Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 136-151. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860221568244776960 |
|---|---|
| author | Мартыненко, А.В. |
| author_facet | Мартыненко, А.В. |
| citation_txt | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 136-151. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.946
c©2008. А.В. Мартыненко
ОЦЕНКА МАКСИМУМА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И ИСТОЧНИКОМ
Изучается задача Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником и неодно-
родной плотностью вида
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + up.
Найдены условия на параметры уравнения и начальную функцию, при которых решение задачи
Коши существует глобально по времени. Получены точные оценки максимума решения.
1. Введение. Рассмотрим задачу Коши для уравнения с неоднородной плотно-
стью и источником
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + up, (1)
(x, t) ∈ QT = RN × (0, T ), T > 0, N ≥ 1,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . (2)
Всюду далее предполагаем, что ρ(x) = (1 + |x|)−l, λ > 0, 0 ≤ l < λ + 1 < N ,
m+λ−2 > 0, p > m+λ−1, u0(x) – неотрицательная измеримая функция из класса
L1,loc(RN ) и такая, что ∫
RN
ρ(x)u
1+m+λ−1
λ
0 dx < ∞.
Хорошо известно [1], что задача Коши для уравнения с источником может не иметь
глобального по времени решения вне зависимости от свойств начальной функции.
Поэтому, одним из наиболее важных является вопрос об условиях на параметры
уравнения, при которых существует глобальное по времени решение. Так, для урав-
нения (1) при ρ(x) ≡ 1 справедлив следующий результат. Если 1 < p < p∗ =
m + λ − 1 + (λ + 1)/N , то решение взрывается за конечное время. Если же p > p∗,
то решение существует глобально по времени и справедлива оценка
‖u(x, τ)‖∞,RN×( t
2
,t) ≤ γt−
N
K
[
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
]λ+1
K
∀t ∈ (0,∞),
где K = N(m + λ− 2) + λ + 1. Такие утверждения принято называть результатами
типа Фуджиты-Хаякавы, а p∗ – показателем Фуджиты. Детальное изложение этих
вопросов можно найти в работах [1]–[8].
136
Оценка максимума решений задачи Коши ...
Решения уравнения (1) без источника с неоднородной плотностью ρ(x) обладают
некоторыми качественно иными свойствами по сравнению со случаем ρ(x) ≡ 1. На-
пример, стабилизация к нулю решения при t →∞ и конечная скорость распростра-
нения носителя нарушаются, если ρ(x) слишком быстро убывает на бесконечности
(см. [9]– [17]).
В работе ([18]) изучалась задача Коши для уравнения
ρ(x)
∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + ρ(x)up. (3)
Было, в частности, установлено, что в случае ρ(x) = (1 + |x|)−l, 0 ≤ l < λ + 1
решение взрывается при m + λ − 1 < p < p∗(l) = m + λ − 1 + (λ + 1 − l)/(N − l), а
при p > p∗(l) решение существует глобально по времени и выполняется оценка
‖u(x, τ)‖∞,RN×( t
2
,t) ≤ γt
−N−l
Kl
[
sup
0<τ<t
∫
RN
ρu(x, τ)dx
]λ+1−l
Kl ∀t ∈ (0,∞),
где K = (N − l)(m + λ− 2) + λ + 1− l. В случае ρ(x) = (1 + |x|)−l, l > λ + 1 решение
уравнения (3) существует глобально по времени при p > m + λ − 1 и выполняется
универсальная, т.е. не зависящая от начальной функции, оценка
‖u(x, τ)‖∞,RN×( t
2
,t) ≤ γt−
1
m+λ−2 ∀t ∈ (0,∞).
Отметим, что частный случай уравнения (3) был, по всей видимости, впервые рас-
смотрен в [19], где изучались спектральные свойства автомодельных решений.
Некоторые свойства решений уравнения (1) было изучены в [20]. Было доказано,
что при m + λ − 1 < p < p∗(l) = m + λ − 1 + (λ + 1)/(N − l) решение взрывается
за конечное время для произвольной начальной функции u0 6= 0. Кроме того, бы-
ла получена универсальная оценка решения вблизи времени обострения. Однако,
оставался открытым вопрос о разрешимости и оценке максимума при p > p∗(l).
В данной работе, с помощью некоторой модификации методов, использованных
в [21] и [18], получена точная оценка максимума решения для p > p̃, где p̃, вообще
говоря, больше p∗(l).
Введем понятие обобщенного решения, для чего заметим, что (1) допускает эк-
вивалентную запись
ρ(x)
∂vβ
∂t
= βλdiv(|Dv|λ−1Dv) + vµ,
где β = λ
m+λ−1 , µ = λp
m+λ−1 , u = vβ.
Определение. Будем говорить, что u(x, t) есть обобщенное решение (или просто
решение) задачи (1), (2) в QT = RN × (0, T ), если u(m+λ−1)/λ является элементом
пространства
Lλ+1(0, T, W 1
λ+1(RN )) ∩ Lµ+1(0, T, Lµ+1(RN )) ∩ C([0, T ), Lβ+1,ρ(RN ))
137
А.В. Мартыненко
и удовлетворяет задаче (1), (2) в смысле интегрального тождества.
Замечание 1. Во избежание стандартных громоздких рассуждений, связанных
с необходимостью аппроксимации решений гладкими функциями, всюду в дальней-
шем будем считать решения задачи (1), (2) достаточно гладкими.
Замечание 2. Если не оговорено противное, то всюду дальше через γ, γ1, γ2,...
будем обозначать постоянные, которые зависят только от параметров задачи l, m,
λ, p, N .
Введем обозначения
α =
l
p− 1
, p̃ =
N(m + λ− 1)
N − λ− 1
, Kl = (N − l)(m + λ− 2) + λ + 1,
Q0 =
(N − l − α)(p−m− λ + 1)
α(m + λ− 2) + λ + 1− l
.
Теорема 1. Пусть p ≥ p̃ и
∫
RN
(1 + |x|)α(q−p)uq
0(x)dx +
∫
RN
(1 + |x|)−lu0(x)dx ≤ δ, (4)
где q > Q0 и δ – достаточно малое число, зависящее лишь от параметров уравне-
ния.
Тогда задача (1)–(2) имеет глобальное по времени решение u(x, τ) и ∀t ∈ (0,∞)
справедливы оценки
‖u(x, τ)‖∞,RN×( t
2
,t) ≤ γt
−N−l
Kl
[∫
RN
(1 + |x|)−lu0(x)dx
]λ+1−l
Kl
, (5)
‖(1 + |x|)αu(x, τ)‖∞,RN×( t
2
,t) ≤ γt
−N−α−l
Kl
[∫
RN
(1 + |x|)−lu0(x)dx
]λ+1−l
Kl
, (6)
sup
0<τ<t
∫
RN
(1 + |x|)−lu(x, τ)dx ≤ γ
∫
RN
(1 + |x|)−lu0(x)dx, (7)
где γ зависит только лишь от параметров уравнения.
2. Доказательство теоремы 1. Пусть B – шар радиуса d > 0 с центром в
точке x = 0, T > 0, рассмотрим следующую начально-краевую задачу
(1 + |x|)−l ∂u
∂t
= div(um−1|Du|λ−1Du) + min{d, up}, (x, t) ∈ B × (0, T ) (8)
u(x, t) = 0 при x ∈ ∂B × (0, T ), (9)
u(x, 0) = u0(x), u0(x) ∈ C∞
0 (B). (10)
138
Оценка максимума решений задачи Коши ...
С помощью стандартных рассуждений (см. например [22], [23]) можно показать,
что для любого d < ∞ задача (8)–(10) имеет обобщенное решение при t ∈ (0,∞),
которое является непрерывным по Гельдеру ([24]).
Задача Коши (1)–(2) может быть аппроксимирована задачами (8)–(10). Таким
образом, для доказательства теоремы необходимо получить не зависящие от d оцен-
ки (5)–(7) для решения задачи (8)–(10), при условии, что u0(x) из (10) удовлетворяет
(4).
С помощью результатов работы ([18]) легко доказывается следующая
Лемма 1. Пусть u0(x, t) решение задачи (8)–(10) и для всех t ∈ (0, T ) выполнено
условие
Ω0(t) ≡ sup
0<τ<t
sup
x∈B
{
τ(1 + |x|)lu(x, τ)p−1
} ≤ 2, (11)
тогда, для всех t ∈ (0, T ) и произвольного ω ≥ 0 справедлива оценка
‖u(x, τ)‖∞,B×( t
2
,t) ≤ γt
− N−l
Hl,ω
[
sup
0<τ<t
∫
B
uω+1
(1 + |x|)l
dx
]λ+1−l
Hl,ω
, (12)
где постоянная γ зависит только лишь от ω и параметров уравнения, и исполь-
зовано обозначение
Hl,ω = (N − l)(m + λ− 2) + (ω + 1)(λ + 1− l).
Лемма 1 носит условный характер: для доказательства оценки (12) при t ∈ (0,∞)
необходимо проверить справедливость условия (11) при t ∈ (0,∞). Очевидно, для
произвольного d > 0 и достаточно малого T > 0 условие (11) выполнено в силу
непрерывности функции u(x, t). Рассуждая далее как в ([18]), можно выбрать δ так,
что из оценки (12) и условия (4) будет следовать T = ∞, однако при этом δ будет
зависеть от d, что делает невозможным переход к пределу при d → ∞. Для того,
чтобы избежать возникающих трудностей, необходимо наряду с оценкой (12) иметь
оценку максимума для функции (1 + |x|)l/(p−1)u(x, τ), которая позволит доказать
(11) для T = ∞ при малом δ, не зависящем от d.
Выполним подстановку u(x, t) = (1 + |x|)−αv(x, t), α = l/(p − 1), тогда задача
(8)–(10) примет вид:
(1 + |x|)−l−α ∂v
∂t
=
= div
(
vm−1
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣Dv − αv
1 + |x|D|x|
∣∣λ−1(
Dv − αv
1 + |x|D|x|
))
+
+min{d, (1 + |x|)−αpvp}, (x, t) ∈ B × (0, T ) (13)
v(x, t) = 0 при x ∈ ∂B × (0, T ), (14)
v(x, 0) = (1 + |x|)αu0(x). (15)
139
А.В. Мартыненко
Пусть a1 > a2 > 0, t > τ1 > τ2 > 0.
Введем в рассмотрение последовательности
θi = τ2 + (τ1 − τ2)2−i, ki = a2 + (a1 − a2)2−i, i = 0,∞,
цилиндры Ui = B × (θi, t) и гладкие срезки ξi(τ) такие, что
ξi(τ) =
{
1 θi−1 < τ < t,
0 0 < τ < θi,
|(ξi)τ | ≤ 2i
τ1 − τ2
, i = 1,∞.
Лемма 2. Для i = 1,∞, справедливо неравенство
sup
τ1<τ<t
∫
B
wq
0
(1 + |x|)l+α
dx +
∫∫
Ui−1
(1 + |x|)−α(m+λ−1)|Dwi|λ+1dxdτ ≤
≤ γbiF
∫∫
Ui
wq
i+1
(1 + |x|)l+α
dxdτ, (16)
где b > 1, s > max[1, 2 − m], q = (s+1)(λ+1)
m+λ+s−1 , wi = (v − ki)
m+λ+s−1
λ+1
+ , γ
зависит от s и
F = F (τ1, τ2, a1, a2, t) =
[
1
τ1 − τ2
+
Ω(t)
τ2
](
a1
a1 − a2
)2
,
Ω(t) = sup
0<τ<t
sup
x∈B
{
τvm+λ−2
(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
}
+ sup
0<τ<t
sup
x∈B
{τvp−1}.
Доказательство. Умножая обе части уравнения (13) на пробную функцию
(v − ki)s
+ξi и интегрируя по цилиндру Ui, с помощью элементарных рассуждений
получаем
∫∫
Ui
[(v − ki)s+1
+ ]τ
(1 + |x|)l+α
ξidx +
∫∫
Ui
vm−1(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣∣∣Dv − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ+1
ξidxdτ ≤
≤ γ
∫∫
Ui
vm(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)+1
∣∣∣∣Dv − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ
ξidxdτ+
+γ
∫∫
Ui
(1 + |x|)−αpvp(v − ki)s
+ξidxdτ. (17)
С помощью неравенстваЮнга первый член правой части (17) оценивается сверху
величиной
ε
∫∫
Ui
vm−1(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣∣∣Dv − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ+1
ξidxdτ+
140
Оценка максимума решений задачи Коши ...
+γ(ε)
∫∫
Ui
vm+λ(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)+λ+1
ξidxdτ,
а второй член левой части (17) оценивается снизу величиной
γ1
∫∫
Ui
vm−1(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
|Dv|λ+1ξidxdτ − γ2
∫∫
Ui
vm+λ(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)+λ+1
ξidxdτ.
Таким образом, интегрируя по частям первый член левой части, из неравенства (17)
получаем
∫
B
(v(x, t)− ki)s+1
+
(1 + |x|)l+α
ξidx +
∫∫
Ui
vm−1(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
|Dv|λ+1ξidxdτ ≤
≤ γ2i
τ1 − τ2
∫∫
Ui
(v − ki)s+1
+
(1 + |x|)l+α
ξidxdτ + γ
∫∫
Ui
vm+λ(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)+λ+1
ξidxdτ+
+γ
∫∫
Ui
(1 + |x|)−αpvp(v − ki)s
+ξidxdτ. (18)
Последовательность цилиндров Ui является расширяющейся, и справедливы
неравенства
(v − k0)+ ≤ (v − ki)+ ≤ (v − ki+1)+ ≤ v, (19)
v
ki
χi ≤ v − ki+1
ki − ki+1
χi, (20)
где χi – характеристическая функция множества {(x, t) : v(x, t) ≥ ki}. Поэтому из
неравенства (18) можно получить
sup
τ1<τ<t
∫
B
(v(x, t)− k0)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dx+
+
∫∫
Ui−1
1
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣∣∣D(v − ki)
m+λ+s−1
λ+1
+
∣∣∣∣
λ+1
dxdτ ≤
≤ γ2i
τ1 − τ2
∫∫
Ui
(v − ki+1)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dxdτ+
+γ
∫∫
Ui
{
τ k2
i vm+λ−2
τ2 (ki − ki+1)2(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
}
(v − ki+1)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dxdτ+
141
А.В. Мартыненко
+γ
∫∫
Ui
{
τ ki vp−1
τ2 (ki − ki+1)(1 + |x|)α(p−1)−l
}
(v − ki+1)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dxdτ.
Отсюда следует неравенство (16). ¤
Лемма 3. Пусть p ≥ p̃, тогда для i = 1,∞ справедливо неравенство
sup
τ1<τ<t
∫
B
wq
0
(1 + |x|)l+α
dx +
∫∫
Ui−1
|Dwi|λ+1
(1 + |x|)α(m+λ−1)
dxdτ ≤
≤ ε
∫∫
Ui
|Dwi+1|λ+1
(1 + |x|)α(m+λ−1)
dxdτ+
+C(ε)bi
1F
M1(t− τ2)
[
sup
τ2<τ<t
∫
B
wµ∞
(1 + |x|)l+α
dx
]M2
. (21)
Здесь s > ω > 0, µ = (λ+1)(ω+1)
m+λ+s−1 , ε > 0, C(ε) > 0, b1 > 1 и использо-
ваны следующие обозначения
a =
( 1
µ − 1
q )(N − l − α)
N−l−α
µ − N−λ−1+α(m+λ−1)
λ+1
, M1 =
λ + 1
λ + 1− qa
, M2 = M1(1− a)
q
µ
.
Доказательство. Неравенство (21) можно получить из весового мультиплика-
тивного неравенства [25] и леммы 2 с помощью стандартных рассуждений (см. на-
пример [18]). При этом условие p ≥ p̃ является следствием ограничений, наклады-
ваемых на показатели в весовом мультипликативном неравенстве [25]. ¤
Для дальнейшего нам понадобятся следующие обозначения
µ(t) = sup
0<τ<t
∫
B
v(x, τ)q
(1 + |x|)l+α
dx, µ(0) =
∫
B
v0(x)q
(1 + |x|)l+α
dx, q > Q0,
M(t) = sup
0<τ<t
∫
B
v(x, τ)
(1 + |x|)l+α
dx, M(0) =
∫
B
v0(x)
(1 + |x|)l+α
dx,
T = sup{t : Ω(t) ≤ 1}, T0 = sup{t : Ω0(t) ≤ 2},
Tµ = sup{t : µ(t) ≤ 2µ(0)}, TM = sup{t : M(t) ≤ 2M(0)},
Gl,α(ω) = (N − l − α)(m + λ− 2) + (ω + 1)[λ + 1 + α(m + λ− 2)− l].
Заметим, что
Hl,ω ≡ Gl,0(ω), Hl,0 ≡ Gl,α(0) ≡ Kl,
M(t) ≡ sup
0<τ<t
∫
B
u(x, τ)
(1 + |x|)l
dx, M(0) ≡
∫
B
u0(x)
(1 + |x|)l
dx.
142
Оценка максимума решений задачи Коши ...
Лемма 4. Пусть p ≥ p̃, q > Q0 и δ из условия (4) достаточно мало, тогда
найдется такое T̃ > 1, что
min{T, Tµ, TM} ≥ T̃ .
Кроме того, для всех t ∈ (0, T ) и произвольного ω ≥ 0 справедлива оценка
‖v(x, τ)‖∞,B×( t
2
,t) ≤ γt
− N−l−α
Gl,α(ω)
[
sup
0<τ<t
∫
B
vω+1
(1 + |x|)l+α
dx
]λ+1+α(m+λ−2)−l
Gl,α(ω)
, (22)
где постоянная γ зависит от ω.
Доказательство. Очевидно, что T > 0 в силу непрерывности функции u(x, τ).
Докажем оценку (22) для t ∈ (0, T ).
Пользуясь обозначением
Ii =
∫∫
Ui
|Dwi+1|λ+1
(1 + |x|)α(m+λ−1)
dxdτ
из рекуррентного неравенства (21) получаем
sup
τ1<τ<t
∫
B
wq
0
(1 + |x|)l+α
dx + I1 ≤ εiIi+
+
i−1∑
j=0
(εb1)jC(ε)FM1(t− τ2)
[
sup
τ2<τ<t
∫
B
wµ∞
(1 + |x|)l+α
dx
]M2
. (23)
Выберем ε > 0 так, чтобы εb1 < 1
2 и устремим i →∞, тогда из (23) следует
sup
τ1<τ<t
∫
B
(v − a1)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dx ≤ γ(t− τ2)FM1
[
sup
τ2<τ<t
∫
B
(v − a2)
µ+1
+
(1 + |x|)l+α
dx
]M2
. (24)
Пусть k – постоянная, значение которой будет выбрано ниже, для n = 0,∞
рассмотрим последовательности
tn =
t
2
(1− 2−n−1), hn = k(1− 2−n−1), hn =
1
2
(hn + hn+1).
В неравенстве (24) положим
τ1 = tn+1, τ2 = tn, a1 = hn, a2 = hn.
Учитывая, что Ω(t) ≤ 1 при t ∈ (0, T ), для всех t ∈ (0, T ) получаем
F (τ1, τ2, a1, a2, t) = F1(tn+1, tn, hn, hn, t) ≤ bn
t
, где b = const > 1,
143
А.В. Мартыненко
а неравенство (24) будет иметь вид
sup
tn+1<τ<t
∫
B
(v − hn)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dx ≤ bnt−M1+1
[
sup
tn<τ<t
∫
B
(v − hn)ω+1
+
(1 + |x|)l+α
dx
]M2
. (25)
Заметим, что
∫
B
(v − hn+1)ω+1
+
(1 + |x|)l+α
dx ≤ (hn+1 − hn)ω−s
∫
B
(v − hn)s+1
+
(1 + |x|)l+α
dx. (26)
Используя обозначение
Yn = sup
tn<τ<t
∫
B
(v − hn)ω+1
+
(1 + |x|)l+α
dx,
из (25) и (26) получим рекуррентное неравенство
Yn+1 ≤ bnkω−st−M1+1Y M2
n , где b = const > 1.
Из итеративной леммы(см. [26, гл. II, лемма 5.6]) следует Yn → 0 при n → ∞
(что в свою очередь означает ‖v(x, τ‖∞,B×( t
2
,t) ≤ k), если
kω−sY M2−1
0 t−M1+1 ≤ γ0.
Это будет выполнено, если
k = γt
−M1+1
s−ω Y
M2−1
s−ω
0 ≤ γt
−M1+1
s−ω
[
sup
t
4
<τ<t
∫
B
vω+1
(1 + |x|)l+α
dx
]M2−1
s−ω
,
откуда получаем справедливость оценки (22) для t ∈ (0, T ).
Докажем, что min{T, Tµ} > 1, для чего рассмотрим два случая: 1) Tµ < T ;
2) Tµ ≥ T .
В случае 1) умножим уравнение (13) на uq−1, проинтегрируем по B × (0, Tµ) и
рассуждая как в лемме 2, имеем
Tµ∫
0
∫
B
(vq)τ
(1 + |x|)l+α
dxdτ ≤ γ
Tµ∫
0
∫
B
vp−1 vq
(1 + |x|)l+α
dxdτ+
+γ
Tµ∫
0
∫
B
vm+λ−2
(1 + |x|)λ+1+α(m+λ−2)−l
vq
(1 + |x|)l+α
dxdτ,
144
Оценка максимума решений задачи Коши ...
откуда получаем
µ(Tµ) ≤ µ(0) + γµ(Tµ)
Tµ∫
0
‖v(x, τ)‖m+λ−2
∞,B dτ + γµ(Tµ)
Tµ∫
0
‖v(x, τ)‖p−1
∞,Bdτ.
Для τ ∈ (0, Tµ) выполнена оценка (22) и µ(τ) ≤ 2µ(0) ≤ 2δ, следовательно, из
последнего неравенства получаем
µ(Tµ) ≤ µ(0) + γµ(Tµ)
Tµ∫
0
τ
− (N−l−α)(m+λ−2)
Gl,α(q−1) δκ1dτ+
+γµ(Tµ)
Tµ∫
0
τ
− (N−l−α)(p−1)
Gl,α(q−1) δκ2dτ, (27)
где
κ1 =
[λ + 1 + α(m + λ− 2)− l](m + λ− 2)
Gl,α(q − 1)
,
κ2 =
[λ + 1 + α(m + λ− 2)− l](p− 1)
Gl,α(q − 1)
.
Нетрудно видеть, что при q > Q0 оба интеграла в (27) сходящиеся при τ = 0,
значит, при достаточно малом δ из предположения Tµ ≤ 1 и (27) следует µ(Tµ) ≤
µ(0)+µ(Tµ)/3, т.е. µ(Tµ) ≤ 2µ(0)/3, но это противоречит выбору Tµ. Таким образом,
T > Tµ > 1 в случае 1).
Из предположения T ≤ 1, условия q > Q0 и оценки (22) при достаточно малом δ
имеем противоречие
1 = Ω(T ) ≤ γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (N−l−α)(m+λ−2)
Gl,α(q−1) δκ1
}
+
+γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (N−l−α)(p−1)
Gl,α(q−1) δκ2
}
≤ γ(δκ1 + δκ2) ≤ 1
2
,
следовательно Tµ ≥ T > 1 в случае 2).
Покажем теперь, что TM > 1. Предположим TM < min{T, Tµ} (в противном слу-
чае утверждение очевидно), тогда умножим уравнение (8) на финитную функцию
u/(u + ε) и проинтегрируем по B × (0, TM ):
sup
0<τ<TM
∫
B
1
(1 + |x|)l
u(τ)∫
0
z
z + ε
dzdx + γ0
TM∫
0
∫
B
um−1|Du|λ+1 ε
(u + ε)2
dxdτ ≤
≤
∫
B
1
(1 + |x|)l
u0∫
0
z
z + ε
dzdx + γ
TM∫
0
∫
B
up u
u + ε
dxdτ.
145
А.В. Мартыненко
Полагая ε → 0, из последнего неравенства получаем
M(TM ) ≤ M(0) + γM(TM )
TM∫
0
‖v(x, τ)‖p−1
∞,Bdτ.
Применение оценки (22) дает
M(TM ) ≤ M(0) + γM(TM )
TM∫
0
τ
− (N−l−α)(p−1)
Gl,α(q−1) δκ2dτ.
Отсюда, выбрав δ достаточно малым, легко получаем TM > 1. ¤
Очевидно, что T0 ≥ T , значит, оценка (12) справедлива при t ≤ T̃ . Таким обра-
зом, для доказательства теоремы необходимо получить T0 = TM = ∞. Для этого нам
понадобится локальная по пространственным переменным оценка типа (22), вывод
которой будет осуществлен ниже.
Пусть a1 > a2 > 0, t > τ1 > τ2 > 0, d > R1 > R2 > 0. Введем в рассмотрение
для i = 0,∞ последовательности
θi = τ2 + (τ1 − τ2)2−i, ki = a2 + (a1 − a2)2−i, Ri = R2 + (R1 −R2)2−i,
области
Hi = Bd(0) \BRi(0), Ui = Hi × (θi, t), Si = BRi−1 \BRi(0), Wi = Si × (θi, t)
и гладкие срезки ξi(x, τ) такие, что
ξi(x, τ) =
1 (x, τ) ∈ Ui−1,
0 (x, τ) ∈ Hi × (0, θi),
0 (x, τ) ∈ ∂BRi(0)× (θi, t),
|Dξi| ≤ 2i
R1 −R2
, |(ξi)τ | ≤ 2i
τ1 − τ2
.
Лемма 5. Для i = 1,∞, справедливо неравенство
sup
τ1<τ<t
∫
H0
wq
0
(1 + |x|)l+α
dx +
∫∫
Ui
(1 + |x|)−α(m+λ−1)|D(wiξi)|λ+1dxdτ ≤
≤ γbiF
∫∫
Ui+2
(wi+2ξi+2)q
(1 + |x|)l+α
dxdτ, (28)
где b > 1, s > max[1, 2 − m], q = (s+1)(λ+1)
m+λ+s−1 , wi = (v − ki)
m+λ+s−1
λ+1
+ , γ
зависит от s и
F =
[
1
τ1 − τ2
+
Ω̄(t)
τ2
](
a1
a1 − a2
)2( R1 + 1
R1 −R2
)λ+1
,
146
Оценка максимума решений задачи Коши ...
Ω̄(t) = sup
0<τ<t
sup
x∈Bd\BR2
{
τvm+λ−2
(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
+ τvp−1
}
.
Доказательство. Умножая обе части уравнения (13) на пробную функцию (v−
ki)s
+ξλ+1
i и интегрируя по цилиндру Ui, получаем
∫∫
Ui
[(v(x, t)− ki)s+1
+ ]τ
(1 + |x|)l+α
dx+
+
∫∫
Ui
vm−1(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣∣∣|Dv| − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ+1
ξλ+1
i dxdτ ≤
≤ γ
∫∫
Ui
vm(v − ki)s−1
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)+1
∣∣∣∣|Dv| − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ
ξλ+1
i dxdτ+
+γ
∫∫
Wi
vm−1(v − ki)s
+
(1 + |x|)α(m+λ−1)
∣∣∣∣|Dv| − αv
1 + |x|D|x|
∣∣∣∣
λ
|Dξi|ξλ
i dxdτ+
+γ
∫∫
Ui
(1 + |x|)−αpvp(v − ki)s
+ξidxdτ.
Рассуждая далее как в лемме 2 и учитывая, что 1 + |x| < 1 + R1, при x ∈ Wi
получаем утверждение леммы. ¤
Рассуждая аналогично леммам 3 и 4, из леммы 5 получаем
Лемма 6. Пусть d1, d2 – произвольные числа такие, что 0 < d1 < d2 < d,
p ≥ p̃ и для всех t ∈ (0, t1) выполнено условие
sup
0<τ<t
sup
x∈Bd\Bd1
{
τvm+λ−2
(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
+ τvp−1
}
≤ 2. (29)
Тогда, для всех t ∈ (0, t1) и произвольного ω ≥ 0 справедлива оценка
‖v(x, τ)‖∞,Bd\Bd2
×( t
2
,t) ≤
≤ γ
(
d2 + 1
d2 − d1
)a
t
− N−l−α
Gl,α(ω)
[
sup
0<τ<t
∫
B
vω+1
(1 + |x|)l+α
dx
]λ+1+α(m+λ−2)−l
Gl,α(ω)
,
где Gl,α(ω) было определено выше, постоянная γ зависит от ω и постоянная a > 0
зависит только лишь от параметров уравнения.
Введем обозначения
Γi(τ) =
{
x ∈ RN : ( max{T̃ , τ}β − 1)/i ≤ |x| ≤ d
}
,
147
А.В. Мартыненко
где T̃ было определено в лемме 4, β = 1/Kl, i = 1, 2,
Ω2(t) = sup
0<τ<t
sup
x∈Γ2(τ)
{
τvm+λ−2
(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
}
+ Ω0(t),
T2 = sup{t : Ω2(t) ≤ 2}.
В лемме 6 положим
d2 = max{T̃ , t}β − 1, d1 = ( max{T̃ , t}β − 1)/2,
при этом заметим, что
d2 + 1
d2 − d1
≤ 2 T̃ β
T̃ β − 1
= const < ∞.
Тогда лемма 6 примет вид
Лемма 7. Пусть p ≥ p̃, тогда, для всех t ∈ (0, T2) и произвольного ω ≥ 0
справедлива оценка
‖v(x, t)‖∞,Γ1(t) ≤ γt
− N−l−α
Gl,α(ω)
[
sup
0<τ<t
∫
B
vω+1
(1 + |x|)l+α
dx
]λ+1+α(m+λ−2)−l
Gl,α(ω)
, (30)
где Gl,α(ω) было определено выше, а постоянная γ зависит только лишь от ω и
параметров уравнения.
Для дальнейшего отметим очевидные неравенства
1
1 + |x| ≤
k
max{T̃ , t}β
, при x ∈ Γi(τ),
1 + |x| ≤ max{T̃ , t}β при x ∈ Bd \ Γi(τ).
Очевидно, что T0 ≥ T2, поэтому для завершения доказательства теоремы доста-
точно показать T2 = TM = ∞. Необходимо рассмотреть два случая.
1) Предположим TM < ∞, TM < T2, тогда умножая уравнение (8) на финитную
функцию u/(u + ε) и интегрируя по B × (0, TM ) также, как в лемме 4, получаем
M(TM ) ≤ M(0) + γM(TM )
TM∫
0
‖(1 + |x|)l/(p−1)u(x, τ)‖p−1
∞,Bdτ. (31)
Оценим интеграл в правой части (31)
TM∫
0
‖(1 + |x|)l/(p−1)u(x, τ)‖p−1
∞,Bdτ =
T̃∫
0
‖v(x, τ)‖p−1
∞,Bdτ+
148
Оценка максимума решений задачи Коши ...
+
TM∫
T̃
‖v(x, τ)‖p−1
∞,Γ1(τ)dτ +
TM∫
T̃
‖(1 + |x|)l/(p−1)u(x, τ)‖p−1
∞,B\Γ1(τ)dτ =
= I1 + I2 + I3.
Из (4), оценки (22) при ω = q − 1 и того, что q > Q0 следует
I1 ≤ γ
T̃∫
0
τ
− (N−l−α)(p−1)
Gl,α(q−1) δκ1dτ = γδκ1 T̃
1− (N−l−α)(p−1)
Gl,α(q−1) ,
а из (4), оценки (30) при ω = 0 и того, что p ≥ p̃ следует
I2 ≤ γ
TM∫
T̃
τ
− (N−l−α)(p−1)
Kl δκ3dτ ≤ γ1δ
κ3 T̃
1− (N−l−α)(p−1)
Kl ,
κ3 =
[λ + 1 + α(m + λ− 2)− l](p− 1)
Kl
,
наконец, пользуясь (4), оценкой (12) при ω = 0 и условием p ≥ p̃ получаем
I3 ≤ γ
TM∫
T̃
‖(1 + |x|)l‖∞,B\Γ1(τ)τ
− (N−l)(p−1)
Kl δκ4dτ ≤
≤ γ1
TM∫
T̃
τβlτ
− (N−l)(p−1)
Kl δκ4dτ ≤
≤ γ2δ
κ4 T̃
1+βl− (N−l−α)(p−1)
Kl , κ4 =
[λ + 1− l](p− 1)
Kl
.
Таким образом, δ можно выбрать столь малым, что
I1 + I2 + I3 =
1
3
,
поэтому из неравенства (31) следует
M(TM ) ≤ 3
2
M(0),
что противоречит определению TM , значит, TM = ∞.
2) Предположим T2 < ∞, T2 < TM , тогда получаем
Ω2(T2) ≤ Ω(T̃ ) + sup
T̃<τ<T
sup
x∈Γ2(τ)
{
τvm+λ−2
(1 + |x|)α(m+λ−2)+λ+1−l
}
+
149
А.В. Мартыненко
+ sup
T̃<τ<T
sup
x∈B
{τvp−1} ≤ 1 + sup
T̃<τ<T
sup
x∈Γ2(τ)
{
τum+λ−2
(1 + |x|)λ+1−l
}
+
+ sup
T̃<τ<T
sup
x∈Γ1(τ)
{τvp−1}+ + sup
T̃<τ<T
sup
x∈B\Γ1(τ)
{τ(1 + |x|)lup−1} =
= 1 + A1 + A2 + A3.
Условие (4) и оценка (12) при ω = 0 дают
A1 ≤ sup
T̃<τ<T
sup
x∈Γ2(τ)
{
τum+λ−2
max{T̃ , τ}β(λ+1−l)
}
≤
≤ γ sup
T̃<τ<T
{
τ1−β(λ+1−l)τ
− (N−l)(m+λ−2)
Kl δκ5
}
= γδκ5 ,
κ5 =
(λ + 1− l)(m + λ− 2)
Kl
.
Чтобы оценить A2 воспользуемся (4), (30) при ω = 0 и условием p ≥ p̃
A2 ≤ γ sup
T̃<τ<T
{
τ
1− (N−l)(m+λ−2)
Kl δκ3
}
= γδκ3 T̃
1− (N−l)(m+λ−2)
Kl .
Из (4), (12) при ω = 0 и того, что p ≥ p̃ получаем
A3 ≤ γ sup
T̃<τ<T
sup
x∈B\Γ1(τ)
{
max{ ˜T, τ}βlτ
1− (N−l)(p−1)
Kl δκ4
}
≤
≤ γδκ4 T̃
1+βl− (N−l)(p−1)
Kl .
Так как T̃ > 1, то из вышесказанного получаем противоречие
2 = Ω2(T2) ≤ 1 + γ(δκ5 + δκ3 + δκ4) ≤ 3
2
,
значит, T2 = ∞.
Таким образом, в каждом из двух возможных случаев получили T0 = T2 = TM =
∞.
1. Deng K., Levine H.A. The role of critical exponents in blow up theorems: The sequel // J. Math.
Anal. Appl. – 2000. – V.243. – P.85-126.
2. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α // J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo Sect. I. – 1966. – V.13. – P.109-124.
3. Galaktionov V.A., Levine H.A. A general approach to critical Fujita exponents and systems //
Nonlinear Anal. – 1998. – V.34. – P.1005-1027.
4. Галактионов В.А, Курдюмов С.П, Михайлов А.П, Самарский А.А О неограниченных реше-
ниях задачи Коши для параболического уравнения ut = ∇(uσ∇u) + uβ // ДАН СССР. – 1980.
– Т.252. – №6. – С.1362-1364.
150
Оценка максимума решений задачи Коши ...
5. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with
noncompact boundary // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – V.231. – P.543-567.
6. Andreucci D., Tedeev A.F. Optimal bounds and blow-up phenomena for parabolic problems in
narrowing domains // Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A. – 1998. – V.128. – №6. – P.1163-1180.
7. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся па-
раболических уравнений второго порядка // УМН. – 1987. – Т.42. – №2(254). – С.135-176.
8. Самарский А.А, Галактионов В.А, Курдюмов С.П, Михайлов А.П. Режимы с обострением в
задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
9. Kamin S., Rosenau P. Nonlinear diffusion in a finite mass medium // Comm. Pure Appl. Math. –
1982. – V.35. – P.113-127.
10. Kamin S., Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Comm. Pure
Appl. Math. – 1981. – V.34. – P.831-852.
11. Kamin S., Kersner R. Disappearence of interfaces in finite time // Meccanica. – 1993. – V.28. –
P.117-120.
12. Guedda M., Hilhorst D., Peletier M.A. Disappearing interfaces in nonlinear diffusion // Adv. Math.
Sci. Appl. – 1997. – V.7. – P.695-710.
13. Galaktionov V.A., King J.R. On the behaviour of blow-up interfaces for an inhomogeneous filtration
equation // J. Appl. Math. – 1996. – V.57. – P.53-77.
14. Kersner R., Reyes G., Tesei A. On a class of nonlinear parabolic equations with variable density
and absortion // Advances Diff. Eqs. – 2002. – V.7. – №2. – P.155-176.
15. Galaktionov V.A., Kamin S., Kersner R., Vazquez J.L. Intermidiate asymptotics for inhomogeneous
nonlinear heat conduction // Journal of Mathematical Sciences, 2004. – V.120. – №3. – P.1277-1294.
16. Тедеев А. Ф. Условия существования и несуществования в целом по времени компактного носи-
теля решений задачи Коши для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений.
Сиб. мат. журн. – 2004. – Т.45, №1. – С.189-200.
17. Tedeev A.F. The interface blow-up phenomenon and local estimates for doubly degenerate parabolic
equations // Applicable Analysis. – 2007. – Vol.86, 6. – P.755-782.
18. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося
параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником // Ж. вычисл. матем.
и матем. физ. – 2008, Т.48. – №7. – С.1-16.
19. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Спектр собственных функций для нелинейного уравнения теп-
лопроводности с источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2004. – Т.44. – №9. –
C.1619-1637.
20. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения
с источником и неоднородной плотностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2007. – Т.47.
– №2. – C.242-252.
21. Andreucci D., Tedeev A.F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations
// Advances Diff. Eqs. – 2005. – V.10. – №1. – P.89-120.
22. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded
domains // Math. Ann. – 1988. – V.279. – P.373-394.
23. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. –
V.183. – P.311-341.
24. Мартыненко А.В., Тедеев А.Ф. Регулярность решений вырождающихся параболических урав-
нений с неоднородной плотностью // UMB 2008. – Т.5. – №1. – C.116-145.
25. Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. First order interpolation inequalities with weights //
Compositio Math. – 1984. – V.53. – P.259-275.
26. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. М.: Наука, 1967.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
amartynenko@rambler.ru
Получено 14.05.08
151
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19992 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:02Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартыненко, А.В. 2011-05-19T19:05:24Z 2011-05-19T19:05:24Z 2008 Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником / А.В. Мартыненко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 136-151. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19992 517.946 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником Article published earlier |
| spellingShingle | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником Мартыненко, А.В. |
| title | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| title_full | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| title_fullStr | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| title_full_unstemmed | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| title_short | Оценка максимума решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| title_sort | оценка максимума решений задачи коши для вырождающегося параболического уравнения с неоднородной плотностью и источником |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19992 |
| work_keys_str_mv | AT martynenkoav ocenkamaksimumarešeniizadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsneodnorodnoiplotnostʹûiistočnikom |