О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20000 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией / О.В. Шиян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 208-222. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859918401624866816 |
|---|---|
| author | Шиян, О.В. |
| author_facet | Шиян, О.В. |
| citation_txt | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией / О.В. Шиян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 208-222. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-12-07T16:06:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.956.4
c©2008. О.В. Шиян
О ДИНАМИКЕ БЕГУЩИХ ВОЛН В СИСТЕМЕ
ВАН-ДЕР-ПОЛЯ С МАЛОЙ ДИФФУЗИЕЙ
Исследуется динамика бегущих волн системы параболических уравнений Ван-дер-полевского типа
с малой диффузией на окружности радиуса r. Рассмотрен вопрос о существовании, взаимодей-
ствии, асимптотической форме и устойчивости бегущих волн данной системы. Доказано, что, при
увеличении радиуса r, растет число устойчивых бегущих волн, т.е. в данной задаче имеет место
явление буферности. Показано, что взаимодействие бегущих волн подчинено принципу 1:2.
Введение. Рассмотрим систему параболических уравнений Ван-дер-полевского
типа:
u̇− v = δ(du∆u + duv∆v), (1)
v̇ + ω2
0u = 2δ(1− u2)v + δ(dvu∆u + dv∆v),
с периодическими граничными условиями:
u(t, x) = u(t, x + 2πr), v(t, x) = v(t, x + 2πr). (2)
Здесь точка означает дифференцирование по переменной t, 0 < δ ¿ 1 – коэффи-
циент трения, du, duv, dvu, dv – коэффициенты диффузии, ω0 > 0 – частота колеба-
ний, ∆ – одномерный оператор Лапласа, r > 0. В дальнейшем будем считать, что
4dudv ≥ (duv + dvu)2. В этом случае система (1)–(2) является системой параболиче-
ских уравнений типа реакции-диффузии [1].
Система (1)–(2) является простейшей математической моделью автоволновой
среды и изучалась в ряде работ (см. [2]–[4] и цитированную в них литературу). В
этих работах изучен характер устойчивости бегущих волн задачи (1) в безграничной
автоволновой среде.
В предлагаемой работе рассмотрен вопрос о динамике периодических по пере-
менной t решений краевой задачи (1)–(2) типа бегущая волна, при увеличении r
и фиксированных прочих параметрах. Доказано, что при r → ∞ в исходной зада-
че растет число орбитально асимптотически устойчивых бегущих волн, т.е. имеет
место явление буферности [5], [6]. Роль феномена буферности в динамике слож-
ных систем и процессах самоорганизации выявлена в монографиях [7], [5]. Здесь же
имеется достаточно полная библиография.
Для исследования динамики бегущих волн задачи (1)–(2) при увеличении r ниже
использован подход, предложенный в работах [8], [9]. Этот подход приводит к ко-
нечной совокупности шестимерных систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений, которая и определяет динамику бегущих волн задачи (1)–(2).
208
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
1. Асимптотическое разложение бегущих волн. Запишем задачу (1)–(2) в
виде:
ẇ = L(δ)w + δR(w), w(t, x) = w(t, x + 2πr), (3)
где L(δ)w = (A + δK + δD∆)w, w = (u, v)T ,
R(w) = −2
(
0
u2v
)
, A =
(
0 1
−ω2
0 0
)
, K =
(
0 0
0 2
)
, D =
(
du duv
dvu dv
)
.
Введем пространство H = {w = (u, v) ∈ L2
2(]0, 2πr[)} – гильбертово пространство
2πr периодических вектор-функций со скалярным произведением
〈w1, w2〉 =
1
2πr
2πr∫
0
(u1ū2 + v2v̄2)dt.
Обозначим H l, l ∈ Z+ пространство Соболева со скалярным произведением
〈w1, w2〉l =
l∑
k=0
1
2πr
2πr∫
0
(u(k)
1 ū
(k)
2 + v
(k)
2 v̄
(k)
2 )dt.
Задача (1)–(2) или (3) порождает в пространстве H непрерывную полугруппу [1].
Выберем в качестве фазового пространства уравнения (3) пространство H. Следу-
ет отметить, что уравнение (3) инвариантно относительно полной ортогональной
группы, порожденной вращениями и отражением окружности, т.е. уравнение (3) S1
– эквивариантно.
Несложно убедиться в том, что существует вектор qk(δ):
qk(δ) =
(
1
iω0
)
+ δ
(
−k2
r2 duv
k2
r2 du + λk
)
+ O(δ2),
такой, что
L(δ)exp(ikθ)qk(δ) = λ̃kexp(ikθ)qk(δ), θ =
x
r
, k = 0,±1,±2, ...
где
λ̃k(δ) = iω0 + δλk + O(δ2),
λk = λk(r) =
[
1− k2
2r2
(du + dv)
]
+ i
k2
2r2ω0
(dvu − duvω
2
0), λ−k = λ̄k. (4)
Отсюда следует, что при увеличении r и прохождении им значений r∗k =
k√
2
√
du + dv каждый раз размерность неустойчивого многообразия нулевого реше-
ния уравнения (3) повышается на два порядка. Построим решения (3), которые
бифурцируют из нуля при прохождении r точки r∗k. С этой целью, следуя одноча-
стотному методу [10]–[11], будем искать решения (3) в виде:
w = zeikθqk(δ) + z̄e−ikθq̄k(δ) + δσ3(zeikθ, z̄e−ikθ) + δ2σ4(zeikθ, z̄e−ikθ) + ..., (5)
209
О.В. Шиян
где переменная z удовлетворяет уравнению:
ż = z(λ̃k(δ) + δc1|z|2 + δ2c2|z|4 + ...), (6)
σj(z, z̄), j = 3, 5, ... – форма j степени относительно z, z̄.
Подставим (5)–(6) в уравнение (3) и выполним замену zeikθ 7→ z. Затем приравня-
ем в обеих частях полученного равенства коэффициенты при одинаковых степенях
δ. В результате относительно σ3, σ5, ... получим рекуррентную последовательность
линейных неоднородных уравнений
B1σj(z, z̄) = fj(z, z̄), j = 3, 5, ...
Рассмотрим уравнение относительно σ3(z, z̄) :
B1σ3(z, z̄) = f3(z, z̄), (7)
где
B1σ3(z, z̄) =
∂σ3
∂z
iω0z +
∂σ3
∂z̄
(−iω0z)−Aσ3,
f3(z, z̄) = −2iω0
(
0
z3 + z2z̄ − z̄z2 − z̄3
)
− c1z
2z̄
(
1
iω0
)
− c̄1zz̄2
(
1
−iω0
)
.
Легко убедиться, что оператор B1, определенный на пространстве многочленов
относительно z, z̄, является диагональным, причем имеет место равенство:
B1pzαz̄β = (iω0(α− β)E −A)pzαz̄β, p ∈ C2, α, β ∈ Z+,
где E – единичная матрица.
Из условия разрешимости уравнения (7) находим c1 = −1. При указанном выборе
c1 уравнение (7) имеет решение
σ3(z, z̄) =
− 1
4iω0
(z3 − z̄3) − 1
2iω0
(z2z̄ − zz̄2)
−3
4
(z3 + z̄3) −1
2
(z2z̄ + zz̄2)
. (8)
Далее, из уравнения относительно σ5(z, z̄) находим, как и выше, c2, а затем
σ5(z, z̄) в той же форме, что и правая часть уравнения относительно σ5(z, z̄). От-
метим, что процесс последовательного построения ck, σj(z, z̄), k = j−1
2 , j = 3, 5, ...
неограниченно продолжим.
Рассмотрим теперь уравнение
ż =
(
iω0 + δ(λk − |z|2)
)
z. (9)
Легко видеть, что при Reλk > 0 , т.е. при r > r∗k, из нулевого решения уравне-
ния (9) бифурцирует периодическое по t решение
z =
(
Reλk
) 1
2 eiωkt, ωk = ω0 + δImλk, (10)
210
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
Согласно проведённому анализу, уравнение (3) имеет приближенное по невязке
порядка δ2, периодическое по t решение ŵ+
k = ŵk(η+, δ):
ŵ+
k = 2ρ
1/2
k
(
cos η+
−ω0 sin η+
)
+ 2δρ
1/2
k
−k2
r2
duv cos η+
(k2
r2 du + Reλk) cos η+ − Imλk sin η+
−
− δρ
3/2
k
1
2ω0
[( sin 3η+
3ω0 cos 3η+
)
+ 2
(
sin η+
ω0cosη
+
)]
, (11)
где ρk = Reλk, η+ = η+(δ) = ω̂kt + kθ, ω̂k = ω̂k(δ) = ω0 + δImλk, k = 1, 2, ...
Очевидно, что приближенным решением уравнения (3) является также
ŵ−k = ŵk(η−, δ), где η− = η−(δ) = ω̂kt− kθ.
Следует отметить, что приближенные по невязке порядка δ, периодические по t
решения w±k уравнения (3) были построены в работе [4] методом Ван-дер-Поля.
2. Устойчивость бегущих волн ŵ0, ŵ±
1 . Рассмотрим вопрос об устойчивости
приближенных решений ŵ0, ŵ
±
1 уравнения (3) для таких r, что Reλ2(r) > 0. С этой
целью воспользуемся подходом, предложенным в работах [8], [9]. В соответствии с
указанным подходом будем искать решения уравнения (3) в виде:
w = z1
(
1
iω0
)
+ z2e
iθ
(
1
−iω0
)
+ z3e
iθ
(
1
iω0
)
+ z4e
2iθ
(
1
−iω0
)
+ к.с.+
+ δσ3(z1, z2e
iθ, z3e
iθ, z4e
2iθ, к.с.) + O(δ2), (12)
где к.с. – стандартное обозначение комплексно сопряженной величины, σ3 – кубиче-
ская форма, z = (z1, z2, z3, z4), а переменная zs, s = 1, 4 удовлетворяет уравнению:
żs = µs(δ)zs + as(z, z̄)eiθn(s), s = 1, 4. (13)
Здесь µ1 = λ̃0, µ2 = λ̃−1, µ3 = λ̃1, µ4 = λ̃−2, λ̃−k = ¯̃
λk.
Выбор as(z, z̄) осуществим согласно условию S1 – эквивариантности
as(z, z̄)eiθn(s) = as(z1, z2e
iθ, z3e
iθ, z4e
2iθ, к.с.), где n(1) = 0, n(2) = n(3) = 1, n(4) = 2.
Подставим (12), (13) в уравнение (3) и произведем замену zse
iθn(s) 7→ zs. Прирав-
няем в обеих частях полученного равенства кубические формы. В результате при
δ = 0 получим линейное неоднородное уравнение относительно σ3(z, z̄).
B2σ3(z, z̄) = F3(z, z̄), (14)
где
B2σ3 = iω0
4∑
s=1
(−1)s−1
(
∂σ3
∂zs
zs − ∂σ3
∂z̄s
z̄s
)
−Aσ3.
С целью сокращения, выражение для F3(z, z̄) опущено. Оператор B2 является
диагональным на пространстве многочленов z, z̄ со значениями из C2 и, кроме того,
имеет место равенство
B2pzαz̄β = (iω0
(
e, (α− β)
)
E −A)pzαz̄β, p ∈ C2,
211
О.В. Шиян
где zα = zα1
1 zα2
2 zα3
3 zα4
4 , z̄β = z̄1
β1 z̄2
β2 z̄3
β3 z̄4
β4 , e = (1,−1, 1,−1), (·, ·) – скалярное
произведение в R4, α = (α1, α2, α3, α4), β = (β1, β2, β3, β4) – целочисленные векторы
с неотрицательными компонентами.
Из необходимого условия разрешимости уравнения (14) находим функции
as(z, z̄), s = 1, 4, удовлетворяющие условию S1 – эквивариантности. Оставшиеся в
результате указанного выбора as(z, z̄) резонансные мономы, в соответствии с мето-
дом Галеркина [9], зануляем и находим σ3(z, z̄) в той же форме, что и свободный член
уравнения (14). Подставим найденные as(z, z̄), s = 1, 4 в равенство (13). В результате
получим следующую резонансную, S1 – эквивариантную систему уравнений
ż1 = z1
(
iω0 − δ(−λ0 + |z1|2 + 2|z2|2 + 2|z3|2 + 2|z4|2)
)− δz̄2
2z4,
ż2 = z2
(−iω0 − δ(−λ̄1 + 2|z1|2 + |z2|2 + 2|z3|2 + 2|z4|2)
)− δz̄2
1z3,
ż3 = z3
(
iω0 − δ(−λ1 + 2|z1|2 + 2|z2|2 + |z3|2 + 2|z4|2)
)− δz2
1z2, (15)
ż4 = z4
(−iω0 − δ(−λ̄2 + 2|z1|2 + 2|z2|2 + 2|z3|2 + |z4|2)
)− δz1z
2
2 .
Ясно, что периодическим решениям системы (15) соответствуют периодические
решения уравнения (3). Рассмотрим в этой связи вопрос об устойчивости периоди-
ческих решений системы (15), соответствующих бегущим волнам ŵ0, ŵ
±
1 .
В частности, исследуем вопрос об устойчивости решения системы (15)
ϕ0(t) =
(
Reλ0
) 1
2
(
eiω0t, e−iω0t, 0, ..., 0
)T
.
С этой целью воспользуемся стандартной техникой: линеаризуем систему (15) на
решении ϕ0(t). Полученная в результате система приводится к системе дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами, матрица коэффициентов ко-
торой является блочно диагональной. Одним из её блоков является матрица
(−Reλ0 −Reλ0
−Reλ0 −Reλ0
)
,
собственные значения которой, в силу (4), 0 и -2. Блоками указанной матрицы также
являются A0,1− , Ā0,1+ , где
A0,1− =
(
Reλ1 − 2Reλ0 − iImλ1 −Reλ0
−Reλ0 Reλ1 − 2Reλ0 + iImλ1
)
,
а её одномерные блоки имеют вид (Reλ2 − Reλ0 + iImλ2) и ей комплексно сопря-
женная величина.
Несложный анализ приводит к заключению, что устойчивость ϕ0(t) определя-
ется матрицами A0,1− , Ā0,1− . Анализ устойчивости этих матриц приводит к вопросу
об устойчивости многочлена второй степени с вещественными коэффициентами, для
устойчивости которого, согласно критерию Рауса-Гурвица, необходимо и достаточ-
но, чтобы
4Reλ0 − 2Reλ1 > 0,
(Reλ1 − 2Reλ0)2 −Reλ2
0 + Imλ2
1 > 0.
212
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
Это условие, в силу определения (4), выполняется при любом выборе параметра
r. Следовательно, решение ϕ0(t), а значит, и соответствующая ему бегущая волна w0
уравнения (3), рождается устойчивой и остаётся таковой при любом выборе r > 0.
Действуя как и выше, легко устанавливается, что устойчивость периодического
решения
ϕ+
1 (t) =
(
Reλ1
) 1
2 (0, 0, eiω1t, e−iω1t, 0, ..., 0)T ,
где ω1 = −ω0 + δImλ̄1 определяется устойчивостью матриц A1+,0, Ā1+,0, где
A1+,0 =
(
Reλ0 − 2Reλ1 − i(Imλ1 − Imλ0) −Reλ1
−Reλ1 Reλ2 − 2Reλ1 + i(Imλ1 − Imλ2)
)
.
Анализ устойчивости матриц A1+,0, Ā1+,0 приводит к вопросу об устойчивости
многочлена четвертой степени с вещественными коэффициентами:
λ4 + λ32α1 + λ2(2β1 + α2
1 + α2
2) + 2λ(α1β1 + α2β2) + (β2
1 + β2
2), (16)
где
α1 = α1
1+,0 = 4Reλ1 −Reλ0 −Reλ2,
α2 = α2
1+,0 = Imλ2,
β1 = β1
1+,0 = (2Reλ1 −Reλ0)(2Reλ1 −Reλ2)−Reλ2
1 + Imλ1(Imλ1 − Imλ2),
β2 = β2
1+,0 = −Imλ1(Reλ0 −Reλ2) + Imλ2(Reλ0 − 2Reλ1).
Введем, согласно [4], эффективные длины диффузий:
a =
du + dv
2
, b =
dvu − ω2
0duv
2ω0
. (17)
Используя критерий Рауса-Гурвица, возможности математической программы
MAPLE и обозначения (17), (4) найдены необходимые и достаточные условия устой-
чивости многочлена (16):
a
(
2− 5a
1
r2
)
− 3b2 1
r2
> 0,
1
r2
2a
(
2− 5a
1
r2
)
+ 2b2 1
r4
(21− 8a) + 8 > 0, (18)
16
(
1 + 4b2 1
r4
)[
a
(
2− 5a
1
r2
)
− b2 1
r2
(
4a2 1
r4
− 16a
1
r2
+ 15
)]
> 0.
Из системы (18) видно, что выполнение первого условия достаточно для выпол-
нения остальных условий данной системы. Следовательно, при r → ∞, для устой-
чивости матриц A1+,0, Ā1+,0 достаточно чтобы:
r2 >
5a2 + 3b2
2a
. (19)
213
О.В. Шиян
Отсюда следует, что при прохождении r значения r2 = a из нулевого неустойчи-
вого состояния равновесия системы (15) бифурцирует периодическое по t решение
ϕ+
1 (t), которое в момент рождения тоже является неустойчивым. Затем при увеличе-
нии r и прохождении им своего критического значения r2 = 5a2+3b2
2a решение ϕ+
1 (t),
а, следовательно, и соответствующая ему бегущая волна w+
1 задачи (3), обретает
устойчивость.
Отметим особенность динамики периодических решений ϕ0(t), ϕ+
1 (t) систе-
мы (15). Из проведенного выше анализа видно, что переменная z4 фактически не
влияет на устойчивость ϕ0(t) и её с указанной точки зрения можно положить равной
нулю. В свою очередь, переменная z3 не влияет на устойчивость ϕ+
1 (t). Занулив несу-
щественные для устойчивости ϕ0(t), ϕ+
1 (t) переменные можно понизить тем самым
размерность системы (15) на два порядка.
3. Устойчивость бегущих волн w+
k . Перейдём теперь к вопросу об устой-
чивости бегущей волны w+
k при фиксированном значении k. Рассмотрим вопрос об
устойчивости бегущей волны w+
k , в связи с воздействием на неё пары бегущих волн
w−s , w+
2k+s, s = 0, 1, 2.... С этой целью, согласно [9], построим приближенные решения
уравнения (3) в виде:
w = z1e
ikθqk(δ) + z2e
isθ q̄s(δ) + z3e
inθqn(δ) + к.с. + δσ3(z1e
ikθ, z2e
isθ, z3e
inθ, к.с.), (20)
где n = 2k + s, а z = (z1, z2, z3) удовлетворяет S1 – эквивариантной системе уравне-
ний:
żj = zj(µj + δfj(z, z̄) + ...), j = 1, 2, 3, (21)
где µ1 = λ̃k, µ2 = λ̃−s, µ3 = λ̃n, λ̃−s = ¯̃
λs.
Подставим (20)– (21) в уравнение (3) и выполним замену z1e
ikθ 7→ z1, z2e
isθ 7→ z2,
z3e
inθ 7→ z3. Затем приравняем в обеих частях полученного равенства коэффициен-
ты при δ. В результате относительно σ3 получим линейное неоднородное уравнение,
из необходимого условия разрешимости которого находим функции fj(z, z̄), удовле-
творяющие условию S1 – эквивариантности. Подставим найденные значения fj(z, z̄)
в (21). В результате получим следующую резонансную S1 – эквивариантную систему
уравнений:
ż1 = z1(iω0 − δ(−λk + |z1|2 + 2|z2|2 + 2|z3|2)),
ż2 = z2(−iω0 − δ(−λ−s + 2|z1|2 + |z2|2 + 2|z3|2))− δz̄2
1z3, (22)
ż3 = z3(iω0 − δ(−λn + 2|z1|2 + 2|z2|2 + |z3|2))− δz2
1 z̄2.
Легко убедиться, что система (22) имеет периодическое по t решение
ϕ+
k (t, δ) = ρ
1/2
k (eiωkt, e−iωkt, 0, ..., 0)T , ωk = ω0 + δImλk.
Этому решению соответствует бегущая волна w+
k уравнения (3).
Анализ устойчивости ϕ+
k (t, δ) приводит к симметрической блочно-диагональной
матрице. Её блоками являетя матрица
S =
( −Reλk −Reλk
−Reλk −Reλk
)
,
214
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
собственные значения которой 0 и −2Reλk, и матрицы Ak+,s− , Ak+,s− , где
Ak+,s− =
(
Reλs − 2Reλk + i(Imλk + Imλ−s) −Reλk
−Reλk Reλn − 2Reλk + i(Imλn − Imλk)
)
, (23)
n = 2k + s.
Таким образом, характер устойчивости решения ϕ+
k (t, δ) системы (22) определя-
ется матрицами Ak+,s− , Ak+,s− .
Аналогичным образом можно показать, что взаимодействие бегущей волны w+
k
с парой бегущих волн w+
s , w+
2k−s, 0 ≤ s < k описывается системой уравнений (22),
где z̄2 7→ z2, n = 2k − s.
Легко убедиться, что устойчивость w+
k в этом случае определяется матрицами
Ak+,s+ , Ak+,s+ , где
Ak+,s+ =
(
Reλs − 2Reλk + i(Imλk + Imλs) −Reλk
−Reλk Reλn − 2Reλk + i(Imλn − Imλk)
)
, (24)
n = 2k − s, 0 ≤ s < k.
Таким образом, характер устойчивости бегущей волны w+
k определяется харак-
тером воздействия на неё пар бегущих волн w−s , w+
2k+s, s > 0 и w+
s , w+
2k−s, 0 ≤ s < k.
Следовательно, взаимодействие бегущих волн уравнения (3) подчинено принципу
1:2 [9]. При этом устойчивость w+
k , в указанном взаимодействии, определяется мат-
рицами Ak+,s− , Ak+,s+ , соответственно.
Обоснованием проведенного выше анализа устойчивости бегущих волн w+
k урав-
нения (3) является следующая теорема.
Теорема. Пусть для некоторого фиксированного k ∈ Z+ и r > 0 выполне-
но условие r2 > k2 du+dv
2 . Тогда уравнение (3) имеет периодические по t решения
wk(η±, δ) = ŵ±k + O(δ2), где η± = ωk(δ)t± kθ, ωk(δ) = ω̂k(δ) + O(δ2), θ = x
r , а ŵ+
k , ω̂k
определены в (11).
Бегущая волна w+
k (δ) экспоненциально орбитально устойчива тогда и только то-
гда, когда:
1. Для любого s ≥ 0 матрица Ak+,s− устойчива;
2. Для любого 0 ≤ s < 2k матрица Ak+,s+ устойчива.
Доказательство. Центральный момент доказательства теоремы состоит в ис-
следовании свойств устойчивости в фазовом пространстве H уравнения
ξ̇ = L(δ)ξ − 2δReλkFξ, ξ ∈ C2, (25)
где
F =
(
0 0
2iω0
(
e2iη+ − e−2iη+)
2 +
(
e2iη+
+ e−2iη+)
)
, (26)
полученного при линеаризации уравнения (3) на приближенном решении ŵ+
k .
Разложение вектора ξ = ξ(t, θ, δ) по собственному базису оператора L(δ) имеет
вид:
ξ(t, θ, δ) =
+∞∑
s=−∞
qs(δ)eisθzs(t).
215
О.В. Шиян
Введем в пространстве H ортопроектор P
Pξ =
+k0∑
s=−k0
Psξ, Psξ = eisθqs(δ)zs, zs =
1
2πr
2πr∫
0
e−isθps(δ)ξ(θ)dθ,
где выбор k0 осуществим позже. Вектор ps(δ), удовлетворяющий равенству
L∗(δ)ps = λ̃sps, выберем таким образом, чтобы (ps, qs) = 1.
Воспользуемся представлением ξ = h + w, где h = Pξ, w = (E − P )ξ, E− еди-
ничный оператор. В полученной относительно h, w системе положим w = 0. В ре-
зультате получим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами
qneinθżn = λ̃nqneinθzn − δρkPn
(
3e2iη+ − e−2iη+
+ 2
) k0∑
s=0
(qs − q̄s)eisθzs−
− δρkPn
(
3e−2iη+ − e2iη+
+ 2
) k0∑
s=0
(q̄s − qs)e−isθz̄s, s = 0, 1, ...
Для исследования устойчивости данной системы воспользуемся принципом све-
дения. В результате получим следующую систему с периодическими коэффициен-
тами:
żn = (iω0 + δλn)zn − δρk
(
e2iωktz̄2k−n − 3e−2iωktz2k+n + 2zn
)
, n < k,
ż−n = (−iω0 + δλ−n)z−n − δρk
(
e−2iωktz2k+n + e2iωktzn−2k + 2z−n
)
, n > k,
ż−n = (−iω0 + δλ−n)z−n − δρk
(−3e2iωktzn−2k + 2z−n
)
, n > k, n + 2k > k0.
В полученной системе произведем замену
zn 7→ zn + iδρk
3
2ωk
e−2iωktz̄2k+n, n < k,
z−n 7→ z−n − iδρk
1
2ωk
e2iωktzn−2k, n > k.
Затем с помощью замены zn 7→ eiωktzn, |n| < k0 перейдем к линейной системе обык-
новенных диффернциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая
членами O(δ2) отличается от системы
żn = δ(−iImλk + λn − 2Reλk)zn − δReλkz̄2k−n, n < k,
ż−n = δ(iImλk + λ−n − 2Reλk)z−n − δReλkz2k+n, n > k, (27)
żn = δ(−iImλk + λn − 2Reλk)zn, n + 2k > k0.
Матрица коэффициентов системы (27) является блочно-диагональной, её блоками
являются матрицa S, а также матрицы Ak+,s− , 2k + s < k0, и Ak+,s+ , s < k0, опре-
деленные в (23), (24), соответственно. Одномерными блоками указанной матрицы
будет Reλn − 2Reλk + i(Imλn − Imλk) и ей комплексно сопряженная величина.
216
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
Таким образом, устойчивость системы (27) определяется матрицами Ak+,s− ,
Āk+,s− , 2k + s < k0, и Ak+,s+ , Āk+,s+ , s < k0. Следовательно, экспоненциальная
орбитальная устойчивость приближенного решения w+
k имеет место тогда, и только
тогда, когда выполнены условия 1) и 2) теоремы.
Перейдем к вопросу о существовании периодического решения wk(η+, δ) уравне-
ния (3). Положим в (3) w = y(η, δ) = y(ωt + kθ). В результате для определения 2π –
периодического решения y(η, δ) и ω = ω̂k + O(δ2) получим сингулярно возмущенное
дифференциально разностное уравнение в пространстве H2:
ωy
′
= (A + δK)y + δD
k2
r2
y
′′
+ R(y(η, δ)). (28)
Согласно (11) уравнение (28) при ω = ω̂k имеет приближенное по невязке порядка
O(δ2) 2π – периодическое по t решение ŷ = ŵ(η+, δ).
Из вышеизложенного следует, что при соответствующем выборе ω можно постро-
ить приближенные 2π – периодические решения уравнения (28) с любой, наперед
заданной, точностью.
Линеаризуем (28) на приближенном решении ŷ. В результате получим:
G(δ)z ≡ −ωkz
′
+ (A + δK)z + δD
k2
r2
z
′′ − 4δReλk
(
0 0
−2ω0 sin 2η 1 + cos 2η
)
z+
+ (δ2F1(η) + δ3F2(η))z = 0, (29)
где F1(η),F2(η) – 2π периодические по η функции, непрерывные в пространстве H2
и дифференцируемые по переменной η. Замена y = ŷ + z приводит (29) к виду:
G(δ)z = F (η, z, z
′
, δ, ε), ε = ω − ω̂k, (30)
где
F (η, z, z
′
, δ, ε) = ε(z
′
+ ŷ
′
) + f0(η, δ) + f2(η, z, δ),
f0(η, δ) = δ2
(
0
4cd cos η − 2c2ω0 sin η + δc2d
)
,
f2(η, z, δ) = 2δ
(
0
2ŷ1z1z2 + ŷ2z
2
1 + z2
1z2
)
, ŷ =
(
ŷ1
ŷ2
)
, z =
(
z1
z2
)
,
c = −2
k2
r2
duv cos η −Reλk
1
2ω0
(
sin 3η + 2 cos η
)
,
d = 2 cos η
(
k2
r2
du + Reλk
)
− 2Imλk sin η − 1
2
Reλk
(
3 cos 3η + 2 cos η
)
.
Несложно убедиться, что функция f2(η, z, δ) удовлетворяет условию Липшица
||f2(η, x1, δ)− f2(η, x2, δ)||H < δγ max(||x1||H1 , ||x2||H1)||x1 − x2||H , (31)
Кроме того, ||f0(η, δ)||H < δ2γ, γ = const, γ > 0.
217
О.В. Шиян
Изучим условия разрешимости уравнения (30) в пространстве H. Согласно [1] за-
дача (30) разрешима, если её правая часть ортогональна решению соответствующей
однородной сопряженной задачи.
Дальнейший анализ задачи (30) опирается на свойства спектральной задачи
G(δ)z = λz. (32)
Рассмотрим её как возмущение задачи
−ω̂kz
′
+ (A + δK)z + δD
k2
r2
z
′′
= λz. (33)
При δ = 0 собственному значению λ = 0 задачи (33) отвечает собственная функция
ϕ0 =
(
1
iω0
)
eiη(0), поэтому дальнейший анализ существования 2π – периодических
решений задачи (30) достаточно провести в окрестности нуля. Положим в (33)
z = α
(
1
iω0
)
eiη + β
(
1
−iω0
)
e−iη + δz1(η) + δ2z2(η) + ...,
λ = δµ1 + δ2µ2 + ...
В полученном равенстве приравняем коэффициенты при одинаковых степенях δ. В
результате относительно вектор-функций zk(η) получим рекуррентную последова-
тельность линейных неоднородных уравнений. Рассмотрим уравнение относительно
z1(η).
G(0)z1(η) = F1(η, δ), (34)
где
F1(η, δ) = α
(
iImλkE −K +
k2
r2
D + µ1E
)(
1
iω0
)
eiη + 2iω0Reλk
(
0
2α + β
)
eiη+
+ β
(
−iImλkE −K +
k2
r2
D + µ1E
)(
1
−iω0
)
e−iη − 2iω0Reλk
(
0
α + 2β
)
e−iη+
+ 6iω0Reλk
(
0
αe3iη − βe−3iη
)
.
Для разрешимости (34) необходима ортогональность функции F1(η, δ) решениям
задачи
G∗(0)ξ(η) = 0,
где G∗(0)ξ = ω0ξ
′
+AT ξ, ξ = (ξ1, ξ2)T . Легко убедиться, что это условие выполняется
при
(α
(
iImλkE −K +
k2
r2
D + µ1E
)(
1
iω0
)
+ 2iω0Reλk
(
0
2α + β
)
,
(−1
2
1
2iω0
)
) = 0,
(β
(
−iImλkE −K +
k2
r2
D + µ1E
)(
1
−iω0
)
− 2iω0Reλk
(
0
α + 2β
)
,
( −1
2
− 1
2iω0
)
) = 0.
218
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
После преобразования этой системы, используя равенство (4), получим систему
α(Reλk − µ1)−Reλk(2α + β) = 0, β(Reλk − µ1)−Reλk(α + 2β) = 0,
Отсюда следует, что вектор (α, β)T является собственным вектором, а µ1 – со-
ответствующее ему собственное значение матрицы S. Очевидно, что собственному
значению µ1 = 0 отвечает собственный вектор (α, β)T = (1,−1)T , а µ1 = −2Reλk
−(α, β)T = (1, 1)T . Следовательно, ẑ1 = 2(cos η,−ω0 sin η)T + O(δ) – собственная
функция оператора G(δ), отвечающая собственному значению λ1 = −2Reλk +O(δ2).
Нулевому, с точностью O(δ2), собственному значению отвечает собственная функ-
ция ẑ2 = ρ
− 1
2
k
(
ŷ
′
(η) + O(δ2)
)
.
Легко убедиться, что нулевому собственному значению, с точностью O(δ2), опе-
раторов G(δ) и G∗(δ) отвечает одна и та же собственная функция ẑ2, в силу само-
сопряженности матрицы S.
Добавим в левую часть уравнения (34) слагаемое −(z, h0)G(η, δ)h0||h0||−2, где
h0 = ρ
− 1
2
k ŷ
′
(η). В результате получим спектральную задачу
G̃(δ)z = λz,
где G̃(δ) = G(δ)z − (z, h0)G(η, δ)h0||h0||−2. Легко убедиться, что G̃h0 = 0 и свойства
оператора G̃(δ) совпадают со свойствами G(δ). В частности, собственным значением
G̃(δ) будет −2Reλk +O(δ2), которому отвечает собственная функция h1 = ẑ1 +O(δ).
Аналогично вышеизложенному, рассмотрим задачу G̃∗(δ)q = 0, где G̃∗(δ) сопря-
женный к G̃(δ) оператор. Из множества решений указанной задачи выберем такие
q, которые удовлетворяют условию (h0, q) = 1.
Пусть H разложимо по {0,−2Reλk + O(δ2)}. B силу альтернативы Фредголь-
ма [13], уравнение
G̃(δ)z = g (35)
разрешимо тогда, и только тогда, когда (g, q) = 0, где (·, ·) – скалярное произведе-
ние в R2. В случае выполнения этого равенства уравнение (35) имеет единственное
решение z = ℵg, такое, что (ℵg, h0) = 0.
Пусть P̂ проектор пространства H на Ker(G̃)⊕M1, где M1 = Span{h1}. В силу
построения ŵ+
k справедливо неравенство: ||P̂ f0(·, δ)|| < γδ3.
Вернемся к уравнению (30). Заменим G(δ) на G̃(δ). Учтем эту замену и в правой
части (30), получим:
G̃(δ)z = F̃ (η, z, z
′
, δ, ε),
где F̃ (η, z, z
′
, δ, ε) = F (η, z, z
′
, δ, ε)− (z; h0)G(η, δ)h0||h0||−2.
Следует отметить, что согласно проведенному анализу задачи (32)
||G(δ)h0|| < γδ, ||P̂G(δ)h0|| < γδ2.
Рассмотрим в пространстве H1 уравнение
w − ℵ
(
F̃ (η, w,w
′
, δ, ε)− (g, F̃ (η, w,w
′
, δ, ε))h0
)
= 0. (36)
219
О.В. Шиян
В силу изложенного, метод последовательных приближений с нулевым начальным
значением, применимый к этому уравнению приводит в пространстве H к последо-
вательности, сходящейся равномерно по ε в области 0 ≤ δ ≤ δ0, |ε| ≤ γδ2. Пре-
дел этой последовательности w∗(ε, δ) и будет решением уравнения (36). Посколь-
ку f0(η, δ) = O(||δ||2), то, согласно (31), существует единственное решение урав-
нения (36), удовлетворяющее неравенству ||w∗(ε, δ)||1 < γδ2, γ − const. Функция
w∗(ε, δ) удовлетворяет уравнению
G̃(δ)z = F̃ (η, z, z
′
, δ, ε)−M(ε, δ)h0,
где M(ε, δ) = (q, F̃ (η, w∗, w∗
′
, δ, ε)).
Следовательно, вопрос о разрешимости уравнения (30) в пространстве H сво-
дится к вопросу о разрешимости относительно ε уравнения
M(δ, ε) = 0. (37)
Несложно убедиться, что
M(δ, ε) = −(Reλk)
1
2 ε + δ2σ(δ, ε),
где σ(δ, ε) – непрерывно дифференцируема по ε = ω − ω̂k.
Следовательно, существует, и при том единственное, решение уравнения (37),
такое, что
ε = ε(δ), ||ε(δ)|| < γδ2.
Следовательно, w∗(ε, δ) решение уравнения (30). ¤
Ясно, что сответствующий результат имеет место относительно периодических
по t решений w−k (η, δ) уравнения (3).
Опираясь на теорему, можно получить легко проверяемые условия экспоненци-
альной орбитальной устойчивости бегущей волны w+
k задачи (3).
Используя стандартный подход к изучению устойчивости матрицы Ak+,s+ , при-
ходим к необходимости изучения свойств устойчивости многочлена четвертой сте-
пени с вещественными коэффициентами (16), где
α1 = α1
k+,s+ = 4Reλk −Reλs −Reλn,
α2 = α2
k+,s+ = Imλn − Imλs, (38)
β1 = β1
k+,s+ = (2Reλk −Reλs)(2Reλk −Reλn)−
−Reλ2
k − (Imλs − Imλk)(Imλk − Imλn),
β2 = β2
k+,s+ = (Imλs − Imλk)(Reλn − 2Reλk) + (Imλk − Imλn)(Reλs − 2Reλk).
Используя критерий Рауса-Гурвица, найдены неообходимые и достаточные условия
220
О динамике бегущих волн в системе уравнений Ван-дер-Поля
устойчивости многочлена (16), где αi, βi, i = 1, 2 определены в (38).
4a
(
1− a
k2
r2
)(
1− k2
r2
(
2
b2
a
+ 3a
))
+ O
(
1
r4
)
> 0,
4
(
1− a
k2
r2
)3
+ O
(
1
r6
)
> 0,
32a
(
1− 3a
k2
r2
)(
1− a
k2
r2
)4
+ O
(
1
r10
)
> 0.
Очевидно, что для выполнения условий этой системы достаточно, чтобы при r →∞
r2 > k2
(
2
b2
a
+ 3a
)
. (39)
Из условия (39) следует, что число экспоненциально орбитально устойчивых бегу-
щих волн уравнения (3), а значит и задачи (1)–(2), неограниченно растёт, когда
r → ∞. При этом наличие перекрёстной диффузии duv, dvu замедляет этот рост.
Следует отметить, что при b = 0, условие устойчивости r2 > 3a2 бегущей волны w+
k
согласуется с условием устойчивости, полученным в работе [4].
Аналогичным образом можно получить условие устойчивости матрицы Ak+,s− .
Итак, для устойчивости бегущей волны w+
k уравнения (3) при больших r > 0
необходимо выполнение условия (39). Если это условие нарушается, то волна w+
k
является неустойчивой. Отметим, что в случае анализа устойчивости бегущей волны
w+
1 было получено достаточное условие устойчивости
r2 >
5a2 + 3b2
2a
.
Используя (39), в случае k = 1, получим необходимое при r →∞ условие
r2 >
3a2 + 2b2
a
устойчивости w+
1 . Следовательно, есть основания полагать, что условие (39) являет-
ся и необходимым, и достаточным для орбитальной асимптотической устойчивости
бегущей волны w+
k при r →∞.
4. Заключение. Согласно проведенному анализу динамики бегущих волн зада-
чи (1)–(2) установлено, что в области r2 > ak2 существуют 2π-периодические реше-
ния типа бегущая волна wk = ŵk(η±, δ) + O(δ2), k = 0, 1, ..., где η± = ωk(δ)t ± kθ,
ωk(δ) = ω0 + δImλk + O(δ2), a ŵk(η±, δ) определено в (11). При этом устойчивость
w+
k – бегущей волны уравнения (3), определяется характером воздействия на неё
пар бегущих волн w+
s , w+
2k−s, 0 ≤ s < k и w−s , w+
2k+s, 0 ≤ s.
Установлено, что так называемая стоячая волна w0 задачи (1)–(2) существует
при любом выборе параметра r и является экспоненциально орбитально устойчивой.
При увеличении параметра r и прохождении его через значение r∗1 из неустойчиво-
го нулевого состояния равновесия бифурцирует пара бегущих волн w±1 , которая в
221
О.В. Шиян
момент рождения является также неустойчивой. Подрастая по амплитуде, при уве-
личении r и прохождении его через критическое значение r2
кр '
(
2 b2
a +3a
)
, бегущая
волна w+
1 преодолевает давление бегущих волн w0, w
+
2 и обретает устойчивость. Да-
лее, когда r2 > 4a из неустойчивого состояния равновесия w+
1 бифурцирует пара
бегущих волн w±2 , которая в момент рождения тоже является неустойчивой. Лишь
при дальнейшем увеличении r и прохождении им некоторого критического значе-
ния эта пара обретает устойчивость. Таким образом, при увеличении r растет число
устойчивых бегущих волн задачи (1)–(2). Следовательно, в данной задаче, соглас-
но [6], [5], реализуется явление буферности.
Следует отметить, что вопрос о буферности в задаче (1)–(2) тесно связан с вопро-
сом о взаимодействии бегущих волн этой задачи. Установлено, что взаимодействие
бегущих волн подчинено принципу 1:2 [9].
Характер устойчивости бегущей волны w+
k полностью определяется воздей-
ствием на неё пар бегущих волн w−s , w+
2k+s, s ≥ 0 и w+
s , w+
2k−s, 0 ≤ s < k.
Воздействие указанных пар бегущих волн описывается системой (22), где
n = 2k + s в первом n = 2k − s, zs 7→ z̄s во втором случае. Более того, установлено,
что на устойчивость бегущей волны w+
k наиболее сильное воздействие оказывает
пара соседних бегущих волн w+
k−1, w+
k+1.
1. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. – М.: Наука. – 1989.
2. Романовский Ю.П., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в био-
физике. – М.:Наука. – 1975. – 237с.
3. Полякова М.С., Романовский Ю.М., Сидорова Г.А. О синхронизации автоколебательных хими-
ческих реакций, протекающих в пространстве // Вестник МГУ, сер. физ. и астроном. – №6. –
1968.
4. Балкарей Ю.И., Никулин М.Г. О нелинейных волнах в среде из осцилляторов Ван-дер-Поля,
связанных диффузией // ЖТФ. – 1979. – Т.49, №2. – С.231-236.
5. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. – М.: Физ-
матлит. – 2004. – с.406.
6. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Явление буферности в теории горения // ДАН – 2004. – Т.396, №2.
– С.170-173.
7. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нели-
нейных средах с диффузией. – М.: Физматлит. – 2005.
8. Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига
пространственной переменной // Мат.физика: анализ и геометрия. – 2005. – Т.1, №1. – С.3-34.
9. Самойленко А.М., Белан Е.П. Динамика бегущих волн феноменологического уравнения спино-
вого горения // ДАН. – 2006. – Т.406, №6. – С.738-741.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. – М.: Наука. – 1969.
11. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных произ-
водных. – К.: Вища школа. – 1976.
12. Васильева А.Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. Бифуркация автоколебаний нели-
нейных параболических уравнений с малой диффузией // Мат.сборник. – 1989. – Т.130(172). –
№4(8). – С.488-499.
13. Дж.Хейл Теория функционально дифференциальных уравнений. – М.: Мир. – 1984.
Таврический национальный ун-т
olgshiyan@yandex.ru
Получено 01.03.07
222
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20000 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:06:42Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шиян, О.В. 2011-05-19T19:41:29Z 2011-05-19T19:41:29Z 2008 О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией / О.В. Шиян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 208-222. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20000 517.956.4 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией Article published earlier |
| spellingShingle | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией Шиян, О.В. |
| title | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_full | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_fullStr | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_full_unstemmed | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_short | О динамике бегущих волн в системе Ван-дер-Поля с малой диффузией |
| title_sort | о динамике бегущих волн в системе ван-дер-поля с малой диффузией |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20000 |
| work_keys_str_mv | AT šiânov odinamikebeguŝihvolnvsistemevanderpolâsmaloidiffuziei |