Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19994 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 156-162. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860102875177287680 |
|---|---|
| author | Очаковская, О.А. |
| author_facet | Очаковская, О.А. |
| citation_txt | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 156-162. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T17:29:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.5
c©2008. О.А. Очаковская
СВОЙСТВО ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ
ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА
Изучаются характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции, имеющей нулевые
интегралы по всем шарам фиксированного радиуса. Рассмотрен случай, когда поведение функции
на бесконечности существенно различно по разным переменным.
1. Введение. Очевидным следствием классической теоремы Лиувилля об огра-
ниченных целых функциях является отсутствие ненулевых целых функций, стремя-
щихся к нулю на бесконечности. В последние годы активно изучались аналоги этого
свойства для других классов функций (см. [1]). В данной работе рассматриваются
классы функций с нулевыми интегралами по всем шарам фиксированного радиуса
на вещественном евклидовом пространстве Rn с размерностью n ≥ 2 и евклидовой
нормой | · |.
Предположим, что f ∈ L1
loc(Rn) и для некоторого фиксированного r > 0 и всех
y ∈ Rn имеет место равенство
∫
|x|6r
f(x + y) dx = 0 . (1)
Верно ли, что f – нулевая функция? В общем случае ответ отрицательный (см.,
например, [1, гл. 2], [2], где получено описание некоторых классов таких функций),
но при некоторых дополнительных предположениях равенство f = 0 справедливо.
Одним из таких предположений является условие достаточно быстрого убывания f
на бесконечности.
Подобное явление было впервые отмечено Ф. Йоном для функций с нулевыми
сферическими средними в R3 [3, гл. 6]. Многие авторы исследовали вопрос о точных
условиях убывания на бесконечности, из которых следует, что функция f , удовле-
творяющая уравнению типа (1), равна нулю. Для шаровых средних в Rn первый точ-
ный результат принадлежит Д. Смиту [4], который установил, что если f ∈ C(Rn)
с условием
lim
|x|→∞
f(x) |x|n−1
2 = 0 (2)
удовлетворяет (1), то f = 0. При этом условие (2) нельзя заменить условием
f(x) = O
(
|x| 1−n
2
)
при |x| → ∞. Аналогичное утверждение имеет место и для
сферических средних в Rn [4]. Известно также, что если при некотором p ∈ [1, 2n
n−1 ]
функция с условием (1) принадлежит классу Lp(Rn), то f = 0, а при p > 2n
n−1 это
утверждение уже не имеет места (см. [5], а также [6], где утверждение сформулиро-
вано для сферических средних). Существенно более общие и точные результаты в
156
Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами
этом направлении получены В.В. Волчковым в [7], [1]. Из [7] следует, в частности,
что если при некотором p ∈ [1, 2n
n−1 ] функция f ∈ Lp
loc(R
n) удовлетворяет (1) при
всех | y| > r и
lim
R→∞
1
µp(R)
∫
|x|6R
| f(x)|p dx = 0 , (3)
то f = 0 на множестве {x ∈ Rn : |x| > r−1} (здесь µp(R) = Rn−n−1
2
p при 1 6 p < 2n
n−1
и µp(R) = lnR при p = 2n
n−1). При этом условие (3) нельзя заменить условием∫
|x|6R
| f(x)|p dx = O(µp(R)) при R → ∞. Ряд далеко идущих обобщений этого ре-
зультата получен в [7, § 8], а также в [1], где условие (1) заменяется уравнением
свертки более общего вида.
Некоторые аналоги рассмотренной проблемы на симметрических пространствах
исследовались в [8], [9]. В работах [10], [11] изучались подобные вопросы для функ-
ций с нулевыми шаровыми средними, заданных на полупространстве.
Характерной особенностью всех перечисленных условий для поведения f на бес-
конечности, при которых из (1) следует, что f = 0, является их инвариантность
относительно группы вращений Rn. Это позволяло использовать в их доказатель-
ствах аппарат гармонического анализа на компактных группах (см., например, [1]).
В работе [12] впервые рассматривалась подобная задача для случая, когда указан-
ная выше инвариантность существенно нарушается и требуются другие методы. В
частности, по одной из переменных допускался даже экспоненциальный рост функ-
ции, который в некотором смысле компенсируется быстрым убыванием по другим
переменным.
Одним из результатов работы [12] являются
Теорема 1. Имеют место следующие утверждения.
1) Пусть f ∈ L1
loc(Rn) и удовлетворяет условию (1) при всех y ∈ Rn. Пусть
также существуют возрастающая положительная функция κ ∈ C1[0,+∞) и по-
стоянные c1, c2 > 0 такие, что
∞∫
1
dt
tκ(t)
= +∞ , (4)
κ(t) = o
(
t
ln t
)
, t → +∞ , (5)
κ(t) = O
(
κ
(
t
κ(t)
))
, t → +∞ , (6)
tκ′(t) = o (κ(t)) , t → +∞ , (7)
|f(x)| 6 c1 exp
(
− |x1|+ . . . + |xn−1|
κ(|x1|+ . . . + |xn−1|) + c2|xn|
)
(8)
при почти всех x ∈ Rn. Тогда f = 0.
157
О.А. Очаковская
2) Для любого ε > 0 и любой возрастающей функции κ : [0, +∞) → (0,+∞)
такой, что
∞∫
1
dt
tκ(t)
< +∞ , (9)
существует ненулевая функция f класса C∞(Rn), удовлетворяющая (1) при всех
y ∈ Rn, для которой
|f(x)| 6 exp
(
− |x1|+ . . . + |xn−1|
κ(|x1|+ . . . + |xn−1|) + ε|xn|
)
(10)
для всех x ∈ Rn.
Условия (4)–(7) выполнены для многих медленно растущих функций κ. На-
пример, нетрудно видеть, что они выполнены для всякой положительной функции
κ ∈ C1[0,+∞), совпадающей при достаточно больших t с функцией
κm(t) = (ln t)(ln ln t) . . . ( ln ln . . . ln t︸ ︷︷ ︸
m
)
для некоторого m ∈ N. С другой стороны, если κ : [0,+∞) → (0,+∞) совпадает
при больших t с функцией
κm(t)( ln ln . . . ln t︸ ︷︷ ︸
m+1
)1+δ
для некоторых m ∈ N, δ > 0, то выполнено условие (9).
Из второго условия теоремы 1 следует, что условия (4) и (8) в их первом утвер-
ждении являются неулучшаемыми. В то же время вопрос о необходимости условий
(5)–(7) остается открытым.
В данной работе показано, что первое утверждение теоремы 1 остается верным,
если условия (5)–(7) заменить единственным условием
lim
t→∞
κ(t)
κ(t/κ(t))
= 1, (11)
и при этом вместо гладкости κ на [0, +∞) требуется только ее непрерывность. Таким
образом, мы несколько усиливаем условие (6), но при этом убираются условия (5) и
(7).
2. Формулировка и доказательство основного результата. Основным ре-
зультатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть f принадлежит L1
loc(Rn) и удовлетворяет условию (1) при
всех y ∈ Rn. Пусть также существует положительная возрастающая функция
κ на [0, +∞) и постоянные C1, C2 > 0 такие, что выполнено условие (11) и условие
(8) при почти всех x ∈ Rn. Тогда f = 0.
Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующее вспомогательное
утверждение.
158
Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами
Лемма 1. Пусть u : [0, +∞) → (0, +∞) возрастающая функция, удовлетворя-
ющая условию
lim
t→+∞u(αt)/u(t) = 1
при всех α > 0. Тогда
u(t) = exp
(∫ t
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ + ψ(t)
)
, t ≥ 0, (12)
где ϕ ∈ C(0,+∞) и ψ – ограниченная измеримая функция на [0, +∞). При этом
ϕ(t) → 0 при t → +∞, ϕ(t) = 0 в некоторой окрестности точки t = 0 и существу-
ет конечный предел lim
t→+∞ψ(t).
Доказательство. Поскольку u возрастает, она является измеримой на [0, +∞).
Используя [13, т.12], получаем, что существует число B > 0 такое, что при всех
t ≥ B
u(t) = exp
(∫ t
0
ε(ζ)
ζ
dζ + η(t)
)
,
где ε ∈ C[B, +∞), ε(t) → 0 при t → +∞ и η – ограниченная измеримая функция
на [B, +∞), для которой существует конечный предел lim
t→∞ η(t). Продолжим ε на
[0, +∞) по непрерывности, полагая ε(t) = 0 в некоторой окрестности точки t = 0.
Полученное продолжение обозначим через ϕ. Положим теперь
ψ(t) =
η(t) при t ∈ [B, +∞)
ln(u(t))−
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ при t ∈ [0, B).
Тогда выполнено (12) и лемма доказана.
Доказательство теоремы 2. Из (11) следует, что
lim
t→+∞κ(αt)/κ(t) = 1 (13)
при любом α > 0. Следовательно, существует β > 0 такое, что всех x1, . . . , xn−1 ∈ R1
|x1|+ . . . + |xn−1|
κ(|x1|+ . . . + |xn−1|) > β
%
κ(%)
,
где % =
√
x2
1 + . . . + x2
n−1. Оценка (8) показывает, что при γ = c2, всех q ∈ N и почти
всех xn ∈ R1 неравенство
∫
Rn−1
|f(x1, ..., xn)(1 + |x1|+ ... + |xn−1|)qdx1...dxn−1 ≤ Mqe
γ|xn|
159
О.А. Очаковская
выполнено с постоянной
Mq =
∞∫
0
exp
(
− β t
κ(t)
)
(1 + nt)q+n
(1 + t)2
dt.
Докажем, что имеет место условие
∞∑
m=1
(
inf
q≥m
M1/q
q
)−1
= +∞. (14)
При любом q ∈ N имеем
Mq 6 nq+n Nq+n + cq
3 , (15)
где
Nq =
∞∫
1
tq exp
(
− β t
κ(t)
)
(1 + t)2
dt
и постоянная c3 > 0 не зависит от q.
Оценим Nq сверху при достаточно больших q. Положим
Mq(t) = q ln t− β
t
κ(t)
, t ≥ 1. (16)
Используя (13) и лемму 1, имеем равенство
κ(t) = exp
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ + ψ(t)
, t ≥ 0,
где ϕ и ψ удовлетворяет условиям, указанным в лемме 1. Получим
g(t) = exp
t∫
0
ϕ(ζ)
ζ
dζ + ψ(t)
, h(t) = exp ψ(t).
Тогда g ∈ C1[0, +∞), g > 0 и
t g′(t) = o(g(t)) при t → +∞. (17)
Кроме того, существуют постоянные C3, C4 такие, что
C3 < h(t) < C4 для всех t ≥ 0. (18)
Отсюда и из (16) вытекает оценка
Hq(t) ≥ Θq(t), t ≥ 1,
160
Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами
где
Θq(t) = q ln t− β1
t
g(t)
, β1 = β/C3. (19)
Учитывая (18), из (13) и [13, п.1.5] получаем
g(t) = o(tλ) при t → +∞ и при любом λ > 0.
Тогда Θq(1) < 0 и Θq(t) → 0 при t → +∞ (см. (5)). Если Θq(t) 6 0 при всех t > 1,
из (19) и определения Nq имеем
Nq 6 1 . (20)
В противном случае существует точка tq ∈ (1, +∞), в которой функция Θq достигает
максимума (если таких точек несколько, выбираем одну из них произвольно). Тогда
Θ′
q(tq) = 0, откуда
q =
β1tq
g(tq)
(
1− tq
g′(tq)
g(tq)
)
.
В частности, tq → +∞ при q → +∞ и из (17) вытекает, что
β1tq ∼ qκ(tq) , q → +∞ . (21)
Кроме того, согласно (19)
Θq(t)
q
6 ln tq − β1
tq
qg(tq)
, t > 1 . (22)
Учитывая (22), (21), (13) и неравенство (20), которое может выполняться при неко-
торых q, получаем, что существует c3 > 0 такое, что
N1/q
q < c3 q g(q)
при всех q ∈ N. Теперь из условия (4) и оценки (15) следует (см. [1, гл. 1, следствие
2.1]), что числа Mq удовлетворяют (14). Таким образом, по теореме 1 получаем f = 0,
что и требовалось доказать.
Замечание. Из доказательства теоремы 2 видно, что ее утверждение останется
верным, если условие (11) заменить условиями (13) и (6).
1. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers, 2003.
2. Волчков В.В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах // Матем. сб. –
1995. – Т.186. – №6. – С.15-34.
3. Йон Ф.Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям
с частными производными. – М.: ИЛ, 1958.
4. Smith I.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Philos. Soc. –
1972. – V.72. – P.403-416.
5. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Illinois J. Math. –
1984. – V.28. – P.339-347.
6. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Anal. Math. –
1994. – V.63. – P.255-286.
161
О.А. Очаковская
7. Волчков В.В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Матем. сб. –
1997. – Т.188. – №9. – С.13-30.
8. Shahshahani M., Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric space //
Contemp. Math. – 1987. – V.63. – P.267-277.
9. Волчков В.В. Теоремы о шаровых средних на симметрических пространствах // Матем. сб. –
2001. – Т.192. – №9. – С.17-38.
10. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса
на полупространстве // Докл. РАН. 2001. – Т.381. – №6. – С.745-747.
11. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса //
Математическая физика, анализ, геометрия. – 2002. – Т.9. – №3. – С.493-501.
12. Очаковская О. А. Точные характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции
с нулевыми шаровыми средними // Матем. сб. – Т.199. – №1. – С.48-67.
13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144с.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ochakov@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 07.04.08
162
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19994 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:29:38Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Очаковская, О.А. 2011-05-19T19:24:03Z 2011-05-19T19:24:03Z 2008 Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 156-162. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19994 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса Article published earlier |
| spellingShingle | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса Очаковская, О.А. |
| title | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| title_full | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| title_fullStr | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| title_full_unstemmed | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| title_short | Свойство Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| title_sort | свойство лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19994 |
| work_keys_str_mv | AT očakovskaâoa svoistvoliuvillâdlâfunkciisnulevymiintegralamipošaramfiksirovannogoradiusa |