lp(G) spanned by characters: 0 < p < 1 // Isr. J. Math. – 1978. – 29,
№2-3. – C.248-264.
5. Иванов В.И., Юдин В.А. О тригонометрической системе в Lp, 0 < p < 1 // Мат. заметки – 1980.
– 28, №6. – C.859-868.
6. Aleksandrov A.B. Essays on non locally convex Hardy classes // Lecture Notes in Math. – 1981. –
864. – Springer-Verlag. – C.1-89.
110
Оценки наилучшего приближения функций в Lp, 0 < p < 1
7. Иванов В.И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами //
Тр. МИАН СССР – 1983. – 164. – C.100-123.
8. Коломойцев Ю.С. Полнота тригонометрической системы в классах ϕ(L) // Мат. заметки – 2007.
– 81, №5. – C.707-712.
9. Руновский К.В. О семействе линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 <
p < 1 // Матем. сб. – 1993. – 184, №2. – C.145-160.
10. Trigub R.M., Belinsky E.S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. Kluwer. 2004.
11. Стороженко Э.А. Теоремы вложения и наилучшие приближения // Матем. сб. – 1975. – 97,
№2. – C.230-241.
12. Коломойцев Ю.С. О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в Lp, 0 < p < 1 // Укр.
мат. журн. – 2007. – 59, №9. – C.1221-1238.
13. Runovskii K.V., Schmeisser H.J. On Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities for irregular knots in
Lp – spaces, 0 < p ≤ +∞ // Math. Nachr. – 1998. – 189, №1. – C.209-220.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kolomus1@mail.ru
Получено 12.05.08
111
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|