Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20001 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 223-231. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859617335887790080 |
|---|---|
| author | Шраменко, В.М. |
| author_facet | Шраменко, В.М. |
| citation_txt | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 223-231. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины |
| first_indexed | 2025-11-28T20:52:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2008. Том 16
УДК 517.956.4
c©2008. В.М. Шраменко
IНДЕКС КРИТИЧНОЇ ТОЧКИ НЕДИФЕРЕНЦIЙОВНОГО
ЕЛIПТИЧНОГО ОПЕРАТОРА IЗ СИЛЬНИМ ЗРОСТАННЯМ
КОЕФIЦIЄНТIВ. АБСТРАКТНА ТЕОРЕМА
В роботi доводиться теорема про iндекс критичної точки щiльно визначеного оператора класу (S+).
Подiбнi результати ранiше були отриманi в роботах А.Г.Картсатоса, I.В.Скрипника та автора. Але
специфiка функцiональних просторiв, в яких розглядаються граничнi задачi, не дозволяє довести
єдину абстрактну теорему, яка б змогла покрити всi можливi випадки. Таким чином, щоб розшири-
ти коло застосувань, попереднi абстрактнi теореми про iндекс потребують узагальнення. Результат
даної роботи дозволяє отримати формули для обчислення iндексу критичної точки диференцiаль-
них операторiв, якi вiдповiдають задачам:
Високого порядку на площинi
∑
|α|≤m
(−1)|α|DαAα(x, u, Du, ..., Dmu)+
+
∑
|β|≤m−1
(−1)|β|DβBβ(x, u, Du, ..., Dm−1u) = f, x ∈ Ω ⊂ R2,
Dγu = 0, |γ| ≤ m− 1, u ∈ ∂Ω
та другого порядку
∑
|α|=1
(−1)|α|Dα{ρ2(u)Dαu + aα(x, u, Du)}+ a0(x, u, Du) = f, x ∈ Ω ⊂ Rn, n ≥ 3,
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Причому коефiцiєнти Bβ(x, u, ..., Dm−1u) та ρ(u) можуть мати експоненцiальне зростання, а функ-
цiональний простiр W m,p
0 (Ω), на якому розглядається задача, має показник сумовностi 1 < p < 2,
що призводить до необмеженостi лiнеаризуючого оператора.
Результати про iндекс критичної точки цих операторiв та їх застосування до задач про точки
бiфуркацiї будуть опублiкованi у наступних статтях.
1. Формулювання основного результату. Перед тим, як перейти до резуль-
тату цього роздiлу, сформулюємо основнi умови на простори та оператори, якi роз-
глядаються далi.
Нехай X є дiйсним сепарабельним рефлексивним банаховим простором, що за-
довольняє умовам:
X1) iснує обмежений демiнеперервний оператор J : Br(0) → X∗, який задоволь-
няє умову (S+) для деякого r > 0, та Ju → 0 при u → 0;
X2) iснує обмежений лiнiйний оператор K : X → X∗ такий, що 〈Kx, x〉 > 0 для
x 6= 0.
Припустимо, що iснує пiдпростiр L простору X такий, що
L ⊂ D(A), L = X. (1)
223
В.М. Шраменко
Позначимо F (L) множину уciх скiнченновимiрних пiдпросторiв L.
Оберемо послiдовнiсть пiдпросторiв {Fj}, j ∈ N, таку що, для кожного j ∈ N,
Fj ∈ F (L), Fj ⊂ Fj+1, dimFj = j, L{Fj} = X, (2)
де L{Fj} =
∞⋃
j=1
Fj .
Введемо класи операторiв, якi будуть розглядатись у цьому роздiлi.
Будемо вважати, що оператор A : X ⊃ D(A) → X∗ задовольняє умови:
A1) iснує пiдпростiр L простору X, який задовольняє (1), що оператор А задоволь-
няє умову (S+)0,L ;
A2) для довiльного F ∈ F (L), v ∈ L вiдображення a(F, v) : F → R, визначене як
(a(F, v))(u) = 〈Au, v〉 є неперервним.
За таких умов, для оператора A можна ввести ступiнь вiдображення deg(A, D, 0)
(див. [1]).
Також мають мiсце умови:
〈Au, u− v〉 ≥ C1(v), ∀u, v ∈ L, ‖u‖ ≤ r0. (3)
Де C1(v) ≥ 0 залежить лише вiд v, а r0 > 0 деяке досить мале число.
Нехай лiнiйний оператор A′ : X ⊃ D(A′) → X∗ задовольняє умови:
A′) Рiвняння A′u = 0 має лише нульовий розв’язок. Iснує лiнiйний, взагалi необме-
жений, оператор Γ : X ⊃ D(Γ) → X∗ такий, що D(A′) ⊂ D(Γ) та
〈(A′ + Γ)u, u〉 > 0, u ∈ D(A′), u 6= 0 (4)
〈(A′ + Γ)∗v, v〉 > 0, v ∈ D((A′)∗), v 6= 0 (5)
〈A′u, u− w〉 ≥ −C(w), 〈(A′ + Γ)u, u− w〉 ≥ −C(w),
u ∈ D(A′) ∩Bρ, w ∈ L,
(6)
де C(w) додатна константа, яка залежить лише вiд w, а ρ деяке достатньо мале
число.
Будемо розглядати оператор TΓ = (A′ + Γ)−1Γ : X ⊃ D(Γ) → X, який є визначе-
ним, до того ж iснує лiнiйний цiлком неперервний оператор T : X → X, з яким вiн
спiвпадає при u ∈ D(Γ). Оператор A′+ qΓ задовольняє умову (S+)L, для довiльного
q ∈ [0, 1].
Залишається нагадати означення:
Означення 1 Оператор A : X ⊃ D(A) → X∗ задовольняє умову (S+)0,L, якщо
для довiльної послiдовностi {uj} ⊂ D(A) такої, що
uj ⇀ u0, lim sup
j→∞
〈Auj , uj〉 ≤ 0, lim
j→∞
〈Auj , v〉 = 0 (7)
для деякого u0 ∈ X та довiльного v ∈ L, маємо, що
uj → u0, u0 ∈ D(A), Au0 = 0. (8)
224
Абстрактна теорема про iндекс критичної точки
Означення 2 Оператор A задовольняє умову (S+)L, якщо оператор
Ah : D(A) → X∗, визначений як Ah = Au − h задовольняє умову (S+)0,L для
довiльного h ∈ X∗
Проблема лiнеаризацiї оператора A розв’язується наступним чином.
ω) для оператора ω : D(A′) ∩D(A) → X∗, визначеного ω(u) = Au−A′u, маємо
ω(u)
‖u‖ → 0, u → 0, u ∈ Zε (9)
для деякого ε > 0, де
Zε = ∪t∈[0,1]{u ∈ D(A′) ∩D(A) : tAu + (1− t)A′u = 0, 0 < ‖u‖ ≤ ε}. (10)
Також необхiдною є умова:
C) слабке замикання множини
σε = {v =
u
‖u‖ : u ∈ Zε} (11)
не мiстить нуля для достатньо малого ε > 0.
Введемо деякi пiдпростори просторiв X, X∗, пов’язанi з операторами A′ + Γ, T ,
визначеними в умовi A′). По-перше, визначимо два iнварiантних пiдпростори цiлком
неперервного оператора T : X → X. Позначимо через F пряму суму усiх iнварiант-
них пiдпросторiв оператора T , якi вiдповiдають характеристичним числам цього
оператора з iнтервалу (0,1). Нехай R буде замиканням прямої суми усiх iнварiант-
них пiдпросторiв оператора T , якi не увiйшли до F . Тодi F та R є iнварiантними
пiдпросторами оператора T та має мiсце пряма сума
X = F + R. (12)
З властивостей характеристичних чисел цiлком неперервного оператора випливає,
що F є скiнченновимiрним пiдпростором X та
dimF = ν, (13)
де ν – сума кратностей характеристичних чисел оператора T з iнтервалу (0,1).
Введемо оператор проектування Π : X → F , який вiдповiдає розкладанню (12),
наступним чином
Π(f + r) = f, для f ∈ F, r ∈ R. (14)
Теорема 1 Нехай оператор A : X ⊃ D(A) → X∗ задовольняє вiдповiднi
умови. Будемо вважати, що iснує лiнiйний (можливо необмежений) оператор
A′ : X ⊃ D(A′) → X∗, який задовольняє умови A′), ω). Оператор A + sA′ задо-
вольняє умову (S+)0,L для усiх s > 0.
Нехай до того ж виконуються наступнi умови:
225
В.М. Шраменко
1) оператор Π(A′ + Γ)−1 : X∗ ⊃ (A′ + Γ)D(A′) → X обмежений, де оператори
Π,Γ визначенi у (14) та A′).
2) виконується умова C) .
Тодi нуль є iзольованою критичною точкою оператора A та його iндекс дорiвнює
(−1)ν , де ν сума кратностей характеристичних чисел оператора T , якi належать
iнтервалу (0,1).
Спочатку покажемо, що нуль є iзольованою критичною точкою оператора A.
Нехай це не так: тодi iснує послiдовнiсть {uj} така що
Auj = 0, uj 6= 0, uj → 0. (15)
За означенням множини Zε отримаємо, що uj ∈ Zε для усiх великих j. Тодi з умови
C) випливає, що слабке замикання множини {vj = uj/‖uj‖} не мiстить нуля. Мо-
жемо вважати, що vj ⇀ v0, v0 6= 0. Скориставшись умовою ω) та (15), прийдемо
до
lim
j→∞
〈A′vj , vj〉 = 0, lim
j→∞
〈A′vj , v〉 = 0 (16)
для довiльного v ∈ L. З останнiх рiвностей за умовою (S+)0,L отримаємо A′v0 = 0,
що протирiчить умовi A′). Таким чином, перше твердження теореми доведено.
Доведення формули iндексу критичної точки базується на властивостi гомото-
пiчної iнварiантностi ступеню вiдображеня. Нагадаємо пов’язанi iз цим означення.
Нехай At : X ⊃ D(At) → X∗, t ∈ [0, 1] є сiм’єю нелiнiйних операторiв такою, що
L ⊂ D(At), для t ∈ [0, 1]. Ми кажемо, що сiм’я {At} задовольняє умову (S+)(t)0,L по
вiдношенню до вiдкритої множини D, якщо iснує послiдовнiсть скiнченновимiрних
пiдпросторiв {Fj} простору L та для довiльної послiдовностi {uj} ⊂ L{Fj}∩∂D, що
{tj} ⊂ [0, 1] з умов uj ⇀ u0, tj → t0
lim
j→∞
〈Atj (uj), uj〉 = 0, lim
j→∞
〈Atj (uj), v〉 = 0 (17)
для деякого u0 ∈ X, t0 ∈ [0, 1] та довiльного v ∈ L випливає, що послiдовнiсть {uj}
сильно збiгається та At0(u0) = 0.
Означення 3 Нехай A(i) : X ⊃ D(A(i)) → X∗, i = 0, 1 задовольняє умови
A1), A2). Оператори A(0), A(1) звуться гомотопними по вiдношенню до вiдкритої
множини D, якщо iснує однопараметрична сiм’я At : X ⊃ D(At) → X∗, t ∈ [0, 1],
що задовольняє умову (S+)(t)0,L та до того ж :
1) A(0) = A0, A(1) = A1 та
At(u) 6= 0 для u ∈ D(At) ∩ ∂D, t ∈ [0, 1] (18)
2) для кожного F ⊂ L{Fj} та довiльного v ∈ L{Fj} вiдображення
ã(F, v) : F × [0, 1] → R визначене ã(F, v)(u, t) = 〈Atu, v〉 є неперервним.
226
Абстрактна теорема про iндекс критичної точки
2. Леми про допомiжнi гомотопiї.
Лема 1 Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснує додатне число r1
таке що:
1) для t ∈ [0, 1], u ∈ D(A) ∩D(A′), 0 < ‖u‖ ≤ r1, маємо A
(1)
t (u) 6= 0, де
A
(1)
t (u) = tAu + (1− t)A′u (19)
2) сiм’я {A(1)
t } є гомотопiєю мiж операторами A та A′ у Br(0), де r довiльне число
з iнтервалу (0, r1].
Доведення. Доведення першого твердження цiєї теореми повнiстю повторює до-
ведення того факту, що нуль є iзольованою критичною точкою.
Доведемо друге твердження леми. Приймаючи до уваги перше твердження леми
та властивостi операторiв A,A′, нам потрiбно довести лише умову (S+)(t)0,L для сiм’ї
{A(1)
t } та кулi Br(0), r ∈ (0, r1]. Оберемо довiльну послiдовнiсть пiдпросторiв {Fj},
задовольняючих умову (2), та послiдовностi {uj}, {tj} такi, що
uj ∈ L{Fj} ∩ ∂Br(0), tj ∈ [0, 1], uj ⇀ u0, tj → t0 та
lim
j→∞
〈A(1)
tj
(uj), uj〉 = 0, lim
j→∞
〈A(1)
tj
(uj), v〉 = 0
(20)
для деякого u0 ∈ X та довiльного v ∈ L. Користуючись умовами (3) та (6), отри-
маємо наступнi оцiнки
tj |〈Auj , uj〉| ≤ C1, (1− tj) |〈A′uj , uj〉| ≤ C1,
tj |〈Auj , v〉| ≤ C2(v), (1− tj) |〈A′uj , v〉| ≤ C2(v)
(21)
з додатною сталою C1 та додатним числом C2(v), яке залежить лише вiд v.
Розглянемо окремо три можливi випадки:
a) 0 < t0 < 1, b) t0 = 0, c) t0 = 1.
У випадку a) ми отримаємо
lim
j→∞
〈Auj +
1− t0
t0
A′uj , uj〉 = 0,
lim
j→∞
〈Auj +
1− t0
t0
A′uj , v〉 = 0.
(22)
Тодi, застосовуючи умову (S+)0,L для оператора A + sA′, ми прийдемо до сильної
збiжностi uj → u0, а також t0Au0 +(1− t0)A′u0 = 0 при u0 ∈ ∂Br(0), що протирiчить
першому твердженню леми. Ми встановили, що випадок a) неможливий.
Розглянемо випадок b) t0 = 0
З умови (3) випливає, що
lim
j→∞
〈A′uj , uj〉 = 0, lim
j→∞
〈A′uj , v〉 = 0. (23)
227
В.М. Шраменко
За умовою (S+)L для оператора A′ отримаємо, що A′u0 = 0 при тому, що ‖u0‖ = r.
Ми прийшли до протирiччя iз першим твердженням леми. Цей випадок також
неможливий.
У випадку c) ми маємо з (6)
lim
j→∞
〈Auj , uj〉 = 0, lim
j→∞
〈Auj , v〉 = 0. (24)
Користуючись умовою (S+)0,L для оператора A прийдемо до того, що uj → u0 та
Au0 = 0. Таким чином, i в цьому випадку ми прийшли до протирiччя з першим
твердженням леми.
Це i завершує доведення леми 1.
Визначимо пiдпростори F ∗, R∗ простору X∗ наступним чином
F ∗ = (A′ + Γ)F, R∗ = (A′ + Γ) (D(A′) ∩R), (25)
де F, R пiдпростори X з (12). Неважко побачити, що F ⊂ D(A′).
Лема 2 Має мiсце розкладення
X∗ = F ∗ + R∗ (26)
у пряму суму.
Ця лема доводиться у роботi [2].
Наступнi гомотопiї вже не мiстять оператора A, тому доведення вiдповiдних лем
повнiстю повторює роботу [4].
Лема 3 Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснує додатне число r2
таке, що r2 ≤ r1 та наступнi твердження вiрнi:
1) A
(2)
t (u) 6= 0, для t ∈ [0, 1], u ∈ D(A′), 0 < ‖u‖ ≤ r2, де
A
(2)
t (u) = tA′u + (1− t){−(A′ + Γ)Πu + (A′ + Γ)(I −Π)u}, (27)
оператор Π є визначеним у (14);
2) оператор A
(2)
0 задовольняє умову (S+)L;
3) сiм’я {A(2)
t } є гомотопiєю мiж операторами A
(1)
0 та A
(2)
0 , у кулi Br(0), для
r ∈ (0, r2].
Наступна гомотопiя буде зводити обчислення iндексу критичної точки до вiд-
повiдної проблеми, але для оператора, який є всюди заданим у деякому околi кри-
тичної точки. Для цього нам буде потрiбно деяке перетворення оператора K, який
було введено в умовi X2). Вiдповiдно до (26), кожний h ∈ X∗ може бути поданим
як f∗ + r∗, де f∗ ∈ F ∗, r∗ ∈ R∗ однозначно визначенi. Тодi ми можемо визначити
обмежений лiнiйний оператор
228
Абстрактна теорема про iндекс критичної точки
P ∗ : X∗ → F ∗ як P ∗h = f∗, для h = f∗+r∗. Нехай {f1, ..., fν} буде базисом лiнiйного
простору F з (12). Тодi дiю оператора P ∗ подамо як
P ∗h =
ν∑
i=1
〈h,wi〉(A′ + Γ)fi (28)
де wi ∈ X, i = 1, ..., ν, задовольняє наступну умову
〈(A′ + Γ) fj , wi〉 = δij , 〈(A′ + Γ)r, wi〉 = 0 (29)
для i, j = 1, ..., ν, r ∈ D(A′) ∩R. Тут δij є символом Кронекера.
Оператор Π, визначений у (14), може бути записаним у виглядi
Πu =
ν∑
i=1
〈hi, u〉fi (30)
де hi ∈ X∗, i = 1, ..., ν, задовольняє умови:
〈hi, fj〉 = δij , 〈hi, r〉 = 0, для i, j = 1, ..., ν, r ∈ R. (31)
Розглянемо матрицю D з елементами dij = 〈hi, wj〉, i, j = 1, ..., ν. Покажемо, що
її визначник вiдмiнний вiд нуля. Нехай буде вiрним протилежне. Тодi ми можемо
знайти w̃ =
ν∑
j=1
c̃jwj 6= 0 таке, що
〈hi, w̃〉 = 0, i = 1, ..., ν. (32)
Покажемо, що w̃ ∈ D((A′ + Γ)∗) та
(A′ + Γ)∗w̃ = h̃, де h̃ =
ν∑
j=1
c̃jhj . (33)
Необхiдно встановити рiвнiсть
〈(A′ + Γ)u, w̃〉 = 〈h̃, u〉 (34)
для довiльного u ∈ D(A′). Якщо u ∈ D(A′)∩R, то (34) випливає з другої рiвностi у
(29) та (31). Якщо u = fi ми отримаємо (34) з першої рiвностi у (29) та виразiв для
w̃, h̃. Таким чином, ми встановили (33) та з (32) одержимо 〈(A′ + Γ)∗w̃, w̃〉 = 0, що
протирiчить до (4). Це означає, що матриця D має обернену. Позначимо через cij
елементи матрицi D−1. Маємо
ν∑
i=1
cki 〈hi, wj〉 = δkj , для k, j = 1, ..., ν (35)
229
В.М. Шраменко
Введемо оператор K̃ : X → X∗ наступним чином
K̃u = Ku−
ν∑
k,i=1
cki 〈Ku, wk〉hi, (36)
де K оператор з умови X2).
Ми маємо наступнi властивостi для оператора K̃:
P ∗K̃X = {0}, 〈K̃r, r〉 > 0, для r ∈ R, r 6= 0. (37)
Перше у (37) випливає безпосередньо з (28) та (35). Друге випливає з (31) та додат-
ностi оператора K.
Визначимо функцiонал δ : X → R1 як
δ(u) = max{0, C 〈(I − P ∗)Ju, u〉}, (38)
де J – оператор з умови X1) та C додатне число, яке буде обране надалi.
Лема 4 Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснує додатне число C1
таке, що для C з (38) iз 0 < C ≤ C1 виконуються наступнi твердження при
r3 = min{r, r2}, де r, r2 вiдповiдно числа з умови X1) та леми 3.
1) A
(3)
t (u) 6= 0, для t ∈ [0, 1], u ∈ D(A′), 0 < ‖u‖ ≤ r3, де
A
(3)
t (u) = δ(u)(1− t)Ju− (A′ + Γ)Πu + t(A′ + Γ)(I −Π)u + (1− t)K̃(I −Π)u. (39)
2) оператор A
(3)
0 , задовольняє умову (S+)0,X ;
3) сiм’я {A(3)
t } є гомотопiєю мiж операторами A
(2)
0 та A
(3)
0 у довiльнiй кулi
Br(0), для r ∈ (0, r3].
Зараз ми маємо змогу перейти до обчислення iндексу оператора A у критичнiй
точцi, застосовуючи попереднi леми та властивiсть iнварiантностi ступеня вiдобра-
ження вiдносно гомотопiї.
Лема 5 Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi
Ind(A, 0) = Deg(A(3)
0 , Br(0), 0), (40)
де A
(3)
0 оператор з леми 4 та r довiльне число з iнтервалу (0, r3].
Вiдмiтимо, що оператор A
(3)
0 є всюди визначеним у кулi Br(0). Ми можемо обрати та-
ку послiдовнiсть {Fj} яка задовольняє умову (2) для L = X. Вiзьмемо цю послiдов-
нiсть таким чином, щоб F0 = PX, F ⊂ F2ν , де P є спряженим до P ∗, визначеного у
(28) та F – це пiдпростiр з розкладання (12). Оберемо систему {vi}, i = 1, 2, ..., таким
чином, щоб кожний пiдпростiр Fj був лiнiйною комбiнацiєю елементiв v1, .., vj . Мож-
ливо вважати, що vi = wi, для i ≤ ν, and 〈(A′+Γ)fj , vi〉 = 0 для j = 1, ..., ν, i = ν+1, ...
де fj , wi тi ж самi, що i у (29).
230
Абстрактна теорема про iндекс критичної точки
Визначимо скiнченновимiрну апроксимацiю A
(3)
0,j оператора A
(3)
0
A
(3)
0,j (u) =
j∑
i=1
〈A(3)
0 (u), vi〉vi, для u ∈ Fj ∩Br3(0). (41)
За означенням ступеню вiдображення, ми можемо обрати, для заданого числа
r ∈ (0, r3], число j(r) таке, що
Deg(A(3)
0 , Br(0), 0) = deg(A(3)
0,j , Br,j(0), 0), for j ≥ j(r), (42)
де Br,j = Br(0) ∩ Fj .
Лема 6 Нехай виконуються умови теореми 1. Та r0 якесь фiксоване число з
iнтервалу (0, r3] та j0 = 2ν + j(r0). Тодi рiвняння
A
(3)
0,j0
(u) = 0 (43)
має лише нульовий розв’язок у кулi Bro,j0(0).
Лема 7 Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi
Ind (A, 0) = (−1)ν , (44)
де ν те саме, що i у теоремi 1.
Доведення. Застосовуючи (40), (42) та лему 6, прийдемо до
Ind (A, 0) = deg(A(3)
0,j0
, Bρ,j0(0), 0) (45)
для кожного ρ ∈ (0, r0]. Неважко перевiрити, що для достатньо малого ρ вiдобра-
ження A
(3)
0,j0
гомотопно на Bρ, j0(0) вiдображенню
A
(4)
j0
(u) =
j0∑
i=1
〈−(A′ + Γ)Πu + K̃(I −Π)u, vi〉vi. (46)
Таким чином, Ind(A, 0) = deg(A(4)
j0
, Bρ0,j0(0), 0).
Ступiнь вiдображення A
(4)
j0
дорiвнює (−1)ν та може бути обчислена за вiдомою
формулою для ступеню лiнiйних скiнченновимiрних вiдображень.
1. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. Topological degree theories for densely defined mappings involving
operators of type (S+), Adv. Differential Equations, 4 (1999), 413-456.
2. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. The index of a critical point for densely defined operators of type (S+)
in Banach spaces, Trans. Amer. Math. Society 354 (2001), 1601-1630.
3. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. The index of a critical point for nonlinear elliptic operators with strong
coefficient growth, J. Math. Soc. Japan 52 (2000), 109-137.
4. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. and Shramenko V.N. The index of an isolated critical point for a class
of non-differentiable elliptic operators in reflexive Banach spaces // J. Differential Equations. – 2005.
– V.214. – p.189-231.
Нацiональний технiчний ун-т України, Київ
vshramenko@ukr.net
Получено 04.03.08
231
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
содержание
Том 16
Донецк, 2008
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-20001 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T20:52:44Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шраменко, В.М. 2011-05-19T19:43:48Z 2011-05-19T19:43:48Z 2008 Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема / В.М. Шраменко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2008. — Т. 16. — С. 223-231. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20001 517.956.4 uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема Article published earlier |
| spellingShingle | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема Шраменко, В.М. |
| title | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема |
| title_full | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема |
| title_fullStr | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема |
| title_full_unstemmed | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема |
| title_short | Індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. Абстрактна теорема |
| title_sort | індекс критичної точки недиференційовного еліптичного оператора із сильним зростанням коефіцієнтів. абстрактна теорема |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/20001 |
| work_keys_str_mv | AT šramenkovm índekskritičnoítočkinediferencíiovnogoelíptičnogooperatoraízsilʹnimzrostannâmkoefícíêntívabstraktnateorema |