О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19993 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 152-155. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616300142166016 |
|---|---|
| author | Миненкова, А.Н. |
| author_facet | Миненкова, А.Н. |
| citation_txt | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 152-155. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-11-28T20:52:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.5
c©2008. А.Н. Миненкова
О ХАРАКТЕРЕ НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПРОДОЛЖЕНИЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ
В этой статье изучается характер неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки
для определенного типа свертывателя. Получена нижняя оценка для интеграла функции, которая
является решением уравнения свертки, в окрестности любой точки, лежащей вне наименьшего от-
резка, содержащего носитель свертывателя. Использован метод исследования, аналогичный методу
доказательства Теоремы 3.20 в [1].
Введение. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, где E ′(R1) – пространство распределений
с компактными носителями. r(T ) – длина наименьшего отрезка, содержащего носи-
тель T . Предположим, что
−∞ ≤ a < b ≤ +∞, b− a > 2r(T ).
Положим
(a, b)T = {t ∈ R1 : t− suppT ⊂ (a, b)}.
Обозначим CT (a, b) – класс непрерывных функций f , которые являются решением
уравнения свертки
(f ∗ T )(t) = 0, t ∈ (a, b)T . (1)
Пусть T̂ = 〈T, e−izt〉 – преобразование Фурье T , Z(T̂ ) – множество всех нулей T̂ .
Для λ ∈ Z(T̂ ) обозначим
m(λ, T ) = nλ(T̂ )− 1,
где nλ(T̂ ) – кратность нуля λ функции T̂ .
Появлению этой работы предшествует изучение вопроса о неинтегрируемых про-
должениях решений уравнений свертки. В связи с этим в [1,стр.86] получен следу-
ющий результат.
Теорема. Пусть T ∈ E ′(R1) и предположим, что
sup
λ∈Z(T̂ )
m(λ, T )
1 + |Imλ| = ∞. (2)
Тогда для каждого R > r(T ) существует функция f ∈ CT (−R, R) такая, что
f |(0,R) /∈ L1(0, R) и f |(−R,0) /∈ L1(−R, 0). В частности, функция f не допускает
непрерывного продолжения на [-R,R].
1. Некоторые вспомогательные утверждения. Для доказательства основ-
ного результата статьи понадобятся некоторые дополнительные утверждения.
Пусть D′(R1) – пространство распределений. Обозначим D′T (a, b) – множество
всех распределений f , которые удовлетворяют (5).
152
О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки
Для z ∈ C,m ∈ Z+, t ∈ R1 обозначим
ez,m(t) = (it)meizt.
Пусть g : C→ C – ненулевая целая функция, nλ – кратность ее нуля λ. Опреде-
лим последовательность {aλ,η
j }(g), j = 0, ..., nλ − 1 так:
aλ,η
j (g) =
{
0, j < η,
nλ!
η!g(nλ)(λ)
, j = η.
Для дальнейшего понадобится такая целая функция
aλ,η(g, z) =
nλ−1∑
j=0
aλ,η
j (g)
g(z)
(z − λ)nλ−j
.
Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, λ ∈ Z(T̂ ), η ∈ {0, ..., m(λ, T )} и f ∈ D′T (a, b). Можно
показать, что для некоторых cλ,η(T, f) ∈ C выполняется равенство
f ∗ Tλ,0 =
m(λ,T )∑
η=0
cλ,η(T, f)eλ,η,
где свертка рассматривается в (a+r(T ), b−r(T )), а Tλ,0 ∈ E ′(R1) определяется таким
образом
r(Tλ,0) = r(T )
и
T̂λ,0(z) = aλ,0(T̂ , z), z ∈ C.
Теорема 1. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0 и f ∈ D′(a, b) и предположим, что
f =
∑
λ∈Z(T̂ )
m(λ,T )∑
η=0
γλ,ηe
λ,η,
где γλ,η ∈ C, и ряд сходится в D′(a, b). Тогда f ∈ D′T (a, b) и γλ,η = cλ,η(T, f).
Доказательство этой теоремы приводится в [1, гл.3].
Для облегчения вычислений докажем следующую лемму.
Лемма 2.
∫ b
a
tke−αtdt =
1
αk+1
k∑
n=0
k!
n!
(e−αa(αa)n − e−αb(αb)n).
153
А.Н. Миненкова
Доказательство леммы. Найдем исходный интеграл методом интегрирования
по частям:
∫ b
a
tke−αtdt =
bke−αb
−α
− ake−αa
−α
+
k
α
∫ b
a
tk−1e−αtdt =
bke−αb
−α
− ake−αa
−α
+
kbk−1e−αb
−α2
−
−kak−1e−αa
−α2
+
k(k − 1)
α2
∫ b
a
tk−2e−αtdt =
bke−αb
−α
− ake−αa
−α
+
kbk−1e−αb
−α2
−
−kak−1e−αa
−α2
+
k(k − 1)bk−2e−αb
−α3
− k(k − 1)ak−2e−αa
−α3
+
+
k(k − 1)(k − 2)
α3
∫ b
a
tk−3e−αtdt = ... =
1
αk+1
k∑
n=0
k!
n!
(e−αa(αa)n − e−αb(αb)n).
¤
2. Формулировка и доказательство основного результата.
Теорема 3. Пусть T ∈ E ′(R1), T 6= 0, и предположим, что T удовлетворя-
ет (6). Тогда для каждого R > r(T ) существует f ∈ CT (−R, R) такая, что для
достаточно малых ε > 0 ∫ R−ε
R−2ε
|f(t)|dt ≥ ecε−4/3
, (3)
где c > 0 не зависит от ε.
Доказательство. Пусть {ζk}∞k=1 – последовательность нулей T̂ . Согласно усло-
вию теоремы эта последовательность обладает такими свойствами:
1) lim
k→∞
qk = ∞, где qk = lk(1 + |Imζk|)−1 и lk = m(ζk, T );
2) qk+1 > q3
k > 1 и qk+1 > l3k/qk для всех k ∈ N.
Для R > r(T ) определим
f(t) =
∞∑
k=1
γk
(
t
R
)lk
eiζkt, t ∈ (−R, R), (4)
где γk = elkq
−1/3
k . Из 1), (6) и Теоремы 1 следует, что f ∈ CT (−R, R).
Пусть s ∈ N, s ≥ 2, q
−1/2
s + q−1
s < R, и t ∈ Es = (R− q
−1/2
s − q−1
s , R− q
−1/2
s + q−1
s ).
Очевидно из (4), что
s−1∑
k=1
γk
(
t
R
)lk
eR|Imζk| ≤ exp(c1ls−1q
−1/3
s−1 ), (5)
где c1 > 0 не зависит от s. Согласно 2)
∞∑
k=s+1
γk
(
t
R
)lk
eR|Imζk| ≤ c2, (6)
154
О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки
где c2 > 0 не зависит от s и t. Тогда из неравенств (5) и (6) получаем
|f(t)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
γk
(
t
R
)lk
eiζkt
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
γs
(
t
R
)ls
eiζst +
∑
k∈N\{s}
γk
(
t
R
)lk
eiζkt
∣∣∣∣∣∣
>
>
1
2
∣∣∣∣∣γs
(
t
R
)ls
eitζs
∣∣∣∣∣ >
1
2
γs
(
t
R
)ls
e−t(|Imζs|+1).
Отсюда ∫
Es
|f(t)|dt ≥ 1
2
∫
Es
(
t
R
)ls
elsq
−1/3
s −t(|Imζs|+1)dt. (7)
По Лемме 2 при достаточно больших s
∫
Es
(
t
R
)ls
elsq
−1/3
s −t(|Imζs|+1)dt =
elsq
−1/3
s
Rls(|Imζs|+ 1)ls+1
ls∑
n=0
ls!
n!
×
×(e−(|Imζs|+1)(R−q
−1/2
s −q−1
s )((|Imζs|+ 1)(R− q−1/2
s − q−1
s ))n−
−e−(|Imζs|+1)(R−q
−1/2
s +q−1
s )((|Imζs|+ 1)(R− q−1/2
s + q−1
s ))n) >
>
elsq
−1/3
s −(|Imζs|+1)(R−q
−1/2
s −q−1
s )
(|Imζs|+ 1)
.
Подставляя последнее неравенство в (7), получим
∫
Es
|f(t)|dt ≥ elsq
−1/3
s −(|Imζs|+1)(R−q
−1/2
s −q−1
s )
2(|Imζs|+ 1)
. (8)
Учитывая 1) и (8), можем сказать, что
∫
Es
|f(t)|dt ≥ ec3q
2/3
s , (9)
где c3 > 0 не зависит от s.
Положим ε = 3q
−1/2
s −q−1
s
4 , тогда при достаточно больших s:
R− ε > R− q−1/2
s + q−1
s и R− 2ε < R− q−1/2
s − q−1
s .
Очевидно, что используя (9), получим
∫ R−ε
R−2ε
|f(t)|dt ≥ ecε−4/3
,
где c > 0 не зависит от ε. То есть получена оценка (3). Теорема доказана. ¤
1. Volchkov V.V. , Volchkov Vit.V. Mean periodic function. – Donetsk: Donetsk National University
Press., 2008. – 194c.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
a.minenkova@gmail.com
Получено 19.05.08
155
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19993 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T20:52:27Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миненкова, А.Н. 2011-05-19T19:06:53Z 2011-05-19T19:06:53Z 2008 О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки / А.Н. Миненкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 152-155. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19993 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки Article published earlier |
| spellingShingle | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки Миненкова, А.Н. |
| title | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| title_full | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| title_fullStr | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| title_full_unstemmed | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| title_short | О характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| title_sort | о характере неинтегрируемости продолжения решения уравнения свертки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19993 |
| work_keys_str_mv | AT minenkovaan oharaktereneintegriruemostiprodolženiârešeniâuravneniâsvertki |