ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19996 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 171-178. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860065571614228480 |
|---|---|
| author | Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet | Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| citation_txt | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 171-178. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T17:07:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.5
c©2008. Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
ACL И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ КОЛЬЦЕВЫХ
ГОМЕОМОРФИЗМОВ
Доказано, что кольцевые Q–гомеоморфизмы, являющиеся естественным обобщением квазикон-
формных отображений в Rn, n ≥ 2, абсолютно непрерывны на линиях, принадлежат классу Собо-
лева W 1,1
loc и дифференцируемы почти всюду при Q ∈ L1
loc.
1. Введение. Приведём основные определения и обозначения, используемые
в дальнейшем. Всюду далее D – область в Rn, n ≥ 2. В дальнейшем B(x0, r) =
{x ∈ Rn : |x− x0| < r} , m(x) – n-мерная мера Лебега и Rn = Rn ∪ {∞} – одното-
чечная компактификация Rn. Напомним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞]
называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Rn, если
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1
для всех путей γ ∈ Γ. В этом случае мы пишем: ρ ∈ admΓ. Модулем семейства
кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Пусть D − область в Rn, n ≥ 2, E, F ⊆ Rn− произвольные множества. Обо-
значим через Γ(E, F, D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют
E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Следующее понятие,
мотивированное кольцевым определением квазиконформности по Герингу, см. [2], и
представляющее собой обобщение и локализацию понятия Q–отображения, впервые
было введено В.Рязановым, У.Сребро и Э.Якубовым на плоскости, см., напр., [8],
[9]. Пусть r0 = dist(x0, ∂D) и пусть Q : D → [0,∞] – измеримая по Лебегу функция.
Положим
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2},
S i = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri} , i = 1, 2.
Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольцевым Q–гомеоморфизмом в
точке x0 ∈ D, если соотношение
M (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (1)
171
Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0 и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1.
Если (1) выполнено для каждой точки x0 ∈ D, то f называется кольцевым Q−го-
меоморфизмом. Следует отметить, что в случае ограниченной функции Q(x), опре-
деления кольцевого Q–гомеоморфизма и Q–гомеоморфизма эквивалентны, и, фак-
тически, генерируют собой определение квазиконформных отображений, см. зна-
менитую работу Геринга [2]. В общем случае, каждый Q–гомеоморфизм является
кольцевым, но не наоборот: в работе [8] приведены примеры кольцевых Q–гомео-
морфизмов в фиксированной точке x0, таких что 0 < Q(x) < 1 на некотором мно-
жестве, для которого x0 является точкой плотности. Пусть D ⊂ Rn, n ≥ 2, и пусть
Q : D → [0,∞] – измеримая по Лебегу функция. В дальнейшем нам понадобятся по-
нятия конденсатора и ёмкости конденсатора, см., напр., § 5 в [4] или раздел 10 главы
2 в [7]. Конденсатором называют пару E = (A, C) , где A – открытое множество в
Rn, а C – компактное подмножество A. Конденсатор E называют кольцевым, если
A \ C является кольцом. Пусть E = (A, C) – конденсатор. Ёмкостью конденсатора
E называется следующая величина:
capE = cap (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|n dm(x),
где W0(E) = W0 (A, C) – семейство неотрицательных непрерывных функций u :
A → R с компактным носителем в A, таких что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и u ∈ ACL.
В формуле выше, как обычно, |∇u| =
(
n∑
i=1
(∂iu)2
)1/2
.
Пусть I = {x ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n} – открытый n−мерный интервал.
Говорят, что отображение f : I → Rn принадлежит классу ACL (или абсолют-
но непрерывно на линиях), если f абсолютно непрерывно на почти всех линейных
сегментах в I, параллельных координатным осям. Если D – область в Rn, то гово-
рят, что отображение f : D → Rn принадлежит классу ACL, когда сужение f |I
принадлежит классу ACL для каждого интервала I, I ⊂ D.
Замечание 1. Понятие ёмкости конденсатора в Rn можно перенести в Rn, см.
раздел 2.1 в [5].
В дальнейшем в расширенном пространстве Rn = Rn
⋃{∞} используется сфе-
рическая (хордальная) метрика h(x, y) = |π(x) − π(y)|, где π – стереографическая
проекция Rn на сферу Sn(1
2en+1,
1
2) в Rn+1:
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y.
172
ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов
Известно, что
(cap E)n−1 ≥ bn
d(C)n
m(A)
,
где d(C) – диаметр компакта C, m(A) – мера Лебега множества A, bn – положитель-
ная константа, зависящая только от размерности n, см. Лемму 5.9 в [4].
Результаты, сформулированные в статье, были получены ранее одним из авторов
для более узкого класса Q–гомеоморфизмов в работе [11].
2. Дифференцируемость почти всюду.
Теорема 1. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и f : D → Rn кольцевой Q–
гомеоморфизм с Q ∈ L1
loc. Тогда f дифференцируемо почти всюду в D.
Рассмотрим функцию множеств, определенную над алгеброй борелевских мно-
жеств B в D, Φ(B) = m (fB). По теореме о дифференцируемости неотрицательных
субаддитивных функций множества, см., напр., III.2.4 в [6], существует конечный
предел для п.в x
ϕ(x) = lim sup
ε→0
Φ(B(x, ε))
Ωnεn
< ∞,
где B(x, ε) – шар в Rn с центром в точке x ∈ D радиуса ε > 0, Ωn – объем единичного
шара в Rn. При x и y ∈ D, полагаем
L(x, f) = lim sup
y→x
|f(y)− f(x)|
|y − x| .
Таким образом, по теореме Радемахера-Степанова, см., напр., [10], с. 311, доказа-
тельство теоремы сводится к доказательству следующей леммы.
Лемма 1. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и f : D → Rn – кольцевой Q-
гомеоморфизм с Q ∈ L1
loc. Тогда п.в.
L(x, f) ≤ γn ϕ
1
n (x) Q
n−1
n (x),
где константа γn зависит только от n.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что ∞ /∈ D ′ =
f(D). Рассмотрим сферическое кольцо Rε(x) = {y : ε < |x − y| < 2ε}, x ∈ D,
с произвольным ε > 0 таким, что B(x, 2ε) ⊂ D. Тогда E =
(
B (x, 2ε) , B (x, ε)
)
–
конденсатор в D, а fE =
(
fB (x, 2ε) , fB (x, ε)
)
– конденсатор в D ′. Согласно [12],
cap
(
fB(x, 2ε), fB(x, ε)
)
= M (4(∂fB(x, 2ε), ∂fB(x, ε); fRε(x))) (2)
и, ввиду гомеоморфности f,
4 (∂fB (x, 2ε) , ∂fB (x, ε) ; fRε(x)) = f (4 (∂B(x, 2ε), ∂B(x, ε);Rε(x))) . (3)
По определению кольцевого Q–гомеоморфизма из (2) и (3) следует, что
cap
(
fB(x, 2ε), fB (x, ε)
)
≤
∫
Rε(x)
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm
173
Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
для любой неотрицательной функции η на (0,∞) такой, что
2ε∫
ε
η(t)dt ≥ 1. Рассмот-
рим параметрическое семейство вещественнозначных функций
ηε(t) =
{ 1
ε
, t ∈ (ε, 2ε),
0, t ∈ R \ (ε, 2ε).
По определению кольцевого отображения,
cap (fB(x, 2ε), fB(x, ε)) ≤ 2nΩn
m(B(x, 2ε))
∫
B(x,2ε)
Q(y) dm. (4)
С другой стороны, по лемме 5.9 в [4], получаем
cap (fB(x, 2ε), fB(x, ε)) ≥
(
Cn
dn(fB(x, ε))
m(fB(x, 2ε))
) 1
n−1
, (5)
где Cn – константа, зависящая только от размерности пространства n, d(A) – диа-
метр, а m(A) – мера Лебега множества A в Rn. Комбинируя (4) и (5), получаем,
что
d(fB(x, ε))
ε
≤ γn
(
m(fB(x, 2ε))
m(B(x, 2ε))
)1/n
1
m(B(x, 2ε))
∫
B(x,2ε)
Q(y) dm
(n−1)/n
и, следовательно, п.в.
L(x, f) ≤ lim sup
ε→0
d(fB(x, ε))
ε
≤ γn ϕ1/n(x) Q(n−1)/n(x) .
Следствие 1. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и пусть f : D → Rn – коль-
цевой Q–гомеоморфизм c Q ∈ L1
loc. Тогда f имеет локально суммируемые частные
производные.
Доказательство. Для компактного множества V ⊂ D имеем, что
∫
V
L(x, f) dx ≤ γn
∫
V
ϕ1/n(x) Q(n−1)/n(x) dm
и, применяя неравенство Гёльдера, см., напр., (17.3) в [1] при p = n и q = n/(n− 1),
получаем
∫
V
ϕ1/n(x) Q(n−1)/n(x) dm ≤
∫
V
ϕ(x) dm
1/n
∫
V
Q(x) dm
(n−1)/n
.
174
ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов
Окончательно, ввиду того, что Q ∈ L1
loc, по теореме Лебега приходим к заклю-
чению, что
∫
V
L(x, f) dm ≤ γn m(fV )1/n
∫
V
Q(x) dm
(n−1)/n
< ∞ .
Следствие 2. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и пусть f : D → Rn – кольцевой
Q–гомеоморфизм с Q ∈ L1
loc. Тогда п.в.
KO(x, f) ≤ Cn Qn−1(x),
где постоянная Cn зависит только от n.
Здесь через KO(x, f), как обычно, обозначается внешняя дилатация отображения
f в точках дифференцируемости x, т.е.
KO(x, f) =
{ |f ′(x)|n
|J(x,f)| , J(x, f) 6= 0,
1, f ′(x) = 0,
и KO(x, f) = ∞ в остальных случаях.
3. Абсолютная непрерывность на линиях.
Теорема 2. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и f : D → Rn кольцевой Q–
гомеоморфизм с Q ∈ L1
loc. Тогда f ∈ ACL.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что ∞ /∈ D ′ =
f(D). Пусть I−n-мерный интервал в Rn с ребрами, параллельными осям координат
и I ⊂ D. Тогда I = I0×J , где I0 – (n− 1)-мерный интервал в Rn−1, J – одномерный
интервал, J = (a, b). Далее отождествляем Rn−1 ×R с Rn. Покажем, что для почти
всех сегментов Jz = {z} × J, z ∈ I0, отображение f |Jz абсолютно непрерывно.
Рассмотрим функцию множеств, определенную над алгеброй борелевских мно-
жеств B в I0, Φ(B) = m (f(B × J)). Согласно 2.2, 2.3 и 2.12 в [4],
ϕ(z) = lim sup
r→0
Φ(B(z, r))
Ωn−1rn−1
< ∞ (6)
для п.в. z ∈ I0, где через B(z, r) обозначается шар в I0 ⊂ Rn−1 с центром в точке
z ∈ I0 радиуса r, Ωn−1 – объем единичного шара в Rn−1.
Пусть ∆i, i = 1, 2, ..., – некоторая перенумерация совокупности S всех интерва-
лов в J с ∆i ⊂ J и рациональными концами и пусть
ϕi(z) :=
∫
∆i
Q(z, xn) dxn.
Тогда по теореме Фубини, см., напр., III. 8.1 в [10], функции ϕi(z) п.в. конечны и
интегрируемы по z ∈ I0. Кроме того, п.в. существует конечный предел
lim
r→0
Φi(B(z, r))
Ωn−1rn−1
= ϕi(z), (7)
175
Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
где
Φi(B(z, r)) =
∫
B(z,r)
ϕi(ζ) dζ, z ∈ I0.
Докажем, что отображение f абсолютно непрерывно на каждом сегменте Jz, z ∈ I0,
где пределы (6) и (7) существуют и конечны. Обозначим соответствующее множе-
ство z через Z0 и покажем, что сумма диаметров образов любого конечного набо-
ра непересекающихся сегментов в Jz = {z} × J , z ∈ Z0, стремится к нулю вме-
сте с суммарной длиной интервалов. Ввиду непрерывности f вдоль Jz, достаточно
проверить этот факт для сегментов с рациональными концами в Jz. Итак, пусть
∆∗
i = {z} × ∆i ⊂ Jz, z ∈ Z0, i = 1, 2, ..., k, где ∆i ∈ S, i = 1, ..., k, взаимно не пе-
ресекаются. Без ограничения общности можно считать, что ∆i , i = 1, ..., k, также
попарно не пересекаются.
Пусть δ > 0 – произвольное рациональное число, которое меньше половины ми-
нимального расстояния между ∆i , i = 1, ..., k, а также меньше их расстояния до
концевых точек интервала J . Пусть ∆i = (αi, βi), δi = (αi − δ, βi + δ), i = 1, ..., k,
и Ai = Ai(r) = B(z, r) × δi, где B(z, r) – открытый шар в I0 ⊂ Rn−1 с центром в
точке z и радиуса r > 0. При малых r > 0, Ei = (Ai,∆∗
i ), i = 1, ..., k, – конденсаторы
в I и, следовательно, fEi = (fAi, f∆∗
i ), i = 1, ..., k, – также конденсаторы в D ′. В
соответствии с работой [12],
cap (fAi, f∆∗
i ) = M (4(∂fAi, f∆∗
i ; fAi)) (8)
и, как легко видеть, по гомеоморфности f
4 (∂fAi, f∆∗
i ; fAi) = f (4(∂Ai, ∆∗
i ;Ai)) . (9)
Рассмотрим кольцо ε1 < |x− z0| < ε2, где z0 =
(
z, αi+βi
2
)
, ε1 = βi−αi
2 , ε2 = βi−αi
2 + δ.
Пусть Γi – семейство кривых, соединяющих сферы S1 = {|x− z0| = ε1} и S2 =
{|x− z0| = ε2} в Rn. Заметим, что Γi < 4(∂Ai, ∆∗
i ;Ai) и
M (f(4(∂Ai, ∆∗
i ; Ai))) ≤ M(f(Γi)) (10)
в силу минорирования. При r < δ рассмотрим семейство функций
ηi(t) =
1
r , t ∈
(
βi−αi
2 , βi−αi
2 + δ
)
,
0, t ∈ R \
(
βi−αi
2 , βi−αi
2 + δ
)
.
По определению кольцевого Q–гомеоморфизма из (8), (9), (10)
cap (fAi, f∆∗
i ) ≤
1
rn
∫
Ai
Q(x) dm. (11)
C другой стороны, известно, см. лемма 5.9 в [4], что
cap (fAi, f∆∗
i ) ≥
(
n
dn
i
mi
) 1
n−1
, (12)
176
ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов
где di – диаметр множества f∆∗
i , а mi – объем множества fAi, а Cn – константа,
зависящая только от размерности пространства.
Комбинируя (11) и (12), имеем неравенство
(
dn
i
mi
) 1
n−1
≤ n
rn
∫
Ai
Q(x)dm (13)
с новой константой cn, зависящей только от n, при всех i = 1, ..., k.
Далее, по дискретному неравенству Гельдера, см., напр., (17.3) в [1], с p = n/(n−
1) и q = n, xk = dk/m
1/n
k и yk = m
1/n
k , получаем, что
k∑
i=1
di ≤
(
k∑
i=1
(
dn
i
mi
) 1
n−1
)n−1
n
(
k∑
i=1
mi
) 1
n
,
т.е. (
k∑
i=1
di
)n
≤
(
k∑
i=1
(
dn
i
mi
) 1
n−1
)n−1
Φ(B(z, r)),
и ввиду (13)
(
k∑
i=1
di
)n
≤ γn
Φ(B(z, r))
Ωn−1rn−1
k∑
i=1
∫
Ai
Q(x) dm
Ωn−1rn−1
n−1
,
где γn зависит только от n. Переходя к верхнему пределу при r → 0, а затем к
пределу при δ → 0, получаем
(
k∑
i=1
di
)n
≤ γn ϕ(z)
(
k∑
i=1
ϕi(z)
)n−1
. (14)
Наконец, в силу (14) абсолютная непрерывность неопределенного интеграла Q над
сегментами Jz, z ∈ Z0, влечет абсолютную непрерывность на том же сегменте отоб-
ражения f .
Комбинируя теорему 2 и следствие 1, получаем заключение, см., напр., [3].
Следствие 3. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и f : D → Rn кольцевой Q–
гомеоморфизм с Q ∈ L1
loc. Тогда f ∈ W 1,1
loc .
1. Беккенбах Э., Белман Р. Неравенства. – Москва: Наука, 1965.
2. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. –
103. – P.353-393.
3. Maz’ya V. Sobolev classes. – Berlin – New York: Springer, 1985.
4. Martio O., Rickman S. and Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1. – 1969. – 448. – P.1-40.
5. Martio O., Rickman S. and Vaisala J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1970. – 465. – P.1-13.
177
Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
6. T. Rado, P.V. Reichelderfer. Continuous Transformations in Analysis. – Berlin etc.: Spinger, 1955.
7. Rickman S. Quasiregular mappings. Results in Mathematic and Related Areas (3), 26. – Berlin:
Springer-Verlag, 1993.
8. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. d’Anal. Math.
– 2005. – 96. – P.117-150.
9. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Ukrain.
Math. Bull. – 2007. – 4, no.1. – P.79-115.
10. Saks S. Theory of the integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1937.
11. Салiмов Р.Р. До теорiї локальної поведiнки вiдображень зi скiнченним спотворенням // Авто-
реферат дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико–математичних наук, 16с.,
Донецьк, 2007.
12. Шлык В.А. О равенстве между p – ёмкостями и p – модулями // Сиб. мат. ж. – 1993. – 34, №6.
– C.216-221.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
salimov@iamm.ac.donetsk.ua, e_sevostyanov@rambler.ru
Получено 07.04.08
178
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19996 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:07:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. 2011-05-19T19:28:11Z 2011-05-19T19:28:11Z 2008 ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 171-178. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19996 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов Article published earlier |
| spellingShingle | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| title | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| title_full | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| title_fullStr | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| title_full_unstemmed | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| title_short | ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| title_sort | acl и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеоморфизмов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19996 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr aclidifferenciruemostʹpočtivsûdukolʹcevyhgomeomorfizmov AT sevostʹânovea aclidifferenciruemostʹpočtivsûdukolʹcevyhgomeomorfizmov |