Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19999 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ / С.М. Чуйко, О.С. Чуйко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 197-207. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-19999 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чуйко, С.М. Чуйко, О.С. 2011-05-19T19:39:16Z 2011-05-19T19:39:16Z 2008 Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ / С.М. Чуйко, О.С. Чуйко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 197-207. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19999 517.9 uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| spellingShingle |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ Чуйко, С.М. Чуйко, О.С. |
| title_short |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| title_full |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| title_fullStr |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| title_full_unstemmed |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| title_sort |
крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ |
| author |
Чуйко, С.М. Чуйко, О.С. |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, О.С. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/19999 |
| citation_txt |
Крайові задачі з перемиканнями та імпульсним збуренням на границі двох середовищ / С.М. Чуйко, О.С. Чуйко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 197-207. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT čuikosm kraiovízadačízperemikannâmitaímpulʹsnimzburennâmnagranicídvohseredoviŝ AT čuikoos kraiovízadačízperemikannâmitaímpulʹsnimzburennâmnagranicídvohseredoviŝ |
| first_indexed |
2025-11-27T02:41:06Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:41:06Z |
| _version_ |
1850794955856936960 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.9
c©2008. С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПЕРЕМИКАННЯМИ ТА IМПУЛЬСНИМ
ЗБУРЕННЯМ НА ГРАНИЦI ДВОХ СЕРЕДОВИЩ
Застосовуючи теорiю псевдообернених матриць, вдосконалено схему дослiдження задач про iс-
нування та побудову розв’язкiв нетерових крайових задач для лiнiйних систем диференцiальних
рiвнянь з перемиканнями та iмпульсним впливом типу "interface conditions". Такий пiдхiд дозволив
покращити ранiше вiдомi результати та отримати новi факти в теорiї лiнiйних крайових задач iз
перемиканнями та iмпульсним впливом типу "interface conditions".
1. Лiнiйнi системи з перемиканнями. Розглянемо задачу про знаходження
розв’язку [1, 2, 3, 4, 5, 6]
z(t) = col
(
z1(t), ... , zn(t)
)
, zj(·) ∈ C1
{
[a, b ]\{τi}I
}
, zj(·) ∈ C[a, b], j = 1, 2, . . . , n
лiнiйного однорiдного рiвняння з перемиканнями
dz/dt = Ai(t)z, t ∈ [τi; τi+1], (1)
де Ai(t)−(n×n) – вимiрнi матрицi, неперервнi на вiдрiзках [a; τ1], [τ1; τ2], ... , [τp; b].
Нехай W0(t) – нормальна (W0(a) = In) фундаментальна матриця системи (1) на
вiдрiзку [a; τ1], а W1(t) – фундаментальна матриця системи (1) на вiдрiзку [τ1; τ2],
яка задовольняє умовi W0(τ1) = W1(τ1). Iснування нормальної (W0(τ1) = W1(τ1))
фундаментальної матрицi системи (1) на вiдрiзку [τ1; τ2] випливає iз невиродженостi
фундаментальних матриць системи (1) на вiдрiзках [a; τ1] та [τ1; τ2]. Таким чином,
нормальна (X0(a) = In) фундаментальна матриця X0(t) системи (1) зображувана у
виглядi
X0(t) =
W0(t), t ∈ [a; τ1], W0(a) = In,
W1(t), t ∈ [τ1; τ2], W0(τ1) = W1(τ1),
........ , ............. , .......................... ,
Wp(t), t ∈ [τp; b], Wp(τp) = Wp−1(τ1).
(2)
Матриця X0(t) неперервна на вiдрiзку [a; b] i задовольняє системi (1).
Лема 1. Загальний розв’язок системи (1) звичайних диференцiальних рiвнянь
з перемиканнями зображуваний у виглядi z(t, c) = X0(t)c, c ∈ Rn; тут X0(t)−
нормальна (X0(a) = In) фундаментальна матриця (2) системи (1).
Приклад 1. Нормальна (X0(0) = 1) фундаментальна матриця системи з пере-
миканнями
dz/dt = z, t ∈ [0; 1],
dz/dt = 0, t ∈ [1; 2],
dz/dt = −z, t ∈ [2; 3]
(3)
197
С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
неперервна i має вигляд
X0(t) =
et, t ∈ [0; 1],
e, t ∈ [1; 2],
e3−t, t ∈ [2; 3].
2. Лiнiйнi крайовi задачi з iмпульсним впливом типу "interface
conditions" для систем з перемиканнями. Розглянемо задачу про знаходження
розв’язкiв
z = z(t) = col
(
z1(t), ... , zn(t)
)
, zj(·) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, j = 1, 2, . . . , n
системи (1) з перемиканнями, якi задовольняють крайовi умови типу "interface
conditions"
`i z(·) = 0, i = 1, 2, . . . , p, (4)
де `iz(·) – лiнiйнi векторнi функцiонали `iz(·) : C1
{
[a, τi+1 [ \ {τ1, . . . , τi}I
}
→ Rk
вигляду
`iz(·) =
i∑
j=0
`
(j)
i z(·),
де
`
(0)
i z(·) : C1[a, τ1 [ → Rk, . . . , `
(i)
i z(·) : C1[τi, τi+1 [ → Rk, i = 1, . . . , p− 1, . . . ,
`(0)
p z(·) : C1[a, τ1 [→ Rk, . . . , `(p)
p z(·) : C1[τp, b ] → Rk
лiнiйнi обмеженi функцiонали. Задача (1), (4) являє собою узагальнення задач з
невиродженим iмпульсним впливом, докладно вивчених у працях А.М. Самойленка
та М.О. Перестюка [6], а також двоточкових задач з умовами вигляду
Miz(τi − 0) + Niz(τi + 0) = 0, i = 1, 2, . . . , p ,
де Mi, Ni – сталi (m×n) – вимiрнi матрицi. Останнi задачi були вивченi Р. Контi [7]
i, в свою чергу, узагальнювали двоточковi задачi з квадратними (n×n) – матрицями
Mi, Ni, дослiдженi в [8, 9], i у випадку невиродженостi матриць Ni розглянутi в [10].
Задача (1), (4) являє собою також узагальнення задач з виродженим iмпульсним
впливом [4, 11], задач iз iмпульсним впливом типу "interface conditions" [12, 13] та
задачi [2] на випадок систем з перемиканнями.
Нормальну X(a) = In фундаментальну матрицю X(t) задачi (1), (4) шукаємо у
виглядi
X(t) =
X0(t)Y0, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)Y1, t ∈ [τ1; τ2[,
X0(t)Y2, t ∈ [τ2; τ3[,
........... , .............. ,
X0(t)Yp, t ∈ [τp; b].
(5)
198
Крайовi задачi з перемиканнями та iмпульсним збуренням на границi двох середовищ
Для знаходження невiдомої сталої (n× n)− вимiрної матрицi Y1 покладемо Y0 = In
i скористаємось крайовою умовою (4)
Q1Y1 = `
(0)
1 X0(·)Y0, (6)
де Q1 = −`
(1)
1 X0(·) – стала (k× n)− вимiрна матриця. Рiвняння (6) розв’язне тодi й
тiльки тодi, коли
PQ∗1`
(0)
1 X0(·)Y0 = 0. (7)
За умови (7), у випадку k ≥ n, якщо матриця Q1 повного рангу, то рiвняння (6) має
єдиний розв’язок Y1 = Q+
1 `
(0)
1 X0(·). Тут Q+
1 – стала (n×k)− вимiрна псевдообернена
за Муром-Пенроузом до Q1 матриця, PQ∗1− ортопроектор Rk → N(Q∗
1). Тодi
X(t) = X0(t)Q+
1 `
(0)
1 X0(·), t ∈ [τ1, τ2[.
Для знаходження (n×n)− матрицi Y2, використовуємо умову (4); позначаючи (k×n)
– матрицю Q2 = −`
(2)
2 X0(·), одержуємо рiвняння Q2Y2 = `
(0)
2 X0(·)+ `
(1)
2 X0(·)Y1,
розв’язне тодi й тiльки тодi, коли
PQ∗2
{
`
(0)
2 X0(·)Y0 + `
(1)
2 X0(·)Y1
}
= 0 (8)
i однозначно розв’язне за умови повноти рангу матрицi Q2: Y2 = Q+
2
{
`
(0)
2 X0(·)+
`
(1)
2 X0(·)Y1
}
. Таким чином, при t ∈ [τ2, τ3[
X(t) = X0(t)Q+
2
{
`
(0)
2 X0(·) + `
(1)
2 X0(·)Y1
}
.
На промiжку [τp, b] шукану матрицю X(t) визначає (k × n)− матриця Yp, для зна-
ходження якої одержуємо рiвняння
QpYp =
p−1∑
j=0
`(j)
p X0(·)Yj ,
розв’язне тодi й тiльки тодi, коли
PQ∗p
p−1∑
j=0
`(j)
p X0(·)Yj = 0. (9)
За умови (9) у випадку повноти рангу (k×n) – матрицi Qp = −`
(p)
p X0(·) на промiжку
[τp, b] шукана матриця X(t) має вигляд
X(t) = X0(t)Q+
p
p−1∑
j=0
`(j)
p X0(·)Yj .
199
С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
У випадку неперервної на всьому вiдрiзку [a, b] матрицi A(t), для виродженого iм-
пульсного впливу побудована матриця X(t) спiвпадає з матрицею [4, c.589], а у
випадку невиродженого – з матрицею [6, c.53]. В свою чергу, побудована матри-
ця X(t) узагальнює нормальну фундаментальну матрицю [12] на випадок систем з
перемиканнями.
Лема 2. Задача Кошi
z(a) = c (10)
для системи (1), (4) з перемиканнями розв’язна тодi й тiльки тодi, коли виконанi
умови
PQ∗i
i−1∑
j=0
`
(j)
i X0(·)Yj = 0, i = 1, 2, . . . , p,
при k ≥ n, у випадку повноти рангу матриць Q1, Q2, . . . , Qp має розв’язок
z(t, c) = X(t) c, c ∈ Rn,
зображуваний нормальною (X(a) = In) фундаментальною матрицею
X(t) =
X0(t)Y0, Y0 = In, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)Y1, Y1 = Q+
1 `
(0)
1 X0(·), t ∈ [τ1; τ2[,
X0(t)Y2, Y2 = Q+
2
{
`
(0)
2 X0(·) + `
(1)
2 X0(·)Y1
}
, t ∈ [τ2; τ3[,
.............. ................................................. ................
X0(t)Yp, Yp = Q+
p
p−1∑
j=0
`
(j)
p X0(·)Yj , t ∈ [τp; b]
задачi (1), (4).
Приклад 2. Знайдемо нормальну X(0) = 1 фундаментальну матрицю X(t)
крайової задачi з двома крайовими умовами типу "interface conditions"
dz/dt = z, t ∈ [0; 1[,
dz/dt = 0, t ∈ [1; 2[,
dz/dt = −z, t ∈ [2; 3],
4z(1) = −z(1− 0), τ1 = 1,
z(2 + 0) = z(1− 0), τ2 = 2.
(11)
Умови леми 2 виконанi, отже система (11) розв’язна, причому матриця X0(t) спiв-
падає з матрицею, яка знайдена в прикладi 1, тому Y1 = 0, Y2 = 1, отже
X(t) =
et, t ∈ [0; 1[,
0, t ∈ [1; 2[,
e3−t, t ∈ [2; 3].
На вiдмiну вiд задач з виродженим iмпульсним впливом [4], для яких ранг X(t)
вздовж вiдрiзку [a, b] не зростає, число лiнiйно-незалежних розв’язкiв задачi (11) в
момент t = 2 змiнюється з нуля на одиницю.
200
Крайовi задачi з перемиканнями та iмпульсним збуренням на границi двох середовищ
3. Традицiйна неоднорiдна задача Кошi. Задача про знаходження
умов iснування та побудову розв’язкiв
z = z(t) = col
(
z1(t), ... , zn(t)
)
, zj(·) ∈ C1
{
[a, b ] \ {τi}I
}
, j = 1, 2, . . . , n
неоднорiдної системи диференцiальних рiвнянь
dz/dt = A(t)z + f(t), t 6= τi (12)
з невиродженим (det(In + Si) 6= 0) iмпульсним впливом
∆z(τi) = Siz(τi − 0) + ai, i = 1, 2, . . . , p (13)
була розв’язана А.М. Самойленком та М.О. Перестюком у монографiї [6] та уза-
гальнювала задачу з крайовими умовами типу "shock conditions" [14]. Припустимо,
що компоненти aij(t), i, j = 1, 2, . . . , n матрицi A(t) неперервнi на всьому вiдрiзку
[a, b], f(t) – неперервна, за виключенням точок τi вектор-функцiя; в точках τi :
a < τ1 < ... < τp < b, функцiя f(t), як i розв’язок задачi (12), (13) можливо, зазнає
розриви ∆z(τi) = z(τi + 0) −z(τi − 0), першого роду, Si – сталi (n × n) – вимiрнi
матрицi, ai ∈ Rn, i = 1, 2, . . . , p. Загальний розв’язок задачi (12), (13)
z(t, c) = X(t)c +
∫ b
a
K(t, τ)f(τ)dτ +
p∑
i=1
K̄(t, τi)ai
у випадку невиродженого iмпульсного впливу зображуваний [3, 6] нормальною фун-
даментальною (X(a) = In) матрицею X(t) однорiдної частини задачi (12), (13) та
матрицею Кошi
K(t, τ) =
{ −X(t)X−1(τ), a ≤ t ≤ τ ≤ b,
0 , a ≤ τ < t ≤ b
неоднорiдної задачi (12), (13), причому K̄(t, τi) = K(t, τi − 0)(In + Si)−1.
Приклад 3. Як приклад аналiзу крайових задач з невиродженим iмпульсним
впливом, розглянемо модель, що описує динамiку змiн внескiв s(t) з урахуванням
сталих складових номiнальних рiчних ставок δ(t), залежностi номiнальних рiчних
ставок вiд величин внескiв Ds(t), фiксованих внескiв на банкiвськi рахунки (ai > 0),
i = 1, 2, . . . , p, фiксованих виплат (ai < 0) i внескiв, або виплат, якi лiнiйно
залежать вiд величин внескiв Bis(τi − 0) вигляду
ds
dt
= Ds(t) + δ(t), t 6= τi, ∆s(τi) = Bis(τi − 0) + ai. (14)
Тут Bi й D – сталi (n× n)-вимiрнi матрицi, δ(·), s(·) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, ai ∈ Rn.
Система (14) узагальнює численнi постановки задач про динамiку банкiвських
заощаджень, зокрема – з урахуванням зменшення вiдсоткiв нарахувань пропорцiй-
но збiльшенню грошових заощаджень задля запобiгання надмiрному збагаченню.
201
С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
Розв’язки системи (14) можуть демонструвати досить складну поведiнку, яка вклю-
чає в себе як перiодичнi траєкторiї, так i цiлком хаотичнi коливання [15]. У випадку
невиродженого iмпульсного впливу модель (14) дозволяє за величиною початкового
внеску s(a) знайти накопичену вартiсть
s(t) = X(t)
(
s(a)−
∫ b
a
K(a, τ)f(τ)dτ −
p∑
i=1
K̄(a, τi)ai
)
+
+
∫ b
a
K(t, τ)f(τ)dτ +
p∑
i=1
K̄(t, τi)ai;
за величиною накопиченої вартостi s(b) знайти величину початкового внеску
s(a) = X−1(b)s(b) +
∫ b
a
K(a, τ)f(τ)dτ +
p∑
i=1
K̄(a, τi)ai
i за умови рiвних внескiв (або виплат) ai, за вiдомою величиною початкового внеску
s(a) та накопиченої вартостi s(b), у випадку невиродженостi матрицi
D =
p∑
i=1
K̄(a, τi), K̄(t, τi) = K(t, τi − 0)(In + Bi)−1
знайти величину внескiв (або виплат)
ai = D−1
(
s(a)−X−1(b)s(b)−
∫ b
a
K(a, τ)f(τ)dτ
)
.
Моделювання динамiки змiни внескiв у виглядi (14) та побудова розв’язкiв з викори-
станням матрицi Кошi K(t, τ) вигляду [3] найбiльш зручнi завдяки лiнiйнiй та явнiй
залежностi частинного розв’язку задачi (14) вiд ai, але можливi тiльки у випадку
невиродженого iмпульсного впливу.
4. Узагальнена неоднорiдна задача Кошi для систем з перемиканнями.
Узагальненням, як задач з невиродженим, так i з виродженим iмпульсним впливом
(12), (13) є задача про знаходження розв’язкiв
z = z(t) = col
(
z1(t), ... , zn(t)
)
, zj(·) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, j = 1, 2, . . . , n
системи звичайних диференцiальних рiвнянь з перемиканнями
dz/dt = Ai(t)z + f(t), t ∈ [τi; τi+1], (15)
якi задовольняють крайовим умовам типу "interface conditions" [12, 16]
`i z(·) = ai, i = 1, 2, . . . , p, (16)
202
Крайовi задачi з перемиканнями та iмпульсним збуренням на границi двох середовищ
де ai сталi вектори з Rk, `iz(·) – лiнiйнi векторнi функцiонали
`i z(·) : C1
{
[a, τi+1 [\{τ1, . . . , τi}I
}
→ Rk
вигляду
`i z(·) =
i∑
j=0
`
(j)
i z(·),
де
`
(0)
i z(·) : C1[a, τ1 [→ Rk, . . . , `
(i)
i z(·) : C1[τi, τi+1 [→ Rk, i = 1, . . . , p− 1, . . . ,
`(0)
p z(·) : C1 [a, τ1 [ → Rk, . . . , `(p)
p z(·) : C1[τp, b ] → Rk
лiнiйнi обмеженi функцiонали. Припустимо умови леми 2 виконаними. Внаслiдок
неперервностi на промiжку [a, τ1[ розв’язок задачi Кошi (10), (15), (16) зображуваний
сумою z(t, c) = X0(t)c + I(t), де I(t) = X0(t)
∫ t
a X−1
0 (s)f(s)ds. Розв’язок задачi Кошi
(15), (16), (10) на промiжку [τ1, τ2[ шукаємо у виглядi
z(t, c) = X0(t)γ1 + I(t), γ1 ∈ Rn.
Для знаходження невiдомої γ1 одержуємо рiвняння Q1γ1 = `
(0)
1 X0(·)c + `1I(·) − a1,
для розв’язностi якого необхiдно i достатньо, щоб PQ∗1
{
`
(0)
1 X0(·)c + `1I(·)− a1
}
= 0.
З урахуванням (7), остання умова спрощується
PQ∗1
{
`1I(·)− a1
}
= 0. (17)
За умови (17), враховуючи, що (згiдно лемi 2) k ≥ n та матриця Q1-повного
рангу, знаходимо γ1 = Q+
1
{
`
(0)
1 X0(·)c + `1I(·) − a1
}
, звiдки γ1 = Y1c + γ̄1, де
γ̄1 = Q+
1
{
`1I(·)− a1
}
. Таким чином, розв’язок задачi Кошi (15), (16), (10) на [τ1, τ2[
має вигляд
z(t, c) = X(t)c + K
[
f(s); a1
]
(t),
де K
[
f(s); a1
]
(t) = X0(t)γ̄1 + I(t). Розв’язок задачi Кошi (15), (16), (10) на [τ2, τ3[
шукаємо у виглядi z(t, γ2) = X0(t)γ2 + I(t), γ2 ∈ Rn. Для знаходження невiдомої γ2
одержуємо рiвняння
Q2γ2 = `
(0)
2 X0(·)c + `
(1)
2 X0(·)Y1c + `
(1)
2 X0(·)γ1 + `2I(·)− a2,
для розв’язностi якого, з урахуванням (8), необхiдно i достатньо, щоб
PQ∗2
{
`
(1)
2 X0(·)γ̄1 + `2I(·)− a2
}
= 0. (18)
203
С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
За умови (18), враховуючи, що (згiдно лемi 2) k ≥ n та матриця Q2-повного ран-
гу, знаходимо γ2 = Y2c + γ̄2, де γ̄2 = Q+
2
{
`
(1)
2 X0(·)γ1 + `2I(·) − a2
}
. Таким чи-
ном, розв’язок задачi Кошi (15), (16), (10) на [τ2, τ3[ має вигляд z(t, c) = X(t)c+
K
[
f(s); a2
]
(t), де
K
[
f(s); a2
]
(t) = X0(t)γ̄2 + I(t).
Розв’язок задачi Кошi (15), (16), (10) на промiжках [τi, τi+1[, де i = 3, 4, . . . , p− 1,
а також на вiдрiзку [τp, b] шукаємо у виглядi z(t, γi) = X0(t)γi + I(t), γi ∈ Rn. Для
знаходження невiдомої γp одержуємо рiвняння
Qpγp =
{ p−1∑
j=0
`(j)
p X0(·)Yj
}
c +
p−1∑
j=1
`(j)
p X0(·)γ̄j + `pI(·)− ap,
для розв’язностi якого, з урахуванням (9), необхiдно i достатньо, щоб
PQ∗p
{ p−1∑
j=1
`(j)
p X0(·)γ̄j + `pI(·)− ap
}
= 0. (19)
За умови (19), враховуючи, що (згiдно лемi 2) k ≥ n та матриця Qp-повного рангу,
знаходимо γp = Ypc + γ̄p, де
γ̄p = Q+
p
{ p−1∑
j=1
`(j)
p X0(·)γ̄j + `pI(·)− ap
}
.
При цьому розв’язок задачi Кошi (15), (16), (10) на промiжку [τp, b] має вигляд
z(t, c) = X(t)c + K
[
f(s); ap
]
(t),
де K
[
f(s); ap
]
(t) = X0(t)γ̄p + I(t). Таким чином, доведено наступну лему.
Лема 3. Нехай умови леми 2 та вимоги
PQ∗i
{ i−1∑
j=1
`
(j)
i X0(·)γ̄j + `iI(·)− ai
}
= 0, i = 1, 2, . . . , p
виконанi. Неоднорiдна задача Кошi (10), (15), (16) при цьому має єдиний розв’язок
z(t, c) = X(t)c + K
[
f(s); ai
]
(t), (20)
204
Крайовi задачi з перемиканнями та iмпульсним збуренням на границi двох середовищ
де
K
[
f(s); ai
]
(t) =
I(t) = X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)f(s)ds, t ∈ [a, τ1[,
X0(t)Q+
1
{
`1I(·)− a1
}
+ I(t), t ∈ [τ1, τ2[,
X0(t)Q+
2
{
`
(1)
2 X0(·)γ1 + `2I(·)− a2
}
+ I(t), t ∈ [τ2, τ3[,
................................................................... , ................
X0(t)Q+
p
{
p−1∑
j=1
`
(j)
p X0(·)γ̄j + `pI(·)− ap
}
+ I(t), t ∈ [τp, b]
узагальнений оператор Грiна задачi Кошi (10), (15), (16).
Приклад 4. Умови леми 3 виконуються для системи
dz/dt = 1, t ∈ [0; 3], t 6= τi,
`1z(·) =
1∫
0
z(t)dt−
2∫
1
z(t)dt = 0, τ1 = 1.
`2z(·) =
1∫
0
z(t)dt +
2∫
1
z(t)dt− 2
3∫
2
z(t)dt = 0, τ2 = 2.
(21)
Загальний розв’язок системи (21) має вигляд (20), де нормальна фундаментальна
матриця X(t) ≡ 1, t ∈ [0, 3], а частинний розв’язок визначає оператор Грiна задачi
Кошi
K
[
f(s); ai
]
(t) =
t + 1, t ∈ [0, 1[,
t + 3, t ∈ [1, 2[,
t− 2, t ∈ [2, 3].
Для задач без перемикань, у випадку виродженого iмпульсного впливу узагаль-
нений оператор Грiна задачi Кошi K
[
f(s); ai
]
(t) спiвпадає з оператором [4, c.591],
а у випадку невиродженого iмпульсного впливу – з оператором [3]. В свою чергу,
узагальнений оператор Грiна K
[
f(s); ai
]
(t) задачi Кошi (15), (16), (10) узагальнює
вiдповiдний оператор Грiна задачi Кошi K
[
f(s); ai
]
(t) [12, 17, 18] на випадок систем
iз перемиканнями.
5. Узагальнений оператор Грiна лiнiйної крайової задачi з iмпульс-
ним впливом для систем з перемиканнями. Розглянемо далi задачу про зна-
ходження розв’язкiв z = z(t) = col
(
z1(t), ... , zn(t)
)
, zj(·) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
,
j = 1, 2, . . . , n системи звичайних диференцiальних рiвнянь з перемиканнями (15)
та iмпульсним впливом типу "interface conditions"(16), якi задовольняють крайову
умову
`z(·) = α, α ∈ Rm. (22)
Тут `z(·) – лiнiйний обмежений функцiонал `z(·) : C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
→ Rm. Позна-
чимо сталу (m× n)-матрицю Q := `X(·) та введемо (d×m)-вимiрну матрицю PQ∗d ,
205
С.М. Чуйко, О.С. Чуйко
складену з d-лiнiйно-незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора PQ∗ ; тут
n− n1 = r, m− n1 = d, rank Q = n1 ≤ min (m, n).
Доведення наступного твердження цiлком аналогiчне доведенню теореми [16].
Теорема. Критична (PQ∗ 6= 0) крайова задача (15), (16), (22) розв’язна тодi й
тiльки тодi, коли
PQ∗d
{
α− `K
[
f(s); ai
]
(·)
}
= 0 (23)
i має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв
z(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s);α
]
(t),
де
G
[
f(s);α
]
(t) = X(t)Q+
{
α− `K
[
f(s); ai
]
(·)
}
+ K
[
f(s); ai
]
(t)
– узагальнений оператор Грiна лiнiйної крайової задачi для системи з перемикання-
ми (15), (16), (22), (n× r)-вимiрна матриця Xr(t) = X(t)PQr , складена з r-лiнiйно-
незалежних розв’язкiв однорiдної частини задачi (15), (16), (22).
У випадку виродженого iмпульсного впливу узагальнений оператор Грiна
G
[
f ; α
]
(t) спiвпадає з оператором [4, c.591], а у випадку невиродженого iмпульс-
ного впливу – з оператором [3]. В свою чергу, оператор Грiна G
[
f ; α
]
(t) задачi (15),
(16), (22) узагальнює вiдповiдний оператор Грiна G
[
f ;α
]
(t) [16] на випадок систем
iз перемиканнями.
Приклад 5. Умови теореми виконуються для задачi про знаходження розв’язкiв
системи (21), якi задовольняють умовi перiодичностi
`z(·) = z(0+)− z(3− 0) = 0. (24)
Оскiльки в даному прикладi Q = Q+ = 0, то загальний розв’язок задачi (21),
(24) має вигляд (20), де нормальна фундаментальна матриця X(t) ≡ 1, t ∈ [0, 3],
а частинний розв’язок визначає оператор Грiна задачi Кошi K[f(s); ai](t) системи
(21), який в даному випадку спiвпадає з оператором Грiна задачi (21), (24).
Наприкiнцi статтi, вважаємо приємним обов’язком висловити вдячнiсть доктору
фiз.-мат. наук, професору, провiдному науковому спiвробiтнику Iнституту матема-
тики НАН України О.А. Бойчуку за обговорення одержаних результатiв, а також
доктору фiз.-мат. наук, професору Київського нацiонального унiверситету iм. Та-
раса Шевченка Д.Я. Хусаїнову, який привернув нашу увагу до систем звичайних
диференцiальних рiвнянь з перемиканнями.
206
Крайовi задачi з перемиканнями та iмпульсним збуренням на границi двох середовищ
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317pp.
2. Анохин А.В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных урав-
нений // Доклады Академии Наук СССР.– 1986, Т. 286, №5. – С.1037-1040.
3. Бойчук А.А., Перестюк Н.А., Самойленко А.М. Периодические решения импульсных диф-
ференциальных систем в критических случаях // Дифференц. уравнения.– 1991. – 27, №9.–
С.1516-1521.
4. Бойчук А.А., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырож-
денным импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1996.– Т.48, №5. – С.588-594.
5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М. Наука, 1977. – 744с.
6. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздейст-
вием.– Киев: Вища шк., 1987. – 287с.
7. Conti R. On ordinary differential equation with interface conditions // Journ. of Diff. Eq. – 1968. –
№1. Vol.4. – P.4-11.
8. Pignani T. J., Whyburn W. M. Differential Systems with Interface and General Boundary Conditions
// F. Elisha Mitchell Sci. Soc. – 1956. – №72. – P.1-14.
9. Stallard F.W. Differential systems with interface conditions. Oak Ridge National Laboratory Report
№ 1876.
10. Pham D., Weiss D. Sur un probléme aux limites pour un systéme ordinaire d’équations differentielles.
Compt. Red. Acad. Sci. Paris. – 1966. – N262. P.123-126.
11. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и со-
пряженные к ним // Нелiнiйнi коливання. – 1999. – Т.2. N2. – С.285-289.
12. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием
// Доклады НАН Украины. – 1999. – N6. – С.43-47.
13. Sčhwabik S. Differential Equations with Interface Conditions// Časopis Pro pestovani matematiky.
– 1980. – roč.105. – P.391-410.
14. Wexler D. On Boundary Value Problems for an Ordinary Linear Differential Systems // Ann. Vft.
Pura et Appl. – 1968. – Vol.80, – P.123-136.
15. Шустер Г. Детерминированный хаос. М. Мир, – 1988. – 240с.
16. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. урав-
нения. – 2001. – Т.37. – №8. – С.1132-1135.
17. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Доклады Академии
Наук. Июль 2001. – Т.379. – №2. – С.170-172.
18. Чуйко О.С. Слабконелiнiйнi крайовi задачi з iмпульсним впливом загального вигляду // Вiсник
Київського нацiонального унiверситету iм. Тараса Шевченка. – 2004. – №5. – С.51-52.
Славянский государственный педагогический ун-т
chujko-slav@inbox.ru
Получено 03.03.07
207
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|